布朗运动的最大值与回望期权
回 望 期 权
价格对最大(小)值的变化不再敏感。至此,已构建出完整的分数布朗运动条
件下回望期权的定价模型,包括期权价格所满足的偏微分方程及相应的边界
条件。
综上得到浮动执行价回望看跌和看涨期权定价模型分别如下
浮动执行价的欧式回望看跌期权的定价公式为
V
(S,
J
,t)
Je r (T
t)[N (b1)
1
(
J S
) 1
E[S 3(t)]
S (ti
3
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(
w(t
)
w
(ti
)
)
9 2
2 (tti
e) (3 3
2 )(t ti
)
]
S (ti
)e (3 3 2 )(tti )
2.2.2定价模型的推导
假设在时间段 [ti , ti 内t，] 标的资产价格变化
有3种状态，这里u和d分别代表标的资产上涨和
下跌的幅度，且u>1>d>0,由假设(6)可知：ud=1
为标的资产曾达到的最低价格， 为标的资产曾达到过的最高价格，则回望看涨
期权在T时刻的敲定价：
收益为 Smin，收益为
回望看跌期权在TS时m刻ax的敲定价：
K
max
0iT
Si
Smax
max{ Smax ST ,0} Smax ST
K
min
0iT
Si
Smin
max{ ST Smin,0} ST Smin
回望期权
1.回望期权的简要介绍
1.1 回望期权的概念 1.2 回望期权的分类
2.回望期权的定价
2.1 分数布朗运动下的回望期权定价 2.2 三叉树模型下的回望期权定价
分数布朗运动条件下回望期权的定价研究
崩溃 等． 而正态 分布 意味着 股价 是连 续 的．
自引入 分数 布 朗 运 动 以来 ， 内外 出现 了 国
大量 的相 关 研究 ． ｃ ｌ １ 究 了分 数 布 朗运 Ｎｅｕａ ［研
动 环境 下 的 期 权 定 价． 一 步 的 应 用 见 动引 入 Ｍｅｔｎ模 型 对 ２， ｒｏ
最优 投 资 组 合 的 选 择 进 行 了 讨 论 ． ａ ｅ Ｊ ｍｄ ｅ和 Ｌ ｓ 几何 分数 布 朗运动 代替 几 何布 朗运 动 以 ０用 反 映金 融 市 场 的长 记 忆 特性 ， 对 欧式 期 权定 并 价进 行 了研 究 ［ ． ｏ ｅｓ４ 论 了分 数 布 朗运 ３ Ｒ ｇ ｒ［ 讨 ］ ］
如 亚式 期权 等 的定 价．
跟 标 准 期 权 一 样 ， 望 期 权 也 分 为 看 涨 和 回
关， 而与历 史 价格无 关． 明显 违 背 了投 资 者 的 这 直觉 ， 与事 实不 符．
（ ） 形分 布 具 有一 个 被 称 为 “ 亚效 应 ” ３分 诺 的性质 ， 意味着 系 统有 突然 和激 烈 的逆转． 它 这
看跌 期权 ， 再 根 据执 行 价 是 固定 的还 是 浮 动 若 的， 回望 期权 就可分 为 ４类 ： 固定执 行价 格 的回 望看 涨期 权 、 固定执 行价 格 的回望看 跌期 权 、 浮 动执 行 价格 的 回望看 涨 期 权 、 动执 行 价格 的 浮
与资 本 市场 上 的价格 变 化 比较 相 符 ， 股 市 的 如
金融数学_常州工学院中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
金融数学_常州工学院中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.在BS模型中，在其他参数不变的情况下，看跌期权的价格关于波动率，是严格单调递增的。
（）参考答案:正确2.计算期权价格的时候是从期初支付往终端算。
（）参考答案:错误3.障碍期权和欧式期权都具有路径依赖性。
（）参考答案:错误4.一份普通欧式期权的Gamma大于零。
（）参考答案:正确5.欧式看跌期权的价格上限是执行价格。
（）参考答案:错误6.无套利原理是指：在一个有效运行的金融市场中，套利机会不可能（长时间）存在。
（）参考答案:正确7.远期价格总是围绕着远期价值上下波动。
（）参考答案:错误8.二叉树定价的看涨期权价格与物理测度下资产价格上涨概率p的大小有关系。
（）参考答案:错误9.标的资产的价格波动是影响衍生品价格的重要因素。
（）参考答案:正确10.以下说法错误的有（）。
参考答案:若以ln(K/Ft)为横坐标，波动率微笑曲线平价点右边的点通常对应着虚值看跌期权_由于期限越长，不确定性越高，因此隐含波动率期限结构总是向上倾斜的_波动率曲面分为隐含波动率曲面和实际波动率曲面_若以ln(K/Ft)为横坐标，波动率微笑曲线平价点左边的点通常对应着虚值看涨期权11.BS模型包括下列哪些前提假设（）。
参考答案:标的资产价格服从几何布朗运动_证券允许卖空_证券可以任意分割且交易没有成本_市场上不存在无风险套利机会12.使用风险中性定价法的前提包括（）。
参考答案:可以自由卖空_没有套利机会_没有交易成本13.假设W是标准布朗运动，在随机微积分的计算中，下列哪些计算规则是正确的（）参考答案:dt * dt = 0_dw * dw= dt_dt * dw =014.B-S期权定价方程求解的思路是（）。
参考答案:热扩散方程15.从交易层面来看，属于零和游戏的有（）。
参考答案:互换_期货_期权16.金融产品今天的价值，应该等于未来收益的贴现。
（）参考答案:正确17.Vasicek模型是一个满足均值回复特征的随机利率模型。
混合分数布朗运动下两值期权的定价模型
