线性代数题目及解析

一. 判断题（正确打√，错误打×）

1若s α不能由121,,,-s ααα 线性表示，则s ααα,,,21 线性无关. (×) 解答：反例：取01=α，02≠α，则2α不能由1α线性表示，但21,αα线

性相关.

2. 如果β可由321,,ααα唯一线性表示,则321,,ααα线性无关.(√) 解答：向量β能由向量组A 唯一线性表示的充分必要条件是

m R R m m ==),,,(),,,,(2121αααβααα ； 所以3),,(321=αααR ，所以321,,ααα线性无关. 3. 向量组的秩就是它的极大线性无关组的个数.(×)

解答：正确结论：

向量组的秩就是它的极大线性无关组所含向量的个数. 4. 若向量组γβα,,只有一个极大无关组，则γβα,,线性无关. (×) 解答：反例：取0,0==≠γβα，则向量组γβα,,只有一个极大无关 组α，但γβα,,线性相关.

正确命题：若γβα,,线性无关，则γβα,,只有一个极大无关组. 二. 单项选择题

1.设向量组（1）:321,,ααα与向量组（2）:21,ββ等价，则( A ). （A ） 向量组（1）线性相关; （B ）向量组（2）线性无关; （C ）向量组（1）线性无关; （D ）向量组（2）线性相关.

解答：因为等价的向量组具有相同的秩，所以

32),(),,(21321<≤=ββαααR R ，所以向量组（1）线性相关. 2. 3维向量组1234,,,αααα中任意3个向量都线性无关，则向量组中（A ）

（A ）每一个向量都能由其余三个向量线性表示; （B ）只有一个向量能由其余三个向量线性表示; （C ）只有一个向量不能由其余三个向量线性表示; （D ）每一个向量都不能能由其余三个向量线性表示.

解答：因为4个3维向量线性相关，所以1234,,,αααα线性相关，而1234,,,αααα中任意3个向量都线性无关，所以每一个向量都能由其余三个向量线性表示.所以选（A ）

3. 设n 维向量组m ααα,,,21 线性无关，则(B ). （A ）向量组中增加一个向量后仍线性无关; （B ）向量组中去掉一个向量后仍线性无关;

（C ）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关; （D ）向量组中每个向量任意增加一个分量后仍线性无关. 解答：根据“全体无关则部分无关”知选项（B ）正确. 注意（D ），“向量组中每个向量任意增加一个分量后”不是 原来的接长向量组，所以不能保证还线性无关.

例如

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=312121αα，线性无关，但⎪

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32132121αα，线性相关.

4. 下列命题错误的是（ ）

（A ）若n 维向量组m ααα,,,21 中没有一个向量能有其余向量线性表示，则该向量组线性无关；

（B ）若n 维向量组m ααα,,,21 的秩小于m ，则此向量组线性相关； （C ）若n 维向量组12,,,r ααα线性无关，12,,,s βββ也线性无关，则向量组

12,,

,r ααα，12,,

,s βββ的秩为r s +；

（D ）任何一组不全为零的数12,,,r k k k 使11220r r k k k ααα++

+≠，则向

量组12,,

,r ααα线性无关.

解答：选项（C ）错误. 反例：设1α线性无关，则11βα=线性无关，但11

,αβ线性相关，它的秩=1≠1+1.

5.已知向量组321,,ααα线性无关, 则下面线性无关的向量组是 (C).

(A) 133221,,αααααα---; (B) 133221,,αααααα-++; (C) 133221,,αααααα+++; (D) 2132218-,53,2αααααα+++.

解答：(A):010

1-1-1

1-1

=; (B) 01

01-1100

11

=；

(C) ：21

01110011=； (D) 00

81-0530

21=.

三. 填空题

1. 设n 维向量321,,ααα线性无关，则向量组133221,,αααααα---的秩

=r

2 .

解答：因为01

1

-1-1

1-1

=, 所以133221,,αααααα---线性相关, (或者因为0)()()(133221=-+-+-αααααα, 所以133221,,αααααα---线性相关) 但3221,αααα--线性无关, 所以2=r .

(设0)()(322211=-+-ααααk k 则0)(3221211=--+αααk k k k , 因为321,,ααα线性无关, 所以021==k k , 所以3221,αααα-- 线性无关.)

2. 已知),1,1,2(),2,0,1,1()0,1,2,1(321a ==-=ααα，, 若由321,,ααα生

成的向量空间的维数为2, 则=a 6 .

解答：因为由321,,ααα生成的向量空间的维数为2, 而21,αα线性无

关, 所以3α可由21,αα唯一线性表示, 所以22113αααk k +=, 即

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=-=+=+=2

12

12121212k a k k k k k , 解得6=a . 3. 设向量组m ααα,,,21 线性无关，向量β不能由它们线性表示，则

向量组m ααα,,,21 ，β的秩=1m + .

解答：因为m ααα,,,21 线性无关，向量β不能由它们线性表示，

所以m ααα,,,21 ，β线性无关，所以秩=1m + .

4. 若向量组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=322121αα，与向量组⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k 14321ββ，不等价， 则常数=

k 3

4

. 解答：如果21ββ，线性无关，则两个向量组等价，所以应该是21ββ， 线性相关，所以3

4

=k .

5. 已知向量组γβα,,线性相关，而向量组,,γβδ线性无关，则向量 组γβα,,的极大无关组为γβ,.

解答：因为,,γβδ线性无关，所以γβ,线性无关，而γβα,,线性相 关，所以向量组γβα,,的极大无关组为γβ,.