2021沪教版(上海)数学高二上册-7.4 数学归纳法 课件 _2优秀课件PPT
沪教版上海高中数学高二上册第七章数学归纳法PPT下载
（Ⅱ）假设当n=k(k 1)时，等式成立，即 1+3+5+ … +（2k-1）=k2 ,
那么当n=k+1时，由假设可知
1+3+5+ … +(2k-1)+ 2 k 1 1
=k2 2 k 1 1 =k2 2k 1 k 12 ,
求证：命题 P(n)(n N ) 皆为真命题。
（Ⅰ）证明：命题P(1)为真命题；（存在性）
（Ⅱ）证明：假设命题 P(k)(k 1)为真命题，那么命题 P(k+1)
也为真命题。（传递性）
根据（Ⅰ）、（Ⅱ），可知对于任何n N ，命 题P(n) 皆为真命题。
例1 证明１+３+５+ ···+（2n–1）=n 2 ，n N .
1 1 4
1 47
1 7 10
…+ 3k
1
23k
1
k, 3k 1
那么当n=k+1时，由假设可知
1 1
4
4
1
7
7
1 10
…
+
3k
1
2
3k
1
3
k
1
1 2 3
k
1
1
k 3k
1
3 k
1
1
2 3
k
1
1
3k 1k 1 3k 13k 4
k 1
3k 1
1
,
故当n=k+1时等式也成立。
根据（Ⅰ)和(Ⅱ），可以得出对于任何n N等式都成立。
1、错； 2、不确定； 3、对； 4、对。
数学归纳法ppt-沪教版PPT课件
k 1 2k 3
即当n=k+1时等式也成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N* 都成立。
2020年10月2日
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探究：已知数列 1, 1, 1 , 1 , , 1447710(3n2)3 (n1 )
设Sn为数列前n项和，计算S1, S2 ,S3 ,S4,根据计算结果， 猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明。
解：
S1=
1
1
4
1 4
S2=
1 1 2 4 47 7
S3=72
1 3 710 10
S4=13010113143
可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致，
分母可用项数n表示为3n+1,可以猜想Sn
n 3n 1
2020年10月2日
8
课堂小结：
（1）数学归纳法只适用于证明与正整数有关的命题. （2）用数学归纳法证明命题的一般步骤：
n=1时，左边=
1
1
3
等式成立。
右边= 1
211
(2) 假设n=k（k∈N*)时等式成立，即 1 1 3 3 1 5 5 1 7 2 k 1 1 2 k 1 2 k k 1
那么, 1 1 3 3 1 5 5 1 7 2 k 1 1 2 k 1 2 k 1 1 2 k 3
2020年10月2日
11
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高二数学上册 7.4《数学归纳法》沪教版
7.4 数学归纳法一、教学内容分析数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方式．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方式的应用．可是咱们以为不能把教学进程看成方式的灌输，技术的操练．对方式作简单的灌输，学生必然疑虑重重．什么缘故必需是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么明白n=k时命题成立呢？教师又不能不作出说明，可学生仍未完全同意．学完了数学归纳法的学生又往往有应该历时但想不起来的问题，等等．为此，咱们假想强化数学归纳法产生进程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、熟悉当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．如此不仅使学生能够看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为利用它打下良好的基础，而且能够强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生进展创新能力的良机.数学归纳法产生的进程分二个时期，第一时期从对归纳法的熟悉开始，到对不完全归纳法的熟悉，再到不完全归纳法靠得住性的熟悉，直到如何办终止．第二时期是计谋酝酿，从介绍递推思想开始，到熟悉递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤终止.明白得数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必需用到n=k时命题成立那个条件.二、教学目标设计1. 从对归纳法的熟悉开始，到对不完全归纳法的熟悉，再到不完全归纳法靠得住性的熟悉，再到数学归纳法的科学性的熟悉；2．对数学归纳法的表达数学步骤地把握；3．形成观看、归纳、推行的意识,提高运用知识解决问题的能力,渗透分类讨论、方程等数学思想方式．三、教学重点及难点重点：归纳法意义的熟悉和数学归纳法产生进程的分析;难点：数学归纳法中递推思想的明白得．四、教学用具预备实物投影仪五、教学流程设计 六、教学进程设计 一、温习引入问题1：那个地址有一袋球共十二个，咱们要判定这一袋球是白球，仍是黑球，请问如何办？ 方式一：把它倒出来看一看就能够够了．