兰彻斯特方程
兰彻斯特方程公式
兰彻斯特方程公式如下：又称兰彻斯特战斗理论或战斗动态理论，是应用数学方法研究敌对双方在战斗中的武器、兵力消灭过程的运筹学分支。
1915年，英国工程师F.W.兰彻斯特在《战斗中的飞机》一文中，首先提出用常微分方程组描述敌对双方兵力消灭过程，定性地说明了集中兵力的原理。
1945年，J.H.恩格尔撰文肯定了兰彻斯特定律的实践意义。
他曾经根据在第二次世界大战中美军攻占日军防守的琉璜岛之役的作战数据，计算了各方的消灭率系数，且用这两个系数结合美军的兵力增补率构成一个特殊的兰彻斯特方程。
它的数值解相当准确地与该次作战中的实际兵力变化进程相吻合。
从此，这门理论得到不断发展。
它主要研究两类问题：一是作战对抗过程的描述，即根据典型的对抗态势和火力条件建立兵力消灭过程的微分方程组及其解法，借以预测作战进程和获胜条件；二是战术策略的优化，即寻找投入兵力、分配火力和支援保障行动等的最优策略序列。
兰彻斯特方程假设甲、乙两方在t时拥有的现存实力（或者比率，即现存的与初始的实力之比）分别为x、y，且在单位时间内被对方一个实力单位所消灭的实力单位分别为α、b，称作消灭率。
双方实力单位不能同时被消灭，而且从已被消灭的实力单位向现存实力单位转移火力的时间为零。
于是，假设单位时间内火力对抗次数为G(t)，则双方的实力变化可表述为：初始条件为x(0)=x0，y(0)=y0。
这就是兰彻斯特方程。
在引入甲方对乙方的损失比E=α/b后，由，立刻解得。
这个等式称为兰彻斯特平方律。
显然，x≥0，y=0表示甲方获胜，且由平方律可知，甲方获胜条件为：。
类似的，可写出乙方获胜条件。
1940年，B.O.库普曼求得上述微分方程的显式表示式：，，式中；chτ，shτ是τ的双曲函数。
推广型兰彻斯特方程为适应其他形式的对抗态势和火力条件，又发展了兰彻斯特方程的几种推广型式(初始条件一般不变)。
含自然损失与兵力补充率的兰彻斯特方程它可表述为式中α、β分别表示由于自然环境(包括敌方破坏的)条件引起甲、乙方每一实力单位的损失率，p，q分别表示各方实力的补充率。
基于文献计量兰彻斯特方程的研究综述
基于文献计量兰彻斯特方程的研究综述摘要本文运用文献计量法对1984-2022年间知网中收录的关于兰彻斯特方程的研究文献进行了统计分析，研究了发文数量与机构、关键词及研究主题的分布情况，根据对已有文献的梳理，了解到近40年来国内学者关于兰彻斯特方程的研究主要是在作战模型上，方法从常微分方程到随机微分方程，从理论研究到仿真模拟，对未来作战模型研究有待从内容的持续性、纵深程度及著者机构的合作上有所突破。
关键词兰彻斯特方程；文献计量法；文献综述兰彻斯特方程是由英国汽车工程师兰彻斯特（nchester）于1914年提出的，他是第一个对战斗过程中对抗双方的力量关系进行系统分析地数学分析的科学家。
兰彻斯特方程详细考虑了战斗过程中的各种可量化的因素，用反映连续变量特点的一组微分方程描述战场系统的变化，揭示双军交战过程中，战斗力损耗随时间变化的规律。
用这种方式建立起来的各种形式的微分方程统称为兰彻斯特方程。
兰彻斯特方程基本形式有兰彻斯特线性律、平方律和抛物律。
目前兰彻斯特方程相关的文献研究主要是构建作战模型，模型从常微分方程到随机微分方程。
应用领域也十分广泛，从解放军到武警部队，从无人化作战到信息化作战，如基于兰彻斯特方程离散化的现代海战效能研究、基于兰彻斯特方程的处置大规模群体性事件模型分析、无人机协同作战兰彻斯特方程设计与作战进程预测、基于兰彻斯特方程的信息战模型改进研究等。
1.数据来源与研究方法本文研究所选取的162篇文献数据来源为中国知网（CNKI）学术期刊，检索条件：主题为“兰彻斯特方程”，时间区间是1984-2022年，期刊来源类别是“CSSCI”，检索方式为“精确”，检索更新时间为2022 年4月5日。
文献计量学是以文献体系和文献计量特征为研究对象，采用数学、统计学等计量方法，研究文献情报的分布结构、数量关系、变化规律，并进而探讨其特征和规律的一门学科。
本文运用文献计量学对下载文献进行量化与质化分析，在描述外显特征的基础上，结合发展背景，对研究视角与热点等进行动态追踪，把握研究脉络，思考未来发展。
兰彻斯特方程法
兰彻斯特方程法
兰彻斯特方程法是一种描述粒子在流体中运动的方程组，它是由英国物理学家弗雷德里克·兰彻斯特（Frederick Lanchester）于1910年提出的。
这种方程法在流体力学和颗粒物理学中有着广泛的应用。
兰彻斯特方程法的基本方程是由牛顿第二定律和斯托克斯定律组成的。
牛顿第二定律描述了粒子的加速度与受到的力之间的关系，而斯托克斯定律则描述了流体对粒子施加的阻力与粒子的速度、流体的密度和粘度之间的关系。
通过这些方程，可以描述粒子在流体中的运动轨迹、速度和加速度等物理量。
兰彻斯特方程法通常被用于计算粒子在流体中的扩散和输运过程。
在许多实际应用中，例如化学工程、环境科学和医学等领域，都需要了解这些过程。
例如，在化学工程中，兰彻斯特方程法可以用于计算反应器中粒子的混合和反应速率；在环境科学中，可以用于研究大气中污染物的扩散和传播；在医学中，可以用于研究药物在体内的输运和分布。
除了在流体力学和颗粒物理学中的应用，兰彻斯特方程法还可以用于描述其他领域中的粒子运动问题。
例如，在电磁学和量子力学中，也可以通过类似的方法来描述粒子的运动。
这使得兰彻斯特方程法成为了一个广泛应用于物理学各个领域的工具。
总之，兰彻斯特方程法是一种描述粒子在流体中运动的方程组，它通过牛顿第二定律和斯托克斯定律来描述粒子的加速度和阻力之间的关系。
这种方程法在流体力学、颗粒物理学以及其他领域的粒子运动问题中都有着广泛的应用。
基于EINSTein 的兰彻斯特方程验证
基于EINSTein 的兰彻斯特方程验证摘要院未来战争的复杂性决定了运用作战仿真的方法来研究战争是必要的。
本文首先介绍了兰彻斯特方程和EINSTein 仿真实验平台两种作战仿真方法，之后，运用EINSTein 仿真实验平台对兰彻斯特方程模型进行了仿真实验的验证，验证结果表明了运用计算机作战仿真软件和传统的兰彻斯特数学模型来模拟战争的一致性。
