函数项级数的基本概念ppt课件

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数学分析课件PPT之十三章函数列与函数项级数

审敛原理存在自然数N ，使得当 n N 时，对
于任意的自然数 p 都有
a a n1
n2
an p
.
2
由条件(1)，对任何 x I ，都有
un1 ( x) un2 ( x) un p ( x)
un1 ( x) un2 ( x) un p ( x)
an1 an2
an p
例3 研究级数
x ( x2 x) ( x3 x2 ) ( xn xn1 )
在区间( 0 , 1]内的一致收敛性.
解该级数在区间(0,1)内处处收敛于和s( x) 0，
但并不一致收敛．
对于任意一个自然数
n,
取 xn
1 ，于是 n2
sn ( xn )
xn n
1, 2
但 s( xn ) 0,
一一致收敛函数列的性质二函数项级数的性质
一. 一致收敛函数列的解析性质
1 函数及限与序列极限交换定理
fn
x
f
x
lim
x x0
fn
x
an
lim
n
an
(即nlim
lim
xx0
lim xx0
fn x
f
x 存在
lim
xx0
lim
n
fn
x)
讨论单侧极限是, 只要把以上定理中的
n 1
在 D 上一致收敛的一个必要条件是：
函数列un (x)在 D 上一致收敛于 0.
3．若已知和函数 S(x) 可用下面的判别法
定理 13-4 函数项级数 un (x)在 D 上一致收 n 1
敛于 S(x)
lim sup
n xD
Rn (x)

数学分析2课件：13-1函数项级数及其一致收敛性

x(1,1) 1 x n 1
n1
而右端极限为，
故原级数在(-1,1)不一致收敛。
但限制x [a,a],a 1,则
sup
x(a,a )
|
sn( x)
s( x) |
sup
x(a,a )
| 1 xn 1 x
1 1
x
|
sup | xn | an , x(a,a) 1 x 1 a
[( xn ) 0,单调增] 1 x
故 un( x)在数集D上一致收敛。
n1
证毕。
注1 在这个定理的条件下，可得| un( x) | 也一致收敛。
n1
注2 不是每个收敛级数都有优级数。
例8
sin n
nx
p
,
cos n
nx
p
,(
p
1)在(,)一致收
敛。
优级数均为
1 np
.
(1)n sin nx的优级数为 np
1， np
一致收敛。
xn在[a,a](a 1)的优级数为 an，一致收敛。
an为绝对收敛级数，则 an sin nx, an cos nx
n1
n1
n1
在(,)一致收敛，且| an | 就是其优级数。
n1
全体收敛点的集合称为收敛域。
un( x) s( x)
n1
——和函数。
例5
xn 1 x x2 x3
n0
lim
n
sn( x)
lim
n
1 xn 1 x
1 , 1 x 发散，
| x | 1 | x | 1
xn在（ 1，1）内收敛于s( x)
1
.
n0

微积分第二版课件第一节数项级数的概念及性质

n
Tn
lim
n
kS
n
k
lim
n
S
n
kS
性质2 若 un 收敛, 其和为S ；vn 收敛, 其和为T
n1
n1
则 (un vn ) 必收敛, 其和为 S T .
n1
证设，un ，vn (的un部 v分n )和为，与 Sn Tn Rn
n1
n1 n1
Rn (u1 v1) (u2 v2 ) (un vn ) Sn Tn
n1
k
0
，则级数
kun
也收敛,
且其和为k
S.
n1
证设级数与un
n1
的k部un分和分别为与 Sn
n1
Tn
Tn ku1 ku2 kun kSn
由于 Tn kSn (k，于0)是极限与 lnim同Tn时收lnim敛 S或n 同时发散，从而级数与的敛散性u相n 同.且kun
lim
1, 4
, Sn
1 2
1 4
1 8
1 2n
,
这样就得到一个数列 S1, S2 , S3,, Sn ,
由数列极限概念，可知数列 {在Sn} 时n 的极限，可
以看成（1）式的和.
由等比数列求和公式得
Sn
1 2
1
1 2
n
1 1
1
1 2n
于是
lim
n
Sn
lim 1 n
1 2n
1
2
1
所以
1 2
于图形中矩形面积之和
Sn
1
1 2
1 3
1 n
n
1
k 1 k

数学分析课件一致收敛函数列与函数项级数的性质

详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数，在每个点的某个邻域内，函数列或级数的每一项都是有界的。这意味着在每个点的附近，函数列或级数的变化范围是有限的。
性质三：局部连续性
总结词
局部连续性是指一致收敛的函数列或函数项级数在每个点的邻域内都是连续的。
VS
详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数，在每个点的某个邻域内，函数列或级数的每一项都是连续的。这意味着在每个点的附近，函数列或级数的值是平滑变化的，没有突然的跳跃或断点。
03
一致收敛函数列与函数项级数的应用
应用一：微积分学中的一致收敛概念
要点一
总结词
要点二
详细描述
理解一致收敛在微积分学中的重要性
一致收敛是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数列或函数项级数在某个区间上的收敛性质。在微积分学中，一致收敛的概念对于研究函数的极限行为、连续性、可微性和积分等性质至关重要。通过理解一致收敛，可以更好地理解函数列和级数的收敛性质，从而更好地应用微积分学中的相关定理和性质。
应用二：实数完备性的证明
总结词
利用一致收敛证明实数完备性
详细描述
实数完备性是实数理论中的重要性质，它表明实数具有某些理想的完备性。利用一致收敛的性质，可以证明实数完备性的一些重要定理，如确界定理、区间套定理和闭区间套定理等。这些定理在实数理论中起着至关重要的作用，为实数性质的研究提供了重要的理论支持。
05
一致收敛函数列与函数项级数的扩展知识
扩展知识一：一致收敛的判定定理
01
柯西准则
对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当
$n,m>N$时，对所有的$x$，有$|f_n(x)-f_m(x)|<varepsilon$。