特点：方式是正确的，但操作上缺乏顺序性．方式二：一个一个拿，拿一个看一个．比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此取得：这一袋球都是白球． 特点：有顺序，有进程．问题2：在数列{}n a 中，*111,,()1n n n a a a n N a +==∈+，先算出234,,a a a 的值，再推测通项n a 的公式． 进程：212a =，313a =，414a =，由此取得：*1,()n a n N n=∈， 解决以上两个问题用的都是归纳法.二、讲解新课：1. 归纳法：由一些特殊事例推出一样结论的推理方式.特点：由特殊→一样.2. 不完全归纳法: 依照事物的部份(而不是全数)特例得出一样结论的推理方式叫做不完全归纳法.如咱们在推导涉及所有正整数的等差数列通项公式时，在考察了n=1，2，3，4几种特殊情形后得出的一样公式，确实是作的一种不完全归纳.课堂小结， 布置作业 首项验证（奠基）复习引入数学归纳法定义 （规范的数学表述） 假设证明 （核心步骤） 运用数学归纳法解决实际问题咱们已经明白，不完全归纳法所取得的命题并非能保证它成立，因此这种方式并非能作为一种论证方式；同时也应看到，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发觉数学规律的一种重要手腕.在问题探讨中，为了寻求一样规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想.因此学会用不完全归纳法对问题进行探讨，对提高咱们的数学能力十分重要.3. 完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情形后得出一样结论的推理方式，又叫做列举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是靠得住的.通常在事物包括的特殊情形数不多时，采纳完全归纳法.4.数学归纳法：关于某些与自然数n有关的命题常常采纳下面的方式来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方式就叫做数学归纳法.5. 数学归纳法的大体思想：即先验证使结论成心义的最小的正整数n0，若是当n= n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是不是成立不是确信的)，依照那个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就能够够递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题关于从n0开始的所有正整数n都正确.三、例题分析例1 用数学归纳法证明：若是{a n}是一个等差数列，那么a n=a1+(n－1)d对一切n∈N*都成立.证明：(1)当n=1时，左侧=a1，右边=a1+0·d=a1，等式成立.(2)假设当n=k时等式成立，确实是a k=a1+(k－1)d.那么a k+1=a k+d=［a1+(k－1)d］+d=a1+［(k+1)－1］d，这确实是说，当n=k+1时，等式也成立.由(1)和(2)能够判定，等式对任何n∈N*都成立.例2 用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n －1)=n 2.证明：(1)当n=1时，左侧=1，右边=1，等式成立.(2)假设当n=k 时，等式成立，确实是1+3+5+…+(2k －1)=k2，那么1+3+5+…+(2k －1)+［2(k+1)－1］=k 2+［2(k+1)－1］=k 2+2k+1=(k+1)2.∴n=k+1时也成立.由(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立.四、课堂练习：1.用数学归纳法证明：1+2+3+…+n=(1)2n n +. 证明：(1)当n=1时，左侧=1，右边=1(11)2⨯+=1.∴等式成立. (2)假设当n=k 时，等式成立，即1+2+3+…+k=(1)2k k +. 那么当n=k+1时，∴n =k+1时，等式也成立.由(1)(2)可知等式对一切n ∈N *都成立.2.首项为a 1，公比为q 的等比数列的通项公式是：a n =a 1q n-1.证明：(1)n=1时，左侧=a 1，右边=a 1·q 1－1=a 1q 0=a 1.∴左侧=右边.(2)假设当n=k 时等式成立.即a k =a 1q k －1.那么当n=k+1时.a k +1=a k q=a 1q k －1·q=a 1q (k+1)－1.∴n=k+1时等式也成立.由(1)、(2)可知等式对一切n ∈N *都成立.五、课堂小结 (引导学生归纳,教师提炼)(1)中心内容是归纳法和数学归纳法；(2)归纳法是一种由特殊到一样的推理方式，分类是完全归纳法和不完全归纳法二种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不具有靠得住性，必需用数学归纳法进行严格证明；(3)数学归纳法作为一种证明方式，它的大体思想是递推(递归)思想，它的证明步骤必需是两步，最后还要总结；(4)本节课所涉及到的数学思想方式有：递推思想、分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想.六、作业七、教学设计说明数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方式．