第三届全国大学生数学竞赛预赛试题及解答
2011-2012年第3届全国大学生数学竞赛各赛区预赛及决赛试题和答案(非数学类&数学类)
…………………5 分
这个引力在水平方向的分量为 dFx
Gm xdx . 从而 ( h 2 x 2 )3 2
Fx
Gmxdx Gm 2 2 3/ 2 (h x ) 2 a
d (x2 ) Gm (h 2 x 2 ) 1 / 2 2 2 3/ 2 a (h x ) a
2 2 2
I f ( ax by cz ) dS . 求证： I 2 f ( a 2 b 2 c 2 u )du
1
1
解：由 的面积为 4 可见：当 a, b, c 都为零时，等式成立. 当它们不全为零时, 可知：原点到平面 ax by cz d 0 的距离是
…………………2 分
|d | a2 b2 c2
设平面 Pu : u
.
…………………………5 分
ax by cz a2 b2 c2
n
2. 如果存在正整数 p，使得 lim( an p an ) ，则 lim
an . n n p
证明：1. 由 lim an a ， M 0 使得 | an | M ，且 0, N1 ，当 n > N1 时，
n
2 N ( M | a |) 因为 N 2 N1 ，当 n > N2 时， 1 . n 2
解：令 S ( x )
x
x
2n 1 2 n 2 ，则其的定义区间为 ( 2, 2) . x ( 2, 2) ， x 2n n 1
2n 1 2 n 2 x 2 n 1 x x 2 S ( t ) dt t dt n n 2 2 2 n 1 2 n 1 n 1 0 0
历届大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类14页
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x y x x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，令u t -=1，则21t u -=2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
2009-2014全国大学生数学竞赛试题及答案(最完整版)
。
dx 2
二、（本题满分 5 分）求极限 lim( e x + e2x +
+
e nx
)
e x
，其中
n
是给定的正整数。
x→0
n
∫ 三、（本题满分 15 分）设函数 f (x) 连续， g(x) = 1 f (xt)dt ，且 lim f (x) = A ， A 为常
0
x→0 x
数，求 g′(x) 并讨论 g′(x) 在 x = 0 处的连续性。
L
2
五、（本题满分 10 分）已知 y1 = xex + e2x ， y2 = xex + e−x ， y3 = xe x + e2x − e−x 是某二
阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程。
六、（本题满分 10 分）设抛物线 y = ax2 + bx + 2 ln c 过原点。当 0 ≤ x ≤ 1 时, y ≥ 0 ,又已
六、（本题满分 12 分）设 f (x) 是在 (−∞, +∞) 内的可微函数，且 f ′(x) < mf (x) ，其中
+∞
∑ 0 < m < 1 。任取实数 a0 ，定义 an = ln f (an−1), n = 1, 2, ，证明： (an − an−1) 绝对收敛。 n =1
七、（本题满分 15 分）是否存在区间[0, 2]上的连续可微函数 f (x) ，满足 f (0) = f (2) = 1，
第一届(2009)全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
(x + y) ln(1 + y )
1．计算 ∫∫D
全国大学生数学竞赛预赛试题
全国大学生数学竞赛预赛试题一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++??y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足?--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，?=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim0，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）??-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π?≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),n n x a a a =+++ 其中||1,a <求lim .n n x →∞ （2）求21lim 1x x x e x -→∞+。
历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类
高数竞赛预赛试题〔非数学类〕〔参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
〕2021年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题〔每题5分，共20分〕1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x D d d 1)1ln()(，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令vx u y x ==+,，那么vu y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v u uv u u u u u〔*〕令u t -=1，那么21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)t t t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 那么=)(x f .解:令⎰=20d )(x x f A ，那么23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得。
因此。
3．曲面平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面22=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试题及答案
1
x 1 2
x 2 ；
1 2n 1 10 S 22 n1 9 . 2 n 1
二、 （本题共 16 分）设an n0 为数列， a, 为有限数，
求证： （1）如果 lim an a ，则 lim
n
a1 a2 an a. n n
5
记第一型曲面积分 I 求证：I 2 f
1
1
f ax by cz dS .
a 2 b 2 c 2 u du . h o
x, y , z a, b, c
dS
解
I
f ax by cz dS f f
a, b, c x, y, z dS
2011 年第三届全国大学生数学竞赛预赛试题及答案 （非数学类） 一、 （本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分）计算 下列各题（要求写出重要步骤） （1） lim
x 0
1 x
2 x
2 x
e 2 1 ln 1 x x
2ln 1 x
解 lim
x 0
上具有连续的三阶偏导数，再利用连续函数介值定理） ； 即 f ''' x0 3 .
4
四、 （本题共 15 分）在平面上，有一条从点 a,0 向右 的射线，其线密度为 ，在 0, h 点处（其中 h 0 ）有一 质量为 m 的质点.求射线对该质点的引力. 解 如图建立坐标系，在区间
lim
2
解
sgn xy 1dxdy
D
全国大学生数学竞赛预赛试题(1-9届)
全国大学生数学竞赛预赛试题(1-9届)第三届全国大学生数学竞赛预赛试题一． 计算下列各题（共3小题，每小题各5分，共15分）（1）.求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭； （2）.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭； （3）已知()2ln 1arctan ttx e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d ydx。
二．（10分）求方程()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解。
三．（15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且()()()'"0,0,0f f f 均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得()()()()1232230lim0h k f h k f h k f h f h→++-=。
四．（17分）设2221222:1x y z a b c∑++=，其中0a b c >>>，2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。
五．（16分）已知S 是空间曲线2231x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z ≥）取上侧，∏是S 在(),,Px y z 点处的切平面，(),,x y z ρ是原点到切平面∏的距离，,,λμν表示S的正法向的方向余弦。
计算：（1）(),,S zdS x y z ρ⎰⎰；（2）()3S z x y z dS λμν++⎰⎰六．（12分）设f(x)是在(),-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x <、，其中01m <<，任取实数0a ，定义()1ln ,1,2,...,n n a f a n -==证明：()11n n n a a ∞-=-∑绝对收敛。
七．（15分）是否存在区间[]0,2上的连续可微函数f(x)，满足()()021f f ==，()()201,1fx f x dx ≤≤⎰、？请说明理由。
第三届全国大学生数学竞赛预赛试题及解答
第 1 页 ( 共 13页 )2√ −第三届中国大学生数学竞赛赛区赛试题参考答案 (数学类, 2011)一、 (本题 15 分) 已知四点 A (1, 2, 7), B (4, 3, 3), (5, −1, 6), (√7, √7, 0). 试求过这 四点的球面方程.解答: 设所求球面的球心为 (x ¯, y ¯, z ¯), 则(x ¯ − 1)2 + (y ¯ − 2)2 + (z ¯ − 7)2 = (x ¯ − 4)2 + (y ¯ − 3)2 + (z ¯ − 3)2= (x ¯ − 5)2 + (y ¯ + 1)2 + (z ¯ − 6)2= (x ¯ − √ 7) + (y ¯ − 7)2 + z ¯2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8 分)即3x ¯ + y ¯ − 4z ¯ = −10, 4x ¯ − 3y ¯ − z ¯ = 4, (√7 1)x ¯ + (√7 − 2)y ¯ − 7z ¯ = −20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分) 解得 (x ¯, y ¯, z ¯) = (1, −1, 3). 而. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(14 分)于是所求球面方程为(x ¯ − 1)2 + (y ¯ − 2)2 + (z ¯ − 7)2 = 25.(x − 1)2 + (y + 1)2 + (z − 3)2 = 25.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(15 分)第 2 页 ( 共 13页 )∫ 1 n ∏二、 (本题 10 分) 设 f 1, f 2 , . . . , f n 为 [0, 1] 上的非负连续函数. 求证: 存在 ξ ∈ [0, 1], 使得 n n ∫ 1 ∏ f k (ξ) ≤ ∏f k (x ) dx.证明: 记k =1∫ 1k =1 0a k = f k (x ) dx,∀ k = 1, 2, . . . , n.当某个 a k = 0 时, 结论是平凡的. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1 分)下设 a k > 0 ( ∀ k = 1, 2, . . . , n ). 我们有‚ . .n , 0k =1f k (x ) a k dx ≤ ∫ 1 1 0 n n ∑ k =1f k (x ) a k dx = 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8 分)由此立即可得存在 ξ ∈ [0, 1] 使得‚ . n .n ∏ ,k =1 f k (ξ) ≤ 1.a k结论得证.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(10 分)✷三、(本题15 分) 设F n 是数域F 上的n 维列空间, σ: F n → F n 是一个线性变换. 