Abstract院The complexity of the future war determines the necessity to research war by using combat simulation. This paper firstlyintroduces Lanchester Equation and EINSTein simulation experiment platform the two combat simulation methods, then, utilizes EINSTeinsimulation experiment platform to verify Lanchester Equation model. The results indicate the consistency of utilizing computer combatsimulation software and traditional Lanchester mathematic model to simulate war.关键词院兰彻斯特方程；EINSTein；仿真实验Key words院Lanchester Equation；EINSTein；simulation experiment中图分类号院TP391.9 文献标识码院A 文章编号院1006-4311（2014）27-0216-030 引言未来战争的战场上，多军兵种的联合作战是一种必然趋势，随着战争的复杂性越来越高，影响战争的因素也越来越多，如何更好地了解影响战争的各方面因素以及各因素之间如何相互作用，就必须要找到相应的办法和手段。
第六章 兰切斯特战斗理论(用)
6.1 兰切斯特第一线性律
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例题
例2 假定红、蓝双方各有12名步兵交战，地形条件迫使他 假定红、蓝双方各有12名步兵交战 名步兵交战， 们以一对一方式进行战斗， 们以一对一方式进行战斗，蓝方的武器对红方步兵的杀伤率是 平均每10分钟一个 而红方的武器较低劣， 分钟一个， 平均每10分钟一个，而红方的武器较低劣，射击技术也不如蓝 他们对蓝方步兵的杀伤率为每15分钟一个 问题是谁取胜； 分钟一个。 方，他们对蓝方步兵的杀伤率为每15分钟一个。问题是谁取胜； 当一方被消灭时，另一方还幸存多少人；战斗要打多久； 当一方被消灭时，另一方还幸存多少人；战斗要打多久；在什 么时候双方的兵力比值是2 么时候双方的兵力比值是2：1？
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6.2 兰切斯特第二线性律
兰切斯特第二线性律方程 dx(t ) dt = −αxy dy (t ) = − βxy dt
α —单位时间内蓝方每一战斗单位毁伤红方战斗单位的
相对数量 β —单位时间内红方每一战斗单位毁伤蓝方战斗单位 的相对数量
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6.2 兰切斯特第二线性律
第二线性律战斗过程的状态方程 β ( x0 − x) = α ( y 0 − y ) 第二线性律的解 x(t ) = − x0 (k − 1) e −ay0 ( k −1)t − k − y0 (k − 1)e −ay0 ( k −1)t y (t ) = e −ay0 ( k −1) t − k βx k= 0 αy0 为红方对蓝方的初始总战斗力之比 蓝方对红方的瞬时兵力比为
y0 = x0
β
α
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6.1 兰切斯特第一线性律
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兵力转机时刻
图中蓝方取得胜利： 图中蓝方取得胜利： x0 > y0 ，在时 差值改变符号， 刻T的前后 x − y 差值改变符号，T称 兵力转机时刻。 为兵力转机时刻。求交叉点即可确 对第一线性律， 定T。对第一线性律，若令
兰斯特方程
可不是大家想象的50人哦。
根据方程计算，100的平方是10000，50的平方是2500，10000-2500=7500，再把7500开平方，得87人，答案就是100-87=13人。
给大家介绍数学上的一个方程：兰彻斯特方程。
大家自己摆渡一下，我就不贴了。
我只是想说，兰彻斯特方程揭示了数量是最广泛、最基本的优势这个道理，用俗话说就是“双拳难敌四手，好汉架不住人多”。
我们浅谈一下这个方程的一个最简单的假设：假设战斗条件下,红、蓝两军交战，双方各自装备同类武器，除了军队的数量不同，其他什么条件都是一样一样的，也没有增援。
也就是说红方100人在同样的条件下杀光蓝方50人，只会死13个人！！！
很恐怖吧。
想想中国和俄罗斯的人口差距，以及中国目前的工业生产能力，中国人只要团结一心，有必要怕老毛子的复兴吗
1915年，英国工程师F.W.兰彻斯特在《战斗中的飞机》一文中，首先提出用常微分方程组描述敌对双方兵力消灭过程，定性地说明了集中兵力的原理。 开始是用于分析交战过程中的双方伤亡比率，后用途逐渐推广。
兰切斯特方程证明，相同战斗力和战斗条件下，1000对2000人作战。几轮战斗下来。多方只要伤亡268人就能全歼1000人的队伍，兰切斯特方程特别适用于现代战争中分散化军队和远程火炮配置发生的战斗，远距离战斗比如炮战、空战、舰队海战很可能出现兰切斯特方程的理想情况。
远距离交战的时候，任一方实力与本身数量成正比，即兰切斯特线性律。 在近距离交战的时候，任一方实力与本身数量的平方成正比，即兰切斯特平方律。
战争实践表明，提高质量是部队建设的基本要求，在部队数量相差不大的情况下，质量高者获胜，质量差者失败；倘若不能形成同一质量层次的对抗，处于劣势的一方纵有再多的飞机、坦克、大炮，也可能失去还手之力。假定A的单位战斗力是B的一半，但是数量是B的三倍。假定B有1000人，A有3000人。如果是面对面的战斗，A方损失264人即可消灭掉B方的1000人。现在A需要先接近B在进行面对面的战斗，按兰切斯特线性律，A付出1000人的代价歼灭B500人以后接近，在2000对500的近战中，付出187人的代价歼灭B方500人，总损失1187人对1000人。兰切斯特方程没有考虑战场上的许多要素，并不完全，对局部的战役有参考价值，对整个战争的结局无能为力。兰切斯特方程在战争摸拟的时候会被经常使用，恩格尔曾经使用兰切斯特方程摸拟硫磺岛战役，计算结果与事实非常接近.