它的操作步骤简单、明确，教学重点不该该是方式的应用，不能把教学进程看成方式的灌输，技术的操练．因此要强化数学归纳法产生进程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、熟悉当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．如此不仅使学生能够看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为利用它打下良好的基础，而且能够强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生进展创新能力的良机．运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．明白得数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必需要用到n＝k时命题成立那个条件．这些内容都将放在下一课时完成，这种明白得不仅使咱们能够正确熟悉数学归纳法的原理与本质，也为证明进程中第二步的设计指明了思维方向．相关数学史资料介绍资料1: 费马（Fermat）是17世纪法国闻名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创建作n+出奉献最多的人之一，是概率论的开创者之一，他对数论也有许多奉献．可是，费马曾以为，当n∈N时，221必然都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4时的值别离为3,5,17,257,65537作了验证后取得的．18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了当n=5时，52+=4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．21有人说，费马什么缘故再也不多算一个数呢？今天咱们是无法回答的．可是要告知同窗们，失误的关键不在于多算一个上！资料2：f（n）=n2+n+41，当n∈N时，f（n）是不是都为质数？f（0）=41，f（1）=43，f（2）=47，f（3）=53，f（4）=61，f（5）=71，f（6）=83，f（7）=97，f（8）=113，f（9）=131，f（10）=151，…f（39）=1 601．可是f（40）=1 681=412是合数.算了39个数不算少了吧，但还不行！咱们介绍以上两个资料，说明用不完全归纳法得出的结论可能是错误的．关于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应同意实践的查验，因为实践是查验真理的唯一标准．关于数学问题，应寻求数学证明.。
高二数学上册 7.4《数学归纳法解题》沪教版
数学归纳法教学目标1.了解归纳法的意义，培育学生观看、归纳、发觉的能力．2.了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，明白得数学归纳法的操作步骤．3.抽象思维和归纳能力进一步取得提高．教学重点与难点重点：归纳法意义的熟悉和数学归纳法产生进程的分析．难点：数学归纳法中递推思想的明白得．教学进程设计（一）引入师：从今天开始，咱们来学习数学归纳法．什么是数学归纳法呢?应该从熟悉什么是归纳法开始．（板书课题．数学归纳法）（二）什么是归纳法（板书）师：请看下面几个问题，并由此试探什么是归纳法，归纳法有什么特点．问题1：那个地址有一袋球共十二个，咱们要判定这一袋球是白球，仍是黑球，请问如何办? （可预备一袋白球．问题用小黑板或投影幻灯片事前预备好）生：把它例出来看一看就能够够了．师：方式是正确的，但操作上缺乏顺序性．顺序操作怎么做?生：一个一个拿，拿一个看一个．师：对．问题的结果是什么呢?（演示操作进程）第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此取得：这一袋球都是白球． 问题2：在数列｛a n ｝中，a 1＝1，a n+1＝n n a a 1（n ∈N+），先计算a 2，a 3，a 4的值，再推测通项an 的公式．（问题由小黑板或投影幻灯片给出）生：a 2＝21，a 3＝31，a 4＝41．由此取得：a n ＝n1（n ∈N+）． 师：同窗们解决以上两个问题用的都是归纳法，你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗?生：归纳法是由一些特殊事例推出一样结论的推理方式．特点是由特殊 一样（板书）．师：专门好!其实在中学数学中，归纳法咱们早就接触到了．例如，给出数列的前四项，求它的一个通项公式用的是归纳法，确定等差数列、等比数列项公式用的也是归纳法，今后的学习还会看到归纳法的运用．在生活和生产实际中，归纳法也有普遍应用．例如气象工作者、水文工作者依据积存的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法．还应该指出，问题1和问题2运用的归纳法仍是有区别的．问题1中，一共12个球，全看了，由此而得了结论．这种把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法．对于问题2，由于自然有无数个，用完全归纳法去推出结论就不可能，它是由前4项体现的规律，进行推测，得出结论的，这种归纳法称为不完全归纳法．（三）归纳法的熟悉（板书）归纳法分完全归纳法和不完全归纳法（板书）．师；用不完全归纳法既然要推测，推测是要有点勇气的，请大伙儿鼓起勇气研究问题3．