线性代数题目及解析

一. 判断题（正确打√，错误打×）1若s α不能由121,,,-s ααα 线性表示，则s ααα,,,21 线性无关. (×) 解答：反例：取01=α，02≠α，则2α不能由1α线性表示，但21,αα线性相关.2. 如果β可由321,,ααα唯一线性表示,则321,,ααα线性无关.(√) 解答：向量β能由向量组A 唯一线性表示的充分必要条件是m R R m m ==),,,(),,,,(2121αααβααα ； 所以3),,(321=αααR ，所以321,,ααα线性无关. 3. 向量组的秩就是它的极大线性无关组的个数.(×)解答：正确结论：向量组的秩就是它的极大线性无关组所含向量的个数. 4. 若向量组γβα,,只有一个极大无关组，则γβα,,线性无关. (×) 解答：反例：取0,0==≠γβα，则向量组γβα,,只有一个极大无关 组α，但γβα,,线性相关.正确命题：若γβα,,线性无关，则γβα,,只有一个极大无关组. 二. 单项选择题1.设向量组（1）:321,,ααα与向量组（2）:21,ββ等价，则( A ). （A ） 向量组（1）线性相关; （B ）向量组（2）线性无关; （C ）向量组（1）线性无关; （D ）向量组（2）线性相关.解答：因为等价的向量组具有相同的秩，所以32),(),,(21321<≤=ββαααR R ，所以向量组（1）线性相关. 2. 3维向量组1234,,,αααα中任意3个向量都线性无关，则向量组中（A ）（A ）每一个向量都能由其余三个向量线性表示; （B ）只有一个向量能由其余三个向量线性表示; （C ）只有一个向量不能由其余三个向量线性表示; （D ）每一个向量都不能能由其余三个向量线性表示.解答：因为4个3维向量线性相关，所以1234,,,αααα线性相关，而1234,,,αααα中任意3个向量都线性无关，所以每一个向量都能由其余三个向量线性表示.所以选（A ）3. 设n 维向量组m ααα,,,21 线性无关，则(B ). （A ）向量组中增加一个向量后仍线性无关; （B ）向量组中去掉一个向量后仍线性无关;（C ）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关; （D ）向量组中每个向量任意增加一个分量后仍线性无关. 解答：根据“全体无关则部分无关”知选项（B ）正确. 注意（D ），“向量组中每个向量任意增加一个分量后”不是 原来的接长向量组，所以不能保证还线性无关.例如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=312121αα，线性无关，但⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32132121αα，线性相关.4. 下列命题错误的是（ ）（A ）若n 维向量组m ααα,,,21 中没有一个向量能有其余向量线性表示，则该向量组线性无关；（B ）若n 维向量组m ααα,,,21 的秩小于m ，则此向量组线性相关； （C ）若n 维向量组12,,,r ααα线性无关，12,,,s βββ也线性无关，则向量组12,,,r ααα，12,,,s βββ的秩为r s +；（D ）任何一组不全为零的数12,,,r k k k 使11220r r k k k ααα+++≠，则向量组12,,,r ααα线性无关.解答：选项（C ）错误. 反例：设1α线性无关，则11βα=线性无关，但11,αβ线性相关，它的秩=1≠1+1.5.已知向量组321,,ααα线性无关, 则下面线性无关的向量组是 (C).(A) 133221,,αααααα---; (B) 133221,,αααααα-++; (C) 133221,,αααααα+++; (D) 2132218-,53,2αααααα+++.解答：(A):0101-1-11-1=; (B) 0101-110011=；(C) ：2101110011=； (D) 0081-053021=.三. 填空题1. 设n 维向量321,,ααα线性无关，则向量组133221,,αααααα---的秩=r2 .解答：因为011-1-11-1=, 所以133221,,αααααα---线性相关, (或者因为0)()()(133221=-+-+-αααααα, 所以133221,,αααααα---线性相关) 但3221,αααα--线性无关, 所以2=r .(设0)()(322211=-+-ααααk k 则0)(3221211=--+αααk k k k , 因为321,,ααα线性无关, 所以021==k k , 所以3221,αααα-- 线性无关.)2. 已知),1,1,2(),2,0,1,1()0,1,2,1(321a ==-=ααα，, 若由321,,ααα生成的向量空间的维数为2, 则=a 6 .解答：因为由321,,ααα生成的向量空间的维数为2, 而21,αα线性无关, 所以3α可由21,αα唯一线性表示, 所以22113αααk k +=, 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=+=21212121212k a k k k k k , 解得6=a . 3. 设向量组m ααα,,,21 线性无关，向量β不能由它们线性表示，则向量组m ααα,,,21 ，β的秩=1m + .解答：因为m ααα,,,21 线性无关，向量β不能由它们线性表示，所以m ααα,,,21 ，β线性无关，所以秩=1m + .4. 若向量组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=322121αα，与向量组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k 14321ββ，不等价， 则常数=k 34. 解答：如果21ββ，线性无关，则两个向量组等价，所以应该是21ββ， 线性相关，所以34=k .5. 已知向量组γβα,,线性相关，而向量组,,γβδ线性无关，则向量 组γβα,,的极大无关组为γβ,.解答：因为,,γβδ线性无关，所以γβ,线性无关，而γβα,,线性相 关，所以向量组γβα,,的极大无关组为γβ,.四.判断下列向量组的线性相关性，并说明理由. 1． ),,(1z y x =α, ),,(2y z x =α,)2,2,2(3y z x =α； 解答：因为32αα，线性相关，所以321ααα，，线性相关. 2．),,(1z y x =β, ),,(2y z x =β,),,(3x z y =β,),,(4y x z =β； 解答：三个四维向量一定线性相关. 3．)3,2,1(1=γ, )3,2,0(2=γ, )2,3,1(3=γ；解答：因为05231320321≠-=，所以线性无关.4．)1,1,,1(1a =δ，)0,1,,1(2b =δ, )0,0,,1(3c =δ.