人教版数学九年级上册21.2.2公式法解一元二次方程课件精品课件PPT

合集下载

人教版九年级上册21.2.2 公式法解一元二次方程课件

解：设y mn,则(y 1)(y 2) 18 整理得：y2 y 20 0 解得: y1 5, y2 4 mn 5或4
0
小结：
1.公式法是万能方法必须掌握！
2.解一元二次方程方法：
配方法
公式法
0
a2x b xc0(a0)
能否也用配方法得出一般式的解呢？
0
a2xb xc0
移项 a2 xbxc
系数化为1 x2 b x c aa
配方
x2
b a
x
( b )2 2a
பைடு நூலகம்
c a
b2 4a2
(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
0
(x b)2 2a
b2 4a c 4a2
b24a c0
b24a c0
x b b 2 4 ac
用公式法第一步：化为一般式
0
例1 用公式法解一元二次方程：x2-3x=4 解：
化为一般式方程化为x2-3x-4=0 求a,b,c a=1,b=-3,c=-4
求∆ b 2 4 a ( c 3 ) 2 4 1 ( 4 ) 9 1 2 6 0
求根
xb 3 2535
2a
2
2
x1 4,x2 1
公式法解一元二次方程
2x213x 配方法
解： 2 x 2 3 x 1
x2 3 x 1
2
2
x2 3 x (3 )2 1 9
24
2 16
(x 3 )2 1 4 16
x 3 1 44
x 3 1或x 3 1
44
44
1
x1 1, x2 2
0
探究：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式

人教版数学九年级上册 21.2.2一元二次方程的解法 ---公式法(共18张PPT)

3、代入求根公式 : xb b2 4ac 2a
4、写出方程的解：
x
、
1
x
2
例1 用公式法解下列方程： (1)2x2-x-1=0
(2)4x2-3x+2=0 (3) 2x222x10
注意: 用公式法解一元二次方程的前提是: 先化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).
总结提高
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根的判别式,通常用△表示. 判别式定理
1、方程3 x2 +1=2 x中， b2-4ac= 0 . 2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n= -1或4 .
3、已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0
有实数根，则k的取值范围是
(A )

A.k≤1
B.k≥1
C.k<1
D.k>1
已知 :关于
m x 2 (3 m 2 )x 2 m 2 0 (m 0 )
（1）将常数项移到方程的右边，得 ax2bxc .
（2）方程两边同除以a，得
x2 b x c
a
a
.
（3）方程两边同时加上__( _2b_a _) 2__，得
x2bx(b)2c(b)2. a 2a a 2a
左边写成完全平方式，右边通分，得
（4）开平方…
(x b )2 b2 4ac.
2a
4a2
(x b )2 b2 4ac.
这是收获的时刻，让我们共享学习的成果
一、由配方法解一般的一元二
次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)

人教版初中数学九年级上册 21.2.2 公式法解一元二次方程(共24张PPT)

b2 4ac 62 4 3 2 60.
x 6 60 6 2 15 3 15 ,
6
6
3
x1
3 3
15
,
x2
3 3
15
.
4 4x2 6x 0
解： a 4,b 6,c 0.
b2 4ac 62 4 4 0 36.
x 6 36 6 6 ,
24
8
x1
0,
x2
3 2
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。下午2时35分55秒下午2时35分14:35:5521.8.4
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
课件说明
• 通过配方法推导一元二次方程求根公式，公式法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．
课件说明
• 学习目标： 1．会用公式法解一元二次方程，理解用根的判别式判别根的情况； 2．经历探究一元二次方程求根公式的过程，初步了解从具体到抽象、从特殊到一般的认识规律．
• 学习难点：推导求根公式的过程，理解根的判别式的作用．
如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？
任何一元二次方程都可以写成一般形式
ax2 bx c 0 (a 0)
①
你能否也用配方法得出①的解呢？
移项，得
ax2 bx c
二次项系数化为1，得
x2 b x c
a
a
配方
x2
b
x
b
2
c
b
2
a 2a a 2a
则：方程有两个相等的实数根：
x1
x2
b 2a
2 2 22