问题3：关于任意自然数n ，比较7n-3与6（7n+9）的大小．（问题由小黑板或投影幻灯片给出） （给学生一定的计算、思考时间）生：通过计算，我的结论是：对任意n ∈N+，7n-3＜6（7n+9）．师：你计算了几个数取得的结论?生：4个．师：你算了n＝1，n＝2，n＝3，n＝4这4个数，而取得的结论，是吧?生：对．师：有无不同意见?生：我验了n＝8，这时有7n-3＞6（7n+9），而不是7n-3＜6（7n+9）．他的结论不对吧!师：那你的结论是什么呢?（动员大伙儿试探，纠正）生：我的结论是：当n＝1，2，3，4，5时，7n-3＜6（7n+9）；当n＝6，7，8，…时，7n-3＞6（7n+9）．师：由以上的研究进程，咱们应该总结什么体会呢?第一要认真地占有准确的材料，不能随意算几个数，就作推测．请把你们计算结果填入下表内：师：依据数据作推测，决不是乱猜．要注意对数据作出谨慎地分析．由上表可看到，当n依1，2，3，4，…变更时，相应的7n-3的值以后一个是前一个的7倍的速度在增加，而6（7n+9）相应值的增长速度还不到2倍．完全有理由确认，当n取较大值时，7n-3＞6（7n+9）会成立的．师：对问题3推测有误的同窗完全没必要过于自责，同意教训就能够够了．其实在数学史上，一些世界级的数学大师在运用归纳法时，也曾有过失误．资料1（事前预备好，由学生阅读）费马（Fermat）是17世纪法国闻名数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创建作出贡献最多的人之一，是概率论的的创始者之一，他对数论也有许多贡献．可是，费马曾以为，当n∈N+时，n22+1必然都是质数，这是他对n＝0，1，2，3，4作了验证后取得的．18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了522+1＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．师：有的同窗说，费马什么缘故再也不多算一个数呢?今天咱们是无法回答的．可是要告知同窗们，失误的关键不在于多算一个上!再请看数学史上的另一个资料（仍由学生阅读）：资料2f（n）＝n2+n+41,当n∈N+时，f（n）是不是都为质数?f（0）=41,f（1）＝43,f（2）＝47,f（3）＝53,f（4）＝61,f（5）＝71,f（6）＝83,f（7）＝97,f（8）＝113,f（9）＝131,f（10）＝151，…f（39）＝1 601．但f（40）＝1 681＝412是合数．师：算了39个数不算少了吧，但还不行!咱们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还犯错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出计谋来．师：归纳法什么缘故会犯错呢?生：完全归纳法可不能犯错．师：对!但运用不完全归纳法是不可幸免的，它什么缘故会犯错呢?生：由于用不完全归纳法时，一样结论的得出带有猜想的成份．师：完全同意．那么如何办呢?生：应该予以证明．师：大伙儿同意吧?关于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应同意实践的查验，因为实践是检验真理的唯一标准．对于数学问题，应寻求数学证明．（四）归纳与证明（板书）师：怎么证明呢?请结合以下问题1试探．生：问题1共12个球，都看了，它的正确性不用证明了．师：也能够换个角度看，12个球，一一验看了，这一一验看就能够够看做证明．数学上称这种证法为穷举法．它体现了分类讨论的思想．师：若是那个地址不是12个球，而是无数个球，咱们用不完全归纳法取得，这袋球满是白球，那么怎么证明呢? （稍作酝酿，使学生把注意力更集中起来）师：这种问题的证明确不是一个容易的课题，在数学史上也经历了连年的酝酿．第一个正式研究此课题的是意大利科学家莫罗利科．他运用递推的思想予以证明．结合问题1来讲，他第一确定第一次拿出来的是白球．然后再构造一个命题予以证明．命题的条件是：“设某一次拿出来的是白球”，结论是“下一次拿出来的也是白球”．那个命题不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的究竟是不是白球，而是研究假设某一次是白球那个条件能保证下一次也是白球的逻辑必然性．大伙儿看，是不是证明了上述两条，就使问题取得解决了呢?生：是．第一次拿出的是白球已确认，反复运用上述构造的命题，可得第二次、第三次、第四次、……拿出的都是白球．师：对．它使一个原先无法作出一一验证的命题，用一个推一个的递推思想取得了证明．生活上，体现这种递推思想的例子也是不少的，你能举出例子来吗?生：一排排放很近的自行车，只要碰倒一辆，就会倒下一排．生：再例如多米诺骨牌游戏．（有条件可放一段此种游戏的录相）师：多米诺骨牌游戏要取得成功，必需靠两条：（1）骨牌的排列，保证前一张牌倒那么后一张牌也必然倒；（2）第一张牌被推倒．用这种思想设计出来的，用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明方式确实是数学归纳法．（五）数学归纳法（板书）师：用数学归纳法证明以上推测问题而得的命题，应该证明什么呢?生：先证n ＝1时，公式成立（第一步）；再证明：假设对某个自然数（n ＝k ）公式成立，那么对下一个自然数（n ＝k+1）公式也成立（第二步）．师：这两步的证明自己会进行吗?请先证明第一步．生：当n ＝1时，左式＝a 1＝1，右式＝11＝1．现在公式成立． （应追问各步计算推理的依据）师：再证明第二步．