函数项级数的基本概念ppt课件

s(x) 的定义域就是 级数的收敛域.
( 函余数项, 1)项一 r n 级般( (1 x 数,考) 的虑)s 部函(但,x 分数) 只 和1有s 1n s( 在nxx (时) xD),, 它ln ( 的 i 1定m ,s1n )义上 (x域,)它 是才s(是x)
显x然n
n0
ln 1 i m xrn(xx)20的(x和在函收数敛.域上)
(2) 当 x 1时, 原级数 发散.
6
(1)n1 x3n
(3) 当x 1 即x1,x1时， n1
n
x 1时 ，级数为 (1)n1 1 , 条件收敛
n1
n
x 1时， 级数为
1 ,
发散
n1 n
总之,所讨论的级数的收敛域为区间 (1,1].
把函数项级数中的变量x视为参数, 通过常数 项级数的敛散性判别法, 来判定函数项级数对哪 些 x 值收敛,哪些 x 值发散, 这是确定函数项级数 收敛域的基本方法.
n0
2
2.收敛点与收敛域
定义2 设 x0(a,b),若数项级数 un (x 0 )
n1
收敛 (或发散) 则称x0为函数项级数 un ( x )
n1
的收敛点(或发散点). 函数项级数 un( x)的
n1
所有收敛点 (或发散点) 称为其收敛域 (或发
散域).
3
3.和函数
定义3 设{sn(x)}为函数项级数 un ( x )
7
幂级数
作业
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n1
的前n项和序列, 若极限 lim s(x)s(x),x(a,b)
n
存在, 则s(x)称为函数项级数 un( x)的和函数.
n1
如, 等比级数 xn1xx2
n0
它的收敛域为 | x|1, 发散域为 | x|1.
在收敛域内和函数是 1 , 即有
1 x
xn
1
, x(1,1).
n1
1 x
4源自文库
s(x) u 1 ( x ) u 2 ( x ) u n ( x ) 定义域
注 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是
数项级数 的收敛问题.
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例 求函数项级数的 (1)n1 x3n 收敛域.
n1
n
解 由比值(达朗贝尔)判别法
x 3n3
lim u n 1 lim
u n n
n
n1 x 3n
limn x3 x 3
nn1
n (1) 当 x 1时, 原级数 绝对收敛;
函数项级数的基本概念
1
函数列和函数项级数
1.定义
定义1 设 u 1 (x )u ,2 (x ) ,u n (x ) 为定义在(a, b)内 的函数序列, 则
un( x) u 1 ( x ) u 2 ( x ) u n ( x )
n1
称为定义在(a, b)内的函数项级数.
如 级数 xn 1xx2