灰数兰彻斯特方程
１ 灰 色 层 次方 法
灰 色层 次方法是 把层 次方 法和灰 色理 论结 合起 来， 用灰 色系统 来计 算不 同层 的权值 。步 骤如下 ： １ 建 立层 次 结构 模 型 ， ） 运用 层 次 分 析方 法进 行 系统 分析 ， 立如 图 １ 示 的评 估 对 象 的递 阶层 次 建 所
判断 。为此 要将 总 目标分 解为 各级准 则 、 准则 ， 子 直 到相 当具 体 、 观 ， 可 以直 接或 者 间接 地应 用 （ 直 并 属 性 的性 能 、 数 ） 表 征 的层 次 为止 。这 种层次 的量 参 来 化 关 系不 一 定是 线 性关 系 ， 用 数值 分 析方 法 提供 在
结 构模 型 。
目标 层 Ｐ
一
白化 权 函数 转 折 点 的值称 为 阈值 ， 以按 照 准 可
则 或者 经验 获得 ， 也可 以用类 比的方法 获得 。
ｉ
５求出灰色评估系数。 ＝ 。： （ ） ５ ） （ ， ｃ ｅ ｒｃ ） ｍ）
Ｉ— １ 。 — 。 ＝ 。
算例 。
关 键 词 ： 战 能 力 评 估 ， 战 模 拟 ， 次 分 析 法 ， 色 模 型 作 作 层 灰
中 图分 类 号 ： Ｐ ９ ． Ｔ ３１９ 文 献标 识 码 ： Ａ
Ｇｒ ｙ Ｎｕ ｂ ｒ ｎｃ ｓ ｅ ｕ ｔｏ ａ ｍ ｅ ｓ Ｌａ ｈｅ ｔ ｒ Ｅｑ ａ ｉ ｎ
一
收 稿 日期 ：０ １０ —２ ２ １— １２
修 回 日期 ：０ １０ —８ ２ １— ３０
般 比较含 糊 、 笼统 、 抽象 ， 不便 于量化 、 测算 、 比较 、
＊基 金 项 目 ： 家 “ ６ ” 划 基 金 （ ０ ６ 国 ８ ３计 ２ ０ ＡＡＯ Ｚ ３ ） 海 军 装 １３７ ；
兰彻斯特方程的作战应用及展望
1914年,英国人兰彻斯特在英国《工程》杂志上发表的一系列文章,在进行了一定简化的前提下成功建立了能够揭示交战过程中双方兵力变化关系的微分方程组。
随着军事变革的不断深化,兰彻斯特方程必将在未来联合作战的指挥控制、消耗评估等领域发挥更大作用。
1两种基本形式的兰彻斯特方程兰彻斯特方程按照变量取值连续与否可以分为确定型兰彻斯特方程和随机型兰彻斯特方程。
1.1确定型兰彻斯特方程确定型兰彻斯特方程是一组常微分方程(ODE)所组成的数学模型。
兰彻斯特方程最早用来模拟空战,令状态变量和分别表示在时刻时,蓝方和红方剩余飞机的数量,比例常数和表示在单位时间内,每架剩余飞机击落的对方飞机的数量。
⎧⎩⎨(1)将时间离散化,令时间增量为Δ,用差分方程取代微分方程,则与式(1)相对应的差分方程为:{(2)将给定和的初始值并代入式(2),即可确定和),继而求出和,以此类推直至达到终止条件。
当ODE 只涉及两个状态变量时,可通过取导数的比来消去时间变量,对式(1)的情形,结果为:(3)分离变量后可得到,其中C 为常数。
若和初始值已知,分别为和时,则有:(4)将和定义为双方的“战斗力”,那么拥有更强战斗力的一方将赢得战斗胜利,同时用式(4)可以预测任意时刻双方剩余兵力的数量。
因为战斗力取决于战斗单位数量的平方,故将式(1)称为兰彻斯特“平方律”。
平方律也称为“直瞄射击”律,因为双方损失战斗单位的速率跟各自战斗单位的数量没有任何关系。
如果双方目标很难发现,只是向某个区域射击,可以预料各自的损失,既跟也跟成正比,将这种情况称为“间瞄射击”,其ODE 为:⎧⎩⎨(5)通过取导数的比消去中的时间,得到方程,其求解结果为:(6)现在蓝方战斗力为,红方战斗力为,即每一方的初始战斗人员数和杀伤力系数的乘积。
由于只涉及初始兵力数的一次方,因此间瞄模型也称为“线性律”。
1.2随机型兰彻斯特方程采用欧拉方法求解确定型兰彻斯特方程时,时间增量Δ为一个理想的小数。
兰彻斯特方程,
兰彻斯特方程，
摘要：
1.兰彻斯特方程的定义与背景
2.兰彻斯特方程的应用领域
3.兰彻斯特方程的实际应用案例
4.兰彻斯特方程的局限性和未来发展
正文：
兰彻斯特方程，是数学物理学中的一个重要方程，主要用于描述两个正弦波相互叠加所产生的振幅随时间变化的规律。
这个方程最早由英国数学家菲利普·兰彻斯特（Philip Lancaster）在19 世纪末提出，后来经过一系列的发展和完善，已经成为了今天我们所熟知的兰彻斯特方程。
兰彻斯特方程的应用领域非常广泛，包括声学、光学、通信系统、神经科学等。
在这些领域中，兰彻斯特方程可以帮助我们理解和预测各种波的传播和叠加现象。
例如，在声学中，兰彻斯特方程可以帮助我们研究两个声波相互叠加时，声场的振幅分布规律；在光学中，兰彻斯特方程可以帮助我们理解和预测光的干涉现象。
兰彻斯特方程的实际应用案例也非常丰富。
例如，在通信系统中，兰彻斯特方程可以帮助我们研究和解决多径效应问题，从而提高通信系统的信号传输质量。
在神经科学中，兰彻斯特方程可以帮助我们理解神经元发放电脉冲的规律，这对于研究大脑的工作机制具有重要意义。
然而，兰彻斯特方程也有其局限性。
例如，兰彻斯特方程只能描述两个正
弦波相互叠加的情况，对于其他类型的波，兰彻斯特方程并不能适用。
此外，兰彻斯特方程的求解过程也比较复杂，需要一定的数学技巧。
总的来说，兰彻斯特方程是一个非常重要的数学物理方程，它在各个领域都有广泛的应用。
数值策划 兰彻斯特方程
数值策划兰彻斯特方程兰彻斯特方程（Lanchester's Equations）是军事战略家弗雷德里克·兰彻斯特（Frederick Lanchester）提出的一组微分方程，用于描述战斗中的兵力消耗和胜负关系。
这组方程通常用于模拟和分析战争中的战斗动态，包括兵力分配、战斗持续时间以及胜负结果。
兰彻斯特方程有两种基本形式：线性兰彻斯特方程和平方兰彻斯特方程。
线性兰彻斯特方程（Linear Lanchester Equation）：这个方程假设战斗中的每一方都拥有相同的战斗力，即每单位兵力造成的伤害是恒定的。
