10广义矩估计
第四章_极大似然估计、非线性估计和广义矩估计_
对随机扰动项作出如下假设： E (uu) 2 I n 根据以上假设，我们有：
2 yt ~ N (xt β, )
x2t xkt ) 其中， x t (1 x1t 行，β为系数列向量。
，是X矩阵的第t
因此， yt 的概率密度函数为：
1 f yt e 2
2 ( yt x tβ)
第四章 极大似然估计、非线性 估计和广义矩估计
第一节 极大似然估计法
第二节 似然比检验、沃尔德检验和拉 格朗日乘数检验 第三节 非线性回归模型
第四节 NLS 估计量的计算与假设检验
第五节 广义矩（GMM）估计
除普通最小二乘法（OLS）外，极大似然估计 （ML）、非线性估计和广义矩估计（GMM） 也是计量经济学中重要的估计方法。极大似然 估计法和广义矩估计法适用于大样本条件下参 数的估计，非线性估计方法则可用于估计实质 非线性模型。
N1 P ( N 1次正面) C N p N 1 (1 p) N N 1
上式中的表达式可看作是未知参数p的函数，被称 为似然函数（Likelihood function）。对p的极大似 然估计意味着我们选择使似然函数达到最大的p值， 从而得到p的极大似然估计量。 实际计算中，极大化似然函数的对数往往比较方 便，这给出对数似然函数
i 1 n
(1,2 ,...,k ) 是待估参数向量。 其中，
这一概率随 的取值而变化，它是 的函数，L( ) 称 为样本的似然函数。
极大似然估计法就是在 取值的可能范围内挑选使 ˆ 作为参数 似然函数 L( x1, x2 , , xn ; ) 达到最大的参数值 的估计值 ˆ ，使得
1 ln L( p) lnc N N N 1 ln( p ) (N - N1 )ln(1 - p)
广义矩估计
广义矩估计一、背景我们前面学了OLS 估计、工具变量估计方法，前面这几种方法都有重要假设就是需要知道分布才能估计，但是往往现实理论我们无法得到关于分布的信息，因此矩估计方法应运而生。
矩估计方法的基本思想是利用样本矩的信息组成方程组来求总体矩，以此得到渐进性质下的一致性估计量。
那么在构成方程组求解的过程中涉及识别问题和解决。
本章详细介绍矩估计方法。
矩估计方法实际应用非常广泛，应注意将矩估计与OLS 估计、工具变量估计和极大似然估计方法结合对比进行应用。
二、知识要点1，应用背景2，矩估计存在的问题（识别）3，矩正交方程和矩条件4，矩估计的属性三、要点细纲1、应用背景其基本思想是：在随机抽样中，样本统计量（在一个严格意义上，一个统计量是观察的n 维随机向量即子样1的一个（波雷尔可测）函数，且要求它不包含任何未知参数）将依概率收敛于某个常数。
这个常数又是分布中未知参数的一个函数。
即在不知道分布的情况下，利用样本矩构造方程（包含总体的未知参数），利用这些方程求得总体的未知参数。
基本定义统计量 11n m X i n i νν∑=为子样的ν阶矩（ν阶原点矩）；统计量 ()11n B X X i n i νν∑-=为子样的ν阶中心矩。
子样矩的均值与方差()()()()2222EX Var X E X E X k k EX E X k k μμμοαμμ=-=--我们用到k k αμ或时假定它是存在的。
基本做法设：母体X 的可能分布族为(){},,F x θθ∈Θ，其中属于参数空间Θ的(),,,12k θθθθ=是待估计的未知参数。
假定母体分布的k 阶矩存在，则母体分布的ν阶矩 ()(),,,,112x dF x k k ναθθθθνν∞=≤≤⎰-∞ 是(),,,12k θθθθ=的函数。
对于子样(),,,12X X X n =X ，其ν阶子样矩是1,11n m X k i n i ννν=≤≤∑= 现在用子样矩作为母体矩的估计，即令：()1,,,1,2,,121n m X k i k n i ναθθθννν===∑= （1）（1）式确定了包含k 个未知参数(),,,12k θθθθ=的k 个方程式。
广义矩估计讲义
广义矩估计基本知识：矩方法是一种古老的估计方法。
其基本思想是：在随机抽样中，样本统计量将依概率收敛于某个常数。
这个常数又是分布中未知参数的一个函数。
在严格意义上，一个统计量是观察的n 维随机向量即子样()12,,,n X X X = X 的一个（波雷尔可测）函数，且要求它不包含任何未知参数。
基本定义：统计量 11n i i m X n νν=∑ 为子样的ν阶矩（ν阶原点矩）；统计量 ()11ni i B X X n νν=-∑ 为子样的ν阶中心矩。
子样矩的均值与方差EX μ()()()2222Var X E X E X μμο=-=-k k EX α()kk E X μμ-约定，我们用到k k αμ或时假定它是存在的。
基本做法：设：母体X 的可能分布族为(){},,F x θθ∈Θ，其中来自参数空间Θ的()12,,,k θθθθ= 是待估计的未知参数。
假定母体分布的k 阶矩存在，则母体分布的ν阶矩()()12,,,,1k x dF x k νναθθθθν∞-∞=≤≤⎰是()12,,,k θθθθ= 的函数。
