七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题11巧解二元一次方程组
2020-2021学年数学初一培优和竞赛讲练-10-二元一次方程组解的讨论
2020-2021学年人教版数学初一讲练（培优和竞赛二合一）（10）二元一次方程组解的讨论【知识精读】二元一次方程组 222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种：1．当212121c c b b a a 时，方程组有无数多解。
（∵两个方程等效）①当212121c c b b a a 时，方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的）②当2121b b a a （即a 1b 2－a 2b 1"`0）时，方程组有唯一的解：③ 1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元2．一次方程整数解的求法进行。
求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待3．定系数的不等式或加以讨论。
（见例2、3）【分类解析】例1. 选择一组a,c 值使方程组c y ax y x 275有无数多解， ②无解， ③有唯一的解①解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解解比例得a=10, c=14。
当 5∶a ＝1∶2"`7∶c 时，方程组无解。
②解得a=10, c"`14。
③当 5∶a"`1∶2时，方程组有唯一的解，即当a"`10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。
例2. a 取什么值时，方程组3135y x a y x 的解是正数？解：把a 作为已知数，解这个方程组得23152331a y a x ∵ 00y x ∴ 023*******a a 解不等式组得 531331a a 解集是6311051 a 答：当a 的取值为6311051 a 时，原方程组的解是正数。
例3. m 取何整数值时，方程组1442y x my x 的解x 和y 都是整数？解：把m 作为已知数，解方程组得82881m y m x ∵x 是整数，∴m －8取8的约数±1，±2，±4，±8。
二元一次方程组的应用大题专练
【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】专题2.11二元一次方程组的应用大题专练（4）方案问题（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、解答题1．（2021春·浙江宁波·七年级校考期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，加工成如图2所示的竖式和横式两种无盖的长方体纸箱．（加工时接缝材料不计）(1)若该厂仓库里有100张正方形纸板和200张长方形纸板．问竖式和横式纸箱各加工多少个，恰好将库存的两种纸板全部用完？(2)该工厂原计划用若干天加工纸箱200个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度是原计划的1.5倍，这样提前2天超额完成了任务，且总共比原计划多加工40个，问原计划每天加工纸箱多少个？【答案】(1)加工竖式纸盒20个，横式纸盒40个(2)原计划每天加工纸箱20个【分析】（1）设加工竖式纸箱x个，横式纸箱y个，根据竖式纸箱需要4张长方形纸板，1张正方形纸板，横式纸箱需要3张长方形纸板，2张正方形纸板列出方程组，然后求解方程组即可；（2）设原计划每天加工纸箱a个，根据“实际加工时每天加工速度是原计划的1.5倍，这样提前2天完成了任务，且总共比原计划多加工40个”列出关于a的分式方程，然后求解方程验根即可．【详解】（1）解：设加工竖式纸箱x个，横式纸箱y个，由题意，得4x+3y=200x+2y=100，解得x=20y=40，2．（2022春·浙江杭州·七年级校联考期中）某公司计划印制一批宣传册．该宣传册每本共10页，由A、B 两种彩页构成．已知A种彩页制版费300元/页，B种彩页制版费200元/页，共计2400元．（注：彩页制版费与印数无关）(1)求每本宣传册中A、B两种彩页各有多少页．(2)据了解，A种彩页印刷费2.5元/页，B种彩页印刷费1.5元/页，公司准备印制这批宣传册1500本，求印制这批宣传册制版费与印刷费的总和是多少元．【答案】(1)每本宣传册中A种彩页有4页，B种彩页有6页(2)印制这批宣传册制版费与印刷费的总和是30900元【分析】（1）设每本宣传册中A种彩页有x页，B种彩页有y页，根据该宣传册每本共10页且制版费为2400元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）利用总费用=制版费+每本宣传册的印刷费×印刷数量，即可求出结论．（1）解：设每本宣传册中A种彩页有x页，B种彩页有y页，依题意得：x+y=10300x+200y=2400，解得：x=4y=6．答：每本宣传册中A种彩页有4页，B种彩页有6页；（2）解：2400+（2.5×4+1.5×6）×1500=2400+（10+9）×1500=2400+19×1500=2400+28500=30900（元）．答：印制这批宣传册制版费与印刷费的总和是30900元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．3．（2021春·浙江绍兴·七年级校联考期中）确保室内空气新鲜一方面是提高生活质量的需要，另一方面也是有效防控新型冠状病毒传播的需要，因而越来越多的居民选购家用空气净化器以净化室内空气．阳光商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号的净化器共140台，A型号净化器进价是900元/台，B型号净化器进价是2100元/台，购进两种型号净化器共用去174000元．（1）求商场各进了A、B两种型号的净化器多少台？（2）为使每台B型号净化器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这140台净化器的毛利润达到54000元，求每台A型号净化器的售价．（注：毛利润＝售价—进价）【答案】（1）A型号净化器100台，B型号净水器40台；（2）1200元【分析】（1）设商场购进A型号净化器x台，B型号净水器y台，然后根据题意列出方程求解即可；（2）设销售每台A型号净化器的毛利润为m元，则销售每台B型号净化器的毛利润为2m元，然后根据题意列方程求解即可.【详解】解：（1）设商场购进A型号净化器x台，B型号净水器y台，依题意，得：x+y=140900x+2100y=174000，解得：x=100y=40．答：商场购进A型号净化器100台，B型号净水器40台．（2）设销售每台A型号净化器的毛利润为m元，则销售每台B型号净化器的毛利润为2m元，依题意，得：100m+40×2m=54000，解得：m=300，∴900+m=1200．答：每台A型号净化器的售价为1200元．【点睛】本题主要考查了一元一次方程和二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确找出等量关系列方程求解.4．（2021春·浙江·七年级期末）为了防治“新型冠状病毒”，我市某小区准备用4800元购买医用口罩和洗手液发放给本小区住户．若医用口罩买800个，洗手液买120瓶，则钱还缺400元；若医用口罩买1200个，洗手液买80瓶，则钱恰好用完．求医用口罩的单价是多少?洗手液的单价是多少?【答案】医用口罩的单价为2.5 元/个，洗手液的单价为30元/瓶【分析】设医用口罩的单价为x元/个，洗手液的单价为y元/瓶，根据题意得出方程组，解方程组即可．【详解】解：设医用口罩的单价为x元/个，洗手液的单价为y元/瓶，根据题意得：800x+120y=4800+400 1200x+80y=4800，解得：x=2y=30，答：医用口罩的单价为2.5 元/个，洗手液的单价为30元/瓶．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找到等量关系，由题意列出二元一次方程组是解题的关键．5．（2013春·浙江衢州·七年级校联考期中）“一方有难，八方支援”是我们中华民族的传统美德．当四川雅安发生7.0级地震之后，我市迅速调集了1400顶帐篷和1600箱药品．现要安排A型和B型两种货车将这批物质运往灾区，已知A型货车每辆可运50顶帐篷和60箱药品，B型货车每辆可运40顶帐篷和40箱药品．问题：(1)需要安排A型和B型车辆各多少辆，恰好可以使物质一次性运往灾区？(2)若A型货车每辆费用1000元，B型货车每辆费用800元，则此次运送物质共需费用多少元？【答案】(1)A型20辆，B型10辆(2)28000元【分析】（1）设A型车辆为x辆，B型车辆为y辆，根据“A型货车每辆可运50顶帐篷和60箱药品，B型货车每辆可运40顶帐篷和40箱药品”即可列方程组求解；（2）根据“A型货车每辆费用1000元，B型货车每辆费用800元”即可求得结果．（1）解：设A型车辆为x辆，B型车辆为y辆，由题意得50x+40y=140060x+40y=1600，解得x=20y=10答: 需要安排A型车辆20辆，B型车辆10辆；（2）解：1000×20+800×10=28000答：此次运送物质共需费用28000元．