若∀A ∈M n(F ), σ(Aα) = Aσ(α), ( ∀α∈V ), 证明: σ= λ·id F n , 其中λ是F 中某个数, id F n 表示恒同变换.证明: 设σ在F n 的标准基ε1, · · ·, εn 下的矩阵为B, 则σ(α) = Bα( ∀α∈ F n).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 分) 由条件: ∀A ∈M n(F ), σ(Aα) = Aσ(α), ∀α∈F n, 有B Aα= ABα, ∀α∈F n.故AB = BA, ( ∀A ∈M n(F )) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分)设B = (b ij), 取A = diag (1, ···, 1, c, 1, ···, 1), 其中c=0, 1, 由AB = BA 可得b ij= 0, ∀i=j. 又取A = I n −E ii −E jj + E ij + E j i,这里E st 是(s t)−位置为1 其它位置为0 的矩阵.则由AB = BA 可得a ii = a jj, ( ∀i, j). 取λ = a11. 故B = λI n, 从而σ= λ·id F n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (15 分)第3 页( 共13页)第 4 页 ( 共 13页 )−四、 (本题 10 分) 对于 ∆AB C , 求 3 sin A + 4 sin B + 18 sin C 的最大值.解答: 三角形三个角 A, B, C 的取值范围为(A, B, C ) ∈ D ≡ {(α, β, γ)|α + β + γ = π, α > 0, β > 0, γ > 0} .我们首先考虑 3 sin A + 4 sin B + 18 sin C 在 D 的闭包E = {(α, β, γ)|α + β + γ = π, α ≥ 0, β ≥ 0, γ ≥ 0}上的最大值.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(1 分)我们有max (A,B ,C )∈E(3 sin A + 4 sin B + 18 sin C )= max (3 sin A + 4 sin(A + C ) + 18 sin C )A +C ≤πA,C ≥0= max 0≤C ≤πmax 0≤A ≤π−C((3 + 4 cos C ) sin A + +4 sin C cos A + 18 sin C )= max0≤C ≤π(√(3 + 4 cos C )2 + 16 sin 2 C + 18 sin C )= max (√25 + 24 cos C + 18 sin C ).0≤C ≤π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 分)考虑f (C ) = √25 + 24 cos C + 18 sin C,0 ≤ C ≤ π.易见π f(C ) ≥ f (π − C ), ∀ C ∈ [0, 2].. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 分)直接计算得12 sin Cf ′(C ) = 18 cos C √ .25 + 24 cos C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6 分)计算得 f ′(C ) = 0 等价于(8 cos C − 1)(27 cos 2 C + 32 cos C + 4) = 0.第 5 页 ( 共 13页 )2从而它在 [0, π ] 的解为 C = arccos 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(7 分)2 于是max 0≤C ≤πf (C ) = max0≤C ≤ π 8f (C ) = max{f (arccos1 π }), f (0), f ( ) 8 2= max { 35√7 4 }, 7, 23 =35√7. 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8 分) 由此可得 max (A,B ,C )∈E (3 sin A + 4 sin B + 18 sin C ) =35√7, 4另一方面, 不难看到 3 sin A + 4 sin B + 18 sin C 在 E 的边界上 (A, B, C 之一为零) 的最大值为 22.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (9 分) √所以所求最大值为 35 47. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分)第 6 页 ( 共 13页 )) . ) 32 3( 2n . 3五、 (本题 15 分) 对于任何实数 α, 求证存在取值于 {−1, 1} 的数列 {a n }n ≥1 满足limn →+∞n ( ∑ √n + a k − n 2k =1)=α.1 1 1 1证明: 由 Taylor 展式, ∀ x ∈ [− 2 , 2 ], 存在 ξ ∈ [− 2 , 2] 使得√1 + x = 1 + x − x .2 8(1 + ξ) 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(1 分)从而.√ x . 1 1. .. 1 + x − 1 + 2. ≤ x ,∀ x ∈ [− 2 , 2 ].. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2 分)于是当 n ≥ 2 时, 不管我们怎么选取只取值 ±1 的数列 {a n }n ≥1, 均有n ∑ .√ 3 ∑ a . . 2 k . . k =1 n n + a k − n− k =1n2√n .= √n ∑ .√ + a k ∑(1 + a k . . 1 k =1nn − k =12n .√ ∑ ( a k)2 1 ≤ n nk =1≤ √n .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 分)可以有很多种方法选取只取值 ±1 的数列 {a n }n ≥1 使得lim n →+∞ n∑k =1a k 2√n= α.此时就成立lim n →+∞n ( ∑ √n + a k − n 2 k =1) =α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6 分)第 7 页 ( 共 13页 )√ ≤ ≤例如, 我们可以按以下方式选取: 取 a 1 = 1, 依次定义na n +1 = 1, 如果 ∑ a k < 2α√n,k =1 n −1, 如果∑k =1a k ≥ 2α √n.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分)记1n我们有y n = ∑ nk =1a k , n = 1, 2, . . . .若 y n > 2α, 我们有−√n y ny n √n − 1√n.y n +1 − y n= √n + 1− y n √n + 1 + √n + y n= − √n + 1(√n + 1 + √n ) ,这时2 − √n + 1< y n +1 − y n < 0;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(12 分)而当 y n < 2α 时, 我们有y n +1 − y n==y n √n + 1 √n + 1− y n√n + 1 + √n − y n √n + 1(√n + 1 + √n ) ;这时20 < y n +1 − y n < √n + 1 ;于是当 y n +1 − 2α 和 y n − 2α 同号时,|y n +1 − 2α| ≤ |y n − 2α|,第 8 页 ( 共 13页 )而当 y n +1 − 2α 和 y n − 2α 异号时,2一般地有|y n +1 − 2α| ≤ |y n +1 − y n | ≤ √n + 1 .2|y n +1 − 2α| ≤ max(|y n − 2α|, √n + 1 ).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(14 分)注意到对任何 N > 0, 总有 m ≥ N , 使得 y m +1 − 2α 和 y m − 2α 异号. 由上面的讨论可得到2 2因此, lim |y k − 2α| ≤ √m + 1 ≤ √N + 1,∀ k = m + 1, m + 2, . . . .y n = 2α.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(15 分)n →+∞✷第 9 页 ( 共 13页 )B 0六、 (本题 20 分) 设 A 是数域 F 上的 n 阶方阵. 证明: A 相似于0 C, 其中 B 是可逆矩阵, C 是幂零阵, 即存在 m 使得 C m = 0.证明: 设 V 是 F 上 n 维线性空间, σ 是 V 上线性变换, 它在 V 的一组基下的 矩阵为 A . 下面证明存在 σ−不变子空间 V 1 , V 2 满足 V = V 1 ⊕ V 2, 且 σ|V 1 是同构， σ|V 2 是幂零变换.首先有子空间升链： Ker σ ⊆ Ker σ2 ⊆ · · · ⊆ Ker σk ⊆ · · · 从而存在正整数 m 使得 Ker σm = Ker σm +i , (i = 1, 2, · · · ). 进而有 Ker σm = Ker σ2m . (7 分)下面证明 V = Ker σm ⊕ Im σm .∀ α ∈ Ker σm ∩Im σm , 由 α ∈ Im σm , 存在 β ∈ V , 使得 α = σm (β). 由 此 0 = σm (α) = σ2m (β), 所以 β ∈ Ker σ2m , 从而 β ∈ K er σm = Ker σ2m . 故α = σm (β) = 0. Ker σm ∩Im σm = (0), 从而 V = Ker σm ⊕ Im σm . (12 分) 由 σ(Ker σm ) ⊆ Ker σm ， σ(Im σm ) ⊆ Im σm 知 Ker σm , Im σm 是 σ−不变子 空间. 又由 σm (Ker σm ) = (0) 知 σ|Ker σm 是幂零变换. 由 σ(Im σm ) = Im σm 知 σ|Im σm 是满线性变换, 从而可逆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (17 分) 从 V 1 = Im σm , V 2 = Ker σm 中各找一组基 α1, · · · , αs ; β1, · · · , βt ，合并成 VB 0的一组基, σ 在此基下的矩阵为0 C, 其中 B 是 σ|V 1 在基 α1, · · · , αs 下的矩 阵, 从而可逆; C 是 σ|V 2 在基 β1 , · · · , βt 下的矩阵, 是幂零矩阵. 从而 A 相似于 B 0 , 其中 B 是可逆矩阵, C 是幂零矩阵. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (20 分) 0 C============================================== 注： 如果视 F 为复数域直接用若当标准型证明, 证明正确可以给 10 分： 存在可逆矩阵 P , 使得P −1AP = diag (J (λ1, n 1), · · · , J (λs , n s ), J (0, m 1), · · · , J (0, m t )),其中J (λi,n i)是特征值为λi 的阶为n i 的若当块，λi=0; J (0, m j) 特征值为0 的阶为m j 的若当块. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 分)令B = diag (J (λ1, n1 ), · · ·, J (λs, n s )),C = diag (J (0, m1), · · ·, J (0, m t)),则B 为可逆矩阵, C 为幂零矩阵, A 相似于B 0. . . . . . . . . . . . (10 分) 0 C第10 页( 共13页)第 11 页 ( 共 13页 ) ∞ F +∞ π 2七、 (本题 15 分) 设 F (x ) 是 [0, + ) 上的单调递减函数, lim x →+∞ F (x ) = 0, 且 lim n →+∞ ∫ +∞ 0 F (t ) sin t dt = 0. n ∫ +∞证明: (i) lim x →+∞ xF (x ) = 0, (ii) lim x →0 0 F (t ) sin(xt ) dt = 0.证明: 首先, 对任何 x ∈ R , 不难由关于无穷积分收敛性的 Dirichlet 判别法得 ∫ +∞到 F (t ) sin(xt ) dt 收敛. 下记0 由于 F 单调下降,f (x ) = ∫ (2k +2)π∫ +∞ 0 F (t ) sin(xt ) dt, ∀ x ∈ R . 2k π ∫ π ( = 0 F (nt ) sin t dt) F (2nk π + nt ) − F (2nk π + 2nπ − nt )sin t dt≥ 0, ∀ k = 0, 1, 2, . . . .