2013高考数学一轮同步训练(文科) 2.8幂函数与二次函数
高考数学一轮复习第二章函数6幂函数与二次函数课件新人教A版2
解析
关闭
答案
-25考点1
考点2
考点3
(2)(2020福建厦门一模)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)+f(-x)
=2,且当x>0时,f(x)=-x2-2x+1.若f(2m-3)≤4,则实数m的取值范围
是 [1,+∞)
.
解析:(2)设x<0,则-x>0,则f(-x)=-x2+2x+1.因为f(x)+f(-x)=2,所以
-
∴α=-2,∴f(x)= .
关闭
1
由 f(x)的图象可知,f(x)的减区间是(0,+∞).
y= 2 (0,+∞)
解析
答案
-12考点1
考点2
考点3
考点 1
幂函数的图象和性质
例1(1)若幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是
( C )
(2)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·
双基自测
1
2
3
4
5
1
3.(2020福建漳州一模)当α∈ -1, ,1,3
时,幂函数y=xα的图象不可能
2
经过的象限是(
)D
A.第二象限 B.第三象限
C.第四象限 D.第二、四象限
-10知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
4.(2020四川成都模拟)某社团小组需要自制实验器材,要把一段
长为12 cm的细铁丝锯成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个
思考如何求二次函数在闭区间上的最值?
-27考点1
考点2
考点3
2025届新高考数学一轮复习精讲精练：幂函数与二次函数(知识+真题+15类高频考点) ( 精讲)
幂函数与二次函数目录第一部分：基础知识 (2)第二部分：高考真题回顾 (3)第三部分：高频考点一遍过 (3)高频考点一：幂函数的定义 (3)角度1：求幂函数的值 (3)角度2：求幂函数的解析式 (4)角度3：由幂函数求参数 (4)高频考点二：幂函数的值域 (6)高频考点三：幂函数图象 (8)角度1：判断幂函数图象 (8)角度2：幂函数图象过定点问题 (10)高频考点四：幂函数单调性 (13)角度1：判断幂函数的单调性 (13)角度2：由幂函数单调性求参数 (14)角度3：由幂函数单调性解不等式 (15)高频考点五：幂函数的奇偶性 (18)高频考点六：二次函数 (20)角度1：二次函数值域问题 (20)角度2：求二次函数解析式 (21)角度3：由二次函数单调性（区间）求参数 (22)角度4：根据二次函数最值（值域）求参数.......................23角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题.....................24第四部分：新定义题（解答题）.. (29)第一部分：基础知识R R R |0}x x ≥|0}x x ≠R|0}y y ≥R|0}y y ≥2、二次函数形如2()(0)f x ax bx c a =++≠的函数叫做二次函数.第二部分：高考真题回顾1．（2023·天津·统考高考真题）设0.50.60.51.01, 1.01,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b<<【答案】D【详解】由 1.01x y =在R 上递增，则0.50.61.01 1.01a b =<=，由0.5y x =在[0,)+∞上递增，则0.50.51.010.6a c =>=.所以b a c >>.故选：D第三部分：高频考点一遍过高频考点一：幂函数的定义角度1：求幂函数的值角度2：求幂函数的解析式角度3：由幂函数求参数典型例题例题1．（2024上·山东威海·高一统考期末）已知幂函数2()(214)k f x k k x =--在()0,∞+上单调递增，则k =（）A ．3-B ．3C ．5-D ．5【答案】D高频考点二：幂函数的值域高频考点三：幂函数图象角度1：判断幂函数图象．．．．【答案】B【分析】对B选项，根据，二次函数开口向下，不满足，其他选项满足类幂函数和二次函数性质，得到答案.(10a≠时，二次函数对称轴为A ．⑥③④②⑦①⑤B ．⑥④②③⑦①⑤C ．⑥④③②⑦①⑤D ．⑥④③②⑦⑤①【答案】C【分析】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故角度2：幂函数图象过定点问题典型例题例题1．（2024上·上海·高一上海市吴淞中学校考期末）下列命题中正确的是（）A ．当0m =时，函数m y x =的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C ．幂函数m y x =图象不可能在第四象限内D ．若幂函数m y x =为奇函数，则m y x =是定义域内的严格增函数【答案】C【分析】由幂函数的图象与性质判断即可.A．p，q均为奇数，且p qB．q为偶数，p为奇数，且．．．．【答案】BD【分析】结合二次函数与幂函数的性质，逐一分析各选项即可得解.【详解】因为()22f x ax x =-，当1a =-时，()f x =，其图象开口向下，对称轴为高频考点四：幂函数单调性角度1：判断幂函数的单调性角度2：由幂函数单调性求参数典型例题例题1．（2023上·江苏镇江·高一江苏省镇江第一中学校考阶段练习）若()2222m my m m x+=--是幂函数，且在()0,∞+上单调递增，则m 的值为（）A ．1-或3B ．1或3-C ．1-D ．3【答案】D【分析】根据幂函数的性质即可求解.【详解】因为()2222mmy m m x+=--是幂函数，角度3：由幂函数单调性解不等式（2）根据函数的单调性和定义域得到不等式，解得答案.高频考点五：幂函数的奇偶性典型例题例题1．（2024·全国·高一假期作业）“幂函数()()21mf x m m x =+-在()0,∞+上为增函数”是“函数()222x x g x m -=-⋅为奇函数”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要【答案】A高频考点六：二次函数角度1：二次函数值域问题典型例题例题1．（2024上·江西·高一校联考期末）已知函数2()23=-+f x x x ，则()f x 在区间[]0,4的值域为（）A ．[]3,6B ．[]2,6C ．[]2,11D ．[]3,11【答案】C【分析】由二次函数的单调性计算即可得.【详解】()22()2312f x x x x =-+=-+，则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,4单调递增，又(1)2f =，(0)3f =，(4)11f =，故()f x 在区间[]0,4的值域为[]2,11.故选：C.例题2．（2024上·河南新乡·高一统考期末）已知函数()f x 满足()3log f x mx =，且()f x 的图象经过点()1,3.(1)求()f x 的解析式；(2)求函数()()()2[]45g x f x f x =-+在(],1-∞上的值域.【答案】(1)()3xf x =(2)[)1,5【分析】（1）利用指数和对数的互化公式，代入点的坐标即可求解；（2）利用换元法直接求解函数值域即可.【详解】（1）因为()3log f x mx =，所以()3mxf x =.又因为()f x 的图象经过点()1,3，所以33m =，解得1m =，故()f x 的解析式为()3xf x =.（2）当1x ≤时，033x <≤，令()(],0,3t f x t =∈，则()()222[]4545(2)1f x f x t t t -+=-+=-+，函数2(2)1y t =-+在(]0,2t ∈上单调递减，在[]2,3t ∈上单调递增，则当2t =时，()g x 取得最小值1，又22(2)1(02)15t -+<-+=，所以()g x 的值域为[)1,5.角度2：求二次函数解析式为2x =.角度3：由二次函数单调性（区间）求参数典型例题例题1．（2024下·云南红河·高一蒙自一中校考开学考试）已知二次函数221y x ax =-+在区间(2,3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是（）A ．(,2][3,)-∞⋃+∞B ．[2,3]C ．(,3][2,)-∞-⋃-+∞D ．[3,2]--【答案】A【分析】根据二次函数的性质求解.【详解】二次函数221y x ax =-+的对称轴为0x a =，欲使得()2,3x ∈时是单调的，则对称轴0x a =必须在(2,3)区间之外，即2a ≤或者3a ≥.故选：A.例题2．（2024上·四川宜宾·高一统考期末）已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+为偶函数，若函数()()21y f x a x =--在区间()1,1-上为单调函数，则实数a 的取值范围为（）A ．(],0-∞B ．[)2,+∞C ．[]0,2D ．(][),02,-∞⋃+∞【答案】D【分析】幂函数()()2133m f x m m x +=-+为偶函数，解得()2f x x =，函数()()21y f x a x =--在区间()1,1-上为单调函数，利用二次函数的性质，列不等式求实数a 的取值范围.【详解】()()2133m f x m m x +=-+为幂函数，则2331m m -+=，解得2m =或1m =，2m =时，()3f x x =；1m =时，()2f x x =.()f x 为偶函数，则()2f x x =.函数()()()22121y f x a x x a x =--=--在区间()1,1-上为单调函数，则11a -≤-或11a -≥，解得0a ≤或2a ≥，所以实数a 的取值范围为(][),02,-∞⋃+∞.故选：D.角度4：根据二次函数最值（值域）求参数角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题当区间[],3t t +在对称轴左侧时，即1t ≤-时，()()2min 3288f x f t t t =+=+-=-，解得2t =-或0=t （舍去）当区间[],3t t +在对称轴右侧时，即2t ≥时，()()2min 458f x f t t t ==--=-，解得3t =或1t =（舍去），当对称轴在区间[],3t t +内时，即12t -<<时，()()min 29f x f ==-，不符合题意，综上所述，2t =-或3t =第四部分：新定义题（解答题）()224223x x f m m x +=-⋅+-为定义域()(),00,∞-+∞U 上的“G 函数”，否则不是．【点睛】思路点睛：根据题目新定义转化为存在定义域内的x ，使得()()0f x f x -+=，进而判断方程是否有解.。
高考数学一轮总复习 专题2.4 二次函数与幂函数练习(含解析)文-人教版高三全册数学试题
专题2.4 二次函数与幂函数考点分析从近几年的高考试题来看，二次函数图像的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用．高考对幂函数，只需掌握简单幂函数的图象与性质. 融会贯通考点一 幂函数的图象和性质 【例1】幂函数（是常数）的图象（ ） A. 一定经过点 B. 一定经过点C. 一定经过点D. 一定经过点【答案】C考点：幂函数的性质. 【变式训练1】幂函数的图象经过点，则是（ ）A. 偶函数，且在上是增函数B. 偶函数，且在上是减函数C. 奇函数，且在上是增函数D. 非奇非偶函数，且在上是增函数【答案】C 【解析】设幂函数为 ，代入点，解得，所以，可知函数是奇函数，且在上是增函数，故选C.【变式训练2】【2017届某某某某一中高三上月考】已知幂函数nx x f =)(的图象过点)41,8(，且)2()1(f a f <+，则a 的X 围是（ ） A.13<<-a B.3-<a 或1>a C.1<a D.1>a【答案】B【解析】因为幂函数nx x f =)(的图象过点)41,8(， 所以321282243n n n -=⇒=⇒=-，23()f x x-= 是偶函数，且在()0,+∞上递减，在(),0-∞上递增，由)2()1(f a f <+得，12,a +>解得3-<a 或1>a ，故选B.考点：1、幂函数的图象与性质；2、绝对值不等式的解法.【例2】【2017届某某某某外国语学校高三上学期期中数学】已知函数是幂函数25m 3f(x)=(m m 1)x －－－－且幂函数是(0,+∞)上的增函数,则m 的值为（ ）A ．2B ．－1C ．－1或2D ．0 【答案】B【变式训练】【2017届某某省某某市高三上学期期末考试数学（文）】已知p ：幂函数()21m y m m x =--在()0,+∞上单调递增； :21q m -<，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 .0C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由题意，命题:p 幂函数()21m y m m x =-- 在()0,+∞上单调递增，则211{,20m m m m --=∴=> ，又:2112113q m m m -<⇔-<-<⇔<<，故p 是q 的充分不必要条件，选A. 【知识】(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质比较函数 特征性质y ＝x y ＝x 2y ＝x 312y x =1y x -=定义域RR R[0，＋∞) {x |x ∈R 且x ≠0} 值域R[0，＋∞)R[0，＋∞) {y |y ∈R 且y ≠0} 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数 奇函数单调性增x ∈[0，＋∞)时，增；x ∈(－∞，0]时，减增增x ∈(0，＋∞) 时，减；x ∈(－∞，0)时，减【解题方法与技巧】1．幂函数()y x R αα∈＝，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．2．在()0,1上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．考点二 二次函数的图象与性质 命题一：二次函数与不等式【例1】已知函数()()236f x x a a x c =-+-+.（1）当19c =时，解关于a 的不等式()10f >；（2）若关于x 的不等式()0f x >的解集是()1,3-，某某数a 、c 的值. 【答案】（1）()2,8-;（2）33a =±， 9c =.【变式训练】已知函数2)(2+-+=a bx ax x f .（1）若关于x 的不等式0)(>x f 的解集是)3,1(-，某某数b a ,的值； （2）若2=b ，0>a ，解关于x 的不等式0)(>x f .【答案】（1）2,1=-=b a ，（2）当1≥a 时，解集为),2()1,(+∞---∞aa ； 当10<<a 时，解集为),1()2,(+∞---∞ aa .【解析】（1）由题3,1-=x 是方程022=+-+a bx ax 的两根.代入有⎩⎨⎧=++=02382b a b ，∴⎩⎨⎧=-=21b a（2）当2=b 时，)1)(2(22)(2++-=+-+=x a ax a x ax x f ∵0>a ，∴0)(>x f 化为0)1)(2(>+--x aa x ①当12-≥-a a ，即1≥a 时，解集为1|{-<x x 或}2a a x -> ②当12-<-a a ，即10<<a 时，解集为aa x x 2|{-<或}1->x 综上，1≥a 时，解集为),2()1,(+∞---∞aa ；10<<a 时，解集为),1()2,(+∞---∞ aa .【知识】1、二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．2、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系当0∆<⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴无交点⇔20ax bx c ++=无实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;当0∆=⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴相切⇔20ax bx c ++=有两个相等的实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;z.xxk当0∆>⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴有两个不同的交点⇔20ax bx c ++=有两个不等的实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,)αβ-∞+∞.命题二：二次函数的单调性【例1】【2017届某某连城县一中高三上期中数学（文）】已知函数()()2210f x ax ax a =-+<，若1212,0x x x x <+=，则()1f x 与()2f x 的大小关系是（ ）A.()()12f x f x =B.()()12f x f x >C.()()12f x f x <D.与a 的值无关 【答案】C考点：二次函数图象与性质.【例2】如果函数f （x ）=x 2+2（a ﹣1）x+2在区间[4，+∞）上是递增的，那么实数a 的取值X 围是（ ）A ．a≤3 B．a≥﹣3 C ．a≤5 D．a≥5 【答案】B【解析】∵抛物线函数f （x ）=x 2+2（a ﹣1）x+2开口向上， 对称轴方程是x=1﹣a ，在区间[4，+∞）上递增， ∴1﹣a≤4，解得a≥﹣3． 故选B ．【变式训练】已知函数2()2f x x ax b =-++且(2)3f =-．（1）若函数()f x 的图象关于直线1x =对称，求函数()f x 在区间[2,3]-上的值域； （2）若函数()f x 在区间[1,)+∞上递减，某某数b 的取值X 围． 【答案】(1)[]1,19--；(2)3-≥b .考点：1.二次函数的值域；2.二次函数的单调性..0【例3】【2017届某某某某中学高三上学期月考】函数()()2212f x x a x =--+在区间[]1,4-上为单调函数，则a 的取值X 围是__________． 【答案】(][),05,-∞⋃+∞ 【解析】因为函数的对称轴为12)1(2-=-=a a x ,所以当11-≤-a 或41≥-a 时,即0≤a 或4≥a 时函数单调,故应填答案(][),05,-∞⋃+∞. 考点：二次函数的图象和性质及运用．【变式训练1】【某某省X 家港2016-2017学年高二期中数学（文】若函数()261f x x x =-+-在区间(),12a a +上不是单调函数,则实数a 的取值X 围是____. 【答案】（1，3）【解析】因为函数()261f x x x =-+-的对称轴为3x = ，函数在(),12a a + 不单调，312a a ∴<<+ ，解得： 13a <<，故答案为 ()1,3 .命题三：二次函数根的分布【例1】一元二次方程02)12(2=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值X 围是.【答案】203a <<【解析】记2()(21)2f x x a x a =+-+-，由已知得，(1)0,(1)0,f f <⎧⎨-<⎩解得203a <<．【变式训练】已知关于x 的方程11()()2042x x a -+=在区间[]1,0-上有实数根，则实数a 的取值X 围是. 【答案】[]1,0-【知识】设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤.k 为常数.则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理.【定理1】21x x k ≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042；【定理2】kxx<≤21⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆kabkafacb2)(42；【定理3】21xkx<<⇔0)(<kaf.推论1210xx<<⇔0<ac.推论2211xx<<⇔0)(<++cbaa.【定理4】2211kxxk<≤<⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆212122)()(4kabkkfkfaacb或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆212122)()(4kabkkfkfaacb【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a【定理6】在区间(,)a b 内有且只有一根，则()()0f a f b ≤，且检验等号． 【解题方法与技巧】二次方程根的分布问题，通常转化为相应二次函数与x 轴交点的个数问题，结合二次函数的图象通过对称轴，判别式Δ，相应区间端点函数值来考虑． 命题四：二次函数的最值【例1】【2016-2017学年某某省某某中学高二期中数学（文）】若函数24y x x =-的定义域为[]4,a -，值域为[]4,32-，则实数a 的取值X 围为__________．【答案】[]2,8【变式训练1】已知函数432--=x x y 的定义域是[]m ,0，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,425，则m 的取值X 围是（ ）A. (]4,0B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,23 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,23 D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23 【答案】C【解析】由题432--=x x y ，对称轴为：32x =.则325()24f =-，(0)4(3)f f =-=。
二次函数与幂函数一轮复习课件(共21张PPT)
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
实数 a 的值.
【解析】函数 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1 的图象的对称轴为直线 x=a,且函数图象开
有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,并且能避开复杂的推理与计算,大大简化解题过程.解决
二次函数问题时,注重“形”与“数”的有机结合.
【突破训练 2】已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值为 4,最小
值为 3,则实数 m 的取值范围是 [1,2] .
【解析】作出函数 f(x)的图象,如图所示,从图
3-2
【解析】(1)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3-2
2
2
∵0<m≤ ,∴
2
.
≥1,
∴g(m)=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|3m-2|,|4-m|}=max{2-3m,4-m}.
又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m.
解析
3-2
(2)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3
, 3 ,则 f
1
2
=
.