【点睛】解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列方程组求解．6．（2013春·浙江杭州·七年级统考期中）某蔬菜公司收购蔬菜260吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天精加工8吨或粗加工20吨．现计划在22天内完成加工任务，且尽可能多的精加工，该公司应安排几天精加工，几天粗加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润是1500元，精加工后的利润为3000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少？【答案】该公司应安排15天精加工，7天粗加工，才能按期完成任务．该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利570000元．【详解】解：公司应安排x天粗加工，y天精加工，才能按期完成任务,根据题意得{x+y=228x+20y=260，解得{x=15 y=7此时精加工：15×8=120（吨），粗加工：20×7=140（吨）公司可获利为1500×140+3000×120=210 000+360 000=570 000（元）．答：该公司应安排15天精加工，7天粗加工，才能按期完成任务．如果每吨蔬菜粗加工后的利润是1500元，精加工后的利润为3000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利570 000元．考点：二元一次方程点评：本题考查二元一次方程，解答本题的关键是考生能列出二元一次方程来，然后就是要掌握解二元一次方程的方法，有两种代入消元法和加减消元法7．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共花费1860元．(1)每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？(2)若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打九折；方案二，购买5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？【答案】(1)每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是15元、8元；(2)学校选用方案二更节约钱，节约122元．【分析】（1）根据购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元；（2）根据题意，可以求出方案一和方案二的花费情况，然后比较大小并作差即可解答本题．【详解】（1）解：设每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是a元、b元，40a+90b=132060a+120b=1860，解得：a=15b=8，答：每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是15元、8元；（2）解：方案一的花费为：（15×100+8×60）×0.9=1782（元），方案二的花费为：15×100+8×（60-100÷5×2）=1660（元），1782-1660=122（元），1782＞1660，答：学校选用方案二更节约钱，节约122元．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程的知识解答．8．（2021春·浙江衢州·七年级校考期中）某校在2021年组织七年级学生参加研学活动，租用二种不同型号的客车，每辆座位如下表：客车型号A B人数/辆2849若租用A型客车5辆和B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用A型客车1辆和B型客车5辆，则需要租金2800 元.(1)求租用A，B两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？(2)现有七年级14个班级的学生588人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，为节约成本，则租用A型客车和B型客车各多少辆，需要花费多少钱？【答案】(1)A型车每辆的租金为300元，B型车每辆的租金为500元(2)租用A型客车14辆，B型客车4辆，需要花费6200元；租用A型客车7辆，B型客车8辆，需要花费6100元【分析】（1）设A型车每辆的租金为x，B型车每辆的租金为y，根据已知租用方案，列出方程组，解之即可；（2）设租用A型车辆a辆，B型车辆b辆，得到关于a，b的二元一次方程，求出正整数解，可得方案．（1）解：设A型车每辆的租金为x，B型车每辆的租金为y，9．（2022春·浙江温州·七年级统考期中）自从上海发生新冠肺炎发生以来，社会各界携手抗疫，全国人民积极捐助，共克时艰．温州市无偿捐助新鲜蔬菜120 t运往疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：(假设每辆车均满载)车型甲乙丙汽车运载量(t/辆)5810汽车运费(元/辆)400500600(1)全部蔬菜可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车____辆来运送；(2)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费8 200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？(3)该地打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能分别求出运费最省时三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？【答案】(1)4(2)需要8辆甲型车，10辆乙型车10．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）“当好东道主，文明迎亚运”，本区对亚运场馆附近的主干道进行了改造，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方1760m3，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：租金（单位：元/台•时）挖掘土石方量（单位：m3/台•时）甲型190160乙型260240(1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？(2)如果每小时支付的租金不超过2000元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？①当m=8，n=2时，每小时需支付的租金为190×8+260×2=2040（元），2040＞2000，不符合题意，舍去；②当m=5，n=4时，每小时需支付的租金为190×5+260×4=1990（元），1990＜2000，符合题意；③当m=2，n=6时，每小时需支付的租金为190×2+260×6=1940（元），1940＜2000，符合题意．答：共有2种不同的租用方案．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．11．（2021春·浙江绍兴·七年级校考期中）为奖励优秀学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买 1 个文具袋和 2 个圆规需21 元，购买 2 个文具袋和 3 个圆规需39 元.(1)求文具袋和圆规的单价.(2)学校准备购买文具袋20 个，圆规若干，文具店给出两种优惠方案：方案一：一个文具袋还送1 个圆规.方案二：购买圆规10 个以上时，超出10 个的部分按原价的八折优惠，文具袋不打折.①设购买圆规m(m≥ 20)个，则选择方案一的总费用为________，选择方案二的总费用为________.②若学校购买圆规100 个，则选择哪种方案更合算？请说明理由.【答案】(1)文具袋的单价为15元，圆规的单价为3元；(2)①（3m+240）元；（2.4m+306）元；②选择方案一更合算，理由见解析．【分析】（1）设文具袋的单价为x元，圆规的单价为y元，根据“购买1个文具袋和2个圆规需21元，购买2个文具袋和3个圆规需39元”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）①根据总价=单价×数量结合两种优惠方案，可得出当购买m个圆规时，选择方案一及选择方案二所需费用；②代入m=100，分别求出选择两个方案所需总费用，比较后即可得出结论．（1）设文具袋的单价为x元，圆规的单价为y元，依题意，得：x+2y=212x+3y=39，解得：x=15y=3．答：文具袋的单价为15元，圆规的单价为3元．（2）①设购买圆规m个，选择方案一的总费用为：20×15+3（m-20）=3m+240（元）；选择方案二的总费用为：20×15+10×3+3×80%（m-10）=2.4m+306（元）故答案为：（3m+240）元；（2.4m+306）元．②当m=100时，3m+240=540，2.4m+306=546，∵540＜546，∴选择方案一更合算．