函数项级数

lim un ( y) lim un ( y) un ( x) 。
yx n 1 n 1 yx n 1
并且，若 un 在 I 上一致连续，则 S 在 I 上一致连续。
n 1
(3) 若 I 是有界闭区间 [a, b] ，并且 un R[a, b] ，则 S R[a, b]
xn an xn ，所以一致收敛。记 n! n! n 0 n!
S ( x)
xn 。 n 0 n !
xn xn 都是连续函数，所以 S ( x) 也是连续函数，并且 n! n 0 n !
n xu un u n 1 x n 1 xn du du ， 0 0 n! n 0 n! n 0 n 0 (n 1)! 0 n 0 ( n 1)! n 1 n! x x
n n n n
第 3 页 / 共 13 页
在 [a, b] 上一致收敛， Sn (a) 收敛于 S (a) ，所以对任意 0 ，存在因为 S n
正整数 N 使得对任意 n N 及任意 u [a, b] ，
Sn ( a ) S ( a ) , (u) S (u) ， Sn
| S N ( x) |
un ( x) sup un ( y) 。
n 1 n 1 y[ a ,b ]
N
N
对任何 x I ，
S ( x) S ( x) S N ( x) S N ( x) sup | S N (u) | sup un ( y) ，

(1)n x 2n 1 和 n 0 (2n 1)!

Cos( x)
Sin( x) Cos( x) ， Cos( x) Sin( x) ， Sin(0) 0 ， Cos(0) 1 所以 Sin( x) 和 Cos( x) 都是微分方程 y y 0 的解，而我们知道这个微分方

第十一章111函数项级数的一致收敛ppt

1 1 x
二、一致收敛的定义引例
例1
u
n 1

n
( x) x ( x 2 x) ( x 3 x 2 )
它的每一项都在 0 x 1 上连续，其n 次部分和为
0,0 x 1时 lim sn ( x) s ( x) n ，x 1时 1 S ( x) 在x 1不连续，因此，它不是0,1 上的级数的和连续函数。这个例子还告诉我们，上述级数的每一项都在 0,1 上可导，但它的和函数S ( x) 在 x 1 不可导。
说明: 对任意正数 r < 1,
级数在 [ 0, r ] 上一致收敛 .
o
S ( x)
1 x
事实上, 因为在 [ 0, r ] 上 rn ( x) r n , 任给 > 0, 欲使
ln ln r , 只要 n , 因此取 N , 只要 n N , ln r ln r n 必有 rn ( x) r , 即级数在 [ 0, r ] 上一致收敛 .
X
,因此 x
在
sup Sn ( x) S ( x) sup x n c n 当n 时 0 x c 0 x c x S n ( x) 同理可知 1 n 2 x 2 在任一区间 c,1 ( c 为小于1 的任一正数)一致收敛,但在 0,1 非一致收敛.这说明了
u ( x ) u ( x ) u ( x ) u ( x )
n 1 n 0 1 0 2 0 n 0

收敛，我们就说函数项级数在 x0点收敛，否则就说它在 x0 点发散。如果对 X 中任何一点 x ，级数 u ( x) 收敛，就说函数项级数 u ( x) 在 X 上收敛（即在每一点都收敛）。这时，对每一点 x X 级数 u ( x) 有和，记此和为 S ( x) ，即

级数概念与正项级数PPT课件

2
1 n
3
1 2n
n 2n
1 2
矛盾! 所以假设不真 .
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例判断敛散性
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例:判断收敛与否
解(1)原式= (2)原式=
第17页/共128页
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五、小结
常数项级数的基本概念
基本审敛法
1.由定义,若sn s ,则级数收敛;
2.当lim n
特别取
vn
1 np
,
对正项级数
un , 可得如下结论 :
0 l
lim
n
n pun l
p1,0 l
un 发散 un 收敛
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比如:
发散!
lim n n
发散!
3
lim n4 n
第28页/共128页
例3. 判别级数
sin 1 n1 n
的敛散性 .
解: lim n sin 1 lim n 1 1
n1
反过来由 un 收敛 Sn 有极限 Sn 有界 .
n1
定理 1. 正项级数
收敛
部分和数列有界 .
第20页/共128页
定理2 (比较审敛法)
设 un , vn 为正项级数 , 且 un vn , ( n 1, 2, 3, ),
n1
n1
则有 (1) 若大收敛 , 则小
也收敛 ;
例 3 判定级数
1
（1） n1 n2 ln n
1
（2） n1 n(n2 1)
n 1
（3） n1 n2 1
1
（4） n1
3n2 n
1
（5） n1 ln n 1

高等数学第十一章第六节函数项级数的一致收敛性课件.ppt

1854年, 他解决了椭圆
以后还建立了椭圆函
数的新结构.
他在分析学中建立了实数
理论,引进了极限的 – 定义,
定义及性质,
还构造了一个处处不可微的连续函数:
积分的逆转问题,
给出了连续函数的严格
为分析学的算术化作出了重要贡献 .
定理2.
若级数
则该级数在 [a, b] 上可逐项积分,
且上式右端级数在 [a, b] 上也一致收敛 .
证: 因为
所以只需证明对任意
一致有
根据级数的一致收敛性,
使当
n > N 时, 有
于是, 当 n > N 时, 对一切
有
因此定理结论正确.
证毕
说明:
若级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立.
解:
显然所给级数对任意 x 都收敛 ,
且每项都有连续
导数,
而逐项求导后的级数
故级数②在 (－∞,+∞)
上一致收敛,
故由定理3可知
②
再由定理1可知
定理4 . 若幂级数
的收敛半径
则其和函
在收敛域上连续,
且在收敛区间内可逐项求导与
逐项求积分,
运算前后收敛半径相同,即
证: 关于和函数的连续性及逐项可积的结论由维尔斯
由条件2), 根据柯西审敛原理,
当
n > N 时,
对任意正整数 p , 都有
由条件1), 对 x ∈I , 有
故函数项级数
在区间 I 上一致收敛 .
证毕
推论.
若幂级数
的收敛半径 R > 0 ,
则此级
数在 (－R, R ) 内任一闭区间 [ a , b ] 上一致收敛 .