【解析】(1)设幂函数的解析式为 f(x)=xα,∵该函数的图象经过点
1
,
3
1
2
3 ,∴3-α= 3,解得 α=- ,
高考数学一轮复习专题2.7二次函数及幂函数练习(含解析)
第七讲二次函数与幂函数1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较R R R{x|x≥0}{x|x≠0}（1）二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数图像R R考向一 幂函数概念及性质【例1】已知幂函数223(22)n nf x n n x －＝＋－(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________． 【答案】 1【解析】由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意． 【举一反三】1．已知函数f (f )=(f 2−f −1)f f 2+2f −3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数f =() A ．−1 B ．2 C ．3 D ．2或−1【答案】A【解析】∵函数f (f )=(f 2−f −1)f f2+2f −3是幂函数，∴f 2−f −1=1，解得：f =2或f =−1，f =2时，f (f )=f ，其图象与两坐标轴有交点不合题意，f =−1时，f (f )=1f 4，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故f =−1，故选：A ．2．已知函数f（f）=(3f2−2f)f f是幂函数，若f（x）为增函数，则m等于（）A．−13B．−1C．1 D．−13或1【答案】C【解析】函数f（x）=（3m2-2m）x m是幂函数，则3m2-2m=1，解得m=1或m=-13，又f（x）为增函数，则m=1满足条件，即m的值为1．故选：C．3．已知幂函数f(f)=f f的图像过点(2,√2)，则下列说法正确的是（）A．f(f)是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增B．f(f)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减C．f(f)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增D．f(f)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】C【解析】∵幂函数y＝xα的图象过点（2，√2），∴√2=2α，解得α=12，故f（x）=√f，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故选：C．4．设α∈{−1，1，12，3}，则使函数y=f f的定义域为R且为奇函数的所有α的值为（）A．−1，1，3 B．12，1 C．−1，3 D．1，3【答案】D【解析】当α＝﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；当α＝1时，函数y＝f f的定义域为R且为奇函数，满足要求；当α=12函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；当α＝3时，函数y＝f f的定义域为R且为奇函数，满足要求；故选：D．考向二图像问题【例2】（1）当f∈{−1,12,1,3}时，幂函数f=f f的图象不可能经过的象限是A．第二象限 B．第三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限（2）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝f f（x≥0），g（x）＝fff f x的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】（1）D （2）D【解析】（1）因为f=f−1经过第一、三象限；f=f12经过第一象限；f=f1经过第一、三象限；f=f3经过第一、三象限；所以不可能经过的象限是第二、四象限，选D.（2）∵实数a＞0且a≠1，∴函数f（x）＝x a（x＞0）是上增函数，故排除A；∴当a＞1时，在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是下凹增函数，g（x）＝log a x的是增函数，观察四个选项，没有符合条件选项；当0＜a＜1时，∴在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是增函数，g（x）＝log a x是减函数，由此排除B和C，符合条件的选项只有D．故选：D．【举一反三】1．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数f=f 12的图象可能是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】幂函数y=f12为增函数，且增加的速度比价缓慢，只有④符合．故选：D．2．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）①②③④A．①f=f 13，②f=f2，③f=f12，④f=f−1B．①f=f3，②f=f2，③f=f 12，④f=f−1C．①f=f2，②f=f3y=x3，③f=f−1，④f=f 1 2D．①f=f 13，②f=f12，③f=f2，④f=f−1【答案】B【解析】②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项Ｃ，Ｄ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除Ａ故选：Ｂ．3．在同一直角坐标系中，函数f(f)=f f(f≥0)，f(f)=log f f(f>0,且f≠1)的图象可能是（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A项，对数函数过（1,0）点，但是幂函数不过（0,1）点，所以A项不满足要求；对于B项，幂函数f>1，对数函数0<f<1，所以B项不满足要求；对于C项，幂函数要求0<f<1，而对数函数要求，f>1，所以C项不满足要求；对于D项，幂函数与对数函数都要求0<f<1，所以D项满足要求；故选D.4．如图是幂函数y＝x m和y＝x n在第一象限内的图象，则( )A．－1<n<0,0<m<1 B．n<－1,0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1【答案】B【解析】由题图知，f=f f在[0,+∞)上是增函数，f=f f在(0,+∞)上为减函数，∴f>0,f<0，又当f>1时，f=f f的图象在f=f的下方，f=f f的图象在f=f−1的下方，∴f<1,f<−1，从而0<f <1,f <−1，故选B.考向三 比较大小【例3】设f =(35)25,f=(25)35,f=(25)25，则f ,f ,f 的大小关系是A ．f >f >fB ．f >f >fC ．f >f >fD ．f >f >f【答案】A【解析】对于函数f =(25)f ，在(0,+∞)上是减函数，∵35>25，∴(25)35<(25)25，即f <f ；对于函数f =f 25，在(0,+∞)上是增函数，∵35>25，∴(35)25>(25)25，即f >f ．从而f <f <f ．故A 正确． 【举一反三】1.已知点(f ,9)在幂函数f (f )=(f −2)f f 的图象上，设f =f (f − 13),f =f (ln 13)，f =f (√22) 则f ,f ,f 的大小关系为（ ）A ．f <f <fB ．f <f <fC ．f <f <fD ．f <f <f【答案】A【解析】由f (f )=(f −2)f f 为幂函数得f −2=1,f =3, 因为点(3,9)在幂函数f (f )上，所以3f =9，f =2,即f (f )=f 2， 因为f =f (f − 13)=f (3− 13),f =f (ln 13)=f (ff3),又3− 13<√22<1<ff3,所以f <f <f ，选A.2．设f =20.3，f =30.2，f =70.1，则f 、f 、f 的大小关系为（ ） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f【答案】B【解析】由题意得：f =20.3=√2310=√810，f =30.2=√3210=√910，f =70.1=√710f =√f 10在(0,+∞)上是增函数且9>8>7∴f >f >f 本题正确选项：f3.．已知f =(√2)125，f =925，f =4log 4f 2，则下列结论成立的是（ ） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f 【答案】A【解析】f =265=6415，f =345=8115，∵64<81，∴6415<8115，即f <f ，f =e 2>4>3>345=f ，故f <f <f ，选A .考向四 二次函数解析式【例4】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________．(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. (3)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.【答案】（1）f (x )＝x 2－2x ＋3 （2）x 2＋2x （3）x 2＋2x ＋1【解析】（1）由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b2＝1，∴b ＝2，∴f (x )＝x 2－2x ＋3.（2）设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .（3）设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a (a ≠0)，又f (x )＝ax 2＋bx ＋1，所以a ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1. 【举一反三】1.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 【答案】 x 2－4x ＋3【解析】因为f (2－x )＝f (2＋x )对任意x ∈R 恒成立，所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又f (x )的图象过点(4,3)，所以3a ＝3，即a ＝1，所以f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.2.已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【套路总结】1. 求二次函数解析式的方法【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.3.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式． 【答案】f (x )＝x 2－4x ＋3.【解析】∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2. 又∵f (x )图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.4.已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ∈R)．(1)若f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤1}，求实数b ，c 的值；(2)若f (x )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b 的取值范围．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57【解析】(1)设x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b ，x 1x 2＝c ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝0，c ＝－1.所以b ＝0，c ＝－1.(2)由题，知f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，所以c ＝－1－2b .记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，则⎩⎪⎨⎪⎧g (－3)＝5－7b >0，g (－2)＝1－5b <0，g (0)＝－1－b <0，g (1)＝b ＋1>0⇒15<b <57，即实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57. 考向五 二次函数的性质【例5】（1）设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．（2） 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是________ （3） 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 【答案】（1）[0,2] （2）[－3,0] （3）38或－3【解析】（1）二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0， 又由－－2a 2a＝1得图象的对称轴是直线x ＝1，所以a >0.所以函数的图象开口向上，且在[1,2]上单调递增，f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. （2）当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a2a≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]． （3）f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3. 综上可知，a 的值为38或－3.【举一反三】1．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ，x ∈[0,1]有最大值2，则a ＝________. 【答案】 2或－1【解析】函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a .当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1；当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)；当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.2．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是______．【答案】 [7，＋∞)【解析】 函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7.3．若函数φ(x )＝x 2＋m |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】 [－2,0]【解析】当0≤x <1时，φ(x )＝x 2－mx ＋m ，此时φ(x )单调递增，则m2≤0，即m ≤0；当x ≥1时，φ(x )＝x 2＋mx －m ，此时φ(x )单调递增，则－m2≤1，即m ≥－2.综上，实数m 的取值范围是[－2,0]．考向六 二次函数恒成立【例6】 (1)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________．（(2)函数f (x )＝a 2x＋3a x－2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________．【答案】（1） (－∞，－1) （2）2【解析】（1）设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54－m ，x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1.（2） 令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，显然g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以1<a ≤2，所以a 的最大值为2.1.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R)，x ∈R.(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围． 【答案】【解析】(1)由题意得f (－1)＝a －b ＋1＝0，a ≠0，且－b2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2)解法一：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立． 设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．∴g (x )min ＝g (－1)＝1. ∴k <1，即k 的取值范围为(－∞，1)．解法二：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1－k >0在区间[－3，－1]上恒成立，设g (x )＝x 2＋x ＋1－k ，则g (x )在[－3，－1]上单调递减，∴g (－1)>0，得k <1.2.设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞【解析】由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14<1x <1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12.3.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____________． 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 【解析】 因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 考向七 二次函数根的分布【例7】一元二次方程02)12(2=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是．【答案】203a <<【解析】记2()(21)2f x x a x a =+-+-，由已知得，(1)0,(1)0,f f <⎧⎨-<⎩解得203a <<．【举一反三】1.已知关于x 的方程11()()2042x x a -+=在区间[]1,0-上有实数根，则实数a 的取值范围是． 【答案】[]1,0-【解析】当0a =时，方程为1()202x -+=，解得1x =-，符合；当0a ≠时，记2()2f m am m =-+，其中1()2x m =．当[1,0]x ∈-时，1()[1,2]2x m =∈，所以题目条件等价于函数2()2f m am m =-+在区间[1,2]内有零点． 当0a >时有函数对称轴102x a =>，若180a ∆=-=，即18a =，此时21()28f m m m =-+的零点为4m =，不符合．因为(2)40f a =>，180a ∆=->，即18a <，所以可知对称轴142x a=>，画图可知此时()f m 在区间[1,2]内无零点． 当0a <时有函数对称轴102x a=<，此时180a ∆=->恒成立．因为(2)40f a =<，所以有(1)10f a =+≥，解得1a ≥-．所以此时10a -≤<．综上可得，10a -≤≤．2.若方程210x mx -+=的两实根分别为,αβ，且012αβ<<<<，则m 的取值范围是． 【答案】5(2,)2【解析】因为关于x 的方程012=+-mx x 的两个根为,αβ，且012αβ<<<<则满足(1)020(2)0520<-<⎧⎧∴⎨⎨>->⎩⎩f m f m ，这样可以解得m 的范围5(2,)2． 3.已知二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是 （ ）A ．()12,20B ．()12,18C ．()18,20D ．()8,18 【答案】A【解析】由题意得()()()20420{10{1000f b c f b c f c ->-+>-<⇒-+<>>，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为()()()2,0,1,0,3,2A B C ）：，而()393f b c =++，所以直线()393f b c =++过C 取最大值20，过B 点取最小值12，()3f 的取值范围是()12,20，选A ．4.已知函数()42f x xx x =-+，存在3210x x x >>≥，使得()()()123f x f x f x ==，则()123x x f x ⋅⋅的取值范围是__________． 【答案】()64,81【解析】根据题意，()222,442{ 6,4x x x f x x x x x x x -≥=-+=-+<，由图象可知，126,x x +=()()()1231116x x f x x x f x ∴⋅⋅=⋅-⋅()()2111166x x x x =⋅-⋅-+=()22116x x -+=()22139x ⎡⎤--+⎣⎦，()()21123,398,9x x <<∴--+∈，()()12364,81x x f x ∴⋅⋅∈，故答案为()64,81．1．已知函数f(f)=(f−1)2f f2−4f+2是在(0,+∞)上单调递增的幂函数，则f=( ) A．0或4 B．0或2 C．0 D．2【答案】C【解析】∵f（x）是幂函数，∴（m﹣1）2＝1，得m＝0，或m＝2，∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴m2﹣4m+2＞0，则当m＝0时，2＞0成立，当m＝2时，4﹣8+2＝﹣2，不成立，故选C．2．已知幂函数f（x）=x a（a是常数），则（）A．f(x)的定义域为R B．f(x)在(0,+∞)上单调递增C．f(x)的图象一定经过点(1,1)D．f(x)的图象有可能经过点(1,−1)【答案】C【解析】（1）对于A，幂函数f（x）=x a的定义域与a有关，不一定为R，A错误；（2）对于B，a＞0时，幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上单调递增，a＜0时，幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上单调递减，B错误；（3）对于C，幂函数f（x）=x a的图象过定点（1，1），C正确；（4）对于D，幂函数f（x）=x a的图象一定不过第四象限，D错误．故选：C．3．如图所示的曲线是幂函数f=f f在第一象限的图象，已知f∈{−4,−14,14,4}，相应曲线f1,f2,f3,f4对应的f值依次为（）A．−4，−14，14，4 B．4，14，−14，−4 C．−14，−4，4，14D．4，14，−4，−14【答案】B【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线f1,f2,f3,f4对应的f值依次为4，14，−14，−4．故选B．4．函数f=2|f|−f2(f∈f)的图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由于函数y=2|x|﹣x 2（x ∈R ）是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除B 、D ． 再由x=0时，函数值y=1，可得图象过点（0，1），故排除C ，从而得到应选A ，故选：A ．5．已知函数g （x ）=log a （x ﹣3）+2（a ＞0，a ≠1）的图象经过定点M ，若幂函数f （x ）=x α的图象过点M ，则α的值等于（ ）A ．﹣1B ．12 C ．2 D ．3 【答案】B【解析】∵y=log a （x ﹣3）+2（a ＞0，a ≠1）的图象过定点M ，∴M （4，2），∵点M （4，2）也在幂函数f （x ）=x α的图象上，∴f （4）=4α=2，解得α=12，故选：B ． 6．已知幂函数y =x n 在第一象限内的图象如图所示，则曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 值可能依次为A ．–2，–12，12，2B ．2，12，–12，–2C ．–12，–2，2，12D ．2，12，–2，–12 【答案】B【解析】由图象可知：C 1的指数n>1，C 2的指数0<n<1，C 3，C 4的指数小于0，且C 3的指数大于C 4的指数．据此可得，只有B 选项符合题意．故选B ．7．幂函数y =x n是奇函数，但图象不与坐标轴相交，则n 的值可以是 A ．3 B ．1 C ．0 D ．–1 【答案】D【解析】根据幂函数的性质判断出幂函数f =f f 是奇函数时，指数f 为奇数；幂函数f =f f 的图象与两坐标轴不相交时，幂函数的指数f 小于0，对照选项，只有D 正确．故选D ． 8．在函数f =1f 2,f =2f 2,f =f 2+f ,f =3f 中，幂函数的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】显然，根据幂函数定义可知，只有f =1f 2=f −2是幂函数，故选B ．9．已知函数f =f f ,f =f f ,f =f f 的图象如图所示，则f ,f ,f 的大小关系为（ ）A ．f <f <fB ．f <f <fC ．f <f <fD ．f <f <f 【答案】A【解析】由图像可知，f >1,f =12,0<f <12，得f >f >f ，故答案为：A. 10．当f ∈{−1,12,3}时，幂函数f =f f 的图象不可能经过的象限是 A ．第二象限 B ．第三象限C ．第四象限 D ．第二、四象限 【答案】D【解析】f =f −1的图象经过第一、三象限，f =f 12的图象经过第一象限，f =f 的图象经过第一、三象限，f =f 3的图象经过第一、三象限．故选D ．11．已知正实数f ,f ,f 满足log f 2=2，log 3f =13，f 6=172，则f ,f ,f 的大小关系是（ ） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f【答案】B【解析】由题得f 2=2,∴f 6=8,f =313,∴f 6=32=9, 因为8<172<9,a,b,c 都是正数，所以f <f <f .故选：B12．已知幂函数f （x ）=x a的图象经过点（2，√2），则函数f （x ）为（ ） A ．奇函数且在(0,+∞)上单调递增 B ．偶函数且在(0,+∞)上单调递减 C ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增D ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递减【答案】C，【解析】∵幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，√2），∴2a=√2，解得a=12∴函数f（x）=f12，∴函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．故选：C．13．已知函数f=f f2−5f+4（m∈Z）为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减，则m=（）A．2或3 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】幂函数f=f f2−5f+4为偶函数，且在(0,+∞)递减，∴f2−5f+4<0，且f2−5f+4是偶数，由f2−5f+4<0得1<f<4，又由题设f是整数，故f的值可能为2或3，验证知f=2或者3时，都能保证f2−5f+4是偶数，故f=2或者3即所求．故选：A14．已知函数f(f)为偶函数，当f>0时，f(f)=f2−3f，则（）A．f(tan70∘)>f(1.4)>f(−1.5)B．f(tan70∘)>f(−1.5)>f(1.4)C．f(1.4)>f(tan70∘)>f(−1.5)D．f(−1.5)>f(1.4)>f(tan70∘)【答案】A【解析】当f>0时，f(f)=(f−1.5)2−1.52，tan70∘−1.5>tan60∘−1.5≈0.232，又函数f(f)为偶函数，所以f(−1.5)=f(1.5)，1.5−1.4=0.1，根据二次函数的对称性以及单调性，所以f(tan70∘)>f(1.4)>f(−1.5).故选A15．已知函数f(f)=f2+ff+1在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,则实数f的取值范围是( )A．[−2,2]B．(−∞,−2]C．[2,+∞)D．R【答案】A【解析】由题意，函数f(f)=f2+ff+1表示开口向上，且对称轴的方程为f=−f2，要使得函数f(f)在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,≤1，解得−2≤f≤2，故选A.则−1≤−f216．幂函数f(f)=(f2−2f+1)f2f−1在(0,+∞)上为增函数，则实数f的值为____________．【答案】2【解析】由函数f(f)=(f2−2f+1)f2f−1是幂函数，则f2−2f+1=1，解得f=0或f=2；当f=0时，f(f)=f−1，在(0,+∞)上为减函数，不合题意；当f=2时，f(f)=f3，在(0,+∞)上为增函数，满足题意．故答案为：2．17. 已知函数f (f )=(f 2−f −1)f f 是幂函数，且f (f )在(0,+∞)上单调递增，则实数f =________. 【答案】2【解析】∵幂函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m在区间（0，+∞）上单调递增，∴{f 2−f −1=1f＞0，解得m ＝2或-1（舍）．故答案为：2．18．已知幂函数f (f )=(f 2−2f −7)f f −1在(0,+∞)上是减函数，则实数f 的值为__________． 【答案】-2【解析】因为函数f (f )=(f 2−2f −7)f f −1是幂函数，所以f 2−2f −7=1，即(f +2)(f −4)=0， 解得f =−2或f =4，当f =−2时，f (f )=f −3，满足在(0,+∞)上是减函数，当f =4时，f (f )=f 3，在(0,+∞)上是增函数，所以f =−2，故答案是：−2. 19．若f (f )=(f −1)2f f 是幂函数且在(0,+∞)单调递增，则实数f =_______. 【答案】2【解析】f (f )=(f −1)2f f 为幂函数，所以(f −1)2=1，解得f =0或2. 当f =0时，f (f )=f 0=1，在(0,+∞)不单调递增，舍去； 当f =2时，f (f )=f 2，在(0,+∞)单调递增成立.故答案为：f =2. 20．已知幂函数f （x ）=（m 3–m +1）x12(1−8f −f 2)的图象与x 轴和y 轴都无交点．（1）求f （x ）的解析式；（2）解不等式f （x +1）>f （x –2）． 【答案】（1）f （x ）=x –4；（2）{x |x <12，x ≠0}．