结构自振周期和自振振型
结构基本自振周期计算
W
---风荷载组合系数;一般结构可不考虑,风荷载起控制作用的高层建筑应
采用0.2;
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3.8.3结构抗震承载力验算
（2）截面抗震验算
S R RE
S---包含地震作用效应的结构构件内力组合的设计值； R---结构构件承载力设计值； RE ---承载力抗震调整系数；
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3.8.3结构抗震承载力验算
3.4.1能量法
位移： xi(t)Xisi nt()
速度： x (t)Xicots()
mn
当体系振动达到平衡位置时，体系变形
位能为零，体系动能达到最大值Tmax
Tmax12ω2 in1 miXi2
m1
xn (t)
x2 (t) x1 (t )
当体系振动达到振幅最大值时，体系动能为零，
位能达到最大值Umax
无论结构是否有偏心，地震地面运动产生的结构扭 转振动均是存在的。
★扭转作用会加重结构的震害 《规范》规定对质量和刚度明显不均匀、不对称结构 应考虑水平地震作用的扭转效应
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3.6竖向地震作用
抗震设计中，一般不考虑竖向地震作用的影响 震害表明：
1、在高烈度区，竖向地面运动的影响是明显的 2、竖向地震作用对高层建筑、高耸及大跨结构
3.4结构自振周期及振型的实用计算方法
能量法是根据体求解以剪切型为主的框架结构
mn
xn (t)
设体系作自由振动，任一质点i的位移：
xi(t)Xisi nt()
3.4.1能量法
速度为 x (t)X ico ts()
m1
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x2 (t) x1 (t )
竖向地震作用。
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3.8.1地震作用及计算方法
框架-剪力墙结构自振周期及振型计算
框架-剪力墙结构自振周期及振型计算1. 基本原理（1）连续化方法（2）梁弯曲自由振动动力方程 （3）自由振动位移方程 2. 计算参数（1）刚度参数 框架刚度：C F 剪力墙刚度：EI 刚接连梁刚度：μ （2）质量参数单位高度质量m ，单位高度重量W=mg 3. 计算公式（1）框剪结构刚度特征值EIC HF μλ+= （2）自振周期gEIWH T i i 2ϕ= i ϕ由图表、根据λ及所要计算的振型查得（3）振型参数ϕπλλ221=，212ϕλπλ=或122ϕλπλ=22221λλλ=-()()0sin sh cos ch 2212221212142412221=-+++λλλλλλλλλλλλ一式代入二式，有：221212λϕλπλ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，()022212221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--ϕπλλλ 24224221242224⎪⎪⎭⎫⎝⎛+±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±=ϕπλλϕπλλλ 根据物理意义，有：24221242⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=ϕπλλλ，2421242⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=ϕπλλλ 汇总为：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=242224212422242ϕπλλϕπλϕπλλλ （4）振型公式()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=x H x H x H x H Y x Y 221122221121221210sin sh cos ch sh sin cos ch λλλλλλλλλλλλλλλ4. 补充说明（1）应计算3个、最多也只能计算三个振型。
（2）计算梁的刚度时，应计及现浇钢筋混凝土楼板作为梁的翼缘对梁截面刚度的增大效应，其中边梁截面惯性矩增大1.5倍，中梁刚度增大2.0倍。
（3）计算框架-剪力墙结构的自振周期时，应考虑框架填充墙对整体结构刚度的贡献，做法是对计算周期进行折减，折减系数为0.7-0.8。