数学分析第十讲函数项级数

329第十讲函数列与函数项级数一、知识结构 1、函数列收敛性（1）函数列收敛的概念和定义定义1 设 ,,,,21n f f f 是定义在同一数集E 上的函数，称为定义在E 上的函数列，记作}{n f 或n f ， ,3,2,1=n .定义2 设E x ∈0, 以0x 代入函数列,,,,21n f f f 的数列()()() ,,,,00201x f x f x f n . 如果数列)}({0x f n 收敛, 我们称函数列}{n f 在点0x 收敛,点0x 为函数列}{n f 的收敛点. 如果数列)}({0x f n 发散, 称函数列}{n f 在发散, 点0x 为函数列}{n f 的发散点.如果在数集E D ⊆上的每一点函数列 ,,,,21n f f f 都收敛, 则我们称函数列}{n f 在D 上收敛.记作)()(lim x f x f n n =∞→,D x ∈,)(x f 称为函数列}{n f 在D 上极限函数, 或称为函数列}{n f 在D 上收敛与)(x f .定义3(函数列)}({x f n 在D 上收敛于)(x f N -ε的定义) 对每一个固定的D x ∈0,对0>∀ε,存在正整数N ,当N n >时,有()()ε<-00x f x f n ,我们称函数列()}{x f n 在D 上收敛与)(x f ，记作)()(lim x f x f n n =∞→,D x ∈或)()(x f x f n →（∞→n ）,D x ∈.说明 ①对每一个固定的D x ∈0，都存在一个正整数N ，由于D 中一般有无限个0x ，所以就对应于无限个正整数N ，这无限个正整数N 中可能找到最小的，也可能找不到最小的.②定义中ε的大小一般既与N 的大小有关,又与D 上所选取的0x 大小有关.（2）函数列收敛的判定方法数列)}({0x f n 收敛的判定方法均可作为函数列收敛的判定方法.例如，函数列330)}({x f n 在D 上的柯西收敛准则.定理1 (函数列)}({x f n 在D 上收敛的柯西准则) 函数列)}({x f n 在D 上收敛的充要条件是:对每一个固定的D x ∈0,对0>∀ε,存在正整数N ,当N m n >,时,有()()ε<-00x f x f m n .定理2 (函数列)}({x f n 在D 上收敛的归结原则) )()(lim x f x f n n =∞→,D x ∈⇔对每一个固定的D x ∈0,当0lim x x m m =∞→时,有)()(lim )(lim lim 00x f x f x f n n m n m n ==∞→∞→∞→.2、函数列的一致收敛性（1）函数列一致收敛性的概念和定义如果上述定义3中的ε大小仅与N 的大小有关,与D 上所选取的0x 大小无关,则我们就得到函数列)}({x f n 在D 上一致收敛于)(x f .定义4(函数列)}({x f n 在D 上一致收敛于)(x f N -ε的定义) 对D x ∈∀,0>∀ε,∃正整数N ,当N n >时,有()()ε<-x f x f n ,我们称函数列}{n f 在D 上收敛与)(x f ,记作)(x f n −→−−→−)(x f ) (∞→n ,D x ∈.（2）函数列一致收敛性的判别法定理3 (函数列)}({x f n 在D 上一致收敛的柯西准则) 函数列)}({x f n 在D 上一致收敛的充要条件是:对D x ∈∀,对0>∀ε,存在正整数N ,当N m n >,时,有()()ε<-x f x f m n .定理4 函数列)}({x f n 在D 上一致收敛的充要条件是:0)()(sup lim =-∈∞→x f x f n Dx n .推论设在数集D 上)(x f n →)(x f ) (∞→n .若存在数列D x n ⊂}{,使0 |)()(|→/-n n n x f x f ) (∞→n , 则函数列)}({x f n 在数集D 上非一致收敛.3、函数项级数及其一致收敛性 (1) 函数项级数及其和函数331定义5 设{})(x u n 是定义在数集E 上函数列，表达式∑∞=1)(n n x u ，E x ∈称为定义在E上的函数项级数.若E x ∈0,数列{})(0x u n 收敛,即极限∑=∞→∞→=nk kn n n x ux S 100)(lim)(lim 存在, 则称函数项级数∑∞=1)(n n x u (E x ∈)在点0x 收敛, 点0x 称为函数项级数∑∞=1)(n n x u (E x ∈)的收敛点.若E x ∈0,数列{})(0x u n 发散, 则称函数项级数∑∞=1)(n n x u (E x ∈)在点0x 发散, 点0x 称为函数项级数∑∞=1)(n n x u (E x ∈)的发散点. 函数项级数∑∞=1)(n n x u (E x ∈)收敛点的全体组成数集D 称为函数项级数∑∞=1)(n nx u(E x ∈)收敛域.表达式∑∞=∞→==1)()(lim )(n nn n x ux S x S (D x ∈)中的)(x S 称为函数项级数∑∞=1)(n n x u (D x ∈)的和函数,或称函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上收敛于)(x S .定义6(函数项级数∑∞=1)(n nx u在D 上收敛于)(x S 的N -ε的定义) 令)()(1x ux S nk kn ∑==,对每一个固定的D x ∈0,对0>∀ε,存在正整数N ,当N n >时,有()()ε<-00x S x S n ,我们称函数项级数∑∞=1)(n nx u在D 上收敛于)(x S ，记作)()()(lim 1x S x ux S n nn n ==∑∞=∞→,D x ∈或)()(x S x S n →（∞→n ）,D x ∈或)()(1x S x unk k→∑=（∞→n ）,D x ∈.说明 ①对每一个固定的D x ∈0，都存在一个正整数N ，由于D 中一般有无限个0x ，332所以就对应于无限个正整数N ，这无限个正整数N 中可能找到最小的，也可能找不到最小的.②定义中ε的大小一般既与N 的大小有关,又与D 上所选取的0x 大小有关.(2)函数项级数∑∞=1)(n n x u 的一致收敛性如果上述定义6中的ε大小仅与N 的大小有关,与D 上所选取的0x 大小无关,则我们就得到函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛于)(x S .定义7(函数项级数∑∞=1)(n nx u在D 上一致收敛于)(x S 的N -ε的定义) 令)()(1x ux S nk kn ∑==,对D x ∈∀,0>∀ε,∃正整数N ,当N n >时,有()()ε<-x S x S n ,我们称函数项级数∑∞=1)(n nx u在D 上一致收敛于)(x S ,记作)(1x unk k∑=−→−−→−)(x S ) (∞→n ,D x ∈或)(x S n −→−−→−)(x S ) (∞→n ,D x ∈.(3) 函数项级数∑∞=1)(n n x u 的一致收敛性判别法定理5(Cauchy 准则) 级数∑)(x u n 在区间D 上一致收敛⇔N ,0∃>∀ε,,N n >∀N ∈∀p ,∈∀x D ⇒ ε<-+)()(x S x S n p n 或ε |)()()(|21<++++++x u x u x u p n n n .推论级数∑)(x u n 在区间D 上一致收敛⇒n u )(x −→−−→−0 ) (∞→n .定理6 级数∑)(x u n 在区间D 上一致收敛于)(x S ⇔∞→n lim =∈|)(|sup x R n x D∞→n lim 0|)()(|sup =-∈x S x S n x D.定理7( Weierstrass 判别法，M-判别法)设级数∑)(x u n 定义在区间D 上,∑nM 是收敛的正项级数.当n 充分大时,对∈∀x D 有||)(x u n n M ≤,则∑在D 上一致收敛.333证明 , |)(| )( 1111∑∑∑∑==+=++=+=≤≤p i pi in p i i n i n p i i n MM x u x u 然后用Cauchy 准则.亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数∑nM是级数∑)(x un的一个优级数. 于是定理7可以叙述为: 若级数∑)(x u n 在区间D 上存在优级数,则级数∑)(x u n 在区间D 上一致收敛.应用时,常可试取|})({|sup x u Mn Dx n∈=.