从而 f ( 1 ) = ∫ n 0t F (t ) sin dt n ∫ +∞ =nF (nt ) sin t dt ∞ = ∑ k =0 ∫ (2k +2)π 2k π nF (nt ) sin t dt∫ 2π ≥ 0 ∫ π nF (nt ) sin t dt( )= n F (nt ) − F (2nπ − nt ) 0 ∫ 2 ( sin t dt ) ≥ n F (nt ) − F (2nπ − nt ) 0 π sin t dt[ ≥ n F ( nπ ) 2 ( 3nπ )] ∫ 2 − F 0 sin t dt = n [≥ 0. ( nπ ) 2( 3nπ )] − F 2第 12 页 ( 共 13页 ) n n n → ∞ ∀ m≤. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 分) 结合 lim n →+∞ f ( 1 ) = 0 得 n lim[ (nπ ) ( 3nπ )] F − F= 0.n →+∞ 2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (7 分) 这样, 任取 δ > 0, 有 N > 0 使得当 n > N 时, 有. (nπ ) .F ( 3nπ ). − F . ≤ δ.. 2 2 . 从而对任何 m > 0, n > N 有(nπ ) 0 ≤ nF m∑ ≤ 2 . ( 3k nπ ) .F ( 3k +1 nπ ). − F . + nF(3m +1 nπ ). k =0 ∑ δ 2 2 . 2(3m +1 nπ )≤ k =0 3k + nF 23δ + nF 2 ( 3m +1 nπ ).2 上式中令 m + , 由 lim x →+∞ F (x ) = 0 得到0 ≤ nF 所以( nπ )2 ≤3δ, n > N .2lim n →+∞ nF ( nπ ) = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (9 分)进一步利用单调性, 当 x > π 2时, 有0 ≤ xF (x ) ≤ π[ 2x ]F ([ 2x ] · π ),π π 2其中 [s ] 表示实数 s 的整数部分. 于是可得lim x →+∞ x F (x ) = 0.第 13 页 ( 共 13页 ) ≤. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分) 从而又知 xF (x ) 在 [0, +∞) 上有界, 设上界为 M ≥ 0.∀ ε ∈ (0, π), 当 x > 0 时, 我们有∫ +∞0 ≤ f (x ) = 0 ∫ π x −1F (x −1t ) sin t dt sin t x −1t H (x −1t ) dt 0 t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (12 分) ∫ π sin t ≤ x −1ε H (x −1 ε) εt dt + M ε, ∀ x > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (14 分)于是0 ≤ lim x →0+f (x ) ≤ M ε. 由 ε ∈ (0, π) 的任意性, 可得 lim x →0+ f (x ) = 0.进而因 f 是奇函数推得 lim f (x ) = 0. . . . . . . . . . . . . (15 分) x →0 ✷。
前三届全国大学生高等数学竞赛真题及答案大纲非数学类
中国大学生数学竞赛竞赛大纲为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才,更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标,特制订本大纲;一、竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣,进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,发现和选拔数学创新人才;“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生;二、竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题;中国大学生数学竞赛非数学专业类竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容,具体内容如下：一、函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7．函数的连续性含左连续与右连续、函数间断点的类型.8．连续函数的性质和初等函数的连续性.9．闭区间上连续函数的性质有界性、最大值和最小值定理、介值定理.二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n 阶导数.5. 微分中值定理,包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必达L ’Hospital 法则与求未定式极限.7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线水平、铅直和斜渐近线、函数图形的描绘.8. 函数最大值和最小值及其简单应用. 9. 弧微分、曲率、曲率半径. 三、一元函数积分学1. 原函数和不定积分的概念.2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨Newton-Leibniz 公式.4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6. 广义积分.7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值． 四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利Bernoulli 方程、全微分方程.3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：),()n (x f y = ),,(y x f y '='' ),(y y f y '=''. 4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数,以及它们的和与积7. 欧拉Euler 方程.8. 微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学1.多元函数的概念、二元函数的几何意义.2.二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4.多元复合函数、隐函数的求导法.5.二阶偏导数、方向导数和梯度.6.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7.二元函数的二阶泰勒公式.8.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算直角坐标、极坐标、三重积分的计算直角坐标、柱面坐标、球面坐标.2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3.格林Green公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5.高斯Gauss公式、斯托克斯Stokes公式、散度和旋度的概念及计算.6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨Leibniz判别法.3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幂级数及其收敛半径、收敛区间指开区间、收敛域与和函数.6.幂级数在其收敛区间内的基本性质和函数的连续性、逐项求导和逐项积分、简单幂级数的和函数的求法.7.初等函数的幂级数展开式.8.函数的傅里叶Fourier系数与傅里叶级数、狄利克雷Dirichlei定理、函数在-l,l上的傅里叶级数、函数在0,l上的正弦级数和余弦级数前三届高数竞赛预赛试题非数学类参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题;2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题每小题5分,共20分1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=,⎰-=102d 1u uu 令u t -=1,则21t u -=dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-,2．设)(x f 是连续函数,且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=2d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f ,A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A ;因此3103)(2-=x x f ; 3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行,因此,由xz x =,yz y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====,即1,200==y x ,又5)1,2(),(00==z y x z ,于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ,即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x ;4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则=22d d xy________________. 解: 方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导,得因)(29ln y f y xe e =,故y y y f x '=''+)(1,即))(1(1y f x y '-=',因此二、5分求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ,其中n 是给定的正整数. 解 :因 故 因此三、15分设函数)(x f 连续,⎰=10d )()(t xt f x g ,且A xx f x =→)(lim,A 为常数,求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.解 : 由A x x f x =→)(lim和函数)(x f 连续知,0)(lim lim )(lim )0(000===→→→xx f x x f f x x x因⎰=10d )()(t xt f x g ,故0)0(d )0()0(10===⎰f t f g , 因此,当0≠x 时,⎰=xu u f xx g 0d )(1)(,故 当0≠x 时,xx f u u f x x g x )(d )(1)(02+-='⎰, 这表明)(x g '在0=x 处连续.四、15分已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证：1⎰⎰-=---Lx y Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；22sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .证 :因被积函数的偏导数连续在D 上连续,故由格林公式知 1y x ye y xe x x ye y xe Dx y Lx y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=---而D 关于x 和y 是对称的,即知 因此 2因 故 由 知即 2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe五、10分已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.解 设x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,则x x e e y y 212-=--和x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程 的解,因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ,而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ,由)(2111x f y y y =-'-''和 x x x e xe e y 212++=',x x x e xe e y 2142++='' 知,1112)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x x x e xe e e xe e e xe +-++-++= 二阶常系数线性非齐次微分方程为六、10分设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解 因抛物线c bx ax y ln 22++=过原点,故1=c ,于是 即而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 即 令0)1(278)21(3152)(=---+='a a a a V πππ, 得 即 因此45-=a ,23=b ,1=c .