混合分数布朗运动下两值期权的定价模型付培;孙琳【摘要】Binary options are options that have only the corresponding value of the underlying asset's price, therefore have a discontinuity income of popular exotic option. In order to describe the long memory of the underlying asset and to eliminate the arbitrage in the financial market, this paper assumes that the underlying asset is subject to mixed fractional brown motion, binary option pricing model in the mixed fractional Brownian motion environment is obtained by using the martingale technique and stochastic analysis method. In order to understand the pricing model better, this paper analyzes the influence of Hurst index on pricing results.%两值期权是只有标的资产的价格超过执行价格才会有相应收益的期权,因而它具有不连续收益的性质,是目前一种普遍研究的奇异期权.为了描述标的资产的长记忆和消除金融市场的套利,在假设标的资产服从混合分数布朗运动的环境下,采用了拟鞅技术,运用了随机分析的有关内容,最终获得了两值期权在混合分数布朗运动环境下的定价模型.为了更好地理解定价模型,进一步分析了赫斯特指数对定价结果的影响.【期刊名称】《佛山科学技术学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(036)002【总页数】7页(P13-19)【关键词】混合分数布朗运动;两值期权;定价模型;拟条件期望【作者】付培;孙琳【作者单位】广东工业大学应用数学学院,广东广州510520;广东工业大学应用数学学院,广东广州510520【正文语种】中文【中图分类】O211.6期权定价问题是金融数学的一个重要问题。
期权定价的连续模型及BS公式
期权定价的连续模型及BS公式期权定价是金融学中一个重要的问题，它涉及到市场上期权的价格如何形成以及如何计算的问题。
在期权定价的研究中，连续模型和BS公式是常用的工具和方法之一连续模型是指在对期权定价进行建模时，假设资产价格（或指数）是连续的、随机的过程。
这些模型通常是基于随机微分方程的形式，最常见的连续模型是几何布朗运动模型和扩散模型。
其中几何布朗运动是一个经典的连续模型，它是由英国数学家罗伯特·布莱利·布朗提出的。
几何布朗运动的数学表达式是一个随机微分方程，即：dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t其中，S_t是资产价格（或指数），\mu是资产的预期收益率，\sigma是资产价格的波动率，dW_t是布朗运动的增量。
这个方程描述了资产价格的变化情况，包括预期收益率和波动率对价格变化的影响。
通过这个方程，可以计算出期权的价格。
另一个常用的连续模型是扩散模型。
扩散模型是在几何布朗运动的基础上进行扩展的模型，它考虑了资产的波动率是随时间变化的情况。
在扩散模型中，资产价格的波动率是一个随机过程，即：dS_t = \mu S_t dt + \sigma_t S_t dW_t其中的\sigma_t是时间t上的波动率。
这个模型可以更准确地描绘资产价格的变化情况，特别适用于对期限较长的期权进行定价。
BS（Black-Scholes）公式是一个基于几何布朗运动的连续模型的定价公式。
它是由美国经济学家费希尔·布莱克和美国经济学家默顿·米勒·施尔斯在1973年提出的，被广泛应用于期权定价。
BS公式的数学表达式为：C=S_0N(d_1)-Xe^{-rT}N(d_2)其中，C是看涨期权的价格，S_0是资产的当前价格，N(\cdot)是标准正态分布函数，d_1是一个与标准正态分布相关的变量，d_2是另一个与标准正态分布相关的变量，X是期权的执行价格，r是无风险利率，T是期权的时间到期。
修正的Black-Scholes模型下的欧式期权定价
修正的Black-Scholes模型下的欧式期权定价孙玉东; 师义民【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》【年(卷),期】2012(027)001【总页数】10页(P23-32)【关键词】布朗运动; 期权定价; 修正的Black-Scholes模型【作者】孙玉东; 师义民【作者单位】西北工业大学应用数学系陕西西安710129【正文语种】中文【中图分类】O211.6; F830.9经典的Black-Scholes期权定价模型将股票价格的期望收益率和波动率都描述为常数,实际上像这样的资产模型在金融市场上很难找到,越来越多的学者认为模型应该是非线性的,波动率和期望收益率应当描述为时间或者股票价格的一般函数,而将收益率和波动率描述为时间函数的文献已经出现.因此,考虑到篇幅问题,只将Black-Scholes模型做如下推广其中Wt是定义在完备概率空间(Ω,F,P)上的Wiener过程.股票期望收益率µ(St)和波动率σ(St)都为股票价格的一般函数,并假定函数µ(·)连续,σ(·)为n阶可导.r为金融市场的无风险利率.当函数µ(·)和σ(·)为常数时,该模型退化为经典的Black-Scholes模型,该模型下的期权定价解析表达式也被Black和Scholes等人陆续给出.