对于子样()12,,,n X X X = X ，其ν阶子样矩是11,1n i i m X k n ννν==≤≤∑现在用子样矩作为母体矩的估计，即令：()()1211,,,1,2,,1n k ii m X kn ννναθθθν====∑（1）式确定了包含k 个未知参数()12,,,k θθθθ= 的k 个方程式。
求解（1）式就可以得到()12,,,k θθθθ= 的一组解()12,,,k θθθθ=⋯。
因为m ν是随机变量，故解得的θ 也是随机变量。
将12,,,k θθθ⋯分别作为12,,,k θθθ 的估计称为矩方法的估计，这种求估计量的方法称为矩方法。
定理 若()F x 存在2ν阶矩，则对子样的ν阶原点矩m ν，有 [][]()221E m V a r m nνννννααα==-。
证明：[]111111n n n i i i i i E m E X E X n n n ννννναα===⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑∑∑ []()22Var m Em Em ννν=-2211ni i E X nννα=⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭∑ 2222111n i i j i i j E X X X n n ννννα=≠⎛⎫⎪=+- ⎪⎝⎭∑∑∑ 2222111ni i j i i jE X E X X nn ννννα=≠⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦∑∑∑2222111ni j i i jE X E X nn νννναα=≠⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦∑∑∑ ()2222111n n n nνννααα=+-- 2211n nνναα=-。
广义矩方法
1、广义矩方法（GMM）广义矩方法是基于模型实际参数满足的一些矩条件而形成的一种参数估计方法，是聚集方法的一般化。
GMM的优点：仅需要知道一些矩条件，而不需要知道随机变量的分布密度（如极大似然估计）。
这可能是一个缺陷，因为GMM经常不能对样本中的全部信息进行有效利用。
并且如果如果模型的设定是正确的, 则总能找到该模型实际参数满足的若干矩条件而采用GMM。
广义矩估计选择的矩估计方程个数多于待估参数的个数时, 必须选择参数使它尽可能地与各个矩估计方程配合, 来调和将出现在过度识别系统中的互相冲突的估计。
一种办法就是最小化准则函数。
令θ为参数向量, m(θ)为样本矩条件。
最小化准则函数即使J T = m (θ)′m (θ)最小。
考虑到不同的矩条件所起的作用不同, 人们希望某些矩条件的作用大些、某些矩条件的作用小些, 因此引入了加权矩阵, 它反映了各阶矩在GMM 中的重要程度。
由此问题转化成了使J T = m (θ)′w(θ)m (θ)最小。
这里W (θ) 是一个正定权重矩阵, 它反映了与每一个矩条件相配合的重要性。
GMM 估计量就是使J T最小化时的参数估计量θ, 即θ= argmin [m (θ)′w(θ)m (θ) ]。
其中, m (θ) 为样本矩条件, 是m * 1 维的正交条件。
权重矩阵W (θ) 为m * m 维的正定对称矩阵, θ为L* 1 维向量,L≤m。
为使J T 极小化, 对J T关于θ求导, 得到一阶条件m (θ)′W (θ) m (θ) = 0其中, m (θ) 是m (θ) 关于θ的Jacobian 矩阵。
GMM 估计的核心问题是对加权矩阵的选择问题。
如果选取的矩条件个数恰好等于待估参数的个数, 就属于“恰好识别”( just -ident ified) 的类型, 无论权重矩阵如何选取, 都有最小值0。
如果选取的矩条件个数多于待估参数的个数, 就属于“过度识别”(over-identified)的类型, 这时并不是每个矩条件都能得到满足, 而权重矩阵W决定了各个矩条件的相对重要性。
广义矩估计stata命令
广义矩估计stata命令一、引言在统计学中，矩估计是一种常用的参数估计方法。
它的基本思想是利用样本矩去估计总体矩，从而得到总体参数的估计值。
广义矩估计是矩估计的一种扩展形式，它可以通过更多的矩条件来估计参数。
在实际应用中，广义矩估计可以更好地适应不同的数据分布和模型。
二、广义矩估计的基本原理广义矩估计的基本原理是利用样本矩和总体矩之间的关系，通过最小化样本矩与总体矩之间的差异来估计参数。
在实际应用中，广义矩估计可以通过不同的矩条件来估计参数，从而适应不同的数据分布和模型。
三、广义矩估计在Stata中的应用Stata是一种常用的统计软件，它提供了广义矩估计的命令。
在Stata中，广义矩估计的命令为gmm。
该命令可以通过指定不同的矩条件来估计参数。
例如，可以通过指定一阶矩条件来估计线性回归模型的参数，也可以通过指定高阶矩条件来估计非线性模型的参数。
四、广义矩估计在实际应用中的例子广义矩估计在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在金融领域中，广义矩估计可以用于估计股票价格的波动率。
