专题3 集合的基本运算-培优对点题组专题突破(解析版)
集合的基本运算知识点、题型大全(解析版)
第3节集合的基本运算集合的基本运算并集定义性质交集定义性质补集定义性质数学浪子版权所有禁止用于任何商业用途1．并集的定义由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集．即A 与B 的所有部分，记作AB （读作“A 并B ”），即{|}A B x x A x B =∈∈或．2．性质并集的常用结论：（1）A B B A =；（2）AA A =；（3）A A ∅=； （4）AB B A B =⇔⊆．1．交集的定义由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，叫做A 与B 的交集．即A 与B 的公共部分，记作AB （读作“A 交B ”），即{|}A B x x A x B =∈∈且．A BA B ABA B ABA B例1 {1,3,5}A =，{2,3,4}B =，求A B ．解析：并集是把两个集合中的元素放到同一个集合中，并满足互异性．{1,2,3,4,5}A B =．例2 已知集合{|14}A x x =-<<，集合{|25}B x x =<<，求A B ．解析：由数轴可知，{|15}AB x x =-<<．一、并集二、交集2．性质交集的常用结论：（1）A B B A =；（2）AA A =；（3）A ∅=∅； （4）AB A A B =⇔⊆．1．补集的定义如果一个集合含有我们所要研究问题中所涉及的全部元素，那么就称这个集合为全集，记作U ．A 是U 的一个子集（即A U ⊆），由U 中不属于A 的所有元素组成的集合，叫做U 中集合A 的补集，记作UA ，即{|}UA x x U x A =∈∉且．例3 {3,4,5,6,7}A = ，{1,2,3,4,5}B =求A B解析：A B 所得为两集合中的公共元素，故{3,4,5}A B =．例4 {|14}A x x =<≤{|25}B x x =<< 求A B解析：AB 为两集合中的公共区域，故{|24}A B x x =<≤例5 {1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{1,3,5,6,8}A =，求U A ．解析：全集U 中除去A 的元素，即为A 在U 中的补集，所以{2,4,7}UA =三、补集2．性质补集的常用结论： （1）UA A =∅； （2）UAA U =；（3）U U =∅； （4）UU ∅=；（5）()UU A A =；（6）()()()U U UA B A B =；（7）()()()U U UA UB A B =．练习题：题号考点：并集1已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则MN =（ ）A ．{0,1}B ．{1,0,1,2}-C ．{1,0,2}-D ．{1,0,1}- 解析：M N 是把两个集合元素放到一个集合中，根据互异性只保留一个相同元素，则{1,0,1,2}M N =-．答案：B2设集合{,}A a b =，{,,}B b c d =，则AB =（ ）A ．{}bB ．{,,}b c dC ．{,,}a c dD ．{,,,}a b c d例6 已知{|12}A x x =-<≤，{|3}B x x =<，求B A ．解析：根据题意，画出数轴，可知{|123}BA x x x =≤-<<或．A B 是把两个集合元素放到一个集合中，相同元素根据互异性只保留一{,,A B a b ={1,2,4}A =B =_______A B 是把两个集合元素放到一个集合中，相同元素根据互异性只保留一{1,2,4,6}AB =1,2,4,6} 1{|2x x =<B =（ 12}x ≤< 21}{x x ≤={|A B x =-答案：A已知{0,1,2}M =N =（ ．{0} D 解析：{N ={0,1,2}，则{0,1,2,4}M N ={1,2,3}B =的个数是（ ）D ．8 {1,2,3}AB =，则A 中共有2个元素，则满足条件的{1,2,3,4,5}B =1,2}{1,2,3,4,5}B=子集个数的问题，N={1,2,3,4}C．4N=，则N{1,2,3,4}子集个数的问题，M中共有2个元素，则满足条件的B=_________A B=．{3,5,13}，则A B=（）C．{1,2}A B=．{1,2},2,3}，则A B=________A B=-．，3，则{1,3}，则A B=（{0,2}DA B=．{0,2}B=（D．{2}-A B=．公共元素为2，则{2}B=（DA B=，1，则{0,1}A=（）U{2,4,7}剩下的部分，{2,4,7}A=UA=（）UC．{1,2,3,4,5}剩下的部分，{3,4,5}A=UM=（）UC．{1,2,4}剩下的部分，{2,4,6}M=UA=（U，则{2}UA =．UM =（ ）,0)(2,)-∞+∞ D [2,)+∞02}a >或，则{|02}UM a =．，那么UP =（ ）1,1] D ．(,(1,)-∞+∞，则{|}UP x x =<．{2}UA =，则集合A 的真子集共有（）个 5个 由{2}UA =可知{0,1}A =，中共有2个元素，{0,1,2,3}=，{2}UM ={0,1,3} B ．{1,3} 解析：UM 是把全集U 中元素，去掉，则{0,1,3}M =． A已知全集{0,1,2,3}U ={0,2}UA =4个 1,3}，共有两个元素，则真子集个数为⎝题型一：二次不等式的交集例 集合{|04}A x x =<<，2{|230}B x x x =--<，求A B ．解析：{|(3)(1)0}{|13}B x x x x x =-+<=-<<，由题意画出数轴，{|03}AB x x =<<．总结：主要考察二次不等式解集的求法，结合集合的知识点出题，比较基础．练习1 集合{|04}A x x =<<，1{|0}3x B x x +=<-，求A B ．解析：{|(3)(1)0}{|13}B x x x x x =-+<=-<<，由题意画出数轴，{|03}A B x x =<<．练习2 已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，集合B 为整数集，则A B =（ ）A ．{1,0}-B ．{0,1}C ．{2,1,0,1}--D ．{1,0,1,2}- 解析：{|12}A x x =-≤≤，B 为整数集，则{1,0,1,2}A B =-．答案：D练习3 已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B =（ ）A ．{1,0,1,2}-B ．{2,1,0,1}--C ．{0,1}D ．{1,0}- 解析：{|12}A x x =-≤≤，B 为整数集，则{1,0,1,2}A B =-．答案：A练习4 设集合{0,1,2}M =，2{|320}N x x x =-+≤，则MN =（ ）重要考试题型题型二：已知交并补集结果求参数值例1 已知{0,2,}A a =，2{1,2,}B a =，{0,1,2,3,9}A B =，求实数a ．当中的两个，很明显变式 已知{1,2}A a a =++，{2,1}B b b =-+，{3,2,0}A B =，求a b +的值．，比对并集中的数字，可知{1,3,5}A =例2 ，{1,5,}B a =-，{3,5}A B =，求a 的取值．，则3a =．2{1,3,31}A a a =-+变式 ，{1,5,}B a =-，{5}A B =，求a 的取值．是两个集合的公共元素，所以23a a -+，违反了集合元素的互异性，舍去；例3 设{1,2,3,4}U =，2{|50}M x U x x p =∈-+=，若{1,4}U M =，那p=________．2x ，令1x =变式 不等式31ax <解集为Q ，{|0}P x x =≤，若R1{|0}6QP x x =<<，那a=________． 解析：R{|P x x =恒成立，此时R Q =，不符合条件舍去，{1,2}M N =1{|}3Q x x a=<，根据题意画出数轴，可得1136a =，解得2a =．练习1 已知集合2{|20}A x x mx =-+=，2{|60}B x x x n =-+=，且{2,1,4}A B =，求m ，n 的值． {2,1,4}AB =中方程2x mx -+，设B 中方程，根据对应关系，2421262x ==⨯+==练习2 已知集合{1,2,}A k =，{2,5}B =，若{1,2,3,5}A B =，则k=______．练习3 已知集合{1,3,}A m =，{3,4}B =，{1,2,3,4}A B =，则m=_______．练习4 已知集合{1,2,3}A =，{2,}B a =，{0,1,2,3}A B =，则a 的值为_______．2{1,3,35}A a a =-+练习5 ，{1,5,}B a =-，{5}A B =，求a 的取值．235a -+={5}A B =，符合题意；{3,5}AB =，不符合条件，舍去；练习6 设集合{1,1,3}A =-，2{2,4}B a a =++，{3}A B =，则实数a=_______．{3}A B =，∴23a +=或21a ==-或1练习7 已知集合{1,2,3}A =，{2,,4}B m =，{2,3}A B =，则m=_______．{2,3}A B =，则3．练习8 若集合{|2}A x x =≤，{|}B x x a =≥满足{2}A B =，则实数a=________．{2}A B =，2=．练习9 设集合{1,0,3}A =-，{3,1}B a a =+-，若{3}A B =，则实数a=_______．{3}AB =，则04a =或；时，{3,B =-{1,3}A B =-不符合题意，舍去； 时，{7,3}B ={3}AB =符合题意；． 练习10 已知集合2{,1,3}A m m =+-，2{1,3,21}B m m m =+--，若{3}A B =-，实数m=______．{3}AB =-3-时，2m 3时，m ={3,1AB =-3-时，m =，{3}A B =-练习11 设集合{1,2,3}A =-，2{2,2}B a a =++，{3}A B =，则实数a=_______．{3}AB =知，时，1a =，此时，不满足元素的互异性，舍去；3时，1(a ={3}A B =符合条件；．练习12 设{0,1,2,3}U =，2{|0}A x U x mx =∈+=，若{1,2}U A =，则实数m=_______．的两个根，∴练习13 若全集{0,1,2}U =，{|10}A x ax =+=且{0,1}U A =，则a=_______．的根，带入可解得练习14 设{1,2,3,4}U =，且2{|50}M x U x x p =∈-+=，若{2,3}U M =，则实数p 的值为（ ）A ．-4B ．4C ．-6D ．6的两个根，带入解得例1 已知集合{|2}A x x =>，{|}B x x m =<，且R A B =，求m 的取值范围．解析：根据条件画出数轴，可知m 需在2的右侧，即2m >．变式1 已知集合{|2}A x x a =-<<，{|26}B x x =<<，{|26}A B x x =-<<，求a 的取值范围．解析：由题目条件，画出数轴，可知a 应在2和6中间，研究端点处的取值，如果2a =，则A 与B 集合均取不到2，不符合题意，∴2a >，如果6a =，则符合题意，综上26a <≤．变式2 已知集合{|33}A x a x a =-<≤+，2{|230}B x x x =-->，若R A B =，求a 的取值范围．解析：{|31}B x x x =><-或，根据题意画出数轴，欲使R A B =，则A 集合需把B 集合取不到的中间区域覆盖，则3a -在1-左侧，3a +在3右侧；再讨论端点处，31a -=-时，两集合都取不到1-，∴31a -<-严格，即2a <，33a +=时，A 集合可取到3，符合条件，∴33a +≥，即0a ≥； 综上02a ≤<．例2 已知集合{|7}A x x =≤，{|}B x x a =≥，若A B =∅，求a 的取值范围．解析：由条件，画出数轴，可知a 在7的右侧，则7a >．变式1 已知集合{|27}A x x =<<，{|21}B x a x a =<<+，若{|47}A B x x =<<，求a 的取值范围．解析：由题意，画出数轴，可知要满足{|47}AB x x =<<，4a =即可．变式2 已知集合{|27}A x x =<<，{|21}B x a x a =<<+，若A B =∅，求a 的取值范围．解析由题意知，两个集合没有交集，可分两种情况讨论： ①B =∅，令21a a ≥+，解得1a ≤-，满足条件； ②B ≠∅，此时1a >-，要使A B =∅，画出数轴，可知B 整体在A 的左侧或者右侧； 在左侧时，212a +≤，解得12a ≤，又1a >-，得112a -<≤； 在右侧时，7a ≥，又1a >-，得7a ≥； 综上12a ≤或7a ≥．练习1 设常数R a ∈，集合{|(1)()0}A x x x a =--≥，{|1}B x x a =≥-，若R A B =，则a的取值范围为（ ）A ．(,2)-∞B ．