【解析】（1）因为f （x ）是幂函数，所以m 3–m+1=1，解得m ∈{0，±1}，又f （x ）的图象与x 轴和y 轴都无交点，经检验，只有当m=1时符合题意，所以m=1，此时f （x ）=x –4； （2）f （x ）=x –4是偶函数且在（0，+∞）递减，所以要使f （x+1）>f （x –2）成立，只需|x+1|<|x –2|，解得x<12， 又f （x ）的定义域为{x|x ≠0}，所以不等式的解集为{x|x<12，x ≠0}． 21．已知幂函数y =f （x ）=f −2f2−f +3，其中m ∈[–2，2]，m ∈Z ，①定区间（0，+∞）的增函数；②对任意的x ∈R ，都有f （–x ）+f （x ）=0；求同时满足①、②两个条件的幂函数f （x ）的解析式，并求x ∈[0，3]时，f （x ）的值域．【答案】f (f )=f 3；[0,27]. 【解析】∵幂函数y =f （x ）=f −2f2−f +3在区间（0，+∞）为增函数，∴–2m 2–m +3>0，即2m 2+m –3<0，解得m ∈（−32，1）， 又∵m ∈Z ，∴m =–1或m =0，当m =–1时，y =f （x ）=x 2为偶函数，不满足f （–x ）+f （x ）=0； 当m =0时，y =f （x ）=x 3为奇函数，满足f （–x ）+f （x ）=0． ∴同时满足①、②两个条件的幂函数f （x ）=x 3，当x ∈[0，3]时，f （x ）∈[0，27]，即函数f （x ）的值域为[0，27]． 22．已知函数f (f )=(f 2−2f −2)log f f 是对数函数．（1）若函数f (f )=log f (f +1)+log f (3−f )，讨论函数f (f )的单调性；（2）在（1）的条件下，若f ∈[13,2]，不等式f (f )−f +3≤0的解集非空，求实数f 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）[4,+∞)．【解析】（1）由题意可知{f 2−2f −2=1f >0且f ≠1，解得f =3（负值舍去），所以f (f )=log 3f ．因为f (f )=log f (f +1)+log f (3−f )，所以{f +1>03−f >0 ，即{f >−1f <3，即−1<f <3，故f (f )的定义域为{f |−1<f <3}．由于f (f )=log 3(f +1)+log 3(3−f )=log 3(−f 2+2f +3)， 令f (f )=−f 2+2f +3(−1<f <3)，则由对称轴f =1可知，f (f )在(−1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减； 因为f =log 3f 在(0,+∞)上单调递增，所以函数f (f )的单调递增区间为(−1,1)，单调递减区间为(1,3)．（2）因为不等式f (f )−f +3≤0的解集非空，所以f −3≥f (f )min ,f ∈[13,2]， 由（1）知，当f ∈[13,2]时，函数f (f )的单调递增区间为[13,1]，单调递减区间为(1,2]， 因为f (13)=log 3329,f (2)=1，所以f (f )min =1，所以f −3≥1，即f ≥4，故实数f 的取值范围为[4,+∞)． 23．设二次函数f (f )=f 2+ff +f ，f ，f ∈f ．（1）若f (f )满足：对任意的f ∈f ，均有f (−f )≠−f (f )，求f 的取值范围； （2）若f (f )在(0，1)上与f 轴有两个不同的交点，求f 2+(1+f )f 的取值范围．【答案】(1) (0,+∞) (2) (0,116)【解析】（1）∵f (−f )+f (f )=(−f )2+f (−f )+f +f 2+ff +f =2(f 2+f )≠0恒成立， 所以，方程f 2+f =0无实数解所以，f 取值范围为(0,+∞)（2）设f (f )=0的两根为f 1，f 2，且0<f 1<f 2<1，则f (f )=(f −f 1)(f −f 2)， 所以f 2+(1+f )f =f (1+f +f )=f (0)f (1)=(0−f 1)(0−f 2)(1−f 1)(1−f 2)=f 1f 2(1−f 1)(1−f 2)=(−f 12+f 1)(−f 22+f 2)=[−(f 1−12)2+14][−(f 2−12)2+14]≤116.又因为f 1，f 2不能同时取到12，所以f 2+(1+f )f 取值范围为(0,116)． 24. 已知函数f (f )=f 2−2(f −1)f +4. （Ⅰ）若f (f )为偶函数，求f (f )在[−1,2]上的值域；（Ⅱ）若f (f )在区间(−∞,2]上是减函数，求f (f )在[1,f ]上的最大值. 【答案】（Ⅰ）[4,8]；（Ⅱ）7-2f【解析】（Ⅰ）因为函数f (f )为偶函数，故f (−f )=f (f )，得f =1.f (f )=f 2+4，因为−1≤f ≤2，所以4≤f (f )≤8,故值域为：[4,8].（Ⅱ）若f (f )在区间(−∞,2]上是减函数，则函数对称轴f =f −1≥2,f ≥3因为1<f −1<f ，所以f ∈[1,f −1]时，函数f (f )递减，[f −1,f ]时，函数f (f )递增，故当f ∈[1,f ]时，f (f )max {f (1),f (f )} ，∴f (1)=7−2f ,f (f )=−f 2+2f +4，f (1)−f (f )=(7−2f )−(−f 2+2f +4)=f 2−4f +3=(f −2)2−1由于f ≥3∴f (1)≥f (f ) ，故f (f )在[1,f ]上的最大值为7-2f .25．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． 【答案】（1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. （2）a ＝－13或－1【解析】(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，函数图象的对称轴为x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)函数图象的对称轴为直线x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意； ②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意． 综上可知，a ＝－13或－1. 26.设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．【答案】见解析【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2. 综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2t ＋2，t ≥1.。
高考数学一轮复习教学案二次函数与幂函数(含解析)
第六节二次函数与幂函数[知识能否忆起]一、常用幂函数的图象与性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0} 值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]减(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)二、二次函数1．二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．2．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．3．二次函数的图象和性质a>0a<0 图象图象特点①对称轴：x＝－b2a；②顶点：⎝⎛⎭⎫－b2a，4ac－b24a性质定义域 x ∈R值域y ∈⎣⎡4ac －b 24a ，＋∞y ∈⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a 奇偶性b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数单调性x ∈－∞，⎦⎤－b 2a 时递减，x ∈－b2a，＋∞时递增x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 时递增，x ∈⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞时递减[小题能否全取]1．若f (x )既是幂函数又是二次函数，则f (x )可以是( ) A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝5x 2 C ．f (x )＝－x 2D ．f (x )＝x 2解析：选D 形如f (x )＝x α的函数是幂函数，其中α是常数．2．(教材习题改编)设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3解析：选A 在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 3中，只有函数y ＝x 和y ＝x 3的定义域是R ，且是奇函数，故α＝1,3.3．(教材习题改编)已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，120B.⎝⎛⎭⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎫120，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－120，0 解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0得a >120.4．(教材习题改编)已知点M ⎝⎛⎭⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为________．解析：设幂函数的解析式为y ＝x α，则3＝⎝⎛⎭⎫33α，得α＝－2.故y ＝x －2. 答案：y ＝x －25．如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________．解析：由题意知⎩⎨⎧－a ＋22＝1，a ＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝6.则f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5≥5. 答案：51.幂函数图象的特点(1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性；(2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内；(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 2．与二次函数有关的不等式恒成立问题 (1)ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.[注意] 当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．幂函数的图象与性质典题导入[例1] 已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x－5m －3在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________.[自主解答] ∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x －13在(0，＋∞)上是减函数； 当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1. [答案] －1由题悟法1．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查： (1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸； 0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．以题试法1．(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是( )A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析：选B 由图①知，该图象对应的函数为奇函数且定义域为R ，当x >0时，图象是向下凸的，结合选项知选B.(2)(·淄博模拟)若a <0，则下列不等式成立的是( ) A ．2a >⎝⎛⎭⎫12a>(0.2)aB ．(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a>2aC.⎝⎛⎭⎫12a>(0.2)a>2aD ．2a >(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a解析：选B 若a <0，则幂函数y ＝x a 在(0，＋∞)上是减函数，所以(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a>0.所以(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a>2a .求二次函数的解析式典题导入[例2] 已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且它有最小值－1. (1)求f (x )解析式；(2)若g (x )与f (x )图象关于原点对称，求g (x )解析式． [自主解答] (1)由于f (x )有两个零点0和－2， 所以可设f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 这时f (x )＝ax (x ＋2)＝a (x ＋1)2－a ， 由于f (x )有最小值－1，所以必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a ＝－1，解得a ＝1.因此f (x )的解析式是f (x )＝x (x ＋2)＝x 2＋2x .(2)设点P (x ，y )是函数g (x )图象上任一点，它关于原点对称的点P ′(－x ，－y )必在f (x )图象上，所以－y ＝(－x )2＋2(－x )， 即－y ＝x 2－2x ， y ＝－x 2＋2x ， 故g (x )＝－x 2＋2x .由题悟法求二次函数的解析式常用待定系数法．合理选择解析式的形式，并根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式，把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法．以题试法2．设f (x )是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ，当x >2时，y ＝f (x )的图象是顶点为P (3,4)，且过点A (2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f (x )的草图； (3)写出函数f (x )的值域．解：(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4，将(2,2)代入可得a＝－2，则y＝－2(x－3)2＋4，即x>2时，f(x)＝－2x2＋12x－14.当x<－2时，即－x>2.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14，即f(x)＝－2x2－12x－14.所以函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为f(x)＝－2x2－12x－14.(2)函数f(x)的图象如图，(3)由图象可知，函数f(x)的值域为(－∞，4]．二次函数的图象与性质典题导入[例3]已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．[自主解答](1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]．所以f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，故f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.故a 的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．本例条件不变，求当a ＝1时，f (|x |)的单调区间． 解：当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，则f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，故f (|x |)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－6,0]．由题悟法解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论．(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题的求法．以题试法3．(·泰安调研)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________．解析：f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， 当a >1时，y max ＝a ；当0≤a ≤1时，y max ＝a 2－a ＋1； 当a ＜0时，y max ＝1－a .根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1－a ＝2，解得a ＝2或a ＝－1. 答案：2或－1二次函数的综合问题[例4] (·衡水月考)已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1. (1)若存在x ∈R 使f (x )<b ·g (x )，求实数b 的取值范围；(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围．[自主解答] (1)∃x ∈R ，f (x )<bg (x )⇒∃x ∈R ， x 2－bx ＋b <0⇒(－b )2－4b >0⇒b <0或b >4. 故b 的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞)． (2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2， Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4. ①当Δ≤0，即－255≤m ≤255时，则必需⎩⎨⎧m2≤0，－255≤m ≤255⇒－255≤m ≤0.②当Δ>0，即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)．若m2≥1，则x 1≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1，F (0)＝1－m 2≤0⇒m ≥2； 若m2≤0，则x 2≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0，F (0)＝1－m 2≥0⇒－1≤m ≤－255.综上所述，m 的取值范围为[－1,0]∪[2，＋∞)．由题悟法二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们之间有着密切的联系，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关“三个二次”的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．4．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由f (0)＝1，得c ＝1.即f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，则a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1， 由－m －1>0得，m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．1．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：x 1 12 f (x )122则不等式f (|x |)≤2的解集是(A ．{x |0<x ≤2} B ．{x |0≤x ≤4} C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |－4≤x ≤4}解析：选D 由f ⎝⎛⎭⎫12＝22⇒α＝12，即f (x )＝x 12，故f (|x |)≤2⇒|x |12≤2⇒|x |≤4，故其解集为{x |－4≤x ≤4}．2．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )解析：选D ∵a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0， ∴a >0，c <0.∴图象开口向上与y 轴交于负半轴．3．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 解析：选C 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a .4．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．f (－3)<c <f ⎝⎛⎭⎫52 B ．f ⎝⎛⎭⎫52<c <f (－3) C ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)<cD ．c <f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)解析：选D 由已知可得二次函数图象关于直线x ＝1对称，则f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (2)＝f (0)＝c .5．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]解析：选D 二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)≤0，x ∈[0,1]，所以a >0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1. 所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.6．若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－52B.⎝⎛⎭⎫52，＋∞ C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫－52，＋∞ 解析：选B 设f (x )＝x 2－2mx ＋4，则题设条件等价于f (1)<0，即1－2m ＋4<0，解得m >52. 7．对于函数y ＝x 2，y ＝x 12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增； ③它们的图象关于直线y ＝x 对称； ④两个函数都是偶函数； ⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)； ⑥两个函数的图象都是抛物线型． 其中正确的有________．解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较． 答案：①②⑤⑥8．(·北京西城二模)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，则实数b ＝________，不等式f (x －1)<x 的解集为________．解析：因为f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，所以b ＝0，则f (x )＝x 2＋1，解不等式(x －1)2＋1<x ，即x 2－3x ＋2<0得1<x <2.答案：0 {x |1<x <2}9．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为________． 解析：由x ≥0，y ≥0，x ＝1－2y ≥0知0≤y ≤12，令t ＝2x ＋3y 2＝3y 2－4y ＋2， 则t ＝3⎝⎛⎭⎫y －232＋23. 在⎣⎡⎦⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，t min ＝34.答案：3410．如果幂函数f (x )＝x －12p 2＋p ＋32(p ∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．求p的值，并写出相应的函数f (x )的解析式．解：∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴－12p 2＋p ＋32>0，即p 2－2p －3<0.∴－1<p <3.又∵f (x )是偶函数且p ∈Z ， ∴p ＝1，故f (x )＝x 2.11．已知二次函数f (x )的图象过点A (－1,0)、B (3,0)、C (1，－8)． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在x ∈[0,3]上的最值； (3)求不等式f (x )≥0的解集．解：(1)由题意可设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)， 将C (1，－8)代入得－8＝a (1＋1)(1－3)，得a ＝2. 即f (x )＝2(x ＋1)(x －3)＝2x 2－4x －6. (2)f (x )＝2(x －1)2－8，当x ∈[0,3]时，由二次函数图象知， f (x )min ＝f (1)＝－8，f (x )max ＝f (3)＝0. (3)f (x )≥0的解集为{x |x ≤－1，或x ≥3}．12．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－m ·x 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝5，f (2)＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. 当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝2，f (2)＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2. g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， ∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.1．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13 B.12 C.34D ．1解析：选D 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.2．(·青岛质检)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2 3．(·滨州模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知得c ＝1，a －b ＋c ＝0，－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.则f (x )＝(x ＋1)2.则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.故F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又当x ∈(0,1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，故－2≤b ≤0.1．比较下列各组中数值的大小． (1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)4.125，3.8－25，(－1.4)35；(4)0.20.5,0.40.3.解：(1)函数y ＝3x 是增函数，故30.8>30.7. (2)y ＝x 3是增函数，故0.213<0.233.(3)4.125>1,0<3.8－25<1，而(－1.4)35<0，故4.125>3.8－25>(－1.4)35.(4)先比较0.20.5与0.20.3，再比较0.20.3与0.40.3，y ＝0.2x 是减函数，故0.20.5<0.20.3；y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是增函数，故0.20.3<0.40.3.则0.20.5<0.40.3.2．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D 当－b2a <0时，ab >0，从而c >0，可排除A ，C ；当－b2a >0时，ab <0，从而c <0，可排除B ，选D.3．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋1. (1)试讨论函数f (x )的单调性；(2)若13≤a ≤1，且f (x )在[1,3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，令g (a )＝M (a )－N (a )，求g (a )的表达式；(3)在(2)的条件下，求证：g (a )≥12.解：(1)当a ＝0时，函数f (x )＝－2x ＋1在(－∞，＋∞)上为减函数； 当a >0时，抛物线f (x )＝ax 2－2x ＋1开口向上，对称轴为x ＝1a ，故函数f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，1a 上为减函数，在⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞上为增函数； 当a <0时，抛物线f (x )＝ax 2－2x ＋1开口向下，对称轴为x ＝1a ，故函数f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，1a 上为增函数，在⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞上为减函数． (2)∵f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2＋1－1a， 由13≤a ≤1得1≤1a ≤3，∴N (a )＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1－1a . 当1≤1a <2，即12<a ≤1时，M (a )＝f (3)＝9a －5，故g (a )＝9a ＋1a－6；当2≤1a ≤3，即13≤a ≤12时，M (a )＝f (1)＝a －1，故g (a )＝a ＋1a－2.∴g (a )＝⎩⎨⎧a ＋1a－2，a ∈⎣⎡⎦⎤13，12，9a ＋1a －6，a ∈⎝⎛⎦⎤12，1.(3)证明：当a ∈⎣⎡⎦⎤13，12时，g ′(a )＝1－1a 2<0， ∴函数g (a )在⎣⎡⎦⎤13，12上为减函数； 当a ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，g ′(a )＝9－1a 2>0， ∴函数g (a )在⎝⎛⎦⎤12，1上为增函数，∴当a ＝12时，g (a )取最小值，g (a )min ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝12. 故g (a )≥12.。