在医学领域中，广义矩估计可以用于估计药物的剂量反应关系。
在经济学领域中，广义矩估计可以用于估计劳动力市场的供求关系。
五、总结广义矩估计是一种常用的参数估计方法，它可以通过更多的矩条件来估计参数，从而适应不同的数据分布和模型。
在Stata中，广义矩估计的命令为gmm，可以通过指定不同的矩条件来估计参数。
在实际应用中，广义矩估计有着广泛的应用，可以用于估计股票价格的波动率、药物的剂量反应关系以及劳动力市场的供求关系等。
《广义矩估计》课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 广义矩估计的基本理论 • 广义矩估计的算法 • 广义矩估计的实例分析 • 广义矩估计的扩展和改进 • 结论与展望
01 引言
广义矩估计的定义
广义矩估计是一种统计估计方法，它 通过使用样本矩来估计未知参数。这 种方法基于样本矩和总体分布之间的 关系，通过最小化误差函数来求解参 数的估计值。
实例三：时间序列模型的广义矩估计
总结词
时间序列模型是用于描述时间序列数据之间 关系的模型，常见的有ARMA模型、 ARIMA模型等。广义矩估计也可以用于时 间序列模型的参数估计。
详细描述
在实例三中，我们将介绍如何使用广义矩估 计对时间序列模型的参数进行估计。我们将 首先介绍时间序列模型的基本概念和假设， 然后介绍如何利用广义矩估计方法对模型参 数进行估计，并给出具体的计算步骤和实例 分析。
03 广义矩估计的算法
算法的基本步骤
确定模型
根据数据特征和问题背景选择合适的概率模 型。
估计参数
利用样本数据和所选矩，通过优化算法求解 模型参数。
确定矩
根据所选模型，确定需要使用的矩（如一阶 矩、二阶矩等）。
验证估计
使用统计方法验证估计的参数是否符合所选 模型。
算法的实现细节
数据预处理
对原始数据进行清洗、去噪、标准化等处理 ，确保数据质量。
参数矩估计的步骤
首先计算样本数据的矩，然后利用这些矩和已知的总体分布关系来估计未知参 数。
广义矩估计的原理
广义矩估计的定义
广义矩估计是一种基于样本数据的矩来估计未知参数的统计方法，它不仅利用了 样本数据的矩信息，还利用了已知的总体分布信息。
广义矩估计的步骤
2.2-广义矩估计
W 1
n2 i
Cov[Z i i , Z j j ]
j
• 如此构造权矩阵体现了上述设置权矩阵的原则。
• 权矩阵调整的是J个矩条件之间的关系，而不是n个样本 点之间的关系。
• W应是[(1/n)Var(Z’)]-1的一致估计。 • 权矩阵的阶
ˆ
arg
min(m(
)(1
J
)
W 1 (JJ
)
m(
)
• 关于GMM 的总结
A. Pagan and M. Wickens, 1989: A Survey of Some Recent Economertic Methods, Economic Journal 99, p962-1025
• 关于GMM发展的讨论 R. Davidson and J. MacKinnon, 1993: Estimation and Inference
– 无须要求正规方程组中方程数目与待估参数数目相等。 – 方便地处理违背基本假设的问题，例如异方差和序列相关。 – 无须进行高阶矩阵的求逆运算。
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⒉参数的矩估计（补充）
• 参数的矩估计就是用样本矩去估计总体矩。
– 用样本的一阶原点矩作为期望的估计量。
– 用样本的二阶中心矩作为方差的估计量。 – 从样本观测值计算样本一阶（原点）矩和二阶（原点）矩，然后
in Econometrics, New York Oxford Univ. Press
第2页，共59页。
一、广义矩估计的概念
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1、概念
• 广义矩估计方法是基于模型满足的一些矩条件而形成 的一种参数估计方法，是矩估计方法的一般化。如 果模型的设定是正确的，则总能找到该模型实际满 足的若干矩条件而采用GMM估计。
广义矩估计PPT
j1,2, ,k
n
zj(iyih(X i, ) )0 j1 ,2 , ,k
i 1
• 一组矩条件，工具变量估计的正规方程组。
e (y i,X i; )y i h (X i, )
1
1
m () ni
Z ie (y i,X i;
)Z 'e (y,X ; ) n
1
m
(
)
m1 m2
§2.2 广义矩估计
（GMM, Generalized Method of Moments）
一、广义矩估计的概念 二、广义矩估计及其性质 三、正交性条件和过度识别限制的检验 四、关于2SLS与GMM关系的讨论
关于GMM的主要文献
• 关于GMM最早的系统的描述 L. Hansen, 1982: Large Sample Properties of GMM
• 参数的矩估计就是用样本矩去估计总体矩。
– 用样本的一阶原点矩作为期望的估计量。 – 用样本的二阶中心矩作为方差的估计量。 – 从样本观测值计算样本一阶（原点）矩和二阶（原点）
