一道课本例题的探究开发
让学生思维的火花绽放——一道课本例题的探究式教学实践与思考
让学生思维的火花绽放——一道课本例题的探究式教学实践与思考引言传统的教学模式通常是老师讲，学生听，而探究式教学则是以学生为中心的教学模式，通过让学生探究问题，发现问题，解决问题，培养学生的思维能力和独立思考能力。
本文旨在通过一道课本例题的探究式教学实践，探索探究式教学的优势及如何落实到课堂教学中，从而让学生的思维火花绽放。
实践过程我们选取了《数学（七年级上册）》中的一道例题作为探究式教学的实践案例，该例题如下：计算 $(0.25 \\div 0.5) \\times 2$ 的值。
为了能够让学生更深入地理解该例题，我们采用了如下的教学方式：第一步：引导学生提出问题在学生还没有开始思考之前，我们先引导学生提出问题。
通过问学生“这道题目让你思考了什么问题？”来引导学生思考。
第二步：学生自主探究接下来，老师启发学生，让学生自主探究问题，让学生先自己试着去解决问题，教师只是起到引导作用。
这样能够增加学生思考题目、解决问题的兴趣，同时也增强了学生的自信心。
第三步：分组交流学生自探究过程中产生了大量的思维火花，而我们就是要激发这些思维火花，让学生对解决问题时的思考进行比较和交流，进一步加深学生的认识。
我们将全班分成小组，由小组成员交流归纳各自的探究思路，思考受到什么影响，有什么体会，进而分享自己的解题方法，最后让小组代表报告，形成大家共同思考的氛围。
第四步：整理答案学生自行思考、小组交流后，学生的答案有什么共同点？有什么不同的点？在老师的引导下，让同学们进行比较答案，找出自己的错误，进一步深入思考解题思路。
第五步：再次交流在学生自行整理完答案后，老师会再次约请同学之间交流。
通过这个环节带领学生成果评价和解题方法讲解，更直接地突出知识点、强化学生对问题的印象。
比如这题入手容易出错的原因是什么，些许不同的解法背后的共性，等等。
第六步：讲解通过整理答案，引领学生理解知识点，归纳方法和步骤，落实定理，强化学习效果。
总结通过以上实践，我们发现探究式教学以学生为中心，能更好地引导学生自主思考，激发学生的探究兴趣，增强学生的自信心，提升学生的思维能力和独立思考能力。
对一道数学课本例题的拓展探究
原题 的两类 结 论外 ， 还 可 以写 角相 等 、 全等 、 相 似 等结 论 ， 给 了学 生很 大 的思维 空间 ， 培 养 了学生 的思 维发 散 能力 和综合
分析 能力 。
拓展 ２ ： 如图， 在原 题条件 不变 的前 提下 ，（ １ ） 若Ｌ Ａ Ｐ Ｏ ＝
３ ０ ￣ ，点 Ｑ为 ０ｏ上 不 与点 Ａ、 Ｂ重 合 的点 ，求 Ｌ， ４ Ｑ Ｂ的度 数 。 （ ２ ） 若 ０Ｏ的半 径 为 ５， 在（ １ ） 的条 件 下 ， Ｐ求 、 船 及 劣 弧 所 围 成 的 图
Ｐ
点 作 Ｐ Ｏ的垂 线 Ｂ Ａ， 垂足 为 点 Ｄ， 交 ００于点 ， 延长 Ａ ０
与 ００交 于 点 ｃ， 连接 Ｂ Ｃ， Ａ （ １ ） 求证 ： 直线 为 ００的切
原题（ 苏教 版 九 年级 数 学 上 册 ）
ｐ
如图 １ ， Ｐ Ａ、 Ｐ Ｂ是 ００ 的两 条 切 线 ，
对一道数学课本例题的拓展探究
江苏省泰 兴市老叶初级 中学 叶乔平 初 中数 学课 本 中的例题 具有 示 范性 、典 型性 和探 究性 ， 是课 本 的精髓 。浏览 近几 年全 国各 地 的 中考 数学 试卷 ， 很 多 试题 来源 于课本 ， “ 题在 书外 ， 根在 书 内” 。因此 ， 在 中考 复 习 中若 能 充 分发 挥课 本 中例题 的 潜在 功 能 ，适 当加 以拓 展延 伸， 可 以达 到发展 智力 、 培养 能力 的 目的。 现 以苏教 版九 年级 上册 课 本上 的一道 例题 为 例 ， 谈 谈本 人 的一些 做 法 ， 以期达
ＡＰ ＡＢ的 内心 的结论 。
课本 例题 、 习题较 多 ， 我 们也要 抓住 重点 ， 从 各个 方 面精 心挖 掘其 潜力 。 只有这样 ， 我们 才能 真正从 题海 战术 中脱身 出来 ， 减轻 学生 负担 ， 提高复 习效 率 。
浅谈课本例题的开发与应用
浅谈课本例题的开发与应用
课本例题是学习课本知识的重要工具，他们可以帮助学生对重要知识点有更深入的了解，他们也可以帮助学生持续发展和提升学习能力。
本文的目的是讨论课本例题的开发和应用。
首先，讨论课本例题的开发。
要有效开发课本例题，教师需要根据学生的需求和知识点的难度，制定针对性的开发方案。
教师首先需要了解学生的学习进度，然后分析学科知识，以确定既定课程的重难点，最后根据知识点的开发难度，制定实用的课本例题。
其次，讨论课本例题的应用。
应用课本例题时，教师首先可以在课堂中分享一些例题，以例题讲解知识，帮助学生弄清学科的基本概念；其次，教师可以通过回顾课本例题来帮助学生记忆课文中的知识点；最后，教师可以用课本例题对学生的学习情况进行评估，检查学生的学习效果。
除了课堂教学，课本例题还可以应用于课外活动，比如组织比赛，或者发放作业，这样学生可以充分发挥他们个性化的学习能力，进而掌握知识，达到训练和锻炼的目的。
总之，课本例题的开发与应用是一个复杂的系统工作，要实现有效的课本例题的开发和应用，教师和学生应该有更多的积极性，不断探索更有效的使用方法，为达到最佳的学习效果而努力。
- 1 -。
例谈课本例题的开发与应用
可以理解为
线ｙｌ ＝ － 非常直 白， 准确 易画。
（ 当学生理 解 了这 种变形 后，画图只用 了 １分 学好课本上的例题或习题 ，并通过一些相关的练习 ，
的学生思考片刻后都提 出用 此方法解决 ）
■
学
科
法选择很 重要 。 么还有其 那 他更简单 的变形吗 ？
二 、 动 反 思 行
（ ） 学首先要备教 材 一 教 我们需要站在专业的角度研究教材， 站在编者 的
．
一
２ 一 卜 一 ｌ
一
＼ ．＿ ． 一 将 方 程 ／ ．
钟 时间）
【 动收获 三 】一题 多解很 好 ， 行 ‘ ． 我认 为第三种 题能力 。 而且 ， 这样还能减轻学生的负担 ， 防止学生陷 方法最简单 ， 类似直线 ｙ 平行 于坐标轴 的直线 画 入题海不能 自 。 ＝ｌ 拔
起来很轻松” “ ； 自己动笔最重要 ，我刚开始认 为这 （ ） 学要 突 出主体性 二 教
学 习兴趣 ， 提高 学生 的探 索能力 ， 培养学 生 的发散 学 生干脆放 弃 了）
【 动收获一 】 交流后得 到结论 ， 来画 图 行 学生 原 是有讲 究的 ， 只要适 当地取 ５ 整数点来 画出图像 个
就 可 以。 这里 的“ 当 ” 般指 使 函数 值有 正 负值 ， 适 一
妨将 方程 一＝ １ 变形 为 ＋１ ，理解 为 函数
１ 理解二次 函数与方程 的关 系。 ． ２ 进一步加强对 函数 图像 的准确把握 。 ． ３ 体会 方法的优化选择 。 ． （ ） 学过程 三 教
一道课本例题教学的探索
ＡＯ Ｃ Ｆ （ Ｅ ｍ ＡＯ Ｄ 证明此两个三角形全等与例题证明方法相
同）
得 Ｓ Ｅ ＝ ＡＯ Ｄ 而 Ｓ Ｄ ＝ ＡＯ Ｄ Ｓ Ｆ △Ｏ Ｃ Ｓ Ｆ △Ｏ Ｃ Ｓ Ｆ ＋ ＡＯ Ｃ
含 ４￣ ５ 角的三角板 ， Ｄ ＡＯ Ｅ是另一块含 ３ 。 ０ 的三角板 ， 且点 Ｏ是
Ｂ Ｃ的中点 ， △Ｏ Ｅ绕着点 Ｏ旋转 ， 把 Ｄ 上述结论 成立 吗？
Ｃ
一
Ｎ Ａ ／
图２
ＢＭ Ｄ
￡
图３
分析 ： 变形 １２的结论都成立 ， 、 其解题 思路和例题类 似 ， 证 明方法完全相同（ 请读 者 自己证 明） 通过改变 图形 ， 变形 ， 操作等 创造 出系列新题 ， 关键是抓住题 目的本质属性 ， 解决 实际问题 ，
２０ ０ ８年 １ ０月
（ 总第 ９ 期 ） ２
搴Ｈ 论 ’Ｉ 坛 Ｓ Ｕ 磁 Ｚ
Ｊ Ａ Ｏ Ｙ Ｕ ＬＵ Ｎ Ｉ ＴＡ Ｎ
一
ＮＯ．０， ０ １ ２ ０８
（ ｕ ｌｔ ｅｙ Ｏ９ ） Ｃ ｍｕａｉ ｔＮ ． ｖ ２
道课 本例题 教学 的探索
沈桂斌
江 苏省兴 化 市林 潭 学校 ， 苏 兴化 ２ ５４ 江 ２ ７５
点， 如果 点 Ｍ、 Ｎ分别在线段 Ａ 、 Ｃ上移动 中保 持 Ｍ Ｎ ９ 。 ＢＡ Ｏ ＝ ０，
请判断 Ａ ＝ Ｍ ， Ｍ＝ Ｎ， Ｎ Ｂ Ｏ Ｏ 并证 明你 的结论 。
Ｃ
硼
？ 邀 Ａ Ｃ ｉ ・ Ｂ Ｄ、～ ＣＤ 是 ＡＢ 一 Ｅ
对课本解析几何一道例题的研究与探索
再方组 Ｙ 十， ０ 满一式 线 ：ｋ－ｏ１０ 一ｏ 由程 １＝ １ ， 足 且 ，！ｘ ‘＜戮 ０十在 ｆ ＋ 一 ＝ 不 。 域上＾ ｏＹ １ｕＩＸｏｌ ７ ８ 上，Ｉ一 ＝ 若¨，不 足Ｘ ０ （ Ｉ ５上 解 等 ｆ满Ｕ０Ｙ ；Ｘ ） ’ｔ ｙ 点一 ｏ ＿ Ｔ ｌ ＋ 十 ｇ ｇ Ｙ上 ’１ ０Ｙ
