随风潜入夜润物细无声续
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1.随风潜入夜: 建立模型解决问题 线性代数知识
2.润物细无声： 线性代数知识 建立模型解决问题
2020/6/13
若干问题之1
• 1.适用对象:针对不同对象的共同点! • 数学专业,非数学专业. • 好学生,“差”学生. • 针对不同对象的不同点: 要求不同. • 好学生需要生动,难道差学生只能枯燥? • 2.改革: 让学生更容易. • 老师需要重新学习,开头难,适应之后容易
det(AB)=0=(detA)(detB).
2020/6/13
代数证明
• 情况3. A可逆.
• A= Ps…P2P1 , 其中 Ps , …, P2, P1是初等 矩阵
• det(AB)=det Ps…detP2 detP1 detB (1) • 取 B=I 得 detA = det Ps…detP2 detP1 • 代入(1) 得 det(AB) = (detA)(detB)
2020/6/13
多元微积分的线性代数模型
• 微积分基本思想 : 非线性线性
• 复合函数的导数:
2020/6/13
• 隐函数存在定理 • F(x,y) 在某点P0可微 • 何时由 F(x,y)=0 确定 y=f(x)?
• 线性化:
• y=f(x) 在 x0 可微, 导数为
2020/6/13
隐映射定理
. • 帮好学生求发展, 学创造发明 • 帮“差”学生求生存,学懂最基本内容.
2020/6/13
若干问题之2
• 3.改革有风险:学郭靖,不学慕容复. • 知风险, : • 从问题出发: 可能费课时,冲淡主题. • 从本专业应用问题开始：可能狭窄,难懂. • 防风险: 中庸之道,适可而止,因人而易. • 4.几何比代数更难? • 几何直观不好算，代数好算不直观。 • 凌波微步，左右逢源
detA倍. • g:YBY. n维体积 detB倍. • gf: X(BA)X, n维体积
原来的det(BA)倍 = (detB)(detA)倍 .
2020/6/13
代数证明
• BAB, det(AB)= a detB 情况1. A是初等矩阵: • A:互换两行, a= -1=det A • A:某行乘l倍, a=l=det A • A:某行的l倍加到另一行, a=1=detA 情况2. A不可逆: detA=0, AB不可逆,
随风潜入夜 润物细无声(续)
李尚志
中国科学技术大学
2020/6/13
数学实验: 几何变换
(x,y) (x’,y’)
• x’=f1(x,y), y’=f2(x,y) • 曲线C: x=x(t),y=y(t)
曲线C’：x=f1(x(t),y(t)),
.
y=f2(x(t),y(t))
2020/6/13
2020/6/13
sin x+sin(3x)/3+…+sin(nx)/n
n= 9
n = 199
0.75 0.5
0.25
-6
-4
-2
-0.25
-0.5
-0.75
2
4
6
0.75 0.5
0.25
-6
-4
-2
-0.25
-0.5
-0.75
2
4
6
2020/6/13
网上资源
ustc.edu
精品课程国家级数学实验
2020/6/13
若干问题之3
• 5.数学味 = 严格? • 数学:创新,抽象,严谨 • 思想重于材料 • 想法指挥算法。 • 严格性例子:
秩的定义的合理性--工笔画 • 不严格例子: n 维体积--写意画.
• AX1=aX1, AX2=bX2, AX3=cX3 • A(X1,X2,X3) = (X1,X2,X3) D • D=diag(a,b,c), P=(X1,X2,X3) • AP=PD, P-1AP = D • A 相似于对角形 D .
2020/6/13
矩阵乘积的行列式
• 几何观点 • 矩阵A决定线性变换f: XAX • 所有图形的n维体积变为原来的
线性变换
• x’=a1x+b1y, y’=a2x+b2y. • 画出由平面直线段或曲线段组成
的图形C及其象C’。 • 观察：直线、平行、垂直、长度、
角度、圆 ?