(,2]-∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞ R A B =，∴成立，； R AB =，则1≤，即a ≤③1a <时，{|1}A x x a x =≤≥或,要满足R A B =，则应满足1a a -≤，1a a -≤是恒成立的，所以可得1a <符合条件．综上2a ≤． 答案：B练习2 已知集合{|1}A x x =≤，{|}B x x a =≥，且R A B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．13a ≤≤C ．1a ≥D ．3a ≥ 解析：{|1}A x x =≤，{|}B x x a =≥，要使R AB =，结合数轴可知满足1a ≤时命题成立．答案：A练习3 设集合{||2|3}S x x =->，{|8}T x a x a =<<+，R S T =，则a 的取值范围是（ ）A ．31a -<<-B ．31a -≤≤-C ．31a a ≤-≥或D ．31a a <->-或 解析：{||2|3}{|51}S x x x x x =->=><-或，又R ST =，根据数轴可知应满足13185a a a <-⎧⇒-<<-⎨+>⎩． 答案：A练习4 已知{|23}A x a x a =<<+，{|15}B x x x =<->或，若A B =∅，则a 的取值范围是（ ）A ．1322a a <-≤≤或B ．1322a a >≤≤或22解析：分两种情况讨论：①A =∅，即23a a >+时，3a >，此时A B =∅符合题意；②A ≠∅，此时3a ≤，要AB =∅，通过数轴可知需满足2135a a ≥-+≤且，解得122a -≤≤，综上3a >或122a -≤≤．答案：D练习5 集合{|121}A x a x a =-<<+，{|01}B x x =<<，若A B =∅，实数a 的取值范围是（ ）A ．(,3][2,)-∞-+∞B ．(,1][2,)-∞-+∞C ．1(,][2,)2-∞-+∞ D ．1(,][2,)2-∞+∞解析：分两种情况讨论：①A =∅，即121a a -≥+时，2a ≤-，此时A B =∅符合题意；②A ≠∅，此时2a >-，要AB =∅，通过数轴可知需满足21011a a +≤-≥或，解得1222a a -<≤-≥或．综上122a a ≤-≥或．答案：D练习6 已知集合{|}M x x a =≤，{|20}N x x =-<<，若MN =∅，则a 的取值范围是（ ） A ．0a > B ．0a ≥ C ．2a ≤- D ．2a <- M N =∅，画个数轴可以得知练习7 设集合{|2}M x x a =-≤≤非空，{|||,}N y y x x M ==∈，若MN N =，则实数aN N =可知时，{N =时，{N y =练习8 已知2{|1}2xA x x =<+，{|||1}B x x a =-<，且A B ≠∅，则a 的取值范围为（ ）A ．(3,3)-B ．(3,3]-C ．(2,3)-D ．(2,3]- 202<，即AB =∅时，； AB ≠∅时，答案：A练习9 全集R U =，集合{|0}M x x a =+≥，{|21}N x x =-<，若(){|3}U MN x x =≥，则（ ）A ．1a =-B ．1a =-C ．1a =D ．3a ≥- }{|UN x x =(){|3}U MN x =≥说明UN 是M 的子练习10 设集合2{|2240}A x x x m =-++=，{|0}B x x =<，若A B ≠∅，实数m 的取值集合是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(,1]-∞-C ．(,2]-∞-D ．(,2)-∞-AB ≠∅的对立面AB =∅时的44(20∆=-，解得m 时，前提为m ≤，要使AB =∅，则在y 轴右侧，两个零点大于等于0，只需A B =∅时2m ≥-，则A B ≠∅时练习11 已知集合2*{|(2)10,R}R x x k x x +++=∈=∅，则实数k 的取值范围是（ ）A ．40k -<<B ．4k >-C ．2k >-D ．0k ≥没有正根，或是空集；题型四：集合的混合运算{1,2,3,4,5,6,7}U =例1 ，{2,4,6}A =，{1,4,5}B =，求()U A B ．解析：{1,35UA =，(){1,5}U A B ={1,2,3,4,5,6,7}U =变式 ，{2,4,6}A =，{1,4,5}B =，求()()U U A B ．解法一：={1,3,5,7}UA ，={2,3,6,7}UB ，则()(){3,7}U U A B =． 解法二：{1,2,4,5,6}AB =，()()(){3,7}U U UA B AB ==．例2 已知集合2{|540}A x x x =-+=，集合2{|40}B x x ax =++=，其中A B A B =，求a 的值．AB A B A B =⇒=变式 1 已知集合2{|540}A x x x =-+=，集合2{|40}B x x ax =++=，其中A B =∅且AB A =，求a 的值．解析：{|(1)(4)A x x x =--=A B =∅⇒A B A =，∴令B 中方程2160a =-<，解得4a -<变式2 已知集合2{|540}A x x x =-+≤，集合{|2}B x a x a =≤≤+，其中()U B A =∅，求a 的值．解析：{|(1)(4)0}{|14}A x x x x x =--≤=<<，()U BA B A =∅⇒⊆，根据题意画出数轴，可得124a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得12a ≤≤．总结：关于集合的混合运算，只需要按部就班的求交并补集即可，对于能用快速公式简化计算的，可以用一下()()()U U UA B A B =和()()()U U UA UB A B =这两个公式．由混合运算的结果分析，可以得到原始两个集合的关系，例如：A B A B A B =⇒=① A B A B A A B =∅=⇒=②且()U BA B A =∅⇒⊆③练习1 若全集R U =，{|4}A x x =>，{|2}B x x =>，求()U A B ．解析：{|4}UA x x =≤，画出数轴可知(){|24}U A B x x =<≤．练习 2 设全集{N |110}U n n =∈≤≤，{1,2,3,5,8}A =，{1,3,5,7,9}B =，则()U A B=________．解析：由题意{4,6,7,9,10}UA =(){7,9}U A B =练习3 已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，{2,3}B =，则()U A B =（ ）A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4} {1,2,3}A B =，则(){4}UA B =．练习4 已知集合{2,3,6,8}U =，{2,3}A =，{2,6,8}B =，则()U A B =________．解析：{6,8}UA =，则(){6,8}U A B =．{6,8}练习5 已知集合A 、B ，全集{1,2,3,4}U =，且(){4}U A B =，{1,2}B =，则UAB =（ ）A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．∅ 解析：由(){4}UA B =，{1,2,3}AB =，{3}=或{1,3}{1,2,3}，{3,4}UB ={3}UAB =．练习6 设集合{4,5,7,9}A =，{3,4,7,8,9}B =，全集U A B =，则集合()U A B 中的元素共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 {4,7,9}A B =，则(){3,5,8}UA B =，共有个元素．练习7 设全集为R ，集合2{|90}A x x =-<，{|15}B x x =-<≤，则RAB =（ ）A ．(3,0)-B ．(3,1)--C ．(3,1]--D ．(3,3)- ，R{|B x x =RAB =练习8 设全集为U ，集合A U B U ⊆⊆、，则下列关系中与A B ⊆等价的事（ ）．（1）AB A =（2）A B B =（3）UAB =∅（4）UBA =∅A ．（1）（2）B ．（1）（3）（4）C ．（1）（2）（3）D ．（2）（3）（4） 1）（2）（3A B ⊆是等价关系，（4）与B 等价． C练习9 已知2{|320}A x x x =++≥，2{|410}B x mx x m =-+->，若A B =∅，且AB A =，则m 的取值范围是（ ）A ．117{|}2m m -≤B ．115{|}2m m -≤C ．13{|}2m m -≥D ．17{|}2m m -≥ 解析：{A x =A B A =⇒AB =∅，B 中但它们的交集为空集，只有所以当B =∅0≤，解得． 练习10 已知集合{|21}A x x x =≤-≥-或，{|21}B x m x m =<<-，若A B =∅，且AB A =，则m 的取值范围是（ ）A ．1m ≥-B ．2m ≥C ．2m <D ．5m <- 解析：A B A =⇒A B =∅，B =∅这一种情况；B =∅时，应满足，即1m ≥-题型五：集合之间的关系例1 已知集合{0,2,}A x =，2{2,}B x =，A B A =，求x ．AB A =⇒，分两种情况讨论：{1,2,3,4}M =例2 ，{2,4}N =，则M 和N 的关系是（ ）A ．M N ⊆B ．N M ∈C ．MN N = D ．M N N =N M ⊆，C 选项符合条件． 2{|320}M x x x =-+>例3 ，{|33}N x x =-<<，{|12}M x x x =<>或A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．MN =∅ D ．R M N =解析：{|(1)(2)0}{|21}M x x x x x x =-->=><或，画出数轴看一下关系，可知D 正确．答案：D2{|2,N }A x x a a +==+∈例4 ，2{|23,N }B y y b b b +==-+∈，A 、B 的关系？AB ．总结：通过集合的相关性质，把题目中的条件转化为集合的包含关系，属于简单题型．列举主要通过观察元素来确定尽量两个式子变成同样的构造．练习1 已知集合{1,1}A =-，{|1}B x mx ==且A B A =，则m 的值为（ ）A ．1B ．-1C ．1或-1D ．1或-1或0 AB A =可知的子集，B 中方程至多有时，0m =；练习2 若集合2{|230}A x x x =--=，{|20}B x ax =-=，满足A B B =，则实数a 组成的集合为_______． AB B =可知解，∴{1,3}B ≠-时，0a =；时，a =-时，23a =；的取值为22,0,-练习3 若2{|60}A x x x =+-=，1{|10}B x x m=+=，且A B A =，则实数m=_______．AB A =可知解，∴B ≠时，解得时，解得m 23m -=或23或练习4 已知集合{1,2,3,4}M =，{2,2}N =-，则下列结论成立的是（ ）A ．N M ⊆B ．MN M = C ．M N N = D ．{2}M N =，所以N M ⊄错误；{2,1,2,3,4}M N M =-≠，B 错误；{2}N =≠错误；正确． 答案：D练习5 若{|1}P x x =<，{|1}Q x x =>，则（ ）A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．RP Q ⊆ D ．RQ P ⊆解析：R{|P x x =，由集合关系知RQ P ⊆正确，故选D ．D练习6 已知集合{1,2,3}M =，{2,3,4}N =，则（ ）A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．{2,3}M N =D ．{1,4}M N ={2,3}M N =正确，故选练习7 已知集合2{|20}A x x x =->，{|55}B x x =-<<，则（ ）A ．AB =∅ B ．R A B =C ．B A ⊆D ．A B ⊆解析：2{|0}{|A x x x x ==>R A B =，故答案：B练习8 已知集合2{|20}A x x x =--<，{|11}B x x =-<<，则（ ）A ．AB B ．BA C ．AB = D ．A B =∅解析：2{|20}A x x =-<=，由集合关系知B A 成立，故答案：B练习9 设{|4}P x x =<，2{|4}Q x x =<，则（ ）A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．RP Q ⊆D ．RQ P ⊆2}，由集合关系可知Q P ⊆正确，故选{(,)|1}A x y x y =-=例1 ，{(,)|3}B x y x y =+=，求A B ．解析：两个集合中的元素均为对应函数上的点，所以两个集合的交集变为两个函数的交点问题，解方程组可得{(2,1)}AB ={(,)|1}A x y y x ==+例2 ，{(,)|1}1yB x y x ==+，求A B ． 