一
（ 设线段ＡＢ ３ ） 上的任意一点（０珈） 于是 Ｘ， ， ７ １ ｌ≤ Ｘ ８（ ０≤ ４， ） 分离参数 ， Ｙ ： 一 ０ ＋ ｏ
＝ 一
以通过解不等式 ≤０ ２＝０ 或 ＝ 来确定 的取 ：
这 些 万 郡 比较答 易设接 受 ，
Ｘ 吾 ｂＩ 范 值经研发’ 方都较易接】 ０ ａ Ｘ再 的围≤ 辽究现 些法 比容被受 １ 求 ３ ｏ 觋 充 这
般地， 已知 Ｍ （ｌｙ） Ｘ ，１、Ｎ（２ｙ）直线 ： ｘ ，２，
０＋ ｃ ｏ 竺 ＋ ｚ ｂ ：， ＋ 设 ＿
：． 是 于 给
显然当 ＝ ０ 都有ａ ｌ ｙ ＋Ｃ ０ 即 时， ｘ ＋ｂ１ ＝ ， 点 Ｍ 在直线 Ｚ 上；
出以下结论 中哪些是正确的？请说 明理 由． （） １ 当 ＝０ 点 在直线 Ｚ 时， 上． （） ２ 不论 为何值， Ⅳ都不在直线 Ｚ 点 上． （） ３ 当 ＝ １ 过 Ｍ 、Ⅳ 的直线与直线 Ｚ 时， 平 行．
相等 夹 不 ， 夹 大的 三 也 ， 而 角 等 则 角 第 边 大
ＮＮ ｃ＞ ．
又 △ Ｂ 是钝角三角形， ｃｓ ＜ ０ 即 Ｎ ｏＣ ，
５ ＜０ 从而 ｃ ． 一ｃ ， ＞
又ｃ ＜ａ ， ＋ｂ 即ｃ＜３ ．
又 ｃ＜ ａ＋ ｂ Ｎ ３ 故 ｃ ， ｃ＜ ， 的取值 范 围为 ＜ｃ ． ＜３
由一道课本例题引发的探究、引申与应用
推广 公式 ，
展开 式中 的系数为
知识 网络 ， 把握 纵横 联系 ， 提炼 数学 思想 ， 在 数学 地 提 出问题 、 分 析 问题 、 解决 问题 中学 会数 学学 习 ， 有 益 于拓展思 路 ， 扩 展视 野 ， 发 展学 生 探 究 能力 和 数
学思 维能力．
ｃ ： ｍ ＝ｃ “＝
垒 ｉ ± ２ （ 垒±
１ ，
－ ｙ － 旦
ｑ ／
社． １ ９ ８ ０： １ ７ — １ ８ ．
１・ ２＋ ２・ ３＋… ＋凡 （ 凡＋１ ）＝￣ 。 － ｎ （ ｎ＋１ ） （ ｎ＋２ ） ．
［ ２ ］ 徐 会方 ， 董振平 ， 崔耀 文 ， 等． 怎样 寻 求 Ｐ （ ＋ １ ）的 证 明 ［ Ｍ］ ．郑 州 ：河 南 教 育 出 版 社 ，
积是 一 ， 求 点 Ｍ 的轨迹 方程
问题 １ 设 点 Ａ， Ｂ 的坐 标 分 别 为 （一ｏ ， ０ ） ，
（ ｎ ， ０ ） ， 直线 Ａ Ｍ， Ｂ Ｍ 相 交 于点 Ｍ， 且 它们 的斜率 之
积是 一 ， 求点 Ｍ 的轨迹方程．
解 设点 （ ， Ｙ ） ， 由Ａ （一ｎ ， ０ ） ， Ｂ（ ｎ ， ０ ） ， 得
・
４・
中 学教 研 （ 数学）
要 计算 Ｓ ＝１ ・ ２＋ ２・ ３＋ ３・ ４＋… ＋ 凡 （ １ ７ ， ＋ １ ） ，
只需求 出母 函数的项 ｆ “的系数 即可． 根据 二项 式 的
特 别地 ， 如果教 师从 高等数 学 的视角来 研究初
等数 学 ， 常 常能居 高临下 ， 深入 浅 出地处理 问题． 总 而言 之 ， 立足基 础知 识 、 基 本技 能 和基本方 法 ， 编 织
教学案例论文：“一道课本习题探究”教学案例
教学案例论文：“一道课本习题探究”教学案例设计意图：新时期的教育教学，要求学生学会探究、自主、合作学习，这就需要教师为学生搭建一个有利于学生探究、自主、合作学习的平台，充分挖掘教材的每一个知识点和习题。
虽然数学习题千差万别，多如牛毛，但初中阶段的数学知识毕竟是有限的，根据某一道题的解题依据，或解题方法进行归类整理，会有助于加深对习题的理解与掌握。
同时，对一道习题进行多方面的挖掘，也能培养观察、猜测、推理、验证等一系列数学能力。
七年级数学中，平行线的知识是一个考查的重点，其中以求解角度及其相关问题为主。
而这一类题的解法往往需添加辅助线，这是学生学习的难点。
同时，平行线的问题往往与三角形的角之间有千丝万缕的联系。
在学习完三角形的内角和定理和外角有关知识后，结合教材中出现的一个题目，特地安排了这一节课。
教学目的：（1）进一步巩固平行线的性质和应用平行线的性质解决与之有关的问题，应用三角形的内角和定理和外角的相关知识解题，加强新旧知识之间的纵向联系和章节之间的横向联系。
让学生了解任何一点数学知识都不是独立的，而是有相互联系的。
（2）通过对一道课本习题的深入探究和剖析，培养学生观察、猜测、推理、验证的数学能力。
题目来源：新人教版七年级（下）p23有这样一习题：利用平行线的性质，学生在解决这个问题是很简单的。
但我在讲解这个问题时，并没有直接要求学生解决这个问题，而是对这个问题进行了加工和处理，对引导学生进行探索分析、归纳验证，提高学生解决问题的能力有很大的帮助。
教学过程设计：引入：如图，当ab∥ef 时，根据平行线的性质，有∠bae ＋∠aef＝180º，把线段ae向左方向折弯，变成如图1所示的形状，这时出现了∠bac，∠ace和∠cef，猜想这三个角之间的关系，并说明理由。
引导学生按下列步骤进行探索：（1）先用度量的方法量出这三个角的度数；（2）自己再画一个符合题意的图形，重新量出这三个角的度数；（3）猜想∠bac，∠ace和∠cef的关系；（4）再与小组的同学进行交流和讨论，得出小组结论；（5）由每个小组的同学阐述小组得出的结论。
数学探究课尝试 一一道课本例题的探究连堂课的教学设计
经许可复制著作权人姓名: 尚爱军数学探究课尝试一一道课本例题的探究连堂课的教学设计北京工大附尚爱军提要：数学探究课在新大纲中已被列入必修课内容中，必须引起我们广大数学教师的高度重视。
当前数学课堂教学的主要弊病是教师讲述时间过长，学生处于被动地位。
推进素质教育就要冲破“以讲为主”的束缚，“把课堂还给学生”，确立学生在课堂教学活动中的主体地位，本文尝试性地设计了“一道课本例题的探究课”，通过学生对TI图形计算器的操作，充分提供了让学生动手、动脑、参与的机会，激发学生的学习兴趣，接受问题的挑战。
动态几何又让学生充分领略到了数学美以及辩证法在数学中的体现。
培养学生的创新意识和实践能力，培养21世纪的创造性人才，已经成为迎接未来知识经济社会，全面推进素质教育的重点。
数学探究课不拘泥于课本上的统一的方法和同一种答案，强调发挥学生自身的主动探索和创造精神，给每个学生的个性发展留下了广阔的空间，更能充分体现学生的主体地位，集中表现为学生在探究活动中可以充分发展其能动性、自主性和创造性。
科技以人为本，我们的教育当然也应该以人（学生）为本。
“国际21世纪教育委员会”的报告中强调：“满足每个人在校和工作中不断学习需要的唯一途径是学会学习。
”按照建构主义学习理论，学生的学习应当以自主学习为基础，以智力参与为前提，以个人体验为终结。
其中活动是第一位的，对处于认识发展阶段的学生来说，这种活动开始表现为外部活动，由于主体自身的智力参与，使外部的活动过程内化为主体的心理过程，产生个人的体验，同时活动必须是学生主动和积极进行的。
在教学中，我们必须要积极引导学生自主活动，注重智力参与，完成个人体验的全过程。
这堂课的教学目标是通过对一道几何例题的不断探究，使学生巩固与圆相关的基本概念，熟练掌握切线的性质定理、切线长定理、弦切角定理等的应用。
通过对例题及变式图形的分析和证明，提高学生画图和推理论证的基本技能。
通过学生操作TI—92图形计算器，使学生平行移动直线的基本功更加扎实。
一道课本例题的探究与拓展
在运动中探索在变化中思考江苏省东台市五烈镇中学杨荫林（获2013江苏省教育科学研究院中学数学组二等奖）摘要在我们自主学习，合作交流中，要认真观察、实验、归纳，大胆提出猜想。
为了证实或推翻提出的猜想，我们要通过分析，概括、抽象出数学概念，通过探究、推理，建立数学理论。
我们要积极地运用这些理论去解决问题。
在探究与应用过程中，我们的思维水平会不断提高，我们的创造能力会得到发展。
在数学学习过程中，我们将快乐成长。
在我们的教科书中设计了一些具有挑战性的内容，包括思考、探究、链接，以及习题中的“思考〃应用”、“探究〃拓展”等，以激发我们探索数学的兴趣。
在掌握基本内容之后，选择其中一些内容作思考与探究，我们会更加喜欢数学。
关键词命题运动变化两圆内切、外切、外离、内含。
普通高中新课程标准实验教科书中有一部分例题和习题，它本身提出的的问题是非常明确具体的，但如果我们在自主学习的过程中不是以得到例习题所提问题的解答为满足，而是进一步加强合作、探索实践创新，交流我们的学习成果，我们发现新课程标准实验教科书中的例习题的背后还有好多资源有待去研究与拓展。