2020/6/13
线性变换前后的图形
2020/6/13
向量方向的变化
2020/6/13
选取特征向量为基
2020/6/13
矩阵的相似对角化
(2019),
线性代数(数学专业)(2019) math.ustc.edu
常用连接 网上数学实验
2020/6/13
参考文献
• 线性代数(数学专业用), 高教出版社, 2019. • 让抽象变得自然----建设国家精品课程的体会,
中国大学教学, 2019年第7期 • 线性代数精彩应用案例(之一),大学数学,
• 教数学,教学生 • 懂数学,懂学生
2020/6/13
精品课程的关键
• 特色 • 影响
• 多媒体教学: 1.发挥多媒体优势 2.不为多媒体而多媒体
2020/6/13
用建模思想建设 线性代数精品课程
• 数学建模主要思想
• 实际问题 -建模 数学模型 i求解
实际解 检验- 数学解
2020/6/13
将数学建模思想引入基础 课程教学（一）
利用基础课知识建立模型解 决问题: (1)来自现实生活的实际问题 (2)数学自身发展提出的问题
2020/6/13
将数学建模思想引入基础 课程教学（二）பைடு நூலகம்
从问题出发 建立数学模型解决 “发明”出基础课程的知识-2020人/6/13 类的旧知识,学生的新知识
用建模思想建设线性代数 精品课程
• 可微函数
• n 个方程
=0 ,
• 线性化
即 • 当 det B
时有唯一解
2020/6/13
电子琴为什么能模拟 不同乐器的声音
• 不同乐器的声音区别 音色。 • y= A sin(kt). k音调,A响度， • ？音色 • sin(x)+sin(3x)/3+ … 的图象 • y=a1sin(wt+b1)+a2sin(2wt+b2)+… • 音色 波形 系数 a1 , a2 , . . .比例
2019年第3期 • 线性代数精彩应用案例(之二),大学数学,
2019年第4期 • 若当标准形的计算, 大学数学, 2019年第5期 • 从问题出发引入线性代数概念, 高等数学研究
, 2019年第5期,第6期
2020/6/13
精品课程为谁建设
-------- 学生!
• 建设精品课程时不知道教 育部要评精品课!
2.润物细无声： 线性代数知识 建立模型解决问题
2020/6/13
若干问题之1
• 1.适用对象:针对不同对象的共同点! • 数学专业,非数学专业. • 好学生,“差”学生. • 针对不同对象的不同点: 要求不同. • 好学生需要生动,难道差学生只能枯燥? • 2.改革: 让学生更容易. • 老师需要重新学习,开头难,适应之后容易
det(AB)=0=(detA)(detB).
2020/6/13
代数证明
• 情况3. A可逆.
• A= Ps…P2P1 , 其中 Ps , …, P2, P1是初等 矩阵
• det(AB)=det Ps…detP2 detP1 detB (1) • 取 B=I 得 detA = det Ps…detP2 detP1 • 代入(1) 得 det(AB) = (detA)(detB)
2020/6/13
多元微积分的线性代数模型
• 微积分基本思想 : 非线性线性
• 复合函数的导数:
2020/6/13
• 隐函数存在定理 • F(x,y) 在某点P0可微 • 何时由 F(x,y)=0 确定 y=f(x)?
• 线性化:
• y=f(x) 在 x0 可微, 导数为
2020/6/13
隐映射定理
. • 帮好学生求发展, 学创造发明 • 帮“差”学生求生存,学懂最基本内容.
2020/6/13
若干问题之2
• 3.改革有风险:学郭靖,不学慕容复. • 知风险, : • 从问题出发: 可能费课时,冲淡主题. • 从本专业应用问题开始：可能狭窄,难懂. • 防风险: 中庸之道,适可而止,因人而易. • 4.几何比代数更难? • 几何直观不好算，代数好算不直观。 • 凌波微步，左右逢源
detA倍. • g:YBY. n维体积 detB倍. • gf: X(BA)X, n维体积
原来的det(BA)倍 = (detB)(detA)倍 .
