第三章：辐射传输方程

大气遥感
当电磁波由方向Ω0前进时，它被介质散射到方 向Ω的散射过程包括单（一）次散射和多次散
射过程。
多次散射是为了区别单次散射而定义的，凡是 辐射被介质散射超过 1 次，均称为多次散射。
区分单次散射和多次散射是为了方便于求解辐 射传输方程。
单次散射
Ω0
Ω
多次散射
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散射相函数（scattering phase function）
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平面平行 (plane parallel)介质
在遥感定量分析过程中，为简化起见，我们通 常假设电磁波穿过的介质（如大气与植被冠层） 是平面平行的，或称水平均一 (horizontally uniform)的。即介质可以分成若干或无穷多相 互平行的层，各层内部（对辐射影响）的性质 一样，各层之间的性质不同。
求解辐射传输方程时，最难解决的是Jλ。
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比尔-布格-朗伯 (Beer-Bouguer-Lambert)定律
当忽略多次散射和发射的增量贡献时，辐射 传输方程可以简化为：
dI I kds
如果在s=0处的入射强度为Iλ(0)，则在s1处， 其射出强度可以通过对上式的积分获得：
s1
I(s1)I(0)ex pk ( d)s 0
0
请注意，此时μ<0，若将其变为正数，则上式可变为：
I ( 0 , ) I ( 0 , ) e 0 / 1 0 J ( , ) e ( 0 )/ d
0
对上式的解释：
位于τ= τ 0 处的辐射强度由两部分组成： τ= 0 处的辐射强度穿过整层介质而经过衰减的值， 整层介质中的每个辐射源被衰减后到达τ= τ 0处的辐射 强度的总和。
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假定介质消光截面均一不变，即kλ不依赖于距离s， 并定义路径长度：
s1
u 0 ds
则此时出射强度为：
I(s1)I(0)eku
这就是著名的比尔定律，或称布格定律，也可称朗伯定 律。它叙述了忽略多次散射和发射影响时，通过均匀介 质传播的辐射强度按简单的指数函数减弱，该指数函数 的自变量是质量吸收截面和路径长度的乘积。由于该定 律不涉及方向关系，所以它不仅适用于强度量，而且也 适用于通量密度。
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参考式： d[I(, )e/]1J(, )e/
d
对上式从0 到 τ0 积分：
0
I(,)e/
0
1J(,)e/d
0
0
即：
I( 0 , )e 0 / I(0 , ) 1 0J ( , )e / d
0
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整理得I(0, Ω) 与 I(τ 0, Ω) 之间的关系：
I(0 , ) I( 0 , )e 0 / 1 0J ( , )e / d 0
I(, ')P( , ')d '
4
4
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源函数中的散射的表达是单次散射与多次散射之
和，即：
J(τ, Ω) = F0e/ 0P(, 0)
4
I(, ')P(, ')d'
4 4
又，源函数中的发射的表达可以写为：
J(τ, Ω) = B[T(τ)]
其中B(T)为普朗克函数，是物体亮温为T时发射 的出射辐射亮度，它的强度与出射方向无关，即 各向均一。
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对于平面平行大气，τ 的定义为由大气上界向 下测量的垂直光学厚度（省略下标λ）：
(z) z kdz'
对于水平均一植被， τ 的定义
为由z处向上测量到冠层表面 的垂直光学厚度：
z
(z) uL(z')dz' 0
大气
z
0
植被冠层 z
其中 uL为叶面积密度。
在植被中，dτ与dz关系如何？ 以平面平行大气为例，比尔定律具体表达式？
I(0)
I I+dI
I(s1)
0
ds
S1
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另一方面，辐射强度也可以由于相同波长上物质的 发射以及多次散射而增强，多次散射使所有其它方 向的一部分辐射进入所研究的辐射方向。我们如下 定义源函数系数，使由于发射和多次散射造成的强 度增大为：
dIλ = jλρds 式中源函数系数jλ具有和质量消光截面类似的物理 意义。 联合上述两个方程得到辐射强度总的变化为：
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辐射传输 方程的解
源函数J与待求强度I无关时的解 单次散射解与散射逐次计算法 二流 (two-stream) 近似
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我们之前给出了不考虑源函数J 时传输方程的解(比 尔定律），但是显然这是极不准确的。这里给出考 虑源函数J （J与I无关）时传输方程的解。为简单起 见，仍考虑平面平行介质，其传输方程为：