本文以(苏教版)普通高中课程标准实验教科书选修4-1《几何证明选讲》1.2圆的进一步认识，1.2.2圆的切线，2.弦切角例4为例P32，作初步的探究与拓展。
一. 原题中两圆内切命题1如图1，两圆内切于点P，大圆的弦AD与小圆相离，PA、PD交小圆于点E、F，直线EF交大圆于点B、C，求证：(1)EF∥AD;(2)∠APB=∠CPD.BD如图1 如图2变化1如果大圆的弦AD与小圆相离,变化为与小圆相切,那么有命题2如图2,两圆内切于点P,大圆的弦AB切小圆于点C.求证:∠APC=∠BPC.设PA,PB交小圆于E,F,则请你探究下列各等式是否成立?(1)CE=CF;(2)⊿ACE∽⊿CPF;(3)PC2=PA·PF;(4)PE·BC=PF·AC;(5)PA·PB-PC2=AC·BC;(6)S⊿ACE :S⊿BCF=PE:PF．变化2如果大圆的弦AD与小圆相离,变化为与小圆相交,那么有命题3如图3,两圆内切于点P,大圆的弦AD交小圆于点B,C.求证:∠APB=∠CPD如图3 如图4(甲)如图4(乙) 如图5(甲)变化3 如果大圆静止，小圆向外运动，则得：二.变化为两圆相交命题4如图4，两圆相交于点P ，Q ，大圆的弦AD 交小圆于点B ，C.试探求∠APB 与∠CQD 的关系.变化4如果大圆的弦AD 再与小圆相切,那么有命题5如图5,两圆相交于点P,Q,大圆的弦AB 切小圆于点C.试探求∠APC 与∠BQC 的关系.如图5(乙) 如图6变化5接图5(乙)如果AC 变化为两圆的外公切线,那么有命题6如图6,两圆相交于点P,Q,AB 为外公切线,A,B 为切点,试探求∠APB 与∠AQB 的关系.变化6如果大圆静止,小圆继续向外运动,则得下列情形.三.变化为两圆外切命题7如图7,两圆外切于点P,大圆的割线AD 交小圆于点B,C.试探求∠APB 与∠CPD 的关系.变化7如果把上题的“外切”改为“相切”，那么试探求∠APB 与∠CPD 的关系.如图7 如图8变化8如果大圆的割线切小圆于点C,那么有命题8如图8,两圆外切于点P,大圆的割线AB切小圆于点C.试探求∠APC与∠BPC的关系.变化9接上题的“外切”改为“相切”，那么试探求∠APC与∠BPC的关系.变化10接图8,如果AC变化为两的外公切线,那么有命题9如图9,两圆外切于点P,AB为公切线,A,B为切点,试求∠APB的度数.在大家的合作交流，探索研究中发现，上述命题中常要添置的辅助线是公切线或公共弦；需要运用弦切角定理、圆内接四边形的性质、切线长定理、三角形内角和的有关性质来探求两角相等或互补。
一道课本习题的解法研究
一道课本习题的解法研究1. 引言1.1 研究背景在学习课本习题时，学生常常遇到一些难以理解或解答的问题，需要通过深入研究和探讨来找到答案。
这种情况不仅仅是在数学课本中出现，也包括其他学科的习题。
我们有必要对课本习题的解法进行系统的研究和分析，以帮助学生更好地掌握知识，提高解题能力。
随着教育教学的不断深入和发展，教育部门对学生的认知能力和综合素质要求也越来越高。
传统的课本习题已经无法很好地满足这些需求，因此有必要对习题的解法进行更新和优化，以适应时代的发展并更好地促进学生的综合发展。
基于以上背景，本文将针对一道课本习题展开深入分析和研究，旨在探讨解题思路、具体步骤和实例演练，以期为学生提供更好的学习指导和借鉴，提高他们的解题能力和综合素质。
1.2 研究目的研究的目的是为了深入探究一道特定的课本习题的解法，并通过分析这道习题的解题思路和具体步骤，帮助读者更好地理解和掌握相关知识点。
通过实例演练和案例分析，我们将展示如何运用所学知识解决问题，并帮助读者提高解题能力和思维逻辑。
通过总结解题技巧，我们希望读者能够掌握解题的方法和套路，提高解题效率和准确率。
在学习的过程中，我们也将总结出一些学习收获，帮助读者加深对知识点的理解和应用。
展望未来，我们希望通过这篇文章的研究和总结，能够帮助更多的读者在学习中取得更好的成绩，提高学习的效率和质量。
是为了帮助读者更好地理解和掌握相关知识，提高解题能力和学习效果。
2. 正文2.1 习题分析习题分析是解题过程中非常关键的一步，通过对题目的深入分析，可以帮助我们更好地理解题意和问题本质，从而有针对性地制定解题思路和具体步骤。
在进行习题分析时，首先要仔细阅读题目，理解题目要求，并确定题目的类型和难度。
要分析题目涉及的知识点和解题方法，找出相关的定理或公式，了解题目所涉及的概念和关键点。
然后，要考虑题目可能的解题思路和可能的解法，思考如何运用所学知识解决问题。
要分析题目中可能存在的陷阱或易错点，避免在解题过程中犯错误。
一道课本例题引发的探究
一道课本例题引发的探究【摘 要】高中数学教材绝大多数例习题都是很经典的，教师应该鼓励学生对其进行积极的探究，引导学生乐于把现有的问题进行演变、引申，发展学生的创新思维，培养他们的探究能力。
【关键词】例习题 问题 探究 引申高中数学教材绝大多数例习题都是很经典的，教师应该鼓励学生对其进行积极的探究，通过探究让学生大胆的提出问题、解决问题。
这样不仅能加深概念、法则、定理等基础知识的理解与掌握，更重要是开发了学生的智力，培养学生的探究能力。
现以人教版选修2—1第41页例3的教学为例，并谈谈自己的一些想法。
一、问题的提出（选修2—1第41页例3）设点A 、B 的坐标（5,0）、（-5,0）。
直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是-94，求点M 的轨迹方程。
解答：（略）本题由学生用直译法做，没有太大的问题。
二、问题的引申1、逆向思维，大胆猜想：牛顿说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。
”翻开数学史册，可以发现数学的历史就是一部充满猜想的历史。
可见猜想与数学发现是形影不离的。
我们可以通过例题，引导学生进行大胆猜想与合情推理，发展他们发现问题的能力。
针对例3的答案为椭圆方程，学生不禁会问一般的椭圆是不是都有这样的性质呢？猜想1：椭圆0(12222>>=+b a by a x 上长轴的两顶点A 、B 与任意一点P （不同于A 、B ）连线PA PB 、的斜率之积为定值.解答：（略）有了例3的解答，这个问题让学生自主解决。
2、大胆假设，归纳引申：先通过大胆假设，再从特殊问题入手，归纳出一般性的结论。
这样有利于学生形成良好的认知结构。
变式问题中弦AB 是长轴，能不能改成一般过原点的弦呢？我们可以先与学生一起来探究一个特殊的问题，归纳出方法，再引申出一般性的命题。
问题：椭圆22132x y +=上任意一点P 与过中心的弦AB 的两端点A 、B 连线P A P B 、与对称轴不平行，求直线PA PB 、的斜率之积。
一道课本例题的教学探究
2016年12月新颖试题>教学--参谋一道课本例题的教学探究!江苏省如皋市第二中学何敏在高中数学课堂教学中，教材中的例题、习题的解 答是学生获得系统知识的主要来源.因此，如何充分展 示每道例习题的教学功能成为了摆在每位数学教师面 前的一个核心课题.笔者认为，教师要充分发挥每道例 习题的教学功能，应该深人挖掘例习题的内涵，引导学 生对教材中的一些典型例习题进行一题多解、变式推 广、归纳猜想、类比迁移等多方面的探究，调动每一位学 生学习数学的积极性，使不同层次学生的数学思维能力 都得到提升，从而逐步培养学生探究精神和创新意识.笔者在教学实践中，从一道课本例题出发，对此题进行 了推广探究，希望能给高三复习提供一些思路.一、 例题呈现例1已知0是直角坐标原点，点是抛物线%2& 2p((其中J9>0)上异于顶点的两个点，且0#丄0$，O M丄并相交于点），求点）的轨迹.(人教A版4-4第33页）原题解答是用参数方程，笔者给出另一种解法，并 就此推出一般结论.解:设# ((1，％1)，$((2，％2)，直线#$的方程为（&,%+.. 代人%并整理，得%2-2j9,y-2j9.=0,因此%1+%2&2户,，从而（(^-^.^^+之户.,2-.2,因为0/ 丄0$,所以 (1(2+%1%2&0,即.2-2户.=0,因为.#0,所以.=2p.因此直线 /$经过定点(2p,0),由0)丄/$可知，点）的轨迹是圆(c-p)2+y2&p2.二、 推广探究若将原题中的抛物线改为圆，其余条件不变，又有 什么结论？经过推理论证可得：命题1若0是直角坐标原点，点/、$是圆0:(2+/& 12上的两个点，且0/丄0$,0)丄/$于点）,则点）的轨迹是圆丨2-%2:1.2证法1:如图1，连接0$，0/，则由已知可知0)是等腰直角$的斜边/$上的高，所以0)&■%^1.