七、15分已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和.解x n n ne x x u x u 1)()(-+=', 即由一阶线性非齐次微分方程公式知 即 因此由)1()1(nC e u n e n +==知,0=C , 于是下面求级数的和：令 则 即由一阶线性非齐次微分方程公式知令0=x ,得C S ==)0(0,因此级数∑∞=1)(n n x u 的和八、10分求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.解 令2)(t x t f =,则因当10<<x ,(0,)t ∈+∞时,2()2ln 0t f t tx x '=<,故xt t ex t f 1ln22)(-==在(0,)+∞上严格单调减;因此即()d ()1()d n f t t f n f t t ∞+∞+∞=≤≤+∑⎰⎰,又2()n n n f n x ∞∞===∑∑,21ln1d 1ln1d d d )(01ln222πxt e xt et x t t f t xt t ====⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+∞+,所以,当-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量是x-121π;2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题; 一、25分,每小题5分1设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞2求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭;3设0s >,求0(1,2,)sx n I e x dx n ∞-==⎰;4设函数()f t 有二阶连续导数,1(,)r g x y f r ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求2222g g x y ∂∂+∂∂;5求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩与直线2213:421x y z l ---==--的距离; 解：122(1)(1)(1)nn x a a a =+++=22(1)(1)(1)(1)/(1)nn x a a a a a =-+++- =222(1)(1)(1)/(1)na a a a -++-==12(1)/(1)n a a +--2 22211ln (1)ln(1)1lim 1lim lim x x x e x x xx xx x x e e e x -++--→∞→∞→∞⎛⎫+== ⎪⎝⎭令x=1/t,则原式=21(ln(1))1/(1)112(1)22lim lim lim t t t t ttt t t eeee +-+---+→→→===30000112021011()()[|](1)!!sx n n sx n sx sx nn sx n n n n n I e x dx x de x e e dx s s n n n n n n e x dx I I I s s s s s∞∞∞---∞-∞----+==-=--=-=====⎰⎰⎰⎰ 二、15分设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数,并且()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞→-∞''''>=>=<且存在一点0x ,使得0()0f x <;证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根;解： 二阶导数为正,则一阶导数单增,fx 先减后增,因为fx 有小于0的值,所以只需在两边找两大于0的值; 将fx 二阶泰勒展开： 因为二阶倒数大于0,所以lim ()x f x →+∞=+∞,lim ()x f x →-∞=-∞证明完成;三、15分设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定,其中()t ψ具有二阶导数,曲线()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切,求函数()t ψ; 解：这儿少了一个条件22d ydx=由()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切得 3(1)2e ψ=,'2(1)eψ= 22d y dx ='3''()(2(/)(/)//(22)2)2()d dy dx d dy dx dt dx dx d t t t t t ψψ==++-=;;; 上式可以得到一个微分方程,求解即可; 四、15分设10,,nn n k k a S a =>=∑证明：1当1α>时,级数1nn na S α+∞=∑收敛； 2当1α≤且()n s n →∞→∞时,级数1nn na S α+∞=∑发散; 解：1n a >0, n s 单调递增 当1n n a ∞=∑收敛时,1n n n a a s s αα<,而1n a s α收敛,所以nn a s α收敛； 当1n n a ∞=∑发散时,lim n n s →∞=∞所以,11111211n n n s s n s s n n n a a a dx dx s s xs x ααααα-∞∞==<+=+∑∑⎰⎰而1111111111lim 11ns n s n s s a a s dx k x s s αααααααα---→∞-=+=+=--⎰,收敛于k;所以,1nn na s α∞=∑收敛; 2lim n n s →∞=∞所以1n n a ∞=∑发散,所以存在1k ,使得112k n n a a =≥∑于是,111122212k k k n n n n nk a a a s s s α≥≥≥∑∑∑依此类推,可得存在121...k k <<<使得112i i k n k n a s α+≥∑成立,所以112Nk n na N s α≥⋅∑ 当n →∞时,N →∞,所以1nn na s α∞=∑发散 五、15分设l 是过原点、方向为(,,)αβγ,其中2221)αβγ++=的直线,均匀椭球2222221x y z a b c++≤,其中0,c b a <<<密度为1绕l 旋转; 1求其转动惯量；2求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值; 解：1椭球上一点Px,y,z 到直线的距离 由轮换对称性, 2a b c >>∴当1γ=时,22max 4()15I abc a b π=+ 当1α=时,22min 4()15I abc b c π=+ 六、15分设函数()x ϕ具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上,曲线积分422()cxydx x dyx yϕ++⎰的值为常数; 1设L 为正向闭曲线22(2)1,x y -+=证明422()0;cxydx x dyx y ϕ+=+⎰2求函数()x ϕ；3设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求422()cxydx x dyx y ϕ++⎰;解：（1） L 不绕原点,在L 上取两点A,B,将L 分为两段1L ,2L ,再从A,B 作一曲线3L ,使之包围原点; 则有 （2） 令42422(),xy x P Q x y x y ϕ==++ 由1知0Q P x y∂∂-=∂∂,代入可得 上式将两边看做y 的多项式,整理得 由此可得 解得：2()x x ϕ=-（3） 取'L 为424x y ξ+=,方向为顺时针2011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题;一． 计算下列各题本题共3小题,每小题各5分,共15分1.求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭；解：用两个重要极限：2.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭； 解：用欧拉公式令111...12n x n n n n=++++++ 其中,()1o 表示n →∞时的无穷小量,3已知()2ln 1arctan tt x e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩,求22d y dx ; 解：222222221211,121121tt t t t t t t t tte dx e dy e dy e e e e dt e dt e dx e e --++==-∴==+++ 二．本题10分求方程()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解;解：设24,1P x y Q x y =+-=+-,则0Pdx Qdy +=1,P Q y x ∂∂==∴∂∂0Pdx Qdy +=是一个全微分方程,设dz Pdx Qdy =+ ,P Q y x∂∂=∴∂∂该曲线积分与路径无关 三．本题15分设函数fx 在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且()()()'"0,0,0f f f 均不为0,证明：存在唯一一组实数123,,k k k ,使得()()()()1232230lim0h k f h k f h k f h f h→++-=;证明：由极限的存在性：()()()()1230lim 2300h k fh k f h k f h f →++-=⎡⎤⎣⎦即[]()123100k k k f ++-=,又()00f ≠,1231k k k ∴++=①由洛比达法则得由极限的存在性得()()()'''1230lim 22330h k fh k f h k f h →⎡⎤++=⎣⎦即()()'1232300k k k f ++=,又()'00f ≠,123230k k k ∴++=②再次使用洛比达法则得123490k k k ∴++=③由①②③得123,,k k k 是齐次线性方程组1231231231230490k k k k k k k k k ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解设1231111123,,01490k A x k b k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则Ax b =, 增广矩阵*111110031230010314900011A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()(),3R A b R A ==所以,方程Ax b =有唯一解,即存在唯一一组实数123,,k k k 满足题意, 且1233,3,1k k k ==-=;四．本题17分设2221222:1x y z a b c∑++=,其中0a b c >>>,2222:z x y ∑=+,Γ为1∑与2∑的交线,求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值;解：设Γ上任一点(),,M x y z ,令()222222,,1x y z F x y z a b c=++-,则'''222222,,,x y z x y z F F F a b c ===∴椭球面1∑在Γ上点M 处的法向量为：222,,,x y z t a b c ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭1∑在点M 处的切平面为∏：原点到平面∏的距离为d =,令()222444,,,x y z G x y z a b c =++则1d =现在求()222444,,,x y z G x y z a b c =++在条件2222221x y z a b c++=,222z x y =+下的条件极值,令()()22222222212444222,,1x y z x y z H x y z x y z a b c a b c λλ⎛⎫=+++++-++- ⎪⎝⎭则由拉格朗日乘数法得：'1242'1242'1242222222222222022202220100x y z xx H x a a y y H y b b z z H z c c x y z ab c x y z λλλλλλ⎧=++=⎪⎪⎪=++=⎪⎪⎪=+-=⎨⎪⎪++-=⎪⎪⎪+-=⎪⎩, 解得2222220x b c y z b c =⎧⎪⎨==⎪+⎩或222222a c x z a c y ⎧==⎪+⎨⎪=⎩, 对应此时的()()442222,,b c G x y z b c b c +=+或()()442222,,a c G x y z a c a c +=+此时的1d =2d =又因为0ab c >>>,则12d d <所以,椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为：2d =1d =五．