[ \frac{dA}{dt} = -kB ][ \frac{dB}{dt} = -kA ]其中，( A ) 和( B ) 分别代表两个战斗方的兵力，( k ) 是一个常数，代表每单位兵力在单位时间内造成的伤害。
这个方程表明，每一方的兵力都随时间以对方兵力的线性函数减少。
平方兰彻斯特方程（Square Lanchester Equation）：这个方程假设战斗中的每一方都拥有不同的战斗力，即每单位兵力造成的伤害与对方剩余兵力成正比。
[ \frac{dA}{dt} = -kB^2 ][ \frac{dB}{dt} = -kA^2 ]这个方程表明，每一方的兵力都随时间以对方兵力的平方的线性函数减少。
这反映了在战斗中，随着一方兵力的减少，另一方能够更有效地利用其剩余的兵力。
为了进行数值策划（例如，在游戏设计中模拟战斗），可以使用这些方程来预测战斗的结果。
通常，你需要知道初始的兵力分配、战斗力和战斗持续时间等参数。
然后，你可以使用数值方法（如欧拉方法、龙格-库塔方法等）来解这些微分方程，从而得到战斗过程中兵力随时间的变化情况。
请注意，兰彻斯特方程是一种简化的模型，它忽略了许多现实世界中战斗的复杂性，如战术、地形、士气等因素。
因此，在实际应用中，你可能需要根据具体情况对模型进行调整和扩展。
兰彻斯特方程的作战应用及展望
兰彻斯特方程的作战应用及展望作者：吕游曹继锴来源：《科技视界》2015年第29期【摘要】兰彻斯特方程又称兰彻斯特战斗理论或战斗动态理论，是应用数学方法研究敌对双方战斗中兵力消耗过程的运筹学分支。
本文对兰彻斯特方程的基本理论和作战应用研究进行介绍和归纳，并对兰彻斯特方程在未来联合作战指挥决策中的应用做出展望。
【关键词】兰彻斯特方程；作战应用；展望1914年，英国人兰彻斯特在英国《工程》杂志上发表的一系列文章，在进行了一定简化的前提下成功建立了能够揭示交战过程中双方兵力变化关系的微分方程组。
随着军事变革的不断深化，兰彻斯特方程必将在未来联合作战的指挥控制、消耗评估等领域发挥更大作用。
1 两种基本形式的兰彻斯特方程兰彻斯特方程按照变量取值连续与否可以分为确定型兰彻斯特方程和随机型兰彻斯特方程。
1.1 确定型兰彻斯特方程确定型兰彻斯特方程是一组常微分方程（ODE）所组成的数学模型。
兰彻斯特方程最早用来模拟空战，令状态变量和分别表示在时刻时，蓝方和红方剩余飞机的数量，比例常数和表示在单位时间内，每架剩余飞机击落的对方飞机的数量。
1.2 随机型兰彻斯特方程采用欧拉方法求解确定型兰彻斯特方程时，时间增量Δ为一个理想的小数。
计算结果未必是整数，而实际伤亡必然是整数，这就导致随机型兰彻斯特方程的产生。
2 兰彻斯特方程作战应用研究现状兰彻斯特方程主要用于解决两类问题：一是作战对抗过程的描述，二是作战策略的评估优化。
2.1 作战对抗过程中的描述一是，兵力、装备战损量预测。
兵力、装备战损量预计是作战中必须考虑的问题，运用兰彻斯特方程是一个很好的解决途径。
兰彻斯特方程被广泛应用于飞机对抗、舰船对抗、炮兵对抗等作战中的战损预测，并出现了很多改进模型。
针对不同类型的战损问题，由于不同军兵种的作战影响因素各不相同，产生了很多对兰彻斯特方程的改进模型。
如：基于指数多元兰彻斯特方程的装备战损量预计模型、基于兰彻斯特方程的聚合级实体损耗模型等。
兰彻斯特方程,
兰彻斯特方程，
【最新版】
目录
1.兰彻斯特方程的定义和背景
2.兰彻斯特方程的应用
3.兰彻斯特方程的局限性
正文
兰彻斯特方程，是经济学中描述市场需求和价格之间关系的一个重要方程。
该方程由英国经济学家兰彻斯特（Rancher）在 19 世纪末提出，是微观经济学领域的一个重要理论成果。
兰彻斯特方程的应用主要体现在以下几个方面：
首先，它有助于我们理解市场需求和价格的关系。
根据兰彻斯特方程，市场需求量和价格呈反比例关系，也就是说，当价格上涨时，市场需求量会下降，反之亦然。
这一理论有助于我们更好地理解市场供需关系，从而对市场价格进行有效预测。
其次，兰彻斯特方程在实际经济政策制定中也有重要应用。
通过兰彻斯特方程，政府可以预测价格变动对市场需求的影响，从而制定出更加合理的经济政策。
然而，兰彻斯特方程也存在一些局限性。
首先，该方程是基于一些理想化的假设提出的，例如市场是完全竞争的，消费者是理性的等，这些假设在现实中并不总是成立。
其次，兰彻斯特方程忽略了其他可能影响市场需求的因素，例如消费者的收入、偏好等，这些因素在现实中也会对市场需求产生影响。
第1页共1页。
登陆作战的多维战斗力指数—兰彻斯特方程
登陆作战的多维战斗力指数—兰彻斯特方程1. 引言介绍登陆作战的重要性，阐述多维战斗力指数的概念和重要性。
引入本论文探讨的兰彻斯特方程。
2. 兰彻斯特方程的概述简述兰彻斯特方程的历史和原理。
阐述方程中涉及的变量和参数。
3. 多维战斗力指数的计算方法介绍多维战斗力指数的计算方法和应用场景。
阐述在登陆作战中如何利用该指数评估战斗力。
4. 兰彻斯特方程在登陆作战中的应用将兰彻斯特方程应用到登陆作战中，介绍如何利用该方程计算多维战斗力指数。
讨论方程中各变量和参数对于登陆作战中的重要性和影响，包括兵力数量、武器装备、情报获取等。
5. 结论和展望总结本论文研究成果，指出本研究的局限性和不足。
提出未来进一步研究的方向，如如何优化兰彻斯特方程中的变量和参数，针对不同类型的登陆作战场景进行计算等。
引言登陆作战作为近代战争中的一种战斗形式，是一种以海上部队突然出现在某处海岸线并实施立足点攻击，控制一个区域，形成敌后威胁，迫使敌人集中兵力进行抢夺和防御的战斗。
登陆作战是复杂的，需要高度的战争协同和多维度的战斗力支撑。
多维战斗力指数是评估军队战斗力的一种常用方法，它可以量化各项战斗力因素的重要程度并加以综合评价，以便制定出有效的战斗计划。
多维战斗力指数可以涵盖很多方面，如兵力、武器装备、训练水平、情报等等。