故点）的轨迹是圆(2+证法2:设/ ((1，%1)，$((2，%2)，/$的方程为（=,%+.，代入圆0的方程并整理，得（1+,2)%2+2,.%+.2-12=0,因此2,. .2-12师&i，y1y2&^F.又（1(2=(,%1+.) (,%2+.) =,2%1%2+., (%1+%2) +.2& ,2(.2-12) 2.2,2+ 2&.2-，212—\+k2i+^+.& 1+,2*由0/ 丄0$可得(1(2+%1%2&0，所以.乂1+ . 1 &0,1+,21+,2即2.2-,212-12&0.因此，即,&± % 2.2-^~，所以121直线/$的方程为（&± %2.1%+.，即（±%2.1%-.&110，因此点0(0,0)到/$的距离为2& &-^，所以，点）的轨迹为圆2若将原题中的抛物线改为椭圆、双曲线，其余条件 不变，则结论又如何？仿上面的证明可得：命题2若#、$是椭圆4:4+ ^2 = 1(5>6>0)上不同a b的两点，且0/丄0$，0)丄/$于点）(0为坐标原点，下高中版十-?炎.757教学参谋1新颖试题同），则点！的轨迹是/"2+$2=a2'2 a2#'2'证明:设）("#，$#)，*("2，$2)，直线的方程为"=+$+ - <代入橢圆.的方程并整理，得(a*2*,' 2+2)$2+2+-' 2$,'2(-2-a2)=0,因此$i+$2:2+-'2，$1$2='(-2-a2) a2#'2k2a2#'2k2所以"1"2=+2$1$2#-+ ($1+$2)+-2一'2k2(-2—a2)2k2-2'2# 2_ a2-2-a2'2k2% a2#'2k2^—a2#'2k2#- _ a2#'2k2■由0)丄0*可得"1"2+$1$2_〇<a2-2—a2'2k2'2-2—a2'2n艮P--------,--------一0,a2,'2k2a2,'2k2所以k2_a2-2+'2-2—a2'2，即k_± V a V+'2-2—a2'2 ■a2'2a'因此直线）*的方程为:"± "^+'2-2—&2'2$--_0■a'所以点〇(0,0)到）*的距离为3_-1-1&+a2-2+'2-2-a2'2a2'2 a'v o w所以，点！的轨迹是圆"2+，a2'2 :^+^命题3若）、*是双曲线.:4-4_1('>&>0)上不a2'2同的两点，且0)丄0*<0!丄）*于点则点！的轨迹是圆^2,^2一a 2'2'2—a21其证明与命题2的证法完全类似，故此处略去■由上面的证明可知:直线）*始终是点！的轨迹的切 线，因此可以得到：命题4过圆5# :"2+$2_62上任一点）作圆52:"2+$2_ 6的切线交5#于另一点*，则0)丄0*■2命题5过抛物线L:y2_2j9"(i9>0)上异于顶点的任 一点）作圆C:("，)2+$2_，的切线交.于另一点*，则0) 丄0*1命题6过椭圆L:4+4_l(a>'>0)上任一点）作圆a2'25:"2a 2'2的切线交.于另一点*，则0)丄0*■命题7过双曲线.:^-<_1('>a>0)上任一点）作a2'2&2'2圆5:"2+$2_^7的切线交.于另一点*，则0)丄0*■'2—a2命题4~7的证明留给读者自己去完成■经过探究发现，命题4~7的逆命题也成立即卩有：命题8过圆51:"2+$2_62上任一点）作直线:交5于另一点*<若0)丄0*<则堤圆52:"2+$2_6的切线■命题9过抛物线i:y2_28(P>0)上异于顶点的任一点）作直线:交.于另一点*<若0)丄0*<则:是圆：（-户)»2的切线.命题10过椭圆.:美+^1(&>'>〇)上任一点）作a2'2a2'2直线:交.于另一点*<若0)丄0*<则堤圆C:"2+$2_^7a2+'2的切线1命题11过双曲线.:<-<_l('>a>0)上任一点）a2'2作直线:交.于另一点*<若0)丄0*，则:是圆5:"2+$2_^的切线■'2—a2命题8~11的证明请读者自己去探究完成.三、应用举例题1设）、*是椭圆：f+y2_l上的两个动点<0为坐标原点，且0$•0$_0■又设点；在直线）*上，且0;丄）*<求10;丨的值.(2014年全国高中数学联赛天津赛区预赛试题)题2已知焦点在"轴上的椭圆<:,+^2_1内含圆8 '25:"2+$2_j<圆5的切线:与椭圆<交于点）、*<满足0)丄0*.(2013年河北省高中数学竞赛试题）⑴求'2的值；(2)求丨）*丨的取值范围.%艮于篇幅，只给出答案：题1:丨0;丨_3_&一\V a2+'2题2:'2_4;丨）*丨&4,2^^(.V 3 3 J/2016年12月58十.方龙.1?高中版2016年12月新颖试题教学参谋四、几点思考对课本中典型例、习题的探究，不仅能丰富我们的 研究资源，而且能获得与之相关的新命题，从而达到培 养学生的探究能力和应变能力的目的，起到使学生重视 课本中例、习题的作用.下面结合笔者的教学实践，谈谈 自己对数学复习的几点思考.1.揭示概念本质，提升学生认知水平由于课本中不少数学概念，反映了数学知识的本质 属性，蕴含着思维的细胞，是数学内容的基石.高三数学 复习中教师要揭示数学概念的本质，对课本中的概念给 予足够的重视，并结合学生主体认知功能，立足于理解 好概念，用好概念，才会使我们复习数学的目的明确、方 法对头，提升学生的认知水平，才能使数学复习质量得 以提升.教师在概念复习时需要要帮助学生足够重视课本，揭示概念的本质，拓展概念的内涵和外延，关注其基本 特征和概念表征的多元化，引导学生加强对数学知识背 景及数学本源的挖掘.在概念本质探究中力争透过纷繁 的现象看清问题的本质，要从变的现象中发现不变的本 质，从不变的本质中探究变的规律，只有这样的复习教 学才能使解题更具有深度和广度，才能提升学生的认识 水平，实现数学复习质量的提升.2.再现知识形成过程，提升学生思维能力数学概念是数学理论的核心，故教学时就要突出数 学定义、公式、定理的来龙去脉和表达形式，了解它们的 区别和联系，再现知识的形成过程.虽然高一、高二都有 所涉及，但经过这么长时间，学生都有些遗忘，这些都需 学生复习时重视课本，拓展思路，并逐步学会如何运用 这些知识来分析和解决问题.关注对数学本质的考查，这能在一定程度上有效的规避模式化的解题，抑制题海 战术，实现数学复习质量的提升具有重要作用.对于联系密切的公式群，一定要让学生经历公式的 推导和建构，对于数学复习起到事半功倍的作用，是解 决问题的根本.在复习教学时，要足够重视课本，对课本 中的定义、定理、公式等基础知识和基本技能，做到知其 然知其所以然，探究他们的形成过程，提升学生的思维 能力，方能实现数学复习质量的提升.3.典型例题重点分析，提升学生解题策略课本是课程标准的具体体现，课本中的例习题是教 材编写组专家精挑细选出来的精品，不少高考试题都是 命题人员对课本例习题加工改编而成的.数学复习中要 有目的地选择课本中的例习题，对其条件和结论进行重 点分析，剖析思维方法形成过程，有效帮助学生提升解 题策略.例题教学是复习课的主旋律，如何用好课本的典型 例题是复习数学能否更加优质、实效的关键，发挥例题 的思维策略，达到“做一题、带一类、连一片”的效果，能 有效实现课本典型例题的示范性功能，提升解题的质 量.4.渗透数学思想方法，提升学生数学综合能力多年来结果表明，高考数学试题都在体现“考查基 础知识的同时，注重对数学思想方法的考查，注重对数 学能力的考查”的命题指导思想，常常涉及的思想方法 有：函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思 想和转化与化归的思想.而试题相当一部分来源于课 本，即使是综合题也是课本例习题的组合、改编和拓展，充分体现了课本的基础作用.数学题的解答一般不需要 高深的数学知识和高难度的变形技巧，而需要一定的创 新意识和发散意识，因此我们有必要深人地探究课本中 的习题，把握例习题的思想性的本质，提高数学素养，学 会思考数学问题，提升学生数学综合解题能力，使课本 中的例习题的作用发挥到极致，以达到最佳提升数学复 习的质量.只有重视课本中的例习题，理解、领会它们蕴 含的思想方法，通过系统的归纳总结、变式训练，才能触 类旁通、由此及彼积累足够的题型，形成数学解题能力，提升学生数学综合能力，实现数学复习质量的提升.正如数学教育家波利亚所说：“没有一道题是可以 解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探 讨与研究，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且 在任何情况下，我们都能提高自己对这个解答的理解水 平.”笔者从一道课本习题出发进行深人探究及引申推 广得到了一系列优美的结论.在教学中经常“研题”，有 助于促进教师专业知识的增长，通过研究习题可以提高 学生的数学解题能力，培养良好的数学兴趣，提高课堂 教学的有效性.M高中版十.？龙.759。
