数学建模期末考试

一、简述题

1.简述数学建模的一般方法。

答：数学建模的方法一般可分为两类：一类是机理分析方法，一类是测试分析方法。

一．机理分析是根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反应部机理的规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。

1.比例分析法：建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。

2.代数方法：求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法

3.逻辑方法是数学理论研究的重要方法，对付社会学和经济学等领域的实际问

题，它在对策和决策等学科中得到广泛应用。

4.常微分方程：解决两个变量之间的变化规律，关键是建立“瞬间变化率”的

表达方式。

5.偏微分方程：解决应变量与以上自变量之间的变化规律。

机理分析法建模的具体步骤大致如下：

1.实际问题通过抽象、简化、假设，确定变量、参数；

2.建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数；

3.用实际问题的实测数据等来检验该数学模型；

4.符合实际，交付使用，从而可产生经济、社会效益；不符合实际，重新建模。二．测试分析方法：将研究对象视为一个黑箱系统，部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。测试分析方法也叫做系统辨识。

1.回归分析法：用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,……,n，确定函数

的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。

2.时序分析法：处理的动态的相关数据，又称为过程统计方法。

2.谈谈你对数学建模的认识，你认为数学建模要经过哪些关键过程。

答：数学模型是对实际问题的一种数学表达，具体一点地说它是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。而准确的说数学模型是对于一个特

定对象为了一个特定目标，根据特有的在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式、算法、表达式、图等等。

而数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化，建立能够近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。数学建模的过程主要包括以下几个过程：

1.

模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种细信息。用数学语言来描述问题。 2.

模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。 3.

模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻画各种变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。 4. 模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出估计。 5. 模型分析：对所得的结果经行数学上的分析。

6.

模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型和实际比较吻合，则要对计算结果给出其实际含义、并经行解释。如果模型与实际吻合交差，则应该修改假设，再次重复建模过程。

二、模型描述

右图为杂货店示意图，顾客由一入口（ENTRANCE ）进入购物区（SHOP.AREA ）选购杂货，当顾客买好货物之后，去结帐（CHECKOUT ）站队等候出纳服务。付款之后沿出口（EXIT ）通道离开杂货店。给出杂货店模型的非形式描述。

解：杂货店模型的非形式描述如下：

实体：入口（ENTRANCE ），购物区（SHOP .AREA ），结账（CHECKOUT ），出口（EXIT ）。 描述变量：

顾客

入口

购物区

出口

杂货店示意图

（1）描述ENTRANCE：用HEllO表示入口处顾客的情况，其围为{Φ，a,b,c,… }，当HELLO=Φ时，说明ENTRANCE处没有顾客；当HELLO=x时，是指顾客x 在ENTRANCE。

（2）描述SHOP.AREA

用SHOPPING.TIME表示购物时间，围为，它是指顾客在SHOP.AREA 经历的时间，它是一个给定的时间变量。

用TIME.LEFT.LIST表示顾客留在购物区的时间数列，围为（{ a,b,… }*）,(,) (,)…(,)指顾客从现在起到离开SHOP.AREA时间。

（3）描述CHECKOUT

队列LINE的围为{ a,b,… },LINE=,,…,即是队列中的第一个，

是第二个，……，直到结账出去。

用SERVICE.TIME表示服务时间，它的围为,指现在队列中第一位顾客服务所需的时间，它是一个给定的随机变量。

用SERVICE.TIME.LEFT表示留在服务的时间，其围为, SERVICE.TIME.LEFT=σ,指顾客从现在起至离开CHECKOUT的时间σ。

BUSY（繁忙）的围{YES（是），NO（否）}，指明CHECKOUT是否正在为顾客服务。

（4）描述EXIT

用BYE.BYE（再见）描述顾客离开的情况，它的围是{Φ，a,b,… }, BYE.BYE=Φ，即没有顾客离去，BYE.BYE=x,指顾客x正在离去。

实体相互关系

仿真时标为t时，在入口处有顾客进入，有HELLO=x。顾客立即进入购物区（HELLO成为φ），同时采样SHOPPING.TIME，时间为，将（x,）加至TIME.LEFT.LIST。随着仿真时标的推进，（x,）将被减少直至为（x,）止。在这点上顾客x离开SHOP.AREA,立即排在CHECKOUT.LINE（结账队列）的后面。随

着队列中前面顾客的行进，他推进到队列的前边。当他是队列中第一个时，采样SERVICE.TIME,时间为σ，并设置SERVICE.TIME.LEFT是σ。顾客x在队列的前头等候直至SERVICE.TIME.LEFT为0，然后由EXIT道离去，标志为BYE.BYE=x。

三、建模题

1 某厂生产甲、乙两种产品，1件甲产品用A原料1kg，B原料5 kg；1件乙产品用A原料

2 kg，B原料4 kg,。现有A原料20kg，B原料70 kg。甲乙产品每件售价分别为20元和30元。问如何安排生产使收入最大？

解：设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润总额为s元

则根据题目可列方程如下：

220

5470

2030

x y

x y

s x y

，

作以上不等式组所表示的平面区域，作直线20300

x y，即230

x y

将直线230

x y向上平移到l位置时直线经过可行区域上的占M且与原点距离最大，s取得最大值

所以由

220

5470

x y

x y

得

5

7

x

y

，所以当生产甲产品5件，生产乙产品7件时获得的收益最大2 冬天的纷飞大雪，使公路上积起厚厚的一层雪而影响交通。一台除雪机清扫一条10km长的公路上的积雪。每当路面积雪平均厚度达到0.5m时，除雪机就开始工作。但问题是开始除雪后，大雪仍下个不停，使路上积雪越来越深，除雪机工作速度逐渐降低，直到无法工作。除雪机能否完成10km路面的积雪清扫