在评估登陆作战时，多维战斗力指数的应用尤为重要，因为登陆作战需要各种不同的战斗力元素的协调和支持。
然而，尽管多维战斗力指数在许多领域都被广泛应用，但如何将其应用到登陆作战领域并形成可实际操作的指标体系，仍然需要系统的探讨和研究。
在本论文中，我们将阐述一种基于兰彻斯特方程的登陆作战多维战斗力指数的计算方法。
在下面一系列的章节中，我们将依次讲解兰彻斯特方程的概述，多维战斗力指数的计算方法，兰彻斯特方程在登陆作战中的应用，并总结研究成果和展望未来的研究方向。
总之，本研究的目标是为军事领导者和军事策略制定者提供一种有效的决策支持方法，以便使战争决策能够更加精确、全面和合理。
兰彻斯特方程
§17.4 兰彻斯特作战模型[学习目的]1. 能建立兰彻思特作战模型问题的数学模型；2. 会求解兰彻思特作战模型问题的数学模型；3.能用兰彻思特作战模型问题的数学模型解决一些实际问题。
问题： 两军对垒，现甲军有m 个士兵，乙军有n 个士兵，试计算战斗过程中双方的死亡情况以及最后哪一方失败？这个问题提得很模糊，因为战争是一个很复杂的问题，涉及因素很多，如兵员的多少，武器的先进与落后，两军所处地理位置的有利与不利，士气的高低，指挥员的指挥艺术，后勤供应状况，气候条件等诸多原因。
因此，如果把战争所涉及到的因素都要考虑进去，这样的模型是难以建立的．但是对于一个通常情况下的局部战争，在合理的假设下建立一个作战数学模型，读者将会看到得出的结论是具有普遍意义的。
在第一次世界大战期间，F ·W 兰彻斯特（Lanchester ）投身于作战模型的研究，他建立了一些可以从中得到交战结果的数学模型，并得到了一个很重要的“兰彻斯特平方定律”：作战部队的实力同投入战斗的战士人数的平方成正比。
对于一次局部战斗，有些因素可以不考虑，如气候，后勤供应，士气的高低，而有些因素我们把双方看成是相同的，如武器配备，指挥艺术。
还可简单地认为两军的战斗力完全取决于两军的士兵人数。
两军士兵都处于对方火力范围内，由于战斗紧迫，短暂，也不考虑支援部队。
一、 正规战模型：令()X t 表ｔ时刻甲军人数,()y t 表ｔ时刻乙军人数：在以上假设下，显然甲军人数的减员率与乙军人数成正比，同样乙军减员率与甲军人数成正比．可得正规部队对正规部队的作战模型为dxdt aydydtbx =-=-⎧⎨⎪⎩⎪ (1)其中a > 0，b > 0均为常数，积分（1）得ay bx ay bx c 220202-=-= (2)这就是“兰彻斯特平方定律”，（2）式在X-Y 平面上是一族双曲线。
如图17.8所示，双曲线上的箭头表示战斗力随着时间而变化的方向。
关于战争的数学模型——兰彻斯特方程
关于战争的数学模型——兰彻斯特方程青少年的时候一直很喜欢看和战争相关的书籍和影视作品，再长大后也尝试的去了解下相关的军事理论书籍。
自己大致的感受就是那些成功的军事家或者将领都是运气加持的天才，在指挥千军万马时智慧和艺术都发挥到了极致。
像孙子兵法这样的经典军事著作也是赋予了文化和哲学的意义，和数学是似乎扯不到关系的。
直到前段时间碰巧看到了一篇网文提到了兰彻斯特平方法则（Lanchester's Squared Law），了解到几个简洁的方程式竟然可以漂亮的解释双方战斗中数量和质量对结果的影响。
以此为基础，近百年中学者们有进一步开发出了更加复杂的战争模型和计算机为基础的模拟战争系统。
作为一名数学模型爱好者，我忍不住继续探索了一下这个兰彻斯特法则的来源和含义。
兰彻斯特全名叫Frederick W. Lanchester，是20世纪英国的一位多才的工程师。
他在观察第一次世界大战后，对刚刚出现的空战产生了浓厚的兴趣。
他在自己的著作中不仅大胆的预测空军会成为一个重要的新型军事力量，还用数学公式推演出空中战斗单位的数量和质量对战斗结果的影响[1]。
这个数学公式也被称为兰彻斯特方程式，可以被看成现代各种战争或者战斗的数学模型的鼻祖。
兰彻斯特方程式最基本的微分形式如下[2]：dB/dt=-rRdR/dt=-bB其中R代表红军的数目，B代表蓝军的数目，r代表红军的单位战斗效率，b代表蓝军的单位战斗效率。
假设理想情况下，每一方的战斗单位力量可以直接连续攻击到对方的所有成员，而不受地形或者火力范围的限制，一方的损失速度就等于对方数目和单位战斗效率的乘积。
通过一些推演，这个方程式得到的通用解为：r[R(t)^2-R(0)^2]=b[B(t)^2-B(0)^2].如果两军力量旗鼓相当，战斗结果是同归于尽，那么所需要的初始条件要满足rR(0)^2=bB(0)^2这个关系是就是所谓的兰彻斯特平方法则，揭示战斗力量和单位战斗效率有着线形关系而和单位数量有着平方关系。
兰彻斯特方程,
兰彻斯特方程引言兰彻斯特方程（Langmuir equation）是描述气体分子在固体表面吸附现象的数学模型。
它由物理化学家Irving Langmuir于1918年提出，被广泛应用于表面科学、材料科学以及环境科学等领域。
兰彻斯特方程通过描述吸附现象的动力学过程，帮助我们理解和预测吸附行为的规律。
方程表达式兰彻斯特方程可以用以下数学表达式表示：其中，θ表示被吸附分子所占据的表面积比例，P表示气相中被吸附分子的压力，P0表示饱和蒸汽压力，K是一个与吸附过程有关的常数。
方程解释兰彻斯特方程通过平衡条件来描述气体分子在固体表面上的吸附行为。
当气相中存在一定压力时，气体分子会与固体表面发生相互作用，并被吸附在表面上。
兰彻斯特方程通过平衡吸附分子在表面上的吸附速率与解吸速率，建立了吸附分子与气相之间的平衡关系。
方程中的K值可以被解释为吸附和解吸反应速率之比。
当K越大时，表明吸附反应速率远大于解吸反应速率，即吸附过程更加有利。
而当K越小时，解吸反应速率远大于吸附反应速率，即解吸过程更加容易发生。
方程应用兰彻斯特方程广泛应用于科学研究和工程实践中。