矩，然后去估计总体一阶矩和总体二阶矩，再进一步计 算总体参数（期望和方差）的估计量。
X(1)
1n ni1yi
X(2) 1 ni n1yi2
yix3i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆ3x3i)x3i 0
4个等于0 的矩条件， 求解4个
参数
为什么将x2 换为z1？
该方程组是如 何得到的？
如何求 解该方 程组？
y i 0 1 x 1 i 2 x 2 i 3 x 3 i i i 1 , 2 , , n
• 如果x2为随机变量，z1、z2 为它的工具变量， GMM关于参数估计量的矩条件为：
广义矩估计
• 如果l=K，这时Z’X为KK方阵且可逆。于是： β=(Z’X)-1W-1(X’Z)-1X’ZWZ’Y =(Z’X)-1Z’Y 可见，βGMM=βIV, 这时W的选择对结果无影响。 • 如果l>K，这时根据W选取的不同，有不同的解 βGMM，但只要W是对称正定矩阵，估计结果都满 足一致性。 • 尽管不同的权矩阵W都可得到的一致估计量，但 估计量的方差矩阵可能是不同的。因此，可以选 择最佳的W，以使估计量更有效(有小的方差)。
§3.3 计量经济学模型的广义矩估计
（GMM, Generalized Method of Moments）
（教材§3.6）
一、广义矩估计的概念 二、计量经济学模型的广义矩估计 三、OLS和ML估计是GMM估计的特例 四、假设检验
关于GMM的主要文献
• 关于GMM最早的系统的描述 L. Hansen, 1982: Large Sample Properties of GMM Estimation, Econometrica 50, p1029-1054 • 关于GMM 的总结 A. Pagan and M. Wickens, 1989: A Survey of Some Recent Economertic Methods, Economic Journal 99, p962-1025
m( ) 0
工具变量估计的 正规方程组。
• 工具变量估计正规方程组的解就是
min (m( )' m( ))
一阶极值条件的解。
• 如果工具变量J>k，并且考虑随机项存在异方差 和序列相关
1 ˆ arg min (m( )'W m( ))
1 z1i ei m1 ( ) n i 1 m ( ) 2 z 2i ei m( ) n i m ( ) 1 J n z Jiei i
广义矩估计
1 广义矩估计1.1 基本知识矩方法是一种古老的估计方法。
其基本思想是：在随机抽样中，样本统计量将依概率收敛于某个常数。
这个常数又是分布中未知参数的一个函数。
在严格意义上，一个统计量是观察的n 维随机向量即子样()12,,,n X X X =X 的一个（波雷尔可测）函数，且要求它不包含任何未知参数。
1.2 基本定义：统计量 11n i i m X n νν=∑为子样的ν阶矩（ν阶原点矩）；统计量 ()11ni i B X X n νν=-∑为子样的ν阶中心矩。
1.3 子样矩的均值与方差EX μ()()()2222Var X E X E X μμο=-=-kk EX α()kk E X μμ-约定，我们用到k α或k μ时假定它是存在的。
1.4 基本做法：设：母体X 的可能分布族为(){},,F x θθ∈Θ，其中来自参数空间Θ的()12,,,k θθθθ=是待估计的未知参数。
假定母体分布的k 阶矩存在，则母体分布的ν阶矩()()12,,,,1k xdF x k νναθθθθν∞-∞=≤≤⎰是()12,,,k θθθθ=的函数。
对于子样()12,,,n X X X =X ，其ν阶子样矩是11nii m X nνν==∑，1k ν≤≤。
现在用子样矩作为母体矩的估计，即令：()()1211,,,1,2,,1n k ii m X kn ννναθθθν====∑（1）式确定了包含k 个未知参数()12,,,k θθθθ=的k 个方程式。
求解（1）式就可以得到()12,,,k θθθθ=的一组解()12,,,k θθθθ=⋯。
因为m ν是随机变量，故解得的θ也是随机变量。
将12,,,k θθθ⋯分别作为12,,,k θθθ的估计称为矩方法的估计，这种求估计量的方法称为矩方法。
定理 若()F x 存在2ν阶矩，则对子样的ν阶原点矩m ν，有[][]()221Em Var m nνννννααα==-。
广义矩估计gmm法 python
广义矩估计gmm法 python
广义矩估计(GME)是统计和机器学习领域中常用的技术，用于从原始数据中进行模型拟合。
它主要用于非参数估计，假设我们有一组由观察值([x_1,x_2,...,x_n])组成的原始数据，我们可以使用GME来拟合出一个模型，模型可以用这些原始数据来描述。
本文介绍了使用Python实现广义矩估计GMM（Generalized Moment Estimation）的方法。
1. 首先，我们需要安装Python第三方库scikit-learn，这个第三方库提供了实现GME的函数。
安装可以使用pip命令：
`pip install scikit-learn`