人教版数学九年级上册 21.2.2公式法课件(共20张PPT)

人教版数学九年级上册
第二十一章二元一次方程
21.2.2 公式法
学习目标
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，会用b2-4ac 的值判断一元二次方程根的情况，会运用公式法解一元二次方程。
2.通过对求根公式的发现和探索过程，提高观察能力、分析能力和逻辑思维能力。
3.发展独立思考，勇于探索的创新精神，渗透转化思想，使其感受数学的内在美。
例用公式法解方程：
解：(1)a＝1，b＝－4，c＝－7．
1．确定系数
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0，2．计算 Δ 方程有两个不相等的实数根.
．
3．代入
即
，
．
4．定根
Байду номын сангаас
例用公式法解方程：解：
．
例用公式法解方程：
解： (3)方程化为5x2－4x－1＝0．
a＝5，b＝－4，c＝－1．
导入新知
同学们，用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？
合作探究
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
x2 b x c 0 aa
1．化1: 把二次项系数化为1 2．移项: 把常数项移到方程的右边
3．配方: 方程两边都加上一次项系数的一半的平方
故选B．
A
A．2x2+4x+1=0 B．2x2-4x+1=0 C．2x2-4x-1=0 D．2x2+4x-1=0
4.当 a<0 时，方程x|x|+|x|-x-a=0 的解为
．
再见
2．计算根的判别式：将 a，b，c 的值代入 Δ=b2-4ac 计算，并判断 Δ 的符号．

人教版九年级数学上册21.2.2公式法课件(16张PPT)

•
课堂探究
根的判别式
一元二次方程 ax2bxc0(a0)
解的情况由 b2 4ac 决定:
(1) 当 b24ac0 时，方程有两个
不相等的实数根；
(2) 当 b24ac0 时，方程有两个
相等的实数根；
(3) 当 b24ac0 时，方程没有实数根.
课堂探究
一元二次方程 ax2bxc0(a0).
的根由方程的系数a，b，c确定．
•
15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021
•
16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/8/102021/8/10August 10, 2021
∴x=
==
x1 = x2 =
当 b2-4ac=0 时，一
元二次方程有两个相等的实数根。
典例精析
b b2 4ac x
2a
例4 解方程：x213x6
解：去括号，化简为一般式：
这里 a3 、 b =-7 、 c =8
b24ac（ 7） 2438 4996-470
方程没有实数解。
课堂归纳
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac时0,方程无实数解;
当b2 4ac0时,一元二次方程才有根.实数
3、代入求根公式 : xb b2 4ac 2a

21.2.2公式法课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

典例精析
例1. 一元二次方程 − − = ��的根的情况为（ D
A．没有实数根
）
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
变式1-1 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ B ）
A．x2+6x+9=0
B．x2=x
C．x2+3=2x
D．（x﹣1）2+1=0

2
2a
4a

2
b

都不能使 x ＜0 ，因此方程无实数根.
2a

2
小结归纳
1.概念：一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式.
2.表示：通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac.
3.由前面的推导可知：
（1）当Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根；
典例精析

例2 . 一元二次方程mx2+mx﹣ ＝0有两个相等实数根，则m的值为（ C ）
A．0
B．0或﹣2
C．﹣2
D．2
典例精析

例3 如果关于x的一元二次方程 − + − = 有实数根，那么m的
取值范围是（ D ）
A． >
B． ≥
C． < D．m≤5
变式3-1 已知关于的方程 + − = 有两个不相等的实数根，则
根,求m的取值范围.
解：由题意得:Δ＞0且m2≠0.
即 (2m+1)2-4m2＞0且m≠0
解得：m＞-1/4且m≠0.
拓展训练

21.2.2 一元二次方程的解法——公式法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十一章一元二次方程
第2课时
一元二次方程的解法
——公式公式法解一元二次方程，知道使用公式前先将方
程化为一般形式.
❸ (2022新课标)能用公式法解数字系数的一元二次方程.
复习引入
1.如何用配方法解方程 2x2 4x 10?
解：方程整理得
．
小结：注意一元二次方程的二次项系数不能为0.