高考数学一轮复习专题训练—幂函数与二次函数
幂函数与二次函数考纲要求 1.了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 知识梳理 1.幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数. (2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点.(2)二次函数的图象和性质函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象 (抛物线)定义域 R值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a顶点 坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数 单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上是减函数； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上是增函数 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上是增函数； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上是减函数1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时，恒有f (x )>0；当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x 13是幂函数.( )(2)当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数.( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b 24a.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×解析 (1)由于幂函数的解析式为f (x )＝x α，故y ＝2x 13不是幂函数，(1)错误. (3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式. (4)对称轴x ＝－b 2a ，当－b2a 不在给定定义域内时，最值不是4ac －b 24a，故(4)错误.2.已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12B.1C.32D.2答案 C解析 因为f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1. 又f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22， 所以α＝12，所以k ＋α＝1＋12＝32.3.已知函数f (x )＝－2x 2＋mx ＋3(0≤m ≤4，0≤x ≤1)的最大值为4，则m 的值为________. 答案 2 2解析 f (x )＝－2x 2＋mx ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫x －m 42＋m 28＋3，∵0≤m ≤4，∴0≤m4≤1，∴当x ＝m4时，f (x )取得最大值，∴m 28＋3＝4，解得m ＝2 2.4.(2021·全国大联考)不等式(x 2＋1)12>(3x ＋5)12的解集为( ) A.⎣⎡⎭⎫－53，－1∪(4，＋∞) B.(－1，4)C.(4，＋∞)D.(－∞，－1)∪(4，＋∞)答案 A解析 不等式(x 2＋1)12>(3x ＋5)12等价于x 2＋1>3x ＋5≥0， 解得－53≤x <－1或x >4.所以原不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－53，－1∪(4，＋∞). 5.(2020·贵阳质检)若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5，8]上是单调函数，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，40]B.[40，64]C.(－∞，40]∪[64，＋∞)D.[64，＋∞)答案 C解析 f (x )图象的对称轴x ＝k8，且f (x )在[5，8]上是单调函数， ∴k 8≥8或k8≤5，解之得k ≥64或k ≤40. 6.(2018·上海卷)已知α∈⎩⎨⎧－2，－1，－12，⎭⎬⎫12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______. 答案 －1解析 由y ＝x α为奇函数，知α取－1，1，3. 又y ＝x α在(0，＋∞)上递减， ∴α<0，取α＝－1.考点一 幂函数的图象和性质1.若幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的大致图象是( )答案 C解析 设幂函数的解析式为y ＝x α， 因为幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)， 所以2＝4α，解得α＝12.所以y ＝x ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x <1时，其图象在直线y ＝x 的上方，对照选项，C 正确.2.已知函数f (x )＝(m 2－m －1)·x m 2－2m －3是幂函数，且在(0，＋∞)上递减，则实数m ＝( )A.2B.－1C.4D.2或－1答案 A解析 依幂函数定义，m 2－m －1＝1，∴m ＝2或m ＝－1， 当m ＝2时，f (x )＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，当m ＝－1时，f (x )＝x 0＝1在(0，＋∞)上不是减函数，舍去. ∴m ＝2.3.(2021·衡水中学调研)已知点(m ，8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n 的图象上，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫13，b ＝f (ln π)，c ＝f (2－12)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <c <b B.a <b <cC.b <c <aD.b <a <c答案 A解析 由于f (x )＝(m －1)x n 为幂函数， 所以m －1＝1，则m ＝2，f (x )＝x n . 又点(2，8)在函数f (x )＝x n 的图象上，所以8＝2n ，知n ＝3，故f (x )＝x 3，且在R 上是增函数， 又ln π>1>2－12＝22>13， 所以f (ln π)>f (2－12)>f ⎝⎛⎭⎫13，则b >c >a .4.(2021·郑州质检)幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m 的图象关于y 轴对称，则实数m ＝________. 答案 2解析 由幂函数定义，知m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2， 当m ＝1时，f (x )＝x 的图象不关于y 轴对称，舍去， 当m ＝2时，f (x )＝x 2的图象关于y 轴对称， 因此m ＝2.感悟升华 1.对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.3.在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴. 考点二 二次函数的解析式【例1】 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.解 法一 (利用“一般式”) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 (利用“顶点式”) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8， 所以y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， 所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三 (利用“零点式”)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－（－a ）24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍).故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.感悟升华 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：【训练1】 (1)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0，0)和(－2，0)，且有最小值－1，则f (x )＝________.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 答案 (1)x 2＋2x (2)x 2－4x ＋3解析 (1)设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 所以f (x )＝ax 2＋2ax ， 由4a ×0－4a 24a ＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .(2)因为f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立， 所以y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称.又y ＝f (x )的图象在x 轴上截得的线段长为2， 所以f (x )＝0的两根为2－22＝1或2＋22＝3.所以二次函数f (x )与x 轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0). 因此设f (x )＝a (x －1)(x －3). 又点(4，3)在y ＝f (x )的图象上， 所以3a ＝3，则a ＝1.故f (x )＝(x －1)(x －3)＝x 2－4x ＋3. 考点三 二次函数的图象和性质角度1 二次函数的图象【例2】 (1)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b . 其中正确的是( ) A.②④B.①④C.②③D.①③(2)设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则( ) A.f (m ＋1)≥0 B.f (m ＋1)≤0C.f (m ＋1)>0D.f (m ＋1)<0答案 (1)B (2)C解析 (1)因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确. 对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1，2a －b ＝0，②错误.结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误. 由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .根据抛物线开口向下，知a <0，所以5a <2a ， 即5a <b ，④正确.(2)因为f (x )的对称轴为x ＝－12，f (0)＝a >0，所以f (x )的大致图象如图所示.由f (m )<0，得－1<m <0，所以m ＋1>0>－12，所以f (m ＋1)>f (0)>0.感悟升华 1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.角度2 二次函数的单调性与最值【例3】 (2021·西安模拟)已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值. 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图象开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.①当1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0，1]内，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上递增.∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1a. ②当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0，1]的右侧，∴f (x )在[0，1]上递减.∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上递减. ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a，a ≥1.感悟升华 (1)闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.(2)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.角度3 二次函数中的恒成立问题【例4】 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)对于x ∈[1，3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围.解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0，满足题意；若m ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0， 即－4<m <0.∴－4<m ≤0.∴所求m 的取值范围是(－4，0].(2)法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1，3]上恒成立.就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1，3]上恒成立. 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]. 当m >0时，g (x )在[1，3]上是增函数，∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67； 当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1，3]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 法二 当x ∈[1，3]时，f (x )<－m ＋5恒成立，即当x ∈[1，3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立.∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1. ∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，∴只需m <67即可. 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 感悟升华 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离.其中分离参数的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .【训练2】 (1)(2021·长春五校联考)已知二次函数f (x )满足f (3＋x )＝f (3－x )，若f (x )在区间[3，＋∞)上单调递减，且f (m )≥f (0)恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，0]B.[0，6]C.[6，＋∞)D.(－∞，0]∪[6，＋∞)(2)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1，1]上f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________.答案 (1)B (2)(－∞，－1)解析 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R ，且a ≠0)，∵f (3＋x )＝f (3－x )，∴a (3＋x )2＋b (3＋x )＋c ＝a (3－x )2＋b (3－x )＋c ，∴x (6a ＋b )＝0，∴6a ＋b ＝0，∴f (x )＝ax 2－6ax ＋c ＝a (x －3)2－9a ＋c .又∵f (x )在区间[3，＋∞)上单调递减，∴a <0，∴f (x )的图象是以直线x ＝3为对称轴，开口向下的抛物线，∴由f(m)≥f(0)恒成立，得0≤m≤6，∴实数m的取值范围是[0，6].(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可.∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.由－m－1>0，得m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1).(3)设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值.解f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；当t<1<t＋1，即0<t<1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；当t≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.综上可知，当t≤0时，f(x)min＝t2＋1，当0<t<1时，f (x )min ＝1，当t ≥1时，f (x )min ＝t 2－2t ＋2.A 级 基础巩固一、选择题1.若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·xm 2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A.1或3B.1C.3D.2答案 B解析 由题意得m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8>0，解得m ＝1.2.(2021·河南名校联考)函数y ＝1－|x －x 2|的图象大致是( )答案 C解析 ∵当0≤x ≤1时，y ＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34，又当x >1或x <0时，y ＝－x 2＋x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋54，因此，结合图象，选项C 正确. 3.(2020·成都诊断)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则log 4f (2)的值为( ) A.14B.－14C.2D.－2答案 A解析 设幂函数为f (x )＝x α，由于点⎝⎛⎭⎫12，22在幂函数的图象上，所以22＝⎝⎛⎭⎫12α，解得α＝12，则f (x )＝x 12，故log 4f (2)＝log 4212＝14.4.(2021·西安检测)已知函数f (x )＝x －3，若a ＝f (0.60.6)，b ＝f (0.60.4)，c ＝f (0.40.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a <c <bB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b 答案 B解析 ∵0.40.6<0.60.6<0.60.4，又y ＝f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，∴b <a <c .5.已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围是( )A.[－2，2]B.[1，2]C.[2，3]D.[1，2]答案 B解析 由于f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ，又y ＝f (x )在(－∞，1]上是减函数，所以t ≥1.则在区间[0，t ＋1]上，f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t 2＋1＝－t 2＋1，要使对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，只需1－(－t 2＋1)≤2，解得－2≤t ≤ 2.又t ≥1，∴1≤t ≤ 2.6.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1，0)，B (0，1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b 的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b ＝( )A.0B.1C.12D.2 答案 A解析 BM ＝MN ＝NA ，点A (1，0)，B (0，1)，所以M ⎝⎛⎭⎫13，23，N ⎝⎛⎭⎫23，13， 将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b ，得a ＝log 1323，b ＝log 2313，∴a －1b ＝log 1323－1log 2313＝0. 二、填空题7.已知函数f (x )为幂函数，且f (4)＝12，则当f (a )＝4f (a ＋3)时，则实数a ＝________. 答案 15解析 设f (x )＝x α，则4α＝12，所以α＝－12. 因此f (x )＝x －12，从而a －12＝4(a ＋3)－12，解得a ＝15. 8.(2021·青岛联考)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b (a >1)的定义域和值域都为[1，a ]，则b ＝________.答案 5解析 f (x )＝x 2－2ax ＋b 的图象关于x ＝a 对称，所以f (x )在[1，a ]上为减函数，又f (x )的值域为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1－2a ＋b ＝a ，f （a ）＝a 2－2a 2＋b ＝1. 消去b ，得a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝2(a >1)，从而得b ＝3a －1＝5.9.设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 的值都有f (x )＞0，则实数a 的取值范围为________.答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立， 又2x －2x 2＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12，14<1x<1， ∴⎝⎛⎭⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12. 三、解答题10.已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6].(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数.解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4，6]，∴f (x )在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4，故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).11.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R 且a ≠0)，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围.解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－b 2a ＝－1，f （－1）＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].(2)由题意知，x 2＋2x ＋1>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k <x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k <1， 故k 的取值范围是(－∞，1). B 级 能力提升12.(2021·江南十校调研)已知幂函数f (x )＝mx 1＋n 是定义在区间[－2，n ]上的奇函数，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫sin 2π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫cos 2π7，c ＝f ⎝⎛⎭⎫tan 2π7，则( ) A.b <a <cB.c <b <aC.b <c <aD.a <b <c 答案 A解析 根据f (x )＝mx 1＋n 是幂函数，且在区间[－2，n ]上是奇函数，得m ＝1，且－2＋n ＝0，解得n ＝2，∴f (x )＝x 3，且在定义域[－2，2]上是单调增函数.又0<π4<2π7<π2，∴cos 2π7<sin 2π7<1<tan 2π7， ∴f ⎝⎛⎭⎫cos 2π7<f ⎝⎛⎭⎫sin 2π7<f ⎝⎛⎭⎫tan 2π7，即b <a <c . 13.(2019·上海春招)如图，正方形OABC 的边长为a (a >1)，函数y ＝3x 2的图象交AB 于点Q ，函数y ＝x －12的图象交BC 于点P ，则当|AQ |＋|CP |最小时，a 的值为________.答案 3解析 依题意得Q ⎝⎛⎭⎫a 3，a ，P ⎝⎛⎭⎫a ，1a ，则|AQ |＋|CP |＝a 3＋1a ＝a 3＋1a ，记a ＝t (t >1)，f (t )＝|AQ |＋|CP |，则f (t )＝t 3＋1t ，所以f (t )＝t 3＋1t ≥213， 当且仅当t 3＝1t ，即t 2＝3时取等号，此时a ＝ 3. 14.已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1，1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围.解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x .所以，2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1，又f (0)＝1，所以c ＝1.因此f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)因为当x ∈[－1，1]时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，所以在[－1，1]上，x 2－x ＋1>2x ＋m 恒成立；即x 2－3x ＋1>m 在区间[－1，1]上恒成立.所以令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －322－54， 因为g (x )在[－1，1]上的最小值为g (1)＝－1，所以m <－1.故实数m 的取值范围为(－∞，－1).。
高三一轮复习精题组二次函数与幂函数(有详细答案)
