时间序列分析案例

《时间序列分析》案例案例名称：时间序列分析在经济预测中的应用内容要求：确定性与随机性时间序列之比较设计作者：许启发，王艳明设计时间：2003年8月案例四：时间序列分析在经济预测中的应用一、案例简介为了配合《统计学》课程时间序列分析部分的课堂教学，提高学生运用统计分析方法解决实际问题的能力，我们组织了一次案例教学，其内容是：对烟台市的未来经济发展状况作一预测分析，数据取烟台市1949—1998年国内生产总值（GDP）的年度数据，并以此为依据建立预测模型，对1999年和2000年的国内生产总值作出预测并检验其预测效果。

国内生产总值是指一个国家或地区所有常住单位在一定时期内生产活动的最终成果，是反映国民经济活动最重要的经济指标之一，科学地预测该指标，对制定经济发展目标以及与之相配套的方针政策具有重要的理论与实际意义。

在组织实施时，我们首先将数据资料印发给学生，并讲清本案例的教学目的与要求，明确案例所涉及的教学内容；然后给学生一段时间，由学生根据资料，运用不同的方法进行预测分析，并确定具体的讨论日期；在课堂讨论时让学生自由发言，阐述自己的观点；最后，由主持教师作点评发言，取得了良好的教学效果。

经济预测是研究客观经济过程未来一定时期的发展变化趋势，其目的在于通过对客观经济现象历史规律的探讨和现状的研究，求得对未来经济活动的了解，以确定社会经济活动的发展水平，为决策提供依据。

时间序列分析预测法，首先将预测目标的历史数据按照时间的先后顺序排列，然后分析它随时间的变化趋势及自身的统计规律，外推得到预测目标的未来取值。

它与回归分析预测法的最大区别在于：该方法可以根据单个变量的取值对其自身的变动进行预测，无须添加任何的辅助信息。

本案例的最大特色在于：它汇集了统计学原理中的时间序列分析这一章节的所有知识点，通过本案例的教学，可以把不同的时间序列分析方法进行综合的比较，便于学生更好地掌握本章的内容。

二、案例的目的与要求（一）教学目的1．通过本案例的教学，使学生认识到时间序列分析方法在实际工作中应用的必要性和可能性；2．本案例将时间序列分析中的水平指标、速度指标、长期趋势的测定等内容有机的结合在一起，以巩固学生所学的课本知识，深化学生对课本知识的理解；3．本案例是对烟台市的国内生产总值数据进行预测，通过对实证结果的比较和分析，使学生认识到对同一问题的解决，可以采取不同的方法，根据约束条件，从中选择一种合适的预测方法；4．通过本案例的教学，让学生掌握EXCEL软件在时间序列分析中的应用，对统计、计量分析软件SPSS或Eviews等有一个初步的了解；5．通过本案例的教学，有助于提高学生运用所学知识和方法分析解决问题的能力、合作共事的能力和沟通交流的能力。

（二）教学要求1．学生必须具备相应的时间序列分析的基本理论知识；2．学生必须熟悉相应的预测方法和具备一定的数据处理能力；3．学生以主角身份积极地参与到案例分析中来，主动地分析和解决案例中的问题；4．在提出解决问题的方案之前，学生可以根据提供的样本数据，自己选择不同的统计分析方法，对这一案例进行预测，比较不同预测方法的异同，提出若干可供选择的方案；5．学生必须提交完整的分析报告。

分析报告的内容应包括：选题的目的及意义、使用数据的特征及其说明、采用的预测方法及其优劣、预测结果及其评价、有待于进一步改进的思路或需要进一步研究的问题。

三、数据搜集与处理时间序列数据按照不同的分类标准可以划分为不同的类型，最常见的有：年度数据、季度数据、月度数据。

本案例主要讨论对年度数据如何进行预测分析。

考虑到案例设计时的侧重点，本案例只是对烟台市国内生产总值进行预测，故数据的搜集与处理过程相对简单。

我们通过查阅《烟台统计年鉴》、《烟台五十年》等有关的资料获得烟台市1949—2000年共52年的国内生产总值资料数据（原始数据详见表3）。

该指标是反映国民经济发展情况最重要的指标之一，我们选择该指标进行预测具有较强的实用价值。

此外，预测的方法具有普遍的适用性，使用者也可以将其应用于其它的研究领域。

资料数据是预测的依据和基础，一般是根据确定的预测目标及影响因素搜集有关的资料和数据，并结合初步拟定的预测模型，对所搜集的数据进行分析和处理，然后再选取适当的预测模型。

我们可以将整个数据处理过程概括如下，见图1。

121．211949年—1998对烟台市1999。

教师点评：①平均增长量法不仅得到了烟台市1999年、2000年GDP数据的预测值，而且还让学生认识到平均增长量预测法中水平法与总和法的区别所在，图1较明显地反映出平均增长量水平[1] 1999年为8006600万元，2000年为8795900万元。

法与累计法计算的区别，即水平法仅考虑首尾年份的数值，而不考虑中间年份的数值变化，因而有n a n a =∆-+)1(0；②而总和法则考虑了整个样本区间上的总体变化情况，有∑==∆+++∆++∆+ni i a n a a a 1000)()2()( ，图2中A 的面积和B 的面积应该相等。

2．平均发展速度法该方法就是利用时间序列资料计算出它的平均发展速度，然后再假定在以后各期当中，它仍按这样一个平均发展速度去变化，从而得出时间序列的预测值。

我们计算出GDP 在1949年—1998年间的平均发展速度为%（几何法）和%（方程法）[2]，利用其对烟台市1999年和2000年的GDP 进行预测得到结果见表2。