随着众多学者多年来的研究[1-3],经典Black-Scholes期权定价模型下的理论及其推广已经非常的完善,美式、亚式、回望等新型期权都已经被人做了相应的研究,并且极大地推动了金融市场的发展.当函数µ(·)为常数，σ(x)= σ0xβ−1时(σ0和β为常数),模型(1)退化为Cox和Ross提出的CEV模型[4].在CEV模型中,将波动项描述为股票价格的幂函数,部分解决了“波动率微笑”问题，即股票价格过高时,股票的波动率会增大这一事实,但是当股票价格过低时CEV模型非但不能描述波动率会增大这一事实,反而使得波动率越来越小了.Cox证明了当β=0.5时的结论[4-5],Hsu,Lin和Lee应用Fokker-planck方程证明了当β＞1时的结论[6-7],而当β＜1时的结论早已被Campbell 和Glosten[8],Brandt和Kang[9]等人分别解出.本文将这些模型更一般化,将股票的期望收益率描述为股票价格的连续函数,波动率描述为股票价格的n阶可导函数,运用求解偏微分方程的方法得到了欧式期权的解析表达公式.文中所得结论涵盖了上述文献的结果.假设未定权益在到期日T的损益为g(ST),t时刻的无套利价格为V(t,St),且V(t,St)关于t一阶可导,关于St二阶可导.下面考虑一无套利投资组合.定理2.1 未定权益g(ST)在t时刻的无套利价格应满足如下的偏微分方程又因为由式(3)(自融资策略)可得因此,对照式(5)和式(6)可得联立式(3)和式(7)可得为了方便地求解偏微分方程(4),补充如下的预备知识.考虑抛物型方程其中P=P(t,x),a,b,h都为常数,且a＞0.详细的证明见文献[9].首先考虑欧式看跌期权定价问题,假定当前为t时刻,同时它也是股票发行时刻,期权的交割日期为T,交割价格为K,因为欧式看跌期权的损益为(K−ST)+,因此令g(x)=(K−x)+并带入式(4),可得欧式看跌期权在该模型下所满足的偏微分方程其中θ为常数.并假定Ei(t,y)分别是偏微分方程组的解,则将式(12)中n+1个偏微分方程叠加可得是偏微分方程(10)的一个近似解。
布朗运动在金融中的应用
布朗运动在金融中的应用布朗运动是指颗粒在液体或气体中由于分子热运动而发生的随机运动。
这种随机性使得布朗运动在金融领域中具有重要的应用意义。
布朗运动的特点是无规律性和不可预测性，这与金融市场的波动和变化具有一定的相似性。
因此，布朗运动在金融中的应用涉及到风险管理、金融建模、衍生品定价等多个方面。
布朗运动在金融领域中被广泛运用于风险管理。
金融市场的波动性是不可避免的，而布朗运动的随机性特点使得它成为描述金融资产价格波动的有效工具。
通过对布朗运动进行建模，可以帮助投资者评估不同金融资产的风险水平，从而制定相应的风险管理策略。
在投资组合管理中，基于布朗运动的风险模型可以帮助投资者优化资产配置，实现风险和收益的平衡。
布朗运动在金融建模中也扮演着重要的角色。
金融市场的复杂性和不确定性使得金融建模变得极为复杂，而布朗运动的随机性特点使得它成为模拟金融市场行为的有效工具。
通过对布朗运动进行数学建模，可以模拟金融市场的价格变动、波动率、相关性等重要特征，为金融决策提供参考依据。
例如，基于布朗运动的随机模型可以用来预测股票价格的未来走势，为投资者提供决策支持。
布朗运动在金融衍生品定价中也有着重要的应用。
金融衍生品的价格受到多种因素的影响，其中最重要的是标的资产价格的波动性。
布朗运动作为描述资产价格波动的有效工具，被广泛应用于期权定价、波动率表面建模等领域。
通过对布朗运动的模拟和分析，可以为衍生品的定价提供理论依据，帮助投资者合理评估衍生品的风险和收益。
总的来说，布朗运动在金融领域中的应用涉及到风险管理、金融建模、衍生品定价等多个方面，为金融市场的参与者提供了重要的工具和方法。
通过对布朗运动的深入研究和应用，可以更好地理解和把握金融市场的特点和规律，为投资决策和风险管理提供有效支持。
在未来的金融领域中，布朗运动的应用将继续发挥重要作用，为金融市场的稳定和发展做出贡献。
布朗运动原理金融
布朗运动原理金融布朗运动原理在金融领域的应用我曾经有幸在金融领域工作多年，其中一个重要的概念就是布朗运动原理。
布朗运动原理是以英国的物理学家罗伯特·布朗的名字命名的，它描述了微小颗粒在液体或气体中的运动规律。
这个原理在金融领域有着重要的应用，特别是在金融市场的价格波动预测方面。
金融市场的价格波动通常是随机的，就像微小颗粒在液体中的运动一样。
布朗运动原理告诉我们，这种随机波动可以用随机漫步的方式来描述。
随机漫步是指一个随机变量在不同时间点上以不规则的方式变化的过程。
在金融市场中，价格的随机波动可以看作是一个随机漫步过程。
布朗运动原理在金融领域的应用主要体现在两个方面：风险评估和期权定价。
风险评估是金融领域中的一个重要问题。
布朗运动原理可以帮助我们对金融资产的风险进行评估。
通过对历史价格数据进行分析，我们可以得到金融资产价格的波动率，即价格随机波动的程度。
这个波动率可以用来衡量金融资产的风险水平。
根据布朗运动原理，金融资产价格的波动率是一个稳定的参数，可以用来预测未来的价格波动。
这样，我们可以通过波动率来评估金融资产的风险。
期权定价是金融领域中的另一个重要问题。
期权是一种金融衍生品，它给予持有者在未来某个时间点购买或出售某个资产的权利。
布朗运动原理可以用来解决期权定价的问题。
根据布朗运动原理，期权价格的波动可以用期权的隐含波动率来衡量。
隐含波动率是根据期权市场上的交易价格反推出的，它可以用来预测未来期权价格的波动。
通过布朗运动原理和隐含波动率，我们可以计算出期权的理论价格。
总结一下，布朗运动原理在金融领域的应用主要包括风险评估和期权定价。