课本例题的探究与开发
课本例题的探究与开发以教材为源头，变例题为活水，多角度、多层面地对课本例题进行探究与开发，为不同层面的学生提供难易不一的习题，是教师创造性工作的重要组成部分。
现以北师大版初二数学（下）P129的例题为范，谈谈自己在教学工作中的点滴体会：原题题目：如图1所示，在等腰△ABC中，底边BC=60cm，BC边上的高AD=40cm，四边形PQRS是正方形。
（1）△ASR和△ABC相似吗？（2）求正方形PQRS的边长。
对这道题题目的多次和探究和开发，加深了学生对相关知识的巩固与理解，同时使学生体会到难易仅一步之遥，能把难变为易，就是成功，能把新变为旧，即为发展，让学生在题目的反复变化中体验数学的乐趣。
探究和开发一：结论的变更或延伸1、结论（3）求正方形面积，顺延了结论（2）。
2、结论（2）改为求正方形面积，跳跃了求正方形边长这一桥梁，增加了难度。
探究和开发二：条件略加变更1、将条件中PQRS为正方形改为SR：SP=2：1的矩形，结论（2）自然改为求矩形的边长或面积。
2、若与函数结合，此题目结论还可以改为“矩形的长为多少时，矩形面积最大”，综合性增强，考察知识面广，难度进一步提高。
探究和开发三：条件稍变，结论开放如图2，在锐角△ABC中，BC=60cm，BC边上的高AD=40cm，四边形PQRS 为正方形。
（1）其他条件不变，正方形的边长与锐角△ABC的形状有无关系？（2）若BC=60cm，AD=40cm不變，∠C=90°，此时正方形PQRS的边长会不会改变？如果改变的话举一例，如果不变，请简述理由。
（3）在（2）的条件下，若∠C为钝角，此时PQRS为正方形吗？探究和开发四：在生活情境中解决实际问题王师傅有一块直角三角形木板，一条直角边长为1.5米，面积为1.5米，他要求甲、乙两个徒弟把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两徒弟的加工方法如图3和图4所示，请你用学过的知识说明王师傅会认为谁的加工方法符合要求？（加工损耗不计，计算结果中可以保留分数）在实际情境中抽取出数学图形，通过计算边长、比较大小可知甲徒弟加工方法符合要求……探究和开发一、二使学习中等及偏下的同学在模仿练习中将课本内外知识顺理成章地融入了心灵，探究和开发的三、四使学习优秀的同学真正体会到了探幽揽胜的妙处。
对一道课本例题的探究性设计
对一道课本例题的探究性设计例题：（课本75页例2）已知圆的方程是222r y x =+．求经过圆上一点),(0o y x M 的切线l 的方程．一、对该题解法的探究提出问题：求解该题有哪些方法？ （探究）解法一：如图，设切线斜率为k ，半径OM 的斜率为1k∵OM l ⊥ ∴11k k -=而001x y k =∴0y x k -= ∴l 的方程为)(000x x y x y y --=-化简得)(200*=+r y y x x 特别地当k 不存在时，l 的方程为0x x =，代入（*）式也成立． ∴l 的方程为200r y y x x =+（解法二）设切线l 上任一点),(y x N则2000r y y x x =+⇒=⋅对比解法一和解法二，可得向量法优于斜率法，更具有一般性.二、对该题推广的探究提出问题：若点),(0o y x M 是圆O ：222r y x =+外一点，那么直线l ：200r y y x x =+与圆222r y x =+的位置关系是___，若点),(0o y x M 是圆222r y x =+内一点，那么直线200:r y y x x l =+与圆O :222r y x =+的位置关系是___．能否将结论推广到圆222)()(r b y a x =-+-呢？（探究）∵圆222r y x =+的圆心)0,0(O 到直线200r y y x x =+的距离20202yx r d +=若),(0o y x M 在圆外，则22020r y x >+ ∴r yx r d <+=2022，从而直线l 与圆O 相交．若),(0o y x M 在圆内，则2220r y x <+ ∴r yx r d >+=20202∴直线l 与圆O 相离．结论：一般地，已知圆C ：222)()(r b y a x =-+-．若),(0o y x M 在圆上，则切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--．若),(0o y x M 在圆外，则直线l ：200))(())((r b y b y a x a x =--+--与圆C 相交．若),(0o y x M 在圆内，则直线l ：200))(())((r b y b y a x a x =--+--与圆C 相离．（证明略）．提出问题：圆与椭圆有许多相似的性质，以上结论能否推广到椭圆呢？（探究１）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ．),(0o y x M 是椭圆上一点．则直线1:2020=+byy a x x l 一定与该椭圆相切吗？ 解：当00≠y 时，12222=+by a x 求导数得： 0222'2=+b yy a x 02'2=+⇒b yy a x ya b y 22'-=⇒又∵切线l 的斜率'y k = 02201y a b x x ⋅-==∴切线l 的方程为：)(00x x k y y -=-即)(100220x x y a b y y -⋅-=-且),(0o y x M 在12222=+by a x 上∴l 方程为12020=+byy a x x 当00=y 时，a x ±=0，直线方程为a x ±=与椭圆也相切.故直线l ：12020=+by y a x x 与椭圆12222=+b y a x 相切．（探究二）若),(0o y x M 在椭圆外，则直线12020=+b yy a x x 与椭圆C 相交吗？若),(0o y x M 在椭圆内，则直线12020=+byy a x x 与该椭圆C 相离吗？（可用参数法）分析：设直线l 与椭圆交点)sin ,cos (θθb a N ,若N 点存在且有两个,则l 与椭圆C 相交.若N 不存在,则l 与椭圆C 相离.解：设直线l 与椭圆交点为)sin ,cos (θθb a N ,)2,0(πθ∈则代入直线l 的方程为:1sin cos 2020=+bby a ax θθ ∴1sin cos 00=+θθbya x∴1)sin(220220=+⋅+ϕθby a x ，其中00tan ay bx =ϕ，)2,2(ππϕ-∈即2202201)sin(bya x +=+ϕθ显然当),(0o y x M 在椭圆外时，1220220>+by a x即1)sin(0<+<ϕθ故这样的交点)sin ,cos (θθb a N 存在且不唯一． 故l 与椭圆相交．当),(0o y x M 在椭圆内时，1220220<+by a x即1)sin(>+ϕθ故这样的交点)sin ,cos (θθb a N 不存在，所以直线l 与椭圆相离．本节设计从课本例题出发，通过不断探究，改变条件，使结论更具有一般性，从而体验探究的成果，激发对数学的兴趣，收到了好的效果．。
数学探究的鲜活资源——一道课本习题的数学探究案例
过探究发现下列方法是多种解法中比较简洁、实 用的方法． 证明
因为直线过抛物线的焦点ｆ告，ｏ），故
、厶
，
可设直线的方程为ｚ—ｍ了＋告．代入扩一２户ｚ
厶
中，得ｙ２—２夕７７ｚｙ一≯２一ｏ，由于歹ｚ，ｙ。是该方程 的两实根，故由韦达定理可知，ｙ。ｙ。＝一ｐ２． 评析这种解法抓住直线过抛物线的焦点， 因而必与ｚ轴相交这个事实，巧妙地设出直线方 程，回避了利用点斜式直线方程对直线的斜率是
粤．故直线方程为ｆｚ一鲁１一优ｙ—ｏ，从而直线过
厶 、 厶，
点（鲁，ｏ）．
、厶 ，
因此课本题的逆命题成立． 问题２把课本习题的条件加以推广，能得 到类似的结论吗？即： 过定点（ｃ，０）的直线与抛物线ｙ２—２夕ｚ（ｐ＞ ｏ）交于两点，两交点的纵坐标为ｙ。，ｙｚ，那么ｙ－ｙ。 是定值吗？ 简析设直线方程为ｚ一优ｙ＋ｃ，代入ｙ２— ２ｐｚ中，不难得到ｙ，ｙ：一一２户ｃ为定值． 问题３如果ｙ。ｙ。一勘（定值，那么直线过定 点吗？即： 直线与抛物线ｙ２—２ｐｚ（ｐ＞０）交于两点，两 交点的纵坐标为了。，了。，若ｙｔｙｚ—ｕ（定值，那么该