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及代数式求值，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①根据各数量之间的关系，用含m的代数式表示出选择方案一及方案二所需总费用；②代入m=100，分别求出选择两个方案所需总费用．12．（2021春·浙江·七年级校考期中）如表为某票务网站公布的几种类型门票的价格，小李用4200元作为预订门票的资金．门票种类指定日普通票三日票七日票票价（元/张）200400900(1)若全部资金用来预订三日票和七日票共8张，问三日票和七日票各订多少张？(2)小李想用全部资金预订指定日普通票、三日票和七日票共10张，他的想法能实现吗？若不能，请说明理由；若可以，请求出各种类型门票的张数．【答案】(1)三日票6张；七日票2张(2)能，预订指定日普通票4张；三日票4张；七日票2张【分析】（1）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即“用4200元作为预订门票的资金、三日票和七日票共8张”，根据这两个等量关系可列出方程组．（2）虽然多出了一个选项，但是可以用已知的两个来表示．不过如何购票还必须有一个讨论过程．（1）解：设预订三日票x张和七日票y张．由题意得400x+900y=4200x+y=8，解得x=6y=2，答：三日票和七日票分别定6张、2张；13．（2022春·浙江嘉兴·七年级校考期中）某市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表：购买服装的套数1～39套（含39套）40～79套（含79套）80套及以上每套服装的价格100元80元60元经调查：两个乐团共75人（甲乐团人数不少于40人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费6600元．请回答以下问题：(1)甲、乙两个乐团各有多少名学生？(2)现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由．【答案】(1)甲乐团有30人；乙乐团有45人(2)共有两种方案：从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人；或者从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调7人．14．（2021春·浙江绍兴·七年级校考阶段练习）温州市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表：购买服装的套数1～39套（含39套）40～79套（含79套）80套及以上每套服装的价格80元70元60元经调查：两个乐团共75人（甲乐团人数不少于40人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费5600元．请回答以下问题：(1)如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？(2)甲、乙两个乐团各有多少名学生？(3)现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由．【点睛】本题主要考查了列式计算、二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，审清题意、明确各量之间的关系是解答本题的关键．15．（2022春·浙江舟山·七年级统考期末）舟山市疫情防控工作领导小组在5月30日发布了常态化核酸检测工作的通知，6月3日起我市居民进入公共场所须凭7天内核酸采样或检测阴性证明．根据文件要求，学生在校期间每周要组织核酸检测一次，某校积极响应，安排校医甲和教师乙进行核酸采集培训．经过培训后，甲采集的速度是乙的两倍，且甲采集52人用时比乙采集30人用时少2分钟．(1)求甲、乙平均每分钟分别采集多少人？(2)该校七年级学生人数比八年级少18人，其中七年级有7个班，每班m人，8八年级有6个班，每班n人，两名采集员各自用了87分钟完成了七、八年级学生核酸采集工作，求m和n的值；(3)该校教职工70人完成核酸采集后要放入10人试管或20人试管中，在保证每个试管不浪费情况下，有哪几种分装方案？答：甲平均每分钟采集4人，乙平均每分钟采集2人；（2）解：依题意得：7m=6n−187m+6n=87×(2+4)，解得m=36n=45；（3）解：设10人试管有x个，20人试管有y个，依题意得：10x+20y=70，即x=7-2y，则有：x=5y=1或x=3y=2或x=1y=3或x=7y=0，有4种方案：①5个10人试管，1个20人试管；②3个10人试管，2个20人试管；③1个10人试管，3个20人试管；④7个10人试管，0个20人试管．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，二元一次方程组的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系．16．（2021春·浙江杭州·七年级杭州绿城育华学校校考期中）芒果大王小明春节前欲将一批芒果运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满芒果一次可运走10吨，用1辆A型车和2辆B型车载满芒果一次可运走11吨．现有芒果31吨，计划同时租用A型车x辆，B型车y第，一次运完，且恰好每辆车都载满芒果，根据以上信息，解答下列问题：(1)1辆A型车和1辆B型车都载满芒果一次可分别运送多少吨？(2)请你据该物流公司设计租车方案：(3)若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费用是多少．【答案】(1)1辆A型车载满蔬菜一次可运送3吨，1辆B型车载满蔬菜一次可运送4吨(2)该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车(3)费用最少的租车方案为：租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元【分析】（1）设1辆A型车载满蔬菜一次可运送x吨，1辆B型车载满蔬菜一次可运送y吨，根据题意列出17．（2022春·浙江绍兴·七年级校联考期中）雅安地震发生后，全国人民抗震救灾，众志成城，值地震发生一周年之际，某地政府又筹集了重建家园的必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）车型甲乙丙汽车运载量（吨/辆）5810汽车运费（元/辆）400500600(1)全部物资可用甲型车6辆，乙型车5辆，丙型车 辆来运送．(2)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？(3)已知三种车的总辆数为14辆，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种运费最省？【答案】(1)5(2)需要甲型车8辆、乙型车10辆(3)方案1：安排10辆乙型车，4辆丙型车；方案2：安排2辆甲型车，5辆乙型车，7辆丙型车；方案3：安排4辆甲型车，10辆丙型车；安排10辆乙型车，4辆丙型车所需运费最省【分析】（1）根据需要丙型车的辆数=（需要运送物质的总重量-甲型汽车运送货物的总重量-丙型汽车运送货物的总重量）÷每辆丙型车的运载量，即可求出结论；（2）设需甲型车x辆，乙型车y辆，根据“用甲、乙两种车型运送120吨物质，共需运费8200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（3）设安排甲型车m辆、乙型车n辆、则安排丙型车（14-m-n）辆，根据一次正好运送货物120吨，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n，（14-m-n）均为非负整数，即可得出各运送方案，再分别求出各运送方案所需费用，比较后即可得出结论．（1）解：（120﹣5×6﹣8×5）÷10=5（辆）．故答案为：5．（2）解：设需甲型车x辆，乙型车y辆，依题意，得：5x+8y=120400x+500y=8200，解得：x=8y=10，答：需要甲型车8辆、乙型车10辆．18．（2022春·浙江宁波·七年级校联考期中）某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．(1)若商场计划同时只购进其中两种不同型号的电视机，并且正好用完拨款．请你给出所有可行的采购方案．(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元．在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？【答案】(1)可选择方案：1、采购甲乙两种电视机各25台2、采购甲丙两种电视机分别35台和15台(2)选择方案2：采购甲丙两种电视机分别35台和15台，获利最大【分析】（1）利用平均价格=总价÷单价，可求出购进50台电视的平均价格为1800元，结合题意，三种情况考虑，甲、乙、丙三类电视机选择2类共3种可能：甲乙、甲丙、乙丙，再由9万元从厂家购进50台电视机，列二元一次方程组，解方程组即可；（2）利用总利润=每台利润×购进数量，可分别求出各方案可获得的总利润，比较后即可得出结论．（1）解：甲、乙、丙三类电视机选择2类共3种可能：甲乙、甲丙、乙丙．甲乙：设购进甲电视机x台、乙电视机y台．可得到方程：x+y=501500x+2100y=90000解得：x=25 y=25甲丙：设购进甲电视机x台、丙电视机z台．可得到方程：x+z=501500x+2500z=90000解得：x=35 z=15乙丙：设购进乙电视机y台、丙电视机z台．可得到方程：y+z=502100y+2500z=90000解得：y=87.5z=−37.5（不合题意，舍去）答：可选择方案：1、采购甲乙两种电视机各25台2、采购甲丙两种电视机分别35台和15台．（2）方案1：150×25+200×25=8750（元）方案2：150×35+250×15=9000（元）9000＞8750答：选择方案2：采购甲丙两种电视机分别35台和15台，获利最大．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出方程组是解题关键．19．（2022春·浙江宁波·七年级期中）某物流公司现有114吨货物，计划同时租用A，B两种车，经理发现一个运货货单上的一个信息是：A型车（满载）B型车（满载）运货总量3辆2辆38吨1辆3辆36吨根据以上信息，解答下列问题：。