先明确要证明什么? 生：设n ＝k 时，公式成立，即a k ＝k 1．以此为条件来证明n ＝k+1时，公式也成立，即a k+1＝11+k 也成立． 师：应注意，那个地址是证明递推关系成立，证明a k+1＝11+k 成立时，必需用到ak ＝k1那个条件 生：依已知条件，a k+1＝111111+=+=+k k k a a k k ． 师：于是由上述两步，命题取得了证明．这确实是用数学归纳法进行的证明的大体要求．师：请小结一下用数学归纳法作证明应有的大体步骤．生：共两步（学生说，教师板书）：（1）n ＝1时，命题成立；（2）设n ＝k 时命题成立，那么当n ＝k+1时，命题也成立．师：其实第一步一样来讲，是证明开头者命题成立．例如，关于问题3推测得的命题：当n ＝6，7，8，…时，7n-3＞6（7n+9）．第一步应证明n ＝6时，不等式成立．（假设有时刻还可讨论此不等关系证明的第二步，假设无时刻可布置学生课下试探）（六）小结师：把本节课内容归纳一下：（1）本节的中心内容是归纳法和数学归纳法．（2）归纳法是一种由特殊到一样的推理方式．分完全归纳法和不完全归纳法二种．（3）由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确，因此必需作出证明，证明可用数学归纳法进行．（4）数学归纳法作为一种证明方式，它的大体思想是递推（递归）思想，它的操作步骤必须是二步．数学归纳法在数学中有普遍的应用，将从下节课开始学习．（七）课外作业（1）阅读讲义（2）书面作业课堂教学设计说明1.数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方式．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方式的应用．可是咱们以为不能把教学进程看成方式的灌输，技术的操练．对方式作简单的灌输，学生必然疑虑重重．什么缘故必需是二步呢?于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么明白n＝k时命题成立呢?教师又不能不作出说明，可学生仍未完全同意．学完了数学归纳法的学生又往往有应该历时但想不起来的问题，等等．为此，咱们假想强化数学归纳法产生进程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、熟悉当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．如此不仅使学生能够看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为利用它打下良好的基础，而且能够强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生进展创新能力的良机．数学归纳法产生的进程分二个时期，第一时期从对归纳法的熟悉开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束．把递推思想的介绍、明白得、运用放在要紧位置，必然对明白得数学归纳法的实质带来指导意义，也是在教学过程中努力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思想的一种尝试．2.在教学方式上，那个地址运用了在教师指导下的师生一起讨论、探讨的方式．目的是在于增强学生对教学过程的参与程度．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，尽快提出适当的问题，并提出思维要求，让学生尽快投入到思维活动中来，是十分重要的．这就要求教师把每节课的课题作出层次分明的分解，并选择适当的问题，把课题的研究内容落于问题中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得新的发展．本节课的教学设计也想在这方面作些研究．3.理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n ＝k+1命题成立时必须用到n＝k 时命题成立这个条件． 例如用数学归纳法证明：nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++21121.....21212132（n ∈N+）时，其中第二步采纳下 面证法： 设n ＝k 时，等式成立，即k n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++21121.....21212132，那么当n ＝k+1时， 1112211211211212121.....2121+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++k k k k ，即n ＝k+1时等式也成立．这是不正确的．因为递推思想要求的不是n ＝k ，n ＝k+1时命题到底成立不成立，而是n ＝k 时命题成立作为条件可否保证n ＝k+1时命题成立那个结论正确，即要求的这种逻辑关系是不是成立．证明的要紧部份应改成 以下明白得不仅是正确熟悉数学归纳法的需要，也为第二步证明进程的设计指明了正确的思维方向．。
沪教版(上海)数学高二上册-7.4 数学归纳法 课件 _3教学课件
5.数学归纳法问题剖析1
• 思考： • (1) 体育课排队：每一位同学与排在他/她后面的人性别
相同，能保证这一排都是女生么？ • (2) COPY不走样的游戏：第一个参与者的动作示范正确，
“COPY”为什么又常常会走样?
