根轨迹的基本概念 (2)

K K * 8.62 / 9 1 9
于是可求出近似的闭环传递函数。
由于 n 0.8、 0.5 , 则得：n 0.8 / 0.5 1.6
所以有：
(s)
s2
n2 2n s
n2
s2
2.56 1.6s
2.56
在单位阶跃信号作用下的性能指标:
% e / 1 2 16.3%
ts
3.5
从根轨迹图上可测得：s1=-0.8+j1.5，s2=-0.8-j1.5
利用根的守恒法则可求出第三个根s3：
s1 s2 s3 p1 p2 p3 0 3 3 6 s3 6 1.6 4.4
此时相比较，s1、s2为闭环主导极点。
求其对应的K值：
K * s3 p1 s3 p2 s3 p3 4.4 1.4 1.4 8.62
故可认为存在主导极点，系统近似为二阶，即：
(s)
(s
s1s2 s1 )( s
s2 )
s2
0.445 0.667s
0.445
对照标准式得：
0.5, n 0.667 则： % e / 1 2 16.3%
ts 3 / n 9.0秒
5. 求对应的开环增益K
代入方程
m
K * (s z j )
和一个有限零点组成的开环系统，只要有限零点没有
位于两个实数极点之间，当K从零变到无穷时，闭环
根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心到分离点的
距离为半径的圆，或圆的一部分。这在数学上是可以
严格证明的。
j
r
z 1
p
2
p
1
-b -a
O
开环零极点变化时的根轨迹 根轨迹的形状与开环零极点的分布密切相关。 一、增加开环极点的影响
3. 实轴上区段 +1－－0 及 -1－－-∞
×
4. 系统开环 n 4、 m 1 ，故系统有三条渐近线:
且
a
(2k 1)
nm
(2k 1)
3
600 ,
) (2 j2 3
3) (1) 2 3
j
0 1
5. 分离点和会合点坐标
代入公式:
d ds
的左半部。
n
c(t) (0) Ak eskt
k 1
2. 要求系统快速性好，应使闭环极点远离虚轴。
3. 要求系统平稳性好，则复数极点最好设置在s平面中与负实 轴成± 45o夹角附近。
n
c(t) (0) Ak eskt k 1
4. 要求动态过程尽快消失，则须使闭环极点之间的距离加大，
零点 zj应靠近极点si。
s2
j
则可标出该系统的零、极点分布如图所示。
显然 -1为主导极点，系统可近似 为一阶系统：
(s) 1 s 1
且： % 0
ts 3T 31 3秒
s1
4
1 0
s3
例3：若三阶系统的闭环传递函数
0.9s 1 (s) (s 1)(0.01s2 0.08s 1)
试估算系统动态性能指标 % 、 ts 。
2. 偶极子:某闭环极点si与某闭环零点 zj 之间的距离比它们的
模值小一个数量级或更小，则称它们为偶极子。
4 52
l1
1 10
1
例2：某三阶系统的闭环传递函数
(s)
(s
1 1)(0.01s 2
0.08s
1)
试估算系统动态性能指标 %、ts 。
解：闭环系统有三个极点，分别为
s1 1, s2,3 4 j9.2
3. 由图上测出阻尼线与根轨迹的交点为
0.33 j0.58
它们正是闭环极点：
s1,2 0.33 j0.58
4. 确定第三个极点 s3
由于系统符合 n m 2 则有 s1 s2 s3 p1 p2 p3
所以： s3 p1 p2 p3 s1 s2 0 1 2 (0.33 j0.58) (0.33 j0.58) 2.34
4
1 0
z1
则 % e / 1 2 25%
s3
ts 3 / n 0.75秒
例4：负反馈系统的开环传递函数为
G(s)H (s)
K
s(s 1)(0.5s 1)
求系统阻尼比 0.5 时的主导极点，并估算性能指标 % 、ts 。
解：1. 画出系统的根轨迹。
2. 画出 0.5 时的阻尼线，使其与 实轴负方向的夹角为 cos1 cos1 0.5 600。
n
3.5 s 0.8
4.4s
ess 0
例6：已知一系统结构如下图所示，试给出当K由0 →∞时，闭环 根轨迹图，并分析K对系统动态过程的影响。