用二元一次方程组解决问题(1)和差倍分七年级数学下册尖子生同步培优题典(原卷版)
2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【苏科版】专题10.5用二元一次方程组解决问题（1）和差倍分问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷试题共24题，答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．选择题（共10小题）1．（2019秋•埇桥区期末）一只笼子装有鸡和兔共有10个头，34只脚，每只鸡有两只脚，每只兔有四只脚．设鸡有x 只，兔有y 只，则可列二元一次方程组（ ）A ．{x +y =102x +4y =34B ．{x +y =102x +2y =34C ．{x +y =104x +4y =34D ．{x +y =104x +2y =342．（2019春•潢川县期末）上课时，地理老师介绍到：长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米，小东根据地理教师的介绍，设长江长为x 千米，黄河长为y 千米，然后通过列、解二元一次方程组，正确的求出了长江和黄河的长度，那么小东列的方程组可能应是（ ）A ．{x +y =8365x −6y =1284B ．{x −y =8366x −5y =1284C ．{x +y =8366y −5x =1284D ．{x −y =8366y −5x =12843．（2019•南岸区校级模拟）三月八日是国际妇女节，这天花店的鲜花特别畅销．鲜花主要有玫瑰、百合、康乃馨等．若1枝玫瑰和1枝百合需要22元，刘老师用116元买了8枝玫瑰和3枝百合，若设每枝玫瑰x 元，每枝百合y 元，由题意可列二元一次方程组得（ ）A ．{x +y =228x +3y =116B ．{x +y =228x +y =116C ．{x +y =22x +3y =116D ．{x +y =228(x +3y)=1164．（2020春•新宾县期末）某小区准备新建50个停车位，已知新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元，求该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？设新建1个地上停车位需要x 万元，新建1个地下停车位需y 万元，列二元一次方程组得（ ）A ．{x +y =63x +2y =1.3B ．{x +y =0.62x +3y =1.3C ．{x +y =0.63x +2y =1.3D ．{x +y =63x +2y =13。
总结解二元一次方程组的方法与技巧
总结解二元一次方程组的方法与技巧解二元一次方程组是初中数学课程中的重要内容，它在实际问题中有着广泛的应用。
在学习解二元一次方程组的过程中，我们需要熟练掌握一系列的解题方法和技巧。
本文将总结解二元一次方程组的方法与技巧，并带你深入了解解题过程。
一、方法一：代入法代入法是解二元一次方程组中最常用的方法之一。
其基本思路是将一个方程中的一个变量表示出来，然后带入另一个方程中进行求解。
以下是一个例子：例题：解方程组{ 2x + y = 7{ x - y = 1解法：首先，将第二个方程稍微变形，得到x = y + 1。
然后，将这一表达式代入第一个方程中，得到2(y + 1) + y = 7。
化简后得到3y = 5，进而解得y = 5/3。
将y的值代入x = y + 1中，可求得x = 8/3。
因此，方程组的解为{x = 8/3，y = 5/3}。
二、方法二：消元法消元法是解二元一次方程组的另一种常见方法。
它的核心思想是通过加减乘除操作，将方程组化成较简单的形式，进而求解未知数。
以下是一个例子：例题：解方程组{ 2x - 3y = 8{ 3x + 2y = 17解法：首先，将两个方程的系数对应乘上合适的常数，使得两个方程的x的系数相等或者y的系数相等。
这里我们可以将第一个方程乘以2，将第二个方程乘以3，得到如下方程组：{ 4x - 6y = 16{ 9x + 6y = 51然后，将第二个方程减去第一个方程，得到13x = 35。
进而解得x = 35/13。
将x的值代入第一个方程中，可求得y = -4/13。
因此，方程组的解为{x = 35/13，y = -4/13}。
三、技巧一：消元法的选择在应用消元法解题时，我们可以通过合理的选择消元顺序，简化计算过程。
一般来说，我们应选择将系数较小的方程乘以合适的常数，使其与系数较大的方程的系数相等。
这样可以避免出现过大的计算结果，提高解题效率。
四、技巧二：检验解的合理性在解二元一次方程组后，我们需要检验解的合理性，以验证求得的解是否正确。
初一数学复习题二元一次方程组的解法
初一数学复习题二元一次方程组的解法初一数学复习题：二元一次方程组的解法在初中数学中，我们学习了许多数学概念和解题方法。
本文将介绍二元一次方程组的解法，帮助同学们复习这一知识点。
二元一次方程组是由两个含有两个未知数的方程组成的。
一般形式为：```a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂```其中，a₁、b₁、c₁、a₂、b₂和c₂为已知系数，x和y为未知数。
下面，我们将介绍两种常用的解方程组的方法：代入法和消元法。
一、代入法代入法的基本思想是用一个方程的解，代入到另一个方程中，从而得到只含一个未知数的方程，进而求解。
步骤如下：1. 选取一个方程，将其转化为只含一个未知数的方程。
例如，选取第一个方程a₁x + b₁y = c₁，将其转化为只含有x的方程x = (c₁ - b₁y) / a₁。
2. 将得到的方程代入另一个方程，得到只含有一个未知数的方程。
例如，将x = (c₁ - b₁y) / a₁代入第二个方程a₂x + b₂y = c₂，得到a₂((c₁ - b₁y) / a₁) + b₂y = c₂。
3. 解得含有一个未知数的方程，得到该未知数的值。
例如，解得y = (a₂c₁ - a₁c₂) / (a₁b₂ - a₂b₁)。
4. 将求得的未知数的值代入到之前选取的方程中，求得另一个未知数的值。
例如，将y = (a₂c₁ - a₁c₂) / (a₁b₂ - a₂b₁)代入第一个方程a₁x + b₁y = c₁，解得x = (c₁ - b₁((a₂c₁ - a₁c₂) / (a₁b₂ - a₂b₁))) / a₁。
5. 检验求得的解是否满足原方程组。
将求得的x和y代入原方程组，验证两个方程是否成立。
二、消元法消元法的基本思想是通过变换原方程组，将两个方程中的一个未知数消去，转化为只含一个未知数的方程。
步骤如下：1. 通过变换两个方程，将其中一个未知数的系数相同或系数的比值为常数。
可以通过将其中一个方程乘以适当的系数，使得两个方程的x或y的系数相同或系数的比值为常数。
北京版七年级下册数学课件 巧解二元一次方程组 (共33张PPT)
13, 30.9
的解？
x 2 8.3,
y
1
1.2.
x 6.3,
y
2.2.
拓展探究 9x 21y 3z 9. ③
③-④，得 x y z 1.
已知
3x 7 y z 3, ① 4x 10 y z 4②
求
x
y
z 的值.
8x 20 y 2z 8. ④
小结提升 通过本节课的学习你有哪些收获？
由③，得 x=y+1. ④
整体相减
把④代入②，得1996( y 1) 1998y 1994. 解得 y 1.
把 y 1代入④，得x 2.
所以，原方程组的解为
x
y
2, 1.
典型例题
解方程组
x x
2 2
y y
x x
3 3
y y
7,① 3. ②
化简
5x y 42, ③ x 5y 18. ④
所以，原方程组的解为
x y
8, 2.
典型例题
解方程组
x
x
2 2
y y
x 3
x 3
y y
7,① 3.②
发现
（x-y）的系数 互为相反数
（x+y）的系数 相同
①+②，得 x y 10. ③ ①-②，得 x y 6. ④
典型例题
解法二
x
2
y
x
3
y
7,①
x
y
x
y
3. ②
解得 5x 20, x 4. 把x 4代入①，得 y 1.
5.代入、加减消元法…
所以，原方程组的解为
x y
4, 1.