5．结构刚度 5.1 框架刚度（1）框架梁刚度按矩形截面计算：3121bh I b =按T 型截面修正：3121bh I b β=，对于现浇钢筋混凝土框架边梁，.51=β，现浇钢筋混凝土框架中梁，.02=β（2）框架柱刚度 惯性矩；3c 121bh I =（此处h 为柱截面高度） 梁柱刚度比：cb i i i ∑=柱抗侧刚度修正系数：底层i i ++=2.50α，中间层ii+=2α 柱抗侧刚度D 值：212h i D cα=（此处h 为层高） 柱抗推刚度：Dh C =c （此处h 为层高） （3）框架抗推刚度∑∑===D h C C nm C F 1（此处h 为层高）5.2 剪力墙刚度 5.2.1 整体剪力墙 www d A H I I I 291μ+=5.2.2 开洞剪力墙（1）开洞墙连梁折算惯性矩bb bb A a I I I 271~μ+=，剪应力分布不均匀系数2.1=μ，a 为连梁净跨 （2）连梁刚度特征值32~aI c D b=，c 为连梁轴跨（3）墙肢刚度 墙肢惯性矩： 3121ww h b I =（按矩形截面计算，或按T 型等组合截面计算等）（4）剪切参数 墙肢剪切参数：∑∑∑∑==AHI AG H IE 22238.2μμγ（5）整体影响系数不考虑轴向变形影响的整体参数∑∑=+==ki ik i iD I h H 1112216α（此处k 为洞口总数）考虑轴向变形影响的整体系数T212αα=，轴向变形影响系数T 与洞口数量有关，近似值为墙肢数量3-4时，T=0.80，墙肢数量5-7时，T=0.85，墙肢数量大于8时，T=0.90。
大底盘双塔楼结构的自震周期及振型分析
大底盘双塔楼结构的自震周期及振型分析佚名【摘要】采用Midas／Gen有限元分析软件，对不同间距、不同层数的大底盘双塔结构以及一栋带底盘裙房的单塔结构进行了分析，在此基础上总结了双塔结构的自振周期、振型的变化规律，以供参考。
%Using the finite element analysis software Midas/Gen,this paper analyzed the large chassis twin towers structure of different spacing, different layers and the single tower structure of building with chassis podium,based on this summarized the self vibration period of twin towers structure,for reference.【期刊名称】《山西建筑》【年(卷),期】2015(000)026【总页数】2页(P42-43)【关键词】有限元;大底盘;自振周期;振型【正文语种】中文【中图分类】TU352.11 概述结构底部几层为大底盘裙房，上部采用两个塔楼作为主体结构，这种上下连为一体的结构称为大底盘双塔结构[1]。
大底盘双塔结构有三个主要特征:1)裙房上部有两栋塔楼;2)地上有裙房;3)裙房较大，可以将各个塔楼连为一体[2]。
这三点若缺少其中一点，都不是严格意义上的大底盘双塔结构;我国关于大底盘多塔结构的研究开始于20世纪80年代末，薛彦涛、魏琏以双塔结构为例，分别采用SRSS法和CQC法对结构在地震作用下的反应进行了研究，初步反映了两个框架塔楼结构的振动特点和内力变化情况[3]。
2 模型方案本文模型采用大底盘裙房加上部双塔的结构形式，塔楼结构为框架—核心筒结构，底盘为框架结构。
结构总高度为110.4 m，总层数为30层，上部塔楼26层，层高3.6 m;裙房4层，层高为4.2 m。
关于结构设计中各种周期的解惑
关于结构设计中各种周期的解惑结构设计中碰到最多的周期大致有四个：场地（地震动）卓越周期、设计特征周期、结构自振周期、结构基本周期，四个周期或多或少存在一定的联系，首先了解一下各周期的含义。
卓越周期是指随机振动过程中出现概率最多的周期，常用以描述地震动或场地特性。
地震波在土层中传播，由于土层的过滤特性与选择放大作用（过滤与放大通过不同性质界面的多次反射来实现），周期与场地土固有周期接近的地震波得到增强（通过共振作用放大），此周期称为场地（地震动）卓越周期。
设计特征周期也可称为设计反应谱特征周期，是指地震影响系数曲线下降段起始点对应的周期值，与地震震级、震中距和场地类别等因素有关，规范通过设计地震分组和场地类别反映，场地越软，震级、震中距越大，值越大。
结构自振周期是结构的动力特性之一，按某一振型完成一次自由振动所需的时间，仅与结构的质量m、刚度k有关，可通过特征值分析求解。
结构基本周期是结构按基本振型完成一次自由振动所需的时间。
地震动卓越周期反映的是场地土动力特性，与场地覆土厚度、土层剪切波速及岩土阻抗比（土地震效应的三要素）有关，前两者影响频谱，后者影响幅值。
一般来讲震级、震中距越大，高频分量被长距离传播路径所过滤，低频（长周期）分量越显著；软土地基上卓越周期显著，而硬土地基上则包含多种频率成分，卓越周期不显著（可以包含若干个），如下图。
设计特征周期针对的是设计反应谱，因此数落一下设计反应谱的来历很有必要。
为了迎合结构设计，将不同的地震动记录的反应谱曲线加以统计平均（均值反应谱），再利用数学上的平滑拟合，基于安全或经济因素的修正，便得到设计反应谱。
设计反应谱并不针对某个特定地震波，而是据大量地震动的综合认识预估结构地震作用的一种规定。
即设计反应谱不是真正的反应谱，是经验物理领域的概念，设计特征周期的物理意义不很明确。
从反应谱的分段区间来看，设计特征周期可以认为是速度与位移控制段的分界周期。
地震动卓越周期与设计特征周期存在必然联系吗？答案是否定的，顶多也就是特定地区的统计关系。
场地卓越周期
场地卓越周期文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]场地卓越周期,结构自振周期,基本振型,高阶振型基本概念自振周期T：结构按某一振型完成一次自由振动所需的时间，是结构固有的特性。