通过对金融资产价格的随机波动进行建模，我们可以对金融资产的风险进行评估，并计算出期权的理论价格。
这些应用使得金融市场更加透明和有效，为投资者提供了更好的决策依据。
在金融领域的实际应用中，布朗运动原理发挥着重要的作用，为金融市场的稳定发展提供了理论支撑。
混合分数布朗运动下欧式回望期权定价
Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ— Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ 模 型下 永 久 美 式 期 权 定 价 问题 ， 并
布 朗运动 Ｂ（ ） ． 分数 布 朗运 动为 自相 似过程 ， 即对任意 的 ｏ ｔ＞
的近 似解 ． 文献 ［ ７—８ ］ 是混 合 分 数 布 朗运 动 下 亚 式期 权定价 的研 究 ． 本 文 同样 在 混合 分 数 布 朗运 动 环境 下研 究期 权定 价 ， 主要研 究 浮 动 执 行 价 格 的 回望 期权 定 价 ， 由于 回望期 权 所满 足 的抛 物 型 方 程 的边 界条 件 比 较复 杂 ， 还 没有 文献 进行 有关 混合 分数 布朗运 动环 境下 的研究 ． 仍 然采 用 混 合 分 数 布 朗运 动 的 Ｉ ｔ ６公 式去 处理期 权 定 价 模 型 ，获 得 了混 合 分数 布 朗运
中 图分 类号 ： Ｆ ８ ３ ０ ． ９ １ ； ０ ２ １ １ ． ６
文献标 识码 ： Ａ
０ 引 言
回望期权 就是 期权 的持 有者 可 以 “ 回望 ” 期权 的有 效期 内风 险资产 价格 的整个 历 程 ， 选 取 风 险资 产 的最低或 者最 高 的价 格作 为期 权 的执 行价 格 ， 买 入或 者卖 出风 险资产 ， 回望看涨 期 权和 回望 看跌期 权在 到期 日的 收益分别 为 ： Ｓ 一＾ ｍｉ 和 ａ 一 Ｉ ｓ ．同 时 ， 回望期 权 又 是 强 路 径 依 赖期 权 ， 它 的执 行价 格依 赖 于 整 个 “回望 期 ” 内 的 风 险 资 产 的价 格， 本 文这 里讨论 的是 具有 浮 动执 行价格 的 回望看
布朗运动原理金融
布朗运动原理金融
布朗运动原理在金融领域的应用
布朗运动原理是一种描述微粒在液体或气体中随机运动的物理模型。
这一原理不仅在物理学中有重要应用，而且在金融领域也发挥着重要的作用。
本文将从金融的角度讨论布朗运动原理的应用。
布朗运动原理在金融市场中被广泛应用于股票价格的模拟和预测。
根据布朗运动原理，股票价格的变化是随机的，没有明确的趋势。
因此，基于布朗运动原理的股票价格模型能够更准确地反映市场的真实情况。
通过对股票价格的模拟和预测，投资者可以更好地制定投资策略，降低风险，获得更好的投资回报。
布朗运动原理在金融衍生品定价中也起着重要的作用。
金融衍生品是一种通过衍生出来的合约来进行交易的金融工具，如期权、期货等。
布朗运动原理提供了一种有效的方法来对金融衍生品进行定价。
通过建立基于布朗运动原理的模型，可以计算出衍生品的合理价格，从而为投资者提供更好的交易决策依据。
布朗运动原理还可以用于风险管理和投资组合优化。
在金融市场中，风险管理是非常重要的。
通过基于布朗运动原理的模型，可以对投资组合的风险进行评估和控制，从而降低投资风险。
同时，布朗运动原理还可以用于优化投资组合，通过对不同资产的随机运动进行模拟和分析，找到最优的投资组合配置，提高投资回报。
布朗运动原理在金融领域中有着广泛的应用。
它不仅可以用于股票价格的模拟和预测，还可以用于金融衍生品的定价，以及风险管理和投资组合优化。
通过应用布朗运动原理，投资者可以更好地理解金融市场的运动规律，制定更科学的投资策略，降低风险，获得更好的投资回报。
布朗运动、伊藤引理、bs 公式
布朗运动、伊藤引理、bs 公式1 前言在金融工程学习中，我们经常听到布朗运动、伊藤引理和 bs 公式等概念。
这些概念似乎非常抽象，但它们对金融市场的理解至关重要。
本文将详细介绍布朗运动、伊藤引理和 bs 公式的概念和应用。
2 布朗运动布朗运动，又称随机游动，是指无限小时间内方向和大小随机的运动。
布朗运动也被称为随机漫步，常常被用于描述股价或股票市场的随机波动。
在布朗运动中，价格的变化是随机的，并且价格的波动取决于商品的价格历史数据。
布朗运动的数学描述为：dS(t)=μ*S(t)dt+ σ*S(t)dZ(t)其中dS(t)表示在时间t之后股价的增量，μ是股票价格的平均增长率，σ是波动率，dZ(t)是标准布朗运动。
3 伊藤引理伊藤引理是用于求解随机微分方程的一个重要工具。
它是由日本数学家伊藤清刚在20世纪40年代开发的，其主要思想是用泰勒展开式逼近股票价格的随机变化。
伊藤引理的应用非常广泛，特别是在金融工程中更是被广泛采用。
主要是用来计算股票价格的期望值、波动率、偏差和随机漫步的方向。
通过应用伊藤引理，可以快速、准确地预测价格变化的概率分布。
4 BS公式BS公式是由Fisher Black和Myron Scholes在20世纪70年代开发的，用于计算欧式期权的理论价格。
该公式根据股票价格、期权的到期时间、行权价格、无风险利率和波动率，预测期权的价值。
BS公式的数学表达式为：C(t)=S(t)N(d1)−Kexp(−r(T−t)) N(d2)其中C(t)表示欧式期权的理论价格，S(t)表示股票价格在时间t的价格，K表示行权价格，r表示无风险利率，T-t表示期权到期日与当前日之差，N(d1)和N(d2)分别代表标准正态分布函数。
5 总结在金融市场中，布朗运动、伊藤引理和BS公式都是非常重要的工具。
布朗运动模拟市场的随机波动，伊藤引理可以求出股票的期望值、波动率等参数，BS公式可以预测欧式期权的理论价格。