二元一次方程组的应用几何问题-2020-2021学年七年级下册尖子生同步培优题典(原卷版)【人教版】
2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】专题8.6二元一次方程组的应用（2）几何问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•崇川区校级月考）如图，在大长方形ABCD中，放入六个相同的小长方形，则阴影部分的面积为（）A．140 cm2B．96cm2C．44 cm2D．16 cm22．（2020春•香洲区校级期中）八块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的宽等于（）A．15cm B．30cm C．12cm D．10cm3．（2020春•西湖区校级期中）如图，在大长方形中放入6个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中大长方形的面积是（）A．96B．112C．126D．1404．（2020春•醴陵市期末）小林去超市帮妈妈买回一批规格一样的纸杯．如图，他把3个纸杯叠在一起高度是9cm，把8个纸杯叠在一起高度是14cm，若把50个纸杯叠在一起时，它的高度约是（）cm．A ．150cmB ．56cmC ．57cmD ．81cm5．（2020春•沭阳县期末）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的15．两根铁棒长度之和为110cm ，此时木桶中水的深度是（ ）A ．60cmB ．50cmC ．40cmD ．30cm6．（2020春•射洪市期末）小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图1所示．小红看见了，说“我来试一试”，结果拼成如图2所示的正方形，中间还留有一个洞，恰好是边长为2cm 的小正方形．则每个小长方形的长和宽分别为（ ）A ．8cm 和6cmB ．12cm 和8cmC ．10cm 和6cmD ．10cm 和8cm7．（2020春•福山区期中）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m 张正方形纸板和n 张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m +n 的值可能是（ ）A ．200B ．201C ．202D ．2038．（2020春•崇川区校级期末）现有如图（1）的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a ，宽为b ．用3个如图（2）的全等图形和8个如图（1）的小长方形，拼成如图（3）的大长方形，若大长方形的宽为30cm ，则图（3）中阴影部分面积与整个图形的面积之比为（ ）A ．15B ．16C ．17D ．18 9．（2020春•福山区期中）如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为xcm 和ycm ，则两个小长方形的面积是（ ）A ．1200B ．1600C ．1800D ．240010．（2019秋•抚州期末）如图，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形的边长为1，这个长方形的面积为（ ）A ．45B ．48C ．63D ．64二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2019秋•瑶海区期末）在如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为 ．12．（2019秋•常熟市期末）如图，三个一样大小的小长方形沿“横﹣竖﹣横”排列在一个长为10，宽为8的大长方形中，则图中一个小长方形的面积等于．13．（2020春•雄县期末）如图所示，8个相同的长方形地砖拼成一个大长方形，则每块小长方形地砖的面积是．14．（2020春•赣榆区期末）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图1方式放置，再交换两木块的位置，按图2方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是．15．（2020•高邮市二模）如图，汪曾祺纪念馆中的仿古墙独具特色，其中一处是由10块相同的小矩形砖块拼成了一个大矩形，若大矩形的一边长为75cm，则小矩形砖块的面积为cm2．16．（2020春•遂平县期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为5mm的小正方形，则每个小长方形的面积为mm2．17．（2019春•工业园区期末）把长都是宽的两倍的1个大长方形纸片和4个相同的小长方形纸片按图①、图②方式摆放，则图②中的大长方形纸片未被4个小长方形纸片覆盖部分的面积为cm2．18．（2019春•德城区期末）五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的周长是16cm，则小长方形的面积是cm2．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•古丈县期末）如图，7个大小、形状完全相同的小长方形组成1个周长为68的大长方形．求大长方形的面积．20．（2019春•望花区校级月考）列二元一次方程组解实际问题．某纸制品厂要制作如图所示的甲，乙两种无盖的长方体盒子，该厂利用边角余料裁出了长方形，正方形两种纸片，其中长方形的宽与正方形的边长相等，现将105张正方形纸片和270张长方形纸片用来制作这两种盒子（不计连接部分）．求可以恰好制作这两种盒子多少个？21．（2020•南关区校级二模）学校征集校园便道地砖铺设的图形设计，小致用学校提供的若干个完全相同的小长方形模具（如图①）拼出一个大长方形和一个正方形（如图②、图③），其中所拼正方形中间留下一个边长为3cm 小正方形的空间，求一个小长方形模具的面积．22．（2020春•淮南期末）列二元一次方程组解应用题：某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元，请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？23．（2020春•盘龙区期末）小明是一个乐思好问的学生，在解答七年级下册教材中一道拓广探索题时遇到了困难．这道题是这样的：一个长方形的长减少5cm ，宽增加2cm ，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等．这个长方形的长、宽各是多少？（1）如图，设长方形的长、宽各是xcm ，ycm ，小明绞尽脑汁列出了三个不同的方程组：①{x −5=y +2xy =(x −5)2，②{x −5=y +2xy =(y +2)2，③{x −5=y +2xy =(x −5)(y +2) 以上三个方程组中，能正确反映题意的有 ．（请直接填写序号）（2）小明列出的方程，根据目前知识不易求解，便请教老师，老师提示这个问题可以列二元一次方程组来解答，并适时点拨，小明终于明白了．请你写出小明列出的二元一次方程组，并写出解题过程．24．（2020春•邓州市期末）某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是200cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A 型与B型两种板材．如图甲所示，（单位：cm）．（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值．（2）在试生产阶段，若将25张标准板材用裁法一裁剪，将5张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A 型与B型板材分别做侧面和底面，刚好可以做成图乙的竖式与横式两种无盖礼品盒．求可以做竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十一讲不等式(组)的应用
