24.2(2)比例线段

PB AP 点P是线段AB上的一点，且 AP AB
求线段AP的长.（用 l 表示）
x l-x
l
A
l
P
.
B
即线段 AP是AB 和PB的比 例中项.
问1：由图可知，线段 AB、AP、PB之间有 怎样的数量关系？
PB AP 问2：结合已知条件 AP AB
答1：AP+PB=AB， 即AP+PB=l 设线段AP的长为x， 则线段PB的长为l-x. PB AP 答2：由 AP AB
8
P1
B
线段AP是较长线段还是较短线段不确定， 分析： 所以要分类讨论. 解： （1）当AP＞PB时， ∴AP=
5 1 2 AB=
（2）当PB＞AP时， ∴AP=
3 5 2 AB=
5 1 ×8= 2
4 5 4 12 4 5
3 5 ×8= 2
A
P1
P2
B
两个 一般地一条线段的黄金分割点有两个
1：已知线段MN的长为2厘米，点P 是线段MN的黄金分割 点，则较长的线段MP的长是 ( 5 1) 厘米，较短的线 段PN的长是 (3 5) 厘米. 2：已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB， AB=4厘米，那么线段AP、PB的长度分别是 (2 5 2)厘米 和 (6 2 5) 厘米．
短= 3 5 全
5 1 3 5 全= 全 2 2
2
例题1：已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB=8,
求较长线段AP和较短线段PB. ？ 分析：
？ 8
A
P
B
解：∵P是线段AB的黄金分割点， 根据题意AP＞PB ∴AP= （或PB=
5 1 2 AB=
PB AB AP 8 (4 5 4) 12 4 5
A
B
lx x 2 5 1 x )x 由AB=l，AP= l (l ， l x 得 l 2
x lx l 50 l 舍去；
5 1 l 5 l l 5 l 1 5 AP的长是 l AP是AB 和 PB 的比例中项 . x x l 是原方程的根，即线段 l2 2 2 2 2
(简称黄金数). 黄金分割数是一个无理数,
在应用时常取它的近似值0.618
5 -1 l 2
3 5 l 2
A
PB AP AP AB
点P是AB的黄金分割点（AP＞PB）
5 1 短 长 2 长 全 5 1 全， 长= 2
短=全－长=全－
l
P
B
5 -1 2
因 AP＞PB 故可以把线 段AP称为较 长线段，BP 称为较短线 段，AB称为 全长线段.”
例题：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点 O， SAOD SBOC
DO CO ；求证： . OB OA
D H O A B C
若已知条件中的 S吗？
练习
如图，已知AD、BE是 ABC 的两条高.
BC BE 求证： . AC AD
A
P
P
B
问：线段AB上特殊位置的点有中点，是否存在 这样的点-----分线段AB所得“部分”与“部分”以 及“部分”与“整体”之间的比值相等？ 答：存在 问：如何找到这个点确切的位置？ 寻找线段上的这点需满足什么条件？ AP＞PB
PB AP AP AB
即线段 AP是AB 和PB的比 例中项.
如图，线段AB的长度是
A
短 长 5 -1 长 全 2
则：长=
P
B
1.点P是AB的黄金分割点（AP＞PB）
5 1 全， 短= 3 5 全 2 2
2.一条线段的黄金分割点有两个
AD AE 1、如图，已知 ，SADE 1，SDBC 12. 求SABC . DB EC
2、如图，在矩形ABCD中截取正方形ABMN，已知 MN是BC和CM的比例中项，且CM= 3 5 ,求AD的长.
5 1 2
A
B
∵P是线段AB的黄金分割 点，AP＞PB， AB=AP+PB 2 ( 5 1) 5 1 . 即 PB 5 1
.
AP
5 1 2 5 1， 2
∴ 2 5 1
AP
AP
2
如果把AP=2改为PB=2, 如何求AB和AP的长.
得 AP
4
2
.∴AB=AP+PB=3+ 5
x
l-x
A
l
P
PB AP B AP AB
如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP>PB) 两段,其中AP是AB和PB的比例中项,那么称这种 分割为黄金分割,点P称为线段AB的黄金分割点.
5 1 5 1 0.618 x l 即 AP : AB 2 2
AP与AB的比值
5 1 称为黄金分割数 2
即 AP l ，如何求线段 AP的长？
PB
AP
得关于x的方程
l - x x x l
PB AP 点P是线段AB上的一点，且满足 AP AB
求线段AP的长.
x l-x
如图，线段AB的长度是
l
P l 解：线段AP的长为Χ，那么线段PB的长为l－Χ
AP 5 1 2 2 0 . 618 整理，得 1 AB 2 因为线段的长不可能为负数，所以 x PB AP 解得 2 在比例式中 ，线段 AP AB 2 5 1
5 1
5 1
在黄金分割问题中，
5 -1 l 2
3 5 l 2
A
l
P
B
短 长 5 -1 长 全 2
长=
5 1 全， 2
短= 3 5 全
2
已知线段全长、较长线段和较短线段中 的一个量可求出其他连个两个量
例题3：已知点P是线段AB的黄金分割点， 若AB=8,求线段AP的长.
A
P1
3. 已知点P是线段AB的黄金分割点，被分得的较 长线段PB=4厘米，那么较短线段PA= (2 5 2) 厘米， AB= (2 5 2) 厘米．
4. 已知点P是线段AB的黄金分割点， AB=4厘米， 那么线段AP长度是 (2 5 2) 或 (6 2 5) 厘米．
通过本节课的学习你得到了哪些新知识，又有哪些收获？
.
5 1 ×8= 2
4 5 4
5 1 × (4 5 4) 12 4 2 3 5 3 5 ×8 12 4 5 ) AB (或PB= 2 2
5 1 AP 2
5)
例题2：已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB， 且AP=2求AB和PB的长. ？ 2
分析：
？ P 解：∵P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB， ∴PB=