解析：A 集合是函数1y x =+上所有点的集合，B 集合是11yx =+上所有点的集合，B 集合可变形为1(1)y x x =+≠-，即B 中取不到点(1,0)-，其余与A 一样，则{(1,0)}A B =-．{(2,1)}AB =尤其是分式存在的情况，练习1 设集合{(,)|0}A x y x y =-=，{(,)|40}B x y x y =++=，则A B =______．{(,AB x y =2,2)}--练习2 已知2{(,)|}A x y y x ==，{(,)|}B x y y x ==，则A B =（ ）A ．RB ．[0,)+∞C ．(1,1)D ．{(0,0),(1,1)}{(,A B x y =练习3 已知集合{(,)|31}M x y y x ==+和集合2{(,)|1}N x y y x x ==++，则MN =（ ）A ．{0,2}B ．∅C ．[1,)+∞D ．{(0,1),(2,7)} {(,A B x y =练习4 设2{(,)|1(2)0}A x y x y =++-=，{1,0,1,2}B =-，则A 、B 两个集合的关系是（ ）A ．AB ⊇ B ．A B ⊆C ．A B ∈D ．以上都不对练习5 设集合2{|}P x y x ==，2{(,)|}Q x y y x ==，则P 与Q 的关系是（ ）A ．P Q ⊆B ．P Q ⊇C ．P Q =D ．以上都不对练习6 若{(,)|1}A x y y ax ==+，{(,)|}B x y y x b ==+，{(2,5)}A B =，则a b +_______．{(2,5)}AB =中的方程，把点(2,5)3b =，则a 练习7 若集合{(,)|6}A x y y ax ==+，集合{(,)|53}B x y y x ==-，若点(1,)()b A B ∈，则a b -=_______．By ：数学浪子 )AB ，可知6a b -=-．{(,)|1}A x y y x ==+练习8 ，32{(,)|}x xC x y y x x-==-，求A C ．解析：A 集合是函数1y x =+上所有点的集合，C 集合是32x xy x x-=-上所有点的集合，C 中分母不为0，即20x x -≠，解得01x x ≠≠且，C 集合可变形为1(01)y x x x =+≠≠且，即C 中取不到点(0,1)(1,2)和，其余与A 一样，则{(0,1),(1,2)}A C =．{(,)|1}1yB x y x ==+练习9 ，{(,)|1}M x y y kx ==-，B M =∅，求k ．解析：B 集合是11yx =+上所有点的集合，B 集合可变形为1(1)y x x =+≠-，即B 是取不到点(1,0)-的函数，要使BM =∅说明两直线没有交点，可分两种情况：①两直线平行时，满足斜率相等，即1k =时，成立； ②直线1y kx =-过(1,0)-，带入可得1k =-，成立； 综上：1k =±．练习10 已知集合3{(,)|1}2y A x y a x -==+-，2{(,)|(1)(1)15}B x y a x a y =-+-=，若AB =∅，则a 的所有取值是________．解析：{(A =集，要使AB =∅，则1a =时，B =∅，满足AB =∅；A B =∅；(1)x a y +-A B =∅；练习11 已知集合{(,)|210}A x y x y =+-=，{(,)|20}B x y x ay a =--=，若A B =∅，则a 的值是_______．12a=的直线，AB =∅，所以答案：1-练习12 设集合3{(,)|2}1y A x y x -==-，{(,)|4160}B x y x ay =+-=，若A B =∅，则a 的值为（ ）A ．4B ．2-C ．42-或D ．24-或 A B =∅，则中两直线没有交点，2-，验证成立； 题型七：用Venn 图计算集合例1 某次考试，数学及格28人，物理及格30人，数学物理都不及格12人，学生总数50人，问数学和物理都及格的多少人？{|7,N}U x x x =≤∈例2 ，(){2,3}U A B =，(){0,6}U B A =，()(){1,7}U U A B =，求A 、B 集合．解析：{0,1,2,3,4,5,6,7}U =，画出Venn 图，可知{2,3,4,5}A ={4,5,0,6}B =．总结：对于比较复杂的数字问题，可以画出Venn 图来辅助解题，通常需要设一个未知数x ，根据条件精确的标出交并补集中各个部分的数据，最后解出x 的值． 注意Venn 图和公式()()()U U UA B A B =以及()()()U U UA UB A B =的综合运用，对于有大量交并补集条件的题目，首先画Venn 图，然后考虑有没有可以用公式的地方，最后把条件标在相应的位置，问题迎刃而解．()()()U U UA B A B ⇔先补后交等于先并后补，反之亦然．练习1 某次考试，数学及格28人，物理及格30人，化学及格25人，数学物理都及格20人，数学化学都及格15人，物理化学都及格18人，数理化都不及格10人，学生总数50人，问数理化都及格多少人？By ：数学浪子练习2 50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为（ ）A ．50B ．45C ．40D ．35解析：设两项都参加的人数为x ，则只参加甲的人数为30x -，只参加乙的人数为25x -，总人数为(30+(25)50x x x -+-=），解得5x =，所以仅参加了一项活动的人数为50545-=人．答案：B练习3 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_______．解析：设两项运动都喜爱的人数为x ，画出Venn 图，则总人数30(15)(10)8x x x =-++-+，解得3x =，所以喜爱篮球但不喜爱乒乓球人数为1512x -=人．答案：12练习4 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的人有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有_______人．36(20)(9)15x x x =-++-+，解得8x =．答案：8{|7,N}U x x x =≤∈练习5 ，(){2,3}U A B =，(){0,6}U B A =，()(){1,7}U U A B =，求A 、B 集合．解析：{0,1,2,3,4,5,6,7}U =，画出Venn 图，可知{2,3,4,5}A ={4,5,0,6}B =．练习6 设全集{1,2,3,4,5}U M N ==，{2,4}U M N =，则N=（ ）A ．{1,2,3}B ．{1,3,5}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4}解析：画出Venn 图，可知U M N 为左侧阴影部分，则N 为剩余空白部分，除去{2,4}后所剩为{1,3,5}．答案：B练习7 设全集{1,2,3,4,5}U M N ==，{2,5}U M N =，则N=________． 图，可知U M N 为左侧阴影部分，则N 为剩余空白部分，除去答案：{1,3,4}练习8 已知A 、B 均为集合{1,3,5,7,9}U =的子集，且{3}A B =，(){9}U B A =，则A 等于（ ）A ．{1,3}B ．{3,7,9}C ．{3,5,9}D ．{3,9}解析：画出Venn 图，根据题意，A 中只有3和9两个元素．答案：D练习9 已知全集R U =，集合{1,2,3,4,5}A =，{|3}B x x =≥，途中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{1}B ．{1,2}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2}解析：根据条件，把Venn 图中的数据补全，可知阴影部分表示的集合为{1,2}．答案：B练习10 已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3}A =，{3,4,5}B =，图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{3}B ．{1,2}C ．{4,5}D ．{1,2,3,4,5}答案：B练习11 已知M 、N 为集合I 的非空真子集，且M 、N 不相等，若()I N M =∅，则M N =（ ）A ．MB ．NC ．ID ．∅解析：由()I N M =∅，可知N 为M 的子集，所以M N M =．答案：A练习7 已知全集U A B =中有m 个元素，()()U U A B 中有n 个元素，若A B 非空，则A B 的元素个数为（ ）A ．mnB ．m+nC ．n-mD ．m-n解析：()()()U U U A B A B =，由Venn 图可知()U A B 为图中阴影部分，有n 个元素，总数有m 个元素，则中间白色部分A B 的个数即为m-n 个．答案：D练习8 若集合A 、B 、C 为三个集合，A B B C =，则一定有（ ）A ．A C ⊆B ．C A ⊆ C ．A C ≠D ．A =∅解析：AB BC =可分开看作为AB B =和B BC =，即A B ⊆且B C ⊆，所以A C ⊆． 答案：A 练习9 设全集{,,,}U a b c d =，集合{,}A a b =，{,,}B b c d =，则()()U U A B =_______． 解析：()()()U U U A B A B =，{}A B b =，则(){,,}U A B a c d =． 答案：{,,}a c d练习10 已知全集{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，集合{0,1,3,5,8}A =，集合{2,4,5,6,8}B =，则()()U U A B =（ ）A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}解析：()()()U U U A B A B =，{0,1,2,3,4,5,6,8}A B =，则(){7,9}U A B =．答案：B 练习11 设全集{1,2,3,4,5,6}U =，{2,3}M =，{1,4}N =，则集合{5,6}等于（ ）A ．M NB ．M NC ．()()U U M ND ．()()U U M N解析：观察知，{5,6}为U 中除去M 和N 剩下的元素集合，即{5,6}()U M N =，根据公式()()()U U U M N M N =可知D 正确．答案：D数学浪子版权所有，禁止用于任何商业用途。
第02讲 集合的运算(7大考点13种解题方法)(解析版)
第02讲集合的运算（7大考点13种解题方法）考点考向集合之间的基本运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U 表示；集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }1.由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的并集，记作A ∪B ；符号表示为A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }2．并集的性质A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ⊆A ∪B .3.对于两个给定的集合A 、B ，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的交集，记作A ∩B。
符号为A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }。
4.交集的性质A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ⊆A .5、对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作∁U A 。
符号语言：∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }。