基本周期T1：结构按基本振型完成一次自由振动所需的时间。
通常需要考虑两个主轴方向的和扭转方向的基本周期。
设计特征周期Tg：抗震设计用的地震影响系数曲线的下降阶段起始点所对应的周期值，与地震震级、震中距和场地类别等因素有关。
场地卓越周期Ts ：根据场地覆盖层厚度H和土层平均剪切波速Vs计算的周期，表示场地土最主要的振动特征。
场地卓越周期只反映场地的固有特征，不等同于设计特征周期。
场地脉动周期Tm：应用微震仪对场地的脉动、又称为”常时微动”进行观测所得到的振动周期。
场地脉动周期反映了微震动情况下场地的动力特征，与强地震作用下场地的动力特性既有关系又有区别。
场地卓越周期：地震波在某场地土中传播时，由于不同性质界面多次反射的结果，某一周期的地震波强度得到增强，而其余周期的地震波则被削弱。
这一被加强的地震波的周期称为该场地土的卓越周期。
结构自振周期：自振周期是结构的动力特性之一。
单质点体系在谐波的作用下，都会按一定形状作同频率同相位的简谐运动，其相应的周期就称为自振周期。
当建筑物的自振周期与场地土卓越周期接近时，其地震反应就大，反之则小。
设计特征周期Tg：抗震设计用的地震影响系数曲线中，反映地震震级、震中距和场地类别等因素的下降段起始点对应的周期值，应根据其所在地的设计地震分组和场地类别确定。
当结构的自振周期超过设计特征周期时，地震作用就会随其自振周期的增大而减小。
当结构的自振周期小于0.1s时，地震作用会随其自振周期的增大而急剧增大。
实际的建筑结构的自振周期大都会大于设计特征周期，但一般不大于6.0s。
基本振型：单质点体系在谐波的作用下的振型称为基本振型。
任一地震波都可以分解为若干谐波的叠加，多质点体系按振型分解法计算地震作用时，可以简化为具有基本振型的等效单质点体系进行分析。
结构自振周期及振型的实用计算方法
n
mN
n
Meq
m
∑
i =1
m i (ω 1 x i ) 2
单质点体系的最大动能为
T 2 max = 1 M 2
eq
m 1
x 1
(ω 1 x m ) 2
xm = xn
xm ---体系按第一振型振动时，相应于折算质点处的最大位移； ---体系按第一振型振动时 相应于折算质点处的最大位移； 体系按第一振型振动时，
T = 0.22 + 0.35H / 3 B 1
H---房屋总高度；B---所考虑方向房屋总宽度。 ---房屋总高度； ---所考虑方向房屋总宽度。 房屋总高度 所考虑方向房屋总宽度 （2）高度低于50m的钢筋混凝土框架-抗震墙结构的基本周期 高度低于50m的钢筋混凝土框架50m的钢筋混凝土框架
T = 0.33+ 0.00069H2 / 3 B 1
T =1.7 ∆bs
本方法适用于质量及刚 度沿高度分布比较均匀 的任何体系结构。
补充： 补充：自振周期的经验公式
根据实测统计，忽略填充墙布置、质量分布差异等， 根据实测统计，忽略填充墙布置、质量分布差异等，初 步设计时可按下列公式估算
（1）高度低于25m且有较多的填充墙框架办公楼、旅馆的基本周期 高度低于25m且有较多的填充墙框架办公楼、 25m且有较多的填充墙框架办公楼
FVi =
GiH i
n
∑G
j =1
F EVK ---质点i的竖向地震作用标准值。 ---质点 的竖向地震作用标准值。 质点i
j
j
H
规范要求： 度时 高层建筑楼层的竖向地震作用 度时， 规范要求：9度时，高层建筑楼层的竖向地震作用 效应应乘以 的增大系数。 应乘以1.5的增大系数 效应应乘以 的增大系数。
自振周期及地震作用计算讲义
n
i
根据能量守恒原理：
g
m
i 1 n i
n
i
Xi
T1
2 i
2
m
i 1
X
1
2
m X
i i 1 n
n
2 i
g
m X
i i 1
2
i
G X
i
n
2 i
G X
i i 1
i 1 n
i
一般假定：将结构重力荷载当成水平荷载作用于质点上 所得的结构弹性曲线为结构的基本振型。
T 1 max 1 2
n
i 1
m i ( 1 x i )
2
mN
xn
M
eq
xm
单质点体系的最大动能为
T 2 max 1 M 2
eq
xm xn
m1 x1
( 1 x m ) 2
x m ---体系按第一振型振动时，相应于折算质点处的最大位移；
T1max
1 n mi (1xi )2 2 i1
ห้องสมุดไป่ตู้
竖向地震作用，烟囱上 抛后下落错位。
9
德阳利森水泥厂生料均化库，受到 竖向地震作用，塔筒上抛后下落。
底部框架底层为薄弱层， 底层墙体叠合塌落。 （9度 区）
10
底部框架结构底层框架叠合塌落（北川11度区）。
中间层叠合塌落（日本阪神大地震）。
11
中间层水平裂缝 中间层水平裂缝。
3.6.1高耸结构及高层建筑的竖向地震作用
台湾省漳化县富贵 名门大楼，16层钢筋混 凝土住宅楼，平面为C 型, 平面不规整，单排 柱框架，柱子间距太大， 数量偏少。
几个周期的概念
特征周期Tg：即建筑场地自身的周期，是建筑物场地的地震动参数，在地震影响系数曲线中，水平段与下降段交点的横坐标，反映了地震震级，震源机制（包括震源深度）、震中距等地震本身方面的影响，同时也反映了场地的特性；如软弱土层的厚度，类型等场地类别等。
自振周期T：结构按某一振型完成一次自由振动所需的时间，是结构本身的动力特性，仅与结构的质量m、刚度系数k有关。
基本周期T1:是指结构按基本振型完成一次自由振动所需的时间。
