10广义矩估计

是一列定义在 上的实的或复的波雷尔可测函数(Borel
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measurable functions)，对每个
，
可展开成一个逐点收敛的级数。
对每个
，
是一个实的常数序列。
。
对某个可求和的正的常数序列 ，
，
其中， 要满足如下条件：
对
且
有
一种混合的条件可用来确保对所有 ，
。（可见 Andrews 中的评论 1）Andrews 还
是一个
型可逆矩阵（invertible matrix）。在这种情况下，
且
使得渐进方差协方差矩阵（the asymptotic variance covariance matrix）不是由 决定
的。但是这和
上过度识别（overidentified）的情况就不一样了。
9．3 有效的 GMM
ຫໍສະໝຸດ Baidu
前面的结果表明，当
sequences）可以用中心极限定理 (Central limit theorems)来证明假设 。若
是一个严格稳态（a strictly stationary），例如，各态历经的技巧差分序列（ergodic martingale difference sequences）那么就有
在更一般的，考虑非稳态（non-stationarity）的混合条件下，Ω具有更复杂的形式。设
，其中 在 到 时刻分发的红利。假定所有资产都是股票，对于最优化消费 和投资,一阶条件（the first order conditions）由下面式子给出
其中 是消费边际效用(marginal utility of consumption)，设 一段时间后的回报。其中
是持有资产
这个条件又可以被写为：
所以需要建立置信区间（confidence intervals）和基于 的检验。
在 法把加权矩阵估计出来。
没有序列相关的情况下，很容易用形成样本均值的办
为了达到这个目的，首先不管怎样我们都需要对 的一致(相容)估计（a consistent
estimate）。这样的一致(相容)估计 可基于一个无效的 GMM 估计式，其中
9．2 估计式公式（ Formulation of the Estimator）和渐进性
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质(Asymptotic Properties)
为了简化，我们假设
且 是一个
型的向量型工具变量。由前面所述，我们用
定义一个
阶的向量函数
设是
阶的非奇异矩阵序列(a sequence of non-singular
，对 的选择关系到渐进率（asymptotic efficiency），且选
择合适的 ，可最小化 的渐进方差（asymptotic variance）。最小的方差在 得。 然后，可得 的渐进方差的值为
时取
为了证明对于 ，这事实上是能做出的最好的选择，我们来证明对所有 ，
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注意
代 表 半 正 定 （ positive semidefinite ） 且
且
是由参数 决定的函数，其中 ， 是一个参数空间
(parameter space)，且它一般是 的一个子集。
当
时，矩准则估计法是通过把一个样本模拟值(a sample analog )代入
，并使
满足下式：
来估计 的。
当 时，也使用同样的方法。Hansen(1982)提出了这种方法的最一般的公式，我 们就是沿用他提出的名字GMM,来命名这种方法的。
在 的某个邻域 假设
上
是二阶连续可微的。
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是非奇异的（nonsingular） 并且
设 且定义
注 意 ， 假 设 要 求 是 行 满 秩 （ has full row rank ） 的 且 是 非 奇 异 的 (nonsingular)，对于技巧差分序列（martingale difference sequences）或混合序列（mixing
如果我们用一个抽样模拟来取代
，使得：
其中
那么可以证明，在极端非正则条件下，对于固定的有限的 ，当
时，
问题在于，无论如何，我们需要建立太多的
是一致收敛的。 在理论上，问题可以得到解决，即把
形式的项，问题还在于按 并非
代入 ，其中相对于样本， 需以某种合适的程度趋于无穷，但是，这样估计这个问
题时， 不一定是正则的，因此不能作一个方差协方差（a variance covariance
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在假设 1 下，如同前面，可以得出
然后，我们用
估计出
，并用
估计出 。 且 和 在非极端正则条件（mild regularity conditions）下是一致的。 当 是自相关(auto correlated)的时候， 具有更复杂的形式且简单抽样模拟不再是一致 (相容)估计。我们早已看到了在更一般的情况下， 可以被看成 其中
它自身就是
的函数，所以
或者说 由
直接构成。
例9.1设
，且考虑非线性回归(the nonlinear regression)
其中假定 满足矩约束条件
。如果它还可以使
1
成立，那么
这个模型就可以用非线性最小二乘法(nonlinear least squares methods)和GMM法估计了。
其中
可以被用作工具变量(instruments)。
matrix）
.Newey 和 West（1987）解决了这个问题。他们证明了，取适当权数
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并指定
，
可以保证 的正定性。限制权数
为
被称为核权数(kernel weight)且满足假设,
其中
这种形式.函数
在除去可数点外都连续. 这样的核函数的例子有
可以证明
和
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核都可以生成 的半正定
估计式,但是对于 Truncated 和 Tukey-Hanning 核就不一定是这样的了.