第十一讲不等式(组)的应用趣题引路】(2002年江苏省常州市中考题)某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备送给他们•如果每人送3本，则还余8本；如果前面每人送5本，则最后一人得到的课外读物不足3本•设该校买了加本课外读物，有x需学生获奖，请解答下列问题：(1)用含x的代数式表示加；(2)求出该校的获奖人数及所买的课外读物的本数.解析：(1) m=3x+8；(2)依题意得严F-ipo, ®3x + 8-5(x-l)<3・(2)•由①得点6丄；2由②得x>5・•••原不等式组的解集为5<xW6丄.2•・• x是正整数，・・.x = 6.把；v = 6彳弋入〃？ = 3x+8 ,得加=26.答：该校的获奖人数为6人，所买的课外读物的本数为26.点评：在一些实际问题中，往往含有“不足” “不超过”“不低于”等关键词，将这些关键词转换成不等符号，就可以建立不等式，从而使问题得以解决.知识延伸】一、不等关系与相等关系的综合在实际问题中，往往既存在相等关系又存在不等关系，我们充分利用这些关系建立方程和不等式，可以把问题解决.例1：(黑龙江省中考题)为了迎接2002年的世界杯足球赛，某足球协会举办了一次足球赛，其记分规则和奖励方案如下：当比赛进行到第12轮结束时(每队需要比赛12场)，A队共积19分.(1)请通过计算，判断A队胜.平.负各几场？(2)若每赛一场，每个参赛队员得出场费500元，设A队其中一需参赛队员所得的奖金和出场费的和为W (元人试求W的最大值.解析：(1)设A队胜x场，平y场，负z场，则有(兀 + y + z = 12,(3x+y = 19 ・2 = 19-3上iz = 2x — 7.解得：由题意可知4^0,且X、八z均为整数,19-3x^0,心0・解得：3丄WrWl, ••• x=4, 5, 6.2 3•••A队胜4场，平7场，负1场；或胜5场，平4场，负3场：或胜6场，平1场，负5场.(2) VV = (1500 + 500)x + (700 + 500)y + 500z = -600x +19300观察代数式-6OO.r+19300,发现x越小，W越大.•••当x = 4时，比叭=16900元.点评：题中有两个明显的相等关系•可以列出两个方程，但问题中迫切需要求出三个未知量，利用题中隐含的不等关系“三个未知量都是非负整数”建立不等式组，确泄未知量的取值范国•这实际上也是利用不等式求不定方程组的整数解的一种重要方法.二、不等式与商品定价在商品销售问题中往往牵涉到价格、商品数目“至多…至少…盈利”等词语，将这些词语转化为不等符号，即可建立不等式，解决实际问题.例2：商业大厦购进某种商品1000件，销售价左为购进价的125%.现计划节日期间按原左销售价让利10%,售出至多100件商品，而在销售淡季按原立销售价的60%大甩卖，为使全部商品售完后盈利，在节日和淡季外要按原定价销售至少多少件商品？解析：设购进价为“元，按原立价销售x件，节日让利销售y件，则淡季销售（1000-x-y ）件•依题意有：125%心 + 125%（1-10%）© + 125%x60%“（100-x-y） > 1000u 即4x + 3y > 2000 ,V 応100 ,•••4x>2000-3yM1700,又x是整数，•••x±425・所以，在节日和淡季外要按原定价销售至少435件商品才能盈利.点评：充分利用“盈利”这一不等关系，盈利即销售金额大于成本•题目中并没有包含儿y的等量关系，但利用）0100和不等式的传递性建立关于x的不等式，从而求岀;v的取值范耐三.不等式与决策方案现实生活中职能部门政策的制左，公司生产方案的决策等都蕴含着大量的数学知识，不等式在其中时常会有所体现.例3：某市政府为了进一步改善投资环境和居民生活环境，并吸引更多的人来观光旅游，决左对古运河城区段实施二期开发工程，现需要A. B两种花砖50万块，全部由某砖瓦厂完成此项生产任务•该厂现有甲种原料180万千克，乙种原料145万千克.已知生产1万块A砖，用甲种原料4.5万千克，乙种原料1・5万千克，造价1.2万元；生产1万块B砖，用甲种原料2万千克，乙种原料5万千克，造价1.8万元.（1）利用现有的原料，该厂是否能按要求完成任务？若能，按A、B两种花砖生产的块数，有哪几种生产方案？请你设计出来.（以1万块为一个单位且取整数）（2）试分析你设计的哪种方案总造价最低？最低造价是多少？解析：（1）设应生产A种花砖x万块，则应生产B种花砖（50-天）万块.j4・5x + 2(50-x)W180,①依题意得il.5x + 5(50-x)W145・②由①、②可得30WxW32・V 兀是整数,••• x=30, 31, 32：对应的50-x=20, 19, 18.所以有以下三种方案可供选择：方案一：生产A种花砖30万块，B种花砖20块；方案二：生产A种花砖31万块，B种花砖19块；方案三：生产A种花砖32万块，B种花砖18块.（2）三种方案的造价分别为：方案一：30x1.2+20x1.8 = 72 （万元）：方案二：31x1.2 + 19x1.8 = 71.4 （万元）；方案三：32x1.2+18x1.8=70.8 （万元）.显然，方案三造价最低，最低造价为70.8万元.点评：利用“所需原料不能超过现有原科”这一隐含的不等关系建立不等式，求岀未知量的取值范围. 得到可行方案.好题妙解】佳题好题品味例：某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租一俩，且余30个座位.（1）求该校参加春游的人数：（2）已知45座客车的租金为每辆250元，60座客车的租金为每俩300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租一辆，所用租金比单独租用一种客车要节省，按照这种方案需租金多少元？解析：设参加春游的有X人.依题意得丄=出2+1・45 60解得x=270 （人）・（2）单独粗用45座客车时需车6俩，所需租金为1500元：单独租用60座客车时需车5辆，所需租金也为1500元.设租用45座客车y俩，则租用60座客车y+1辆，依题意得250y + 3OO（y + l）<15OO ・解之得y<晋，（y是正整数），•: y = 1 ♦或y = 2 ・当y = l 时，45xl+60x2=165<270 （不合题意,舍去）;当y = 2时，45 x 2 + 60 x 3 = 270符合题意.选择这种方案需要租金：2 x 250 + 3 x 300 = 1400 （元）.点评：利用“所用租金比单独租用一种客车要巧省”这一隐含的限制条件来构建不等式，求出未知量的取值范围，得到符合题意的方案.中考真题欣赏例：（2003年哈尔滨市中考题）建网校就等于建一所学校，哈尔滨市慧明中学为了加强现代信息技术课教学，拟投资建一个初级讣算机机房和一个髙级计算机机房，每个计算机房只配一台教师用机，若T•台学生用机，其中初级机房教师用机每台8000元，学生用机每台3500元：高级机房教师用机每台11500元, 学生用机每台7000元•已知两机房购买计算机的总钱数相同，且每个机房购买汁算机的总钱数不少于20 万，也不超过21万，则该学校拟建的初级机房、高级机房各有多少台计算机？解析：设初级机房有X台计算机，髙级机房有y台讣算机.8000 + 35OO（x-1） = 11500+ 7000（y-1）,①根据题意有200000^8000 + 35OO（A- 1）^210000, ⑥200000W11500 + 7000（$-1）0210000. ③由①得x = 2y,由②得55-^A<58-,7 71 Q 气由③得27 —W）W29—,14 - 14•••八y是正整数，•: y = 28 > 人‘ =56 ； y = 29 ♦x = 58 ・答：初级机房有56台计算机,高级机房有28台计算机;或初级机房有58台计算机,髙级机房有29 台计算机.点评：先将两个机房所需的总钱数用代数式表示出来，再利用不等关系“不少于20万，也不超过21 万”建立不等式，利用相等关系“两机房购买计算机的总钱数相同”建立方程.竞赛样题展示例：（江苏省竞赛试题）货轮上卸下若干只箱子，其总重量为10（,每只箱子的重量不超过山为保证能把这些箱子一次运走，问至少需要多少俩载重3t的汽车？解析：设共需"辆汽车，它们运走的重量依次为…，©•则2WqW3 （ / = 1 ♦ 2, •••♦“），q+G+••• + ©= 10,/. 2 + 2 +・・・+ 2念］+ ① + … + “S3 + 3t…+ 3，”个IT个即解得—^n^：5 ・3•・•车子数”应为整数，•“ 4或5,但4辆车子不够.例如有13只箱子，每只重量为挣，而3X寻V3, 4X 吕>3,即每辆车子只能运走3只箱子，4辆车子只能运走12只箱子，还剩一只箱子，故需5辆汽车.点评：每只箱子不超过M意味着每辆车的载重虽大于或等于2/且小于等于引.利用“总重量等于各车的实际载重量之和”，建立关于车辆数”的I不等式，使问题得以解决.过关检测】A级1.（2001年河北省中考题）在一次“人与自然“知识竞赛中，竞赛试题共有25道，每道题都给岀4个答案，苴中只有一个正确答案，要求学生把正确答案写出来，每逍题选对得4分，不选或选错倒扣2分.如果某学生在本次竞赛中的得分不低于60分，那么他至少选对了________________ 道题.2.一种含药率为15%的火虫药粉30怨，现要用含药率较髙的同种火虫药粉50炖和它混合，使混合后的含药率大于20%,而小于35%,则所用药粉的含药率x的范围是（）A. 15%<x<25%B. 15%<JT<35%C. 23%<x<47%D. 23%<x<50%3.（南京市中考题）一个长方形足球场的长为宽为70,如果它的周长大于350m而积小于7560胪, 求x的取值范伟I,并判断这个球场是否可以用作国际足球比赛.（注：国际足球比赛的足球场的长在100加到110加之间,宽在64/w到75加之间）4.在双休日，某公司决泄组织48名员工到附近一水上公园坐船游玩，船只租赁情况如下表:怎样设汁租船方案才能使所支岀的租金最少？（严禁超载）5.（浙江宁波市中考题）为了能有效地使用电力资源，宁波市电业局从2001年1月起进行居民“峰谷“ 用电试点，每天8 ： 00到22 : 00用电的电价为0.56元/千瓦时（“峰电"价），22 ： 00至次日8 ： 00用电的价为0.28元/千瓦时（“谷电"价），而目前不使用“峰谷“电的居民用电的电价为0.53元/千瓦时.（D-居民家庭在某月使用“峰谷“电后，付电费95.2元,经测算比不使用“峰谷“电节约10.8元.问该家庭当月使用峰电和谷电各多少千瓦时？