高中数学选修42矩阵与变换知识点复习课苏教版PPT课件
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12
M(l1l2b) l1Ml2Mb
上式表明，在矩阵M的作用下，直线
l1l2b 变成直线 l1Ml2Mb.
这种把直线变成直线的变换，通常叫做 线性变换。
(即形如
x' y'
ax cx
by dy
的几何变换叫做线性变换)
反之，平面上的线性变换可以用矩阵来
表示，但二阶矩阵不能刻画所有平面图形的 性变换。
作沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵,通常称
做沿y轴或x轴的垂直伸压变换矩阵.
伸压变换： 伸压变换矩阵对应的变换称为垂直伸压
变换,简称伸压变换.
11
一般地，称形如M1,M2,M3,M4,M5这 样的矩阵为反射变换矩阵，对应的变换 叫做反射变换，其中（2）叫做中心反 射，其余叫轴反射.其中定直线叫做反射 轴，定点称为反射点.
(或某个点) 上的矩阵,我们称之为投影变换矩阵,
相应的变换称做投影变换.
(1)投影变换的几何要素: 投影方向, 投影到的某条直线L. (2)投影变换矩阵能反映投影变换的几何要素 (3)与投影方向平行的直线投影于L的情况是某个点 (4)投影变换是映射,但不是一一映射
15
切变变换
矩阵
1 0
k 1
2
形
如
1 3
,
80
6
0
9 0 2
8
5
,
3
3 2
m
4
的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写黑 体的拉丁字母A、B、C…表示，或者用(aij)表示，其 中i,j 分别表示元素aij 所在的行与列.
同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫 做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一行数 （或字母）叫做矩阵的列.
2.3.1 矩阵乘法的概念 2.3.2 矩阵乘法的的简单性质
17
建构数学 规定：矩阵乘法的法则是:
a be f aebg afbh c dg hcedg cfdh
18
建构数学 矩阵的乘法的几何意义：
矩阵乘法MN的几何意义为：对向量连续 实施的两次几何变换(先TN,后TM)的复合变换.
当连续对向量实施n(n∈N*)次变换TM时， 记作：Mn=M·M·····M
当xy表示某个平面图形F上的任意点时，
这些点就组成了图形F，它在TM的作用下，将得到 一个新的图形F——原象集F的象集.
8
2.2 几种常见的平面变换
2.2.1 恒等变换 2.2.2 伸压变换 2.2.3 反射变换 2.2.4 旋转变换 2.2.5 投影变换 2.2.6 切变变换
9
恒等变换矩阵(单位矩阵):
矩阵与变换
淮安 1
2.1 二阶矩阵与平面向量
2.1.1 矩阵的概念
1.矩阵的概念，零矩阵，行矩阵，列矩阵;
2.矩阵的表示；
3.相等的矩阵;
2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法 1.二阶矩阵与平面向量的乘法规则; 2.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射; 3.待定系数法是由原象和象确定矩阵的常用方法.
(x, y),若按照对应法则T，总能对应唯一的一个
平 面 点(向 量 ）（ x, y), 则 称 T 为 一 个 变 换 ， 简 记
为
T：( x, y) （ x, y)，
或
T：
x y
x y
.
6
一般地，对于平面向量的变换T，如果变换 规则为
T： xy
x
y
ax cx
by
dy
n个M
19
在数学中，一一对应的平面几何变换 都可以看做是伸压、反射、旋转、切变变 换的一次或多次复合，而伸压、反射、旋 转、切变等变换通常叫做初等变换，对应 的矩阵叫做初等变换矩阵。
20
2.4 逆变换与逆矩阵
2.4.1 逆矩阵的概念 2.4.2 二阶矩阵与二元一次方程组
21
建构数学
对于二矩阵 A,B 若有 AB=BA=E
则称 A 是可逆的, B 称为A 的逆矩阵. 通常记 A的逆矩阵为 A-1 思考： A的逆矩阵有多少个？ 逆矩阵的唯一性：
若二阶矩阵 A 存在逆矩阵 B, 则逆矩阵是唯一的.
13
旋转变换
cos sin
矩阵 sin
cos
通常叫做旋转变换矩阵.
对应的变换称做旋转变换.
其中的角做旋转角.
点O叫做旋转中心.
旋转变换只改变几何图形的位置，不会 改变几何图形的形状.
图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定.
