第2章 信号处理中常用的数学变换

左边无限长序列
双边无限长序列
思考：什么信号的z变换的收敛域是整个z平面？
Z变换的收敛域
• Z变换的收敛 对于任意给定的序列 ，使其Z变换收敛的所有 域 x ( n)
z值的集合称为 的收敛域。 X ( z) 其收敛的充要条件是满足绝对可和条件，即：
n


x ( n) z n
1 1 1 收敛 不定 发散
注意：
z X ( z) za
z a
z X ( z) za
za
Z变换的定义
例3：求序列 x (n)= 解： X ( z) (1/3)|n| 的Z变换。
1 n n ( ) z ( 3) z 1 n 3 n n 0 1
j Im[ z ]
Z平面
n
( ) z
2
叶变换不存在，可将其展开为傅立叶级数：
现利用

函数 将 x(t ) 作傅立叶变换：



x(t )e
jt
dt [e


j ( 0 ) t
e
j ( 0 ) t
]dt
( 0 ) ( 0 )
FS
X (k 0 )
1/ 2 1/ 2
Z变换的性质与定理
• 序列相乘（复卷积定 设 Z [ x(n)] X ( z ) Rx z R x 理）
返回
Z [h(n)] H ( z ) Rh z R h 1 z 1 则 Z [ x(n)h(n)] X ( ) H ( v ) v dv Rh Rx z Rx Rh c 2j v
1. 对应连续非周期 2. 连续
对应连续周期； 离散
3.
密度
强度
FT存在的必要条件： 说法1：
x(t ) L1
X ( j)
说法2： 因为



x(t )e
j t
dt


x (t ) dt
x(t ) L2

Ex

x(t ) dt [
2


x(t ) dt ]
线
1
0
X ( j)
1
k0
谱
FT

0

0
0

2.1.2 傅里叶积分
• 表达式是—
• 傅里叶积分存在的条件是x（t）分段连 续，且在区间内绝对可积。
2.1.3 傅里叶变换
（一）定义
DTFT和Z变换的关系！
（二）特点
1. x(n) 是离散的，所以变换需要求和；
j X ( e )是 2. j X ( e 3.
n z 1
• 卷积定理
设 Z [ x(n)] X ( z )
Rx z R x
返回
Z [h(n)] H ( z ) Rh z R h 则 Z[ x(n) h(n)] X ( z ) H ( z ) R z R 其中 R max[ Rx , R h ] R min[ Rx , R h ]
的连续函数； ) 是 的周期函数，周期为 2
；
4. X (e )存在的条件是
j
x(n) l1 空间
5. DTFT
j X ( e ) 在频域展开为傅立叶 可以看作是将
级数，傅立叶系数即是 x(n) ； 6.
是 z 在单位圆上取值时的 z 变换：
j X ( e ) 可以得到 x(n) 的幅度谱、 7. 由
返回
• 序列的共轭
• Z域微分性
若
则
Z变换的性质与定理
• 初值定理
若x(n)为因果序列，它的初值为：
x(0) lim X ( z )
z
• 终值定理
若x(n)为因果序列，且其Z变换的极点除在z=1处可以 有一个一阶极点外，其它极点均在单位圆内，则有：
lim x(n) lim ( z 1) X ( z )
z 平面
Re[ z ]
Im[ z]
r 1
0
Re[ z ]
0
4 f s 2 f s
j
s 平面
0
z 平面
Im[ z]
r
0
2 f s 4 f s


Re[ z ]
fs s
2
1
fs 2 s 2
0 0
fs 2 s 2
fs s
2
1
f


0.5
0 0

0.5

第2章 信号处理中常用的数学变换
• • • • 2.1 2.2 2.3 2.4 傅里叶变换 拉普拉斯变换 Z变换 希尔伯特变换
2.1 傅里叶变换
•
• • •
2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4
傅里叶级数 傅里叶积分 傅里叶变换 卷积与相关函数
2.1.1
傅里叶级数
1. 傅立叶级数
FS
傅立叶系数 X (k 0 ) 是第 k 次谐波的系数，所以
所以 频域：

j
s j
ห้องสมุดไป่ตู้
s 平面
0


Fourier 变换
所以，傅里叶变换是 值的拉普拉斯变换。
s
仅在虚轴上取
对离散信号，可否做拉普拉斯变换
L
令：
则：
拉普拉斯变换
离散信号 的 z 变换
对应连续信号
对应离散信号
z
变换
得到：

s与z
离散时间序列的 傅里叶变换， DTFT
Im[ z]
z 平面
属于功率信号；
非周期信号：可以实现傅里叶变换，
属于能量信号；
那么，周期信号可否实现傅里叶变换
在经典数学的意义上是不可实现的，
但在引入了奇异函数后可以实现。
周期信号
FS
例：令 x(t ) cos(2 f 0t ) 求其傅立叶变换。
因为： x(t ) dt 所以，严格意义上的傅立
根据级数收敛的阿贝尔定理
lim
n
an
n
对于不同的序列 x(n) ，可求得相应的收敛域。
Z变换的收敛域
• 收敛域内不包含任何极点，在极点处， X(z)为无穷大，Z变换不收敛。 • 有限长序列的收敛域为整个Z平面, 可能 除开z=0, z=。
– 右边有限长序列： X(z)=x(1)z-1+ x(2)z2+···· |z|>0 – 左边有限长序列： X(z)=x(-1)z1+x(2)z2+···· |z|<
2. 移位
3. 奇偶、虚实性质
如果 x(n) 是实信号，即
如果 x(n) 是实偶信号，即
j X ( e ) 是 则