5.数学归纳法问题剖析2
• AA同学利用数学归纳法证明等式2 4 6 2n n2 n 1, n N *
• (2)数学归纳法的两个步骤 (归纳奠基 + 归纳递推)，两个结论缺一不可， 论证过程出现“四次成立”；
• (3)在证明从 n=k n=k+1 的正确性时，必须使用归纳假设； • (4)完成 (i),(ii) 步骤的证明后，要对命题成立进行总结.
7.课堂小结
• 求木之长者，必固其根本；欲流之远者，必浚其泉源；思国 之安者，必积其德义 —— 魏徵《谏太宗十思疏》
• 虽我之死，有子存焉；子又生孙，孙又生子；子又有子，子 又有孙；子子孙孙无穷匮也 ——《愚公移山》
• 寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟，哀吾生之须臾，羡长江之无 穷，挟飞仙以遨游，抱明月而长终——苏轼《前赤壁赋 》
• 大胆的假设，小心的求证 —— 胡适
当你的才华还撑不起你的野心时，你就该努力。心有猛虎，细嗅蔷薇。我TM竟然以为我竭尽全力了。能力是练出来的，潜能是逼出来的，习惯是养成的，我的 成功是一步步走出来的。不要因为希望去坚持，要坚持的看到希望。最怕自己平庸碌碌还安慰自己平凡可贵。
• 证明：当 n=k 时，假设等式 2+4+6+……+2k = k2+k+1 = k(k+1)+1成立， • 则当 n=k+1 时，2+4+6+……+2k+2(k+1) = k(k+1)+1+2(k+1) = (k+1)(k+2)+1
沪教版(上海)数学高二上册-7.4 数学归纳法 课件 _2教学课件
沪教版(上海)数学高二上册-7.2 等差数列的前n项和 课件 品质课件PPT
2Sn
n(a1
an ),即Sn
n(a1 2
an )
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求和公式
可知三
等差数列的前n项和的公式： 求一
Sn
n(a1 2
an )
不含d
思考：（1）公式的文字语言；（2）公式的特点；
由于an a1 n 1 d, 故
Sn
na1
n(n 1) 2
d
上页 下页
等差数列的前n项和公式的其它形式
Sn
1、知识上
Sn
n(a1 2
an )
Sn
na1
n(n 1) 2
d
2、思想上
3、方法上
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想一想
一盗贼在珠宝店盗取钻石， 柜台里有n袋钻石，每袋n个钻 石，但只有一包是真钻石，其 他都是赝品，真的每个钻石 0.2g，假的钻石每个0.1g，肉眼 很难分辨，但他需要只有一次 机会分辨出真假，身边有一个 天 平 ， 精 确 到 0.1g ， 只 能 够 测 一次，请问他能否完成任务？
上页 下页
创设情景
如图学校在一块长方形的地坪上铺设了灰、 绿两种花色的地砖
左侧铺了多少块灰色的地砖？可以用哪些 方法进行计算？计算中你能发现什么？
上页 下页
若将左侧所铺灰砖的总数记为 S10 右侧所铺灰砖的总数也是 S10 ，有
6 7 8 . . .