基本振型：单质点体系在谐波的作用下的振型称为基本振型：任一地震波都可以分解为若干谐波的叠加，多质点体系按振型分解法计算地震作用时，可以简化为具有基本振型的等效单质点体系进行分析。而对建筑结构而言，有时又称为主振型，一般是指每个主轴方向以平动为主的第一振型。
自振周期避开特征周期可以减小地震作用。当结构的自振周期超过设计特征周期时，地震作用就会随其自振周期的增大而减小。当结构的自振周期小于0.1s时，地震作用会随其自振周期的增大而急剧增大。实际的建筑结构的自振周期大都会大于设计特征周期，但一般不大于6.0s。
自振周期与场地的卓越周期相等或接近时地震时可能发生共振，震害比较严重，反之震害就小，国内外根据震害研究表明，在大地震时，由于土壤发生大变形或液化，土的应力——应变关系为非线性，导致土层剪切波速Vs发生变化。因此，在同一地点，地震时场地的卓越周期将因震级大小、震源机制、震中距离的变化而变化。
在抗震设计规范中，设计特征周期Tg与场地类别有关：场地类别越高（场地越软），Tg越大；地震震级越大、震中距离越远，Tg越大。Tg越大，地震影响系数α的平台越宽，对于高层建筑或大跨度结构，基本周期较大，计算的地震作用越大。
[笔记]结构自振周期是结构自由振动的周期
![[笔记]结构自振周期是结构自由振动的周期](https://img.taocdn.com/s3/m/c68620d7804d2b160a4ec032.png)
[笔记]结构自振周期是结构自由振动的周期predominant period 地震时，从震源发出的地震波在土层中传播时，经过不同性质地质界面的多次反射，将出现不同周期的地震波。
若某一周期的地震波与地基土层固有周期相近，由于共振的作用，这种地震波的振幅将得到放大，此周期称为卓越周期。
由多层土组成的厚度很大的沉积层，当深部传来的剪切波通过它向地面传播时就会发生多次反射，由于波的叠加而增强，使长周期的波尤为卓越。
卓越周期的实质是波的共振，即当地震波的振动周期与地表岩土体的自振周期相同时，由于共振作用而使地表振动加强。
巨厚冲积层上低加速度的远震，可以使自振周期较长的高层建筑物遭受破坏的主要原因就是共振。
卓越周期分级卓越周期按地震记录统计得到，地基土随软硬程度的不同有不同的卓越周期，可划分为四级:一级——稳定基岩，卓越周期是0.1-0.2s，平均为0.15s。
二级——一般土层，卓越周期为0.21-0.4s，平均为0.27s。
三级为松软土层，卓越周期在二级和四级之间。
四级——为异常松软的土层，卓越周期为0.3-0.7s，平均为0.5s.几种周期及相关概念自振周期T:结构按某一振型完成一次自由振动所需的时间，是结构本身的动力特性，与结构的高度H、宽度B有关。
基本周期T1:是指结构按基本振型完成一次自由振动所需的时间。
基本振型:单质点体系在谐波的作用下的振型称为基本振型:任一地震波都可以分解为若干谐波的叠加，多质点体系按振型分解法计算地震作用时，可以简化为具有基本振型的等效单质点体系进行分析。
而对建筑结构而言，有时又称为主振型，一般是指每个主轴方向以平动为主的第一振型。
高阶振型:相对于低阶振型而言。
一般来说，低阶振型对结构振动的影响要大于高阶振型的影响。
对一般较规则的建筑物，选择的振型个数可以取其地震作用计算时的质点数(大多数情况下为楼层数)，若质点数较多时，根据计算结果可以只取前几个振型(即低阶振型)进行叠加。
几种周期的区分
结构基本周期、结构自振周期与设计特征周期、场地卓越周期之间的区别和联系。
结构基本周期:是指结构按基本振型完成一次自由振动所需的时间。
自振周期T：结构按某一振型完成一次自由振动所需的时间，是结构本身的动力特性，仅与结构的质量m、刚度系数k有关。
设计特征周期:是在抗震设计用的地震影响系数曲线中，反映地震震级、震中距和场地类别等因素的下降段起始点对应的周期值；场地卓越周期:是根据覆盖层厚度H和土层剪切波速VS按公式T0=4H/VS计算的周期，表示场地土最主要的振动特性。
卓越周期按地震记录统计得到，地基土随软硬程度的不同有不同的卓越周期，可划分为四级：一级——稳定基岩，卓越周期是0.1-0.2s，平均为0.15s。
二级——一般土层，卓越周期为0.21-0.4s，平均为0.27s。
三级为松软土层，卓越周期在二级和四级之间。
四级——为异常松软的土层，卓越周期为0.3-0.7s，平均为0.5s.特征周期Tg：即建筑场地自身的周期，是建筑物场地的地震动参数，在地震影响系数曲线中，水平段与下降段交点的横坐标，反映了地震震级，震源机制（包括震源深度）、震中距等地震本身方面的影响，同时也反映了场地的特性；如软弱土层的厚度，类型等场地类别等。
在抗震设计规范中，设计特征周期Tg与场地类别有关：场地类别越高（场地越软），Tg越大；地震震级越大、震中距离越远，Tg越大。
Tg越大，地震影响系数α的平台越宽，对于高层建筑或大跨度结构，基本周期较大，计算的地震作用越大。
剪切波速是指震动横波在土内的传播速度，单位是m/s。
可通过人为激震的方法产生震动波，在相隔一定距离处记录振动信号到达时间，以确定横波在土内的传播速度。
测试方法一般有单孔法、跨孔法等。
剪切波速是抗震区确定场地土类别的主要依据。
地震时，从震源发出的地震波在土层中传播时，经过不同性质地质界面的多次反射，将出现不同周期的地震波。
若某一周期的地震波与地基土层固有周期相近，由于共振的作用，这种地震波的振幅将得到放大，此周期称为卓越周期。