为描述电磁波被介质散射后在各个方向上的 强度分布比例，定义散射相函数 P (Ω, Ω’)为 方向Ω’的电磁波被散射到方向Ω的比例，并 且P (Ω, Ω’)/4π是归一化的，即：
1
P(,')d1
4 4
根据互易原理：
P ( , ') P ( ', )
因此同样有：
1 P(,')d'1
44
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思考：
F0e/0P(,0) 4
上式就是单次散射产生的源函数。
上式结果肯定是强度单位
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对于多次散射，我们假设位于τ处、传播方向为Ω’ 的辐射强度为I (τ, Ω’)，则它散射到方向Ω的辐射 强度为：
I(,')P(,') 4
则多次散射产生的源函数为来自所有方向、并经散 射，到方向Ω的辐射总和。即上式对方向Ω’在4π空 间的积分，即：
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对于平面平行大气，且忽略大气中的多次散射 和发射，则传输方程为：
dI I d
上式的解为：
I I 0 ex d ( p z )/ ( ) I 0 ex ( ) p ( 0 [ )/( ) ] 0
定义τ0= τ(0)为大气整层光学厚度，注意到τ(∞)=0， 因此有：
II0e0/
对于在4π空间内各向均一的散射（散射辐射强度 不随散射方向变化），散射相函数的表达式是什 么？ 对于散射光只在入射方向Ω’存在，其它方向均为 0的情况下，散射相函数的表达式是什么？
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通常散射相函数 P (Ω, Ω’) 只与方向Ω’和方向Ω之间 的夹角Θ有关，可以写为 P (cos Θ)。散射角Θ定义 为入射光束和散射光束之 间的夹角。 散射角的余弦可以表示为：
d( I, ) I(, )J(, ) d
将方程两边同时乘以 e/，则得到
d[I(, )e/]1J(, )e/
d
上式乘以 dτ 后，两边对 τ 积分，即可求得带有源 函数的传输方程的解。
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根据上式，请给出τ=0处的辐射强度 I(0, Ω)与τ= τ 0处的辐射强度I(τ 0, Ω)之间的关系表达式，并 简要解释其物理含义。
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总结
两个概念：散射相函数、单次散射反射率 考虑散射与发射源函数的传输方程：
d ( ,I ) I ( , ) F 0 e / 0 P ( , 0 )
d
4
I( , ')P ( , ')d ' B [T ( )
4 4
传输方程中的散射表达是导致方程复杂化的根 本原因，也是辐射传输过程的魅力所在。
请注意指数形式在辐射传输中的作用。
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总结
两个概念：光学厚度、平面平行介质
一组不同表达形式的传输方程：
dI I J kds
dI IJ d
dI IJ d
对大气 对大气
传输方程的简单解（比尔定律）：e的指数形式
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源函数中散射的表达
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散射
电磁波通过介质时，会发生散射，即电磁波 有可能改变方向。因此使某一方向的电磁波 强度发生变化，可能减弱，也可能增强。
co sco cso ' ssin sin 'co ' s () ' (12)1/2(1'2)1/2co ' s ()
请注意P与两个方向的天顶角，以及相对方位角有关。
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单次散射反射率（single scattering albedo）
实际上辐射被介质散射的同时，也被介质吸 收，即消光过程既包括散射，也包括吸收。 单次散射反射率 ω 定义为辐射发生每一次消 光（或简称散射）过程中，遭受散射的百分 比。
θ
θ为辐射方向与分层方向法线
的夹角。
z
dI I J
kds
上述传输方程用z、θ替换s后，具体表达式？
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对于平面平行介质，辐射传输方程可以写为：
cos d I IJ kdz
或 dI IJ d
其中 μ = cosθ，τ 是光学厚度(此时已是垂直计量) 。
注意μ ，多数情况下，它会代替θ在辐射传输中出现
dIλ = -kλρIλds + jλρds
jλ的单位与kλ的单位不同：前者带有强度概念。
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进一步为方便起见，定义源函数Jλ如下： Jλ ≡ jλ/kλ