分数布朗运动环境下亚式期权定价的新方法
朗运动随机分析理论可参见文献 ｆ， ．分数布 朗运动在金融 中的应用可见文献 ｆ ７． ３４ ］ ５ １ —
分类号： ＡＭ Ｓ２ ０） ０ １ ；０ ０ （００ ６Ｈ ０ ９Ａ ６
中图分类号： ８０ ； ２ １ ； ２３ Ｆ ３． Ｏ １． Ｏ １． ９ ６ ２
文献标识码： Ａ
１ 引言
亚式期权 是一种依赖标 的资产价格 路径 的期权 ，它在 到期 日的收益依赖于 期权整个有 效期 内标的资产 的平均价格 ，根据 取平均的方法亚式期权 可 以分为算术平均型和几何平均 型两种类
第２卷 第２ ９ 期
２ １ 年０ 月 ０２ ４
工
程
数
学
学
报 Байду номын сангаас
Ｖ １２ Ｎ ． ｏ ９ ｏ２ ．
Ａｐ ．２ １ ｒ ０２
ＣＨＩ ＮＥＳ Ｊ Ｅ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＮＧＩ ＮＥＥＲＩ ＮＧ ＡＴＨＥＭＡＴＩ Ｍ ＣＳ
文章编￣： ０—０５２１）２０７—６ １ ５３８（０ ２０—１３０ ０
收益依赖于有效期 内标的资产 的平均价格 ．这里主要研 究几何平均亚式看涨期权 ，它的损益为
ｅｐ ｘ
｛ ｎ ） ） －＋ ．
（ ３ ） ＋ （ ， ４ ）
令 厶＝ ｉ ￣ ｕ ｎＳ ｄ ，则
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其中
收稿 日期： ０ ００．７ 作者简介：孙玉 东 （９ ３ １月生） ２ １—５０ ． １８ 年 １ ，男 ，博士 ． 究方 向：随机 微分 方程与数理金融 研
布朗运动、伊藤引理、BS 公式(前篇)
布朗运动、伊藤引理、BS 公式（前篇）对量化投资感兴趣的人大概都听说过的 Black-Scholes 期权定价公式（又称 Black-Scholes-Merton 公式，下称 BS 公式）。
它大概是将数学中随机过程（stochastic process）的概念运用到实际金融产品中的最著名的一个例子。
美国华尔街的 Quant 职位面试中更是无一例外的会问到 BS 公式及其引申出来的相关问题，足见其地位。
然而黑天鹅之父纳西姆·塔雷伯（Nassim Nicholas Taleb，以《黑天鹅效应》一书闻名于世）却对它嗤之以鼻，更是写过一篇题为 Why we have never used the Black-Scholes-Merton option pricing formula（为什么我们从来不用BS期权定价公式）来抨击它。
诚然，BS 公式在投资实践中能够起到多大的作用见仁见智。
但我们想说的是，BS 公式仅仅是一结果，是随机分析（stochastic calculus）经过严谨的层层推演得到的产物。
透过现象看本质，它背后蕴含着强大的数学体系，使得我们可以运用随机过程对股价、期权价格以及其他衍生品价格进行量化建模。
掌握这套分析体系对于有志于在量化投资领域有所建树的人来说十分必要。
想要摸清楚这套随机分析体系并不容易。
如果你在搜索引擎上查询 BS 公式的推导体系，一定会看到诸如“布朗运动”、“伊藤引理”、“随机微分方程”这些概念。
它们都是这套分析体系中必不可少的组成部分，环环相扣，在随机分析的大框架下完美的联系在一起。
熟悉这套分析框架的人可以充分的感受到这些基本模块无缝的组合在一起所展示出来的数学的魅力。
而对于不熟悉它的人来说，这之中每一个概念都可能仿佛天书一般；即便是具有高等数学知识的人，想要很快的梳理出它们之间的逻辑联系也并不容易。
简单的说，（标准）布朗运动是一种最简单的连续随机过程，它是描述证券价格随机性的基本模型。
有交易成本的回望期权定价研究
１７ ９ ９年 ， ｏｄ ｎ等人 给 出 了 回望 期 权 的定 价 公式 Ｊ这一 公式 于 １ ９ Ｇ ｌｍａ ， ９ １年又 被 Ｇ ｎｅ和 Ｖｉ ｎ ｔａ ｏ ｚ ｓ ａｈｎ重 ｗａ 新 得到并 加 以推广 Ｌ－ 。然 而 ， ２ ３ Ｊ 这些 公式 都 是 基 于 ＢＳ模 型 的假 设 的基 础 之 上 得 到 的。本 文 主要 研 究 了 ．
有 交 易 成 本 的 回望期 权 定 价 研 究
袁国军， 杜雪樵
（ ／，２ 大 学 理 学 院 ， 徽 合 肥 ２ ０ ０ ） 合 Ｉ２ 业 Ｖ１ 安 ３０ ９
摘 要 ： 于标 的 资 产 价 格 的几 何 布 朗 运 动 假设 ，ｌ ｋＳ ｈｌ 模 型 运 用 连续 交 易 保 值 策 略 成 功 解 决 了完 全 市 场 基 Ｂａ —ｅｏ ｓ ｃ ｅ 下 的欧 式 期 权 定 价 问题 。 然 而 ， 实 际 的 金 融 市 场 中 ， 在 着 数 量 可 观 的 交 易 成 本 。 本 文 主 要 研 究 了在 不 完 全 在 存 市场 下 有 交 易 成 本 的 回 望期 权 的 定 价 问 题 ， 且 利用 Ｉ 公 式 ， 到 了在 该模 型 下 期 权 价 格 所 满 足 的微 分 方 程 。 并 ｔ ０ 得 关键词 ： 权定 价 ； 期 回望 期 权 ； 易 成 本 ； ｏ 式 ； 资 组 合 交 Ｉ 公 ｔ 投 中 图分 类 号 ： ８ ０ ９ Ｆ ３ ． 文章标识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ７３ ２ （０ ６ ０ —１ １０ １０ —２ １２ ０ ）３０ ４ —３
Ａ ｕ ｙ ｏ ｈ Ｓｔ ｄ ｎ ｔ ｅ Ｖａｌａ ｉｎ ｏ ｏ ｋｂ ｃ ｔｏ ｓｗ ｉｈ Ｔｒ ｎ ａ ｔｏ ｓ ｓ ｕ ｔｏ ｆＬ ｏ ａ ｋ Ｏｐ ｉｎ ｔ ａ ｓ ｃ ｉｎ Ｃｏ ｔ