结构自振周期和自振振型
ui—将各质点的重力荷载视为水平荷载产生的位移（m） Gi—质点i的重力荷载(KN)
2、折算质量法
原理：在计算多质点体系的基本频率时， 用一个单质点体系代替原体系，使这个单质点 体系的自振周期与原体系的基本频率相等或接 近，这个单质点体系的质量就称为折算质量。 这个单质点体系的约束条件和刚度应与原体系 的完全相同。
T1 2 Meq
折算质量法计算结构的基本周期，常用于
将结构的分布质量或其他位置的质量等效为一单
质量模型。如将单厂的柱、墙、吊车梁等质量等
效到结构顶部，求出一个质量换算系数。
如将纵墙或柱的
me 0.25mL
质量折算到柱顶，求 出的换算系数为0.25。 m L
3、顶点位移法
当结构的质量沿高度均匀分布时，可将 结构简化为无限质点体系的悬臂杆，求出结 构的顶点位移，用顶点位移表示自振周期。
1
Umax 2
Gi ui
1
Tmax 2
mi (1ui )2
则有
1
g
mi ui mi ui2
,
用周期表示：
T1
T21 22g
2
g
mi um2 ,i u2 mi umi i ui
,T1
T21
2
Gi uGi 2 i ui 2 Gi uGi i ui
折算质量应根据替代原体系的单质点体系振 动时的最大动能等于原体系的最大动能的条件 确定。
由动能等效：T1max T2max
T1ma x
1 2
n
mi ( xi )2
i 1
T2 max
1 2
Meq ( xm )2
等效质量 Meq
结构自振周期和振型的计算课件
总结与展望
结构自振周期和振型计算的重要性：本课件介绍了结构自振周期和振型计算在工程领域中的重要性，包括地震工程、桥梁工程和高层建筑等。通过计算结构的自振周期和振型，可以更好地了解结构的动力特性和响应，为结构的优化设计提供依据。
新型计算方法的研究：随着科技的发展，未来将有更多的新型计算方法涌现。本课件展望了未来在结构自振周期和振型计算领域中可能出现的新型计算方法，如人工智能算法、高性能计算技术等。这些新型计算方法将为结构动力分析提供更高效、更精确的解决方案。
结构形式
质量分布不均的结构会导致较大的振动位移，影响振型的形成。
质量分布
刚度分布不均的结构会导致不同方向的弯曲和扭转运动，影响振型的形态。
刚度分布
04
结构自振周期和振型的计算实例
简单模型，理论推导
总结词
通过理论推导，计算简单结构的自振周期和振型，例如单层框架、多层框架等。
详细描述
利用结构动力学的基本公式，如质量矩阵、刚度矩阵等，推导出结构的自振周期和振型。
公式推导
以一栋简单的多层框架结构为例，计算其自振周期和振型，并与实验结果进行对比。
实例分析
复杂模型，数值方法
总结词
详细描述
数值建模
结果分析
采用数值方法，如有限元法、有限差分法等，计算复杂结构的自振周期和振型。
建立复杂结构的数值模型，包括各种材料属性和边界条件。
分析计算得到的自振周期和振型，并与实验结果进行对比，评估数值方法的精度和可靠性。
随着工程实践的不断发展，对结构自振周期和振型的计算和分析提出了更高的要求。
01
02
03
02
结构自振周期的基础知识
01
02
结构自振周期是衡量结构振动特性的重要参数，对于结构的抗震、抗风等性能分析具有重要意义。
自振频率和振型计算方法比较
结构自振频率和振型计算方法及各方法比较方法一：直接手算法即通过求解体系自由振动方程组，简单的表达为矩阵式：(K −w 2m )X =0 式中： K =[k 11k 12k21k 22⋯k 1n⋮⋱⋮k n1⋯k nn]；m =[m 1⋯0⋮⋱⋮0⋯m n ]；X =X 1⋮X n频率方程为：|K −w 2m |=0此法适用于结构自由度为1的情形，当结构自由度多于2或3时，运用此法就显得过于复杂。
方法二：矩阵迭代法矩阵迭代法又称Stodola 法，它是采用逐步逼近的计算方法来确定结构的频率和振型。
主振型的变形曲线可以看做是结构按照某一频率振动时，其上相应惯性力引起的静力变形曲线。
因此，结构按频率w 振动时，其上各质点的位移幅值将分别为： [X 1X 2⋮X n ]=w 2[δ11δ12δ21δ22⋯δ1n ⋮⋱⋮δn1⋯δnn]|m 1000⋱00m n|[X 1X 2⋮X n]或 X =w 2δmX 实际上 X =w 2K −1mX 可见柔度矩阵与刚度矩阵是互逆的，即δ=K −1。
该法的计算步骤：先假定一个振型带入上式等号右边，进行求解后得到w 2和其主振型的第一次近似值；再以第一次近似值代入上式进行计算，则可得到w 2和其主振型的第二次近似值；如此下去，直到前后两次的计算结果接近为止。
当一个振型求得后，则可利用振型的正交性，求出较高次的频率和振型。
该法的缺陷：由于在求解高频率及其主振型时，要利用已被求出的较低振型，故计算误差将随着振型的提高而增加。
采用该法计算较多自由度的体系频率和振型时，需要列出每一质点 的运动方程，并分别解方程组，因此质点较多时，此法较复杂。
方法三：能量法适用于求解多自由度体系的基本频率。
又称瑞雷法，是根据体系在振动过程中能量守恒的原理导出的，即一个无阻尼的弹性体系在自由振动时，在任意时刻的动能和变形位能之和保持不变。
亦即位移最大时的变形位能U max 等于位移最小时的动能T max 。
地震时的几种周期
地震发生时，由震源发出的地震波传至地表岩土体，迫使其振动，由于表层岩土体对不同周期的地震波有选择放大作用，某种岩土体总是以某种周期的波选择放大得尤为明显而突出，使地震记录图上的这种波记录得多而好。