本题16分已知S 是空间曲线2231x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分0z ≥取上侧,∏是S 在(),,Px y z 点处的切平面,(),,x y z ρ是原点到切平面∏的距离,,,λμν表示S 的正法向的方向余弦;计算：1(),,SzdS x y z ρ⎰⎰；2()3S z x y z dS λμν++⎰⎰解：1由题意得：椭球面S 的方程为()222310x y z z ++=≥令22231,Fx y z =++-则'''2,6,2x y z F x F y F z ===,切平面∏的法向量为(),3,n x y z =,∏的方程为()()()30x X x y Y y z Z z -+-+-=,原点到切平面∏的距离()222,,x y z ρ==将一型曲面积分转化为二重积分得：记22:1,0,0xz D x z x z +≤≥≥2方法一：λμν===六．本题12分设fx 是在(),-∞+∞内的可微函数,且()()f x mf x <、,其中01m <<,任取实数0a ,定义()1ln ,1,2,...,n n a f a n -==证明：()11n n n a a ∞-=-∑绝对收敛; 证明：()()112ln ln nn n n a a f a f a ----=-由拉格朗日中值定理得：ξ∃介于12,n n a a --之间,使得()()()'112n n n n f a a a a f ξξ---∴-=-,又()()f mf ξξ<、得()()'f m f ξξ<∴级数1101n n m a a ∞-=-∑收敛,∴级数11nn n aa ∞-=-∑收敛,即()11nn n aa ∞-=-∑绝对收敛;七．本题15分是否存在区间[]0,2上的连续可微函数fx,满足()()021f f ==,()()201,1fx f x dx ≤≤⎰、请说明理由;解：假设存在,当[]0,1x ∈时,由拉格朗日中值定理得： 1ξ∃介于0,x 之间,使得()()()'10,f x f f x ξ=+, 同理,当[]1,2x ∈时,由拉格朗日中值定理得：2ξ∃介于x,2之间,使得()()()()'222f x f f x ξ=+-即()()[]()()()[]''121,0,1;12,1,2f x f x x f x f x x ξξ=+∈=+-∈ ()11f x -≤≤、,显然,()()200,0f x f x dx ≥≥⎰()()()()()1221211111133x dx x dx f x dx x dx x dx ≤-+-≤≤++-=⎰⎰⎰⎰⎰()21f x dx ∴≥⎰,又由题意得()()221,1f x dx f x dx ≤∴=⎰⎰即()21f x dx =⎰,()[][]1,0,11,1,2x x f x x x ⎧-∈⎪∴=⎨-∈⎪⎩ ()'1f ∴不存在,又因为fx 是在区间[]0,2上的连续可微函数,即()'1f 存在,矛盾,故,原假设不成立,所以,不存在满足题意的函数fx;。
历届全国大学生数学竞赛预赛试题
全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算()ln(1)d yx y x y ++=⎰⎰，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满足22()3()d 2f x x f x x =--⎰，则()f x =.3．曲面2222x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy.二、（5分）求极限x enx x x x ne e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(xf 连续，10()()g x f xt dt =⎰，且A x x f x =→)(lim 0，A 为常数，求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足1()()1,2,n x n n u x u x x e n -'=+=L ，且ne u n =)1(，求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和.八、（10分）求-→1x 时，与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1)nn x a a a =+++L ，其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭. （3）设0s >，求0(1,2,)sx n n I e x dx n ∞-==⎰L .（4）设函数()f t 有二阶连续导数，1(,)r g x y f r ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求2222g gx y∂∂+∂∂. （5）求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩与直线2213:421x y z l ---==--的距离.二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且()0f x ''>，lim ()0x f x α→+∞'=>，lim ()0x f x β→-∞'=<，且存在一点0x ，使得0()0f x <. 证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根.三、（15分）设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定，且22d 3d 4(1)y x t =+， 其中()t ψ具有二阶导数，曲线()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切，求函数()t ψ.四、（15分）设10,nn n k k a S a =>=∑，证明：（1）当1α>时，级数1nn na S α+∞=∑收敛；（2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1n n na S α+∞=∑发散.五、（15分）设l 是过原点、方向为(,,)αβγ，（其中2221)αβγ++=的直线，均匀椭球2222221x y z a b c ++≤（其中0c b a <<<，密度为1）绕l 旋转.（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值. 六、(15分)设函数()x ϕ具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线积分422d ()d 0Lxy x x yx y ϕ+=+⎰Ñ的值为常数.（1）设L 为正向闭曲线22(2)1x y -+=，证明422d ()d 0L xy x x yx yϕ+=+⎰Ñ； （2）求函数()x ϕ；（3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422d ()d C xy x x yx y ϕ++⎰Ñ.2011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）（1）求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭；（2）.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭； （3）已知()2ln 1arctan ttx e y t e⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d d yx.二、（本题10分）求方程()()24d 1d 0x y x x y y +-++-=的通解. 三、（本题15分）设函数()f x 在0x =的某邻域内具有二阶连续导数，且()()()0,0,0f f f '''均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得()()()()12320230lim0h k f h k f h k f h f h →++-=. 四、（本题17分）设2221222:1x y z a b c∑++=，其中0a b c >>>，2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值. 五、（本题16分）已知S 是空间曲线22310x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z ≥）（取上侧），∏是S 在(,,)P x y z 点处的切平面，(,,)x y z ρ是原点到切平面∏的距离，,,λμν表示S 的正法向的方向余弦. 计算： （1）()d ,,SzS x y z ρ⎰⎰；（2）()3d Sz x y z S λμν++⎰⎰ 六、（本题12分）设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x '<，其中01m <<，任取实数0a ，定义1ln (),1,2,...n n a f a n -==，证明：11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.七、（本题15分）是否存在区间[]0,2上的连续可微函数()f x ，满足(0)(2)1f f ==，()1f x '≤，2()d 1f x x ≤⎰?请说明理由.2012年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）解答下列各题（要求写出重要步骤）. （1）求极限21lim(!)n n n →∞. （2）求通过直线2320:55430x y z l x y z +-+=⎧⎨+-+=⎩的两个互相垂直的平面1π和2π，使其中一个平面过点(4,3,1)-. （3）已知函数(,)ax byz u x y e+=，且20ux y∂=∂∂. 确定常数a 和b ，使函数(,)z z x y =满足方程20z z zz x y x y∂∂∂--+=∂∂∂∂.（4）设函数()u u x =连续可微，(2)1u =，且3(2)d ()d L x y u x x u u y +++⎰在右半平面与路径无关，求(,)u x y .（5）求极限1lim x x x t +. 二、（本题10分）计算20sin d x e x x +∞-⎰.三、（本题10分）求方程21sin 2501x x x=-的近似解，精确到0.001.四、（本题12分）设函数()y f x =二阶可导，且()0f x ''>，(0)0f =，(0)0f '=，求330()lim ()sin x x f u f x u→，其中u 是曲线()y f x =上点(,())P x f x 处的切线在x 轴上的截距.五、（本题12分）求最小实数C ，使得满足10()d 1f x x =⎰的连续函数()f x都有10f dx C ≤⎰.六、（本题12分）设()f x 为连续函数，0t >. 区域Ω是由抛物面22z x y =+和球面 2222x y z t ++=(0)z >所围起来的部分. 定义三重积分222()()d F t f x y z v Ω=++⎰⎰⎰，求()F t 的导数()F t ''.七、（本题14分）设1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑为正项级数，证明：（1）若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++->，则级数1n n a ∞=∑收敛； （2）若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++-<，且级数1n n b ∞=∑发散，则级数1n n a ∞=∑发散.2013年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、解答下列各题（每小题6分，共24分，要求写出重要步骤）1.求极限(lim 1sin nn →∞+.2.证明广义积分0sin d xx x+∞⎰不是绝对收敛的. 3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值. 4.过曲线0)y x =≥上的点A 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为34，求点A 的坐标.二、（满分12分）计算定积分2sin arctan d 1cos xx x e I x xππ-⋅=+⎰.三、（满分12分）设()f x 在0x =处存在二阶导数(0)f ''，且()lim 0x f x x→=.证明：级数11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛.四、（满分12分）设(),()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤，证明2sin ()d baf x x m ≤⎰.五、（满分14分）设∑是一个光滑封闭曲面，方向朝外.给定第二型的曲面积分()()()333d d 2d d 3d d I xx y z y y z x z z x y∑=-+-+-⎰⎰.试确定曲面∑，使积分I 的值最小，并求该最小值.