（2）“邮电"用量不超过每月总电疑的百分之几时，使用“il金谷"电合算？（精确到1%）6.现在计划把甲种货物1240r和乙种货物880/用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车车厢共40节,使用A型车厢每节费用6000元，使用B型车厢每节费用为8000元.（1）设运送货物的总运费为y万元，这列货车挂A型车厢x肖，试写出y与x的函数关系式（即用含x 的代数式表示y）:（2）如果每节A型车厢最多可以装甲种货物35r和乙种货物15/,每节B型车厢最多可以装甲种货物25/ 和乙种货物35/,装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有几种安排方案？（3）在上述方案中哪个方案运费最少？最少运费为多少？B级1.（第14届江苏省赛题）小林拟将1, 2,…，"这“个数输入电脑求平均数，当他认为输入完毕时，电脑显示只输入了 "一1个数，平均数为35专，假设这“一1个数输入无误，则漏输入的一个数为（）A. 10B. 53C. 56D. 672.（1999年全国初中赛题）江堤边一洼地发生管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40加“可抽完：如果用4台抽水机抽水，16”曲可以抽完.如果要在10加“内抽完水，那么至少需要抽水机______________ 台.3.（北京市赛题）今有浓度为5%、8%、9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60g、60g、47g,现要配制7%的盐水100g,问甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？4.有一片牧场，草每天都在均匀生长（即每天草增长的量都相等），如果每天放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天可以吃完牧草.设每头牛每天的吃草量相等，问：（1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？（2）要使牧草永远都吃不完，至多放牧多少头牛？5.据有关部门统汁：20世纪初全世界共有哺乳类和鸟类动物约13000种，由于环境等因素影响，到20世纪末这两类动物种数共灭绝1.9%,其中哺乳类火绝约3.0%,鸟类灭绝约1.5%.（1）问20世纪初期哺乳类和鸟类动物各有多少种？（2）现在人们越来越意识到保护动物就是保护自己，到本世纪末，如果要把哺乳类和鸟类动物的火绝种数控制在0.9%以内，英中哺乳类动物的火绝种数与乌类动物的火绝种数之比约为6：7,为实现这个目标, 鸟类灭绝不能超过多少种？6.六人共订六种报纸，其中每人至少订一种报纸.已知前五人分別订了2、2、4. 3. 5种报纸，而前五种报纸分别有1、4、2、2、2人订，问第六个人订几种报纸？第六种报纸有几人订?第十一讲不等式（组）的应用A级亠•二1.19.2. C.3.105<x<108,可以4-租大船9只，小船1只时支付租金址少,租金为29元5-（1）该家庭当月使用峰电HO千瓦时，谷电60千瓦时;⑵不超过89%6.厂-0.加十32；（2）24WK26,故有三种方案（略）；（3）最佳方案是A型车厢26节』型车厢14节最少运费是26 8万元B级1. c.提示;设漏输的一> 数为匕则有♦ qq丄一L+2十…十n -k一1+2十•・・+•□・1 n +27n n -1 2 '35 y = —冬中十……"=27n・l n-1 2 f3 3解得69〒•又71 （n “ 1）,则n =71 •于是代人原式解得k = 56.2. 6 台.3.提示:设甲、乙、丙三种盐水分别取xg.yg.zg,则|x +y + 7 = 100,l5%z+8%y+9%x= 100 x7%ffy =200 -4x t^V=3x-100.（0W60.又有lo<y^6O,lowv47.可解得35 Cx ^49.4. （1） 18天可以吃完$（2）至多放牧12头牛・5•⑴哺乳类和鸟类动物各有3470种和9530种；（2）鸟类灭绝不能超过62种.6.提示:从整体考虑•六个人订报的总效等于六种报纸的总订数・o设第六个人廿了皿种报纸，第六种报纸有，人订，叫％为正整数，并且则有2*2+4+3 + 5 5 = 1 +4+2+2 +2卄，解得"25.由JH+5W6得mWl,但m多1.所以心1声"・。
初一数学二元一次方程组解题技巧(初一数学知识点整理)
初一数学二元一次方程组解题技巧（初一数学知识点整
理）
第八章二元一次方程（组）
第三节二元一次方程组解法--加减法
【学习目标】
1.掌握加减消元法解二元一次方程组的方法；
2.能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；
3．会对一些特殊的方程组进行特殊的求解．
【要点梳理】
要点一、加减消元法解二元一次方程组
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的
两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这
种方法叫做加减消元法，简称加减法．
要点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为
相反数或相等；
(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个
一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求
出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．
要点二、选择适当的方法解二元一次方程组
解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．,。
二元一次方程组-2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优题典(解析版)【苏科版】
2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【苏科版】专题10.2二元一次方程组姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•崇川区期末）下列x ，y 的各对数值中，是方程组{x +y =2x +2y =3的解的是（ ） A ．{x =3y =−1 B ．{x =3y =0 C ．{x =1y =1 D ．{x =−3y =5【分析】求出方程组的解，即可做出判断．【解析】{x +y =2①x +2y =3②， ②﹣①得：y ＝1，把y ＝1代入①得：x ＝1，则方程组的解为{x =1y =1． 故选：C ．2．（2020春•十堰期末）已知{x =−1y =2是二元一次方程组{3x +2y =m nx −y =1的解，则m ﹣n 的值是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4 【分析】把{x =−1y =2代入方程组{3x +2y =m nx −y =1得{m =1n =−3，于是得到结论． 【解析】把{x =−1y =2代入{3x +2y =m nx −y =1得{m =1n =−3， ∴m ﹣n ＝4，故选：D ．3．（2020春•张家港市期末）已知{x =−1y =2是二元一次方程组{3x +2y =m mx −y =n的解，则m ﹣n 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【分析】把x 与y 的值代入方程组计算求出m 与n 的值，即可求出m ﹣n 的值．【解析】把{x =−1y =2代入方程组得：{−3+4=m −m −2=n，。
七年级数学下册 第7章 一次方程 培优专题 二元一次方程组的同解、错解、参数问题课件
第7章 一次方程(yī cì fānɡ chénɡ)
培优专题
二元一次方程组的同解、错解、参数(cānshù)问题
第一页，共十七页。
第7章 一次方程组
培优专题(zhuāntí) 二元一次方程组的同解、通错、参数问题
方法管理 归类探究
第二页，共十七页。
代入①，得 y＝－5.把y＝－5代入bx－ay＝－6，得5a＋b＝－6，解得 a＝b ＝－1.则原式＝[4×(－1)－3×(－1)]2 018＝1.
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【变式跟进】
mx＋2ny＝4， x－y＝3，
1．[2017·杭州一模]若关于 x、y 的方程组x＋y＝1
与nx＋（m－1）y＝3
有相同的解．
x＝－3， 程①中的 a，得到方程组的解为y＝－10；乙看错了方程②中的 b，得到方程组 的解为xy＝＝54，. 试计算 a2 020＋(－b)2 019 的值．
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x＝－3， 解：将y＝－10 代入方程组中的 4x－by＝－2， 得－12＋10b＝－2，解得 b＝1.
x＝5， 将y＝4 代入 ax＋5y＝15，得 5a＋20＝15， 解得 a＝－1.则 a2 020＋(－b)2 019＝1－1＝0.