否存在而要进行的分类讨论，简化了解题过程．
２进一步探究 问题１课本题的逆命题成立吗？即： 一条直线与抛物线ｙ２—２户ｚ（户＞ｏ）相交，两 交点的纵坐标为ｙ，，了。，若３，，ｙｚ一一户２，那么该直 线过此抛物线的焦点吗？ 简析不难看出，该直线必与ｚ轴相交，故可 设直线的方程为ｚ—ｍｙ＋ｎ，代人ｙ２—２夕ｚ中，有 ｙ２—２户ｍ了一２夕口一Ｏ．故ｙｌｙ２一一２户口一一户２，口一
２００８年
第４７卷
第４期
数学通报
２５
数学探究的鲜活资源
——一道课本习题的数学探究案例
陈久贵
初三数学课本例题、习题的开发例析
初三数学例题、习题 “二次开发”策略例析松江区立达中学 庄士忠 201600 松汇西路1260号数学课本中的例题、习题是课本内容的重要组成部分，既是对课本知识的诠释，也是对某些方法的演示，所以进行课本的例题、习题的“二次开发”，对于理解课本知识的内涵，掌握基本解题方法有着重要的意义．（一）、对题目的条件和问题进行变式和开发 【案例1】如图，小亮欲测量一电线杆AB 的高度，他站在该电线杆的影子上前后移动，直到他身体影子的顶端正好与电线杆影子的顶端重叠，此时同伴测出小亮与电线杆距离BE=12m ，小亮的影子长CE=4m ．已知小亮的身高DE=1．7m（1) 图中△CDE 和△CAB 是否相似？请说明理由;（2） 求电线杆AB 的高度．（浙教版九年级上册4．4-2作业本29页第3题）【分析】本题知识点（1）相似三角形的判定；（2）相似三角形的性质． 1.改变遮挡物（1）遮挡物为竖直的平面小亮和他的同学利用影长测量旗杆高度如图，1m 长的直立竹竿的影长为1．5m ．测量旗杆落在地上的影子为21m ，落在墙上的影长为2m ．求旗杆的高度．【分析】通过把太阳光看成是平行光的原理,构造相似三角形解决这类问题． （2）遮挡物为斜坡小亮在下午实践活动课时, 测量西教学楼的旗杆高度．如图,当太阳从西照射过来时,旗杆AB 的顶端A 的影子落在教学楼前的斜坡E 处,测得在地面上的影长BD=20米,DE=2米,坡面与水平地面的夹角为30°．同一时刻一根长为1米的直立竹竿的影长为2．6米，根据这些数据求旗杆AB 的高度（结果 保留两个有效数）【分析】增加三角函数和勾股定理的知识,把相关知识贯穿在一起,及时巩固． （3）遮挡物的面数增加小亮在下午实践活动课后, 测量西教学楼的旗杆高度．如图,当太阳从西照射过来时,旗杆AB 的顶端A 的影子落在教学楼前的平地C 处,测得在平地上EC=2米,FG地面上的影长BD=20米,DE=4米,坡面与水平地面的夹角为30°． 同一时刻一根长为1米的直立竹竿的影长为3．2米，根据这些数据求旗杆AB 的高度（结果保留两个有效数） 【分析】增加难度,原理不变,熟练地应用知识和技能,准确 把握解题方向． （4）无遮挡物小亮在下午实践活动课, 测量东教学楼前水杉树的高度．如图,当太阳从西照射过来时,小树AB 的顶端A 的影子落在司令台的斜坡处,测得在地面上的影长BD=2米,坡面上影长DE=4米;同一时刻一根长为1米的直立竹竿的在平地上影长为2．6米，在坡面上影长3米为根据这些数据求树的高度．（精确到0．1米）【分析】本题利用地面影子在物高上找对应点把物高分成几部分，构造相似三角形解决问题．这样的解决方法比较贴贴近生活实际，使思路非常明确．2．移动参照物 （1）参照物的移动（1）晚上，小亮晚自修结束回寝室途中，走到C 处时，发现在点B 上方的路灯A 照得自己的影子CD 的长为2米；继续往前走4米到达E 处时，这时自己的影子EF 长为4米 ,已知小亮的身高为1．6米 ，路灯的高度等于多少？【分析】这类题目有变量和不变的量，注意挖掘里面的等量关系．根据相似三角形对应边成比例，并利用等量代换求解． （2）参照物的移动（2）小亮探究影子长度的变化规律，当他走到离路灯2米处时，其影子的顶点标记为H 1，此时 影长为 米；当他继续走到H1时，其影子的顶点标记为H 2，此时影长为 米；当他继续走到H 2时，其影子的顶点标记为H 3，此时影长为 米；…按这样的规律继续走当他走到Hn,其影子的顶点标记为H n+1,此时影长为 米．【分析】对题设条件进行变化，克服思维定势．充分渗透数学猜想和归纳法，培养探究能力和发散思维能力．有意识的进行题目背景的更换，将知识融入在不同的背景中，选择的背景是熟悉的事物和具体的情景，在数学的世界里开拓出可供他们思索、探讨和发展的用武之地，是数学课程更具现实性．（二）、对题目的解法进行探讨4BD23H 1H 24H 3【案例2】已知在圆O 中，A 为优弧BC 的中点，且AB=BC,E 为弧BC 上的一点，求AE=BE+CE ．【分析】本题知识点（1）等边三角形和全等的相关知识；（2）利用截长补短的解题方法．1.一题多解（1）利用截长方法的方法解题 解析：在AE 上取点F ，使得AF=BE,(AFC BEC AF BE FAC EBCAC BC ∆∆=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩在和中作法可得）（同弧所对的圆周角相等）（等边三角形边相等） AFC ∆≌BEC ∆(SAS)∴CF=CE60AEC ABC ∠=∠=︒∴ECF ∆是等边三角形 ∴EF=EC AE=AF+EF ∴AE=BE+CE（2）利用补短的方法解题 解析：延长EB 至点F,使BF=EC,BF ACE B C (ABF ACE ABE B A A F E A C ∆∆=⎧⎪∠=∠∠⎨⎪=⎩在和中作法可得）（同角的补角相等）（等边三角形边相等） ABF ∆≌ACE ∆(SAS)∴BAF=CAE ∠∠AE=AFCAE+EAB=60∠∠︒∴+EAB=60BAF ∠∠︒ ∴AFE ∆是等边三角形F∴AE=EF=BE+BF 即AE=BE+CE（3）利用旋转的方法解题解析：将ACE ∆顺时针旋转60︒，则ABF ∆≌ACE ∆∴AEF ∆是等边三角形，ACE ABF ∠=∠+ABE=180ACE ∠∠︒(圆内接四边形对角互补)∴BF+ABE=180A ∠∠︒ 即点F 、B 、E 三点共线 ∴AE=EB+BF 即：AE=EB+EC（4）利用平行的方法解题解析：过点C 作AE 的平行线CF 交圆于点F ，连接AF.（5）利用托勒密定理解题 解析：利用托勒密定理可得+EC AB=AE BC BE AC ⋅⋅⋅ ABC ∆是等边三角形∴AB=AC=BC ∴BE+EC=AE通过解决问题的反思，获得解决问题的经验”．在数学中离不开习题解答，通过一题多解加深知识的理解与内化，培养思维的灵活性、创新性，提高解决实际问题的能力．2.一题多变变式1：在学习了《圆的基本性质》后，小健为小康准备了如下问题：已知在圆O 中，ECF//AEFCE+18060+CFB=180CE//FGCEGF BEG AFG BE=EG,CF=GF=AG BF+CF=GE+AG=AECEA BFC CEA FCE ∴∠∠=︒∠==︒∴∠∠︒∴∴∆∆∴∴即四边形是平行四边形和是等边三角形EFEA 为优弧BC 的中点，且AB=BC,E 为圆上不同于A 、EB 、C 的任意一点，求AE=BE+CE ．【分析】本题关键是E 点位置的不确定性，故在解决此题时 必须进行点E 位置的讨论，用到分类讨论的思想．变式2：已知如图，ABC ∆是等边三角形，AEB=60∠︒,求AE=BE+CE 【分析】把圆的条件去掉后，还是可以用截长补短的方法解决．变式3：已知如图，ABC ∆是等边三角形，AEB=60∠︒，A,B,E,C 四点共圆吗？ 【分析】以ABC ∆的外心为圆心，OA 为半径画圆，可以证明点E 在圆上，即A 、B 、C 、D 四点共圆．变式4：在学习了《圆的基本性质》后，小健为小康准备了如下问题：已知在圆O 中，A 为优弧BC 的中点，且AB=BC,E 为圆上不同于A 、B 、C 的任意一点，，请你写出AE 、BE 、CE 之间的数量关系？解析：设MOE θ∠=,2222222+EC +2sin 2sin 602sin 6062BE EA R R RR θθθ⎡⎤⎡⎤=+++-⎣⎦⎣⎦==（）（）（）三角形边长的平方的倍（即为定值）变式5：在学习了《圆的基本性质》后，小健为小康准备了如下问题：已知在圆O 中，四边形ABCD 是正方形，E 是不同于A 、B 、C 、D 的任意一点，，请你写出AE 、BE 、CE 、DE 之间的数量关系？【分析】通过探究我们可以发现2222+EA ++EC EB ED 是一个定值． 解析：连结AC,90AEC ∠=︒,222+EC =d AE ，同理可得222d BE DE +=所以222222AE EC BE DE d +++=,而d 倍，即为定值．