原子物理学第三章习题解答

第三章习题解答

3-1 电子的能量分别为10eV、100eV和1 000eV时，试计算其相应的德布罗意波长。

解：

根据公式h p

λ==10eV、100eV、1 000eV

得1240eV

λ=⋅

因此有：（1

）当

1

10,0.39

K

E eV nm

λ

===

时

（2

）当

1

100,0.123

K

E eV nm

λ

===

时

（3

）当

1

1000,0.039

K

E eV nm

λ

===

时

3-2设光子和电子的波长均为0.4nm，试问（1）光子的动量与电子的动量之比是多少？（2）光子的动能与电子的动能之比是多少？

解：由题意知

光子的动量h

pλ

=，光子的能量

c

E h h

ν

λ

==

电子的动量h

pλ

=，电子的能量2

e

E m c

=

∴（1）1

2

1

p

p

=

（2）1

26

2

1240

0.061

0.40.40.40.51110

e e

E h hc eV nm

E m c m c eV nm

⋅

====

⨯⨯⋅

3-3若一个电子的动能等于它的静止能量，试求：（1）该电子的速度为多大？

（2）其相应的德布罗意波长是多少？

解：（1）相对论给出运动物体的动能为：

2

()

k

E m m c

=-，而现在题设条件给出2

k

E m c

=故有

22

00

()

m c m m c

∴=-

由此推得

2m m

===

223

0.8664

v v c c ∴=⇒==

（2）

0h

p c λ

=

=

0.0014nm λ∴=

==

3-4

把热中子窄束射到晶体上，由布喇格衍射图样可以求得热中子的能量。若晶体的两相邻布喇格面间距为0.18，一级布喇格掠射角（入射束与布喇格面之间的夹角）为30度，试求这些热中子的能量。

解：根据布喇格晶体散射公式： 2sin 20.18sin300.18d nm λθ==⨯⨯=

而热中子的能量较低，其德布罗意波长可用下式表示：h p λ=

=

()2

2

222

0.02522k hc h E eV m mc λλ==

= 3-5

电子显微镜中所用加速电压一般都很高，电子被加速后的速度很大，因而必须考虑相对论修正。试证明：电子的的德布罗意波长与加速电压的关系

应为： λ=

式中 6(10.97810)r V V v -=+⨯，称为相对论修正电压，其中电子加速电压

V 的单位是伏特。

证明：

2

22

24

0E p c m c p =+⇒==

)p ⇒==

h p λ=

===证毕

3-6（1）试证明：

式中0E 和E 分别是粒子的静止能量和运动粒子的总能量。

（2）当电子的动能为何值时，它的德布罗意波长等于它的康普顿波长（康普顿波长 C h

mc

λ= ，m 为粒子静止质量，其意义在第六章中讨论）。 证明：

（1）由康普顿波长c h mc

λ=

，德布罗意波长h p λ=c p

mc λλ∴=

而已经考虑相对论效应22224E p c m c =+

=

=2pc p

mc mc

== 左式=右式，即得证

（2

1=

由上等式可知222224202k E E p c m c E pc mc =⇒=⇒==

3-7一原子的激发态发射波长为600nm 的光谱线，测得波长的精度为

710λ

λ

-∆=，试问该原子态的寿命为多少？

解：

辐射光子的能量为hc

E λ

=

，对上式两边取微分，可得2

hc

E λλ

∆=

∆

由上式即可得波长的相对变化量()1E

hc

λ

λλ

∆∆=

而()22E τ

∆=

，将（2）式代入（1）

式得

()34c λ

λ

λ

πτ

∆=

由（3）式即可求出原子态的寿命4c λ

τλ

πλ

=

∆，将已知数据代入得

9210τ-=⨯