以下是一些兰彻斯特方程的常见应用：吸附等温线兰彻斯特方程可以描述气体分子在固体表面上的等温吸附行为。
通过测量不同压力下的θ值，可以绘制出气体分子在不同温度下的吸附等温线。
这些等温线可以帮助我们了解气体与固体界面上的相互作用强度以及表面结构对吸附行为的影响。
吸附热兰彻斯特方程还可以用于计算吸附过程中的吸附热。
根据方程，当气相中的压力变化时，θ值也会发生变化。
通过测量不同温度下的θ-P曲线斜率，可以计算出吸附过程的热力学参数，如吸附热和活化能。
表面积测量兰彻斯特方程还可以用于表面积测量。
根据方程，当气相中的压力足够低时，θ值趋近于1，表明几乎所有的表面都被吸附分子所占据。
通过测量饱和蒸汽压力和K值，可以计算出单位面积上被吸附分子所占据的数量，从而估计出固体材料的比表面积。
兰切斯特方程
兰切斯特方程 又称兰彻斯特战斗理论或战斗动态理论，是应用数学方法研究敌对双方在战斗中的武器、兵力消灭过程的运筹学分支。
1915年，英国工程师F.W.兰彻斯特在«战斗中的飞机»一文中，首先提出用常微分方程组描述敌对双方兵力消灭过程，定性地说明了集中兵力的原理。
开始是用于分析交战过程中的双方伤亡比率，后用途逐渐推广。
兰切斯特方程证明，相同战斗力和战斗条件下，1000对2019人作战。
几轮战斗下来。
多方只要伤亡268人就能全歼1000人的队伍，兰切斯特方程特别适用于现代战争中分散化军队和远程火炮配置发生的战斗，远距离战斗比如炮战、空战、舰队海战很可能出现兰切斯特方程的理想情况。
在1914年，英国人兰切斯特nchester研究空战最正确编队，发现了兰切斯特方程。
远距离交战的时候，任一方实力与本身数量成正比，即兰切斯特线性律。
在近距离交战的时候，任一方实力与本身数量的平方成正比，即兰切斯特平方律。
兰彻斯特的战斗力方程是：战斗力=参战单位总数单位战斗效率。
它说明：在数量达到最大饱和的条件下，提高质量才可以增强部队的战斗力，而且是倍增战斗力的最有效方法。
在高新科学技术的影响下，军队的数量、质量与战斗力之间的关系已经发生了根本性变化：质量居于主导地位，数量退居次要地位，质量的优劣举足轻重，质量占绝对优势的军队将取得战争的主动权。
一般说来，高技术应用在战场上形成的信息差、空间差、时间差和精度差，是无法以增加普通兵器和军队数量来弥补的；相反，作战部队数量的相对不足，却可以高技术武器装备为基础的质量优势来弥补，即通过提高单位战斗效率来提升战斗力。
战争实践说明，提高质量是部队建设的基本要求，在部队数量相差不大的情况下，质量高者获胜，质量差者失败；倘假设不能形成同一质量层次的对抗，处于劣势的一方纵有再多的飞机、坦克、大炮，也可能失去还手之力。
假定A的单位战斗力是B的一半，但是数量是B的三倍。
假定B有1000人，A有3000人。
基于SD的信息化防御作战中兰彻斯特方程
基于SD的信息化防御作战中兰彻斯特方程卞立新;罗兴柏;刘国庆;甄建伟【摘要】On the basis of analysis defensive combat processes under conditions of information, information factors and the forces speed to improve classical lanchester equation are added. Make up the defensive combat processes system dynamics model under conditions of information,according the method of system dynamics,the improved lanchester equation is solved by using system dynamics method. From the example,the advantage of computing complex lanchester equations with system dynamics can be found.%在对信息化条件下的防御作战进程分析的基础上,增加信息因素和兵力补充速度对经典的兰彻斯特方程进行改进.通过引入系统动力学方法,构建了信息化条件下的防御作战进程的系统动力学模型,利用系统动力学方法来对改进的兰彻斯特方程进行求解.仿真结果证明了系统动力学在解决复杂兰彻斯特方程中的优越性.【期刊名称】《火力与指挥控制》【年(卷),期】2016(041)012【总页数】4页(P105-107,112)【关键词】系统动力学;兰彻斯特方程;信息化作战【作者】卞立新;罗兴柏;刘国庆;甄建伟【作者单位】军械工程学院,石家庄 050003;军械工程学院,石家庄 050003;军械工程学院,石家庄 050003;军械工程学院,石家庄 050003【正文语种】中文【中图分类】E91随着科学技术的不断发展，以及信息化技术在现代战争中的广泛使用，现代战争形势发生了巨大变化，信息成了决定战争胜败的关键因素。
兰彻斯特方程的参数取值与计算
ｉ＝ ＝ ＝１， … ， ２，
３ 火 力 分 配 系数 的确 定 ２ 参 数 取 值
假 设 蓝 方第 Ｊ类 作 战单 元 对 红 方 第 ｉ类 作 战 单位 单发 命 中概 率 为 ＰＨ， 中条 件 下毁 伤 概 率 为 命 Ｐ， ｓ 战斗平 均射 速 为 ｔ， 每次 射 击 弹数 为 发 。则
）
依据结 构模 型 ， Ｂ 在 最高 级 中 ， 若 则有 ： Ｂ ） Ｒ（
一
然 后得 到蓝 方 第 类 武 器 确 定 射 击 目标 的量
Ｒ（ ｎＱ（ ， 用 此 式 ， Ｂ） Ｂ ）利 可找 出最 高 级单 元 。
度 值 向量 ｃ 巧一 （ × ）× 。向量 的各 个 元 素 表 １ １
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１ 对目标Ｏ Ｏ ０ １ １ １ 杀伤效果Ｂ 目标 对 己方的威胁Ｂ ：