但应注意,级数∑)(x u n 在区间D 上不存在优级数⇒/级数∑)(x u n 在区间D 上非一致收敛.注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在. 定理8（Abel 判别法）设（ⅰ）级数∑)(x u n 在区间I 上收敛;（ⅱ）对每个∈x I ,数列)}({x v n 单调; （ⅲ）函数列)}({x v n 在I 上一致有界, 即0 >∃M ,使对I ∈∀x 和n ∀,有M x v n |)(|≤. 则级数∑)()(x v x u n n 在区间I 上一致收敛 .定理9（Dirichlet 判别法）设（ⅰ）级数∑)(x un的部分和函数列∑==nk kn x ux U 1)()(在区间I 上一致有界;（ⅱ）对于每一个∈x I ,数列)}({x v n 单调;（ⅲ）在区间I 上函数列)}({x v n 一致收敛于零.则级数∑)()(x v x u n n 在区间I 上一致收敛.(4) 一致收敛函数列极限函数的解析性质定理1（连续性）设在D 上n f −→−−→−)(x f ,且对∀n ,函数)(x f n 在D 上连续⇒)(x f 在D 上连续.证明要证: 对∈∀0x D ,)(x f 在点0x 连续.即证:对0>∀ε,0>∃δ, 当|δ<-|0x x 时⇒ε<-|)()(|0x f x f .|)()(||)()(||)()(| |)()(|0000x f x f x f x f x f x f x f x f n n n n -+-+-≤-.334估计上式右端三项.由一致收敛, 第一、三两项可以任意小;而由函数)(x f n 在点0x 连续, 第二项|)()(|0x f x f n n -也可以任意小.所以, 对0>∀ε,0>∃δ, 当|δ<-|0x x 时,有ε<-|)()(|0x f x f推论设在D 上)(x f n →)(x f .若)(x f 在D 上间断，则函数列{)(x f n }在D 上一致收敛和所有)(x f n 在D 上连续不能同时成立.注定理1表明: 对于各项都连续且一致收敛的函数列{)(x f n },有)(lim lim )(lim lim 00x f x f n x x n n n x x →∞→∞→→=，即极限次序可换 .定理2（可积性）若在区间] , [b a 上函数列{)(x f n }一致收敛,且每个)(x f n 在] , [b a 上连续.则有 ()⎰⎰∞→∞→=baban n n n dx x f dx x f )(lim)(lim .证明设在] , [b a 上n f −→−−→−)(x f , 由Th1,函数)(x f 在区间] , [b a 上连续,因此可积. 我们要证 ⎰⎰=∞→baban n dx x f dx x f )()(lim . 注意到⎰⎰⎰-≤-ban baba n f f f f || , 可见只要ab x f x f n -<-ε|)()(|在] , [b a 上成立.注:定理的条件可减弱为:用条件“)(x f n 在] , [b a 上(R )可积”代替条件“)(x f n 在] , [b a 上连续”.证明可参阅江泽坚著《数学分析》上册P 350.定理3（可微性）设函数列{)(x f n }定义在区间] , [b a 上,在某个点∈0x ] , [b a 收敛.对n ∀, )(x f n 在] , [b a 上连续可导,且由导函数构成的函数列{)(x f n '}在] , [b a 上一致收敛, 则函数列{)(x f n }在区间] , [b a 上收敛,且有())(lim)(lim x f dxd x f dxdn n n n ∞→∞→=.证明设)(0x f n →A ，) (∞→n . )(x f n '−→−−→−)(x g , ) (∞→n .对∈∀x ] , [b a ,注意到函数)(x g 连续和 )(x f n =⎰'+x x n n dt t f x f 0)()(0, 就有335⎰'+=∞→∞→∞→x x n n n n n n dt t f x f x f 0)(lim)(lim )( lim 0 （对第二项交换极限与积分次序）())()()(lim0x f dt t g A dt t f A x x xx n n ⎰⎰==+='+=∞→令估计⎰⎰--'+x x x x n n dt t g A dt t f x f 0)()()(0≤()⎰-'+-xx nn dtt g t f A x f 0)()()(0, 可证得)(x f n −→−−→−)(x f . )(x f '=='⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰xx dt t g A 0)()(x g =∞→n lim =')(x f n ∞→n lim)(x f dx dn . 即()=∞→)(limx f dxdn n ∞→n lim)(x f dxdn . 亦即求导运算与极限运算次序可换.二、解证题方法例1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列{})(x f n ,nn x x f =)(,用“N -ε”的定义验证其收敛域为] 1 , 1 (-, 且⎩⎨⎧=<===∞→∞→.1 , 1 , 1 || , 0 )(lim )(lim x x x f x x f nn n n解因为对0>∀ε,()1,1-∈∀x ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃1,ln ln x N ε,当N n >时,有ε<=-=-nnn xx x f x f 0)()(,所以()1,1-∈x 时, 有)(lim )(lim x f x x f nn n n ==∞→∞→.当1=x 时, 有)(11lim )1(lim x f f nn n n ===∞→∞→, 当1-=x 时, 即)1(lim n n f ∞→不存在.例2 )(x f n =nnx sin . 用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内0)(lim =∞→x f n n .解对0>∀ε,), (∞+∞-∈∀x ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃1,1εN ,当N n >时,有ε<≤=-=-nnnx nnx x f x f n 1sin 0sin )()(,即0)(lim =∞→x f n n .例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数) (∞→n .336（1）)(x f n =xxx x nn n n --+-，R ∈x .（2） )(x f n =121+n x ，R ∈x .（3）设 ,,,,21n r r r 为区间] 1 , 0 [上的全体有理数所成数列. 令 )(x f n =⎩⎨⎧≠∈=nn r r r x x r r r x ,,, ] 1 , 0 [ , 0,,,, , 12121 且，∈x ] 1 , 0 [.（4） )(x f n =2222xnxen -，R ∈x .（5） )(x f n =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤<≤-<≤--+ . 121 , 0 ,2121 ,42,210 ,4111x x x x x n n n n n n n解（1）因为)(x f n =xxx x nn n n --+-，所以)(x f n →,sgn x R ∈x .（2）因为)(x f n =121+n x，所以)(x f n →,sgn x R ∈x .（3）设 ,,,,21n r r r 为区间] 1 , 0 [上的全体有理数所成数列. 令 )(x f n =⎩⎨⎧≠∈=.,,, ] 1 , 0 [ , 0,,,, , 12121n n r r r x x r r r x 且)(x f n →)(x D , ∈x ] 1 , 0 [.（4）因为)(x f n =2222xnxen -，所以)(x f n →0,R ∈x .（5）因为)(x f n =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤<≤-<≤--+ . 121 , 0 ,2121 ,42,210 ,4111x x x x x n n n n n n n337所以)(x f n →0, ∈x ] 1 , 0 [, ) (∞→n .