13 14 15
S10 ６ ７ ８ １５ S10 １５ １４ １３ ６
Sn
na1
n(n 1) 2
d
d 2
n2
(a1
d )n 2
设
A
d 2
,B
a1
d 2
上式可写成Sn=An2+Bn
沪教版(上海)高中数学高二上册第七章7.4数学归纳法课件
引例1：
不完全 归纳法
观察：6＝3＋3，8＝5＋3，10＝3＋7，12＝5＋7，
14＝3＋11，···78＝67＋11，···
我们能得出什么结论？
结论：任何一个大于等于6的偶数，都可以表示成
两个奇质数之和． 引例2：
哥德巴赫 猜想
已知一个数列的通项公式是an=(n2-5n+5)2，
容易验证：a1=1， a2=1， a3=1， a4=1，完全归纳
教学重点与难点：
教学重点：数学归纳法的证明步骤． 教学难点：数学归纳法的原理．
教学方法：讲授法、练习法．
教学手段：多媒体辅助教学．
教学过程：
三、问题情境
多 米 诺 骨 牌 演 示
三、问题情境
如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？ （1）保证第一个骨牌倒下；（相当于推倒第一块骨牌）
（2）验证前一个骨牌与后个骨牌有递推关系； （相当于前牌推倒后牌）
仿照这个原理，我们得到数学中一个正确 有效的归纳法“数数有关的数学命题，常用下面的方法证明： （1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立， （2）假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立
证明当n=k+1时命题也成立， 这种证明方法叫做 数学归纳法
三、问题情境
多 米 诺 骨 牌 与 数 学 归 纳 法
五、例题举隅
例1、用数学归纳法证明1 3 5 (2n 1) n2
现在，哥德巴赫猜想的一般提法是：每个大于等于6的 偶数，都可表示为两个奇素数之和, 哥德巴赫猜想, 因此常被称为“1＋1问题.
“哥德巴赫猜想貌似简单，要证明它却着实不易， 成为数学中一个著名的难题。18、19世纪，所有的 数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质性的 推进，直到20世纪才有所突破。
沪教版(上海)数学高二上册7.2等差数列及其通项公式课件2
函数 定义域
第七章 数列与数学归纳法
第一节 数列
7.2 等差数列
1、等差数列的定义
2、等差数列的通项公式
2、等差数列的通项公式
充要
第七章 数列与数学归纳法
第一节 数列
7.2 等差数列
1、等差数列的定义
总结
2、等差数列的通项公式
什么是等差数列？ 如何求等差数列的通项公式？ 求通项公式的方法： 不完全归纳法 、累加法、迭代法 数学思想方法：类比、从特殊到一般、函数与方程思想
一般数列的性质及其研究方法 2、等差数列的通项公式
方程思想
知三求一
第七章 数列与数学归纳法
第一节 数列
7.2 等差数列
1、等差数列的定义
2、等差数列的通项公式
2、等差数列的通项公式
第七章 数列与数学归纳法
第一节 数列
7.2 等差数列
1、等差数列的定义
2、等差数列的通项公式
2、等差数列的通项公式
数列
第七章 数列与数学归纳法
第一节 数列
7.2 等差数列
1、等差数列的定义
2、等差数列的通项公式
1、等差数列的定义
第七章 数列与数学归纳法
第一节 数列
7.2 等差数列
1、等差数列的定义
2、等差数列的通项公式
2、等差数列的通项公式
第七章 数列与数学归纳法
第一节 数列
7.2 等差数列
1、等差数列的定义
2、等差数列的通项公式
1、等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一 项与它前一项的 差比 等于同一个常数，那 么这个数列就叫做等 差比 数列。
这个常数叫做等 差比 数列的公 比差 ，通常 用字母 dq 表示
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如何证明等差数列通项公式：an a1 (n 1)d n 1,2,3,4
如何证明与正整数n有关的命题？
找条件：
要产生“多米诺骨牌”效应，必须具备的条件是什么？
…… 1 2 3 4
k k+1
……
1.最前面的那个骨牌 必须被推倒；
2.假设前一个骨牌倒下时， 一定要碰倒后一个骨牌。
作 业：
1.(1)教材第31页练习 1、2、3
(2)用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式，
即证明：
Sn
na1
n(n 1) 2
d
