三角形全等之截长补短(讲义及答案).docx

三角形全等之截长补短（讲义）

>课前预习

1.尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：

（1）已知线段d, b（Q>b）,作一条线段，使它等于G+b.

I a i

b

（2）已知线段a, b 5>b）,作一条线段，使它等于a-b・

I °I

h .

2.想一想，证一证

已知：如图，射线BM平分Z ABC,点P为射线上一点，PD丄BC于点D BD二AB+CD,过点P作PE丄BA于点E.

求证：Afi4E^APCD・

>知识点睛

截长补短：

题目中出现___________________________ 时，考虑截长补短；截长补短的作

用是_____________________________________

＞精讲精练

1. 已知：如图，在AABC 中，Z1 = Z2, ZB=2ZC. 求证：AC=AB+BD.

2.如图，在四边形ABCD屮，ZA=ZB=90°，点E为AB边上一点,且DE平分

ZADC, CE平分乙BCD・

求证：CD=AD+BC・

3.已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB, ZB=ZD=ZBAD=90°f E, F分别为

CD, BC边上的点，且ZEAF=45。，连接EF・

求证：EF=BF+DE.

4.已知：如图，在△ABC屮，ZABC=60°, △ABC的角平分线AD f CE交于点0・

求证：AC=AE+CD.

C

B

5.已知：如图，在AABC 中，ZA=90°, AB=AC,平分ZABC, CE丄BD 交BD的

延长线于点E.

求证：CE=-BD.

A

【参考答案】

＞课前预习

1.略

2.证明：如图

•: BM平分ZABC, PD丄BC, PEA.BA

:.PE=PD, Z PEB= Z PDB= Z PDC=90°在RtAPBE 和RtAPBD 中，[PE = PD

\PB = PB

・".RtAPBE^RtAPBO (HL)

:.BE=BD

・・• BE二AB+AE

BD 二AB+CD

:.AE=CD

在和△PCD中

AE = CD

＜ZPEA = ZPDC

PE = PD

:.'PAEQ'PCD (SAS)

＞知识点睛

线段间的和差倍分；

把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系.

＞精讲精练

1.补短法：

证明：如图，延长AB到E,使BE=BD,连接DE・

AZE=Z3

T ZABC是的一个外角••• ZABC=ZE+Z3 :.ZABC=2ZE

T ZABC=2ZC

A

1 B/

/ /

:.ZE=ZC

在△人。£和厶ADC 屮ZE = ZC

Z1 = Z2

AD = AD

:./\ADE^/\ADC (AAS)

:.AE=AC :.AC=AB+BE

=AB+BD 截长法：

证明：如图，在AC 上截取AF=AB,连接DF ・ 在△ABD 和中 人

严肚

1 2

< Z1 = Z2 AD = AD

:.HABD9HAFD (SAS) B D

:.ZB=ZAFD, BD=FD ZB=2ZC :.ZAFD=2ZC

・・・ZAFD 是ADFC 的一个外角 ・•・ ZAFD=ZC + ZFDC

:.ZFDC=ZC

・•・DF=FC

:.BD=FC :.AC=AF+FC

=AB+BD

TDE 平分ZADC, CE 平分上BCD AZ1 = Z2, Z3=Z4 在和中 AD = FD < Z1 = Z2 DE = DE :.(SAS)

・•・ ZA=ZDFE

J ZA=ZB=90°

・・・ Z DFE= Z CFE= Z B=90° 在△CFE 和

ACBE 中 ZCFE = ZB < Z3 = Z4

CE = CE /. ACEF^ACBE (AAS)

2. 证明：如图，在DC 上截取DF=DA,连接EF ・ C

・・・CF=CB

:.CD=DF+FC

=AD+BC

3.证明：如图，延长FB到G,使BG=DE,连接AG ・

・・・ ZABC=ZD=90°

:.ZABG=ZD=90°

在△ABG 和中

AB = AD

BG = DE 」

:.△ABG竺/\ADE (SAS ) G

AZ3=Z2, AG=AE

I ZBAD=Z \ + Z2+ZEAF

=90°

ZEAF=45。

AZ1 + Z2=45°

AZ1 + Z3=45°

即：ZGAF=ZEAF=45°

在和AGAF中

AE = AG

AF = AF

A AEAF^AGAF (SAS)

・•・EF=GF

:.EF=B®BF二BF+DE

4.证明：如图，在AC上截取AF二AE,连接OF.

TAD CE分别是的角平分线

AZ1=Z2, Z3=Z4 在△AEO和

B △AFO中

AE = AF

AO = AO

:.(SAS)

AZ5=Z6

在中，ZB二60。•••Z1 +

Z2+Z3+Z4二120。A Z 2+Z 3=60°