14
投影变换
像
1 0
0 1
0
1
0 0
这类将平面内图形投影到某条直线
对平面上任何一点(向量)或图形施以
矩阵
1 0
0 1
对应的变换,都把自己变成自己。
这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵(单位矩
阵).
恒等变换:
恒等变换矩阵实施的对应变换称为
恒等变换。
二阶单位矩阵一般记为E
10
1 0
2 0
垂直伸压变换矩阵：M
0
1
2
N
Leabharlann Baidu
0
1
将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩,或
组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素。
3
1 80 90
3
6
0
8
5
21矩阵 22矩阵
2 3 m
3 2
4
23矩阵
所 有 元 素 均 为 0 的 矩 阵 叫 做 0 矩 阵 .
对 于 两 个 矩 阵 A 、 B 的 行 数 与 列 数 分 别 相 等 ， 且 对 应 位 置 上 的 元 素 也 分 别 相 等 时 ， A和 B才 相 等 , 记 作 AB.
4
规定：
行矩阵a11 a12与列矩阵bb1211的乘法法则为
a11 a12 bb1211＝a11b11 a12b21 ,
二阶矩阵ba2111 ab1222与列向量xy00的乘法规则为
a11 b21
ab1222xy00＝ba2111 xx00 ba2122yy00.
5
一般地，对于平面上的任意一点（向量）
,
坐 标 变 换 的 形 式
那么，根据二阶矩阵与向量的乘法规则可以改写为
T： xy
x y
a c
b
d
x
y
矩 阵 乘 法 的 形 式
的矩阵形式，反之亦然（a,b, c, d R).
两 种 形 式 形 异 而 质 同
7
由 矩 阵 M确 定 的 变 换 T， 通 常 记 为 TM. 根 据 变 换 的 定 义 ， 它 是 平 面 内 的 点 集 到 其 自 身 的 一 个 映 射 .
把平面上的点P(x,
y)沿x轴方向
平移|ky|个单位:
当ky>0时，沿x轴正方向移动；
当ky<0时，沿x轴负方向移动；
当ky=0时，原地不动.
在此变换作用下，图形在x轴上的点是不动点。
像由矩阵
1 0
k 1
确定的变换通常叫做切变变换,
对应的矩阵叫做切变变换矩阵。
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2.3 变换的复合与矩阵的乘法
M(l1l2b) l1Ml2Mb
上式表明，在矩阵M的作用下，直线
l1l2b 变成直线 l1Ml2Mb.
这种把直线变成直线的变换，通常叫做 线性变换。
(即形如
x' y'
ax cx
by dy
的几何变换叫做线性变换)
反之，平面上的线性变换可以用矩阵来
表示，但二阶矩阵不能刻画所有平面图形的 性变换。
作沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵,通常称
做沿y轴或x轴的垂直伸压变换矩阵.
伸压变换： 伸压变换矩阵对应的变换称为垂直伸压
变换,简称伸压变换.
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一般地，称形如M1,M2,M3,M4,M5这 样的矩阵为反射变换矩阵，对应的变换 叫做反射变换，其中（2）叫做中心反 射，其余叫轴反射.其中定直线叫做反射 轴，定点称为反射点.
(或某个点) 上的矩阵,我们称之为投影变换矩阵,
相应的变换称做投影变换.
(1)投影变换的几何要素: 投影方向, 投影到的某条直线L. (2)投影变换矩阵能反映投影变换的几何要素 (3)与投影方向平行的直线投影于L的情况是某个点 (4)投影变换是映射,但不是一一映射
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切变变换
矩阵
1 0
k 1
2
形
如
1 3
,
80
6
0
9 0 2
8
5
,
3
3 2
m
4
的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写黑 体的拉丁字母A、B、C…表示，或者用(aij)表示，其 中i,j 分别表示元素aij 所在的行与列.
同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫 做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一行数 （或字母）叫做矩阵的列.
2.3.1 矩阵乘法的概念 2.3.2 矩阵乘法的的简单性质
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建构数学 规定：矩阵乘法的法则是:
a be f aebg afbh c dg hcedg cfdh
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建构数学 矩阵的乘法的几何意义：
矩阵乘法MN的几何意义为：对向量连续 实施的两次几何变换(先TN,后TM)的复合变换.
当连续对向量实施n(n∈N*)次变换TM时， 记作：Mn=M·M·····M
当xy表示某个平面图形F上的任意点时，
这些点就组成了图形F，它在TM的作用下，将得到 一个新的图形F——原象集F的象集.