《随机过程》第5章-布朗运动
随机过程
第五章 布朗运动
1 布朗运动的基本概念 2 布朗运动的首中时及最大值 3 布朗运动的应用
1 基本概念
• 最初由英国生物学家布朗(Brown)于1827年提出这种物理现 背 象； 景 • 1905年爱因斯坦首次对这一现象的物理规律给出数学描述； 定 • 1918 年维纳(Wiener) 运用数学理论严格描述这种无规则运 动，并用随机过程理论和概率理论建立了数学模型。因此 义 布朗运动又称维纳过程； 性 • 是具有连续时间参数和连续状态空间的一类随机过程； 质 • 在金融领域的证券市场中（如债券、期权等），有着极其 重要的应用。将布朗运动与股票价格行为联系在一起，进 推 而建立起维纳过程的数学模型是本世纪的一项具有重要意 广 义的金融创新，在现代金融数学中占有重要地位。
中南民族大学经济学院
平 移 不 变 性 ： 设 *������ ������ , ������ ≥ 0+ 为 布 朗 运 动 ， 则 *������ ������ + ������ −
������ ������������ 0+为布朗运动，则* ������
, ������ ≥ 0, ������ >
������ 2 − ������ 2(������2 −������1 )
中南民族大学经济学院
5
《随机过程》第5章-布朗运动
1 基本概念
有限维联合分布
背 景 (������ ������1 , ⋯ ������ ������������ )的联合概率密度函数为 定 义
������
设 *������ ������ , ������ ≥ 0+ 为标准布朗运动，对 ∀0 = ������0 < ������1 < ⋯ < ������������ ，
ito计算公式
ito计算公式ITO计算公式是一种计算金融衍生品价格的数学工具，是现代金融中的重要计算工具之一。
ITO计算公式被广泛应用于各种金融领域，例如股票期权、货币期权、商品期权等。
要理解ITO计算公式，首先需要了解布朗运动。
布朗运动是一种随机过程，也被称为渐近布朗运动或噪声。
它是由英国数学家罗伯特·布朗发现的。
布朗运动的一般形式如下：dB_t = σ*dW_t其中，B_t是布朗运动在时间t时的值，σ是标准差，W_t是维纳过程，也是随机过程。
实际上，维纳过程是一个随机游走，具有零均值和固定的方差，其中每个时间步的变化量都是随机的。
ITO计算公式是一个用于计算布朗运动的方程。
该方程是由日本数学家伊藤清创立的。
ITO计算公式的一般形式如下：dX_t = a(t, X_t)dt + b(t,X_t)dW_t这个方程描述了一个动态系统，其中dX_t表示在t时刻的小增量，a(t,X_t)表示在t时刻t和X_t的趋势，而b(t,X_t)描述在t时刻t和X_t的变动。
ITO计算公式在金融领域中的应用非常广泛。
它可以用来计算股票期权、货币期权、商品期权等金融工具的价格。
例如，在股票期权的情况下，ITO计算公式可以用来计算期权的价格。
期权是一种金融工具，它给予买方在未来某个时间点以固定价格购买或出售某种资产的权利。
这种资产可以是股票、债券、货币或商品。
如果买家行使这个期权，则卖家必须以期权规定的价格进行交易。
因此，对于期权的价格，卖家的获利将取决于市场价格与期权规定的价格之间的差异。
ITO公式可以用来计算这种价格的变化。
ITO计算公式的优点在于它可以考虑到市场风险，并能够计算股票价格的概率分布。
这意味着，ITo公式可以用来预测股票价格的波动，并对期权价格的风险进行分析和评价。
然而，ITO公式仅适用于黑-斯科尔斯模型，在实际情况中股票价格受到诸多因素的影响，包括自然风险、政治不稳定、市场流动性等，这些因素可能会影响到ITO公式的精度。
回 望 期 权
浮动执行价回望看涨期权
max{ max St ST , 0}
0t T
从回望期权的概念，我们可以知道回望期权的持有者总是能在持有期内 资产所经历的价格的最低点买入或最高点卖出,使得投资者始终处于最有利的 位置,期权决不会处于虚值状态(out of the Money),所以其价格也就相比标准
影响"其路径因子是:
J max S 或J min S
0 T 0 T
其中J分别表示期权有效期内标的资产的价格所达到的最大值和最小值,T为 期权的到期时刻. 由于路径依赖变量J对t不可微,所以要找一个函数对其进行逼近. 下面就浮动执行价回望看跌期权的情况进行讨论: 令： 1
J n [ ( S ) n d ] n , 0 t
期权较为昂贵。
固定执行价的回望期权只能用现金结算,而浮动执行价的回望期权可用现 金或标的资产本身进行结算。
2.回望期权的定价
2.1.分数布朗运动下的回望期权定价
Black-Scholes期权定价公式假设资产价格服从几何布朗运动,那么价格变化是 相互独立的随机变量,并且资产收益率服从正态分布.但是近年来大量的研究表明, 资产收益率的分布具有尖峰厚尾的特征,且股价变化也不是随机游走,而是呈现不同 程度的长期相关性. 1994年Peter提出用分数布朗运动来刻画资产价格的变化,正如资产价格服从 几何布朗运动对应其收益率服从正态分布一样,若资产价格服从几何分数布朗运动 则其收益率服从分形分布.分数布朗运动比较布朗运动而言具有以下几点优势:
期权持有期内标的资产所达到的最低(高)价格为执行价，其收益函数为:
固定执行价回望看涨期权
max{ max S t K , 0}
0 t T
固定执行价回望看跌期权
第三章 布朗运动
W (tk ) W (tk1)服从N (0， 2 (tk tk1))分布 所以（W (t1),W (t2 ) W (t1),,W (tn ) W (tn1)）
是n维正态随机变量.