六、（满分14分）设22d d ()()a aC y x x y I r x y -=+⎰，其中a 为常数，曲线C 为椭圆222x xy y r ++=，取正向.求极限lim ()a r I r →+∞. 七、（满分14分）判断级数()()1111212n n n n ∞=+++++∑L 的敛散性，若收敛，求其和.2014年 第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（共有5小题，每题6分，共30分）1.已知1x y e =和1x y xe =是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是 .2.设有曲面22:2S z x y =+和平面022:=++z y x L . 则与L 平行的S 的切平面方程是 .3.设函数()y y x =由方程21sin d 4y xt x tπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰所确定.求d d x y x== .4.设1(1)!nn k kx k ==+∑，则=∞→n n x lim . 5.已知13()lim 1xx f x x e x →⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则=→20)(lim x x f x . 二、（本题12分）设n 为正整数，计算21d 1cos ln d d n eI x x x π-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰. 三、（本题14分）设函数()f x 在]1,0[上有二阶导数，且有正常数,A B 使得()f x A ≤，|"()|f x B ≤. 证明：对任意]1,0[∈x ，有22|)('|BA x f +≤. 四、（本题14分）（1）设一球缺高为h ，所在球半径为R . 证明该球缺体积为2)3(3h h R -π，球冠面积为Rh π2；（2）设球体12)1()1()1(222≤-+-+-z y x 被平面6:=++z y x P 所截的小球缺为Ω，记球缺上的球冠为∑，方向指向球外，求第二型曲面积分d d d d d d I x y z y z x z x y ∑=++⎰⎰.五、（本题15分）设f 在],[b a 上非负连续，严格单增，且存在],[b a x n ∈，使得⎰-=b a nn n dx x f ab x f )]([1)]([.求n n x ∞→lim . 六、（本题15分）设2222212n n n n A n n n n =++++++L ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n A n 4lim π.2015年 第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）（1）极限2222sin sin sin lim 12n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪+++= ⎪+++ ⎪⎝⎭L . （2）设函数(),z z x y =由方程,0z z F x y yx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所决定，其中(),F u v 具有连续偏导数，且0u v xF yF +≠则z z x y xy∂∂+=∂∂ .（3）曲面221z x y =++在点()1,1,3M -的切平面与曲面所围区域的体积是 . （4）函数()[)[)3,5,00,0,5x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩在(]5,5-的傅立叶级数在0x =收敛的是 .（5）设区间()0,+∞上的函数()u x 定义域为()20xt u x e dt +∞-=⎰，则()u x 的初等函数表达式是 .二、（12分）设M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程. 三、（12分）设()f x 在(),a b 内二次可导，且存在常数,αβ，使得对于(),x a b ∀∈，有()()()f x f x f x αβ'=+，则()f x 在(),a b 内无穷次可导. 四、（14分）求幂级数()()30211!nn n x n ∞=+-+∑的收敛域及其和函数.五、（16分）设函数()f x 在[]0,1上连续，且()()11000,1f x dx xf x dx ==⎰⎰. 试证：（1）[]00,1x ∃∈使()04f x >； （2）[]10,1x ∃∈使()14f x =.五、（16分）设(),f x y 在221x y +≤上有连续的二阶偏导数，且2222xx xy yy f f f M ++≤. 若()()()0,00,0,00,00x y f f f ===，证明：()221,4x y f x y dxdy +≤≤⎰⎰.2016年 第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，满分30分） 1、若()f x 在点x a =可导，且()0f a ≠，则()1lim nn f a n f a →∞⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪= ⎪⎪⎝⎭. 2、若()10f =，()1f '存在，求极限()()220sin cos tan3lim1sin x x f x x xI ex→+=-.3、设()f x 有连续导数，且()12f =，记()2x z f e y =，若z z x∂=∂，求()f x 在0x >的表达式.4、设()sin 2xf x ex =，求02n a π<<，()()40f .5、求曲面22 2x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程.二、（14分）设()f x 在[]0,1上可导，()00f =，且当()0,1x ∈，()01f x '<<，试证当()0,1a ∈，()()()2300d d aaf x xf x x >⎰⎰.三、（14分）某物体所在的空间区域为222:22x y z x y z Ω++≤++，密度函数为222x y z ++，求质量()222d d d M xy z x y z Ω=++⎰⎰⎰.四、（14分）设函数()f x 在闭区间[]0,1上具有连续导数，()00f =，()11f =，证明：()10111lim 2nn k k n f x dx f n n →∞=⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰.五、（14分）设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续，且()10d 0I f x x =≠⎰，证明：在()0,1内存在不同的两点12,x x ，使得()()12112f x f x I+=. 六、（14分）设()f x 在(),-∞+∞可导，且()()(2f x f x f x =+=.用级数理论证明()f x 为常数.2017年 第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、1. 已知可导函数满足⎰+=+xx tdt t f x xf 01sin )(2)(cos ，则()f x .2． 求⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n 22sin lim π.3. 设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c为非零常数. 则21xx yy w w c-. 4. 设()f x 有二阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，则240(sin )lim x f x x →. 5. 不定积分sin 2sin 2(1sin )x e xI dx x -=-⎰. 6. 记曲面222z x y =+和224z x y =--围成空间区域为V ，则三重积分Vzdxdydz ⎰⎰⎰.二、（本题满分14分) 设二元函数(,)f x y 在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度α，定义一元函数()(cos ,sin )g t f t t =ααα.若对任何α都有(0)0dg dtα=且22(0)0d g dt α>. 证明)0,0(f 是(,)f x y 的极小值.三、(本题满分14分) 设曲线Γ为在2221x y z ++=，1x z +=，0,0,0x y z ≥≥≥上从(1,0,0)A 到(0,0,1)B 的一段. 求曲线积分⎰Γ++=xdz zdy ydx I .四、(本题满分15分) 设函数()0f x >且在实轴上连续，若对任意实数t ，有||()1t x ef x dx +∞---∞≤⎰，则,()a b a b ∀<，2()2ba b a f x dx -+≤⎰. 五、(本题满分15分) 设{}n a 为一个数列，p 为固定的正整数。
历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类
高数竞赛预赛试题〔非数学类〕〔参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
〕2021年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题〔每题5分，共20分〕1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令v x u y x ==+,，那么v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，令u t -=1，那么21t u -=2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 那么=)(x f .解:令⎰=20d )(x x f A ，那么23)(2--=A x x f ， 解得。
因此。
3．曲面平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，那么.解:方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导，得 因)(29ln y f y xe e =，故，即，因此二、〔5分〕求极限x enx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 解:因 故 因此三、〔15分〕设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.解:由与函数)(x f 连续知，0)(limlim )(lim )0(000===→→→xx f x x f f x x x 因⎰=10d )()(t xt f x g ，故0)0(d )0()0(10===⎰f t f g ， 因此，当0≠x 时，，故 当0≠x 时，这说明)(x g '在0=x 处连续.四、〔15分〕平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：〔1〕⎰⎰-=---Lx y Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；〔2〕2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .证:因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知 〔1〕y x ye y xe x x ye y xe Dx y Lx y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=---而D 关于x 与y 是对称的，即知 因此 〔2〕因 故 由知即 2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe五、〔10分〕x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解设x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，那么x x e e y y 212-=--与x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程的解，因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ，而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ，由)(2111x f y y y =-'-''与 知，1112)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x x x e xe e e xe e e xe +-++-++= 二阶常系数线性非齐次微分方程为六、〔10分〕设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解因抛物线c bx ax y ln 22++=过原点，故1=c ，于是 即而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 即 令 得 即 因此七、〔15分〕)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且, 求函数项级数之与.解 即由一阶线性非齐次微分方程公式知 即 因此 由知，0=C ， 于是下面求级数的与：令 那么 即由一阶线性非齐次微分方程公式知 令0=x ，得C S ==)0(0，因此级数的与 八、〔10分〕求-→1x 时, 与等价的无穷大量.解令2)(t x t f =，那么因当10<<x ，(0,)t ∈+∞时，2()2ln 0t f t tx x '=<，故xt t ex t f 1ln22)(-==在(0,)+∞上严格单调减。