【要点注意】1．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ()()UUA B A B U ⇔=∅⇔=痧.2.德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即()=()()U UU A B A B 痧；②交集的补集等于补集的并集，即()=()()U UU AB A B 痧．方法技巧1.求集合并集的两种基本方法：（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴求解.2.求集合交集的方法为：（1）定义法，（2）数形结合法．（3）若A ，B 是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．3.集合基本运算的求解规律(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn 图求解．(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况．(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后灵活应用数形结合求解．考点精讲考点一：交集题型一：交集的概念及运算1．（2022·浙江衢州·高一阶段练习）已知集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则A B =（）A ．{1,2,3,4}B ．{2,3}C ．{1,2}D ．∅【答案】B【分析】根据交集的定义可求A B .【详解】{}2,3AB =，故选：B.2．（2022·全国·高一）已知集合{}22A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，则A B =（）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}2,0,1,2-D ．{}1,0,1,2-【答案】B【分析】根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】因为{}22A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，所以{0,1}A B =，故选:B ．题型二：根据交集的结果求集合或参数3．（2017·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知集合{}2,3,4,5A =，{}1,B a =，若{}5A B =，则=a （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】根据集合的交运算结果，即可求得参数值.【详解】因为{}5A B =，故可得{}51,a ∈，则5a =.故选：D.4．（2021·湖北·车城高中高一阶段练习）若集合{}322P x x =<≤，非空集合{}2135Q x a x a =+≤<-，则能使()Q PQ ⊆成立的所有实数a 的取值范围为()A ．(1,9)B ．[1,9]C ．[6,9)D ．(6,9]【答案】D【分析】由()Q P Q ⊆知Q P ⊆，据此列出不等式组即可求解.【详解】∵()Q P Q ⊆，∴P Q Q ⋂=，Q P ⊆，∴21352133522a a a a +<-⎧⎪+>⎨⎪-≤⎩，解得69a <≤，故选：D.题型三：根据交集的结果求集合元素个数5．（2021·河南·襄城县实验高级中学高一阶段练习）已知集合()1,A x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，(){},B x y y x ==，则AB 中元素的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】联立方程解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩，得到答案.【详解】1y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩，故A B 中有两个元素.故选：C.6．（2022·江苏·高一）若集合{}1,2,3,4A B =，{}1,2A B =，集合B 中有3个元素，则A中元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．不确定【答案】C【分析】根据条件得到{}1,2,3B =或{}1,2,4B =，进而可得集合A 中元素个数.【详解】{}1,2AB =，则集合B 中必有元素1，2当{}1,2,3B =时，{}1,2,4A =，当{}1,2,4B =时，{}1,2,3A =，故集合A 中元素个数为3.故选：C.考点二：并集题型四：并集的概念及运算1．（多选）（2021·福建·晋江市磁灶中学高一阶段练习）已知集合{|2}A x x =<，{|320}B x x =->，则（）A ．32AB x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．{}2A B x x ⋃=<D ．A B R=【答案】AC【分析】先求得集合B ，由此确定正确选项.【详解】3{|320}{|}2B x x B x x =->==<，所以32A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭，{}2A B x x ⋃=<.故选：AC2．（多选）（2021·福建省同安第一中学高一阶段练习）已知集合{|2}A x x =<，{|320}B x x =->，则（）A ．32AB x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．A B R=D ．{}A B 2x x ⋃=<【答案】AD【解析】先化简集合B ，再由交集和并集的概念，即可得出结果.【详解】因为集合{|2}A x x =<，{}33202B x x x x ⎧⎫=->=<⎨⎬⎩⎭，因此32A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭，{}A B 2x x ⋃=<.故选：AD.题型五：根据并集的结果求集合或参数3．（多选）（2022·湖北武汉·二模）已知集合{}{}1,4,,1,2,3A a B ==，若{}1,2,3,4A B =，则a 的取值可以是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】AB【分析】根据并集的结果可得{}1,4,a {}1,2,3,4，即可得到a 的取值；【详解】解：因为{}1,2,3,4A B =，所以{}1,4,a {}1,2,3,4，所以2a =或3a =；故选：AB4．（多选）（2021·湖南·高一期中）已知集合{}1,4,M x =，{}2,3N =，若{}1,2,3,4M N =U ，则x 的可能取值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BC【分析】根据题意，结合集合中元素的互异性及两个集合的并集的定义，即可求解.【详解】由题意，集合{}1,4,M x =，{}2,3N =，且{}1,2,3,4M N =U 根据集合中元素的互异性及两个集合的并集的定义，可得2x =或3x =．故选：BC.题型六：根据并集的结果求集合元素个数5．（多选）（2021·广东揭阳·高一期末）若集合{}0,1,2,A x =，2{1,}B x =，A B A ⋃=则满足条件的实数x 为()A ．0B ．1C ．D ．【答案】CD【分析】由A B A ⋃=说明B 是A 的子集，然后利用子集的概念分类讨论x 的取值．【详解】解：由A B A ⋃=，所以B A ⊆．又{}0,1,2,A x =，2{1,}B x =，所以20x =，或22x =，或2x x =．20x =时，集合A 违背集合元素的互异性，所以20x ≠．22x =时，x =或x =2x x =时，得0x =或1x =，集合A 均违背集合元素互异性，所以2x x ≠．所以满足条件的实数x 的个数有2个．故选CD ．【点睛】本题考查了并集及其运算，考查了子集的概念，考查了集合中元素的特性，解答的关键是要考虑集合中元素的互异性，是基本的概念题，也是易错题．考点三：补集、全集题型七：补集的概念及运算1．（2022·广东汕尾·高一期末）全集U =R ，集合{}3A x x =≤-，则 U A =ð______．【答案】{}3x x >-【分析】直接利用补集的定义求解【详解】因为全集U =R ，集合{}3A x x =≤-，所以 U A =ð{}3x x >-，故答案为：{}3x x >-2．（2022·江苏·高一单元测试）若全集S ＝{2,3,4}，集合A ＝{4,3}，则S A ð＝____；若全集S ＝{三角形}，集合B ＝{锐角三角形}，则S B ð＝______；若全集S ＝{1,2,4,8},A ＝∅，则S A ð＝_______；若全集U ＝{1,3,a 2＋2a ＋1}，集合A ＝{1,3}，U A ð＝{4}，则a ＝_______；已知U 是全集，集合A ＝{0,2,4}，U A ð＝{－1,1}，U B ð＝{－1,0,2}，则B ＝_____.【答案】{2}{直角三角形或钝角三角形}{1,2,4,8}1或－3{1,4}【分析】利用补集的定义，依次分析即得解【详解】若全集S ＝{2,3,4}，集合A ＝{4,3}，由补集的定义可得S A ð＝{2}；若全集S ＝{三角形}，集合B ＝{锐角三角形}，由于三角形分为锐角、直角、钝角三角形，故S B ð＝{直角三角形或钝角三角形}；若全集S ＝{1,2,4,8},A ＝∅，由补集的定义S A ð＝{1,2,4,8}；若全集U ＝{1,3,a 2＋2a ＋1}，集合A ＝{1,3}，U A ð＝{4}，故{1,3,4}U U A A =⋃=ð即2214a a ++=，即223(1)(30a a a a +-=-+=），解得=a 1或－3；已知U 是全集，集合A ＝{0,2,4}，U A ð＝{－1,1}，故{1,0,1,2,4}U U A A =⋃=-ð，U B ð＝{－1,0,2}，故B ={1,4}。
1.3-集合的基本运算(习题作业)解析版
1.3集合的基本运算思考：我们知道，实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？考查下列各个集合，你能说出集合C 与集合A 、B 之间的关系吗？(){}{}{}(){}{}{}是实数，是无理数，是有理数，，x x C x x B x x A C B A ======2;6,5,4,3,2,16,4,25,3,111.并集在上述两个问题中,集合A ，B 与集合C 之间都具有这样一种关系；集合C 是由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的.一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,称为集合A 与B 的并集，记作B A (读作“A 并B ”),即{}B x A x x B A ∈∈=或, .可用Venn 图1表示.图1这样，在问题（1）（2）中，集合A 与B 的并集是C ，即：CB A =2.交集考察下面的问题,集合A 、B 与集合C 之间有什么关系?(1){}{}{};8,12,8,5,3,10,8,6,4,2===C B A (2){}{}{}生月入学的高一年级女学年是某高中月入学的高一年级学生年是某高中，月在校的女学生年某高中920239202392023是x x C x x B x x A ===我们看到,在上述问题中,集合C 是由那些既属于集合A 且又属于集合B 的所有元素组成的.一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为A 与B 的交集,记作B A (读作"A 交B ”),即{}.,B x A x x B A ∈∈=且 ，可用Venn 图2表示图2这样，在上述问题（1）（2）中，CB A = 3.补集在研究问题时,我们经常需要确定研究对象的范围.例如,从小学到初中,数的研究范围逐步地由自然数到正分数,再到有理数,引进无理数后,数的研究范围扩充到实数.在高中阶段,数的研究范围将进一步扩充.在不同范围研究同一个问题,可能有不同的结果.例如()(){}{};20322==--∈x x Q x 方程()()0322=--x x 的解集,在有理数范围内只有一个解2,即在实数范国内有三个解3-32，，即()(){}{}.3,3,20322-==--∈x x R x 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U .对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集,记作{}.,A x U x x A C U ∉∈=且可用Venn 图3表示图34.并集的运算BA B B A A A A A A A A B B A ⊆⇔==∅=∅== 5.交集的运算()()分类讨论⎩⎨⎧∅≠∅=⇒∅≠∅=⊆⇔=∅=∅=∅==A A B B A BA AB A A A A A A A B B A 6.补集的运算()A A C C A C A U A C A U U U U =∅== 7.德摩根定律()()BC A C B A C B C A C B A C U U U U U U ==例1．若集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则A B = （）A ．{}1,2,3B ．{}1,2,3,4C ．{}2,3,4D ．{}2,3【答案】D【分析】根据给定的条件，利用交集的定义求解作答.【详解】集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则{}2,3A B ⋂=.故选：D变式1-1．已知集合{3,0,2,,6}A π=-，*N B =，则A B = （）A ．{2,6}B ．{0,2,6}C ．{0,2,,6}πD ．{3,0,2,6}-【答案】A【分析】根据集合交集的概念及运算，即可求解.【详解】因为集合{3,0,2,,6}A π=-，*B =N ，根据集合交集的运算，可得{2,6}A B = ．