2
2
★10．若a ＋5ab－b ＝0(ab≠0)，求的值．

2
2
解：∵a ＋5ab－b ＝0，∴ ＋－1＝0，

令t＝，∴方程可化为t2＋5t－1＝0，

∴52－4×1×(－1)＝29＞0，
根据公式法得t＝
－±
×

＝
－±
)±
±
＝
，
×

即x1＝2 ，x2＝．
3．【例1】用公式法解方程：x2＋3x＋1＝0．
解：a＝1，b＝3，c＝1，b2－4ac＝5＞0，
x＝
－±
所以x1＝
－
－± －±
＝
＝
，

×

－＋

－－
，x2＝
．

小结：用公式法解方程时，先确定出a，b，c和b2-4ac的值.
x＝

x－＝0．

±

8．用公式法解方程：2x2＋3x＝3．
x＝
－±

9．用公式法解方程：x2－5＝2(x＋1)．
x＝1±2
＋

6．某数学小组对关于x的方程(m＋1)
＋(m－2)x－1＝0提出了问题：

21.2.2用公式法解一元二次方程-人教版九年级数学上册课件(共23张PPT)

11
2a ①化：把方程化为一般形式；
21
=0. 方程有两个相等的实数根
能规范、熟练运用公式法解一元二次方程。
x 2 11, x 2 11 即（2）考虑Δ=b2﹣4ac的取值
.
（1）2x²-x-1=01（2）2x2+3x-4=0
2
x1=
，x2=
k>-1且k≠0 C.
2 用公式法解一元二次方程
解：由题可知 Δ=b2﹣4ac=22﹣4×（1﹣k）×（﹣1）＞0，
得
k＜2，
∵（1﹣k）是二次项系数，不能为0，
注意∴：k在＜与2且一元k≠二1次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：
（1）二次项系数不为零；（2）考虑Δ=b2﹣4ac的取值
展提升
已知a是一元二次方程 x2-4x+1=0 的两个实数根中
套：当方程有解时，套公式；写：写出方程的解.
互动探究一
用公式法解下列方程：（1）x(x-4)=2-8x; （2）3x2+2x=0, （3）16x2+8x=-3.
互动探究二
已知关于x是一元二次方程2x2-(4m+1)x+2m21=0，当m取何值时。（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？
预习安排
1.阅读课本12-14页因式分解法及例3，完成练习。 2.完成导学案9页预习导学的内容，组长下节课上课前组织校对答案，经组内讨论不能解决的问题课前把题号或疑问上传本组黑板上。
谢谢大家
3.求：求出b2-4ac的值。
4.套：套入求根公式
x： b
b2 4ac （a≠0， b2-4ac≥0） 2a

2 解一元二次方程公式法PPT课件(人教版)

12．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋b－1＝0有两个相等的实数根，则b 的值是__2__．
13．关于x 的方程(a＋1)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足的条件是 _a_≥_－__5_____．
14．用公式法解下列方程： (1)x(2x－4)＝5－8x；
解：原方程整理为 2x2＋4x－5＝0，∴b2－4ac＝16＋4×2×5＝ 56，∴x＝－24×±256，即 x1＝－2＋2 14，x2＝－2－2 14
练习1：对一元二次方程x2－2x＝1，b2－4ac＝__8__． 2．式子____b_2_－__4_a_c___叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，常用Δ表示，Δ＞0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 __有__两__个__不__等__的__实__数__根_______；Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 __两__个__相__等__的__实__数__根___；Δ＜0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)____无__实__数__根__．练习2：(202X·长沙)若关于x的一元二次方程x2－4x－m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_____m_＞__－__4____．
8．一元二次方程x2－x－6＝0中，b2－4ac＝__2_5___，可得x1＝ __3__，x2＝__－__2__．
(91．)x用2－公3x式－法2＝解0下；列方解程：：x1＝3＋2 17，x2＝3－2 17 (2)8x2－8x＋1＝0；
解：x1＝2＋4 2，x2＝2－4 2
(3)2x2－2x＝5. 解：x1＝1＋2 11，x2＝1－2 11
知识点1：根的判别式 1．(202X·邵阳)一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况是( B ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．(202X·丽水)下列一元二次方程没有实数根的是( B ) A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋x＋2＝0 C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝0