变式6：由变式5、变式6你能得出一个什么结论？结论：圆内接正多边形各顶点到圆上任意一点的距离的平方和为定值．数学“变式”练习是为了更加准确地掌握数学解题方法而采取的变换方式．“变式”练习帮助我们多角度地理解数学方法、化归数学方法，是从“知识性”向“智力型”转换“变式训练.（一）、对题目的图形进行变化和改动任何一个复杂的几何图形都是由若干个基本图形组合而成的，将一个复杂的图形中的基本图形“离析”出来，是解决问题必须具备的重要功能之一，而这种“离析”是在真正理解基本图形的基础上才能进行的．1．重视基本图形E变式4E变式5（1）基本图形的识别与性质 【案例4】有一块三角形余料ABC ，它的边长BC=120mm ，高AD=80mm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，问加工成的正方形零件的边长为多少mm ？【分析】此题涉及的知识点为三角形的相似，以及三角形相似的性质．基本图形为：三角形里面有一个正方形，且正方形的四个顶点分别在三角形的三边上．性质：相似三角形对应边上的高线之比等于相似比解析:设正方形边长为x,△APN ∽△ABC ，AE AD PN BC =,8012080x x-=，得x=48 （2）基本图形在纯数学题中应用如图，在Rt △ ABC 中，C=90∠︒,AC=4,BC=3．（1）如图1，四边形DEFG 为△ ABC 的内接正方形，求正方形的边长．（2）如图2，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ ABC ，求正方形的边长．(3)如图3，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ ABC ，求正方形的边长．(4)如图4，三角形内有并排的n 个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ ABC ，求正方形的边长．【分析】此题主要还是考查基本图形及其性质，第4小题变成了一个探究规律的题目． （3）基本图形的在生活题中应用小明在出墙报时，需要长48cm 、宽4cm 的彩色纸条镶边，现有如图一张三角形彩色纸零件，其中BC=25cm,BC 边上的高为20cm ，给出一种裁纸方法：将AB 、AC 分为五等分，然后如图连接两边的对应的点，并以这些连接线为一边作矩形，剪出这些小矩形纸条，用来为墙报镶边，问：这种方法能满足镶边需要吗？请说明理由． 【分析】此题为生活实际题，但图形是基本图形2．重视对基本图形的变式ABE DNPMQBADC E G FKHB ACADC E G FA BC…ABEDI F K J H G图1 图2 图3图4【案例】已知：如图，在Rt △CAB 和Rt △ECD 中，AC=CE,点D 在边BC 的延长线上，且∠ACE=∠B=∠D=90°．求证： △CAB ≌ △ECD ． （选自七年级下 1．5全等三角形（3）作业题 ）【分析】此题所涉及的知识点为：三角形的全等．解析：(ABC ∆∆∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩在和CDE 中B=D=90ACB=CED 同角的余角相等）AC=CE∴△CAB ≌ △ECD （1）对基本图形变式1弱化条件：AC=CE （线段相等）……结论由三角形全等弱化为三角形相似如图，在Rt △CAB 和Rt △ECD 中，点D 在边BC 的延长线上，且∠ACE=∠B=∠D=90°． 求证： △CAB ∽ △ECD ．解析：(ABC ∆∆∠∠︒⎧⎨∠∠⎩在和CDE 中B=D=90ACB=CED 同角的余角相等）∴△CAB ∽ △ECD应用：如图,正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B,C 重合的任意一点，连接AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ，设BP 的长为xcm,CQ 的长为ycm ．(1)求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值；(2)当1y 4=cm 时，求x 的值． 【分析】此题能够在复杂图形中找出基本图形，则解决就不成问题了． （2）对基本图形变式2 弱化条件：“直角”如图：在△ABC 和△CDE 中，点D 在边BC 的延长线上，AC=CE,∠ACE=∠B=∠D,则△ABC ≌△CDE ．解析：ABC ∆∆∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩在和CDE 中B=D ACB=CED （三角形的内角和等于180）AC=CE∴△ABC ≌△CDE应用： 如图，△ABC 为等边三角形，点D,E,F 分别在边BC,CA,AB 上，且△DEF 也为等边三角形．除已知等边三角形的边相等以外，请你猜想还有哪些线段相等，并证明你的结论；解析：BDF ∆∆∠∠︒⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩在和CED 中B=C=60BDF=CED （三角形的内角和等于180）DE=CF∴△BDF ≌△CED ∴BF=CD,BD=CE （3）对基本图形变式3同时弱化条件：“线段相等”和“直角”如图，在△ABC 和△CDE 中，点D 在边BC 的延长线上，∠ACE=∠B=∠D ，则△ABC ∽△CDE ．解析：ABC ∆∆∠∠⎧⎨∠∠︒⎩在和CDE 中B=DACB=CED （三角形内角和为180）∴△ABC ∽ △CDE应用：如图，在Rt △CAB 中，∠CAB=90°，AB=AC=2,点D 在BC 上运动（不能到达点B,C ）,过点D 作∠ADE=45°，DE 交AC 于点E ． (1)求证：△ABD ∽△DEC;(2)设BD=x,AE=y,求y 关于x 的函数关系式．解析：可证明△ABD ∽△DEC （AA ），利用相似三角形对应边成比例得出21y 22x =-+ 在基本图形的变式中，往往难以理解变式后的图形与基本图形之间的关系，尝尝会将基本图形的本质特征与所给问题的个别特征相混淆.。
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一道课本例题的探究开发663312云南省广南县篆角乡中心学校 陆智勇课本的例题不仅仅是传授知识、巩固方法、培养能力、积淀素养的载体，如果我们对它们进行特殊联想、类比联想、可逆联想和推广引申，这些例题也可作为探究教学的重要材料。
笔者尝试着从课本例题入手，合理开发课本例题，引导学生反思、深化与推广，并结合数学探究教学作了初步的探讨.题目：如图(1)，AD 是△ABC 的高，点P,Q 在BC 上，点R 在AC 上，点S 在AB 上，边BC=60cm ，高AD=40cm,四边形PQRS 是正方形.(1)相似吗？与ABC ASR ∆∆ (2)求正方形PQRS 的边长.分析：由于四边形PQRS 为正方形，所以SR ∥BC ，故ASR ∆∽ABC ∆.利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程求解.解：（1）ASR ∆∽ABC ∆.理由： 是正方形，因为PQRS 所以SR ∥BC. 所以 .,ACB ARS ABC ASR ∠=∠∠=∠ 所以ASR ∆∽ABC ∆ .（2）由（1）可知ASR ∆∽ABC ∆.根据“相似三角形对应高的比等于相似比，可得设正方形PQRS 的边长 为 AE=(40- χ )cm, 所以 解得：所以正方形PQRS 的边长为24cm.此题是北师大版九年义务教育课程标准实验教科书八年级数学下册第147页.BCSRAD AE =，cm χ.24=χ604040χχ=-的一道例题。
该题是典型的利用“相似三角形对应高的比等于相似比”解决实际问题的例题。
笔者在教学过程中没有停留在问题的解决上，而是以此题为切入口，精心设计了一组变式，恰当设置问题梯度，使难易程度尽量贴近学生的最近发展区，使设计的问题触及学生的兴奋点，把学生从某种抑制状态下激奋起来，使之产生一种一触即发的效果。
变式1：如图(2),△ABC 的内接矩形EFGH 的两邻边之比EF ：FG=9：5，长边在BC 上，高AD=16cm,BC=48cm,求矩形EFGH 的周长。