大学数学竞赛题库及答案
大学数学竞赛题库及答案一、单项选择题1. 设函数f(x) = (x - 1) / (x + 1)，则f(-1)的值为（）A. -1B. 0C. 1D. -∞答案：A2. 设矩阵A = [[a, b], [c, d]]，则A的行列式det(A)的值为（）A. ad - bcB. a + b + c + dC. ab + bd + ca + dcD. |a| |b| |c| |d|答案：A3. 设函数f(x) = x^3 - 6x + 9，则f'(x)的值为（）A. 3x^2 - 6B. x^3 - 6C. 9 - 6xD. 3x^2答案：A4. 设函数f(x) = ln(x)，则f'(x)的值为（）A. 1/xB. xC. 1D. e^x答案：A5. 设向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的点积a·b的值为（）A. -5B. 4C. 7D. 0答案：A二、多项选择题6. 以下哪个选项是正确的矩阵乘法规则？（）A. AB = BAB. (AB)C = A(BC)C. (A+B)C =AC+BC D. A(B+C) = AB+AC答案：B7. 以下哪个选项是正确的导数运算法则？（）A. (f+g)' = f' + g'B. (fg)' = fg' + gf'C. (f/g)' = f'/g - f/g^2D. (f^n)' = nf^(n-1)答案：A、C三、填空题8. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(x)的图像是一个________。
答案：抛物线9. 设矩阵A = [[1, 2], [3, 4]], 则矩阵A的逆矩阵A^-1为________。
答案：[[2, -1], [-3, 1]]10. 设向量a = (2, 3), 向量b = (-1, 2), 则向量a与向量b的夹角θ的值为________。
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
前三届全国大学生高等数学竞赛真题及答案大纲)非数学类
中国大学生数学竞赛竞赛大纲为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。
一、竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。
“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。
二、竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。
中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8．连续函数的性质和初等函数的连续性.9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8. 函数最大值和最小值及其简单应用.9. 弧微分、曲率、曲率半径. 三、一元函数积分学1. 原函数和不定积分的概念.2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6. 广义积分.7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值． 四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：),()n (x f y =),,(y x f y '='' ),(y y f y '=''.4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7. 欧拉(Euler)方程.8. 微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程. 六、多元函数微分学1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义.2. 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4. 多元复合函数、隐函数的求导法.5. 二阶偏导数、方向导数和梯度.6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7. 二元函数的二阶泰勒公式.8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1. 二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2. 两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3. 格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5. 高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.6. 重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等) 八、无穷级数1. 常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2. 几何级数与p 级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.3. 任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4. 函数项级数的收敛域与和函数的概念.5. 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6. 幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.7. 初等函数的幂级数展开式.8. 函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l ，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
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第 1 页 ( 共 13页 )2√ −第三届中国大学生数学竞赛赛区赛试题参考答案 (数学类, 2011)一、 (本题 15 分) 已知四点 A (1, 2, 7), B (4, 3, 3), (5, −1, 6), (√7, √7, 0). 试求过这 四点的球面方程.解答: 设所求球面的球心为 (x ¯, y ¯, z ¯), 则(x ¯ − 1)2 + (y ¯ − 2)2 + (z ¯ − 7)2 = (x ¯ − 4)2 + (y ¯ − 3)2 + (z ¯ − 3)2= (x ¯ − 5)2 + (y ¯ + 1)2 + (z ¯ − 6)2= (x ¯ − √ 7) + (y ¯ − 7)2 + z ¯2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8 分)即3x ¯ + y ¯ − 4z ¯ = −10, 4x ¯ − 3y ¯ − z ¯ = 4, (√7 1)x ¯ + (√7 − 2)y ¯ − 7z ¯ = −20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分) 解得 (x ¯, y ¯, z ¯) = (1, −1, 3). 而. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(14 分)于是所求球面方程为(x ¯ − 1)2 + (y ¯ − 2)2 + (z ¯ − 7)2 = 25.(x − 1)2 + (y + 1)2 + (z − 3)2 = 25.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(15 分)第 2 页 ( 共 13页 )∫ 1 n ∏二、 (本题 10 分) 设 f 1, f 2 , . . . , f n 为 [0, 1] 上的非负连续函数. 求证: 存在 ξ ∈ [0, 1], 使得 n n ∫ 1 ∏ f k (ξ) ≤ ∏f k (x ) dx.证明: 记k =1∫ 1k =1 0a k = f k (x ) dx,∀ k = 1, 2, . . . , n.当某个 a k = 0 时, 结论是平凡的. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1 分)下设 a k > 0 ( ∀ k = 1, 2, . . . , n ). 我们有‚ . .n , 0k =1f k (x ) a k dx ≤ ∫ 1 1 0 n n ∑ k =1f k (x ) a k dx = 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8 分)由此立即可得存在 ξ ∈ [0, 1] 使得‚ . n .n ∏ ,k =1 f k (ξ) ≤ 1.a k结论得证.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(10 分)✷三、(本题15 分) 设F n 是数域F 上的n 维列空间, σ: F n → F n 是一个线性变换. 若∀A ∈M n(F ), σ(Aα) = Aσ(α), ( ∀α∈V ), 证明: σ= λ·id F n , 其中λ是F 中某个数, id F n 表示恒同变换.证明: 设σ在F n 的标准基ε1, · · ·, εn 下的矩阵为B, 则σ(α) = Bα( ∀α∈ F n).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 分) 由条件: ∀A ∈M n(F ), σ(Aα) = Aσ(α), ∀α∈F n, 有B Aα= ABα, ∀α∈F n.故AB = BA, ( ∀A ∈M n(F )) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分)设B = (b ij), 取A = diag (1, ···, 1, c, 1, ···, 1), 其中c=0, 1, 由AB = BA 可得b ij= 0, ∀i=j. 又取A = I n −E ii −E jj + E ij + E j i,这里E st 是(s t)−位置为1 其它位置为0 的矩阵.则由AB = BA 可得a ii = a jj, ( ∀i, j). 取λ = a11. 故B = λI n, 从而σ= λ·id F n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (15 分)第3 页( 共13页)第 4 页 ( 共 13页 )−四、 (本题 10 分) 对于 ∆AB C , 求 3 sin A + 4 sin B + 18 sin C 的最大值.解答: 三角形三个角 A, B, C 的取值范围为(A, B, C ) ∈ D ≡ {(α, β, γ)|α + β + γ = π, α > 0, β > 0, γ > 0} .我们首先考虑 3 sin A + 4 sin B + 18 sin C 在 D 的闭包E = {(α, β, γ)|α + β + γ = π, α ≥ 0, β ≥ 0, γ ≥ 0}上的最大值.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(1 分)我们有max (A,B ,C )∈E(3 sin A + 4 sin B + 18 sin C )= max (3 sin A + 4 sin(A + C ) + 18 sin C )A +C ≤πA,C ≥0= max 0≤C ≤πmax 0≤A ≤π−C((3 + 4 cos C ) sin A + +4 sin C cos A + 18 sin C )= max0≤C ≤π(√(3 + 4 cos C )2 + 16 sin 2 C + 18 sin C )= max (√25 + 24 cos C + 18 sin C ).0≤C ≤π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 分)考虑f (C ) = √25 + 24 cos C + 18 sin C,0 ≤ C ≤ π.易见π f(C ) ≥ f (π − C ), ∀ C ∈ [0, 2].. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 分)直接计算得12 sin Cf ′(C ) = 18 cos C √ .25 + 24 cos C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6 分)计算得 f ′(C ) = 0 等价于(8 cos C − 1)(27 cos 2 C + 32 cos C + 4) = 0.