这种周期即为该岩土体的特征周期，也叫做卓越周期。
由多层土组成的厚度很大的沉积层，当深部传来的剪切波通过它向地面传播时就会发生多次反射，由于波的叠加而增强，使长周期的波尤为卓越。
卓越周期的实质是波的共振，即当地震波的振动周期与地表岩土体的自振周期相同时，由于共振作用而使地表振动加强。
巨厚冲积层上低加速度的远震，可以使自振周期较长的高层建筑物遭受破坏的主要原因就是共振。
2. 几种周期及相关概念自振周期T：结构按某一振型完成一次自由振动所需的时间，是结构本身的动力特性，与结构的高度H、宽度B有关。
基本周期T1:是指结构按基本振型完成一次自由振动所需的时间。
基本振型：单质点体系在谐波的作用下的振型称为基本振型：任一地震波都可以分解为若干谐波的叠加，多质点体系按振型分解法计算地震作用时，可以简化为具有基本振型的等效单质点体系进行分析。
而对建筑结构而言，有时又称为主振型，一般是指每个主轴方向以平动为主的第一振型。
高阶振型：相对于低阶振型而言。
一般来说，低阶振型对结构振动的影响要大于高阶振型的影响。
对一般较规则的建筑物，选择的振型个数可以取其地震作用计算时的质点数（大多数情况下为楼层数），若质点数较多时，根据计算结果可以只取前几个振型（即低阶振型）进行叠加。
特征周期Tg：即建筑场地自身的周期，是建筑物场地的地震动参数，在地震影响系数曲线中，水平段与下降段交点的横坐标，反映了地震震级，震源机制（包括震源深度）、震中距等地震本身方面的影响，同时也反映了场地的特性；如软弱土层的厚度，类型等场地类别等。
在抗震设计规范中，设计特征周期Tg与场地类别有关：场地类别越高（场地越软），Tg越大；地震震级越大、震中距离越远，Tg越大。
2.3结构基本自振周期的计算
K 2 6 .145 10 3 1 .229 10 4
（2）计算结构自振周期
T 2
m 2
K
G g K
2
1000 9 .8 1 .229 10 3
0 .573 s
2
Ø二、多自由度体系的基本自振周期 （1）能量法：
T1 2 t
n
Gi
u
i
i 1
V 3 1960 kN V2 4900 kN
（2）计算各楼层处的水平位移
V1 7840kN
u 1 0 .03136 ( m ) u 2 0 .05586 ( m ) u 3 0 .07546 ( m )
（3）能量法计算基本自振周期
T1 2 t
n
G
iu
2
i
i 1
n
Giu i
i 1
2 0 .8 2940 0 .03136 2 2940 0 .05586 2 1960 0 .07546 2 2940 0 .03136 2940 0 .05586 2940 0 .07546
0 .3834 ( s )
7
§2.4 结构地震反应的时程分析法简述
直接动力分析理论---时程分析法
将实际地震加速度时程记录（简称地震记录 earthquakerecord）作为动荷载输入，进行结构的地震响应分析。
《抗震规范》规定：①特别不规则的建筑、②甲类建筑和下表 所列高度范围的高层建筑，应采用时程分析法进行多遇地震下 的补充计算，可取多条时程曲线计算结果的平均值与振型分解 反应谱法计算结果的较大值。
其他抗震墙 梁 轴压比小于0.15柱 轴压比不小于0.15柱 抗震墙 各类构件
受力状态
结构自振周期
场地土类别、结构自振周期、设计特征周期的概念解读常有众智平台朋友来询问场地土类别与地震力是什么关系，结构自振周期折减对结构的地震力有什么影响，设计特征周期是什么概念，土的卓越周期又是怎么回事，本文结合规范对这些内容进行了整理，对这几个概念的相关关系也做了一些论述，期望与大家一起交流学习，具体综述如下：一、场地土类别《建筑抗震设计规范》第4.1.6对场地土类别是这样划分的：建筑的场地类别，应根据土层等效剪切波速和场地覆盖层厚度按表4．1．6划分为四类，其中Ⅰ类分为Ⅰ0、Ⅰ1两个亚类。
当有可靠的剪切波速和覆盖层厚度且其值处于表4．1．6所列场地类别的分界线附近时，应允许按插值方法确定地震作用计算所用的特征周期。
《抗规》第4.1.4条、4.1.5条对场地覆盖层的厚度及图层的等效剪切波束分别作了规定。
相关概念：场地--工程群体所在地，具有相似的反应谱特征。
其范围相当于厂区、居民小区和自然村或不小于1.0km2的平面面积。
与震害的关系：土质愈软覆盖层厚度愈厚，建筑震害愈严重，反之愈轻，软弱土层对地震力具有放大作用。
历次大地震的经验表明，同样或相近的建筑，建造于Ⅰ类场地时震害较轻，建造于Ⅲ、Ⅳ类场地震害较重。
规范采取的相应措施：《抗规》第4.1.1条将场地划分为对建筑抗震有利、一般、不利和危险的地段。
具体设计时，结构设计师对不利地段，应提出避开要求；当无法避开时应采取有效的措施。
对危险地段，严禁建造甲、乙类的建筑，不应建造丙类的建筑。
另外《抗规》第3.3.2、4.1.8,、4.1.9对相关措施提出了严格要求，设计人员不应忽视。
二、结构自振周期概念：结构自振周期是结构按某一振型完成一次自由振动所需的时间，是结构本身固有的动力特性，只与自身质量及刚度有关，结构有几个振型就有几个自振周期，一一对应。
应用：结构越柔，自振周期越长，结构在地震作用下的加速度反应越小，即地震影响影响系数α越小，结构所受到的地震作用就越小。
周期、振型问题