2020/6/13
代数证明
• BAB, det(AB)= a detB 情况1. A是初等矩阵: • A:互换两行, a= -1=det A • A:某行乘l倍, a=l=det A • A:某行的l倍加到另一行, a=1=detA 情况2. A不可逆: detA=0, AB不可逆,
随风潜入夜 润物细无声(续)
李尚志
中国科学技术大学
2020/6/13
数学实验: 几何变换
(x,y) (x’,y’)
• x’=f1(x,y), y’=f2(x,y) • 曲线C: x=x(t),y=y(t)
曲线C’：x=f1(x(t),y(t)),
.
y=f2(x(t),y(t))
2020/6/13
2020/6/13
sin x+sin(3x)/3+…+sin(nx)/n
n= 9
n = 199
0.75 0.5
0.25
-6
-4
-2
-0.25
-0.5
-0.75
2
4
6
0.75 0.5
0.25
-6
-4
-2
-0.25
-0.5
-0.75
2
4
6
2020/6/13
网上资源
ustc.edu
精品课程国家级数学实验
2020/6/13
若干问题之3
• 5.数学味 = 严格? • 数学:创新,抽象,严谨 • 思想重于材料 • 想法指挥算法。 • 严格性例子:
秩的定义的合理性--工笔画 • 不严格例子: n 维体积--写意画.
• AX1=aX1, AX2=bX2, AX3=cX3 • A(X1,X2,X3) = (X1,X2,X3) D • D=diag(a,b,c), P=(X1,X2,X3) • AP=PD, P-1AP = D • A 相似于对角形 D .
2020/6/13
矩阵乘积的行列式
• 几何观点 • 矩阵A决定线性变换f: XAX • 所有图形的n维体积变为原来的
线性变换
• x’=a1x+b1y, y’=a2x+b2y. • 画出由平面直线段或曲线段组成
的图形C及其象C’。 • 观察：直线、平行、垂直、长度、
角度、圆 ?
2020/6/13
线性变换前后的图形
2020/6/13
向量方向的变化
2020/6/13
选取特征向量为基
2020/6/13
矩阵的相似对角化
(2019),
线性代数(数学专业)(2019) math.ustc.edu
常用连接 网上数学实验
2020/6/13
参考文献
• 线性代数(数学专业用), 高教出版社, 2019. • 让抽象变得自然----建设国家精品课程的体会,
中国大学教学, 2019年第7期 • 线性代数精彩应用案例(之一),大学数学,
• 教数学,教学生 • 懂数学,懂学生
2020/6/13
精品课程的关键
• 特色 • 影响
• 多媒体教学: 1.发挥多媒体优势 2.不为多媒体而多媒体
2020/6/13
用建模思想建设 线性代数精品课程
• 数学建模主要思想
• 实际问题 -建模 数学模型 i求解
实际解 检验- 数学解
2020/6/13
将数学建模思想引入基础 课程教学（一）
利用基础课知识建立模型解 决问题: (1)来自现实生活的实际问题 (2)数学自身发展提出的问题
2020/6/13
将数学建模思想引入基础 课程教学（二）பைடு நூலகம்
从问题出发 建立数学模型解决 “发明”出基础课程的知识-2020人/6/13 类的旧知识,学生的新知识
用建模思想建设线性代数 精品课程
• 可微函数
• n 个方程
=0 ,
• 线性化
即 • 当 det B
时有唯一解
2020/6/13
电子琴为什么能模拟 不同乐器的声音
• 不同乐器的声音区别 音色。 • y= A sin(kt). k音调,A响度， • ？音色 • sin(x)+sin(3x)/3+ … 的图象 • y=a1sin(wt+b1)+a2sin(2wt+b2)+… • 音色 波形 系数 a1 , a2 , . . .比例
2019年第3期 • 线性代数精彩应用案例(之二),大学数学,
2019年第4期 • 若当标准形的计算, 大学数学, 2019年第5期 • 从问题出发引入线性代数概念, 高等数学研究
, 2019年第5期,第6期
2020/6/13
精品课程为谁建设
-------- 学生!
• 建设精品课程时不知道教 育部要评精品课!