2. 导入numpy和sklearn_gmm库，这两个库都是用于实现GME 的。
`import numpy as np`
`from sklearn_gmm import GMM`
3. 接下来，我们需要构建出原始数据。
我们可以使用numpy的random函数来随机生成一组数据：
`data = np.random.randn(100,3)`
4. 然后，我们可以使用GMM类中的fit方法来拟合数据：
`gmm = GMM()`
`gmm.fit(data)`
5. 最后，我们可以使用score方法来评估拟合效果：
`score = gmm.score(data)`
这样，我们就可以使用Python实现广义矩估计GMM算法了。
广义矩估计法在计量经济学中的应用_夏婧
收稿日期：2011-06-20作者简介：夏婧（1979-），女，湖北武汉人，武汉职业技术学院计算机系数学教研室讲师，研究方向：高等数学教学与研究。
0引言由于传统的计量经济模型估计方法，如普通最小二乘法、广义最小二乘法和极大似然法等，都有它们的局限性，其参数估计量必须在模型满足某些假设时才具有良好的性质；而广义矩估计是一个稳健估计量，因为它不要求扰动项的准确分布信息，允许随机误差项存在异方差和序列相关，所得到的参数估计量比其他参数估计方法更合乎实际。
而且可以证明，广义矩估计包容了许多常用的估计方法，普通最小二乘法、广义最小二乘法和极大似然法都是它的特例。
因此，广义矩估计法在计量经济学中得到了广泛的应用。
1广义矩估计的数学定义1.1矩法估计量的定义矩估计是基于实际参数满足一些矩条件而形成的一种参数估计方法，如果随机变量Y t 的期望值是u ，即E （Y t -u ）=0（1）则觠满足相应的样本矩条件，即1T t =1Σ（Y t -觠）=0（2）现在，考虑一元古典线性回归模型中的假设条件：E （u t ）=0（3）E （x t u t ）=0（4）其所对应的样本矩条件分别为1T T T =1Σ觠t =1T T T =1Σ（y t -b 0-b 1x t ）=0（5）1T T T =1Σx t 觠t =1T T T =1Σx t （y t -b 0-b 1x t ）=0（6）这就是普通最小二乘估计量的正规方程组。
因此，普通最小二乘估计量是一个矩法估计量。
1.2广义矩估计量的定义广义矩估计法在计量经济学中的应用夏婧（武汉职业技术学院计算机系，武汉430074）［理工农学研究］摘要：通过描述广义矩估计法的定义和统计性质，着力于探讨广义矩估计法在计量经济学中的应用，并指出了广义矩估计法在计量经济学中未来的发展方向。
关键词：广义矩估计法；计量经济学；消费函数；理性预期模型中图分类号：O211.67文献标志码：A 文章编号：1671-1084（2011）05-0040-04柳州职业技术学院学报JOURNAL OF LIUZHOU VOCATIONAL &TECHNICAL COLLEGE 第11卷第5期2011年10月Vol.11No.5Oct.2011广义矩估计方法是矩估计方法的一般化。
第10章、广义矩方法
第10章、广义矩方法广义矩方法：（Generalized Method of Moment ，GMM ），也译为：一般矩方法。
对于跨期优化问题的一阶条件（如Euler 方程），需要使用GMM 来估计参数。
§1、（统计学中的）矩方法本节回顾传统的矩方法（methods of moments ）。
统计推断问题： ✓ 估计问题⏹ 点估计◆ 极大似然估计 ◆ 矩估计 ⏹ 区间估计 ✓ 假设检验问题极大似然估计的缺点是需要假定总体的分布函数，通常假定是正态分布。
但是矩估计不需要这个假定。
基本思想：样本的l 阶矩11n ll i i A x n ==∑收敛于l 阶矩()l l E X μ=例子1：样本均值的矩估计。
随机变量i y 的期望等于μ，记为()i E y μ=矩条件（moment condition ）为()0i E y μ-=（记住：每一个样本i y 都是随机变量） 或者表示为[(,)]0i E m y θ=其中(,)i i m y y θμ=-，而θμ=是唯一参数。
矩条件的样本矩条件为：11()(,)0ni i m m y nθθ==∑= 即11ˆ()0ni i y nμ=∑-= 因此，参数μ的矩估计为11ˆni i y nμ==∑ 例子2：设2(,)X N μσ ，μ和2σ未知参数，设1,,n x x 是来自X 的样本值，求μ和2σ的极大似然估计。
解：X 的pdf 为221()22(;,)x f x μσμσ--= 似然函数为221()22(,)i nx i L μσμσ--== 22121ln ln(2)ln ()222n i i n n L x πσμσ==---∑-222ln 10ˆ1ln ˆ()0i i L x x n L x x n μμσσ∂⎫==∑=⎪∂⎪⇒⎬∂⎪=∑-=⎪∂⎭例子3：设总体X 的均值μ和方差2σ都存在，设1,,n x x 是来自X 的一个样本，求μ和方差2σ的矩估计。
广义矩估计
第1章 广义矩估计1.1 矩估计1.1.1 总体矩与样本矩设总体X 的可能分布族为(){},,F x θθ∈Θ，其中来自参数空间Θ的()12,,,k θθθ=θ是待估计的未知参数。