（注意⎰≡11)(dx x f n .）问题若在数集D 上)(x f n →)(x f ,) (∞→n .试问:通项)(x f n 的解析性质是否必遗传给极限函数)(x f ?答案是否定的.上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传.例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但∞→n lim()⎰⎰∞→≠11)(lim)(dx x f dx x f n n n .用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段.特别是表达非初等函数的一种手段. 对这种函数, ∞→n lim )(x f n 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果.例4 nnx x f n sin )(=. 证明函数列)}({x f n 在R 内一致收敛.证明1 显然nnx x f n sin )(=收敛于0)(=x f .对0>∀ε,R x ∈∀,1,1>⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃εN ,当N n >时,有ε<≤-=-nnnx x f x f n 10sin )()(. 所以函数列)}({x f n 在R 内一致收敛.证明2对0>∀ε,R x ∈∀, 01,2>⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃εN ,当Nm n >,时,有ε<+≤-=-mn mmx nnx x f x f m n 11sin sin )()(. 所以函数列)}({x f n 在R 内一致收敛.例5 )(x f n 2222xn xen -=. 证明在R 内 )(x f n →0, 但不一致收敛.338证明显然有)(x f n →0, |)()(|x f x f n -= )(x f n 在点n x =n21处取得极大值022121→/=⎪⎭⎫ ⎝⎛-nen f n ,) (∞→n . 由推论2 , )}({x f n 不一致收敛.例6 221)(xn xx S n +=. 证明在) , (∞+∞-内)(x S n −→−−→−0 ) (∞→n .证明易见 ∞→n lim .0)()(==x S x S n 而nnx x n n xn x x S x S n 21)(1||2211|||)()(|222≤+⋅=+=-在) , (∞+∞-内成立.例7 对定义在区间] 1 , 0 [上的函数列⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<=≤<-≤≤=. 11 , 0), , 2 , 1 ( , 121 ,22,210 , 2)(22x n n n x n x n n n x x n x f n证明∞→n lim )(x f n =0, 但在] 1 , 0 [上不一致收敛.证明 10≤<x 时,只要1->x n ,就有)(x f n =0.因此,在] 1 , 0 (上有)(x f =∞→n l i m )(x f n =0. 0)0(=n f ⇒)0(f =∞→n lim)0(n f =0.于是, 在] 1 , 0 [上有)(x f =∞→n lim )(x f n =0.但由于021|)()(|max ]1,0[→/=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-∈n n f x f x f n n x ,) (∞→n ,因此, 该函数列在] 1 , 0 [上不一致收敛.例8 )(x f n =12sin2+n x . 考查函数列)}({x f n 在下列区间上的一致收敛性:（1）)0( , ] , [>-l l l ; （2）) , 0 [∞+.339例9 定义在) , (∞+∞-内的函数项级数(称为几何级数)+++++=∑∞=nn nx x x x201的部分和函数列为) 1 ( 11)(≠--=x xxx S nn , 收敛域为) 1 , 1 (-.例10 几何级数∑∞=0n n x 在区间] , [a a -)10(<<a 上一致收敛；但在) 1 , 1(-内非一致收敛.证明在区间] , [a a -上,有 011sup|)()(|sup ],[],[→-=--=---aaaxx S x S nna a n a a ) (∞→n ⇒∑一致收敛;而在区间) 1 , 1(-内, 取∈+=1n n x n ) 1 , 1(-, 有∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫⎝⎛+≥-=----1)1,1()1,1(1111 1sup |)()(|sup n nnn n n n nn n n x x x S x S ,) (∞→n ⇒∑非一致收敛.亦可由通项nn x x u =)(在区间) 1 , 1(-内非一致收敛于零⇒∑非一致收敛.几何级数∑∞=0n n x 虽然在区间) 1 , 1(-内非一致收敛,但在包含于) 1 , 1(-内的任何闭区间上却一致收敛. 我们称这种情况为“闭一致收敛”.因此,我们说几何级数∑∞=0n n x 在区间) 1 , 1(-内闭一致收敛.例11 判断函数项级数 ∑∞=in nnx 2sin 和 ∑∞=in nnx 2cos 在R 内的一致收敛性.340例12 设) , 2 , 1 ( )( =n x u n 是区间] , [b a 上的单调函数. 试证明:若级数∑)(a un与∑)(b u n 都绝对收敛, 则级数∑)(x u n 在区间] , [b a 上绝对并一致收敛 .简证 ,留为作业. |)(||)(| |)(|b u a u x u n n n +≤.…… 例13 判断函数项级数∑++-1)() 1(n nn nn x 在区间] 1 , 0 [上的一致收敛性.解记nn nn n x x v nx u ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=1)( , ) 1()(. 则有ⅰ> 级数∑)(x u n 收敛; ⅱ> 对每个∈x ] 1 , 0 [, )(x v n ↗；ⅲ>e n x x v nn ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1|)(| 对∀∈x ] 1 , 0 [和n ∀成立.由Abel 判别法, ∑在区间] 1 , 0 [上一致收敛.例14 设数列}{n a 单调收敛于零.试证明: 级数∑nx a n cos 在区间] 2 , [απα-)0(πα<<上一致收敛.证明由前面例4，在] 2 , [απα-上有212sin2121|2sin|21212sin2) 21sin(|cos |1+≤+≤-+=∑=αx x xn kx nk .可见级数∑nx cos 的部分和函数列在区间] 2 , [απα-上一致有界.取nx x u n cos )(=,n n a x v =)(就有级数∑)(x u n 的部分和函数列在区间] 2 , [απα-上一致有界, 而函数列)}({x v n 对每一个∈x ] 2 , [απα-单调且一致收敛于零.由Dirichlet 判别法,级数∑nx a n cos 在区间] 2 , [απα-上一致收敛.其实,在数列}{n a 单调收敛于零的条件下,级数∑nx ancos 在不包含) , 2 , 1 , 0 ( 2 ±±=k k π的任何区间上都一致收敛.341例15 证明函数)(x f =∑∞=-1n nxne在区间) , 0 (∞+内连续.证明 (先证∑∞=-1n nxne在区间) , 0 (∞+内闭一致收敛.)对+∞<<<∀b a 0，有nanxnene--≤≤0，∈x ] , [b a ；又∑+∞<-nane⇒∑∞=-1n nxne在] , [b a 一致收敛.( 次证对∈∀0x ) , 0 (∞+,)(x f 在点0x 连续 ) 对∈∀0x ) , 0 (∞+, 由上段讨论,∑∞=-1n nxne在区间] 2 , 2[00x x 上一致收敛;又函数nxne-连续⇒)(x f 在区间]2 , 2[00x x 上连续⇒ )(x f 在点0x 连续. 由点0x 的任意性,)(x f 在区间) , 0 (∞+内连续.