这样一来，源函数则具有辐射强度的单位。因此有： dIλ = -kλρIλds + kλJλρds
即：
dI I J kds
这就是不加任何座标系的普遍传输方程，它是讨论任何 辐射传输过程的基础。
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回忆上一小节中提到的平面平行介质中的传输方 程为：
dI IJ d
因此，考虑散射与发射源函数后，辐射传输方程可 以展开为：
d ( ,I ) I ( , ) F 0 e / 0 P ( , 0 )
d
4
I( , ')P ( , ')d ' B [T ( )
4 4
通常情况下，这个方程没有解析解，只能靠数值 解法或简化求解。
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源函数只考虑介质发射情况下的解
当源函数只考虑介质发射时，辐射传输方程 相对考虑散射时要简单得多，因为它不需要 考虑各方向散射辐射因素，而且J 与I 无关。 此时的辐射传输方程可以写为：
d( I, ) I( , )B [T ()] d
B(T)为普朗克函数，是物体亮温为T时发射 的出射辐射亮度，它的强度与出射方向无关， 即各向均一。
对上式的解释：
位于τ=0处的辐射强度由两部分组成： τ= τ 0处的辐射强度穿过整层介质而经过衰减的值， 整层介质中的每个辐射源被衰减后到达τ=0处的辐射强 度的总和。
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I(0, Ω) 与 I(τ 0, Ω) 之间的关系也可以表述为：
I( 0 , ) I(0 , )e 0 / 1 0J ( , )e ( 0 )/ d
入射为1，散射后各个方向的总和（积分）即为ω
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源函数中散射的表达
对于单次散射，我们假设入射辐射强度的初 始值为I0，传播方向为Ω0，则它到达τ处的辐 射强度为：
I0e/0
单次散射
Ω0
Ω
多次散射
τ
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在τ处发生单次散射后，散射到方向Ω的辐射强度 即为：
I0e/0P(,0) 4
对上式中入射方向Ω0 在4π空间积分，并考虑只有 一个入射方向，则上式中的强度变成通量密度，即 有：
介质完全均一（ρ也不依赖s），出射强度？
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光学厚度 (optical thickness, optical depth)
定义点s1和s2之间的介质的光学厚度为：
s2
s1
kd's kd's
s1
s2
并有：
dτλ(s) = -kλρds (对大气如此) 因此传输方程可以写为：
dI IJ d
在实际应用中，τ的定义使τ永远是正数。 而且I与τ的关系一般为exp(-τ0)。
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传输方程
在介质中传输的一束辐射，将因它与物质的 相互作用而减弱。如果辐射强度Iλ，在它传 播方向上通过ds厚度后变为Iλ+dIλ，则有：
dIλ = -kλρIλds 式中ρ是物质密度，kλ表示对辐射波长λ的质 量消光截面。辐射强度的减弱是由物质中的 吸收以及物质对辐射的散射所引起。
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麦克斯韦方程组与辐射传输方程是不矛盾的，可以相 互转换，不存在难易和优劣之分，只不过形式和求解 方法有所区别，在不同的领域，有各自的优势。
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消光截面
在光散射和辐射传输领域中，通常用“截面”这一术 语，它与几何面积类似，用来表示粒子由初始光束中 所移除的能量大小。当对粒子而言时，截面的单位是 面积（厘米2），因此，以面积计的消光截面等于散射 截面与吸收截面之和。但当对单位质量而言时，截面 的单位是每单位质量的面积（厘米2·克-1），这时，在 传输研究中用术语质量消光截面，因而，质量消光截 面等于质量散射截面与质量吸收截面之和。此外，当 消光截面乘以粒子数密度（厘米-3）或当质量消光截面 乘以密度（克·厘米-3）时，该量称为“消光系数”， 它具有长度倒数（厘米-1）的单位。
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第三章 辐射传输方程
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Maxwell方程组与辐射传输方程
麦克斯韦方程组描述了电磁场的基本规律。一般而言， 波长较长的电磁波波动性较为突出。所以在微波遥感 领域，可以看到用麦克斯韦方程组解释电磁波与介质 的相互作用。
短波部分干涉与衍射等波动现象则不明显，而更多地 表现为粒子性。在光学和热红外领域，为方便和直观 起见，则常用辐射传输方程描述电磁波与介质的相互 作用。