分析：因为EFGH 为矩形，则AN ⊥HG.这样△AHG 的高可写成AD-DN=AD-FG.再由△AHG ∽△ABC ，即可以找到ＨＧ、ＦＧ与已知条件的关系，求出矩形EFGH 的周长.解：因为EFGH 为矩形，所以HG ∥EF,HG=EF.所以△AHG ∽△ABC.所以 则解得：所以矩形EFGH 的周长为56cm.变式2：如图(3),已知边长为10cm 的等边三角形ABC ，内接正方形HEFG 。
求正方形HEFG 的面积。
分析：因为AD 是等边三角形ABC 的高，所以根据等腰三角形的三线合一性质可以求出AD 的长，由△AEH ∽△ABC,可得相似三角形对应高的比等于相似比，即可求出正方形的面积。
.AD ANBC HG =.5,9χχ==FG EF 设16516489χχ-=.2=χ解：因为AD 是等边三角形ABC 的高，所以因为 又因为HEFG 为正方形，所以EH ∥BC. 所以AEH ∆∽ABC ∆. 所以所以正方形HEFG 的面积为变式3：如图(4), △ABC 中，高AD=4cm ，PQMN 为正方形，边QM 在BC 上，P 、N 分别在AB 、AC 上，且BC=AD+MN.求这个正方形的面积。
分析：要求正方形的面积，需求出正方形的边PN 的长，由△APN ∽△ABC 及高AD=4cm,可联想用相似三角形对应高的比等于相似比去列比例式，即可以求出正方形的面积。
解：因为 PQMN 为正方形,所以PN ∥BC. 所以△APN ∽△ABC. 所以.521cm BC DC ==.355102222cm DC AC AD =-=-=.ADANBC EH =则设,cm EH ND χ==353510χχ-=.303202cm ）（-=χ.3120021002cm ）（-则设,cm MN PN χ==444χχχ-+=cm）（252-=χ.ADAE BCPN =所以这个正方形的面积为变式4：如图(5)，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm,AD=80mm,要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC 上，其余两个点分别在AB 、AC 上，设该矩形的长QM=ymm,宽MN=χmm.(1)求证：y=120-χ23;(2)当χ与y 分别取什么值时，矩形PQ M N 的面积最大？最大面积是多少？分析：因为四边形PQMN 是矩形，所以PN ∥BC.由△ABC ∽△APN 得PN ：BC=AE ：AD ，即可证y=120-23χ；又因为S 矩形PQMN=χy=(120-23χ)χ=- 23χ2+120χ,而a=- 23＜0,所以时，ab2-=χS 矩形PQMN 有最大值.证明：(1)因为PN ∥BC ，AE ⊥PN ，PN=QM=ymm,DE=MN=χmm ，所△ABC ∽△APN ，所以PN ：BC=AE ：AD ， 即y:120=(80χ-):80, 所以y=120-23χ. (3）因为S 矩形PQMN=χy=(120-23χ)χ=- 23χ2+120χ,所以当χ=-)23(2120-⋅=40时， S max =)23(41202-⋅-=2400，这时y=402400=60. 变式5：已知一块直角三角形木板的一条直角边AB 的长为1.5m,面积为1.5m 2,要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请你设计两种合理的加工方法，并用所学过的知识说明哪一种方法符合要求。
（加工损耗忽略不计，计算结果可用分数表示）。
分析：有两种加工方法，要比较哪个加工方法符合要求，就是要比较两种种方法加工出来的正方形桌面的面积哪个大，利用“相似三角形对应高的比等于相似比”列方.58242cm ）（-=χ程求出正方形的边长就可以求解.解：如图(6),(7),由AB=1.5m ，S △ABC=1.5m 2，得BC=2m, (1)设图(6)中加工桌面的边长为x ，因 为DE ∥BA ，所以ABDECB CD =，即5.122χχ=-， 解得χ=76.(2)在图(7)中，过B 作BH ⊥AC 于H ，交DE 于P ， 由AB=1.5m,BC=2m, S △ABC=1.5m 2,得 AC=2.5m,BH=1.2m,设图(7)中加工桌面的边长为y.因为DE ∥AC ，所以,ACDEBC BE ,BC BE BH BP ==所以,AC DE BH BP =所以5.2y2.1y 2.1=-，解得y=3730.因为 76> 3730， 即x ＞y,所以图(6)的加工方法符合要求。
变式6：如图(8)， 正方形DPQR 内接于△ABC ，已知△AOR 、 △BOP 和△CRQ 的面积分别是1S =1，2S =3 和S 3=1，那么正方形DPQR 的边长是多少？分析一：如图(9),作AD ⊥BC ，则设法根据三角形的面积，用正方形的边长表示AE 、AD 、BC.设正方形的边长为χ，即列式为解得χ=2.解法一: 作AD ⊥BC 于D,AD 交OR 于E. 设正方形的边长为χ,BC ORAD AE=.2622χχχχχχχ++=+因为OR ∥BC,所以△AOR ～△ABC.因为 即 所以所以正方形DPQR 的边长是2.分析二:欲求正方形的边长,需求正方形的面积,因为已知三个三角形的面积,可设法构造相似三角形,利用面积比来求.解法二:如图(10),作OE ∥AC 交BC 于E.则△OPE ～△RQC,所以因为OE ∥AC,所以△AOR ～△OBE..262211χχχχ===⋅==∆CQ BP AE AE S AOR ，，同理，因为,BCOR AD AE =.2622χχχχχχχ++=+822222+=+χχχ164=χ.2=χ，可求，需求）（而OBAOAB AO AB AO S S ABC AOR ,2=∆∆.1==∆∆RQ C O PE S S .413=+=∆O BE S .211==∆BOES S BOAO所以.31=ABAO 所以S △ABC =(AOBA )2.S △AOR = 9 因为OR ∥BC,所以△AOR ～△ABC. 所以所以正形DPQR 的边长是2.变式7:如图（11），已知菱形AMNP 内接于 M 、N 、P 分别在AB 、BC 、AC 上，如果AB=21cm,CA=15cm,求菱形AMNP 的周长.分析：因为四边形AMNP 为菱形，所以 MN ∥AC ，PN ∥AB ，得△BMN ～△BAC ～△NPC ，利用相似三角形对应线段的比等于相似比列方程求解.解:因为四边形AMNP 为菱形，所以 MN ∥AC ，PN ∥AB ，得△BMN ～△BAC ～△NPC ， 设菱形边长为 解得所以菱形AMNP 的周长为35cm.变式8:如图（12）,,90 =∠=∠A BDG 四边形DEFG 为ABC Rt ∆的内接正方形，AC=3,AB=4.分析:关于（1），由于DEFG 为ABC Rt ∆的内接正方形，且边DE 重合在BC 上.知 BC ⊥DG, 得 而 ∠B= ∠B .可得△BDG ∽△BAC,.PCNPMN BM=所以，则χχχχχ--=1521,cm .435=χ.32)1(21DE S S GD BG）求；（）求；（求.41319321=---=---=S S S S S ABCOPQR 正方形，A BAD ∠==∠ 90;3522===+ACAB AC ACBC GDBG关于（2），从△BG D ∽△GFA 得关于(3)，由△BG D ∽△FCE 得而BD+DE+EC=5,可求解：(1) 因为正方形DEFG 内接于ABC Rt ∆，且边DE 重合在BC 上，又∠B=∠B ，可得 △BDG ∽△BAC, 所以（2）由 FG ∥BC ，有∠B =∠1，且∠BDG= ∠A ，所以 △BG D ∽△GFA ，有(3) 由△BG D ∽△FCE ∽△BCA 得所以由BD+DE+EC=BC=5,有上述八个变式源于课本而高于课本，变式过程层层深入，环环相扣，优美自然，将“相似三角形对应高的比等于相似比”解决实际问题变得一览无余，不仅能使学生强烈地感受到数学的美妙以及课本例题的指导功能，而且让它们充分享受学;925)()(2221===GD BG GF BG S S ,43,34.34DE EC DE BD EC EF GD BD ====于是.3760=DE ;3522===+ACAB AC ACBC GDBG .92535)()(22221====）（GD BG GF BG S S ,4343,3434.34DE EF EC DE DG BD EC EF GD BD ======于是.3760=DE 解得.522=+=AC AB BC 由勾古定理得,90 =∠A 因为,90A BDG ∠==∠ 所以.54334=++DE DE DE习数学的快乐。