§2.4二次函数与幕函数基础知识・自主学习I要点梳理i. 二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x) = ax2+ bx+ c(a 丰 0).②顶点式：f(x)= a(x—m)2+ n(a^ 0).③零点式：f(x) = a(x—x i)(x—X2)(a^ 0).(2) 二次函数的图象和性质解析式f(x) = ax2+ bx+ c(a>0)f(x)= ax2+ bx+ c(a<0)♦V 1\ ；j图象Im^l定义域(— 8,+8 )(— 8,+8 )Hac—b2\2( 4ac—b"|值域.4a，1-亠，4a J在x€ ] —g,—g"上单调递在x€ —上，+s上单调递k 2a_-2a )单调性减；在x€ —2a，+s」上单减在x€ j—g,—"2a上单调调递增递增对称性函数的图象关于x= —士对称2•幕函数(1)定义：形如y=x：( a R)的函数称为幕函数，其中x是自变量，a是常数.⑵幕函数的图象比较I 夯基释疑1 •判断下面结论是否正确(请在括号中打或“X”2⑴二次函数y = ax + bx + c , x € [a , b]的最值一定是⑵二次函数y = ax 2 + bx + c , x € R ，不可能是偶函数. ⑶幕函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0). ⑷当n>0时，幕函数y = x n 是定义域上的增函数.(5) 若函数 f(x)= (k 2— 1)x 2+ 2x — 3 在(一汽 2)上单调递增，则 k = ±22. (6)已知 f(x)= x —4x + 5, x € [0,3)，则 f(x)max = f(0) = 5, f (X )min = f (3) = 22. (2013 重庆).3— a a + 6 (— 6< a < 3)的最大值为9 3/2C . 3 D~2答案 B _______________ ____________ 解析 因为' 3 — a a + 6 = 18— 3a — a 2=7-,所以当a = — 2时，打3—a a +6的值最大，最大值为 |3 .函数f(x)= (m — 1)x 2+ 2mx + 3为偶函数，则f(x)在区间(一5,— 3)上C .单调递减D •单调递增答案 D解析 由f(x)为偶函数可得 m = 0, ••• f(x) = — x 2 + 3, ••• f(x)在区间(一5,— 3)上单调递增. 4.已知函数 y = x 2— 2x + 3在闭区间［0, m ］上有最大值 3,最小值2，贝V m 的取值范围为)24ac — b4aA •先减后增B •先增后减答案［1,2］2解析y = x —2x+ 3的对称轴为x= 1.当m<1时，y= f(x)在［0, m］上为减函数.2…y max =f(0) = 3,ymin= f(m)= m—2m+ 3= 2・•m = 1,无解.当 1 w m W 2 时，y min = f(1) = 12—2X 1 + 3 = 2,y max= f(0) = 3.当m>2 时，y max = f(m) = m —2m+ 3= 3,•m = 0 或m= 2，无解.•1 w m w 2.5. 若幕函数y= (m2—3m+ 3)xm2—m —2的图象不经过原点，则实数m的值为__________ .答案1或2厂2m —3m+ 3=1解析由$ ，解得m= 1或2.m2—m—2w 0经检验m= 1或2都适合.题型一二次函数的图象和性质例 1 已知函数f(x) = x2+ 2ax + 3, x€ ［—4,6］.(1) 当a= —2时，求f(x)的最值；⑵求实数a的取值范围，使y= f(x)在区间［—4,6］上是单调函数；(3)当a= 1时，求f(|x|)的单调区间.思维启迪对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用.解(1)当a=— 2 时，f(x)= x2—4x+ 3= (x—2)2—1，由于x€ ［—4,6］,•f(x)在［—4,2］上单调递减，在［2,6］上单调递增，•f(x)的最小值是f(2) = —1，又f(—4)= 35, f(6) = 15,故f(x)的最大值是35.(2) 由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x=—a，所以要使f(x)在［—4,6］上是单调函数, 应有一a w —4 或一a> 6，即a w —6 或a > 4.2(3) 当a= 1 时，f(x)= x + 2x+ 3,•f(|x|)= x2+ 2|x| + 3,此时定义域为x€ ［—6,6］,f x + 2x+ 3, x€ 0, 6］且f(x) = 2,X2- 2x+ 3, x€ ［—6, 0］••• f(|x|)的单调递增区间是(0,6］,单调递减区间是［一6,0］.思维升华(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解.跟踪训练1 (1)二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x= 2,最小值为一1,则它的解析式是1 2答案y=5(x—2) —1⑵若函数f(x) = 2x2+ mx —1在区间［—1 ,+^ )上递增，则f( —1)的取值范围是_答案(一3—3］解析•••抛物线开口向上，对称轴为x=—m,•- m< —1, m>4.又f(—1) = 1 —m W—3, • f( —1)€ (—3,—3］.题型二二次函数的应用例 2 已知函数f(x) = ax2+ bx + 1(a, b € R), x € R.(1) 若函数f(x)的最小值为f(—1) = 0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2) 在(1)的条件下，f(x)>x+ k在区间［—3,—1］上恒成立，试求k的范围.思维启迪利用f(x)的最小值为f(—1) = 0可列两个方程求出a、b;恒成立问题可以通过求函数最值解决.解(1)由题意有f(—1)= a—b+ 1 = 0,口b且一2a=—1, •a= 1, b= 2.•f(x)= x2+ 2x+ 1,单调减区间为(一a,—1］,单调增区间为［—1 ,+ ^).(2)f(x)>x+ k在区间［—3,—1］上恒成立，转化为x2+ x+ 1>k在区间［—3,—1］上恒成立.设g(x) = x2+ x+ 1, x€ ［—3,—1］,贝U g(x)在［—3,—1］上递减. …g(x)min = g( - 1)=•k<1，即k的取值范围为(一3,1).1解2m +1 > 0，得m》—^;思维升华有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法. 用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点.&【养;丨％：二已知函数f(x)= x1 2+ 2ax+ 2, x€ [ —5,5].(1) 当a=—1时，求函数f(x)的最大值和最小值；⑵求实数a的取值范围，使y= f(x)在区间[—5,5]上是单调函数.解(1)当a=— 1 时，f(x)= x2—2x+ 2= (x—1)2+ 1 , x€ [ —5,5],所以当x= 1时，f(x)取得最小值1；当x=—5时，f(x)取得最大值37.⑵函数f(x)= (x+ a)2+ 2 —a2的图象的对称轴为直线x=—a,因为y= f(x)在区间[—5,5]上是单调函数，所以一a< — 5 或一a> 5，即a< — 5 或 a > 5.故a的取值范围是(一5] U [5 ,+^).题型三幕函数的图象和性质例3 (1)已知幕函数f(x)= (n2+ 2n —2)xn2—3n(n € Z)的图象关于y轴对称，且在(0,+^ )上是减函数，则n的值为()A . —3B . 1C . 2D . 1 或21 1⑵若(2m+ 1)2 >(m2+ m—1) 2，则实数m的取值范围是()-亚-12C. (—1,2)D. ，2思维启迪(1)由幕函数的定义可得n2+ 2n —2= 1,再利用f(x)的单调性、对称性求n；⑵1构造函数y= x2，利用函数单调性求m范围.答案(1)B (2)D解析(1)由于f(x)为幕函数，所以n2+2n— 2 = 1,解得n= 1或n =—3,经检验只有n= 1适合题意，故选 B.1(2) 因为函数y= x2的定义域为[0,+^), 且在定义域内为增函数，2m+ 1 > 0,所以不等式等价于m2+ m —1 > 0,| 22m+ 1>m + m—1.2解m + m—1 > 0, mW —,5 — 12或m》躬—1综上一^< m<2.思维升华⑴幕函数解析式一定要设为y= x a(a为常数的形式)；(2)可以借助幕函数的图象理解函数的对称性、单调性.乐金叮％：S 已知幕函数f(x)= x(m2+ m)—1(m€ N*)(1) 试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；⑵若该函数还经过点(2, .2)，试确定m的值，并求满足条件f(2 —a)>f(a—1)的实数a的取值范围.解(1)m2+ m= m(m+ 1), m€ N*,而m与m + 1中必有一个为偶数，••• m(m+ 1)为偶数.•••函数f(x) = x(m2+ m)—1(m€ N*)的定义域为［0,+ )，并且在定义域上为增函数.(2) •/ 函数f(x)经过点(2, ,2),1• 2 = 2(m2+ m)—1，即22= 2(m2+ m)—1.•m2+ m= 2.解得m= 1 或m=— 2.1_ * 石又T m€ N , •m= 1.「. f(x)= x2 .［2— a > 0,由f(2—a)>f(a—1)得| a—1》02—a>a—1.3 3解得1< a<夕•••a的取值范围为［1 ,刁.思想与方法系列2分类讨论思想在函数中的应用典例：(12分)已知函数f(x)= ax2—|x|+ 2a—1(a为实常数).(1)若a= 1，作出函数f(x)的图象；⑵设f(x)在区间［1,2］上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式.思维启迪(1)因f(x)的表达式中含|x|,故应分类讨论，将原表达式化为分段函数的形式,然后作图.⑵因a€ R，而a的取值决定f(x)的表现形式，或为直线或为抛物线，若为抛物线又分为开口向上和向下两种情况，故应分类讨论解决.规范解答解(1)当 a = 1 时，2f(x)= x -凶 + 1广2x + x + 1, x<0 i 2.［3 分］x -x +1, x >0作图(如右图所示)［5分］⑵当 x € ［1,2］时，f(x)= ax - x + 2a - 1.［6 分］ 若a = 0,则f(x) = - x - 1在区间［1,2］上是减函数, g(a) = f(2) = - 3.［7 分］ 若a 工0,则 f (x )=a ［x -2a ― 4a -1，1f(x)图象的对称轴是直线 x =当a<0时，f(x)在区间［1,2］上是减函数,g(a) = f(2) = 6a - 3.1 1当0< <1，即a>;时，f(x)在区间［1,2］上是增函数,2a 2 g(a) = f(1) = 3a - 2. 1 1 1当 1 < < 2,即；w aw ：时，2a 4 2 f 1、 1g (a )=f 旁=2a -扃―j 1 1当2a>2，即0<a<4时，f(x)在区间［1,2］上是减函数, g(a) = f(2) = 6a - 3.［11 分］1 a<43a - 2, a>2温馨提醒本题解法充分体现了分类讨论的数学思想方法，在二次函数最值问题的讨论中，一是要对二次项系数进行讨论， 二是要对对称轴进行讨论. 在分类讨论时要遵循分类 的原则：一是分类的标准要一致， 二是分类时要做到不重不漏， 三是能不分类的要尽量避 免分类，绝不无原则的分类讨论 •思想方法・感悟提高方法与技巧_ 1综上可得，g(a) = 2a -扃―1,1 1 1 w a w［12 分］1. 二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律:(1) 在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般 从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.(2) 在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解. 2 •幕函数y = x a (a€ R )图象的特征o>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； a <0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立. 失误与防范1 •对于函数y = ax2 + bx + c ,要认为它是二次函数，就必须满足a 丰0,当题目条件中未说明0时，就要讨论 a = 0和0两种情况.2.幕函数的图象一定会出现在第一象限内， 一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性； 幕函数的图象最多只能同时出现在两个象限内； 如果幕函 数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点练出高分A 组专项基础训练一、选择题 1.若f (x) = x 2— ax + 1有负值，则实数a 的取值范围是 A. a <— 2 C . a>2 或 a<— 2 答案 C解析 ■/ f(x)= x 2— ax + 1有负值， ••• △= a 2 — 4>0,贝U a>2 或 a< — 2.答案 C解析 若a>0,则一次函数y = ax + b 为增函数，二次函数 y = ax 2 + bx + c 的开口向上，故 可排除A ；若a<0，一次函数y = ax + b 为减函数，二次函数 y = ax 2 + bx + c 开口向下，故可排除 D ； 对于—2<a<2 1<a<32 .一次函数y =ax + b 与二次函数y = ax 2 + bx + c 在同一坐标系中的图象大致是()D选项B，看直线可知a>0, b>0,从而—f<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，2a故应排除B，因此选C.3. 如果函数f(x)= x2+ bx+ c对任意的实数x,都有f(1 + x)= f(—x)，那么()A . f(—2)<f(0)<f(2)B. f(0)< f( —2)<f(2)C. f(2)<f(0)<f( —2)D . f(0)<f(2)<f( —2)答案D解析由f(1 + x)= f( —x)知f(x)的图象关于x=舟对称，又抛物线开口向上，结合图象(图略)可知f(0)<f(2)<f( —2).4 .设二次函数f(x)= ax2—2ax+ c在区间[0,1]上单调递减，且f(m) < f(0)，则实数m的取值范围是()A .(―汽0]B . [2 ,+^ )C.(―汽0] U [2 ,+ s) D . [0,2]答案 D解析二次函数f(x) = ax2—2ax+ c在区间[0,1]上单调递减，则a^ 0, f' (x) = 2a(x—1)<0, x€ [0,1],所以a>0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x= 1.所以f(0) = f(2)，则当f(m)w f(0)时，有0< m W 2.15.已知f(x)= x2，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是()1 1A. f(a)<f(b)<f(a)<f(b)B. f(a)<f(b)<f(b)<f(a)1 1C. f(a)<f(b)<f(b)<fq1 1D. f(a)<f(a)<f(b)<f(b)答案C1解析因为函数f(x) = x 2在(0, + s)上是增函数，1 1又0<a<b<；<-,故选 C.b a、填空题6 .若函数y= mx2+ x+ 5在［—2 ,+s )上是增函数，则m的取值范围是 ______________1答案0W m<-4解析m=0时，函数在给定区间上是增函数；1 m z 0时，函数是二次函数，对称轴为x=—2,1 1由题意知 m>0, • 0<mw ：综上0w m W ；.4 47 .若方程x 2— 11x + 30 + a = 0的两根均大于5，则实数a 的取值范围是1答案 0<a W 14解析令 f(x)= x — 11x + 30 + a. 01i , • 0<a W 4.f 5 >0 41的图象经过第一、三象限；当a=㊁时，y = 乂“的图象经过第一象限. 三、解答题9 .已知二次函数f(x)的二次项系数为=0有两个相等的根，求 f(x)的单调区间. 解•/ f(x) + 2x>0 的解集为(1,3), 设 f(x) + 2x = a(x — 1)(x — 3)，且 a<0,••• f(x)= a(x — 1)(x — 3) — 2x = ax 2 — (2 + 4a)x + 3a.① 由方程 f(x) + 6a = 0 得 ax 2— (2 + 4a)x + 9a = 0•②•••方程②有两个相等的根， •- △=[ — (2 + 4a)]2— 4a 9a = 0,1解得a = 1或a =—匚.由于a<0，舍去a = 1.51将a = — 1代入①式得5 1 26 3 1 2 6f(x)=—5x— 5x— 5=—尹+ 3)+5，•函数f(x)的单调增区间是(—8, — 3],单调减区间是[一 3, + m.10.已知函数f(x) = — x 2 + 2ax +1 — a 在x € [0,1]时有最大值2,求a 的值. 解函数 f(x)=— x 2+ 2ax +1 — a2 2=—(x — a) + a — a + 1, 对称轴方程为x = a.(1)当 a<0 时，f(x) max = f (0) = 1 一a,结合图象有 8 .当a€ 1 1 1匸 1 ? 2? 1 ，幕函数 y = x a 的图象不可能经过第象限.答案 二、四解析当％=— 1、1、3时，y = x a ,且不等式f(x)> — 2x 的解集为(1,3) •若方程f(x) + 6a--1 一a= 2, - - a = —1.2⑵当0W a W 1 时，f(x)max= a — a +1,2 9…a — a + 1 = 2, a — a — 1 = 0, •a=丄±先舍).⑶当 a>1 时，f(x)max = f ⑴=a , a = 2. 综上可知，a =— 1或a = 2.即 2— <2 ,a> — 3,二—3<a<0. 当 a > 0 时，_ a<1 , O w a<1.故—3<a<1. 2.已知函数 f(x)= ax 2 + bx + c ,且 a>b>c , a + b + c = 0，集合 A = {m|f(m)<0}，则()A. ? m € A ,都有 f(m + 3)>0B. ? m € A ,都有 f(m + 3)<0C. ? m °€ A ，使得 f(m °+ 3) = 0D. ? m °€ A ,使得 f(m °+ 3)<0 答案 A解析 由 a>b>c , a + b + c = 0 可知 a>0, c<0, 且 f(1) = 0, f(0) = c<0,即1是方程ax 2 + bx + c = 0的一个根， 当 x>1 时，f(x)>0. 由 a>b ，得 1>a设方程ax 2 + bx + c = 0的另一个根为 治,b贝y X 1 + 1 = — b >— 1, 即卩 X 1>— 2,a 由 f(m)<0 可得—2<m<1, 所以 1<m + 3<4,由抛物线的图象可知，f(m + 3)>0，选A. 3.已知函数f(x) = x 2— 2ax + 2a + 4的定义域为 R ，值域为［1 ,),则a 的值域为 _________答案 —1或3解析 由于函数f(x)的值域为［1 , + s ),1 •设函数 f(x)=!(2X—W x , x >0,7, x<0,B 组专项能力提升若f(a)<1，则实数a 的取值范围是A.(―汽一3)C . (— 3,1) 答案 C解析当a<0时， (2)「7<1 ,B . (1 ,+^ )D . (— s,— 3) U (1 ,+^ )所以f(x)min = 1 且A<0. •• —v'5+ 1<a<.；;5+ 1.2 2又f(x) = (x—a) — a + 2a + 4,当x€ R 时，f(x)min = f(a) = —a?+ 2a+4 = 1,即 a —2a—3= 0,解得a= 3或a =— 1.4 .已知函数f(x)= 3ax + 2bx+ c, a + b+ c= 0，且f(0) f(1)>0. b(1)求证：一2<b< —1 ;a⑵若X1、X2是方程f(x) = 0的两个实根，求x1 —X2|的取值范围.(1)证明当a= 0 时，f(0) = c, f(1) = 2b+ c,又b+ c= 0, 则f(0) f(1) = c(2b+ c)=—c2<0 与已知矛盾，因而0,则f(0) f(1) = c(3a+ 2b+ c)=—(a + b)(2a+ b)>0 b b b即(匚 + 1)(匚 + 2)<0，从而-2<;<— 1.a a a(2)解X1、X2是方程f(x) = 0的两个实根，2b a+ b则X1 + X2=—3a, X1X2=—3a ,那么(X1 —X2) = (X1 + X2) —4X1X22b 2 a+ b 4=(—刃 + 4% 右=44, b丄3、2丄1=9(a+ 2)+ 3 二2<a<-1••• 3=(x1—X2)2<9,二jw |x1 —X2|<|,x/3 2(1)若函数f(x)的最小值是f(—1) = 0，且c= 1,F(x) =即|X1 —X2I的取值范围是［g, 3). 55 .已知函数f(x)= ax2+ bx+ c(a>0, b € R, c€ R).f(x , x>0,八‘求F(2) + F(—2)的值;、—f(x), x<0,⑵若a= 1, c= 0,且|f(x)|w 1在区间(0,1］上恒成立，试求b的取值范围.解(1)由已知c= 1, a—b+ c= 0,且一2^ =—1,解得a= 1, b= 2.••• f(x)= (x+ 1)2.1(x+ 1 2, X>0 ,•F(x) = 2I —(x+12, x<0.•F(2)+ F(—2) = (2 + 1)2+ ［—(— 2 + 1)2］= 8.(2)f(x) = x2+ bx,原命题等价于—1w x2+ bx w 1在(0,1］上恒成立,1 1即b三-―x且b> —-― x在(0,1］上恒成立.1 1又-一x的最小值为0,—- —x的最大值为一2. x x ••• — 2< bw 0.故b的取值范围是[—2,0].X X。
高考数学一轮复习 专题09 幂函数与二次函数(含解析)-人教版高三全册数学试题
专题09对数与对数函数最新考纲1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的对数函数的图象．3.体会对数函数是一类重要的函数模型．4.了解指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数.基础知识融会贯通1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．(2)对数的性质①log a N a ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0，且a ≠1)． (3)对数的换底公式log a b ＝log c b log c a(a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)． 3．对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．知识拓展1．换底公式的两个重要结论(1)log a b＝1log b a；(2)logmnab＝nmlog a b.其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．重点难点突破【题型一】对数的运算【典型例题】若函数f（x）＝1+x3，则f（lg2）+f（1g）＝（）A．2B．4C．﹣2D．﹣4【解答】解：∵f（x）＝1+x3；∴．故选：A．【再练一题】已知奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），当x∈（0，1）时，f（x）＝4x，则f（log4184）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），当x∈（0，1）时，f（x）＝4x，∴f（log4184）＝﹣f（log4184﹣4）＝﹣（）．故选：A．思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．【题型二】对数函数的图象及应用【典型例题】设函数y＝f（x）的图象与y＝log2（x+a）的图象关于直线y＝﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣1）＝2，则a ＝（）A．3B．1C．2D．4【解答】解：函数y＝f（x）的图象与y＝log2（x+a）的图象关于直线y＝﹣x对称，设f（x）上任意一点为（x，y），则（x，y）关于直线y＝﹣x对称的点为（﹣y，﹣x），把（﹣y，﹣x）代入y＝log2（x+a），得﹣x＝log2（﹣y+a），∴f（x）＝﹣2﹣x+a，∵f（﹣2）+f（﹣1）＝2，∴﹣22+a﹣2+a＝2，解得a＝4．故选：D．【再练一题】已知l1，l2分别是函数f（x）＝|lnx|图象上不同的两点P1，P2处的切线，l1，l2分别与y轴交于点A，B，且l1与l2垂直相交于点P，则△ABP的面积的取值X围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），当0＜x＜1时，f′（x），当x＞1时，f′（x），∴l1的斜率k1，l2的斜率k2，∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，∴k1•k2•1，即x1x2＝1．直线l1：y（x﹣x1）﹣lnx1，l2：y（x﹣x2）+lnx2．取x＝0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|＝|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|＝|2﹣（lnx1+lnx2）|＝|2﹣lnx1x2|＝2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x，∴S△PAB|AB|•|x P|2，∵函数y＝x在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，∴x11+1＝2，则0，∴01．∴△PAB的面积的取值X围是（0，1）．故选：A．思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【题型三】对数函数的性质及应用命题点1 对数函数的单调性【典型例题】已知函数y＝log2（ax﹣1）在（﹣2，﹣1）上单调递减，则a的取值X围是．【解答】解：∵已知函数y＝log2（ax﹣1）在（﹣2，﹣1）上单调递减，∴a＜0，且﹣a﹣1＞0，求得a＜﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1）．【再练一题】对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），且当x≥1时，函数f（x）＝lnx，若a＝f（2﹣0.3），b＝f（log3π），c＝f（）则a，b，c大小关系是（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），∴函数f（x）关于（1，0）点对称，将f（x）向左平移一个单位得到y＝f（x+1），此时函数f（x）关于原点对称，则函数y＝f（x+1）是奇函数；当x≥1时，f（x）＝lnx是单调增函数，∴f（x）在定义域R上是单调增函数；由0＜2﹣0.3＜1＜log3π，∴f（）＜f（2﹣0.3）＜f（log3π），∴b＞a＞c．故选：A．命题点2 和对数函数有关的复合函数【典型例题】若函数y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，则a的取值X围是．【解答】解：令g（x）＝x2﹣ax+1（a＞0，且a≠1），①当a＞1时，y＝log a x在R+上单调递增，∴要使y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，必须g（x）min＞0，∴△＜0，解得﹣2＜a＜2∴1＜a＜2；②当0＜a＜1时，g（x）＝x2﹣ax+1没有最大值，从而不能使得函数y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，不符合题意．综上所述：1＜a＜2；故答案为：1＜a＜2．【再练一题】若函数有最小值，则实数a的取值X围是（）A．（1，）B．[，+∞）C．（0，1）D．（0，1）∪（1，）【解答】解：由题意，令t＝x2﹣ax（t）2，则函数f（t）＝log a t∵函数有最小值，∴a＞1要使函数有最小值，则t＝x2﹣ax有最小值，且为正数∴0∴综上，实数a的取值X围是（1，）故选：A．思维升华 (1)利用对数函数单调性时要注意真数必须为正，明确底数对单调性的影响．(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题．基础知识训练1．幂函数曲线y=x b,当b>1时的图像为()A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，根据幂函数的图象与性质，可得当b>1时,图像为选项A,当0<b<1时为选项B, 当b<0时为选项C,当b=1时为选项D，故选A.2．已知，则（）A． B．C． D．【答案】A【解析】故函数上是减函数则故选3．已知幂函数的图象过，若，则值为（）A．1 B． C．3 D．9【答案】B【解析】∵幂函数幂函数的图象过，解得．则故选：B．4．若幂函数在（0，+∞）上为增函数，则实数m=（）A． B． C． D．或4【答案】A【解析】幂函数在（0，+∞）上为增函数，，解得（舍去）故选A.5．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，则（）A．- B．1或2 C．1 D．2【答案】C【解析】分析：由为偶数，且，即可得结果.详解：幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，为偶数，且，解得，故选C.点睛：本题考查幂函数的定义、幂函数性质及其应用，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力.6．设函数，若，则A．B．C．D．【答案】A【解析】由于函数，在第一象限为单调递增函数．由于：，所以：故选：A．7．已知幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，），则函数f（x）为（）A．奇函数且在上单调递增B．偶函数且在上单调递减C．非奇非偶函数且在上单调递增D．非奇非偶函数且在上单调递减【答案】C【解析】∵幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，），∴2a=，解得a=，∴函数f（x）=，∴函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．故选：C．8．若幂函数在区间上单调递减，则实数m的值可能为A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】幂函数在区间上单调递减，，由选项可知，实数m的值可能为．故选：C．9．已知幂函数过点A．，且在上单调递减B．，且在单调递增C．且在上单调递减D．，且在上单调递增【答案】A【解析】幂函数过点，，解得，，在上单调递减．故选：A．10．已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数的取值X围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，所以，解得，因为，所以，时，，图象关于轴对称，不满足题意；当时，，图象关于原点对称，满足题意，不等式化为，，因为函数上递减，所以，解这个不等式，得，即实数的取值X围是，故选B .11．已知函数是在上单调递增的幂函数，则( )A．0或4 B．0或2 C．0 D．2【答案】C【解析】∵f（x）是幂函数，∴（m﹣1）2＝1，得m＝0，或m＝2，∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴m2﹣4m+2＞0，则当m＝0时，2＞0成立，当m＝2时，4﹣8+2＝﹣2，不成立，故选C．12．已知幂函数的图像过点，则下列说法正确的是（）A．是奇函数，且在上单调递增B．是偶函数，且在上单调递减C．既不是奇函数也不是偶函数，且在上单调递增D．既不是奇函数也不是偶函数，且在上单调递减【答案】C【解析】∵幂函数y＝xα的图象过点（2，），∴2α，解得α，故f（x），故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故选：C．13．已知函数的图象恒过定点P，若幂函数的图象经过点P，则的值为______．【答案】【解析】令，则恒成立故函数恒过，即幂函数的图象经过点则，解得故本题正确结果：14．若幂函数的图象经过点（2，），则f（）=______．【答案】【解析】设幂函数f（x）＝xα，α∈R；其函数图象过点（2，），∴2α，解得α；∴f（x），∴．故答案为：．15．若为幂函数，且满足，则______．【答案】【解析】为幂函数，且满足，，则，解得，，．故答案为：．16．已知幂函数满足，则______．【答案】2【解析】幂函数满足，．故答案为：2．17．已知幂函数过点（2,4）(1)求解析式(2)不等式的解集为[1,2]，求不等式的解集. 【答案】（1）；（2）【解析】（1）设幂函数解析式为因为函数图像过点（2,4），所以所以所求解析式为(2) 不等式的解集为[1,2]，的解集为，是方程的两个根，，，因此；所以不等式可化为，即，解得,所以原不等式的解集为.18．已知幂函数上单调递增．求m值及解析式；若函数上的最大值为3，某某数a的值．【答案】（1）；（2）【解析】幂函数上单调递增故：解得：故：由于所以：函数函数为开口方向向下的抛物线，对称轴为由于在上的最大值为3，时，上单调递增，故：，解得．时，上单调递减，故：，解得：．时，上单调递增，在上单调递减，故：，解得：舍去，或舍去，综上所述：．19．已知幂函数上单调递增，又函数. （1）某某数的值，并说明函数的单调性；（2）若不等式恒成立，某某数的取值X围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）因为是幂函数，所以，解得，又因为上单调递增，所以，即，即，则，因为均在上单调递增，所以函数上单调递增.（2）因为，所以是奇函数，所以不等式可变为，由（1）知上单调递增，所以，解得.20．已知幂函数f（x）=x a的图象过点（2，4）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数h（x）=4f（x）-kx-8在[5，8]上是单调函数，某某数k的取值X围．【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）幂函数f（x）=x a的图象过点（2，4），∴f（2）=2α=4，∴a=2，∴f（x）=x2；（2）函数h（x）=4f（x）-kx-8，∴h（x）=4x2-kx-8，对称轴为x=；当h（x）在[5，8]上为增函数时，≤5，解得k≤40；当h（x）在[5，8]上为减函数时，≥8，k≥64；所以k的取值X围为（-∞，40]∪[64，+∞）．能力提升训练1．