例16 =)(x S ∑∞=-11n n nn x, ∈x ] 1 , 1 [-. 计算积分 ⎰xdt t S 0)(.解显然∑∞=-11n n nn x一致收敛. 则∑∑∑⎰⎰∑⎰∞=∞=-∞=-∞=-====1212111011)(n nn xn n xn xn n xnnxnntdt nn tdt nntdt t S .练习[1](北京理工大学2008年) 证明：xy y x f cos ),(=在2R 内不一致收敛.证明：取πn x n ='，2='ny ，4ππ+=''n x n ，2=''n y ，因为+∞=''+∞='∞→∞→nn n n x x lim ,lim ，所以122c o s 2c o s l i m ),(),(l i m =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=''''-''+∞→+∞→πππn n y x f y x f n nn n n n ，进而()n n n n y x y x f c os ),(=在2R 内不一致收敛，再有归结原则知，xy y x f cos ),(=在2R 内不一致收敛.[2](山东师范大学2010年) 试确定函数项级数111(1)n xn n∞+=-∑的收敛域，并讨论其和函数在定义域内的连续性与可微性.342解: （1）收敛域令xn nx u 1)(=，则当0>x 时，{})(x u n 单调递减，并且0)(lim =∞→x u n n ，所以由交错级数收敛的莱布尼兹判别法，则交错级数111(1)n xn n∞+=-∑收敛.进而级数111(1)n xn n∞+=-∑的收敛域为()+∞,0，并设111(1)()n xn S x n∞+=-=∑.（2）连续性因为)(1)1()2(1)1()1(1)1(lim )()1()()1()()1(lim 13212312=+-+++-++-=-++-+-++++∞→+++++++∞→xp n xn xn n p n p n n n n n n p n n n x u x u x u ，其中p 为常数，()+∞∈,0x ，所以函数项级数111(1)n xn n∞+=-∑在()+∞,0内一致收敛.又因为)()1(1x u n n +-在()+∞,0内连续，所以和函数)(x S 在()+∞,0内连续，即函数项级数111(1)n xn n∞+=-∑在()+∞,0内连续.（3）可微性因为函数项级数111111ln ln (1)(1)(1)n n nx xxn n n n n n nn+∞+∞+∞++==='-⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭∑∑∑在()+∞,0内一致收敛，原因如下： ()()()23112131lim(1)()(1)()(1)()ln(1)11lim (1)(1)(1)(1)(2)()0n n n p n n n p n n n n p xxxn u x u x u x n n n n p +++++++→∞++++→∞'''-+-++-+=-+-++-+++= ，343并且函数项级数111(1)n xn n∞+=-∑的每一项11(1)n xn+-的导数ln (1)nxn n-在()+∞,0内连续，所以和函数111()(1)n xn S x n∞+==-∑在()+∞,0内可微，并且111111ln ln ()(1)(1)(1)n n nx xxn n n n n S x n nn+∞+∞+∞++==='-⎛⎫'=-=-=- ⎪⎝⎭∑∑∑.[3] 设函数在[],a b 上连续，且对[],x a b ∀∈，函数项级数()1()nn f x ∞=∑收敛，试证明()1()nn f x ∞=∑在[],a b 上一致收敛.证明：因为函数项级数()1()nn f x ∞=∑在[],a b 上收敛，所以()()nn f x M ≤,并且()[]l i m ()l i m ()0,,nn n n u x f x x a b →∞→∞==∈, 即对01n ε∀<<,存在0N >,当n N>时,有()()()nnn u x f x ε=<,[],x a b ∈. 因为正项级数1nn N ε+∞=+∑收敛, 当然级数()111()Nnnnn n N n N f x N M εε+∞+∞==+=++≤+∑∑∑也收敛,其中{}1m ax n n NM M ≤≤=.所以魏尔斯特拉斯判别法知, 函数项级数()1()nn f x ∞=∑在[],a b 上一致收敛.[4](哈尔滨工大2008年) 设()x u n 在[]b a ,上满足条件：()()y x y u x u nn n -≤-21，,2,1=n ，且在[]b a ,上()x u n n ∑+∞=1逐点收敛，则()x u n n ∑+∞=1在[]b a ,上一致收敛.证明：()x u n n ∑+∞=1在[]b a ,上逐点收敛，所以()()()1lim limnn kn n k S x S x u x →∞→∞===∑，固定[],x a b ∈.由函数列(){}x S n 在[]b a ,上的柯西收敛准则：对0ε∀>，存在正整数N ，当,n m N >时，有()()n m S x S x ε-<，固定[],x a b ∈.344因为对[]b a x ,∈∀，有()()()()()()()()()()()()()()yx y x x S y S y S y S y S x S x S y S y S y S y S x S x S x S mnm m m n n n m m m n n n m n -++-<-+-+-≤-+-+-=-2121ε，其中[]b a y ,∈，且02121lim =⎪⎭⎫⎝⎛-++-∞→∞→y x y x m n m n ε，所以()x u n n ∑+∞=1在[]b a ,上一致收敛.[5](重庆大学2010年) 证明：函数项级数1(1)(1)n n n x x +∞=--∑在区间[]0,1上绝对收敛和一致收敛，但是级数1(1)n n x x +∞=-∑在区间[]0,1上不一致收敛.证明：（1）证明函数项级数1(1)(1)n n n x x +∞=--∑在区间[]0,1上绝对收敛和一致收敛.因为当()00,1x ∈时，有()()0000000101lim ()lim (1)(1)lim 11nn k kn n n n k x x S x x x x x x →∞→∞→∞=⎧⎫-⎡⎤⎪⎪=--=-⋅=⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎪⎪⎩⎭∑，而0,1x x ==时，函数项级数1(1)(1)0n nn x x +∞=--=∑，所以函数项级数1(1)(1)nnn x x +∞=--∑在区间[]0,1上绝对收敛，进而1,[0,1)(1)(1)()0,1nnn x x xx S x x +∞=∈⎧--==⎨=⎩∑. 又因为()()11(li m 11n nkkn n n n k x x x x S x xx x x x →∞→∞→∞=⎧⎫⎡⎤---⎡⎤-⎪⎪⎣⎦=--=-⋅=⎨⎬⎢⎥++⎣⎦⎪⎪⎩⎭∑，其中[]0,1x ∈，所以函数项级数1(1)(1)nnn x x +∞=--∑在区间[]0,1上一致收敛.345(2) 后证明级数1(1)n n x x +∞=-∑在区间[]0,1上不一致收敛因为当()00,1x ∈时，有()()0000000101lim ()lim (1)lim 11nn kn n n n k x x S x x x x x x →∞→∞→∞=⎧⎫-⎛⎫⎪⎪=-=-⋅=⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎪⎪⎩⎭∑，而00x =时, 有0lim ()0n n S x →∞=, 当01x =时, 有0lim ()0n n S x →∞=, 所以函数项级数函数项级数1(1)nn x x +∞=-∑收敛于()S x x =，即1(1)()n n x x S x x +∞=-==∑, []0,1x ∈.取1111n n x n +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()()11lim ()()lim 1lim 11nn nn n n n n n nn n n nx x S x S x x x x x +→∞→∞→∞--=-⋅-==-，所以函数列{}()n S x 在[]0,1上不一致收敛，进而级数1(1)n n x x +∞=-∑在区间[]0,1上不一致收敛.。