K (0.25s 1)
R s(0.5s 1)
C
解：(1)
则
G(s) K (0.25s 1) 0.5K (s 4) s(0.5s 1) s(s 2)
K*=0.5K，p1=0， p2=-2， z1=-4
(2)n=2，有两条根轨迹，一条终止于-4，另一条终止于无穷远处。
(3)实轴上的根轨迹为[0，-2][-4，-∞]。
(4)求分离点sd 1 1 1 sd sd 2 sd 4
其根轨迹如下图所示：
ssdd12
1.17 6.83
(5)利用模值方程求得sd1、sd2所对应的K值
根轨迹的基本概念
j 3 2 1
-4 -3 -2 -1
01
2
-1
-2
-3
例 已知系统的结构图
R (s)
K (s b)
C (s)
-
s(s a )
(b a 0)
试证明： K 从 0 变化时的闭环根轨迹其 复数部分为圆，并求圆的半径和圆心。
R (s)
K (s b)
C (s)
解：(1) 开环极点： p1= 0，p2= -a
m
m
K* (s zj )
K* (sk zj )
Ak
j 1 n
|ssk
j 1 n
s (s si )
sk (sk si )
i 1
i 1
ik
ik
二、主导极点与偶极子
1. 主导极点: 离虚轴最近的闭环极点(复数极点或实数极点)， 对系统动态过程性能影响最大，起着决定性的作用。把这种 极点称为主导极点。
注：当K足够大时，系统变成快速性很好的一阶系统。
例7：已知非最小相位系统的开环传递函数为
K *(s 1) G(s)H (s) s(s 1)(s2 4s 16)
试绘制该系统的根轨迹图，并进行动态分析。
解： 1. 系统为四阶，故有4条根轨迹。
2. 开环极点为 开环零点为
p1 0、 p2 1、 p3,4 2 j2 3 z1 1
G(s)
K
s(s 2)(s 4)
G(s)
K
s(s 2)(s 1)
G(s) K s(s 2) s
二、增加开环零点的影响
增加开环零点可以使根轨迹左移，有利于改 善系统的稳定性和动态特性。 例如：
G0 (s)
K s2(s
2)
G(s) K (s 1) s2(s 2)
例：单位反馈系统的开环传递函数为
当sd1=-1.17时
K1*
sd1
0 sd1 sd1 4
2
1.17 0.83 0.343 2.83
因此 K1=2K1*=2×0.343=0.686
同理，求得sd2对应的K2=23.4。
(6)对系统进行分析 (i) 当系统开环增益K在0 → 0.686范围内; (ii) 当0.686<K<23.4时; (iii) 当23.4≤K<∞时。
C(s)
K* (s zj )
j 1
n
(s si )
1 s
i 1
i 1
如无重极点，可将上式分解为以下部分分式：
C(s) A0 A1 An A0 n Ak
s s s1
s sn s k1 s sk
其中：
m
K* (s zj )
A0
j 1 n
|s0 (0)
(s si )
p1
-b
-a
O
(5) 渐近线： 因为 n–m =1，所以
(6) 分离点坐标sd：
a 180
由公式
所以
2b sd
n 1
m1
i1 sd pi j1 sd z j
11
1
sd sd a sd b
sd2 2bsd ab 0
4b2 4ab b
b2 ab (b a)
2
求得两个分离点坐标分别为
i 1
m
m
K* (s zj )
K* (sk zj )
Ak
j 1 n
|ssk
j 1 n
s (s si )
sk (sk si )
i 1
i 1
ik
ik
经拉氏反变换得：
n
c(t) (0) Akeskt
k 1
一、闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系
1. 要求系统稳定，则必须使所有的闭环极点si均位于s平面
s(s
1)(s2 4s (s 1)
16)
|s
d
0
得：d1 0.46（分离点）、d2 2.22（会合点），
j
相应的分离角和会合角分别为 900 。
×
-2.22
××
1
0 1
×
0.46