假定总体分布的m 阶矩存在，则总体分布的k 阶原点矩和k 阶中心矩为()(),1kk k EX x dF x k m α+∝-∝=≤≤⎰θθ 1()[()]()[()],1kk k E X E x x E x dF x k m μ+∝-∝-=-≤≤⎰θθ 2两种常见的情况是一阶原点矩和二阶中心矩：()E X μ= 32222()[()]()Var X E X E X μμσ=-=- 4一阶原点矩表示变量的期望值，二阶中心矩表示变量的方差。
对于样本12(,,,)n X X X =X ，其k 阶原点矩是：11n kk i i m X n ==∑（1k m ≤≤）5当k =1时，m 1表示X 的样本均值。
X 的k 阶中心矩是：()11nk kii B X X n =-∑（1k m ≤≤）6 当k =2时，B 2表示X 的样本方差。
1.1.2 矩估计方法矩方法（moment method ）是一种古老的估计方法。
其基本思想是：在随机抽样中，样本统计量将依概率收敛于某个常数。
这个常数又是分布中未知参数的一个函数。
总体分布的k 阶矩为()12,,,K θθθ=θ的函数。
根据大数定理，样本矩依概率收敛于总体矩。
因此，可以用样本矩作为总体矩的估计，即令：()12,,,1,2,,k K km k K αθθθ==即：()11,1,2,,n kki i x dF x X k K n +∝-∝= = =∑∑θ7上式确定了包含K 个未知参数()12,,,K θθθ=θ的K 个方程式，求解上式所构成的方程组就可以得到()12,,,K θθθ=θ的一组解()12ˆˆˆˆ,,,k θθθ=⋯θ。
因为m k 是随机变量，故解得的也是随机变量。
这种参数估计方法称为矩方法，()12ˆˆˆˆ,,,k θθθ=⋯θ即是()12,,,K θθθ=θ的矩估计量。
广义矩估计gmm法 python
广义矩估计gmm法 python#广义矩估计与GMM法python实现## 1. 介绍广义矩估计（Gaussian Mixture Models,GMM）是一种混合模型，它既具有高斯模型的概率密度函数（Probability Density Function）的特性，又具有随机变量的混合分布（Mixture Distribution）特性。
GMM经常被用在对服从混合分布的数据建模上，当我们想要通过一个分布模型来捕捉的这些数据的杂乱特征时，GMM非常有效。
GMM有多种实现：可以使用EM算法（Expectation-Maximization），也可以使用半最大似然公式，以及一般化季达里尔过程（Generalized Iterative Scaling）。
下面是一个GMM python实现的示例：```python# Import Librariesfrom sklearn.mixture import GaussianMixture# Create Modelgmm = GaussianMixture(n_components = 2,random_state = 0) # Fit Modelgmm.fit(X_train)# Predictgmm_y_pred = gmm.predict(X_test)# Evaluategmm_score = gmm.score(X_test,y_test)```本文讨论GMM的python实现；它的原理；和一些常用的应用场景。
## 2. 原理GMM的原理非常简单：它的主要思想是把数据分成几个块，然后再用高斯模型对每一个块进行独立的建模。
在GMM模型中，我们假定每一个块的数据都是从不同的高斯分布中采样出来的，而所有的块的数据又被假设满足混合高斯分布。
GMM的参数估计和给定数据集的建模可以使用EM算法完成，EM 算法主要由两部分组成：E步骤（Expectation Step）和M步骤（Maximization Step）。
广义矩估计方法
J=k，则为k×1阶向量。即
∑∑∑ m(β
)
=
⎜⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
m1 m2
mk
(β (β
M
(β
) )
)
⎟⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
=
⎜⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
1 n 1 n
1 n
z1i ei ⎟⎞
i
⎟
z2i ei
⎟ ⎟
i
M
⎟ ⎟
i zkiei ⎟⎟⎠
显然矩条件 m(β ) = 0 得出的参数估计量，就 是我们熟知的工具变量法。同时方程组 m(β ) = 0
Q(β ) = ( X − M )′S −1 ( X − M )
其中 S 是关于 (X − M ) 的协方差阵。参数 β 的GMM估计就是使得 Q(β ) 达最小的 βˆ 。
2、模型的广义矩估计
如果模型的设定是正确，则存在一些为0的条 件矩。所以广义矩估计的基本思想是利用 矩条件估计模型参数，而且可以用于检验 模型设定。
假设理论上确立了以下模型关系式：