又由于
>x)
t0+ t
t0+
t
= lim P( W (t) >xt) t 0+
2
+
y2
= lim
exp (- )dy
t0+ 2t xt
2t
2 +
z2
= lim
exp (- )dz
t 0+
x t
2
= 2 + exp (- z2 )dz=1
0
2
三、与布朗运动有关的随机过程
过程1：d维布朗运动
若W1(t), W2(t), Wd (t)是d个相互独立 的标准布朗运动，则称
(W (t1),W (t2 ),,W (tn ))
1 1 1
(W
(t1
),W
(t2
)
W
(t1
),
,
W
(t
n
)
W
(t
n 1
))
0
1
1
0
0
1
0
0
1
所以(W (t1),W (t2 ),,W (tn ))是n维正态变量.
所以{W(t),t≥0}是正态过程.
一 标准Brown运动的性质
对称性:W (t) 也是一个标准Brown运动
1900年巴舍利耶在他的博士论文中推测到布 朗运动的一些结果 1918年Wiener在的博士论文以及后来的文章中给出 该理论简明的数学公式
回望期权的三叉树定价模型
期权作为一种衍生证券 ，它的定价取决于原生资产价格的变化．原生资产做为一种风险资产 ，它的价
格变化是不确定的 ，由此产生的期权价格也是随机的．但是一旦原生资产价格确定，那么作为它的衍生证 券的期权价格也将 随之确定 ．近年来 ，国际金融市场 中除 了人们熟知的标准期权外 ，还涌现了大量由标准 期权变化 、组合、派生出的新品种——变异期权．变异期权通常在场外市场交易 ， 其 中回望期权就是变异 期权的一种 ，该期权持有者在期权到期 日 可以观察期权有效期 内标的资产价格 的变化过程 ， 选择交易过程
５月
文章编 号 ：１ ０ ０ ７ — ９ ８ ３ １（ ２ ０ １ ３ ）０ ３ — ０ ０ １ ７ — ０ ３
回望期权 的三叉 树定价模型
史 凯莉
（ 南京 财经 大学 应 用数 学学 院 ，江 苏 南京 ２ １ ０ ０ ２ ３）
摘要 ：针对回望期权的定价 问题 ，通过建立三叉树模型得到 了回望期权的一种数值计算方法． 关键 词 ： 回望期权 ；三叉树 模 型 ；定价
Ａ Ｓ
—
： Ｑ ＋ （ ｗ （ ＋ ） 一 ｗ （ ） ） ， 利 用 伊 藤 积 分 ， 得 （ ｆ ） ： （ ） ｅ （ ｗ （ ｆ ）
ａ Ｗ （ ｔ ） － １ 是鞅 手 Ｊ （ Ｉ － ¨ 由于 ｅ
第３ ３ 卷 第 ３ 期
２ ０ １ ３正
高 师 理 科 学 刊
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｏ ｆ Ｔｅ ａ ｃ ｈ ｅ ｒ ｓ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ａ ｎ ｄ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
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布 朗 运 动 的 最 大 值 与 回 望 期 权
包晓光
（ 河南师范大学 数学与信息科学学院 。 河南 新 乡 ４ ３ Ｏ ） ５Ｏ ７ 摘要 ： 新型期权定价 中经 常遇到具有漂移 的布朗运动的最大值问题， 在 运用有限［ ， 时问段 的具 有漂移布 朗运 Ｏ列 动 的最 大值 的分布理论研究 回望期权。 得到 了回望期权的定价公武。
关 键 词 ： 有 漂 移 的布 朗运 动 ； 具 回望 期 权 ； 方 法 鞅
中图分类号 ：２ １６ ０ １．
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ： ０ —２ ９ （００ Ｏ Ｏ ４ ０ １ ８ ０ ３ ２ １ ） １一 Ｏ Ｏ一 ３ ０
回望期 权 的收 益 依 赖 于 标 的 资产 价 格 在 期 权 有 效期 内 的最 大值 或 最 小 值 。 回望 期 权 一 般 可 以分 为 两种类 型 ： 固定执 行价 格 回望 期权 和浮 动执 行 价格 回 ｅ 望期权 。 １７ ９ ９年 ， ｏ ｍａ Ｇ ｌ ｎ等 人 给 出 了 回望 期 权 的定 价 ｄ
种 是风 险资产 ： Ｓ ＝ ｓｄ ＋ ．扭 ｄ ｇ ｔ ｄ ｜ Ｓ Ｂ 是 （ ， Ｐ 上 的标 准 布朗运 动 ， ， ） 风险 中性 概率
一
依赖期 权 的数值 方法 ， 运用 二 叉 树方 法 讨论 了 回望期 Ｑ以及 Ｑ下 的布 朗运 动 Ｂ。 ｔ ， ＝Ｏｔ ｃ Ｂ 这 里 （） 扭 ｄ ＋ｒ ｄ 权 的定 价 问题 。王美 娇等 利 用 Ｌ ｐａｅ 变 换 求得 ａｌｃ 逆 坐 在 Ｑ下 ＝ ｄ ＋ 拈 ｔ 。期初 价格 。 首次击 中障碍 时刻 的概率 密 度 函数 ， 根据 首 中 时 的 再