2. 研究性作业： 简析我国古代烽火传递军情的合理性。 (可以上网查阅)
课堂小结：
本节课你主要学到了什么？
1. 归纳法: 完全归纳法、不完全归纳法
2. 数学归纳法（1）两个步骤、一个结论； （2）使用数学归纳法的注意点
3.数学思想：类比思想、递推思想、归纳思想
谢谢大家！
用数学归纳法证明：平面几何中凸多边形的内角和
公式：f(n) (n 2) 180 时，
第一步应该验证：n 3
95.只会在水泥地上走路的人，永远不会留下深深的脚印。 93.白日莫闲过，青春不再来。 74.烈火铸就真心英雄，不经历风雨怎见彩虹。 69.上帝从不埋怨人们的愚昧，人们却埋怨上帝的不公平。 23.高峰只对攀登它而不是仰望它的人来说才有真正意义。 96.只要功夫深，铁杆磨成针。 89.是大山就有高度和坡度，是江河就有宽度和深度；是人就存在不足和错误。 58.看不到机遇的人是蠢人；抓不住机遇的人是庸人；有机遇不抓的人是罪人。 45.流水不腐，户枢不蠹，民生在勤。 75.成功了自己笑一辈子，不成功被人笑一辈子。 35.认真的人改变自己，执着的人改变命运。别担心现实总比梦想遥远，别计较收成总比付出丰盈，每个看似低的起点，都是通往成功的必经 之路。
1. 第1个骨牌必须被推倒。
2.假设第k个骨牌倒下， 则第k+1个骨牌也一定倒下。
若把数学中与正整数 n 有关的命题对应于多米诺骨牌：
能产生多米诺骨牌效应 多米诺骨牌的个数 条件：
1.第1个骨牌必须被推倒
命题成立
n的取值（不妨设 n 1 ）
1. 证明当n=1时命题成立；
2.假设第k个骨牌倒下， 则第k+1个骨牌也倒下。
92.一个今天胜过两个明天。 44.要想壮志凌云，就须脚踏实地。 78.学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。 111.机会只留给有准备的人。 82.没什么可以阻挡你想做的事情，只有你自己的心。 80.韦编三绝，悬梁刺骨，凿壁偷光，囊萤映雪，卧薪尝胆，圆木警枕。 40.是人都有惰性，这是与生俱来的，但是我们后天可以改变这种惰性，谁改变的越多，谁就越成功。 2.你比那些躺在坟墓里的人都有希望。 83.把懒惰放一边，把丧气的话收一收，把积极性提一提，把矫情的心放一放，所有想要的，都得靠自己的努力才能得到。 59.无论你活成什么样子，都会有人对你说三道四，让自己不断变强，就是最好的蔑视。 44.眉毛上的汗水和眉毛下的泪水，你必须选择一样！ 50.成功是一种观念，成功是一种思想，成功是一种心态，成功是一种习惯。
问题1：
一个盒子里一共装了8支粉笔，老师从中一支一支拿出， （1）老师拿出了5支，刚好都是白色的，
于是甲同学归纳出结论：盒子中都是白色粉笔；
考察部分对象,得到一般结论的推理方法
（2）老师拿出了8支，乙同学发现都是白色的， 于是归纳出结论：盒子中都是白色粉笔。
考察全体对象,得到一般结论的推理方法
像这样，由一系列有限的特殊事例得出一般结论的 推理方法，通常叫做归纳法。
第5个费马数 F5 225 1 4294967297 6416700417
不是质数,从而推翻了费马的猜想。
问题3：
等差数列 {an }中，首项为 a1，公差为 d，
a1 a1 0d a2 a1 1d a3 a2 d a1 2d a4 a3 d a1 3d
......
观察以上各式，可以归纳、猜想出：
不完全归纳法 结论不可靠
归纳法 完全归纳法 结论可靠
问题2：
法国数学家费马观察到：
221 1 5,
222 1 17,
223 1 257, 224 1 65537
都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：
任何形如 22n 1 的数都是质数。（费马猜想）
半个世纪之后，善于计算的欧拉发现：
问题3：用数学归纳法证明等差数列的通项公式： an a1 (n 1)d
例题：
用数学归纳法证明下列等式：
下面是另一同学用数学归纳法证明等式 的过程，他的解答正确吗？请辨析正误。
数学归纳法注意点：
1. 它是证明与正整数n有关的数学命题的重要方法；
2. 两个步骤、一个结论，缺一不可；
3. 第一步要找准起点，它是命题成立的基础； 第二步是命题成立的依据，在证明n=k+1时 一定要建立在n=k成立的结论之上。
2. 假设n=k时命题成立，则 证明n=k+1时命题也成立。
满足这两个条件命题一定成立吗？
数学归纳法的一般步骤：
莫罗利科 意大利科学家
(1)证明当 n 取第一个值,即 n n0 命题成立,
(2)假设当 n k(kN*,k n0) 时命题成立, 证明当 n k 1 时命题也成立
由（1）、（2）可以断定，这个命题对所有正 整数 n(n n0 )都成立。