《高等数学(下册)》课件高等数学第7章

n
un
1 lim
n n
0
，所以该级数收敛。
（2）该级数也为交错级数。因为
lim
n
un
lim
n
n 2n 1
1 2
0
，所以
该级数发散。
三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛
如果数项级数的项可正可负，那么称为任意项级数。对于任意项级数，有绝对收敛与条件收敛。
定理4 设 un 为任意项级数，如果级数 | un | 收敛，则级数 un
定义1 设 un (x) (n 1，2 ， ) 是定义在区间I上的函数，级数
un (x) u1(x) u2 (x) un (x)
n 1
称为区间
I
上的函数项级数。对于区间
I
内确定的点
x0， n 1
un
( x0
)
即是数项级数。若
n 1
un
(x0 )
收敛，那么
x0
就称为级数
n 1
un (x)
当级数 un 收敛时，其和与部分和的差，即 S Sn ，称为级数 n 1
的余项，记为 rn ，则
rn S Sn un1 un2
例2
讨论级数
1 1 2
11 23 34
1 n(n 1)
的敛散性。
解
级数一般项
un
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
，所以级数的部分和为
Sn
1 1 2
1 23
1 34
n 1
n 1
n 1
收敛。
证明
令n
1 2
(|
un
|
un ) ，n
1，2 ，
，则级数 n 为正项级数。