故选：A ．变式1-2．已知集合{}{}1,2,3,N2A B x x ==∈≤∣，则A B = （）A ．{}2,3B ．{}0,1,2,3C ．{}1,2D ．{}1,2,3【答案】C【分析】先求出集合B 中的元素，再求A B ⋂即可.【详解】{}{}{}1,2,3,N20,1,2A B x ==∈≤=∣，则{}1,2A B = 故选：C.变式1-3．已知集合{}3A x x =>，{}Z 26B x x =∈<<，则A B = （）A ．()35，B ．()45，C ．{}345，，D ．{}45，【答案】D【分析】根据题意结合集合的交集运算求解.【详解】因为{}{3},{6}3,4,5A xx B x x =>=∈<<=Z ∣∣2，所以{}4,5A B = .故选：D.变式1-4．已知集合{}16,{Z36}M xx N x x =≤≤=∈<<∣∣，则M N ⋂=（）A ．{}3,4B ．{}4C ．{}4,5,6D ．{}4,5【答案】D【分析】根据整数集的性质，结合集合交集的运算定义进行求解即可.【详解】因为{}{}4,5,16N M xx ==≤≤∣，所以{}4,5M N ⋂=.故选：D例2．集合{}16A x x =<<，集合{}1,3,5,6,7B =，则A B = （）A ．{}7B ．{}1,3,5,6C ．{}3,5D ．{}3,5,7【答案】C【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】因为集合{}16A x x =<<，集合{}1,3,5,6,7B =，所以{}3,5A B = .故选：C.变式2-1．已知集合{}12A x x =-≤<，{}1,0,1,2B =-，则A B = （）A ．{}1,0,1,2-B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}12x x -≤<【答案】B【分析】利用交集的定义运算即得答案.【详解】∵集合{}12A x x =-≤<，{}1,0,1,2B =-，∴{}1,0,1A B =- .故选：B.变式2-2．已知集合{20}A xx =-≤≤∣，{2,1,0,1,2}B =--，则A B = （）A ．{2,1,0,1,2}--B ．{22}x x -≤≤∣C ．{2,1,0}--D ．{20}x -≤≤【答案】C【分析】根据交集的定义运算即可.【详解】因为{20}A xx =-≤≤∣，{2,1,0,1,2}B =--，所以{}2,1,0A B =-- ，故选：C.例3．设集合{}|12A x x =-≤≤，{}|04B x x =≤≤，则A B ⋂等于（）A ．{|02}x x ≤≤B ．{}1|2x x -≤≤C ．{}|04x x ≤≤D ．{}1|4x x -≤≤【答案】A【分析】根据给定条件，利用交集的定义即可求解．【详解】因为{}|12A x x =-≤≤，{}|04B x x =≤≤，所以{|02}A B x x =≤≤ ，故选：A ．变式3-1．设全集为R ，集合{}|02A x x =<≤，{}|1B x x =>，则A B = （）A ．{}|01x x <≤B ．{}1|0x x <<C ．{}|12<≤x xD ．{}2|x x ≤【答案】C【分析】直接根据交集的定义求解即可.【详解】{}|02A x x =<≤ ，}|1B x x =>,{}|12A B x x ∴=<≤ .故选：C.变式3-2．已知集合{|24}A x x =≤<，集合{|3}B x x =≥，则A B = （）A ．∅B ．{34}x x ≤<∣C ．{23}x x ≤≤∣D ．{34}x x ≤≤∣【答案】B【分析】直接根据交集的概念求解即可.【详解】集合{|24}A x x =≤<，集合{|3}B x x =≥，则{|34}A B x x =≤< .故选：B.变式3-3．设集合{}03|M x x =<<，1{|}24N x x =≤≤，则M N ⋂等于（）A ．1{|0}2x x <≤B ．1{|3}2x x ≤<C ．{|34}x x ≤<D ．{|04}x x <≤【答案】B【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解作答.【详解】因为集合{}03|M x x =<<，1{|}24N x x =≤≤，所以1{|3}2M x N x =≤< .故选：B例4．已知集合{}{}1,2,3,4,1,2,4,6,8A B ==，则A B ⋃=（）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,4,6,8C ．{}1,2,3,4,6,8D ．{}1,2,6,8【答案】C【分析】根据并集的定义求得正确答案.【详解】已知集合{}{}1,2,3,4,1,2,4,6,8A B ==，所以{}1,2,3,4,6,8⋃=A B .故选：C变式4-1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}1,0,3B =-，则A B ⋃=（）A ．{}1,0-B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}2,3D ．{}3,0【答案】B【分析】根据并集的定义，即可求解.【详解】因为集合{}1,0,1,2A =-，{}1,0,3B =-，根据并集的定义可知，{}1,0,1,2,3A B ⋃=-.故选：B变式4-2．设集合{}3,2,1,0,1A =---，{}0,1,2,3,4B =，则A B ⋃元素的个数为（）A ．2B ．3C ．8D ．9【答案】C【分析】利用集合的并集运算求解.【详解】解：因为集合{}3,2,1,0,1A =---，{}0,1,2,3,4B =，所以A B ⋃{}3,2,1,0,1,2,3,4=---所以A B ⋃元素的个数为8，故选：C变式4-3．已知集合{}0,1,2,{N23}A B x x ==∈-<<∣，则A B ⋃=（）A ．{}0,1B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-【答案】C【分析】求出{0,1,2}B =，利用并集概念进行求解.【详解】{0,1,2}B =，故{}0,1,2A B = .故选：C变式4-4．设集合{},A a b =，{}1,3B a =+，若{}1A B ⋂=，则A B ⋃等于（）A ．{}0,1B ．{}0,3C ．{}0,1,1,3D ．{}0,1,3【答案】D【分析】利用交集的运算可得出a 、b 的值，在利用并集的定义可求得集合A B ⋃.【详解】因为{}1A B ⋂=，所以111a b +=⎧⎨=⎩，即01a b =⎧⎨=⎩，则{}0,1A =，{}1,3B =，所以{}0,1,3A B = ，故选：D ．例5．已知{}|20A x x =-<≤，{}|12=-<<B x x ，则A B ⋃=（）A ．{}|22x x -<<B ．{}|12x x -≤<C ．{}|10x x -≤≤D ．{}|10x x -<<【答案】A【分析】由并集的运算直接求解．【详解】因为{}|20A x x =-<≤，{}|12=-<<B x x ，则A B ⋃={}|22x x -<<．故选：A ．变式5-1．已知集合{|11}A x x =-≤≤，{|02}B x x =<≤，则A B ⋃=（）A ．{11}x x -≤≤∣B ．{|01}x x <≤C ．{|02}x x <≤D ．{|12}x x -≤≤【答案】D【分析】根据并集运算求解.【详解】因为集合{|11}A x x =-≤≤，{|02}B x x =<≤，所以A B ⋃={|12}x x -≤≤，故选:D.变式5-2．已知集合{}12A x x =-<<，{}03B x x =<<，则A B ⋃=（）A ．{}13x x -<<B ．{}10x x -<<C ．{}02x x <<D ．{}40x x -<<【答案】A【分析】根据集合的并集运算可得答案.【详解】因为{}12A x x =-<<，{}03B x x =<<，所以A B ⋃={}13x x -<<，故选：A.变式5-3．若集合{|11}{|02}A x x B x x =-<<=≤<，，则A B ⋃=（）A ．{|12}x x -<<B ．{|01}x x ≤<C ．{|01}x x <<D ．{|10}x x -<<【答案】A【分析】根据集合的并集运算，即可得答案.【详解】由题意得集合{|11}{|02}A x x B x x =-<<=≤<，，则{|12}A B x x =-<< ，故选：A变式5-4．已知集合{}41A x x =<，{}368B x x =-<<，则A B ⋃=（）A ．14x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．1124x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．43x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭D ．1324x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】C【分析】解不等式化简集合A ，B ，再利用并集的定义求解作答.【详解】依题意，1{|}4A x x =<，14{|}23B x x =-<<，所以4{|}3A B x x =< .故选：C例6．设集合{}{}1,2,3,4,5,2,3,5==U A ，则U A =ð（）A ．{}5B ．{}1,4C ．{}2,3D ．{}2,3,5【答案】B【分析】根据补集的定义求解即可.【详解】 集合{}{}1,2,3,4,5,2,3,5==U A ，{}1,4U A ∴=ð故选：B.变式6-1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2M =，则U M =ð（）A ．{}5B ．{}1,2C ．{}3,4,5D ．{}1,2,3,4【答案】C【分析】根据补集的定义计算即可．【详解】因为{}1,2,3,4,5U =，{}1,2M =，所以{}3,4,5U M =ð．故选：C ．变式6-2．设全集{}0,1,2,3,4,5U =，{}1,2,3,4A =，则U A =ð（）A ．∅B ．{}0C ．{}0,5D ．{}0,2,5【答案】C【详解】因为{}0,1,2,3,4,5U =，{}1,2,3,4A =，所以{}0,5U A =ð，故选：C.变式6-3．设集合U =R ，{2M x x =>或}2x ≤-，则U M =ð（）A ．{}22x x -<<B ．{}22x x -<≤C ．{2x x >或}2x <-D ．{2x x ≥或}2x ≤-【答案】B【分析】根据补集的运算可得答案.【详解】{}22U M x x =-<≤ð．故选：B ．例7．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,2,4,6,1,2,4,5U A B ===，则()U A B = ð（）A ．{}3B ．{}6C ．{}3,6D ．{}2,3,4,6【答案】D【分析】由并集和补集的定义即可得出答案.【详解】集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,2,4,6,1,2,4,5U A B ===，则U ðB={}3,6，则A ⋃()U B ð={}2,3,4,6.故选：D.变式7-1．设全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3}A =，{5,4,3}B =，则=U A B ⋂ð（）A ．{1,2,3,4,5}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,3}【答案】B【分析】根据补集和交集的含义即可得到答案.【详解】{}=0,1,2U B ð，则{}=1,2U A B ðÇ，故选：B.变式7-2．已知集合{}{}{}2,1,0,1,2,3,1,0,1,1,2 U A B =--=-=则()U A B ⋃=ð（）A ．{}2,3-B ．{}2,1,3-C ．{}2,1,0,3--D ．{}2,1,0,2,3--【答案】A【分析】利用集合并集和补集概念求解.【详解】因为{}1,0,1,2A B ⋃=-,所以()U A B ⋃=ð{}2,3-，故选:A.变式7-3．已知集合{1A x x =≤或}3x >，{}2,1,2,3B =-，则()A B =R I ð（）A ．∅B ．{}1,2C ．{}2,3D ．{}1,2,3【答案】C【分析】根据补集和交集定义直接求解即可.【详解】{}13A x x =<≤R ð，(){}2,3A B ∴=R ð.故选：C.变式7-4．已知集合{}2,1,0,1,2,3U =--，{}1,0,1A =-，{}1,2,3B =，则 U ð()A B ⋂=（）A ．{}2,3-B ．{}2,2,3-C ．{}2,1,0,3--D ．{}2,1,0,2,3--【答案】D【分析】由交集和补集的定义即可得出答案.【详解】解：由题意得{}1A B ⋂=，∴ U ð(){}2,1,0,2,3A B ⋂=--．故选：D.变式7-5．