射 击 目标选择 的体 系 要 素包 括 ：１ ）射 击 目标
多元 兰 彻 斯 特 方 程
假设 交 战双方 假设 红方 有 ｔ 类作 战单 位 （ ？ Ｚ Ｒ， 尺２ … ， ） 蓝 方有 类 作 战单 位 （ ， 。 … ， ， ， Ｒ ， Ｂ１Ｂ ， Ｂ ） 则有 反应 近代作 战 的兰彻 斯 特平方 律 ：
ｉ一 １， … ， ２，
（ ２ ｈ Ｃｏ ａ ｙ ｏ ｔ ｐ ｒｍｅ ｔ Ａｒ ｉ ｅ ｙ Ａｃ ｄ ｍｙ ｏ Ａ” ，Ｈ ｅ ｅ ２ ０ ３ ） ４ ｔ ｍｐ ｎ ｆ５ ｈ Ｄｅ ａ ｔ ｎ ， ｔ ｌｒ ａ ｅ ｆＰＬ ｌ ｆｉ ３ ０ １ （ ａ ｈ ｍａ ｉｓＴｅ ｃ ｉ ｇ ａ ｄ Ｒｅ ｅ ｒ ｈ Ｒｏ ｍ ｆｔ ｅ Ｂ ｓ ｃｏ ｈ ｐ ｒ ｍｅ ｔ Ｍ ｔ ｅ ｔｃ ａ ｈ ｎ ｎ ｓ ａ ｃ ｏ ｏ ｈ ａ ｉ ｆｔ ｅＤｅ ａ ｔ ｎ ．Ａｒ ｉ ｅ ｙ Ａｃ ｄ ｍｙ ｏ ＬＡ”，Ｈ ｅｅ ２ ０ ３ ） ｔｌ ｒ ａ ｅ ｆＰ ｌ ｆｉ ３ ０ １
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在1916年，英国人兰切斯特研究空战最佳编队，发现了兰切斯特方程。
远距离交战的时候，任一方实力与本身数量成正比，即兰切斯特线性律。
在近距离交战的时候，任一方实力与本身数量的平方成正比，即兰切斯特平方律。
兰彻斯特的战斗力方程是：战斗力=参战单位总数×单位战斗效率。
它表明：在数量达到最大饱和的条件下，提高质量才可以增强部队的战斗力，而且是倍增战斗力的最有效方法。
在高新科学技术的影响下，军队的数量、质量与战斗力之间的关系已经发生了根本性变化：质量居于主导地位，数量退居次要地位，质量的优劣举足轻重，质量占绝对优势的军队将取得战争的主动权。
一般说来，高技术应用在战场上形成的信息差、空间差、时间差和精度差，是无法以增加普通兵器和军队数量来弥补的；相反，作战部队数量的相对不足，却可以高技术武器装备为基础的质量优势来弥补，即通过提高单位战斗效率来提升战斗力。
战争实践表明，提高质量是部队建设的基本要求，在部队数量相差不大的情况下，质量高者获胜，质量差者失败；倘若不能形成同一质量层次的对抗，处于劣势的一方纵有再多的飞机、坦克、大炮，也可能失去还手之力。
假定A的单位战斗力是B的一半，但是数量是B的三倍。
假定B有1000人，A有3000人。
如果是面对面的战斗，A方损失264人即可消灭掉B方的1000人。
现在A需要先接近B在进行面对面的战斗，按兰切斯特线性律，A付出1000人的代价歼灭B方500人以后接近，在2000对500的近战中，付出187人的代价歼灭B方500人，总损失1187人对1000人。
兰切斯特方程没有考虑战场上的许多要素，并不完全，对局部的战役有参考价值，对整个战争的结局无能为力。
兰切斯特方程在战争摸拟的时候会被经常使用，恩格尔曾经使用兰切斯特方程摸拟硫磺岛战役，计算结果与事实非常接近.兰彻斯特平方率描述交战过程中双方兵力变化关系的微分方程组。
因系F.W.兰彻斯特所创，故有其名。
简史1914年，英国工程师兰彻斯特在英国《工程》杂志上发表的一系列论文中，首次从古代使用冷兵器进行战斗和近代运用枪炮进行战斗的不同特点出发，在一些简化假设的前提下，建立了相应的微分方程组,深刻地揭示了交战过程中双方战斗单位数(亦称兵力)变化的数量关系。
第二次世界大战后，各国军事运筹学工作者根据实际作战的情况，从不同角度对兰彻斯特方程进行了研究与扩展，使兰彻斯特型方程成为军事运筹学的重要基本理论之一。
有些学者也将兰彻斯特型方程称为兰彻斯特战斗理论或战斗动态理论。
兰彻斯特型方程与计算机作战模拟结合以后所构成的各种形式、各种规模的作战模型，在军事决策的各有关领域中得到了广泛的应用。
主要形式兰彻斯特方程的主要形式有：平方律设在近代战斗条件下,红、蓝两军交战, 双方各自装备同类武器，相互通视，并在武器射程范围内进行直接瞄准射击；双方每一斗单位射击对方每一战斗单位的机会大致相同。
将双方在战斗中尚存的战斗单位数作为连续的状态变量，以m(t)、n(t)表示在战斗开始后t时刻蓝方、红方在战斗中尚存的作战单位数，可用下列微分方程组来描述战斗过程中双方兵力随时间的损耗关系：式中α、β分别为蓝方、红方在单位时间内每一战斗单位毁伤对方战斗单位的数目，简称为蓝方、红方的毁伤率系数。
在双方使用步兵武器进行直瞄射击的情况下，毁伤率系数等于武器的射速乘以单发射弹命中目标的概率与命中目标的条件下毁伤目标概率的乘积。
假设交战开始时刻蓝方、红方的初始战斗单位数为m(0)=M,n(0)= N，从上述微分方程组可知，在交战过程中双方战斗单位数符合下列状态方程：α[M -m (t)]=β[N -n (t)] 当交战双方的初始战斗单位数与毁伤率系数之间满足αM =βN 时,m(t)与n(t)同时趋于零，战斗不分胜负。
当αM <βN 时,蓝方将首先被消灭。
兰彻斯特将上述关系概括为“在直接瞄准射击条件下，交战一方的有效战斗力，正比于其战斗单位数的平方与每一战斗单位平均战斗力(平均毁伤率系数)的乘积”,并称之为“平方律”。
按照这一定，如果蓝方武器系统的单个战斗单位的平均效能为红方的4倍,则红方在数量上集中2 倍于蓝方的兵力就可抵消蓝方武器在质量上的优势。
兰彻斯特采用下述例子说明平方律符合集中优势兵力的作战原则：“如果蓝方1000人与红方1000人交战,双方单个战斗单位的平均战斗力相同,红方被蓝方分割成各500人的两半。
假定蓝方以1 000人先攻击红方的500人，则蓝方将以损失134人的代价全歼红方的一半,接着蓝方以剩下的866人再全歼红方的另一半，蓝方在这两次战斗中总共损失293人。
”直接求解上述微分方程组可以得到蓝、红双方兵力随时间变化的关系：式中ch(·)、sh(·)为双曲余弦函数与双曲正弦函数。