表2 平均发展速度法预测结果教师点评：①同平均增长量的计算方法一样，平均发展速度的计算方法也有两种，其中几何法也只是考虑起始年份的取值，有n n X a a 0=，而方程式法则要考虑到整个年份取值的变化，有∑==+++ni i n a X a X a X a 10200 ，方程式法的内插预测曲线与原始曲线所夹的面积A 和面积B 也相等；②在方程式法计算中，计算平均增长速度可以采取试错法（让学生尝试着编写小的循环程序求解）或插值法；③同平均增长量的计算一样，平均发展速度的计算方法也有两种，其中几何法也只是考虑起始年份的取值，而方程法则要考虑到整个年份取值的变化；④由预测的结果可以看出，无论是平均增长量法还是平均发展速度法只适于作短期预测，否则预测相对误差会显着提高。

3．移动平均法[2]在该问题中几何法与方程法计算出的平均发展速度差别不大。

图3 由平均发展速度推算出的时间序列变化图移动平均法是根据时间序列资料，采取逐项移动平均的办法，计算一定项数的序时平均数，以反映长期趋势的方法。

移动平均法主要有简单移动平均法、加权移动平均法、趋势移动平均法等。

这里主要介绍简单移动平均法。

记11,t t t N t y y y M t N N--++++=≥为t 期移动平均数；N 为移动平均项数。

由于移动平均可以平滑数据，消除周期变动和不规则变动的影响，使长期趋势显示出来，可以利用其进行外推预测。

预测公式为：1ˆt t yM +=，即以第t 期移动平均数作为第t ＋1期的预测值。

表3 移动平均预测结果由图4，我们可以得出这样的结论：移动平均法对原始序列产生了一个修匀作用，并且移动平均所使用的间隔期越长，即N 越大，修匀的程度也越大，但对原始数据的反应越不灵敏；反之，则反是。

为此，我们需要依据误差分析选择间隔时期N ，结果见表4。

表4 烟台市GDP 移动平均预测法的误差分析由表4中的分析可知，在N=3时产生的误差较小，因此，选定N=3进行预测，得到1999年烟台市GDP 的预测值为万元。

教师点评：①简单移动平均法只适合作近期预测，且如果目标发展的影响因素发生较大的变化，采用简单移动平均法就会产生较大的预测偏差和滞后；②移动平均法会损失一部分数据，因而需要的数据量较大；③移动平均法对所平均的N 个数据等权看待，而对t N -期以前的数据则完全不考虑，这往往不符合实际。

4．指数平滑法指数平滑法是移动平均法的改进和发展，它既不需要存储很多历史数据，又考虑了各期数据的重要性，且使用了全部历史资料。

指数平滑的计算公式为：)1(1)1()1(--+=t t t S a ay S ，其中：a 为权数，)1(t S 为一阶指数平滑值。

二阶指数平滑就是在一阶指数平滑的基础上再进行一次指数平滑，高阶的依此类推。

由于指数平滑存在着滞后现象，因此，无论一次指数平滑或二次、三次指数平滑图4 烟台市GDP 的移动平均预测曲线值[3]（数据略），都不宜直接作为预测值。

但可以利用它来修匀时间序列，以获得时间序列的变化趋势，从而建立预测模型。

由相应的指数平滑数值，可以建立如下的指数平滑二次曲线趋势预测模型。

其中(1)(2)(3)(1)(2)(3)22(1)(2)(3)233[(65)2(54)(43)]2(1)[2]2(1)t t t t t t t t t t t t a S S S a b a S a S a S a a c S S S a ⎧⎪=-+⎪⎪⎪=---+-⎨-⎪⎪⎪=-+-⎪⎩， )1(tS 、)2(tS 、)3(tS 为当前时间点处的一次、二次、三次指数平滑值，l 为预测时段长。

为了预测烟台市1999年和2000年的国内生产总值，可以取t=49，l 分别取1和2。

由指数平滑数值可计算出：49a =，21b =，21c =，故得二次曲线指数平滑预测模型为：24917.29470462.93686518.7583559ˆl l P D G l⨯+⨯+=+ （1）分别令l =1、l =2得预测结果见表5。

表5 指数平滑预测结果教师点评：①在作指数平滑时，涉及到初始值和权数a 的选取问题，不同的取值导致结果各不相同；②由于指数平滑法也存在着严重的滞后现象，所以直接用平滑值去预测未来值会带来较大的误差，当建立指数平滑模型进行预测时，就会大大地减少预测误差。

5．曲线拟合法多项式曲线拟合法亦称趋势拟合法或时间回归法，该方法根据时间序列随时间变化趋势，运用LS 拟合一条曲线，而后利用该曲线随时间变化规律对时间序列的未来取值进行预测。

我们根据烟台市GDP （1949—1998）资料拟合出如下曲线：GDP=+××T 2+××T 4+×T 5R 2=。

这里T 为趋势项（1949年取值为0，以后每隔一年递增1），各估计参数均通过了显着性检验。

GDP 的实际值、拟合值和拟合残差如图5所示，图5表明曲线较好地拟合了数据的动态变化规律，拟合程度达到了%。

现在我们就用它来对GDP 的未来取值进行预测，结果见表6。

[3]在具体计算时，取3.0=a ，182631949)3(0)2(0)1(0====GDP S S S 。

表6 曲线拟合预测结果教师点评：①拟合曲线类型的选取。

在进行曲线拟合时，我们可以选取多项式曲线、指数曲线、对数曲线和增长曲线等，这里只是拟合了其中的多项式曲线，对于其它类型曲线留给学生课后讨论；②多项式曲线阶数的选取。