已知函数上为增函数，则实数的取值X围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】若函数f（x）=2x2﹣mx+3在[﹣2，+∞）上为增函数，则，解得：m∈（﹣∞，﹣8]，故选：A．2．若函数上的最大值是3，则实数（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【解析】.因为所以时，，即故选A.3．已知函数，则在[0，2］上的最小值为A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】图象的对称轴方程为，故上的最小值为.答案选B.4．已知命题p：，若命题p是假命题，则的取值X围为（）A． B． C． D．或a=0【答案】B【解析】∃x∈R，ax2+x+1≤0．若命题p是假命题，即“ax2+x+1＞0恒成立”是真命题①．当a＝0 时，①不成立，当a≠0 时，要使①成立，必须，解得＜a，故实数a的取值X围为：．故选B．5．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若a＝c，则函数f(x)的图象不可能是A．B．C．D．【答案】D【解析】由于，根据韦达定理，有，观察图像可以发现，对于D选项，两个根都小于，那么它们的乘积大于，故D选项不可能成立.故选D.6．已知函数的值域为，则实数m的取值X围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵函数的值域为，∴∴∴实数m的取值X围为故选：A7．若函数在区间上为减函数，则a的取值X围是（）A． B． C． D．（1,2]【答案】A【解析】令.∵∴函数的图象是开口向下的抛物线.∵∴若，外函数为增函数，要使复合函数在区间上为减函数，则，解得.若，外函数为减函数，要使复合函数在区间上为减函数，则，解得.综上，的取值X围是.故选A.8．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是( ) A． B．C． D．【答案】B【解析】法一：结合二次函数的图象可知，，所以函数单调递增，排除C，D；把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，排除A，选B.法二：结合二次函数的图象可知，，所以，在中，取，得，只有选项B符合，故选:B.9．若函数有最小值，则实数的取值X围是()A．(0,1) B． C． D．【答案】C【解析】.当a>1且有最小值时，f(x)才有最小值.∴⇒1<a<.10．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(b x)与f(c x)的大小关系是A．f(b x)≤f(c x) B．f(b x)≥f(c x)C．f(b x)>f(c x) D．与x有关，不确定【答案】A【解析】∵f（1+x）＝f（1﹣x），∴f（x）图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2．又f（0）＝3，∴c＝3．∴f（x）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f（3x）≥f（2x）．若x＜0，则3x＜2x＜1，∴f（3x）＞f（2x）．∴f（3x）≥f（2x）．故选：A．11．已知都是常数，.若的零点为，则下列不等式正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，又为函数的零点，且，所以可在平面直角坐标系中作出函数的大致图像，如图所示，由图可知，故选.12．己知恒成立，则实数a的取值X围为A． B． C． D．【答案】B【解析】设对任意恒成立，即对任意都成立，当，则与讨论矛盾，当时，，则，解得，故选：B．13．函数的最小值为________．【答案】1【解析】由题意，可得，由于，所以当时，函数取最小值1.14．已知函数.若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值X围是_______.【答案】【解析】∵的对称轴为x=a，且，∴函数f（x）=在[0，]上是减函数，在[，2]上是增函数；∴函数f（x）=的最小值为f（a）=﹣，①当2≤a＜3时，函数f（x）=（x∈）在x=0时取得最大值，且最大值为2a﹣1，由于此时2≤a＜3，则3≤2a﹣1＜5；2a﹣1∴②0＜a＜2时，函数f（x）=（x∈）在x=4时取得最大值，且最大值为42﹣8a+2a﹣1=15﹣6a，由于此时0＜a＜2，则3＜15﹣6a＜15；，∴综上，∴；即t的取值X围是：．15．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．【答案】【解析】设二次函数顶点式为.设的两个根为，且，依题意，两边平方并化简得，即，解得.故.16．若对任意，函数总有零点，则实数的取值X围是__________．【答案】【解析】∵函数总有零点，∴对任意恒成立，∴记上单调递减，∴∴故答案为：17．已知f（x）为二次函数，且f（x+1）+f（x﹣1）=2x2﹣4x，（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=f（2x）﹣m•2x+1，其中x∈[0，1]，m为常数且m∈R，求函数g（x）的最小值．【答案】（1）f（x）=x2﹣2x﹣1（2）【解析】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，且。
高考数学一轮复习专题：第6讲 幂函数与二次函数(教案与同步练习)
1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)2.幂函数(1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②幂函数的图象过定点(1,1)；③当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ④当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 【知识拓展】 1．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.2．幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( × ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( × )(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( √ ) (4)函数122y x =是幂函数．( × )(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ ) (6)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( × )1．(教材改编)已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a ＜－3 D ．a ≤－3答案 D解析 函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧， ∴－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D.2．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )答案 D解析 由a ＋b ＋c ＝0和a >b >c 知a >0，c <0， 由c <0，排除A ，B ，又a >0，排除C. 3．幂函数()21023a a f x x－＋＝(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C解析 因为a 2－10a ＋23＝(a －5)2－2，()2(5)2a f x x －－＝(a ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以(a －5)2－2<0，从而a ＝4,5,6，又(a －5)2－2为偶数，所以只能是a ＝5，故选C.4．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________． 答案 [1,2]解析 如图，由图象可知m 的取值范围是[1,2]．5．(教材改编)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，22，则此函数的解析式为________；在区间________上递减． 答案 12y x-= (0，＋∞)解析 设f (x )＝x a ，则2a ＝22，∴a ＝－12，即幂函数的解析式为12y x -=，单调减区间为(0，＋∞)．题型一 求二次函数的解析式例1 (1)(2016·太原模拟)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x解析 设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)， 所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a＝－1， 得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．解 ∵f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立， ∴f (x )的对称轴为x ＝2.又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)， 又f (x )的图象过点(4,3)， ∴3a ＝3，a ＝1，∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.思维升华 求二次函数解析式的方法(1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.答案 (1)x 2＋2x ＋1 (2)－2x 2＋4解析 (1)设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a ， 由已知f (x )＝ax 2＋bx ＋1，∴a ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)由f (x )是偶函数知f (x )图象关于y 轴对称， ∴－a ＝－(－2ab )，即b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋2a 2，又f (x )的值域为(－∞，4]， ∴2a 2＝4，故f (x )＝－2x 2＋4. 题型二 二次函数的图象和性质 命题点1 二次函数的单调性例2 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－3] C ．[－2,0] D ．[－3,0]答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a ＜0.综上，a 的取值范围为[－3,0]． 引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. 答案 －3解析 由题意知a <0， 又3－a2a＝－1，∴a ＝－3. 命题点2 二次函数的最值例3 已知函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求函数f (x )的最小值． 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向上 且对称轴为x ＝1a.①当0<1a≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在[0，1a ]上单调递减，在[1a ，1]上单调递增．∴f (x )min ＝f (1a )＝1a －2a ＝－1a.②当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上单调递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向下 且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a ，a ≥1.命题点3 二次函数中的恒成立问题例4 (1)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________________．(2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________． 答案 (1)(－∞，－1) (2)⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析 (1)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0， 令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，要使g (x )＝x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1. 由－m －1>0，得m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)． (2)2ax 2＋2x －3<0在[－1,1]上恒成立． 当x ＝0时，－3<0，成立；当x ≠0时，a <32⎝⎛⎭⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a <12. 综上，实数a 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫－∞，12.思维升华 (1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． (2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .(1)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析 由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12，14<1x <1， ∴⎝⎛⎭⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12. (2)已知函数f (x )＝x 2－2x ，若x ∈[－2，a ]，求f (x )的最小值． 解 ∵函数f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1，∵x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，∴应进行讨论，当－2<a ≤1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，f (x )取得最小值，即f (x )min ＝a 2－2a ；当a >1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，f (x )取得最小值， 即f (x )min ＝－1.综上，当－2<a ≤1时，f (x )min ＝a 2－2a ， 当a >1时，f (x )min ＝－1. 题型三 幂函数的图象和性质例5 (1)(2016·济南诊断测试)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32D ．2 (2)若11222(21)(1)m m m >＋＋－，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞C ．(－1,2) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2答案 (1)C (2)D解析 (1)由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝⎛⎭⎫12＝22， 所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. (2)因为函数12y x =的定义域为[0，＋∞) 且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1，解2m ＋1≥0，得m ≥－12；解m 2＋m －1≥0，得m ≤－5－12或m ≥5－12；解2m ＋1>m 2＋m －1，得－1<m <2， 综上所述，m 的取值范围是5－12≤m <2. 思维升华 (1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．(2016·昆明模拟)幂函数的图象经过点(4,2)，若0<a <b <1，则下列各式正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f (1a )<f (1b )B ．f (1a )<f (1b )<f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a )D ．f (1a )<f (a )<f (1b)<f (b )答案 C解析 设幂函数为f (x )＝x α，将(4,2)代入得α＝12，所以12(),f x x =该函数在(0，＋∞)上为增函数， 又0<a <b <1，所以1a >1b >1，即a <b <1b <1a，所以f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a )．3．分类讨论思想在二次函数最值中的应用典例 (10分)已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 思想方法指导 已知函数f (x )的最值，而f (x )图象的对称轴确定，要讨论a 的符号． 规范解答解 f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .[1分](1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；[3分](2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；[6分](3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.[9分] 综上可知，a 的值为38或－3.[10分]1．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3B ．13C ．7D ．5 答案 B解析 函数f (x )的图象关于直线x ＝－2对称， ∴m ＝－8，∴f (1)＝2＋8＋3＝13. 2．幂函数24m my x－＝(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C 解析 ∵24m my x－＝(m ∈Z )的图象与坐标轴没有交点，∴m 2－4m <0，即0<m <4.又∵函数的图象关于y 轴对称且m ∈Z ， ∴m 2－4m 为偶数，因此m ＝2.3．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)答案 C解析 由题意可知函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝2(如图)，若f (a )≥f (0)，从图象观察可知0≤a ≤4.4．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254，－4]，则m 的取值范围是( ) A ．[0,4] B ．[32，4]C ．[32，＋∞)D ．[32，3]答案 D解析 二次函数图象的对称轴为x ＝32且f (32)＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，由图得m ∈[32，3]．5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2答案 B解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点处取得， ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 6．已知二次函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( ) A ．f (x 1)＝f (x 2) B ．f (x 1)>f (x 2) C ．f (x 1)<f (x 2) D ．与a 值有关答案 C解析 该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x ＝14，又依题意，得x 1<0，x 2>0，又x 1＋x 2＝0， 则14－x 1>x 2－14，故f (x 1)<f (x 2)． 7．(2016·烟台模拟)已知幂函数()12f x x －＝，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围为________．答案 (3,5)解析 ∵幂函数()12f x x－＝单调递减，定义域为(0，＋∞)，∴由f (a ＋1)<f (10－2a )，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得3<a <5.8．当0<x <1时，函数f (x )＝x 1.1，g (x )＝x 0.9，h (x )＝x －2的大小关系是________________．答案 h (x )>g (x )>f (x )解析 如图所示为函数f (x )，g (x )，h (x )在(0,1)上的图象，由此可知，h (x )>g (x )>f (x )．9．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 答案 (－∞，－5]解析 方法一 ∵不等式x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1,2)恒成立， ∴mx <－x 2－4对x ∈(1,2)恒成立， 即m <－(x ＋4x)对x ∈(1,2)恒成立，令y ＝x ＋4x ，则函数y ＝x ＋4x 在x ∈(1,2)上是减函数．∴4<y <5，∴－5<－(x ＋4x )<－4，∴m ≤－5.方法二 设f (x )＝x 2＋mx ＋4，当x ∈(1,2)时，f (x )<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5，m ≤－4⇒m ≤－5.*10.若函数f (x )＝x 2－a |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 答案 [0,2]解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋a ，x ∈[1，＋∞)，x 2＋ax －a ，x ∈(－∞，1)，x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2－ax ＋a ＝(x －a 2)2＋a －a 24，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝x 2＋ax －a ＝(x ＋a 2)2－a －a 24.①当a 2>1，即a >2时，f (x )在[1，a 2)上单调递减，在(a2，＋∞)上单调递增，不合题意；②当0≤a2≤1，即0≤a ≤2时，符合题意；③当a2<0，即a <0时，不符合题意．综上，a 的取值范围是[0,2]．11．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]． ∵f (x )的对称轴为x ＝1， ∴当x ＝1时，f (x )取最小值1； 当x ＝－5时，f (x )取最大值37.(2)f (x )＝x 2＋2ax ＋2＝(x ＋a )2＋2－a 2的对称轴为x ＝－a ， ∵f (x )在[－5,5]上是单调函数，∴－a ≤－5或－a ≥5，即a ≤－5或a ≥5. 故实数a 的取值范围为a ≤－5或a ≥5. 12．已知幂函数()21()m m f x x－＋＝(m ∈N *)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数f (x )的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围． 解 (1)因为m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N *)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数，所以m 2＋m 为偶数， 所以函数()21()m m f x x－＋＝(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．(2)因为函数f (x )的图象经过点(2，2)，21()2m m －＋，即211()222m m －＋＝，所以m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又因为m ∈N *，所以m ＝1，12(),f x x = 又因为f (2－a )>f (a －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，解得1≤a ＜32，故函数f (x )的图象经过点(2，2)时，m ＝1.满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为[1，32)．13．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围． 解 要使f (x )≥0恒成立，则函数在区间[－2,2]上的最小值不小于0，设f (x )的最小值为g (a )． (1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73，故此时a 不存在；(2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝3－a －a 24≥0，得－6≤a ≤2， 又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2；(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a <－4，故－7≤a <－4， 综上得－7≤a ≤2.第6讲 幂函数与二次函数一、选择题1．已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎪⎫4，12，则f (2)＝( )A.14 B ．4 C.22D. 2解析 设f (x )＝x α，因为图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，代入解析式得：α＝－12，∴f (2)＝2－12＝22.答案 C2．若函数f (x )是幂函数，且满足f4f 2＝3，则f (12)的值为( )A ．－3B ．－13C ．3D.13解析 设f (x )＝x α，则由f 4f2＝3，得4α2α＝3.∴2α＝3，∴f (12)＝(12)α＝12α＝13.答案 D3．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )．A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)解析 f (a )＝g (b )⇔e a －1＝－b 2＋4b －3⇔e a ＝－b 2＋4b －2成立，故－b 2＋4b －2>0，解得2－2<b <2＋ 2.答案 B4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于 ( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 f (a )＋f (1)＝0⇔f (a )＋2＝0⇔⎩⎨⎧ a >0，2a ＋2＝0或⎩⎨⎧a ≤0，a ＋1＋2＝0，解得a ＝ －3. 答案 A5 .函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－b2a对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )． A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4} D ．{1,4,16,64}解析 设关于f (x )的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0有两根，即f (x )＝t 1或f (x )＝t 2.而f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象关于x ＝－b2a对称，因而f (x )＝t 1或f (x )＝t 2的两根也关于x＝－b2a 对称．而选项D 中4＋162≠1＋642. 答案 D6．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，a 为正整数，c ≥1，a ＋b ＋c ≥1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值是( )．A ．3B ．4C ．5D ．6解析 由题意得f (0)＝c ≥1，f (1)＝a ＋b ＋c ≥1.当a 越大，y ＝f (x )的开口越小，当a 越小，y ＝f (x )的开口越大，而y ＝f (x )的开口最大时，y ＝f (x )过(0,1)，(1,1)，则c ＝1，a ＋b ＋c ＝1.a ＋b ＝0，a ＝－b ，－b 2a ＝12，又b 2－4ac >0，a (a －4)>0，a >4，由于a 为正整数，即a 的最小值为5. 答案 C 二、填空题7．对于函数y ＝x 2，y ＝x 有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都12单调递增；③它们的图像关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型． 其中正确的有________．解析 从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较． 答案 ①②⑤⑥8．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________． 解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4ac －164a ＝0⇒⎩⎨⎧a >0，ac －4＝0.答案 a >0，ac ＝49．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m 的取值范围是________．解析 ∵⎩⎨⎧α＋β＝m ，α·β＝1，∴m ＝β＋1β.∵β∈(1,2)且函数m ＝β＋1β在(1,2)上是增函数，∴1＋1＜m ＜2＋12，即m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫2，5210．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0； ②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0， 则m 的取值范围是________．解析 当x <1时，g (x )<0，当x >1时，g (x )>0，当x ＝1时，g (x )＝0，m ＝0不符合要求；当m >0时，根据函数f (x )和函数g (x )的单调性，一定存在区间[a ，＋∞)使f (x )≥0且g (x )≥0，故m >0时不符合第①条的要求；当m <0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f (x )的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f (x )至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4，函数f (x )的两个零点是2m ，－(m ＋3)，故m 满足错误!或⎩⎨⎧m <0，－(m ＋3)<2m ，2m <1，－(m ＋3)<－4，解第一个不等式组得－4<m <－2，第二个不等式组无解，故所求m 的取值范围是(－4，－2)．答案 (－4，－2) 三、解答题11．设f (x )是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x <1时，y ＝f (x )的表达式是幂函数，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18.求函数在[2k －1,2k ＋1)(k ∈Z )上的表达式．解 设在[－1,1)上，f (x )＝x n ，由点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18在函数图象上，求得n ＝3.令x ∈[2k －1,2k ＋1)，则x －2k ∈[－1,1)， ∴f (x －2k )＝(x －2k )3.又f (x )周期为2，∴f (x )＝f (x －2k )＝(x －2k )3.即f (x )＝(x －2k )3(k ∈Z )． 12．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4, 6]．(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)[理]当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， 由于x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)由于函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6 或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋3，x ∈0，6]x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．13．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，求实数a 的取值范围．解 不等式ax 2－2x ＋2>0等价于a >2x －2x 2，设g (x )＝2x －2x 2，x ∈(1,4)，则 g ′(x )＝2x 2－2x －22x x 4＝－2x 2＋4xx 4＝－2xx －2x 4，当1<x <2时，g ′(x )>0，当2<x <4时，g ′(x )<0，g (x )≤g (2)＝12， 由已知条件a >12，因此实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.14．已知函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f (2)<f (3)． (1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (2)<f (3)，∴f (x )在第一象限是增函数． 故－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2. 又∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，∴f (x )＝x 2. (2)假设存在q >0满足题设，由(1)知 g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]．∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫2q －12q ，4q 2＋14q 处取得．而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q －(2－3q )＝(4q －1)24q ≥0，∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178，g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.解得q＝2，∴存在q＝2满足题意．。
