2020年河南开封市二模 理科数学(含答案)

开封市2020届高三模拟考试

数学（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}|1A x x =>-，{}|ln 0B x x =<，则A B =

A.{}|0x x >

B.{}|1x x >

C.{}|11x x -<<

D.{}

|01x x <<2.若12i z =+，则

4i 1z z ⋅=-A.1 B.1- C.i D.i -3.已知命题2:,2n p n n ∃∈>N ，则p ⌝为A.2,2n

n n ∀∈>N B.2,2n n n ∃∈≤N C.2,2n n n ∀∈≤N D.2,=2n

n n ∃∈N 4.设等比数列{}n a 满足a 1+a 2=–1,a 1–a 3=–3，则S 6=

A.63-

B.21-

C.21

D.635.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若13sin α=，则()cos αβ-=

A.1-

B.79-

C.429

D.796.已知单位向量a ，b 满足1>a +b ，则a 与b 夹角的取值范围是A.03π⎡⎫⎪⎢⎣⎭， B.203π⎡⎫⎪⎢⎣⎭， C.3ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦

7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O -xyz 中的坐标分别是（1,0,1）,（1,1,0）,（0,1,1）,（0,0,0）,画该四面体三视图中的正视图时，以zox 平面为投影面，得到的正视图可以为

8.关于渐近线方程为x ±y =0

①实轴长与虚轴长相等,,③过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长

与实轴长相等，.其中所有正确结论的编号是

A ．①②

B ．①③

C ．①②③

D ．②③④

9.函数cos ln y x x =+的图象大致为

A. B.

C.

D.

10.为应对新冠疫情，许多企业在非常时期转产抗疫急需物资.某工厂为了监控转产产品的质量，测得某批n 件产品的正品率为98%，现从中任意有放回地抽取3件产品进行检验，则至多抽到1件次品的概率为A.0.998816 B.0.9996 C.0.057624 D.0.00118411.在ABC ∆中，=2

A π，=3A

B ，=4A

C ，动点P 在ABC ∆的内切圆上，若AP AB AC λμ=+ ，则λμ+的最大值为A.16 B.12 C.1 D.212.设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，2*1n n a a b n N +=+∈，则

A.当8610b a =->，

B.当8210b a =->，

C.当81104b a =>，

D.当81102

b a =>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.101()x x

-的展开式中4x 的系数是.14.曲线()+1x y ax e =在点()0,1处的切线与x 轴交于点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭

，则a=.15.已知12,F F 是椭圆222+13

x y E a =：的左，右焦点，点M 在E 上，且1223F MF π∠=，则12F MF ∆的面积为

.16.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，满足()()+20f x f x -=，且当()0,1x ∈时，()2f x x =.则()1f =，()()lg g x f x x =-，则函数()g x 的零点共有个.（本题第一空2分，第二空3分.）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知1cos 2

B =-，．△AB

C 的面积是否存在最大值？若存在，求对应三角形的三边；若不存在，说明理由.

从①2a c +=，②b =这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.

如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

18.（12分）

如图，点O 为长方形ABCD 的中心，EC ⊥平面ABCD ，BC=2CD=2，EC=M 是线段ED

上不同于E 的动点，N 是线段AC 上的动点.

（1）求证：平面ABE ⊥平面CBE ；

（2）求二面角M-BE-N 的取值范围.

19.（12分）

海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）．其频率分布直方图如下：

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A 的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；

箱产量＜50kg 箱产量≥50kg

旧养殖法新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．

附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．20.（12分）

已知抛物线2x y =，点11,24A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，39,24B ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，抛物线上的点13(,)()22P x y x -<<．（1）求直线AP 斜率的取值范围；（2）Q 是以AB 为直径的圆上一点，且=0AP BQ ⋅ ，求AP PQ ⋅ 的最大值．

21.（12分）

已知函数() 1.x f x ae x =--.（1）若()f x 的最小值为0，求a 的值；

（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111111222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，求m 的最小值.（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()4cos ,44sin x y ααα

=⎧⎨=+⎩为参数，P 是1C 上的动点，M 是OP 的中点，M 点的轨迹为曲线2C .以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求1C ，2C 的极坐标方程；

（2）射线=3πθ与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB .23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()12

f x x =-，M 为不等式()()++12f x f x <的解集.（1）求M ；

（2）证明：当,a b M ∈时，+1a b ab <+.P （K 2≥k ）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828