设{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}1,2,3A =，{}3,4,5,6B =．则集合()U A B ⋃=ð（）A ．{}1,2,3,4,5,6B ．{}3C ．{}1,2,4,5,6,7,8D ．{}7,8【答案】D【分析】直接根据并集和补集的定义得答案.【详解】{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，{}1,2,3A =，{}3,4,5,6B =，{}1,2,3,4,5,6A B ∴=U ，(){}7,8U A B = ð.故选：D.例8．已知集合{}24M x x =-<<，{}1N x x =-，则()R N M ⋂=ð（）A ．{}1x x -B ．{}4x xC ．{}2x x -D ．{}14x x -【答案】B【分析】利用补集和交集的定义求解即可.【详解】因为{}24M x x =-<<，所以R M =ð{}24x x x ≤-≥或，所以()R N M ⋂=ð{}4x x ≥.故选：B变式8-1．已知集合{|24}A x x =-<，R {|4}B x x =>ð，则A B = （）A ．{|2x x <-或4}x >B ．{|24}x x -<≤C ．{|2}x x <-D ．{|24}x x <≤【答案】B【分析】根据题意先求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．【详解】{|2}A x x =>- ，{|4}B x x =≤，{|24}A B x x ∴⋂=-<≤．故选：B.变式8-2．已知全集U =R ，集合{1,0,1,2,3}A =-，{}2B x x =≥，则()U A B ∩ð等于（）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0,1,2-C ．{|2}x x <D ．{|12}x x -≤<【答案】A【分析】根据补集的运算，求得{|2}U B x x =<ð，结合交集的运算，即可求解.【详解】解：由集合{|2}B x x =≥，可得{|2}U B x x =<ð，又由合{1,0,1,2,3}A =-，可得(){1,0,1}U A B =- ð.故选：A.变式8-3．设集合{}|115A x x =≤+<，{}|2B x x =≤，则R ()A B = ð（）A ．{}|24x x <<B ．{}|02x x ≤≤C ．{}|04x x ≤<D ．{}|4x x <【答案】A【分析】求出集合A ，然后直接利用集合的交集与补集的概念求解即可．【详解】因为集合{}{}|115|04A x x x x =≤+<=≤<，{}|2B x x =≤，{}R 2B x x ∴=>ð，{}R ()|24A B x x ∴⋂=<<ð.故选：A ．变式8-4．设全集U =R ，{1A x x =≤-或}2x >，{},B y y x x ==∈R ，则()U A B ⋃=ð（）A ．{}1x x <-B ．{}10x x -<C ．{}12x x -<≤D ．{}1x x >-【答案】D【分析】根据集合的交并补运算即可求解.【详解】由于{1A x x =≤-或}2x >，{}{},=0B y y x x y y ==∈≥R ,所以{}=12U A x x -<≤ð，因此(){}1U A B x x ⋃=>-ð，故选：D变式8-5．设集合{04}M x x =<<，{}35N x x =≤≤，则()()R R M N = 痧（）A ．{3x x <或4}x ≥B ．{34}x x ≤<C ．{0x x ≤或5}x >D ．{05}x x <≤【答案】C【分析】先求出R M ð和R N ð，再求交集即可.【详解】由已知得R {|0M x x =≤ð或4}x ≥，R {|3N x x =<ð或5}x >，()()R R {0M N x x ∴⋂=≤痧或5}x >.故选：C.变式8-6．{}0M x x m =+≥，{}24N x x =-<<，若U =R ，且()U M N ⋂=∅ð，则实数m 的取值范围是（）A ．2m <B ．2m ≤C ．2m ≥D ．2m ≥或4m ≤-【答案】C【分析】先求得U M ð，根据()U M N ⋂=∅ð求得m 的取值范围.【详解】因为{|0}M x x m =+≥，U =R ，所以{|}U M x x m =<-ð，{|24}N x x =-<<，因为()U M N ⋂=∅ð，所以2m ≥.故选：C例9．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,3M =，{}3,5N =，则如图所示的阴影部分表示的集合是（）A ．{}3,4,5B ．{}1,3,5C ．{}1,2,5D ．{}2,4【答案】D【分析】分析韦恩图可知，其阴影部分所表示的集合为()U M N ð，再利用集合的交并补运算即可得解.【详解】分析韦恩图可知，其阴影部分所表示的集合为()U M N ð，因为{}1,3M =，{}3,5N =，所以{}1,3,5M N ⋃=，因为{}1,2,3,4,5U =，所以(){}2,4U M N ⋃=ð.故选：D.变式9-1．已知R 是实数集，集合{314},{10}A xx B x x =-<+≤=->∣∣，则下图中阴影部分表示的集合是（）A ．{43}x x -<≤∣B ．{41}xx -<<∣C ．{13}xx <≤∣D ．{}4xx ≤-∣【答案】D【分析】化简集合A ，B ，根据给定的韦恩图，结合补集、交集的定义求解作答.【详解】依题意，{43},{1}A xx B x x =-<≤=<∣∣，由韦恩图知，阴影部分表示的集合是R ()ðA B ，而R {|4A x x =≤-ð或3}x >，所以{}R 4()xA B x =≤- ∣ð.故选：D变式9-2．图中U 是全集，A ，B 是U 的子集，则阴影部分表示的集合是（）A ．()U AB ðB ．()U A B ⋂ðC ．()U A B ⋂ðD ．()()U U A B ⋂痧【答案】D【分析】由阴影部分的元素特点可直接得到结果.【详解】由Venn 图知，阴影部分的元素既不属于集合A ，也不属于集合B ，所以阴影部分表示的集合是U U U ()()()A B A B = 痧.故选：D变式9-3．如图，,,M P S 是全集I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．()M P SB ．()M P SC ．()() ðI M P SD ．()()I M P S ð【答案】D【分析】根据Venn 图集合运算解决即可.【详解】观察Venn 图，可知阴影部分既在表示集合M 的区域中又在表示集合P 的区域中，即在表示集合,M P 的公共区域内，且在表示集合S 的区域外，即在集合I S ð中.根据集合运算的概念，可得阴影部分表示的集合为()()I M P S ð故选：D变式9-4．如图，U 是全集，M ，N ，P 是U 的子集，则阴影部分表示的集合是（）A ．()M N P ⋂⋂B ．()M N P ⋃⋂C ．()()U M N P ⋂⋂ðD ．()()U M N P ⋃⋂ð【答案】C【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合M 的外部与集合N 集合P 交集内部的公共部分，求解即可.【详解】根据题意，阴影部分为集合M 的外部与集合N 集合P 交集内部的公共部分，即()()U M N P ⋂⋂ð.故选：C.变式9-5．已知全集U =R ，集合{}16,{33}A xx B x x =-≤≤=-<<∣∣，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}36x x ≤≤∣B ．{13}xx -<≤∣C ．{13}xx <≤∣D ．{31}xx -<≤-∣【答案】A【分析】由图可得阴影部分表示()U A B ð，然后用补集和交集的定义进行求解【详解】由图可得，图中阴影部分表示的集合为()U A B ð，因为{}16,{33}A xx B x x =-≤≤=-<<∣∣，所以{3U B x x =≤-ð或}3x ≥，(){}36U B A xx ⋂=≤≤∣ð，故选：A变式9-6．已知集合(){20},{10}M x x x N x x =-<=-<∣∣，则下列Venn 图中阴影部分可以表示集合{12}xx ≤<∣的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据一元二次不等式的解法，结合四个选项的Venn 图逐一判断即可.【详解】()2002,101x x x x x -<⇒<<-<⇒<，选项A 中Venn 图中阴影部分表示()0,1M N = ，不符合题意；选项B 中Venn 图中阴影部分表示()[1,2)M M N = ð，符合题意；选项C 中Venn 图中阴影部分表示()(,0]N M N =-∞ ð，不符合题意；选项D 中Venn 图中阴影部分表示(),2M N =-∞ ，不符合题意，故选：B变式9-7．设全集I 是实数集R ，{2M x x =>或2}x <-与{13}N xx =<<∣都是I 的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（）A ．{2}xx <∣B ．{}|21x x -≤<C ．{12}x x <≤∣D ．{22}xx -≤≤∣【答案】C【分析】求得{}22I M xx =-≤≤∣ð，而阴影部分表示的集合为()I N M ⋂ð，从而可求解.【详解】因为{}22I M xx =-≤≤∣ð，所以阴影部分表示的集合为(){12}I N M x x ⋂=<≤∣ð.故选：C.变式9-8．设集合1Z 32A x x ⎧⎫=∈-<<⎨⎬⎩⎭，{}1,0,1,2B =-，能正确表示图中阴影部分的集合是（）A ．{}1,0,1-B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}2【答案】B【分析】先求得集合{}2,1,0A =--，结合题意及集合的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}1Z 32,1,02A x x ⎧⎫=∈-<<=--⎨⎬⎩⎭，根据图中阴影部分表示集合B 中元素除去集合A 中的元素，即为{}1,2.故选：B.变式9-9．设全集U 及集合M 与N ，则如图阴影部分所表示的集合为（）A ．M N ⋂B ．M N ⋃C ．U M N ðD ．()U M N ð【答案】D【分析】根据集合并集，补集的定义即可判断．【详解】依题意图中阴影部分所表示的集合为()U M N ð．故选：D ．变式9-10．设集合{|12}A x x =-≤≤，{|04}B x x =≤≤，则Venn 图阴影区域表示的集合是（）A ．{|02}x x ≤≤B ．{|12}x x ≤≤C ．{|04}x x ≤≤D ．{|14}x x ≤≤【答案】A【分析】利用交集的定义即可求解.【详解】由题意可知，Venn A B ⋂,所以{|12}{|04}{|02}A B x x x x x x =-≤≤≤≤=≤≤ .故选：A.例10．我们把含有有限个元素的集合A 叫做有限集，用()card A 表示有限集合A 中元素的个数.例如，{},,A a b c =，则()card 3A =.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有,,A B C 三类，那么，()card A B C =()()()()card card card card card card card A B C A B B C A C A B C ++---+ .某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后代入定义中解出即可.【详解】设集合A ={参加足球队的学生}，集合B ={参加排球队的学生}，集合C ={参加游泳队的学生}，则()()()card 25,card 22,card 24A B C ===，()()()card 12,card 8,card 9A B B C A C === 设三项都参加的有x 人，即()card A B C x = ，()card 46A B C = ，所以由()card A B C =()()()()card card card card card card card A B C A B B C A C A B C ++---+ 即462522241289x =++---+，解得4x =，三项都参加的有4人，故选：C.变式10-1．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”.某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数为（）A ．50B ．60C ．70D ．80【答案】C【分析】由题意可知：只使用过共享单车但没使用过移动支付的学生有10人，使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，再计算即可得解.