倒立摆极点配置法

直线一级倒立摆状态反馈
一、控制对象建模
题目：直线型倒立摆系统，是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车上的匀质长杆组成的系统。

小车可以通过传动装置由交流伺服电机驱动。

小车导轨一般有固定的行程，因而小车的运动范围是受到限制的。

直线型一级倒立摆系统的实际控制要求可归结为3点:
(1)倒立摆小车控制过程的最大位移量不能超过小车轨道的长度;
(2)为保证倒立摆能顺利起立,要求初始偏角小于20°;
(3)为保证倒立摆保持倒立的平衡态,要求控制系统响应速度足够快. 为此,设调整时间小于2 s,峰值时间小于0. 5 s.
倒立摆的特性：
1) 非线性
倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制。

也可以利用非线性控制理论对其进行控制。

倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。

2) 不确定性
主要是模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中一般通过减少各种误差来降低不确定性，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素。

3) 耦合性
倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。

4) 开环不稳定性
倒立摆的平衡状态只有两个，即在垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点，垂直向下为稳定的平衡点。

5) 约束限制
由于机构的限制，如运动模块行程限制，电机力矩限制等。

为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小，行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车的撞边现象。

为了简化系统分析，在实际的模型
建立过程中，要忽略空气流动阻力，以
及各种次要的摩擦阻力。

这样，可将倒
立摆系统抽象成小车和匀质刚性杆组成
的系统，如右图所示。

本系统内部各相关参数定义如下：
M小车质量
m摆杆质量
b小车摩擦系数
l摆杆转动轴心到杆质
心的长度
I摆杆惯量
F加在小车上的力
x小车位置
φ摆杆与垂直向上方向的夹角
θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。

其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：
=
把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：
（1-1）对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：
=
力矩平衡方程如下：
式中：
合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：
（1-2）
用u来代表被控对象的输入力F，线性化后得到该系统数学模型的微分方程表达式：
（1-3）
对方程组（2-3）进行拉普拉斯变换，得到传递函数模型：
（1-4）
整理后得到以输入力u为输入量，以摆杆摆角φ为输出量的传递函数：
式中：
状态空间数学模型
由现代控制理论原理可知，控制系统的状态空间方程可写成如下形式：
方程组（1-3）对φ ,x解代数方程，得到如下解：
整理后得到系统状态空间方程：
以上就是一阶倒立摆小车系统的状态空间表达式。

二、系统特性分析
现规定，系统内部各相关参数为：
M 小车质量 0.5 Kg ； m 摆杆质量0.2 Kg ；
b 小车摩擦系数0.1 N/m/se
c ；
l 摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3 m ； I 摆杆惯量0.006 kg*m*m ；
所以传递函数为：s
s s s s s U s 545.4818.311818.0545.4)()(2342
--+=
Φ 以外界作用力作为输入的系统状态方程：
u x x y u x x x x ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅000010
0100001000015455.408182.1001818
.314545.00100
006727.21818.000010φφ
φφφφ 在MATLAB 里输入状态方程
A=[0 1 0 0;0 -0.1818 2.6727 0;0 0 0 1;0 -0.4545 31.1818 0] B=[0;1.8182;0;4.5455]
C=[1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1] D=[0;0;0;0]
A =
0 1.0000 0 0
0 -0.1818 2.6727 0
0 0 0 1.0000
0 -0.4545 31.1818 0
B =
1.8182
4.5455
C =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
D =
利用传递函数得到如下响应曲线
Step(num,den)
系统响应曲线是发散的 [z,p,k]=residue(num,den)
系统有一个极点在右半平面，所以系统是不稳定的。

利用matlab 命令uc=ctrb(A,B)； r=rank(uc)来判断系统能控性 结果如下： r = 4 该系统可控。

三、搭建Simulink 仿真平台
性能指标1 超调量%20%=σ，调整时间s t s
2≤（稳态误差±5%）
%202
1=--ξξπ
e
所以，456.0=ξ
s t n
s 23
≤=
ξω
所以289.3=n ω
j j n n 927.25.1122,1±-=-±-=ξωξωλ
另令104,3-=λ []05455.408182.1001818
.314545.0010
0006727.21818.0000
10000
000000
0004321=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=+-k k k k s s s s BK A sI
在MATLAB 的Simulink 环境下，可以搭建出如下图所示的状态反馈控制系统仿真试验研究平台。

系统响应如图所示：
性能指标2 超调量%20%=σ，调整时间s t s
5.1≤（稳态误差±5%）
%202
1=--ξξπ
e
所以，456.0=ξ
s
t n
s 5.13
≤=
ξω
所以386.4=n
ω
j j n n 903.32122,1±-=-±-=ξωξωλ
另令123-=λ，154-=λ []05455.408182.1001818
.314545.0010
0006727.21818.0000
10000
000000
0004321=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=+-k k k k s s s s BK A sI
在MATLAB 的Simulink 环境下，可以搭建出如下图所示的状态反馈控制系统仿真试验研究平台。

系统响应如图所示：
性能指标3 超调量%15%=σ，调整时间s t s
2≤（稳态误差±5%）
%152
1=--ξξπ
e
所以，517.0=ξ
s t n
s 23
≤=
ξω
所以901
.2=n
ω
j j n n 483.25.1122,1±-=-±-=ξωξωλ
另令103-=λ，104-=λ []05455.408182.1001818
.314545.0010
0006727.21818.0000
10000
000000
0004321=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=+-k k k k s s s s BK A sI
在MATLAB 的Simulink 环境下，可以搭建出如下图所示的状态反馈控制系统仿真试验研究平台。

系统响应如图所示：
四、实验分析小结。