使得 从而由伊藤公式（Ito’s formula）
或
如果离散时间数据(the discrete time data)是连续时间过程的几何平均值(a geometric average)，那么
具有
的 结 构 ， 于 是 合 理 的 工 具 变 量 集 合 (the valid instrument set) 就 是
。
那么，若所选的 满足当
和
，
时
。 Andrews(1991)和 Andrews 和 Monahan(1992)曾分析研究过怎样最优的选择 M 的问题。
9．5 过度识别约束检验
当正交约束(orthogonality restriction)的个数 超过参数个数 时，过度识别约束 （the overiden-tifying restrictions）可以被检验。计量经济学模型表明，所有约束应
在这个例子中我们已经指出对于
，有
且合理的工具变量 是这项工作的信息集（the information set）中的所有的变量。参 数向量 包含有 和其他参数，这些参数决定了效用函数 。矩条件估计就可以由下式：
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得到。
例9.3 线性资产定价模型（linear asset pricing model (Hansen and Singleton,
那么
，其中
且
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在 假设 1 和 3 下 ，我 们现 在可 以得 出 GMM 的估 计 式的 渐进 分布 （the asymptotic distribution），利用一阶均值展开(a first order mean value expansion)，我们得到：
其中
，这样
注意到当
时，即，有和参数的个数相同个数的工具变量，且估计式相同的时候，
Newewy 和 West(1987)在假设
下证明了 的一致性.
定理 9.4(Newey 和 West).
i)设
并且假设对所有 在 中
是可测的并且对所
有在某个邻域
里的 是连续可微的.
存在一可测函数
使得
且
同样，存在有限的常数 ，和
，
使得
是一个 混合序列，其大小为
，对所有
。
且
。
对一有限的常数 且对每个 ，
在经济学的应用中，矩条件(moment conditions)常常是根据经济学模型中包含的矩约
束条件(conditional moment restrictions)中提出的。为了实现这种想法，我们假设 并且
设
，然后假设
设 则立即会得出，对所有关于
可测的 ，
现在，这个条件就是构造GMM估计式的基础了。这里，称 为工具变量（instrument）,
,和任意邻域
，有
假设 保证了可能出现误差时，只要误差足够小，估计式 是就标准函数（the
criterion function）的最小值。提出另外两个条件的原始根据可以从其他地方找到，例 如从 Andrew(1991a)那里。下面的条件就是那里给出的，请注意下面的这个条件是充分条件， 不是必要的。
假设 2. 设
若 法。
，则不能用非线性最小二乘法而只能用基于工具变量
例９.２Hansen和Singleton(1982,Ecta)考虑了一个时间资产定价模型（an
intertemporal asset pricing model）,其中代表性的是求解
的GMM
其 中 表 示 由 决 定 的 期 望(expectations)， 是 主 观削 减 因 子（ the subjective discount factor）, 表示在 时刻的消费， 是瞬时累加效用函数（the temporally additive utility function）, 是资产 在 时刻的定价， 是在 时刻持有资产 的 份数， 是劳动收入。 的值是持有资产 一段时间的回报.对于股票,通常相当于
该得到满足，但由于
，在实际样本中，他们有可能遇到违反的情况。为了形成检验
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统计量，我们考虑渐进分布
。
记
从而
回代可得:
第二项是 ,由一阶条件和
这样可以得出: 其中
为了构造检验统计量,我们现在选取
, 使得
且 依概率收敛于 .那么,
具有方差协方差矩阵
它是幂等阵（idempotent）,秩为
那么可以得出:
1996,JBES)
对所有的 ，当
时有：
对 于 CRRA 效 用 函 数
，一阶条件的对数线性化（a
log-linearized version of the first order conditions ）是
其中
在这种条件下，函数 具有
这样的形式。为了决定合理的工具变量我们需要探究误差项 的性质。假设基本模 型(the underlying model）是一个连续时间过程（a continuous time process）其中
这样我们需要证明 注意到
当且仅当
其中 ，
且第二个等式用到了 是一个射影矩阵(a projection matrix)这个条件。（ 是对称的且
）那么自然可以得出结果，因为具有
对任何
，有
形式的矩阵必然是正定的。因为
。
9．4 加权矩阵的估计（Weight Matrix Estimation）
矩阵 的估计的重要性在于它既是过度识别 GMM 估计式(the overidentified GMM estimator)的最优加权矩阵(the optimal weight matrix)，也是 的渐进方差的一部分，
麻省理工 经济系 时间序列 14.384
Guido Kuersteiner
第九讲笔记 GMM估计
9.1导论
在这一讲中我们考虑基于GMM(the generalized method of moments)准则（广义矩估计
方法）的估计式(estimators)。设 是一个
型的向量型观测变量(observable variables)，
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参考文献：
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证明了在某种顺序下，当
的 Soboley 范数是一致有界（a uniformly bounded Soboley
norm）的，且在这种一致有界的意义下
足够光滑的时候，
对渐进标准（asymptotic normality）我们需要如下假设：
假设 3（CLT）
就满足上述条件。
包含在
，其中 是个开集。
其中
matrices)，令
则用 GMM 估计式求解：
定义矩阵 则只要满足如下条件，则 GMM 估计式就是满足一致性条件的。
假设 1.（一致性）（Consistency）
满足
均匀大数定律（uinform law of large numbers）：设
机函数
使得
且存在一个非随
识别性(identification)：对任意