1、《高层规程》3.2.6规定-----结构基本自振周期大致为：框架结构T1=(0.08~0.10)n, 框—剪和框—筒结构T1=(0.06~0.08)n 剪力墙和筒中筒结构T1=(0.05~0.06)n2、周期比即结构扭转为主的第一自振周期（也称第一扭振周期）Tt 与平动为主的第一自振周期（也称第一侧振周期）T1的比值。
周期比主要控制结构扭转效应，减小扭转对结构产生的不利影响，使结构的抗扭刚度不能太弱。
因为当两者接近时,由于振动藕连的影响,结构的扭转效应将明显增大。
2.2 相关规范条文的控制：[高规]4.3.5条规定，结构扭转为主的第一自振周期Tt与平动为主的第一自振周期T1之比（即周期比），A级高度高层建筑不应大于0.9；B级高度高层建筑、混合结构高层建筑及复杂高层建筑不应大于0.85。
[高规]5.1.13条规定，高层建筑结构计算振型数不应小于9,抗震计算时,宜考虑平扭藕连计算结构的扭转效应,振型数不小于15,对于多塔楼结构的振型数不应小于塔楼数的9倍,且计算振型数应使振型参与质量不小于总质量的90%。
2.3 电算结果的判别与调整要点: (1).计算结果详周期、地震力与振型输出文件。
因SATWE电算结果中并未直接给出周期比,故对于通常的规则单塔楼结构，需人工按如下步骤验算周期比: a）根据各振型的两个平动系数和一个扭转系数(三者之和等于1)判别各振型分别是扭转为主的振型（也称扭振振型）还是平动为主的振型（也称侧振振型）。
一般情况下，当扭转系数大于0.5时,可认为该振型是扭振振型,反之应为侧振振型。
当然，对某些极为复杂的结构还应结合主振型信息来进行判断；b）周期最长的扭振振型对应的就是第一扭振周期Tt，周期最长的侧振振型对应的就是第一侧振周期T1；c）计算Tt / T1，看是否超过0.9(0.85)。
对于多塔结构周期比，不能直接按上面的方法验算，这时应该将多塔结构分成多个单塔，按多个结构分别计算、分别验算(注意不是在同一结构中定义多塔，而是按塔分成多个结构)。
抗震设计讲座之结构自振周期的计算
y N (t )
y(t ) X i sin(it i )
速度为
(t ) X i i cos( y i t i )
y2 (t )
m1
y1 (t )
一、能量法计算基本周期 设体系按i振型作自由振动。 t时刻的位移为
mN
y N (t )
y(t ) X i sin(it i )
x1
M eq
x2 F / k1 F / k2 7.00105 1 / 10720
16.33105 m
能量法的结果为 T1=0.508s
x2
xm x2 16.3310 m
5
M eq
T1 2
m x
i 1 i 2 xm
n
2
i
400 (7 105 ) 2 300 (16.33105 ) 2 38.11t 9.8 （ 16.33105 ) 2
EI
q
悬臂杆的特解为 yi ( x, t ) X i ( x) sin
基本周期为
T1 1.78l 2
2 t Ti
m / EI
振型
重力作为水平荷载所引起的位移为
uT ql 4 / 8EI
q mg
m 8 uT 4 EI gl
T 1 1.6 uT
(2)体系按剪切振动时 框架结构可近似视为剪切型杆。
1 M eq (1 xm ) 2 2
mN
xn
M eq xm
m1
x1
单质点体系的最大动能为
T2 max
xm ---体系按第一振型振动时，相应于折算质点处的最大位移；
T1max T2 max
基于Matlab对结构自振周期和振型的求解
应谱法 ； 对质量和刚度不对称、 不均匀 的结构以及高度超过 １０ ０ ｍ的 根据瑞 雷 的建议 ， 沿 高层建筑结构应 采用 考虑 扭转耦 连振 动影 响 的振 型分 解反 应谱 于假定 的第一振 型与 真实振 型 的近似程 度 ， 振动方 向施 加等于体系荷重的静力作用 ， 由此 产生 的变形 曲线作 法； 高度不超过 ４ 以剪切 变形 为主且质量 和 刚度沿高度 分布 ０ｍ、 为体系的第 一振型可 得到满 意 的结果 。假 设各 质点 的重力 荷载 比较均 匀的高层 建筑结构 ， 可采用底部剪力法 。 Ｇｉ 水平作 用于相应质点 ｍ 产生 的弹性变形 曲线为基 本振 型 ， 上 当采 用振型分解反应 谱法计算结构水平 地震作用标准值 时 ， 的水平 位移。根 据能量守恒原理 ， 可得体系基本 需要求得结构 的 多个 （ 至少 ３ ） 个 主振 型 及其 相 应 的 白振 周期 。 图中 为 质点 ｉ 周期 的近似计算公式 ： 即使是采用最简单 的底部 剪力法 也需 首先 知道结 构 的基本 自振
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１ ・ ６
第３ ３卷 第 ３期 ２０ ７年 １月 ０
山 西 建 筑
ＳＨＡＮＸＩ ＡＲＣＨｒｎ ｎ 琅 Ｅ
Ｖｌ． ３ Ｎｏ． ０ ３ １ ３
Ｊｎ ２ ０ ａ． ０７
通过实测手段测得某 一类型结构物 的 自振周期 ， 归纳总结 出 某个规 律 ， 即得到经验公式 。这类 方法也有 局限性 和误 差。一方 面， 经验公式只能用 于特定 类型 的结 构 ， 况稍 有变化 就会 产生 情 偏差 。另一 方面 ， 由于实测周期 大都采 用脉 动法 ， 是反 映结 构在 很微小变形下 的动力特 性 ， 测得 的周期 都 比较短 ， 如果 激振 力加 大结构周 期就会 加长 。在地 震作 用下 ， 随着地 震烈度 不 同， 房屋 会 有不 同程度的开裂或破坏 ， 刚度 降低 ， 自振周期更会加长 。