初中数学九年级上册(人教版)精品课件-21.2.2公式法.ppt

a 1、 b -2 3、 c 3.
Q b2 4ac （ 2 3）2 41 3 0，
x （-2 3）
ห้องสมุดไป่ตู้
0 2
3
3.
21
2
即：x1 x2 3.
b b2 4ac x
2a
例3 解方程：x2 x 1 0（精确到0.001）.
解： a 1,b 1,c 1,
b2 4ac 12 41 (1) 5 0
x 1 5 2
用计算器求得： 5 2.2361
x1 0.618, x2 1.618.
例4 解方程：4x2-3x+2=0 解： Q a 4,b 3,c 2. b2 4ac (3)2 4 4 2 9 32 23 0.
第二十一章一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.经历求根公式的推导过程.（难点） 2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点） 3.理解并会计算一元二次方程根的判别式. 4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
导入新课
复习引入
解析：原方程变形为x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1× （-1）=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，
要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).
•b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根. •b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根. •b2 - 4ac < 0时,方程无实数根.

解一元二次方程公式法ppt课件

解题思路：
1.方程有两个相等的实数解，等价于 b2 4ac 0，把方程系数
代入解出m的值.
2.方程的两根为互为相反数，等价于 b2 4ac＞0，且x1 x2，用
求根公式求解.
即：x1 x2 b
b2 4ac b
2a
b2 4ac 0(b2 4ac＞0). 2a
答案：1.m＝ 17 .
方程有两个相等的实数根：
x1
x2
b 2a
2 3 21
3.
例3.用公式法解方程 (x－2)(1－3x)＝6. 解：去括号，化简为一般式 3x2－7x＋8＝0. a＝3，b＝－7，c＝8.
b2 4ac (7)2 4 38 47＜0.
方程没有实数根.
归纳总结
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1.把方程化成一般形式，并写出 a，b，c 的值.
2.求出＝b2－4ac 的值. 注意：当＝b2－4ac ＜0 时，方程无解.
3.代入求根公式: x = b
b2 4ac .
2a
4.写出方程的解：x1，x2 .
随堂练习
用公式法解下列方程：
（1）2x2－9x＋8＝0；（2）9x2＋6x＋1＝0；（3）16x2＋8x＝3.
（1）2x2－9x＋8＝0. 解：a＝2，b＝－9，c＝8. b2 4ac (9)2 4 28 17＞0. 方程有两个不等的实数根：
x2
2a
.
(2)当b2
4ac
0时，这时
b2 4ac 4a2
0，
方程有两个相等的实数根：
x1
x2
b. 2a
(3)当b2
4ac＜0时，这时
b2
4ac 4a2
＜0，