8
2.2 几种常见的平面变换
2.2.1 恒等变换 2.2.2 伸压变换 2.2.3 反射变换 2.2.4 旋转变换 2.2.5 投影变换 2.2.6 切变变换
9
恒等变换矩阵(单位矩阵):
矩阵与变换
淮安 1
2.1 二阶矩阵与平面向量
2.1.1 矩阵的概念
1.矩阵的概念，零矩阵，行矩阵，列矩阵;
2.矩阵的表示；
3.相等的矩阵;
2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法 1.二阶矩阵与平面向量的乘法规则; 2.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射; 3.待定系数法是由原象和象确定矩阵的常用方法.
(x, y),若按照对应法则T，总能对应唯一的一个
平 面 点(向 量 ）（ x, y), 则 称 T 为 一 个 变 换 ， 简 记
为
T：( x, y) （ x, y)，
或
T：
x y
x y
.
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一般地，对于平面向量的变换T，如果变换 规则为
T： xy
x
y
ax cx
by
dy
n个M
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在数学中，一一对应的平面几何变换 都可以看做是伸压、反射、旋转、切变变 换的一次或多次复合，而伸压、反射、旋 转、切变等变换通常叫做初等变换，对应 的矩阵叫做初等变换矩阵。
20
2.4 逆变换与逆矩阵
2.4.1 逆矩阵的概念 2.4.2 二阶矩阵与二元一次方程组
21
建构数学
对于二矩阵 A,B 若有 AB=BA=E
则称 A 是可逆的, B 称为A 的逆矩阵. 通常记 A的逆矩阵为 A-1 思考： A的逆矩阵有多少个？ 逆矩阵的唯一性：
若二阶矩阵 A 存在逆矩阵 B, 则逆矩阵是唯一的.
13
旋转变换
cos sin
矩阵 sin
cos
通常叫做旋转变换矩阵.
对应的变换称做旋转变换.
其中的角做旋转角.
点O叫做旋转中心.
旋转变换只改变几何图形的位置，不会 改变几何图形的形状.
图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定.
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投影变换
像
1 0
0 1
0
1
0 0
这类将平面内图形投影到某条直线
对平面上任何一点(向量)或图形施以
矩阵
1 0
0 1
对应的变换,都把自己变成自己。
这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵(单位矩
阵).
恒等变换:
恒等变换矩阵实施的对应变换称为
恒等变换。
二阶单位矩阵一般记为E
10
1 0
2 0
垂直伸压变换矩阵：M
0
1
2
N
Leabharlann Baidu
0
1
将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩,或
组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素。
3
1 80 90
3
6
0
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21矩阵 22矩阵
2 3 m
3 2
4
23矩阵
所 有 元 素 均 为 0 的 矩 阵 叫 做 0 矩 阵 .
对 于 两 个 矩 阵 A 、 B 的 行 数 与 列 数 分 别 相 等 ， 且 对 应 位 置 上 的 元 素 也 分 别 相 等 时 ， A和 B才 相 等 , 记 作 AB.
4
规定：
行矩阵a11 a12与列矩阵bb1211的乘法法则为
a11 a12 bb1211＝a11b11 a12b21 ,
二阶矩阵ba2111 ab1222与列向量xy00的乘法规则为
a11 b21
ab1222xy00＝ba2111 xx00 ba2122yy00.
5
一般地，对于平面上的任意一点（向量）
,
坐 标 变 换 的 形 式
那么，根据二阶矩阵与向量的乘法规则可以改写为
T： xy
x y
a c
b
d
x
y
矩 阵 乘 法 的 形 式
的矩阵形式，反之亦然（a,b, c, d R).
两 种 形 式 形 异 而 质 同
7
由 矩 阵 M确 定 的 变 换 T， 通 常 记 为 TM. 根 据 变 换 的 定 义 ， 它 是 平 面 内 的 点 集 到 其 自 身 的 一 个 映 射 .
把平面上的点P(x,
y)沿x轴方向
平移|ky|个单位:
当ky>0时，沿x轴正方向移动；
当ky<0时，沿x轴负方向移动；
当ky=0时，原地不动.
在此变换作用下，图形在x轴上的点是不动点。
像由矩阵
1 0
k 1
确定的变换通常叫做切变变换,
对应的矩阵叫做切变变换矩阵。
16
2.3 变换的复合与矩阵的乘法