结构力学应用-结构动力学
（小阻尼） 令
有阻尼的自振频率
1
2
y(t ) e
t
y0 y0 ( y0 cos t sin t )
*写成
y(t ) b e
2 0
t
sin(t )
(14-12)
y0 y0 2 其中 b y ( )
柔度法（力法）
MY KY 0 MY Y 0
10、按柔度法求解
振型方程： ([ ][ 2 [ 1 M ]){Y } 00} ([ I ] M ] ][ [ I ]){Y } { 2 频率（特征）方程
D [ ][ M ] [ I ] 0
y0 tg y0 y0
位移－时间曲线如图示：
阻尼比——阻尼的基本参数： a.阻尼对频率（周期）的影响
k
2m
1 2
T T 1 2 T
0.2
T T
b、阻尼对振幅的影响
be
t
——振幅随时间逐渐衰减
11m1
1
12 m2
(k )
0 0
(14 63)
{Y }
(k )
Y1 Y2
(k )
11m1 k 12 m2
12 m2
k2
（k=1、2）
结构的刚度和质量分布 ——对称 其主振型 ——对称、反对称 计算自振频率： ——分别就正、反对称情况 ——取半跨结构计算 ——两个单自由度问题计算 显然，振型分别为： [1 1]T、[1 -1]T
1
0.2,
yn ln 2 j yn j 相隔j个周期： 1
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体系的最大位能：
1
多质点体系 Umax 2 F max
xn (t)
1 {X }T [K ]{X }
xi (t)
2
体系的最大动能：
多质点体系
Tmax
1 2
vmax
m
1 2{ X }T [M ]{ X }
2
体系按基本频率1作自由振动，相应的基本振型取一 种近似形式，即假设各质点的重力荷载Gi作为水平作用产 生的弹性变形曲线.
弯剪型
T1 1.7 T
顶点位移 单位为米,
可用于计算一般多高层框架结构的基本周期，顶点位移 的计算，按照框架在集中于楼盖的重力荷载作为水平作用产 生的顶点位移.
弯曲型
剪切型
弯剪型
弯曲型变形：以弯矩产生的变形为主，如剪力墙结构
剪切型变形：以剪力产生的变形为主，如框架结构
弯剪型变形：弯矩、剪力产生的变形都不能忽略，如
Gn
Gi
G2
G1
Gn
un
Gi
ui
G2
u2
G1
u1
u2
u1
ui
un
在振动过程中xi (，t) 质 u点i sii的n(瞬1t时位1移) 为xi (t) ui sin(1t 1 ) 速度为 xi (t ) ui1 cos(1t 1 ) xi (t ) ui1 cos(1t
1
Umax 2
由动能等效：T1max T2max
T1ma x
1 2
n i 1
mi ( xi )2
T2 max
1 2
Meq ( xm )2
等效质量 Meq
mi xi2 xm2
最后得到基频 k
M eq
T1 2 Meq
折算质量法计算结构的基本周期，常用于
将结构的分布质量或其他位置的质量等效为一单
质量模型。如将单厂的柱、墙、吊车梁等质量等
四、 结构自振周期和振型的计算
在进行结构的地震作用计算时，必须求出结 构的自振周期和振型，在进行最简单的计算（底 部剪力法）时，也要计算结构的基本周期。
结构自振周期的计算方法有： 1、理论与近似的计算 2、经验公式 3、试验方法等
(一)、理论与近似计算方法
1、近似方法1——能量法（Rayleigh法） 原理：能量守恒 一个无阻尼的弹性体系在自由振动中任何时
框架—剪力墙结构。
4、矩阵迭代法（略）
(二)、经验公式
剪力墙结构体系 TT11 00..0055NN 框—剪结构体系 TT11 00..006655NN
一般砖混结构的周期为0.3s左右。
(三)、试验方法 1、自由振动法 2、共振法
N为建筑 的层数。
Gi ui
1
Tmax 2
mi (1ui )2
则有
1
g
mi ui mi ui2
,
用周期表示：
T1
T21 22g
2
g
mi um2 ,i u2 mi umi i ui
,T1
T21 2
Gi uGi 2 i ui 2 Gi uGi i ui
ui—将各质点的重力荷载视为水平荷载产生的位移（m） Gi—质点i的重力荷载(KN)
刻的总能量（位能与动能之和）不变。
当体系的位移最大时，位能最T大ma为x Umax ,
动能为0。
当体系的速度最大时，动能最大为 Tmax Umax ,
位能为0。
则有： Tmax Umax ,
已知体系无阻尼自由振动的位移和速度为：
{x(t)} {X}sin(t ) {x(t)} {X}cos(t )
2、折算质量法
原理：在计算多质点体系的基本频率时， 用一个单质点体系代替原体系，使这个单质点 体系的自振周期与原体系的基本频率相等或接 近，这个单质点体系的质量就称为折算质量。 这个单质点体系的约束条件和刚度应与原体系 的完全相同。
折算质量应根据替代原体系的单质点体系振 动时的最大动能等于原体系的最大动能的条件 确定。
效到结构顶部，求出一个质量换算系数。
如将纵墙或柱的
me 0.25mL
质量折算到柱顶，求 出的换算系数为0.25。 m L
3、顶点位移法
当结构的质量沿高度均匀分布时，可将 结构简化为无限质点体系的悬臂杆，求出结 构的顶点位移，用顶点位移表示自振周期。
体系按弯曲振动时 T1 1.6 T
剪切型
T1 1.8 T