线性律假定红、蓝两军各自使用武器(如火炮) 对对方实施远距离间接瞄准射击，火力集中在已知对方战斗单位的集结地区，该区域的大小与对方部队的数量无关。
此时一方的损伤率与对方向其开火的战斗单位数量成正比，同时也与己方部队在该防区内的数量成正比。
这时，可用下列微分方程组来描述双方战斗单位数量随时间的变化：(t)、n(t)的含义同平方律。
经简单推导可知交战过程中双方兵力符合下列状态方程：α[M-m(t)]=β[N-n(t)]式中M、N的意义同平方律。
交战双方不分胜负的条件为αM=βN,如果αM<βN,则蓝方将首先被消灭。
兰彻斯特将上述关系概括为“在向面目标间接瞄准射击的条件下，交战一方的有效战斗力正比于其战斗单位数与该方每一战斗单位的平均战斗力的乘积”，并称之为线性律。
冷兵器时代，战斗形式通常是单兵之间一对一地进行格斗，战斗的结局取决于双方的格斗水平，蓝、红双方的平均毁伤率取常数值，分别用α、β表示，交战过程中双方兵力的变化可用下列微分方程组来描述：式中m(t)、n(t)的含义同平方律。
此时交战过程中双方兵力之间符合的状态方程与向面目标进行间瞄射击时的线性律所描述的状态方程完全相同。
这种关系可概括为“在兵一对一格斗的条件下，交战一方的有效战斗力正比于其战斗单位数与该方每一战斗单位的平均战斗力的乘积。
”这便是描述冷兵器时代战斗的线性律。
为加以区别，有时将描述使用冷兵器战斗的线性律称为“第一线性律”，而将描述使用火器向面目标进行间瞄射击时的线性律称为“第二线性律”。
扩充与推广现代战斗中所包含的各种复杂因素, 远远超出了上述兰彻斯特方程赖以建立的简化了的假设条件。
B.O.库普曼等将双方作战单位数作为随机变量，并运用马尔可夫过程理论来描述交战过程中出现的毁伤情况，从而得出随机型兰彻斯特方程。
S.J.梯曲曼等从平方律、第二线性律的微分方程组中各取一式，以描述游击战中正规军与游击队毁伤的情况，并由此得出“混合律”。
S.邦德等研究了兰彻斯特方程中毁伤率系数与敌对双方的射击状态、武器战术技术性能参数间的关系，从而建立了描述合成军交战并包含部队增援与非战斗毁伤等方面的广义兰彻斯特方程组。
H.K.威斯等将战术决策者所采用的策略作为决策参数纳入兰彻斯特方程，并运用最优化理论研究了“最佳战术决策”等方面的问题。
J.H.恩格尔等曾运用历史上一些著名战斗中双方伤亡的数据验证过兰彻斯特方程的正确性。
正文又称兰彻斯特战斗理论或战斗动态理论，是应用数学方法研究敌对双方在战斗中的武器、兵力消灭过程的运筹学分支。
1915年，英国工程师F.W.兰彻斯特在《战斗中的飞机》一文中，首先提出用常微分方程组描述敌对双方兵力消灭过程，定性地说明了集中兵力的原理。
1945年，J.H.恩格尔撰文肯定了兰彻斯特定律的实践意义。
他曾经根据在第二次世界大战中美军攻占日军防守的琉璜岛之役的作战数据,计算了各方的消灭率系数,且用这两个系数结合美军的兵力增补率构成一个特殊的兰彻斯特方程。
它的数值解相当准确地与该次作战中的实际兵力变化进程相吻合。
从此，这门理论得到不断发展。
它主要研究两类问题：一是作战对抗过程的描述，即根据典型的对抗态势和火力条件建立兵力消灭过程的微分方程组及其解法，借以预测作战进程和获胜条件；二是战术策略的优化，即寻找投入兵力、分配火力和支援保障行动等的最优策略序列。
兰彻斯特方程假设甲、乙两方在t时拥有的现存实力（或者比率，即现存的与初始的实力之比）分别为x、y，且在单位时间内被对方一个实力单位所消灭的实力单位分别为α、b，称作消灭率。
双方实力单位不能同时被消灭，而且从已被消灭的实力单位向现存实力单位转移火力的时间为零。
于是，假设单位时间内火力对抗次数为G(t)，则双方的实力变化可表述为：初始条件为x(0)=x0,y(0)=y0。
这就是兰彻斯特方程。
在引入甲方对乙方的损失比E=α/b后,由，立刻解得。
这个等式称为兰彻斯特平方律。
显然，x≥0，y=0表示甲方获胜,且由平方律可知，甲方获胜条件为：。
类似的,可写出乙方获胜条件。
1940年，B.O.库普曼求得上述微分方程的显式表示式：，，式中；chτ，shτ是τ的双曲函数。
推广型兰彻斯特方程为适应其他形式的对抗态势和火力条件,又发展了兰彻斯特方程的几种推广型式(初始条件一般不变)。
含自然损失与兵力补充率的兰彻斯特方程它可表述为式中α、β分别表示由于自然环境(包括敌方破坏的)条件引起甲、乙方每一实力单位的损失率，p，q分别表示各方实力的补充率。
P.M.莫尔斯在《运筹学方法》一书中给出了常系数时的方程的解。
大威力消灭率的兰彻斯特方程现代武器不但杀伤力大，而且它给对方造成的实力递减率既和投入的武器数量成正比，也和对方现存实力成正比（如化学武器）。
这种方程可表述为这里x、y是现存实力比率,从而初始条件为x(0)=y(0)=1，其解为如果在方程的右端增添自然损失、补充实力和消灭率诸项，就得到了更一般的推广。
这三类方程都是确定型的，或者说是平均性质的。
概率型兰彻斯特方程它是为分析作战进程的状态概率而建立的一类方程。
一般形式是：假设甲方实力为x，乙方实力为y时,甲方获胜的概率为p(x,y),从而,乙方获胜的概率为1-p(x,y);又实力单位损失属于甲、乙方的概率分别为α(x,y),b(x,y)，且双方不可能同时损失,即α(x,y)+b(x,y)=1。
于是,可建立递推式p(x,y)=α(x,y)p(x-1,y)+b(x,y)p(x,y-1)，显然,x>0时,p(x,0)=1;y>0时,p(0,y)=0。
特别地,若令α(x,y)=α，b(x,y)=b，以p t(x,y)表示双方损失之和为t(t≥0)时,甲方损失x,乙方损失y=t-x的损失状态概率,则在用p t(x,y)代替p(x,y)后,对于x≤x0,y≤y0,上面的递推式依然成立，其中x0、y0分别为双方的初始实力。
以上概率型方程经过均值关系的变换，可以推出确定型方程。