解答：因为)1,1,1(11=δ，)0,1,1(22=δ, )0,0,1(33=δ线性无关， 所以)1,1,,1(1a =δ，)0,1,,1(2b =δ, )0,0,,1(3c =δ线性无关. 五．计算题1. 设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα===，问：（1）t 为何值时，向量组123,,ααα线性无关；（2）t 为何值时，向量组123,,ααα线性相关，当线性相关时，将3α表示为23,αα的线性组合.解答：（1）向量组123,,ααα线性无关当且仅当111123013t≠，所以5t ≠；（2）向量组123,,ααα线性相关当且仅当111123013t=，即5t =，设31122k k ααα=+，所以12121212335k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得1212k k =-⎧⎨=⎩，即3122ααα=-+.2. 设123,,ααα线性无关，问常数,,a b c 满足什么条件时，122331,,a b c αααααα---线性相关.解答：设112223331()()()0k a k b k c αααααα-+-+-=，即131122233()()()0ak k k bk k ck ααα-+-++-+=，因为123,,ααα线性无关，所以131223000ak k k bk k ck -=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩，当01101001a babc c --=-≠-时，1030k k k ===，当1abc =时，由131223000ak k k bk k ck -=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩知12321k bk k k c =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以122331,,a b c αααααα---线性相关当且仅当1abc =.六．证明题1.设向量组m ααα,,,21 中任意向量i α都不能由121,,,i ααα-线性表示，且10α≠，证明m ααα,,,21 线性无关.证明 因为10α≠，2α不能由1α线性表示，所以1α也不能由2α线性表示（如果120k αα=≠，则0k ≠，所以2α能由1α线性表示，矛盾），所以12,αα线性无关，而3α不能由12,αα线性表示，所以123,,ααα线性无关，以此类推，由于m 有限，所以m ααα,,,21 线性无关.2.已知向量组（Ⅰ）123,,ααα，（Ⅱ）1234,,,αααα，（Ⅲ）1235,,,αααα 如果，()4r III =，证明向量组12354,,,ααααα-的秩为4.证明 因为()4r III =，所以1235,,,αααα线性无关，所以123,,ααα线性无关，且5α不能由123,,ααα线性表示，而()3r II =，所以4α可由123,,ααα线性表示，所以54αα-不能由123,,ααα线性表示，所以12354,,,ααααα-的秩为4.3．已知⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=321332123211322αααβαααβαααβ,证明向量组321,,ααα与321,,βββ等价.证明： 因为⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=321332123211322αααβαααβαααβ，所以321,,βββ可由321,,ααα线性表示，又因为01321100111321211111≠-==，所以321,,ααα也可由321,,βββ线性表示（或者直接由⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=321332123211322αααβαααβαααβ解得⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=-+=2133212321122ββαβββαβββα）.4.已知向量组,21αα+,32αα+13αα+线性无关，证明向量组321ααα,, 也线性无关.证明：记⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=313322211ααβααβααβ，那么321,,βββ可由321,,ααα线性表示，又因为02101110011≠=，所以321,,ααα可由321,,βββ线性表示，所以两个向量组等价，从而秩相等，而321,,βββ线性无关，所以321,,ααα线性无关. （如果要解出321,,ααα的话，可以这样做：∑∑=iiαβ2，所以2211ββα-=∑j ，3212ββα-=∑j ，1213ββα-=∑j ）5. 设n 维向量组（1）:s ααα,,,21 的秩为1r ；（2）：s βββ,,,21 的秩为2r ；（3）：s s βαβαβα+++,,,2211 的秩为3r .证明321r r r ≥+.证明： 不妨设1,,,21r ααα 是s ααα,,,21 的一个无关组，2,,,21r βββ 是s βββ,,,21 的一个无关组，则s s βαβαβα+++,,,2211 可由1,,,21r ααα 2,,,21r βββ 线性表示，所以s s βαβαβα+++,,,2211 的无关组可由1,,,21r ααα 2,,,21r βββ 线性表示，所以321r r r ≥+.6．已知2≥s 且s ααα,,,21 线性无关, s αααβ+++= 21.证明向量组s αβαβαβ---,,,21 线性无关. 证明： 记s αααγ+++= 321， s αααγ+++= 312 131-+++=s s αααγ因为0)1)(1(011111101≠--=-s s，所以s γγγ,,,21 可由s ααα,,,21 线性表示，二者等价，秩相等，所以s γγγ,,,21 线性无关.7．若向量组s ααα,,,21 线性相关，证明对任意的实数s k k k ,,,21 ， 向量组s s k k k ααα,,,2211 也线性相关.证明 如果s k k k ,,,21 中至少有一个为零，则s s k k k ααα,,,2211 线性相关.下面假设s k k k ,,,21 全不为零. 因为s ααα,,,21 线性相关，所以存在不全为零的数s λλλ,,,21 使得02211=+++s s αλαλαλ ，所以0)()()(22221111=+++s s ssk k k k k k αλαλαλ ，由于sλλλ,,,21 不全为零，所以ss k k k λλλ，，， 2211不全为零，所以向量组s s k k k ααα,,,2211 线性相关.。