高考数学(文科)大一轮复习配套课时训练：第二篇 函数、导数及其应用 第6节 二次函数与幂函数(含答案)
第6节二次函数与幂函数课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.设α∈{-1,1,,3},则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为(A)(A)1,3 (B)-1,1 (C)-1,3 (D)-1,1,3解析:α=-1,1,3时幂函数为奇函数,当α=-1时定义域不是R,所以α=1,3.故选A.2.已知函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c且a+b+c=0,则它的图象可能是(D)解析:∵a>b>c且a+b+c=0,∴a>0,c<0.∴图象可能是D.故选D.3.已知幂函数f(x)=xα,当x>1时,恒有f(x)<x,则α的取值范围是(B)(A)0<α<1 (B)α<1(C)α<0 (D)α>0解析:x>1时,由f(x)<x可得xα<x=x1,因此α<1,故选B.4.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则(A)(A)a>b>c (B)a>c>b(C)c>a>b (D)b>c>a解析:∵函数y=0.4x在R上是减函数,且0.2<0.6,∴0.40.2>0.40.6,即b>c.又函数y=x0.2在(0,+∞)上是增函数,且2>0.4,∴20.2>0.40.2,即a>b,∴a>b>c.故选A.5.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么(A)(A)f(2)<f(1)<f(4) (B)f(1)<f(2)<f(4)(C)f(2)<f(4)<f(1) (D)f(4)<f(2)<f(1)解析:∵f(2+t)=f(2-t),∴f(x)关于x=2对称,又开口向上.∴f(x)在[2,+∞)上单调递增,且f(1)=f(3).∴f(2)<f(3)<f(4),即f(2)<f(1)<f(4),故选A.6.如图给出4个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是(B)(A)①y=,②y=x2,③y=,④y=x-1(B)①y=x3,②y=x2,③y=,④y=x-1(C)①y=x2,②y=x3,③y=,④y=x-1(D)①y=,②y=,③y=x2,④y=x-1解析:结合幂函数性质,对解析式和图象逐一对照知B项正确.故选B.7.已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),若x1<x2,x1+x2=1-a,则(B)(A)f(x1)=f(x2)(B)f(x1)<f(x2)(C)f(x1)>f(x2)(D)f(x1)与f(x2)的大小不能确定解析:函数的对称轴为x=-1,设x0=,由0<a<3得到-1<<,又x1<x2,用单调性和离对称轴的远近作判断,故选B.二、填空题8.已知幂函数y=f(x)的图象过点（,）,则log4f(2)的值为.解析:设f(x)=xα,由其图象过点（,）得（）α==,所以α=,log4f(2)=log4=log4=.答案:9.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=.解析:f(x)=bx2+(2a+ab)x+2a2,∵f(x)是偶函数,∴2a+ab=0.①又f(x)的值域为(-∞,4].∴b<0.②=4.③联立①②③解得a2=2,b=-2,∴f(x)=-2x2+4.答案:-2x2+410.在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y).若对任意x>2,不等式(x-a)⊗x≤a+2都成立,则实数a的取值范围是.解析:由题意得(x-a)⊗x=(x-a)(1-x),故不等式(x-a)⊗x≤a+2化为(x-a)(1-x)≤a+2.化简得x2-(a+1)x+2a+2≥0,故原题等价于x2-(a+1)x+2a+2≥0在(2,+∞)上恒成立,由二次函数f(x)=x2-(a+1)x+2a+2的图象,其对称轴为x=,讨论得或解得a≤3或3<a≤7综上得a≤7.答案:(-∞,7]11.若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,则实数k的取值范围是.解析:令f(x)=x2+(k-2)x+2k-1,由题意得即解得<k<.答案:(,)三、解答题12.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)=求F(2)+F(-2)的值;(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值范围.解:(1)由已知c=1,a-b+c=0,且-=-1,解得a=1,b=2.∴f(x)=(x+1)2.∴F(x)=∴F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.(2)f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1在(0,1]上恒成立,即b≤-x且b≥--x在(0,1]上恒成立.又x∈(0,1]时,-x的最小值为0,--x的最大值为-2, ∴-2≤b≤0.即b的取值范围是[-2,0].13.已知函数f(x)=x m-且f(4)=.(1)求m的值;(2)判定f(x)的奇偶性;(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 解:(1)∵f(4)=,∴4m-=,∴m=1.(2)由(1)知f(x)=x-,∴函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 又f(-x)=-x+=-=-f(x).所以函数f(x)是奇函数.(3)函数f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,证明如下: 设x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=x1--=(x1-x2),因为x1>x2>0,所以x1-x2>0,1+>0.所以f(x1)>f(x2).所以函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数.B组14.设f(x)=|2-x2|,若0<a<b且f(a)=f(b),则a+b的取值范围是(D)(A)(0,2) (B)(0,)(C)(0,4) (D)(0,2)解析:∵f(a)=f(b),0<a<b,∴a<<b,∴2-a2=b2-2,即a2+b2=4,则(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2)=8,0<a+b<2,故选D.15.在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y=(x>0)图象上一动点.若点P,A之间的最短距离为2,则满足条件的实数a的所有值为.解析:设P(x,)(x>0),则|PA|2=(x-a)2+(-a)2=x2+-2a(x+)+2a2令x+=t(t≥2),则|PA|2=t2-2at+2a2-2=(t-a)2+a2-2若a≥2,当t=a时,|PA=a2-2=8,解得a=.若a<2,当t=2时,|PA=2a2-4a+2=8,解得a=-1.答案:-1,16.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为常数),x∈R,F(x)=(1)若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求F(x)的表达式;(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围;(3)设m·n<0,m+n>0,a>0且f(x)为偶函数,证明F(m)+F(n)>0. (1)解:∵f(-1)=0,∴a-b+1=0,a=b-1.又x∈R,f(x)的值域为[0,+∞),∴∴b2-4(b-1)=0,b=2,a=1,∴f(x)=x2+2x+1=(x+1)2.∴F(x)=(2)解:g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1,当≥2或≤-2时,即k≥6或k≤-2时,g(x)在[-2,2]上是单调函数.(3)证明:∵f(x)是偶函数,∴f(x)=ax2+1,F(x)=∵m·n<0,不妨设m>n,则n<0,又m+n>0,m>-n>0,∴|m|>|-n|,又a>0,∴F(m)+F(n)=(am2+1)-an2-1=a(m2-n2)>0.。
备战2013高考数学第一轮复习配套课时同步2.6二次函数、幂函数新人教B版
"备战2013高考数学第一轮复习配套课时作业 2.6 二次函数、幂函数新人教B 版 "1.二次函数2y x bx c =-++图象的最高点为(-1,-3),则b 与c 的值是( ) A.b=2,c=4 B.b=2,c=-4 C.b=-2,c=4 D.b=-2,c=-4【答案】 D2.若函数3()(f x x x =∈R ),则函数y=f(-x)在其定义域上是( ) A.单调减的偶函数 B.单调减的奇函数 C.单调增的偶函数 D.单调增的奇函数【答案】 B【解析】 ∵3()(f x x x =∈R ),∴y=f(3)x x -=-在R 上是单调递减的奇函数.3.有下列函数:①13y x =;②y=3x-2;③42y x x =+;④y =其中幂函数的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【答案】 B【解析】 ①中3y x -=;④中23y x =符合幂函数定义; 而②中y=3x-2,③中42y x x =+不符合幂函数的定义4.若二次函数2()f x ax bx c =++满足12()()f x f x =,则12()f x x +等于( )A.2b a-B.b a-C.cD.244ac b a- 【答案】 C【解析】 由已知12()()f x f x =且f(x)的图象关于2b x a=-对称,∴12b x x a+=-.∴122()()2b b b f x x f a bc c a a a +=-=⋅-⋅+=. 5.函数23y x =的图象是图中的哪一个( )【答案】 D【解析】 23y x ==此函数是偶函数,排除B 、C,据幂函数性质知D 正确.6.设函数2()1f x mx mx =--,若f(x)<0的解集为R ,则实数m 的取值范围是 . 【答案】 (-4,0]【解析】 若m=0;显然-1<0恒成立,若0m ≠,则 2040m m m <,⎧⎨∆=+<,⎩ ∴-4<m<0.故所求范围为40m -<≤.课后作业夯基 基础巩固1.如果函数2()f x x bx c =++对任意的实数x,都有f(1+x)=f(-x),那么( ) A.f(-2)<f(0)<f(2) B.f(0)<f(-2)<f(2) C.f(2)<f(0)<f(-2) D.f(0)<f(2)<f(-2)【答案】 D【解析】 由f(1+x)=f(-x)知f(x)图象关于12x =对称,又抛物线开口向上,结合图象可知-2.函数3()f x x =与函数13y x =的图象( ) A.关于原点对称 B.关于x 轴对称 C.关于y 轴对称 D.关于直线y=x 对称【答案】 D【解析】 ∵3()f x x =与13y x =互为反函数, ∴它们的图象关于直线y=x 对称.3.已知幂函数y=f(x)的图象经过点1(4)2,,则f(2)等于 ( )A.14B.4【答案】 C【解析】 设()f x x α=,代入点12(4),可得12α=-,则12x -,故(2)f =.4.若2()(f x x x a f =-+,-m)<0,则f(m+1)的值 ( ) A.是正数 B.是负数 C.是非负数 D.与m 有关【答案】 B【解析】 法一:∵2()f x x x a =-+的对称轴为12x =, 而-m,m+1关于12对称,∴f(m+1)=f(-m)<0. 法二:∵f(-m)<0,∴20m m a ++<.∴f(m+1)22(1)(1)0m m a m m a =+-++=++<. 5.(2011福建高考,文6)若关于x 的方程2x mx ++有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是( ) A.(-1,1) B.(-2,2)C.(2)(2)-∞,-⋃,+∞D.(1)(1)-∞,-⋃,+∞ 【答案】 C【解析】 ∵方程210x mx ++=有两个不相等的实根, ∴2m ∆=-∴24m >,即m>2或m<-2.6.右图是函数(mn y x m n =,∈N *,m 、n 互质)的图象,则( )A.m,n 是奇数,且1m n<B.m 是偶数,n 是奇数,且1m n >C.m 是偶数,n 是奇数,且1m n <D.m 是奇数,n 是偶数,且1m n>【答案】 C【解析】 将分数指数式化为根式y ,=由定义域为R ,值域为[0),+∞知,n 为奇数,m 为偶数,又由幂函数y x α=,当1α>时,图象在第一象限的部分下凸,当01α<<时,图象在第一象限的部分上凸,故选C.(或由图象知,函数为偶函数,∴m 为偶数,n 为奇数.又函数图象在第一象限内上凸,∴1m n<.)7.如果幂函数222(33)m m y m m x --=-+的图象不过原点,则m 的取值是( )A.12m -≤≤B.m=1或m=2C.m=2D.m=1【答案】 B【解析】 ∵幂函数222(33)m m y m m x --=-+中的系数2331m m -+=,∴m=2或1. 又222(33)m m y m m x--=-+的图象不过原点,∴220m m --≤,即12m -≤≤. ∴m=2或1.8.已知幂函数()f x x α=的部分对应值如下表,则不等式f(|x|)≤2的解集是( )A.{x|44x -≤≤}B.{x|04x ≤≤}C.{x|x ≤≤}D.{x|0x <≤【答案】 A【解析】 1()2α=, ∴12α=.∴12()f x x =.∴(|x|12)2≤,即|x|4≤,故44x -≤≤.9.已知二次函数2()4f x x ax =-+,若f(x+1)是偶函数,则实数a 的值为( ) A.-1B.1C.-2D.2【答案】 D【解析】 由题意f(x+1)22(1)(1)4x a x x =+-++=+--a 为偶函数,所以2-a=0,a=2.10.(2012浙江温州测试)已知函数f(x)= 224040x x x x x x ⎧+,≥,⎨-,<.⎩ 若2(2)()f a f a ->,则实数a 的取值范围是( ) A.(1)(2)-∞,-⋃,+∞ B.(-1,2) C.(-2,1)D.(2)(1)-∞,-⋃,+∞ 【答案】 C【解析】 函数f(x)= 224040x x x x x x ⎧+,≥,⎨-,<⎩ 的图象如图.由图可知f(x)在R 上为增函数. ∵2(2)()f a f a ->, 即22a a ->,解得-2<a<1.11.已知函数22()2()962f x x x a f bx x x =++,=-+,其中x ∈R ,a,b 为常数,则方程f(ax+b)=0的解集为 . 【答案】∅【解析】 由题意知222()2962f bx b x bx a x x =++=-+⇒-3,所以f(ax+b)=f 2(23)485x x x -=-+,令f(2x-3)=0,由0∆<,得解集为∅. 12.求函数21(m m y xm ++=∈N )的定义域、值域,并判断其单调性.【解】 ∵21(m m m ++=m+1)+1必为奇数,且2m m ++231()024m ++>,∴函数的定义域为R ,类比3y x =的图象可知,所求函数的值域为R .在()-∞,+∞上所求函数是单调增函数.13.已知二次函数f(x)的图象过A(-1,0)、B(3,0)、-三点.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在[03]x ∈,上的最值; (3)求不等式()0f x ≥的解集.【解】 (1)由题意可设f(x)=a(x+1)(x-3), 将C(1,-8)代入得-8=a(1+1)(1-3),∴a=2, 即f(x)=2(x+1)2(3)246x x x -=--. (2)2()2(1)8f x x =--,当[03]x ∈,时,由二次函数图象(图略)知min max ()(1)8()(3)0f x f f x f ==-,==.(3)由图象(图略)知()0f x ,≥的解集为{x|1x ≤-或3x ≥}. 14.已知幂函数23()m m f x x--=为奇函数,且在(0),+∞上是减函数(m ∈N *2)m ,≥.(1)求f(x);(2)比较f(-2 011)与f(-2)的大小. 【解】 (1)∵f(x)在(0),+∞上为减函数, ∴230m m --<.m <<又∵m ∈N *,且2m ≥,∴m=2.∴1()f x x -=,符合题意. (2)∵f(x)为奇函数, ∴f(-2 011)=-f(2 1011)2011=-,f(-2)=-f 1(2)2=-.∵1120112->-. ∴f(-2 011)>f(-2). 拓展延伸15.已知函数2()(0f x ax bx c a b =++>,∈R c ,∈R ).(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)= ()0()0f x x f x x ,>,⎧⎨-,<,⎩ 求F(2)+F(-2)的值.(2)若a=1,c=0,且|f(x)|1≤在区间(0,1]上恒成立,试求b 的取值范围.【解】 (1)由已知c=1,f(-1)=a-b+c=0,且2b a-=-解得a=1,b=2.∴2()(1)f x x =+.∴F(x)= 22(1)0(1)0x x x x ⎧+,>,⎨-+,<.⎩ ∴F(2)+F(-2)22(21)[(21)]8=++--+=.(2)由题知2()f x x bx =+,原命题等价于211x bx -≤+≤在(01]x ∈,上恒成立, 即1b x x ≤-且1b x x≥--在(01]x ∈,上恒成立,根据单调性可得1y x x=-的最小值为0,1y x x=--的最大值为-2,所以20b -≤≤.。
高考数学一轮复习课时过关检测八幂函数与二次函数含解析
课时过关检测(八) 幂函数与二次函数A 级——基础达标1．已知函数f (x )＝(m －1)x 2－2mx ＋3是偶函数，则在(－∞，0)上此函数( ) A ．是增函数 B ．不是单调函数 C ．是减函数D ．不能确定解析：A 因为函数f (x )＝(m －1)x 2－2mx ＋3是偶函数，所以函数图象关于y 轴对称，即mm －1＝0，解得m ＝0．所以f (x )＝－x 2＋3为开口向下的抛物线，所以在(－∞，0)上此函数单调递增．故选A ．2．(2022·济南质检)若f (x )是幂函数，且满足f 4f 2＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( ) A ．3 B ．－3 C ．13D ．－13解析：C 设f (x )＝x α，则4α2α＝2α＝3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝13．3．(2022·浙江模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则( )A ．b <a ＋c ，c 2<ab B ．b <a ＋c ，c 2>ab C ．b >a ＋c ，c 2<abD ．b >a ＋c ，c 2>ab解析：D 由题图知，a >0，b >0，c <0，f (1)＝a ＋b ＋c ＝0，f (－1)＝a －b ＋c <0，所以c ＝－(a ＋b )，b >a ＋c ，所以c 2－ab ＝[－(a ＋b )]2－ab ＝a 2＋b 2＋ab >0，即c 2>ab ．故选D ．4．已知函数f (x )＝－10sin 2x －10sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，m 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3 解析：B 由题得f (x )＝－10⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x ＋sin x ＋14＋2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，m ，令t ＝sin x ，则f (x )＝g (t )＝－10⎝⎛⎭⎪⎫t ＋122＋2，令g (t )＝－12，得t ＝－1或t ＝0，由g (t )的图象，可知当－12≤t ≤0时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，所以－π6≤m ≤0．故选B ． 5．不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤x 的解集是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ 解析：B 在同一坐标系中作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与y ＝x 的图象，如图所示：当⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 时，解得x ＝12，由图象知⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤x 的解集是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞故选B ． 6．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x ＝2对称．”根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是( )A ．在x 轴上截得的线段的长度是2B ．与y 轴交于点(0,3)C ．顶点是(－2，－2)D ．过点(3,0)解析：ABD 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，－b2a＝2，解得b ＝－4a ，c ＝3a ，所以二次函数为y ＝a (x 2－4x ＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选A 、B 、D ．7．(多选)已知函数y ＝x α(α∈R )的图象过点(3,27)，下列说法正确的是( ) A ．函数y ＝x α的图象过原点 B ．函数y ＝x α是奇函数 C ．函数y ＝x α是单调减函数 D ．函数y ＝x α的值域为R解析：ABD 因为函数y ＝x α(α∈R )的图象过点(3,27)，所以27＝3α，即α＝3，所以f (x )＝x 3，A 项，因为f (0)＝0，所以函数y ＝x 3的图象过原点，因此本说法正确；B 项，因为f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，所以函数y ＝x 3是奇函数，因此本说法正确；C 项，因为y ＝x 3是实数集上的单调递增函数，所以本说法不正确；D 项，因为y ＝x 3的值域是全体实数集，所以本说法正确．故选A 、B 、D ．8．已知函数f (x )＝4＋log a (2x －3)(a >0且a ≠1)的图象恒过定点P ，且点P 在函数g (x )＝x α的图象上，则α＝________．解析：令2x －3＝1，得x ＝2，此时f (2)＝4，∴函数f (x )＝4＋log a (2x －3)(a >0且a ≠1)的图象恒过定点(2,4)，即P (2,4)，又∵点P 在函数g (x )＝x α的图象上，∴2α＝4，∴α＝2．答案：29．已知幂函数f (x )的部分对应值如表：x 1 12 f (x )122则不等式f (|x |)≤2的解集是________．解析：设幂函数为f (x )＝x α，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，∴α＝12，∴f (x )＝x 12，不等式f (|x |)≤2等价于|x |12≤2，∴|x |≤4，∴－4≤x ≤4．∴不等式f (|x |)≤2的解集是[－4,4]．答案：[－4,4]10．已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增． (1)求函数f (x )的解析式； (2)设函数g (x )＝f x ＋2x ＋c ，若g (x )>2对任意的x ∈R 恒成立，求实数c 的取值范围．解：(1)∵f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，∴－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0，解得－1<m <3．又m ∈Z ，∴m ＝0,1,2．当m ＝0或2时，f (x )＝x 3，不是偶函数； 当m ＝1时，f (x )＝x 4，是偶函数． 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 4．(2)由(1)知f (x )＝x 4，则g (x )＝x 2＋2x ＋c ＝(x ＋1)2＋c －1． 由g (x )>2对任意的x ∈R 恒成立，得g (x )min >2(x ∈R )． ∵g (x )min ＝g (－1)＝c －1，∴c －1>2，解得c >3． 故实数c 的取值范围是(3，＋∞)．B 级——综合应用11．(2022·合肥质检)已知函数f (x )＝－2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )＞0的解集为(－1,3)．若对任意的x ∈[－1,0]，f (x )＋m ≥4恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[4，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(－∞，4]解析：B 因为f (x )＞0的解集为(－1,3)，故－2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根为－1,3，所以⎩⎪⎨⎪⎧－c2＝－1×3，b 2＝－1＋3，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝6，令g (x )＝f (x )＋m ，则g (x )＝－2x 2＋4x ＋6＋m ＝－2(x－1)2＋8＋m ，由x ∈[－1,0]可得g (x )min ＝m ，又g (x )≥4在[－1,0]上恒成立，故m ≥4，故选B ．12．(多选)若a ＋b >0，函数f (x )＝(x －a )(x ＋b )－1的零点为x 1，x 2(x 1<x 2)则( ) A ．x 1<b B ．x 2>a C ．x 1＋x 2＝a －bD ．x 1＋x 2＝b －a解析：BC 设g (x )＝(x －a )(x ＋b )，则g (a )＝g (－b )＝0，f (x 1)＝g (x 1)－1＝0，g (x 1)＝1，同理g (x 2)＝1，所以x 1＋x 2＝a ＋(－b )＝a －b ，由a ＋b >0得a >－b 且a >0，又x 1<x 2，g (x )的图象是开口向上的抛物线，所以x 1<－b ，x 2>a ，故选B 、C ．13．请先阅读下列材料，然后回答问题．对于问题“已知函数f (x )＝13＋2x －x 2，问函数f (x )是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由”，一个同学给出了如下解答：令u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4，当x ＝1时，u 有最大值，u max ＝4，显然u 没有最小值．故当x ＝1时，f (x )有最小值14，没有最大值．(1)你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答； (2)试研究函数y ＝2x 2＋x ＋2的最值情况．解：(1)不正确．没有考虑到u 还可以小于0．正确解答如下：令u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4≤4，易知u ≠0，当0<u ≤4时，1u ≥14，即f (x )≥14；当u <0时，1u<0，即f (x )<0．∴f (x )<0或f (x )≥14，即f (x )既无最大值，也无最小值．(2)∵x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74≥74，∴0<y ≤87，∴函数y ＝2x 2＋x ＋2的最大值为87⎝ ⎛⎭⎪⎫当x ＝－12时取到，无最小值．C 级——迁移创新14．定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f b －f ab －a，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，设x 0为均值点，所以f 1－f －11－－1＝m ＝f (x 0)，即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1,1)内有实数根，解方程得x 0＝1或x 0＝m －1．所以必有－1<m －1<1，即0<m <2，所以实数m 的取值范围是(0,2)．答案：(0,2)15．已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a >0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1． (1)求a ，b 的值；(2)若存在x ∈[3,4]，使g (x )<2m 2－tm ＋7对任意的t ∈[0,5]都成立，求m 的取值范围； (3)设f (x )＝g x x，若不等式f (2x )－k ·2x≥0在x ∈[－1,1]上有解，求实数k 的取值范围．解：(1)g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b ＝a (x －1)2＋1＋b －a ． ∵a >0，∴g (x )在[2,3]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧g2＝1，g 3＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝1，9a －6a ＋1＋b ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.(2)由(1)得g (x )＝x 2－2x ＋1，∵存在x ∈[3,4]，使g (x )<2m 2－tm ＋7对任意的t ∈[0,5]都成立， ∴g (x )min ＝g (3)＝4<2m 2－tm ＋7对任意的t ∈[0,5]都成立，即－mt ＋2m 2＋3>0对任意的t ∈[0,5]都成立，其中t 看作自变量，m 看作参数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋3>0，－5m ＋2m 2＋3>0，解得m ∈(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞．(3)由(1)得f (x )＝g x x ＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x－2，∴f (2x )－k ·2x ＝2x ＋12x －2－k ·2x≥0，令2x＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤t ≤2，则不等式可化为k ≤1＋1t 2－2t，∵不等式f (2x )－k ·2x≥0在x ∈[－1,1]上有解，∴k ≤⎝⎛⎭⎪⎫1＋1t2－2t max ，又∵1＋1t2－2t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12，12≤t ≤2⇒12≤1t ≤2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1t 2－2t max ＝1，k ≤1，即实数k 的取值范围是(－∞，1]．。