第十五页，共十七页。
解：(答案不唯一) 我最欣赏乙同学的解题思路，解答如下： 32xx＋ ＋23yy＝ ＝76k.②－2，①，①＋②，得 5x＋5y＝7k＋4，∴x＋y＝7k5＋4. ∵x＋y＝2，∴7k＋ 5 4＝2，解得 k＝67. 评价：乙同学观察到了方程组中未知数 x、y 的系数，以及与 x＋y＝2 中的 系数的特殊关系，利用整体代入简化计算，而且不用求出 x、y 的值就能解决问 题，思路比较灵活，计算量小．
七年级初一下学期数学 专题11 二元一次方程组的解法(知识点串讲)(解析版)
专题11二元一次方程组的解法知识网络重难突破知识点一代入消元法将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程，消去一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。
这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。
注意：①找准消元对象。
消元对象一般选取系数简单的（如系数的绝对值较小的，系数是±1的）未知数，使变性后的方程比较简单或代入后比较容易化简；②在用代入法解二元一次方程组的一般步骤的第（2）步中，必须理解“另一个”的含义，否则，若把y=ax+b 代入变形的原方程，必然得到一个恒等式；③用代入法求出一个未知数的值后，再求另一个未知数时，一般代入变形后得到的方程比较简单．典例1（2019春•赣榆区期末）方程415-+=-用含y的代数式表示x是．x y【解答】解：方程415x y -+=-， 解得：415x y =+， 故答案为：415x y =+典例2解方程组2326.x y x y -=⎧⎨+=⎩．【解答】解： 232,6x y x y -=⎧⎨+=⋅⎩①②由②得6y x =-代入①得23(6)2x x --=，解得4x =．（3分） 把4x =代入②，得2y =．（5分） ∴原方程组的解为42x y =⎧⎨=⎩．（6分）故答案为：42x y =⎧⎨=⎩．知识点二 加减消元法把方程组的两个方程（或先作适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。
这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。
注意：①化为标准形式。
用加减消元法解二元一次方程组时，一般先把方程组整理成111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的标准形式，再设法加减消元，这样不易出错；②选准消元对象。
当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单。
典例1（2019春•芜湖期末）已知x 、y 满足方程组3531x y x y +=⎧⎨+=-⎩，则代数式x y -= ．【解答】解：3531x y x y +=⎧⎨+=-⎩①②，①-②得：226x y -+=， 整理得：3x y -=-． 典例2（2019秋•金台区期末）若2|1|(2)0x y x -+-=，则x y += ． 【解答】解：2|1|(2)0x y x -+-=Q ， ∴1020x y x -=⎧⎨-=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，123x y ∴+=+=．故答案为：3． 典例3（2019春•沭阳县期末）解方程组：7,532.52x yy x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩【解答】解：原方程组可化为351055220x y x y +=⎧⎨-+=-⎩①②，①2⨯，②5⨯得：6102102510100x y x y +=⎧⎨-+=-⎩③④，③-④得：31310x =， 解得10x =，把10x =带入②得15y =，所以原方程组的解为1015xy=⎧⎨=⎩．典例4（2019春•淮安区期末）解方程组28232x yx y+=⎧⎨+=⎩①②．【解答】解：①2⨯-②得：14y=，把14y=代入①得：20x=-，则方程组的解为2014xy=-⎧⎨=⎩．知识点三同解问题方法技巧：理解方程组的解的实质，由方程组消去未知系数，构造只含两个未知数的二元一次方程，再根据其他条件求出两个未知数的值，最后回代求出未知数的值。
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专题11巧解二元一次方程组
专题解读】解二元一次方程组的基本思路是“消元S常用的解法有两种：“代入法”与“加减法”，这两种解法的基本思想是通过消元把二元一次方程组化为一元一次方程•对于一些特殊形式的方程组，如果我们能够通过观察发现苴结构特征与规律，比如其未知数的系数、常数项的特征，那么我们就可采用灵活、巧妙的方式进行变式，从而最终达到消元的目的.
思维索引
例1•解方程组：(1)
©7x + 79y = 212,①
79.v + 97y = 140;②(2)
3x + 5(x + y) = 36,① 3y
+ 4(x + y) = 36;②
例2•解方程组: (1) 2x + 3y丄2x-3y
43-
2x + 3y 丄2x-3y
~3- 2
=7,①
=8;②
(2)
贰戶2;②
例3. (1)当“取什么值时，方程组:
[5x + 3y = 31
的解是正数?
(2)要使方程组｛:;二的解都是整数，R应取哪些整数值?
素养提升
1.若x + 2y + 3z = 10, 4x + 3y + 2z = 15,贝!lx + y + z的值为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
3x - y + 2z = 3①
2.解方程组< 2x + y - 4z = 11 ②，若要使运算简便，消元的方法应选取（）
lx + y - 5z = 1 ③
A.先消去x
B.先消去y
C.先消去Z
D.以上说法都可
3 若
2 3— > 且b + c = 12,
7
则加-刃+ C等于（)
A. 2
7 B.2 C.4 D. 12
4.若,2017x+2018y = 2016 ①
2018.v + 2017y = 2019 ②'
则（尤+刃2+（—〉，）'的值是
（
)
A. 28
B. 0
C. 10
D. 19
5.今有上等谷子三捆，中等谷子二捆，下等谷子一捆，共得谷子三十九斗：如果有上等谷子二捆，中
等谷子三捆，下等谷子一捆，共得谷子三十六斗：上等谷子一捆，中等谷子二捆，下等谷子三捆，共得谷子三十三斗，则上、中、下三等谷子一捆各有斗数是（）
A. 3, 3, 4
B. 8, 5, 5
C. 7, 9, 12
D. 12, 13, 14
6.已知代数式or'+bx + c，当才=-1时，其值为4；当时，其值为8；当x = 2时，幷值为25；则
当x = 3时，其值为___________ .
7.—对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6
年后他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，这对夫妇共有子女________ 个.
8 •在解关于x. v的方程组$" +（"一2" = 1弓时，可以用①乂2-②消去未知数厂也可用（2〃-l）x_© =
4 ②
①x4 +②x3消去未知数y.则"二__________ , b二 _______ .
9•当x = —2 > y = 1 t 或x = —1, y = 2，或x = 0, y = l 时，等式x，+ y‘+£）x + Ey + F = 0 祁成立，则
D 二_____ 、E二_____ . F二 ______
10.某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组
成.如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安排___________ 名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套.
361x + 463y = -102 463x + 361v = 102 (2) $»90 ©
[23x-67y = 180 ②
11 •解方程组：（1）
（//）以上每个方程组的解中，兀值与y 值的大小关系为 ___________ （c ）请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解.
ax + by + 2cz = 2
13•方程组］6x + y-2z = -2与关于x 、y 、z 的方程2ax-3by + 4cz = -\的解相同,
3ax 一 3by + 5cz = 1
以阅读材料：善于思考的小明在解方程组:囂二 荻采用了—种''整体代换”的解法:
解：将方程②变形为4x + 10y + y = 5,即2（2x + 5y ） + y = 5 ,③： 把①代入③得2x3 +〉，= 5,解得y = -l,
12.拓展创新:
（1）已知方程组$ + 3—
3x + 4y + 5z = 0
（2）根据要求，解答下列问题.
（“）解下列方程组（直接写出方程组的解即可）:
x + 2y = 3
的解为 _______ 的解为
2x_y = 4 -x + 2y = 4
的解为 _____________
3x 一 2y + z = 6 6x + 2y + 5z = 3
y — 4
把y = -l代入①得X = 4,则方程组的解为•一t
请你解决以下问题：
（1）模仿小明的方法解方程组…：、
9.v-4z = 19 ②
（2）已知满足方程组一"' + 3=47真求疋+4\，2的值。
2x2 + xy + 8y2 =36 ②
15.在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为''格点多边形”。
格点多边形的而积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为厶.
（1）例如，图中的△ABC是格点三角形，其中S = 2, N = 0, L = 6；图中格点多边形DEFGH1所
对应的S, N,厶分别是________________ .
（2）经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S=aN+bL+c,其中"，b, c为常数，则当N = 5, 厶=14时，求S的值.
专题11巧解二元一次方程组
思维索引】
素养提升】
1. D ；
2. B ；
3. C ；
4. A ：
5. B ；
6. 52；
7. 3；
8. “=6, /? =
—
： 9. D=2,
E=-2, F=l ； 10. 120：
13
-宀 :
v = 3
14- G ）
l ：2；
⑵⑺
15・(1)7 和 3 和 10： (2)11：
例2・
31 31
例 3. (1) -<a< —
5
3 (2)—5, 一 3, 一 1 >
(1)
x = l y = -i
A* = 2 >' =一 2
例 1. (1)
x = 2 y = 4
（1）
x = 35 y = 35
x = 3
y = 3。