＝
。
性质 ， 将求标 的资产价 格 的密 度 函数 转 化 为求 首 中 时 的密度 函数 ， 后利用 数 学期 望 求 出 欧式 回望 期 权 的 最 定价 公式 。本 文参考 了王 美 娇 等 的思 想方 法 ， 过 布 通
朗运 动 最大值 的分 布求得 其 密 度 函数 ， 后直 接 对 密 然 度 函数进 行 积 分 ， 而给 出 它 的定 价 公 式 。另 外 ， 从 固 定履 约价 的 回望 期权 比标 准 回望 期 权 简单 ， 便 于在 更 金融 市 场 中执 行 。本 文 仅 讨论 回 望 期 权 是整 个 期 权 有效 期 的欧式 固定执 行价 格 回望期权 。
公 式 ，这 一 公 式 于 １９ 年 又 被 Ｇ ｎｅ 和 ９１ ｏｚ Ｖｓ ａ ａ ａ 拉 重 新得 到并 加 以推广 。近 年来 ， 多学 ｉ ｎｔ ｎ ｗ ｈ 许
有Ｐ Ｉ ≤ｙ ＝ （（ ） ［
（
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ｏ ｒ√ ｌ
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２ 模 型假 设
仃
１ 布 朗运 动 的 最 大 值
（
命 题 ［Ｂ ｔ是定 义 在 （ ， Ｐ） 的标 准 布 朗运 ６ （） １ Ｆ， 上 动 ，≥０ ｛ 是 Ｂ（） ￡ ，Ｆ ｝ ｔ生成 的滤 子流 ， 标准 正态 分布 记
密度 函数及标 准 正态分 布 函数 （ 和 （ 。 ） ） ｉ 下 记 号 ：，￡ 。 ￡（ ） （）＝ｍ ｎ（ ） 类 似 地 ， ｌ ） Ｕ≤ ａ ｔ ， ｆ ０ ｌ ｔ ， （ ｍ ≤ｘ ５ ≤５ ≤
Ｏ０
（一 √ ｄ Ｉ
，
其中指数部分完全平方化 ：
其 中 ｄ：［ｎＳ ＋（ ＋ ． ／ １ ０ 丁） ０ ２
ｒ ＝
＋
０
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２
２
簪 ， ｏ ＝２— 一 十 － 一上 ｍ一 一 ２ 一．Ｌ ， ２ 一— （ Ｔ ０Ｌ ２ Ｔ
列 。 。 ／ ） ＋ｔ ］ 一（ Ｔ＋． 。 Ｉ ｔ Ｔ
第２８卷 第 １月 ｌ ０年 ０１ 期 ０ １
Ｊ ｒ ｌｆ 蚴 ｏｎ Ｈ ｕ ａ０
，南机 电膏等专科学校学报 ・ 季
Ｊｓａｋ ｌｎ ｈ ｔａ ｎｉ ｉ ｉｇ ＆￣ ａ ａａｄｇ ｅｋ ｌ ｇ 耐 ｎ Ｃ ｌ ｅ ｈ ｌ Ｅ ｎ ｇ ￣ｅ
Ｖ０ ． ８ № ． １１ １
Ｊｎ ２ ｌ ａ ．ＯＯ
作 ： 光１１，， 舞 人助 ， ， 从 产 组 理 与 融 研 。 者 翟 ． 南 萋 介 （８ 男河 阳 ， 硕 主 事 业 织 论 金 学 究 简 包 ９一 晓 ） 教士要
包晓光 ： 布朗运动的最大值与 回望期 权
一
）一 （ ） ｄ］
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‘
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＋ ～（ 一 一 ＋ ＿＋ ） ｒ １ （ ｄ ） （
市 场有 两种 资产 ： 种是 无风 险资产 ： ｅ Ｂ ＝
一
者在 Ｂ—ｓ模 型 的基 础 上 ， 讨 出 了许 多关 于求 解 回 探 望期 权 的数 学 方法 。如 姜礼 尚 Ｌ通 过 解 偏 微 分 方 程 ３ 得到 回望期 权 的定 价 公 式 。戴 民【 详 细 给 出 了路 径 ４
－
．．Biblioteka Ｓ ＝Ｓｅｐ （ ｏｘ［ 卜
］＋ ｚ
］＝Ｓｅｐ ， ｏｘＹ，
其 中 ＝（ ） ＋ 一 ｆ
．－ ｚ ｉ ／ ＝卜 ￣
由（ ） １ 式可以得到布朗运动最大值的密度函数 ：
＝ ＝
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一
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７／ （ ＃ｏ ｙ－
ｆ 、。 ｒ ｝ｌ ’
］
） （） ２
３ 固 定履 约 价 的 回 望期 权 的定 价
定理 到期 １为 ， 约 价 Ｋ（ 设 Ｓ ＜Ｋ） 固 ３ 履 假 。 的
定 履约 价 回望看涨 期权 的价 值为 ：
面有． ｔ ，（） 。 ｓ ） ． ｔ等 （ ｓ
令 】 ＋ｏ ｆ ， ）＝ （ － ） Ｂ（
Ｃ：ｏｄ （ ｓ（）２Ｔｄ ２ｂ） １ ） 妻２ －（ Ｓ（＋ 一 。 ｒ ｒ ｑ ［ ／ ￣ ＇ ｅ
＝ ～
证明： 由风 险 中性定 价 的鞅 方法 可 以得 到 固定 履 约价 回望 看涨期 权 的价值 为 ：