高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数(ⅰ)第4节幂函数与二次函数跟踪检测文含解析
第二章 函数的概念与基本初等函数(Ⅰ)第四节 幂函数与二次函数A 级·基础过关|固根基|1.幂函数y ＝f(x)的图象经过点(3，33)，则f(x)是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：选C 设幂函数f(x)＝x α，代入点(3，33)，得33＝3α，解得α＝13，所以f(x)＝x 13，可知函数为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增．2．在函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 中，若a ，b ，c 成等比数列，且f(0)＝－4，则f(x)( ) A ．有最小值－4 B ．有最大值－4 C ．有最小值－3D ．有最大值－3解析：选D 由a ，b ，c 成等比数列且f(0)＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－4，b 2＝ac.显然a<0，故f(x)有最大值，最大值为4ac －b 24a ＝4ac －ac 4a ＝3c 4＝－3，故选D.3．(2019届湖北鄂东南省级示范高中联考)若幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1＜m ＜0＜n ＜1B ．－1＜n ＜0＜mC ．－1＜m ＜0＜nD ．－1＜n ＜0＜m ＜1解析：选D 幂函数y ＝x α，当α＞0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，且0＜α＜1时，图象上凸，∴0＜m ＜1；当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x ＝2，根据图象可得2－1＜2n，∴－1＜n ＜0.综上所述，－1＜n ＜0＜m ＜1.4．已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的图象过坐标原点，且满足f(－x)＝f(－1＋x)，则函数f(x)在[－1，3]上的值域为( )A ．[0，12]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，12解析：选B 因为函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的图象过坐标原点，所以f(0)＝0，所以b ＝0.因为f(－x)＝f(－1＋x)，所以函数f(x)的图象的对称轴为x ＝－12，所以a ＝1，所以f(x)＝x 2＋x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，所以函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12上为减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，3上为增函数，故当x ＝－12时，函数f(x)取得最小值－14.又f(－1)＝0，f(3)＝12，故函数f(x)在[－1，3]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12，故选B.5．若函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m( ) A ．与a 值有关，且与b 值有关 B ．与a 值有关，但与b 值无关 C ．与a 值无关，且与b 值无关 D ．与a 值无关，但与b 值有关解析：选B 因为函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最值在f(0)＝b ，f(1)＝1＋a ＋b ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝b －a24中取，所以最值之差一定与a 有关，与b 无关．6．如果函数f(x)＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是____________． 解析：当a ＝0时，f(x)＝2x －3在(－∞，4)上单调递增； 当a≠0时，若f(x)在(－∞，4)上单调递增， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－1a≥4，解得－14≤a ＜0.综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 7．已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝12，则当f(a)＝4f(a ＋3)时，实数a 等于________．解析：设f(x)＝x α，则4α＝12，所以α＝－12.因此f(x)＝x －12，从而a －12＝4(a ＋3)－12，解得a ＝15.答案：158．若二次函数f(x)＝ax 2－x ＋b(a≠0)的最小值为0，则a ＋4b 的取值范围是________．解析：依题意，知a ＞0，且Δ＝1－4ab ＝0， ∴4ab ＝1，且b ＞0.故a ＋4b≥24ab ＝2，当且仅当a ＝4b ，即a ＝1，b ＝14时等号成立．所以a ＋4b 的取值范围是[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞) 9．已知幂函数f(x)＝x(m 2＋m)－1(m∈N *)的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a －1)的实数a 的取值范围．解：幂函数f(x)的图象经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m) －1，即212＝2(m 2＋m)－1. ∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m∈N *，∴m＝1，∴f(x)＝x 12.则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． 由f(2－a)＞f(a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，解得1≤a＜32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. 10．已知函数f(x)＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域； (2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a 的值． 解：(1)当a ＝2时，f(x)＝x 2＋3x －3，x∈[－2，3]， 对称轴x ＝－32∈[－2，3]，所以f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f(x)max ＝f(3)＝15，所以函数f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.(2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a≥－12时，f(x)max ＝f(3)＝6a ＋3，所以6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；②当－2a －12>1，即a<－12时，f(x)max ＝f(－1)＝－2a －1，所以－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意． 综上可知，a ＝－13或－1.B 级·素养提升|练能力|11.若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．c<a<b C ．b<c<aD ．b<a<c解析：选D 因为y ＝x 23在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223>b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523.因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223<c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，所以b<a<c. 12．(2019届福建连城一模)已知函数f(x)＝2ax 2－ax ＋1(a<0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f(x 1)与f(x 2)的大小关系是( )A ．f(x 1)＝f(x 2)B ．f(x 1)>f(x 2)C ．f(x 1)<f(x 2)D ．与x 的值无关解析：选C 由题知二次函数f(x)的图象开口向下，图象的对称轴为x ＝14，因为x 1＋x 2＝0，所以直线x ＝x 1，x ＝x 2关于直线x ＝0对称，由x 1<x 2，结合二次函数的图象可知f(x 1)<f(x 2)．13．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a 的取值范围是________.解析：由题意可知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x ＝2(如图)， 若f(a)≥f(0)，从图象观察可知0≤a≤4. 答案：[0，4]14．已知二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[－1，1]时，函数y ＝f(x)的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围． 解：(1)由f(0)＝1可设f(x)＝ax 2＋bx ＋1(a≠0)， 由f(x ＋1)－f(x)＝2x ，得a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1－ ax 2－bx －1＝2x ，化简得2ax ＋a ＋b ＝2x. 所以2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1， 因此，f(x)的解析式为f(x)＝x 2－x ＋1.(2)因为当x∈[－1，1]时，y ＝f(x)的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方， 所以在[－1，1]上，x 2－x ＋1＞2x ＋m 恒成立； 即x 2－3x ＋1＞m 在区间[－1，1]上恒成立．所以令g(x)＝x 2－3x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54，因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1， 所以m ＜－1，故实数m 的取值范围为(－∞，－1)．。
2013高考数学一轮同步训练(文科) 2.6指数函数
第六节指数函数强化训练1.下列四类函数中,有性质”对任意的x >0,y >0,函数f (x )满足f (x +y )=f (x )f (y )”的是( ) A.幂函数 B.对数函数 C.指数函数 D.余弦函数 答案:C解析:本题考查幂的运算性质()()()x y x y f x f y a a a f x y +===+.2.与函数()2x f x =的图象关于直线y =x 对称的曲线C 对应的函数为g (x ),则1()2g 的值为( )B.1C.12D.-1答案:D解析:依题意得g (x )=log 2x , 所以1()2g =log 2112=-.3.函数f (x )=(x -3)e x 的单调递增区间是( ) A.(2)-∞, B.(0,3) C.(1,4) D.(2),+∞答案:D解析:f ′(x )=(x -3)′e (3)(x x +-e )x ′=(x -2)e x ,令f ′(x )>0,解得x >2,故选D. 4.设偶函数f (x )满足()24(0)x f x x =-≥,则{x |f (x -2)>0}等于( ) A.{x |x <-2或x >4} B.{x |x <0或x >4} C.{x |x <0或x >6} D.{x |x <-2或x >2} 答案:B5.已知(3)4x f x =log 23233+,则f (2)+f (4)+f (8)+…8(2)f +的值等于 . 答案:2 008 解析:令30x t t =,>,∴x =log 3()4t f t ,=log 3t log 23233+=4log 2t +233.∴f (2)=4+233(4)42233f ,=⨯+,…,8(2)f =48233(2)f ⨯+,+f (4)+f (8)+…+8(2)f =23384(123⨯+⨯+++…+8)=2 008.6.已知函数()22x x a f x =-,将y =f (x )的图象向右平移两个单位,得到y =g (x )的图象.(1)求函数y =g (x )的解析式;(2)若函数y =h (x )与函数y =g (x )的图象关于直线y =1对称,求函数y =h (x )的解析式. 解:(1)由题设得g (x )=f 22(2)22x x a x ---=-. (2)设点(x ,y )在y =h (x )的图象上,点11()x y ,在y =g (x )的图象上,且与点(x ,y )关于直线y =1对称,则 112x x y y =,⎧⎨=-,⎩∴2-y =g (x ).∴y =2-g (x ),即22()222x x a h x --=-+.见课后作业A题组一 指数幂的运算1.设322555322()()()555a b c =,=,=,则a ,b ,c 的大小关系是( )A.a >c >bB.a >b >cC.c >a >bD.b >c >a答案:A解析:∵25y x =在(0),+∞上是增函数,且35>25,∴225532()()55>,即a >c .∵2()5xy =在R 上是减函数,且3255>,∴325522()()55<,即b <c .2.如果0<a <1,那么下列不等式中正确的是( ) A.1132(1)(1)a a ->- B.log (1)(1)1a a -+> C.32(1)(1)a a ->+ D.1-a >1答案:A解析:因为0<a <1,所以0<1-a <1,13(1)a ->12(1)a -.故选A. 3.计算:(1)(0.1132271027)()(2)1)79----+--;121(2)()4-解:(1)原式11322227251051()(1)()()14914510007933--=--+-=-+-=-.(2)原式31333322222244100a ab b --⋅=⋅⋅⋅⋅=00425a b ⋅=425.题组二 指数函数的图象和性质 4.函数(1)x y a a ||=>的图象是( )答案:B解析:因为1x a y a >,=的图象是下凸的,过点(0,1),选B. 5.函数y =的值域是( ) A.[0),+∞ B.[0,4] C.[0,4)D.(0,4)答案:C解析:∵40x >,∴40x -<.∴016416x ≤-<.∴04y ≤<. 6.定义运算a b ⊕=a a b b a b ,≤,⎧⎨,>,⎩ 则函数()12x f x =⊕的图象是( )答案:A解析:由题意,得()12xf x =⊕=1020x x x ,≥,⎧⎨,<,⎩故选A.7.若函数24()(01)x f x a a a |-|=>,≠,满足1(1)9f =,则f (x )的单调递减区间是( )A.(2]-∞,B.[2,+)∞C. [-2,+)∞D.(2]-∞,-答案:B解析:由1(1)9f =,得219a =,于是13a =,因此f (x )241()3x |-|=.因为g (x )=|2x -4|在[2,+)∞上单调递增,所以f (x )的单调递减区间是[2,+)∞.8.已知正数x y 、满足20350x y x y -≤,⎧⎨-+≥,⎩ 则11()()42x yz =⋅的最小值为( )A.1116D.132答案:C解析:如图易得2x +y 的最大值为4,从而2111()()()422x y x y z +=⋅=的最小值为116,选C.9.函数y =lg 2(34)x x -+的定义域为M ,当x M ∈时,则()2234x x f x =+-⨯的最大值为 . 答案:2512解析:由2340x x -+>得x >3或x <1, ∴M ={x |x >3或x <1}.22251()32223(2)612xx x f x =-⨯++=--+.∵x >3或x <1,∴28x >或022x <<.∴当126x =,即x =log 216时,f (x )最大,最大值为2512.题组三 指数函数的综合应用10.观察下列各式:237497343=,=,47=2 401,…,则20117的末两位数字为( ) A.01 B.43 C.07 D.49答案:B解析:∵()7(2)49x f x f =,=,f (3)=343,f (4)=2401,f (5)=16 807,2 011=2 008+3,∴f (2 011)=*** 343.11.已知函数f (x )=221(1)1x x x x ⎧,≥,⎨-,<,⎩若()4f x ≥,则x 的取值范围是 . 答案:(1]-∞,-⋃[2,+)∞解析:1x ≥时:24x ≥,即222x ≥,∴2x ≥.x <1时:2(1)4x -≥,即12x -≥或12x -≤-,即3x ≥或1x ≤-. ∴1x ≤-.综上,满足题意的x 的取值范围是1x ≤-或2x ≥. 12.设函数f (x )=1-e x -. (1)证明当x >-1时()1xf x x ,≥+; (2)设当0x ≥时()1x f x ax ,≤,+求a 的取值范围. 解:(1)证明:当x >-1时()1x f x x ,≥,+当且仅当e 1x x ≥+. 令g (x )=e 1x x --,则g ′(x )=e 1x -.当0x ≥时,g ′()0()x g x ≥,在[0),+∞上是增函数; 当x <0时,g ′(x )<0,g (x )在(0)-∞,上是减函数.于是g (x )在x =0处取到最小值,因而当x ∈R 时,g (x )(0)g ≥,即e 1x x ≥+. 所以当x >-1时()1xf x x ,≥+. (2)由题设0x ≥,此时()0f x ≥.当a <0时,若1x a >-,则01x ax <,+()f x ≤1x ax +不成立; 当0a ≥时,令h (x )=axf (x )+f (x )-x ,则()1x f x ax ≤+当且仅当()0h x ≤,h ′(x )=af (x )+axf ′(x )+f ′(x )-1 =af (x )-axf (x )+ax -f (x ).(ⅰ)当102a ≤≤时,由(1)知(1)(x x f ≤+x ),h ′()()()x af x axf x ≤-+a (x +1)f (x )-f (x )=(2a 1)()0f x -≤, h (x )在[0),+∞上是减函数()(0)0h x h ,≤=,即()1x f x ax ≤+. (ⅱ)当12a >时,由(1)知()x f x ≥,h ′(x )=af (x )-axf (x )+ax -f (x )()()af x axf x ≥-+af (x )-f (x )=(2a -1-ax )f (x ),当210a x a-<<时,h ′(x )>0,所以h (x )>h (0)=0,即()1x f x ax >,+ 综上,a 的。
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第八节 幂函数与二次函数
强化训练
1.在函数222123y y x y x x y x x
=,=,=+,=中,幂函数的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案:B
解析:显然,根据幂函数可知,只有21y x
=是幂函数.
2.函数y =|x |1(n
n ∈N ,n >2)的图象只可能是( )
答案:C
解析:显然,y =|x |1(n
n ∈N ,n >2)是偶函数,故可排除A 和B.又n ∈N ,n >2,所以应选C. 3.若2()1f x x ax =-+有负值,则实数a 的取值范围是( ) A.2a ≤- B.-2<a <2 C.a >2或a <-2 D.1<a <3
答案:C
解析:因为2()1f x x ax =-+有负值, ∴240a ∆=->. ∴a >2或a <-2.
4.设α∈{1
1132-,,,},则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α的值
为 . 答案:1,3
解析:当1α=-及12
α=
时y x α,=的定义域都不是R ,当1α=及3α=时y x α,=的定义
域都是R ,并且都是奇函数.
5.函数2()44f x x x =--在闭区间[]1t t ,+(t ∈R )上的最小值记为g (t ). (1)试写出g (t )的函数关系式;
(2)作出g (t )的大致图象,并写出g (t )的最小值. 解:22(1)()44(2)8f x x x x =--=--.
当t >2时,f (x )在[]1t t ,+上是增函数. ∴2()()44g t f t t t ==--;
当21t t ≤≤+,即12t ≤≤时,g (t )=f (2)=-8; 当t +1<2,即t <1时,f (x )在区间[]1t t ,+上是减函数. ∴g (t )=f 2(1)27t t t +=--.
综上可知:g (t )=22271812442t t t t t t t ⎧--,<,⎪
-,≤≤,⎨⎪--,>.⎩
(2)g (t )的大致图象如图所示,由图象易知g (t )的最小值为-8.
见课后作业A
题组一 幂函数的图象与性质
1.在下列函数中,定义域和值域不同的函数是( ) A.13
y x = B.12
y x -= C.53y x = D.23
y x =
答案:D
解析:因为23
y x =的定义域为R ,值域为[0),+∞. 2.设a =0.12
70b ,=.12
8c ,=lo g 30.7,则( ) A.c <b <a B.c <a <b C.a <b <c D.b <a <c
答案:B
解析:∵幂函数12
y x =在(0),+∞上是增函数, ∴0<a <b ,∵lo g 30.7<0, ∴c <a <b .
3.若函数f (x )=12
1
2020(3)0x x x x x -⎧,>,⎪⎪
-,=,⎨⎪⎪+,<⎩
则f (f (f (0)))= .
答案:1
解析:f (f (f (0)))=f (f (-2))=f (12
(23))-+12
(1)11f -
===.
4.若11
2
2(1)
(32)a a --+<-,则a 的取值范围是 .
答案:32()32
,
解析:令12
()f x x -=,则f (x )在(0),+∞上是减函数,故得
10320132a a a a +>,⎧⎪->,⎨⎪+>-,⎩
解得32
32
a <<.
5.如图所示,曲线是幂函数y x α=在第一象限内的图象,已知α分别取1
1122
-,,,四个值,则
相应图象依次为 .
答案:4c 、c 2、c 3、c 1
解析:根据幂函数的图象特征知,当α分别取1
1122
-,,,时,相应图象依次为4c 、c 2、c 3、c 1.
题组二 二次函数的图象与性质
6.已知函数2()f x x bx c =++且f (1+x )=f (-x ),则下列不等式中成立的是( ) A.f (-2)<f (0)<f (2) B.f (0)<f (-2)<f (2) C.f (0)<f (2)<f (-2)
D.f (2)<f (0)<f (-2) 答案:C
解析:∵f (1+x )=f (-x ),
∴22(1)(1)x b x c x bx c ++++=-+.
∴22(2)1x b x b c x bx c +++++=-+. ∴2+b =-b ,即b =-1.
∴2()f x x x c =-+,其图象的对称轴为12
x =.
∴f (0)<f (2)<f (-2).
7.函数2()45f x x mx =-+在区间[-2,+)∞上是增函数,则f (1)的取值范围是( ) A.(1)25f ≥ B.f (1)=25 C.(1)25f ≤ D.f (1)>25
答案:A
解析:由题知28
m ≤-,∴16m ≤-.
∴f (1)925m =-≥.
8.方程|22x x -|21[(0a a =+∈,+∞)]的解的个数是( ) A.1 B.2
C.3
D.4
答案:B
解析:∵(0)a ∈,+∞,∴211a +>.∴y =|22x x -|的图象与21y a =+的图象总有两个交点.∴方程有两解.故选B.
9.已知二次函数f (x )的二次项系数为a ,满足不等式f (x )>-2x 的解集为(1,3),且方程f (x )+6a =0有两个相等的实根,求f (x )的解析式. 解:设2()(0)f x ax bx c a =++≠.∵f (x )>-2x , ∴22ax bx c x ++>-,即2(2)ax b x +++c >0. ∵解集为(1,3),
021313a b a
c a ⎧
<⎪⎪++=-
⎨⎪
⎪⨯=
⎩
⇒ 0423a a b a c <,⎧⎪=--,⎨⎪=.⎩①②
由于f (x )=-6a 有两个相等的实根,故26ax bx c a +++=0中0∆=. ∴24(6)b a c a -+=0. ③
联立①②③,故6315
5
5
a b c =-,=-,=-,
∴2631()5
5
5
f x x x =---.
题组三 幂函数与二次函数的综合应用
10.方程2210mx mx ++=有一根大于1,另一根小于1,则实数m 的取值范围是 . 答案:103
m -<<
解析:令2()21f x mx mx =++, 当m >0时,f (1)=3m +1<0, 即13
m <-,舍去.
当m <0时,3m +1>0,即13
m >-.
∴103
m -<<.
11.不等式2(2)2(2)a x a -+-x -4<0对一切x ∈R 恒成立,则a 的取值范围是 . 答案:(-2,2] 解析:当a -2=0,
即a =2时,-4<0恒成立; 当20a -≠时,2
204(2)16(2)0a a a -<,
⎧
⎨
∆=-+-<,
⎩
解之得-2<a <2.
∴a 的取值范围是22a -<≤.
12.设2()f x ax bx c =++,若6a +2b +c 0(1)f =,⋅f (3)>0, (1)若a =1,求f (2)的值;
(2)求证:方程f (x )=0必有两个不等实根1x 、2x ,且1235x x <+<. 解:(1)∵6a +2b +c =0,a =1, ∴f (2)=4a +2b +c =-2a =-2. (2)证明:首先说明0a ≠,
∵(1)(3)(f f a b ⋅=++c )(9a +3b +c )=-(5a +b )(3a +b )>0, 若a =0,则2(1)(3)0f f b ⋅=-<与已知矛盾,∴0a ≠. 其次说明二次方程f (x )=0必有两个不等实根1x 、2x ,
∵f (2)=4a +2b +c =-2a ,∴若a >0,二次函数2()f x ax bx c =++开口向上,而此时f (2)<0. ∴若a <0,二次函数2()f x ax bx c =++开口向下,而此时f (2)>0.
故二次函数图象必与x 轴有两个不同交点. ∴二次方程f (x )=0必有两个不等实根1x 、2x .
(或利用22222244(62)824(4)80b ac b a a b b ab a b a a ∆=-=++=++=++>来说明) ∵0a ≠,∴将不等式-(5a +b )(3a +b )>0两边同除以2a -得(3)(5)0b b a
a
++<,
∴53b a
-<<-.
∴1235b x x a
<+=-<.。