yi = h( X i , β ) + ε i i = 1,Ln
其中 β 是 k ×1 待估参数向量。注意：可能有 Cov[εi , h(X i , β )] ≠ 0 甚至Cov[εi , X j ] ≠ 0 ，对所有 i 和 j
并且假设
E[ε ] = 0
E[εε ′] = Ω
（1） 参数的矩估计 参数的矩估计就是用样 本矩去估计总体矩。
例如，y1, y2 ,L, yn 是从正态分布总体 N(µ,σ 2)中 抽取的一组样本观测值，那么可以从样本 观测值计算样本一阶（原点）矩和二阶 （原点）矩，然后去估计总体一阶矩和总 体二阶矩，再进一步计算总体参数（期望 和方差）的估计量。即
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Guido Kuersteiner
第九讲笔记 GMM估计
9.1导论
在这一讲中我们考虑基于GMM(the generalized method of moments)准则（广义矩估计
方法）的估计式(estimators)。设 是一个
型的向量型观测变量(observable variables)，
是一个
型可逆矩阵（invertible matrix）。在这种情况下，
且
使得渐进方差协方差矩阵（the asymptotic variance covariance matrix）不是由 决定
的。但是这和
上过度识别（overidentified）的情况就不一样了。
9．3 有效的 GMM
前面的结果表明，当
若 法。
，则不能用非线性最小二乘法而只能用基于工具变量
例９.２Hansen和Singleton(1982,Ecta)考虑了一个时间资产定价模型（an
intertemporal asset pricing model）,其中代表性的是求解
的GMM
其 中 表 示 由 决 定 的 期 望(expectations)， 是 主 观削 减 因 子（ the subjective discount factor）, 表示在 时刻的消费， 是瞬时累加效用函数（the temporally additive utility function）, 是资产 在 时刻的定价， 是在 时刻持有资产 的 份数， 是劳动收入。 的值是持有资产 一段时间的回报.对于股票,通常相当于
它自身就是
的函数，所以
或者说 由
直接构成。
例9.1设
，且考虑非线性回归(the nonlinear regression)
其中假定 满足矩约束条件
。如果它还可以使
1
成立，那么
这个模型就可以用非线性最小二乘法(nonlinear least squares methods)和GMM法估计了。
其中
可以被用作工具变量(instruments)。
如果我们用一个抽样模拟来取代
，使得：
其中
那么可以证明，在极端非正则条件下，对于固定的有限的 ，当
时，
问题在于，无论如何，我们需要建立太多的
是一致收敛的。 在理论上，问题可以得到解决，即把
形式的项，问题还在于按 并非
代入 ，其中相对于样本， 需以某种合适的程度趋于无穷，但是，这样估计这个问
题时， 不一定是正则的，因此不能作一个方差协方差（a variance covariance
是一列定义在 上的实的或复的波雷尔可测函数(Borel
4
measurable functions)，对每个
，
可展开成一个逐点收敛的级数。
对每个
，
是一个实的常数序列。
。
对某个可求和的正的常数序列 ，
，
其中， 要满足如下条件：
对
且
有
一种混合的条件可用来确保对所有 ，
。（可见 Andrews 中的评论 1）Andrews 还
在这个例子中我们已经指出对于
，有
且合理的工具变量 是这项工作的信息集（the information set）中的所有的变量。参 数向量 包含有 和其他参数，这些参数决定了效用函数 。矩条件估计就可以由下式：
2
得到。
例9.3 线性资产定价模型（linear asset pricing model (Hansen and Singleton,
1996,JBES)
对所有的 ，当
时有：
对 于 CRRA 效 用 函 数
，一阶条件的对数线性化（a
log-linearized version of the first order conditions ）是
其中
在这种条件下，函数 具有
这样的形式。为了决定合理的工具变量我们需要探究误差项 的性质。假设基本模 型(the underlying model）是一个连续时间过程（a continuous time process）其中
该得到满足，但由于
，在实际样本中，他们有可能遇到违反的情况。为了形成检验
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统计量，我们考虑渐进分布
。
记
从而
回代可得:
第二项是 ,由一阶条件和
这样可以得出: 其中
为了构造检验统计量,我们现在选取
, 使得
且 依概率收敛于 .那么,
具有方差协方差矩阵
它是幂等阵（idempotent）,秩为
那么可以得出:
Newewy 和 West(1987)在假设
下证明了 的一致性.