【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，使用过共享单车或移动支付的学生共有90位，使用过移动支付的学生共有80位，则可得：只使用过共享单车但没使用过移动支付的学生有90-80=10人，又使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，即使用过共享单车的学生人数为10+60=70，故选:C.变式10-2．某小学为落实双减，实现真正素质教育，在课后给同学们增设了各种兴趣班.为了了解同学们的兴趣情况，某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌､跳舞､书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（）A．27B．23C．25D．29【答案】A【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题.可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人，同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为++++++=.5211043227故选：A变式10-3．某学校举办运动会，比赛项目包括田径､游泳､球类，经统计高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人.则高一年级参加比赛的同学有（）A．98人B．106人C．104人D．110【答案】B【分析】根据韦恩图可求高一年级参加比赛的同学的人数.【详解】由上述韦恩图可得高一年级参加比赛的同学的人数为：11625748142106++---+=，故选：B.变式10-4．学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有4人，没有人同时参加三项比赛．只参加球类一项比赛的人数为（）A．6B．7C．8D．9【答案】C【分析】先将只参加田径比赛的人数，只参加球类比赛的人数，同时参加球类比赛和田径比赛的人数分别表示出来，再根据总人数为30人列出等式即可.【详解】设同时参加球类比赛和田径比赛的有x人，则只参加田径比赛的人数为：7x-，-；只参加球类比赛的人数为：9x可列等式：9427930+++-++-=，x x x可得：1x =，故只参加球类比赛的人数为：9918x -=-=，故选：C变式10-5．某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有15人，参加径赛的学生有13人，田赛和径赛都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（）A ．16人B ．18人C ．23人D ．28人【答案】C【分析】根据题意得到只参加田赛的学生人数和只参加径赛的学生人数，然后再加上都参加的，即可得到参加运动会的人数.【详解】根据题意可知，只参加田赛的学生有15510-=，只参加径赛的有1358-=人，所以参加运动会的人数为108523++=人.故选：C.变式10-6．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有22人，不参加其中任何一种课外活动的有15人，则接受调查的小学生共有多少人？（）A ．120B ．144C ．177D ．192【答案】B【分析】用韦恩图表示题设中的集合关系，结合三个集合的容斥原理，即得解.【详解】如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合,,A B C 表示，则()63,()89,()47,()24card A card B card C card A B C ===⋂⋂=，，不妨设总人数为n ，韦恩图中三块区域的人数分别为,,x y z ，即()24,()24,()24card A B x card A C y card B C z ⋂=+⋂=+⋂=+，22x y z ++=，由容斥原理：15()()()()()()()n card A card B card C card A B card A C card B C card A B C -=++-⋂-⋂-⋂+⋂⋂638947(24)(24)(24)24x y z =++-+-+-++，解得：144n =，故选：B.例11．设集合{}24120A x x x =--=，{}20B x ax =-=.(1)若{}2,1,6A B =- ，求a 的值；(2)若A B B = ，求实数a 组成的集合C .【答案】(1)2a =(2)11,0,3C ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭【分析】（1）求出集合A ，根据A B ⋃，即可得出1B ∈，从而即得；（2）由题可知B A ⊆，然后分类讨论，从而得出实数a 组成的集合．【详解】（1）由24120x x --=，解得2x =-或6x =，所以{}2,6A =-，因为{}2,1,6A B =- ，所以1B ∈，则120a ⋅-=，所以2a =；（2）因为A B B = ，则B A ⊆，当B =∅时，0a =；当{}2B =-时，1a =-；当{}6B =时，13a =，综上可得集合11,0,3C ⎧⎫=-⎨⎩⎭.变式11-1．设集合{}{}(){}2221,1,33,210,10A a a a B x x x C x x a x a =--+-=-+==-++=.(1)讨论集合B 与C 的关系；(2)若a<0，且A C C ⋂=，求实数a 的值.【答案】(1)答案见解析(2)3a =-或12a =-【分析】（1）解方程得到,B C ，分两种情况，得到,B C 的关系；（2）根据交集结果得到C A ⊆，分类讨论，求出实数a 的值.【详解】（1）{}()(){}1,10B C x x x a ==--=，当1a =时，{}1B C ==；当1a ≠时，{}1,C a =，B 是C 的真子集.（2）当a<0时，因为A C C ⋂=，所以C A ⊆，所以{}1,a A ⊆.当233a a a +-=时，解得1a =（舍去）或3a =-，此时{}1,3,2A =-，符合题意.当1a a --=时，解得12a =-，此时1171,,24A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭符合题意.综上，3a =-或12a =-.例12．集合()(){}|520A x x x =-+≤，集合{}|121B x m x m =-≤≤+.(1)当3m =时，求A B ⋃，A ⋂；(2)若A B B = ，求实数m 的取值范围.【答案】(1){27}A B x x =-≤≤ ∣，{25}A B x x =≤≤ ∣(2)()[]21,2-∞-- 【分析】（1）分别求解两个集合，再求集合的交，并集；（2）由条件可知，B A ⊆，再分B =∅和B ≠∅两种情况，求实数m 的取值范围.【详解】（1）解不等式()()520x x -+£，得25x -≤≤，所以{25}A xx =-≤≤∣，当3m =时，则{27}B xx =≤≤∣，所以{27}A B xx =-≤≤ ∣，{25}A B x x =≤≤ ∣；（2）因为A B B = ，所以B A⊆当B =∅时，121m m ->+，即2m <-，此时B A ⊆；当B ≠∅时，2m ≥-，则12215m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得:12m -≤≤，综上所述，实数m 的取值范围是()[]21,2-∞-- .变式12-1．已知集合{13}A xx =-<<∣，{04}B x x =<<∣，{01}C x x a =<<+∣(1)求A B ⋃；()R A B ð；(2)若B C C = ，求实数a 的取值范围．【答案】(1){14}A B xx ⋃=-<<∣，R {10}A B x x ⋂=-<≤∣ð(2)3a ≤【分析】（1）根据并集的概念和运算即可求出A B ⋃，根据交集和补集的概念与运算即可求解；（2）由B C C = 得C B ⊆，分类讨论当C =∅、C ≠∅时a 的取值范围，进而求解.【详解】（1）由题意知：{14}A B xx ⋃=-<<∣；{0U B x x =≤ð或4}x ≥，所以(){10}U A B xx ⋂=-<≤∣ð；（2）若B C C = ，则C B ⊆，①当C =∅时，10a +≤，即1a ≤-，②当C ≠∅时，10a +>，即1a >-，所以1014a a +>⎧⎨+≤⎩，解得13a -<≤．综上所述：a 的取值范围为：3a ≤．例13．已知集合{}|27A x x =≤<，{}310|B x x =<<，{}|C x x a =<.(1)求A B ⋃；(2)若A C ⋂≠∅，求a 的取值范围.【答案】(1){}210|A B x x =≤<(2)()2,+∞【分析】（1）根据并集的定义计算可得；（2）根据A C ⋂≠∅即可得到2a >，从而得解.【详解】（1）解：因为{}|27A x x =≤<，{}310|B x x =<<，所以{}210|A B x x =≤< .（2）解：因为{}|27A x x =≤<，{}|C x x a =<且A C ⋂≠∅，所以2a >，即a 的取值范围为()2,+∞.变式13-1．已知集合{|231}A x a x a =-<<+，{|01}B x x =<≤．(1)若0a =，求A B ⋃；(2)若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围．【答案】(1){|31}A B x x =-<≤U (2)(,1][2,)-∞-+∞ 【分析】（1）直接计算并集即可.（2）考虑A =∅和A ≠∅两种情况，得到4231a a <⎧⎨-≥⎩或410a a <⎧⎨+≤⎩，解得答案.【详解】（1）当0a =时，|31}A x =-<<，{|01}B x x =<≤，{|31}A B x x =-<≤U .（2）A B ⋂=∅当A =∅时，231a a -≥+，解得4a ≥，当A ≠∅时，4231a a <⎧⎨-≥⎩或410a a <⎧⎨+≤⎩，解得：24a ≤<或1a ≤-，综上所述：实数a 的取值范围(,1][2,)-∞-+∞ ．例14．设集合{}240A x x =-=，()(){}222150B x x a x a =+++-=，(1)若{}2A B ⋂=，求实数a 的值；(2)若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】(1)3a =-(2)]{}(,31a ∞∈--⋃-【分析】（1）由{}2A B ⋂=可知2B ∈，代入集合B 分类讨论a 的取值即可得3a =-；（2）根据并集结果可得B A ⊆，再对集合B 是否为空集进行分类讨论即可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）由集合{}240A x x =-=可得{}2,2A =-，由{}2A B ⋂=可得2B ∈，故244(1)50a a +++-=，解得1a =-或3a =-，当1a =-时，{}2,2B =-，此时{}2,2A B =- 不满足题意，舍去，当3a =-时，{}2B =，满足题意，故3a =-；（2）由A B A ⋃=得B A ⊆，当224(1)4(5)0a a ∆=+--<时，即3a <-时，B =∅满足题意；当Δ0=时，即3a =-时，{}2B =满足题意；当0∆>时，即3a >-时，()221054a a ⎧+=⎨-=-⎩，解得1a =-，综上可得，3a ≤-或1a =-；即实数a 的取值范围为]{}(,31a ∞∈--⋃-.变式14-1．已知{}{}22|30,,|0,A x x mx x B x x x n x =+-=∈=-+=∈R R ，若{3,0,1}A B =- ，求实数,m n 的值.【答案】2,0m n ==.【分析】由韦达定理可知230x mx +-=的两根之积为3-，从而{}3,1A =-，再利用两根之和等于m -即可求m ，又{3,0,1}A B =- ，所以0B ∈，利用方程解得含义即可求得n【详解】因为230x mx +-=中2120m ∆=+>，且两根之积为3-，又{3,0,1}A B =- ，故{}{}2|30,3,1A x x mx x =+-=∈=-R ，所以312m -=-+=-，则2m =，由上知：0B ∈，所以0n =，代入得{0,1}B =，显然满足{3,0,1}A B =- .所以2,0m n ==.例15．已知集合{|22}A x x =-<<，{|1}B x x =>．(1)求集合R B ð；(2)设集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=，求实数a 的取值范围．【答案】(1){}R 1B x x =≤ð(2)42a -≤≤-【分析】（1）根据补集的概念可得结果；（2）由A M M ⋃=，得A M ⊆，根据子集关系列式可求出结果.【详解】（1）∵{}1B x x =>，∴{}R 1B x x =≤ð．（2）∵A M M ⋃=，∴A M ⊆，∴262a a ≤-⎧⎨+≥⎩，解得42a -≤≤-.变式15-1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{|2324}x x -≤-≤，B ＝{|3}x m x m ≤≤+．