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

6
6
3
x1
3 3
15
,
x2
3 3
15
.
4 4x2 6x0
解： a 4, b 6, c 0.
b2 4ac 62 4 4 0 36.
6
x
36 6 6 ,
24
8
x1
0,
x2
3 2
.
5 x24x 84x 1 1
解：化为一般式 x2 3 0 .
a 1, b 0, c 3.
2 x2 1.5 3x
将方程化为一般形式
x2 3x 1.5 0.
a 1, b 3, c 1.5. b2 4ac 32 4 11.5 3 0.
x 3 3 3 3 ,
21
2
3 3 3 3 x1 2 , x2 2 .
3 x 22 x 1 0 4 4 x 2 3 x 2 0
2
3 a 1, b 2, c 1 .
2
b2 4ac
2
1
2 41 0.
当b2－4ac=0
时，x1＝x2，即方程的两根相
等．
2 0
x
21
x1 x2
2. 2
2 2 0. 2
4 a 4,b 3, c 2.
b2 4ac 32 4 4 2 9 32 23 0.
b2 4ac 02 41 3 12.
x 0 12 2 3 ,
21
2
x1 x2 3.
6 x 2 x 4 5 8 x
解：化为一般式 2 x 2 4 x 5 0 . a 2,b 4, c 5.
b2 4ac 42 4 2 5 56.
x 4 2 14 4 2 14 ,
练习
（1）解下列方程：
1 x2x60; 2 x2 3x10;
4
3 3x26x20; 4 4x26x0; 5 x24x84x11 ; 6 x2x458x.
解：（1） a 1, b 1, c 6.
b2 4ac 12 4 1 6 25.
x 1 25 1 5 ,
21
2
x1 ２, x2 －3.
2 x2 3x10
4
解： a 1, b 3, c 1 . 4
b2 4ac
3
2
4
1 4
4.
x 3 4 32,
21
2
x1
2 2
3 , x2
32. 2
3 3x2 6x20
解： a 3, b 6, c 2.
b2 4ac 62 4 3 2 60.
x 6 60 6 2 15 3 15 ,
的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程
时，可以先将方程化为一般形式 ax2bxc0，当 b2 4ac0 时，将a，b，c代入式子
x b b2 4ac 2a
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
.
②
因为a≠0,4a2>0,当b2－4ac≥0时，
b2 4ac 4a2
0,
由②式得
xபைடு நூலகம் b b2 4ac .
2a
2a
x b b2 4ac . 2a
b b2 4ac
b b2 4ac
x1
2a
, x2
2a
.
由上可知，一元二次方程
a x 2 b x c 0（ a 0 ） .
例2 解下列方程：
1 2x2x10; 2 x21.53x; 3 x22x10; 4 4x23x20.
2
解：1 a 2，b 1，c 1.
b2 4ac 12 4 2 1 9 0,
1
x 2 ２
9
13, 4
x1
1,
x2
1. 2
确定a，b，
c的值时，要注意它们的符号．
22
4
x1
2 2
14 , x2
2 2
14 .
谢谢指导
每个人都会有自己的特长。一个人做某些事其他事做的更好。但许多人从未找到最适合的事情，其根本原因往往是他们没有进行足思考。如果你对一切都随遇而安，那总是会天你会后悔莫及的。心，只有一颗，不要装多。人，只有一生，不要追逐的太累。心灵悦，来自精神的富有；简单的快乐，来自心知足。家，很平淡，只要每天都能看见亲人脸，就是幸福的展现。爱，很简单，只要每会彼此挂念，就是踏实的温暖。幸福并不缥在于心的感受。爱并不遥远，在于两心知的
21.2.2 公式法
试一试
任何一元二次方程都可以写成一般形式
ax2 bx c 0 （a 0） . ①
你能否也用配方法得出①的解呢？
移项，得 ax2 bx c.
二次项系数化为1，得 x2 b x c .
aa
配方
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
,
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
求本章引言中的问题，雕像下部高度x(m)满足方程
x22x40
解这个方程，得
x 2 2 2 4 1 4 2 2 0 1 5 ,
2 1
2
x1 15,x2 15
精确到0.001，x1≈ 1.236，x2≈ －3.2 36
虽然方程有两个根，但是其中只有x1≈1.236符合问题的实际意义，所以雕像下部高度应设计为约1.236m．
因为在实数范围内负数不能开方，所以方程无实数根．
归纳
（1）当 b24ac0时，一元二次方程 a2x b xc0（ a0 ）有实数根．
x1 b2 b a 24ac,x2 b2 b a 24ac;
（2）当 b24ac0时，一元二次方程 a2x b xc0（ a0 ）有实数根．
b
x1
x2
; 2a
（3）当 b24ac0时，一元二次方程 a2x b xc0（ a0 ）没有实数根．