定理 9.4(Newey 和 West).
i)设
并且假设对所有 在 中
是可测的并且对所
有在某个邻域
里的 是连续可微的.
存在一可测函数
使得
且
同样，存在有限的常数 ，和
，
使得
是一个 混合序列，其大小为
，对所有
。
且
。
对一有限的常数 且对每个 ，
,和任意邻域
，有
假设 保证了可能出现误差时，只要误差足够小，估计式 是就标准函数（the
criterion function）的最小值。提出另外两个条件的原始根据可以从其他地方找到，例 如从 Andrew(1991a)那里。下面的条件就是那里给出的，请注意下面的这个条件是充分条件， 不是必要的。
假设 2. 设
8
在假设 1 下，如同前面，可以得出
然后，我们用
估计出
，并用
估计出 。 且 和 在非极端正则条件（mild regularity conditions）下是一致的。 当 是自相关(auto correlated)的时候， 具有更复杂的形式且简单抽样模拟不再是一致 (相容)估计。我们早已看到了在更一般的情况下， 可以被看成 其中
那么
，其中
且
6
在 假设 1 和 3 下 ，我 们现 在可 以得 出 GMM 的估 计 式的 渐进 分布 （the asymptotic distribution），利用一阶均值展开(a first order mean value expansion)，我们得到：
其中
，这样
注意到当
时，即，有和参数的个数相同个数的工具变量，且估计式相同的时候，
。
那么，若所选的 满足当
和
，
时
。 Andrews(1991)和 Andrews 和 Monahan(1992)曾分析研究过怎样最优的选择 M 的问题。
9．5 过度识别约束检验
当正交约束(orthogonality restriction)的个数 超过参数个数 时，过度识别约束 （the overiden-tifying restrictions）可以被检验。计量经济学模型表明，所有约束应
在经济学的应用中，矩条件(moment conditions)常常是根据经济学模型中包含的矩约
束条件(conditional moment restrictions)中提出的。为了实现这种想法，我们假设 并且
设
，然后假设
设 则立即会得出，对所有关于
可测的 ，
现在，这个条件就是构造GMM估计式的基础了。这里，称 为工具变量（instrument）,
，其中 在 到 时刻分发的红利。假定所有资产都是股票，对于最优化消费 和投资,一阶条件（the first order conditions）由下面式子给出
其中 是消费边际效用(marginal utility of consumption)，设 一段时间后的回报。其中
是持有资产
这个条件又可以被写为：
matrices)，令
则用 GMM 估计式求解：
定义矩阵 则只要满足如下条件，则 GMM 估计式就是满足一致性条件的。
假设 1.（一致性）（Consistency）
满足
均匀大数定律（uinform law of large numbers）：设
机函数
使得
且存在一个非随
识别性(identification)：对任意
证明了在某种顺序下，当
的 Soboley 范数是一致有界（a uniformly bounded Soboley
norm）的，且在这种一致有界的意义下
足够光滑的时候，
对渐进标准（asymptotic normality）我们需要如下假设：
假设 3（CLT）
就满足上述条件。
包含在
，其中 是个开集。
其中
这样我们需要证明 注意到
当且仅当
其中 ，
且第二个等式用到了 是一个射影矩阵(a projection matrix)这个条件。（ 是对称的且
）那么自然可以得出结果，因为具有
对任何
，有
形式的矩阵必然是正定的。因为
。
9．4 加权矩阵的估计（Weight Matrix Estimation）
矩阵 的估计的重要性在于它既是过度识别 GMM 估计式(the overidentified GMM estimator)的最优加权矩阵(the optimal weight matrix)，也是 的渐进方差的一部分，
9．2 估计式公式（ Formulation of the Estimator）和渐进性
3
质(Asymptotic Properties)
为了简化，我们假设
且 是一个
型的向量型工具变量。由前面所述，我们用
定义一个
阶的向量函数
设是
阶的非奇异矩阵序列(a sequence of non-singular
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参考文献：
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所以需要建立置信区间（confidence intervals）和基于 的检验。