第 5 页 ( 共 13页 )2从而它在 [0, π ] 的解为 C = arccos 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(7 分)2 于是max 0≤C ≤πf (C ) = max0≤C ≤ π 8f (C ) = max{f (arccos1 π }), f (0), f ( ) 8 2= max { 35√7 4 }, 7, 23 =35√7. 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8 分) 由此可得 max (A,B ,C )∈E (3 sin A + 4 sin B + 18 sin C ) =35√7, 4另一方面, 不难看到 3 sin A + 4 sin B + 18 sin C 在 E 的边界上 (A, B, C 之一为零) 的最大值为 22.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (9 分) √所以所求最大值为 35 47. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分)第 6 页 ( 共 13页 )) . ) 32 3( 2n . 3五、 (本题 15 分) 对于任何实数 α, 求证存在取值于 {−1, 1} 的数列 {a n }n ≥1 满足limn →+∞n ( ∑ √n + a k − n 2k =1)=α.1 1 1 1证明: 由 Taylor 展式, ∀ x ∈ [− 2 , 2 ], 存在 ξ ∈ [− 2 , 2] 使得√1 + x = 1 + x − x .2 8(1 + ξ) 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(1 分)从而.√ x . 1 1. .. 1 + x − 1 + 2. ≤ x ,∀ x ∈ [− 2 , 2 ].. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2 分)于是当 n ≥ 2 时, 不管我们怎么选取只取值 ±1 的数列 {a n }n ≥1, 均有n ∑ .√ 3 ∑ a . . 2 k . . k =1 n n + a k − n− k =1n2√n .= √n ∑ .√ + a k ∑(1 + a k . . 1 k =1nn − k =12n .√ ∑ ( a k)2 1 ≤ n nk =1≤ √n .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 分)可以有很多种方法选取只取值 ±1 的数列 {a n }n ≥1 使得lim n →+∞ n∑k =1a k 2√n= α.此时就成立lim n →+∞n ( ∑ √n + a k − n 2 k =1) =α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6 分)第 7 页 ( 共 13页 )√ ≤ ≤例如, 我们可以按以下方式选取: 取 a 1 = 1, 依次定义na n +1 = 1, 如果 ∑ a k < 2α√n,k =1 n −1, 如果∑k =1a k ≥ 2α √n.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分)记1n我们有y n = ∑ nk =1a k , n = 1, 2, . . . .若 y n > 2α, 我们有−√n y ny n √n − 1√n.y n +1 − y n= √n + 1− y n √n + 1 + √n + y n= − √n + 1(√n + 1 + √n ) ,这时2 − √n + 1< y n +1 − y n < 0;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(12 分)而当 y n < 2α 时, 我们有y n +1 − y n==y n √n + 1 √n + 1− y n√n + 1 + √n − y n √n + 1(√n + 1 + √n ) ;这时20 < y n +1 − y n < √n + 1 ;于是当 y n +1 − 2α 和 y n − 2α 同号时,|y n +1 − 2α| ≤ |y n − 2α|,第 8 页 ( 共 13页 )而当 y n +1 − 2α 和 y n − 2α 异号时,2一般地有|y n +1 − 2α| ≤ |y n +1 − y n | ≤ √n + 1 .2|y n +1 − 2α| ≤ max(|y n − 2α|, √n + 1 ).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(14 分)注意到对任何 N > 0, 总有 m ≥ N , 使得 y m +1 − 2α 和 y m − 2α 异号. 由上面的讨论可得到2 2因此, lim |y k − 2α| ≤ √m + 1 ≤ √N + 1,∀ k = m + 1, m + 2, . . . .y n = 2α.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(15 分)n →+∞✷第 9 页 ( 共 13页 )B 0六、 (本题 20 分) 设 A 是数域 F 上的 n 阶方阵. 证明: A 相似于0 C, 其中 B 是可逆矩阵, C 是幂零阵, 即存在 m 使得 C m = 0.证明: 设 V 是 F 上 n 维线性空间, σ 是 V 上线性变换, 它在 V 的一组基下的 矩阵为 A . 下面证明存在 σ−不变子空间 V 1 , V 2 满足 V = V 1 ⊕ V 2, 且 σ|V 1 是同构， σ|V 2 是幂零变换.首先有子空间升链： Ker σ ⊆ Ker σ2 ⊆ · · · ⊆ Ker σk ⊆ · · · 从而存在正整数 m 使得 Ker σm = Ker σm +i , (i = 1, 2, · · · ). 进而有 Ker σm = Ker σ2m . (7 分)下面证明 V = Ker σm ⊕ Im σm .∀ α ∈ Ker σm ∩Im σm , 由 α ∈ Im σm , 存在 β ∈ V , 使得 α = σm (β). 由 此 0 = σm (α) = σ2m (β), 所以 β ∈ Ker σ2m , 从而 β ∈ K er σm = Ker σ2m . 故α = σm (β) = 0. Ker σm ∩Im σm = (0), 从而 V = Ker σm ⊕ Im σm . (12 分) 由 σ(Ker σm ) ⊆ Ker σm ， σ(Im σm ) ⊆ Im σm 知 Ker σm , Im σm 是 σ−不变子 空间. 又由 σm (Ker σm ) = (0) 知 σ|Ker σm 是幂零变换. 由 σ(Im σm ) = Im σm 知 σ|Im σm 是满线性变换, 从而可逆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (17 分) 从 V 1 = Im σm , V 2 = Ker σm 中各找一组基 α1, · · · , αs ; β1, · · · , βt ，合并成 VB 0的一组基, σ 在此基下的矩阵为0 C, 其中 B 是 σ|V 1 在基 α1, · · · , αs 下的矩 阵, 从而可逆; C 是 σ|V 2 在基 β1 , · · · , βt 下的矩阵, 是幂零矩阵. 从而 A 相似于 B 0 , 其中 B 是可逆矩阵, C 是幂零矩阵. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (20 分) 0 C============================================== 注： 如果视 F 为复数域直接用若当标准型证明, 证明正确可以给 10 分： 存在可逆矩阵 P , 使得P −1AP = diag (J (λ1, n 1), · · · , J (λs , n s ), J (0, m 1), · · · , J (0, m t )),其中J (λi,n i)是特征值为λi 的阶为n i 的若当块，λi=0; J (0, m j) 特征值为0 的阶为m j 的若当块. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 分)令B = diag (J (λ1, n1 ), · · ·, J (λs, n s )),C = diag (J (0, m1), · · ·, J (0, m t)),则B 为可逆矩阵, C 为幂零矩阵, A 相似于B 0. . . . . . . . . . . . (10 分) 0 C第10 页( 共13页)第 11 页 ( 共 13页 ) ∞ F +∞ π 2七、 (本题 15 分) 设 F (x ) 是 [0, + ) 上的单调递减函数, lim x →+∞ F (x ) = 0, 且 lim n →+∞ ∫ +∞ 0 F (t ) sin t dt = 0. n ∫ +∞证明: (i) lim x →+∞ xF (x ) = 0, (ii) lim x →0 0 F (t ) sin(xt ) dt = 0.证明: 首先, 对任何 x ∈ R , 不难由关于无穷积分收敛性的 Dirichlet 判别法得 ∫ +∞到 F (t ) sin(xt ) dt 收敛. 下记0 由于 F 单调下降,f (x ) = ∫ (2k +2)π∫ +∞ 0 F (t ) sin(xt ) dt, ∀ x ∈ R . 2k π ∫ π ( = 0 F (nt ) sin t dt) F (2nk π + nt ) − F (2nk π + 2nπ − nt )sin t dt≥ 0, ∀ k = 0, 1, 2, . . . .从而 f ( 1 ) = ∫ n 0t F (t ) sin dt n ∫ +∞ =nF (nt ) sin t dt ∞ = ∑ k =0 ∫ (2k +2)π 2k π nF (nt ) sin t dt∫ 2π ≥ 0 ∫ π nF (nt ) sin t dt( )= n F (nt ) − F (2nπ − nt ) 0 ∫ 2 ( sin t dt ) ≥ n F (nt ) − F (2nπ − nt ) 0 π sin t dt[ ≥ n F ( nπ ) 2 ( 3nπ )] ∫ 2 − F 0 sin t dt = n [≥ 0. ( nπ ) 2( 3nπ )] − F 2第 12 页 ( 共 13页 ) n n n → ∞ ∀ m≤. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 分) 结合 lim n →+∞ f ( 1 ) = 0 得 n lim[ (nπ ) ( 3nπ )] F − F= 0.n →+∞ 2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (7 分) 这样, 任取 δ > 0, 有 N > 0 使得当 n > N 时, 有. (nπ ) .F ( 3nπ ). − F . ≤ δ.. 2 2 . 从而对任何 m > 0, n > N 有(nπ ) 0 ≤ nF m∑ ≤ 2 . ( 3k nπ ) .F ( 3k +1 nπ ). − F . + nF(3m +1 nπ ). k =0 ∑ δ 2 2 . 2(3m +1 nπ )≤ k =0 3k + nF 23δ + nF 2 ( 3m +1 nπ ).2 上式中令 m + , 由 lim x →+∞ F (x ) = 0 得到0 ≤ nF 所以( nπ )2 ≤3δ, n > N .2lim n →+∞ nF ( nπ ) = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (9 分)进一步利用单调性, 当 x > π 2时, 有0 ≤ xF (x ) ≤ π[ 2x ]F ([ 2x ] · π ),π π 2其中 [s ] 表示实数 s 的整数部分. 于是可得lim x →+∞ x F (x ) = 0.第 13 页 ( 共 13页 ) ≤. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分) 从而又知 xF (x ) 在 [0, +∞) 上有界, 设上界为 M ≥ 0.∀ ε ∈ (0, π), 当 x > 0 时, 我们有∫ +∞0 ≤ f (x ) = 0 ∫ π x −1F (x −1t ) sin t dt sin t x −1t H (x −1t ) dt 0 t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (12 分) ∫ π sin t ≤ x −1ε H (x −1 ε) εt dt + M ε, ∀ x > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (14 分)于是0 ≤ lim x →0+f (x ) ≤ M ε. 由 ε ∈ (0, π) 的任意性, 可得 lim x →0+ f (x ) = 0.进而因 f 是奇函数推得 lim f (x ) = 0. . . . . . . . . . . . . (15 分) x →0 ✷。