6. 出射角 p3 (2k 1) ( p3 z1) ( p3 p1) ( p3 p2 ) ( p3 p4 ) (2k 1) 1060 1200 130.50 900
54.40
p4 54.40
7. 虚轴交点
系统闭环特征方程为： s(s 1)(s2 4s 16) K *(s 1) 0
将s j 代入上式得：
4 12 2 K * 0
3
3
(K
*
16)
0
求解得： 1,2 1.56 3,4 2.56
则系统根轨迹如图所示:
(K * 23.3) (K * 35.7)
则
Re 0
Im 0
整理得：
2 2 K ( b) a 0
K
2
a
将K代入整理，得到
( b)2 2 b2 ba
显然这是以 , 为变量的圆的方程，其圆心坐标 为(-b，0)，半径为：
r b2 ab
j
r
z 1
p2
p1
-b -a
O
从例题中可以发现：由两个极点(实数极点或复数极点)
G(s)
K* s2 (s 10)
系统变成
试作闭环系统的根轨迹。
解：根轨迹如下
G(s)
K *(s z1) s2 (s 10)
G(s) K G(s) K(z 4)
s(s 2)
s(s 2)
j 2 1
-8 -7 -6
-5 -4 -3 -2
-1
01 -1 -2 -3
G(s) K G(s) K(z 3)
s(s 2)
s(s 2)
j 2 1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
-1
-2
G(s) K G(s) K (z 1)
s(s 2)
s(s 2)
-2
-1
j
0
1
-1
§ 4.3 利用根轨迹分析系统的动态性能
m
(s)
C(s) R(s)
K* (s zj )
j 1
n
(s si )
R(s) 1 s
m
-
s(s a )
开环零点： z1=-b
(b a 0)
j
z1
p2
p1
-b
-a
O
(2) n = 2 ，根轨迹有2条分支；
(3) K = 0时 ，根轨迹起始于p1，p2 K 时，根轨迹一条终止于z1 ，另一
条趋于无穷远处；
(4) 实轴上的根轨迹区段： (-a, 0)，(-, -b)
j
z 1
p2
(1)改变了根轨迹在实轴上的分布； (2)改变渐近线的条数，方向角及与实轴的交点； (3)一般使根轨迹向右偏移，不利于系统的稳定性和
动态特性。
例如：
G0 (s)
K s(s
p)
G(s)
s(s
K p)( s
pc )
( pc p)
j
j
p2
p1
-p
O
p3
p2
p1
-p c
-p
O
G(s) K s(s 2)
j 1 n
1
(s pi )
i 1
得： K * s1 s1 p2 s1 p3
0.68 0.89 1.8 1.08
K K * / 2 0.54
例5：试用根轨迹法分析系统的稳定性，其中开环传递函数为：
K G(s)H (s)
s(1 s 1)2 3
并且求出闭环主导极点具有阻尼比ξ=0.5时的近似闭环传递函 数及估算其性能指标。
解：闭环系统的三个极点与前例相同，分别为
s1 1, s2,3 4 j9.2
但还有一个闭环零点 z1 1.1 ,则 可标出该系统的零、极点分布如图所示。
s2
j
极点 s1 与零点 z1构成偶极子，
故系统可近似为二阶系统：
(s)
0.01s 2
1 0.08s
1
对照标准式得：n 10、 ＝0.4
s1
解: (1)通过前例已经做出根轨迹图。
(2)分析系统稳定性 当K>6时，系统不稳定。求出分离点所对应
的K值。 K * sd p1 sd p2 sd p3
1 2 2 4 K K* 9
所以得出系统无超调的K值范围0<K≤4/9。
(3)根据阻尼比ξ=0.5的要求，确定闭环主导极点的位置，进而分 析系统的品质。
sd1 b b2 ab sd2 b b2 ab
j
z 1
p2
p
1
-b -a
O
证明：两分离点之间的根轨迹为圆
由于根轨迹上任一点都满足闭环特征方程，设根轨 迹复数部分任一点 s = + j ，代入特征方程得：
s2 (a K )s Kb 0
( j )2 (a K )( j ) Kb 0