解析函数的级数表示PPT课件

k 0
k 0
数学物理方法
性质 3
若级数 wk (z)在区域D（边界 L）上一致收敛，且各项wk (z) k 0
在区域 D 上解析，则
（1）级数和S(z) wk (z)在 D 内解析 k 0
（2）在 D 内级数可逐项求导任意多次：
S (m) (z) w(m)k (z) k 0
数学物理方法
证明：（1）.设：z——边界 L 上任意一点，z ——D 中任意
若 zk 收敛而 zk 发散，则称 zk 为条件收敛级数。
k 0
k 0
k 0
数学物理方法
例1 下列级数是否收敛？是否绝对收敛？
1
i
(8i)n
(1)n i
(1) (1 ) (2)
n1 n
n
n0 n!
(3) (
n1
n
2n )
解
(1)
n1
1 n
发散，
n1
1 n2
收敛，
n1
1 n
数学物理方法
四、一致收敛级数的性质
性质 1
若级数 wk (z)在 D 内一致收敛于S(z)，且其各项均为 D k 0
内的连续函数，则S(z)也是 D 内的连续函数。
性质 2
若级数 wk (z)在曲线 L 上一致收敛于S(z)，且各项均为 L k 0
上的连续函数，则级数可沿 L 逐项积分：
L s(z)dz L wk (z)dz L wk (z)dz
实质：1.找一个收敛的正项级数 mk（收敛性比较容易判断） k 0
2.将 wk (z) 与mk 比较
（在 D 上所有点）
数学物理方法
判别法 2
已知u(z)在 D（或 L）上是个有界函数，若 wk (z)在 D（或 k 0

函数项级数的概念

1 =1+ x + x 2 + x3 + ⋅ ⋅ ⋅ + x n + ⋅ ⋅ ⋅ . 1− x
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定理1(阿贝尔定理) 如果幂级数 ∑ anxn 当 x=x0(x0≠0) 时收敛 , 则适合不等式 |x|<|x0|的一切x使幂级数∑anxn绝对收敛. 反之, 如果幂级数∑anxn 当x=x0 时发散, 则适合不等式 |x|>|x0|的一切x使幂级数∑anxn发散. >>>定理证明
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二、幂级数及其收敛性
幂级数在函数项级数中, 形如 a0+a1x+a2x2+ ⋅ ⋅ ⋅ +anxn+ ⋅ ⋅ ⋅ 的级数称为幂级数, 其中常数ai(i=1,2,⋅ ⋅ ⋅)叫做幂级数的系数. 幂级数举例: 幂级数 1+x+x2+x3+ ⋅ ⋅ ⋅ +xn + ⋅ ⋅ ⋅ 是公比为x的几何级数. 它在|x|<1时收敛, 在|x|≥1时发散. 因此它的收敛域为(−1, 1), 在收敛域内有
an+1 lim | |= lim n +1 =1 n→∞ an n →∞ n
故收敛半径为R=1. 所以收敛域为(−1, 1) .
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定理2(收敛半径的求法) ∞ an +1 如果 lim | |= ρ , 则幂级数 ∑ an x n 的收敛半径 R 为: n →∞ an n =0 0 时 R = 1 , 当ρ=0 时 R=+∞, 当ρ=+∞时 R=0. 当ρ ≠ ρ

数学分析第十一章函数项级数

f ( x) .
例 8. 证明: x n 在(0,1)不一致收敛于 f ( x ) 0 .
例 9. 设 f n ( x ) x n (1 x )n . 证明: f n ( x ) 在 (0,1) 一致收敛于0 .
例 10.设 f n ( x ) x ,[a , b] ( 1,1) . 证明: f n ( x ) 在 [a , b]一致收敛于0 .
f n p ( x ) f n ( x ) .
定义. 设 f n ( x ), f ( x ) 是定义在 X 上函数, 令
f n f sup f n ( x ) f ( x ) : x X
定理 1.6. { f n ( x )}在 X 一致收敛于 f ( x ) 的充要条件是: lim f n f 0 .
的一致收敛性.
若 0, N , 使得当 n N 时, x X , 都有 fn ( x ) f ( x )
则当 n 时,{ f n ( x )} X 上一致收敛于 f ( x ) . 在
{ f n ( x )}在 X 上不一致收敛于 f ( x )
0 0 , N , nN N , xnN X ，使得
2.函数序列的一致收敛性
定义. 给定{ f n ( x )} . n , f n ( x ) 是定义在 X 上的
函数, 又设 f ( x )也是 X 上函数. 若 0, N ,
使得当n N 时, x X , 都有
fn ( x ) f ( x )
则称当 n 时, f n ( x ) 在 X 上一致收敛于
Sn p ( x ) Sn ( x ) uk ( x ) .
k n1

数学分析课件PPT之十三章函数列与函数项级数共78页PPT资料

余项的绝对值
11 r n s (x ) s n (x ) x n n(0 x )
对于任给 0 ，取自然数 N 1，
则当n N时，对于区间[0,]上的一切x，
有rn(x)，
根据定义，
所给级数在区间[0, ]上一致收敛于s(x)0.
例3 研究级数
x ( x 2 x ) ( x 3 x 2 ) ( x n x n 1 )
几何解释:
只要n充分大(nN),在区间 I 上所有曲
线ysn(x)将位于曲线
ys(x)与ys(x)之间.
y
ys(x)
ys(x)
ysn(x)
ys(x)
o
I
x
例2 研究级数
x11x12x11x1nx1n1
在区间[0,)上的一致收敛性.
解 sn(x)x1n,
s (x ) ln is n m (x ) ln ix m 1 n 0(0 x )
3.和函数:
在收敛域上,函数项级数的和是 x的函数s( x),
称s( x)为函数项级数的和函数.
s ( x ) u 1 ( x ) u 2 ( x ) u n ( x ) (定义域是?)
函数项级数的部分和 sn ( x), ln i m sn(x)s(x) 余项 r n (x ) s (x ) s n (x )
只要取 1，不论 n多么大，在 (0 ,1 )总存在
2
点 x n ，使rn 得 (xn),
因此级数在( 0, 1 )内不一致连续．
说明: 虽然函数序列 sn(x)xn在( 0, 1 )内处处收敛于 s(x)0,但 sn(x)在( 0, 1 )内各点处收
敛于零的“快慢”程度是不一致的．