的实函数！
4. 如果
则：
5. 如果 则：
时域卷积定理
频域卷积定理！
2.1.4 卷积与相关函数 互相关：
DTFT
自相关： 自相关函数的 DTFT 始终是 的实函数！
2.2 拉普拉斯变换
收敛域
若 a = 1, 则
u ( n)
z z 1
| z | 1
例2：
{
X ( z) a z
n 1 n n
其他
1 (a z )
1 n 0

n
1 z 1 1 1 a z z a 1 ROC : a z 1, z a
ROC:
za
2
因为
Ex


x(t ) dt [
2


x(t ) dt ]
2
所以，如果 x(t ) 是绝对可积的，那么它一定 是平方可积的，但是反之不一定成立。例如，
sin 2 t x(t ) t
是平方可积的，但不是绝对可积的。所以，取
x(t ) L2 更稳妥（即更严格）。
周期信号： 可以实现傅里叶级数的分解，
Z变换的性质与定理
• 序列的反褶
若 Z [ x(n)] X ( z ) Rx z R x 则 Z [ x(n)] X ( z 1 ) 1 / Rx z 1 / R x 若 Z [ x(n)] X ( z ) Rx z R x 则 Z [ x (n)] X ( z ) Rx z R x Z [ x(n)] X ( z ) Rx z R x dX ( z ) Z [nx(n)] z Rx z R x dz
相位谱及能量谱，从而实现离散信号的频 频分析；
8. 反变换
四种傅立叶变换:
1. 2. 3. 连续非周期 连续周期 离散非周期 连续非周期() FT
离散非周期 () FS 连续周期（ ） DTFT
4.
离散周期
离散周期
DFS
切实理解四种FT之间的对应关系
四种傅立叶变换
（三）性质
1. 线性
• 序列的移位
若 Z[ x(n)] X ( z) Rx z R x 则 Z[ x(n n0 )] z n0 X ( z ) Rx z R x 若 Z[ x(n)] X ( z ) Rx z R x
返回
• 序列乘指数序列（尺度性）
则 Z [a n x(n)] X (a 1 z ) a Rx z a R x
当 n 0 时，只有一个单阶极点z=a, 其围线积分为：
n0
当n<0时，被积函数在围线内除了在z=a处有一个单 阶极点，在z=0处为高阶极点，因为这时在围线外 X(z)zn-1只有一个单极点z=a-1 ，因此有:
a|n| x ( n) 1 a2
2.3.2
• 线性性
Z变换的性质
Rx z R x
f
k
2 k N
0
N 1
例1：求序列 x (n)= an u(n) 的Z变换。
j Im[ z ]
解： X ( z )
n
a u ( n) z
n

n
a n ( ) n 0 z
0

Z平面
a
Re[ z ]
为保证收敛，则
a 1 z
或 | z || a |
X ( z) 1 z 1 ( a za z) | z | | a |
1 n 3

n


n
0
n 1 n (1 z ) ( 3z ) 3 n 1 n 0

1 3

Re[ z ]
3
收敛域
z |z|<3时，第一项收敛于 ，对应于左边序列。 z 3 z |z|>1/3时，第二项收敛于 ，对应于右边序列。 1 z3 8 z z 1 3 z 当 | z | 3 时： X ( z ) 1 3 z 3 z 3 ( z 3)( z 1 3)
返回
设 Z [ x(n)] X ( z )
Z [ y (n)] Y ( z ) Ry z R y 则 Z[ax(n) by(n)] aX ( z ) bY ( z ) R z R 其中 R max[ Rx , R y ] R min[ Rx , R y ]
0 n n j
所以，收敛域在圆内。
n
n 0
• 如果是双边序列，收敛域由圆环组成。 j Im[ z ]
j Im[ z ] j Im[ z ]
0
Re[ z ]
收敛域
0
Re[ z ]
0
Re[ z ]
收敛域 右边序列的收敛域 左边序列的收敛域
收敛域 双边序列的收敛域
逆Z变换
n 1 a n x(n) Re s[ z , a] 1 a( z a)( z a ) 1 a2
X ( z ) x(n) z x(n) |z|= e 越大收敛越快。 • 如果是右边序列，并且 位于收敛域 内，那么， |z|>也位于收敛域内。 所以，收敛域在圆外。
n n j n 0 n 0
Z变换的收敛域
• 如果是左边序列，并且|z|=位于收敛域 内，那么， 0<|z|< 的全部 z 值也位于 X ( z ) x ( n) z x ( n) e 收敛域内。
零点：0，极点：3，1/3
1.
右边有限长序列
X ( z)
n N1
x(n) z
N2
n
1 1 x( N1 ) N1 x( N2 ) N2 z z
ROC： 2. ROC:
z0
双边有限长序列
z 0, z
3.
ROC: 4. ROC： 5. ROC:
右边无限长序列
•
• •
2.2.1 拉普拉斯变换的概念 2.2.2 拉普拉斯变换的性质 2.2.3 拉普拉斯变换的应用
2.3 Z变换
• • • 2.3.1 离散时间序列与Z变换 2.3.2 Z变换的性质 2.3.3 Z逆变换
2.3.1 离散时间序列与Z变换
时域： 复频域：
Laplace 变换
j
0
s 平面

因为
X (k 0 ) 在频率坐标轴上是离散的，间隔是
A

0 。
x(t )

0
T
2 2
T
t
X (k 0 )
k0
2. 傅立叶变换：
FT
FS：
若 x(t ) 是非周期信号，可以认为：
由 有
频 谱 密 度
A

x(t )

0
T
2 2
T
t
k0


A x(t )
t


2
0

2

请深刻理解FS和FT的定义，及 它们的区别与联系！