(1)当m ＝1-时，求A B ⋂与U A B U ð；(2)若A B ⋃＝B ，求实数m 的取值范围．【答案】(1){|02}A B x x =≤≤ ，{|1U A B x x ⋃=<-ð或0}x ≥(2)[1,0]-【分析】（1）化简集合A ，当1m =-时，求出集合B ，求出U B ð，即可求出结果；（2）由A B B ⋃=得出A B ⊆，列出关于m 的不等式组，求解即可.【详解】（1）由已知，得{|02}A x x =≤≤，当1m =-时，{|12}B x x =-≤≤，故{|02}A B x x =≤≤ .{|1U B x x =<-ð或2}x >，{|1U A B x x ⋃=<-ð或0}x ≥.（2）∵A B B ⋃=，∴A B ⊆，∴032m m ≤⎧⎨+≥⎩，解得10m -≤≤∴实数m 的取值范围为[1,0]-．变式15-2．已知集合{}1,2A =-，()(){}10B x x x a =+-=.(1)若1a =，求A B ⋂；(2)若A B A ⋃=，求实数a 的取值集合.【答案】(1){}1-；(2){}1,2-.【分析】（1）化简集合，然后根据交集的定义即得；（2）根据A B A ⋃=对a 进行分类讨论，从而求得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()(){}{}|1101,1B x x x =+-==-，又{}1,2A =-，所以{}1A B ⋂=-；（2）由()()10x x a +-=解得11x =-，2x a =，若1a =-，则{}1B =-，A B A ⋃=，符合题意；若1a ≠-，由于A B A ⋃=，所以2a =；综上所述，实数a 的取值集合为{}1,2-.变式15-3．已知集合352A x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，{1B x x =<或}2x >，{}1C x k x k =<<+，全集U =R .(1)求()U A B ∩ð；(2)若A C A ⋃=，求k 的取值范围.【答案】(1)()312U A B x x ⎧⎫⋂=≤≤⎨⎬⎩⎭ð(2)15,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据集合补集，交集运算求解即可；（2）由题知C A ⊆，再根据集合关系求解即可.【详解】（1）解：∵U =R ，{1B x x =<或}2x >，∴{}12U B x x =≤≤ð.又∵352A x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，∴()312U A B x x ⎧⎫⋂=≤≤⎨⎬⎩⎭ð.（2）解：∵A C A ⋃=，∴C A ⊆.∴5312k k ≥-⎧⎪⎨+≤⎪⎩，解得152k -≤≤.∴k 的取值范围为15,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例16．已知集合{}|16P x x x =<->或，{}|11Q x m x m =-≤≤+，全集为R .(1)求集合P R ð；(2)若()P Q P =R R 痧，求实数m 的取值范围.【答案】(1){}16x x -≤≤(2)(],2∞-【分析】(1)由已知结合集合补集的运算即可求解；(2)由()P Q P =R R 痧，则R Q P ⊆ð，然后对Q 是否为空集进行分类讨论即可求解.【详解】（1）{}|16P x x x =- 或，{}R |16P x x ∴=-≤≤ð.（2）由()P Q P =R R 痧得，R Q P ⊆ð，当Q=∅时，由{}|11Q x m x m =-≤≤+，可得11m m ->+，即0m <；当Q ≠∅时，由{}|11Q x m x m =-≤≤+，且R Q P ⊆ð，可得111116m m m m -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得02m ≤≤，综上所述，实数m 的取值范围为(],2∞-.变式16-1．已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{}14B x x x =≤≥或.(1)当3a =时，求A B ⋂；(2)若0a >，且A B ⊆R ð，求实数a 的取值范围.【答案】(1)[][]1,14,5A B ⋂=-⋃(2)()0,1【分析】（1）3a =时化简集合A ，根据交集的定义写出A B ⋂；（2）根据A B ⊆R ð，得出关于a 的不等式，求出解集即可.【详解】（1）当3a =时，集合{}15A x x =-≤≤，{}14B x x x =≤≥或，∴[][]1,14,5A B ⋂=-⋃；（2）∵A B ⊆R ð，{}22A x a x a =-≤≤+（0a >），{}14B x x x =≤≥或，∴{}|14B x x =<<R ð，∴2124a a ->⎧⎨+<⎩，又0a >，解得01a <<.∴实数a 的取值范围是：()0,1.变式16-2．记不等式()0R a x a -≤∈的解集为A ，集合{|1B x x =<-或3}x >．(1)当1a =时，求A B ⋃；(2)若R A B ≠∅ ð，求实数a 的取值范围．【答案】(1)()[),11,∞∞--⋃+(2)3a ≤【分析】（1）求出集合A ，代入1a =，进而可求得A B ⋃；（2）求出R B ð，再根据R A B ≠∅ ð可得实数a 的取值范围．【详解】（1）0a x -≤ ，x a ∴≥，即[),A a =+∞，当1a =时，[)1,A =+∞，又集合{|1B x x =<-或3}x >()[),11,A B ∞∞∴⋃=--⋃+；（2）由已知[]R 1,3B =-ð，R A B ⋂≠∅ ð，[),A a =+∞3a ∴≤.变式16-3．已知集合{}13A x x =-≤≤，集合{22B x m x m =-≤≤+，}x R ∈．（1）若{}03A B x x ⋂=≤≤，求实数m 的值；（2）若()R A B A ⋂=ð，求实数m 的取值范围．【答案】（1）2；（2）{5m m >，或}3m <-．【分析】（1）结合交集的定义和{}03A B x x ⋂=≤≤分析可得2023m m -=⎧⎨+≥⎩，求解即可；（2）由题可知{2R B x x m =<-ð，或}2x m >+，再由()R A B A ⋂=ð可知R A B ⊆ð，由此得出满足题意的不等式求解即可.【详解】（1）因为{}03A B x x ⋂=≤≤，所以2023m m -=⎧⎨+≥⎩，所以21m m =⎧⎨≥⎩，所以2m =；（2）{2R B x x m =<-ð，或}2x m >+，由已知可得R A B ⊆ð，所以23m ->或21m +<-，所以5m >或3m <-，故实数m 的取值范围为{5m m >，或}3m <-．【点睛】本题考查集合之间的基本关系，考查集合的基本运算，考查逻辑思维能力和计算能力，考查分析能力，属于常考题.变式16-4．已知集合{|42}A x x =-≤≤-，集合{|0}B x x a =-≥．（1）若A B ⊆，求a 的取值范围；（2）若全集U =R ，且C U A B ⊆，求a 的取值范围．【答案】（1）{|4}a a ≤-（2）{|2}a a >-【解析】（1）结合数轴得到满足条件的不等式，即得；（2）{|}B x x a =≥，那么C {|}U B x x a =<，结合数轴得到满足条件的不等式，即得.【详解】解:{|42}A x x =-≤≤-，{|}B x x a =≥．（1）由A B ⊆，结合数轴（如图所示），可知4a ≤-，因此a 的取值范围为{|4}a a ≤-．（2）∵U =R ，∴C {|}U B x x a =<，要使C U A B ⊆，结合数轴（如图所示），可知2a >-故a 的取值范围为{|2}a a >-．【点睛】本题考查集合的子集和补集，结合数轴来求出变量取值范围.。
1.3 集合的基本运算(精讲)(解析版)
1.3 集合的基本运算（精讲）考点一交集【例1】（1）（2020·上海高一开学考试）设集合A {}3,5,6,8=，集合B {}4,5,7,8=，则A B 等于（ ）A ．{}5,8B ．{}3,,6C ．{}4,7D ．{}3,5,6,8（2）（2020·安徽省庐江金牛中学）已知集合{}|12M x x =-<<，{}|13N x x =≤≤，则M N =（ ）A ．(]1,3-B ．(]1,2-C ．[)1,2D ．(]2,3 【答案】（1）A （2）C【解析】（1）集合A {}3,5,6,8=，集合B {}4,5,7,8=，又集合A 与集合B 中的公共元素为5,8，{}5,8A B ∴⋂=，故选A.（2）集合{}|12M x x =-<<，{}|13N x x =≤≤∴{}[)|121,2M N x x ⋂=≤<=.故选：C.【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则AB =（ ）A ．3(3,)2-- B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)2【答案】D【解析】集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭,故选D.2（2020·浙江省兰溪市第三中学高三开学考试）已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则A B =（ ）A ．[2,3]B ．(1,5)C ．{}2,3D ．{2,3,4}【答案】C 【解析】2560(2)(3)023x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤，{}23A x x ∴=≤≤，又{}{|15}2,3,4B x Z x =∈<<=，所以{}2,3A B ⋂=，故本题选C.3．（2020·湖南怀化高二期末）设集合{}2|340A x Z x x =∈--≤，{}|21B x x =-<，则AB =（ ）A ．{1,0,1,2}-B ．[1,2)-C ．{1,0,1}-D ．[1,2]-【答案】A【解析】由题意得，{}{}{}2|340|141,0,1,2,3,4A x Z x x x Z x =∈--≤=∈-≤≤=-，{}{}|21|3B x x x x =-<=<，则{}{}{}1,0,1,2,3,4|31,0,1,2A B x x =-<=-，故选：A ．考法二 并集【例2】（2020·甘肃城关.兰大附中高三月考（理））若集合{}22A x x =-<≤，{}13B x x =-≤<，则A B =（ ）A ．[)2,3-B ．(]1,2-C ．(]2,2-D ．()2,3-【答案】D【解析】因为{}22A x x =-<≤，{}13B x x =-≤<，所以AB =()2,3-.故选：D .【一隅三反】1．（2020·贵州南明贵阳一中高三其他（理））已知集合{22}A x x =-<<∣，若A B A ⋃=，则B 可能是（ ）A ．{}1,1-B ．{}2,3C ．[)1,3-D ．[]2,1--【答案】A【解析】因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，四个选项中只有{}1,1-是集合A 的子集. 故选：A2（2020·上海高一课时练习）满足条件{}{}1,31,3,5A ⋃=的所有集合A 的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】因为{}{}1,31,3,5A ⋃=，所以，集合A 可能为{}{}{}{}5,1,5,5,3,1,3,5， 即所有集合A 的个数是4，故选D.3．（2019·浙江高一期中）已知集合2{|1}P x x ==， 2{|0}Q x x x =-=，那么PQ =( )A ．{1,1}-B ．{1}C ．{1,0,1}-D ．{0,1}【答案】C【解析】因为2{|1}{1,1}===-P x x ，2{|0}{0,1}=-==Q x x x ， 所以{}1,0,1P Q ⋃=-，故选：C考法三 补集与全集【例3】（2020·上海高一课时练习）已知全集U={1,3,5,7,9},集合A={1,|a -5|,9}, ∁U A={5,7},则a 的值是( ) A ．2 B ．8C ．-2或8D ．2或8【答案】D【解析】由由已知得5382a a -=⇒=或；故选D【一隅三反】1．（2020·全国高一）设集合{}0,1,2,3U =，集合{}2|0A x U x mx =∈+=，若{}1,2U C A =，则实数m =_____. 【答案】-3【解析】因为集合{}0,1,2,3U =， {}1,2U C A =，A={0,3}，故m= -3.2．（2020·全国高一专题练习）已知全集{}{}2{2,3,23},1,2,3U U a a A a C A a =+-=+=+,则a 的值为__________ 【答案】2【解析】由补集概念及集合中元素互异性知a 应满足()()()()22222233(1)323|1|23(2)|1|3232(3)232233(4)2123433a a a a a a a a A a a B a a a a a a ⎧+=+=+-⎪+=+-⎧⎪⎪⎨+=⎪⎨+-≠⎪⎪+-≠⎪⎪+-≠+-≠⎩⎩或 分两种情况进行讨论：在A 中，由（1）得a=0依次代入（2）、（3）、（4）检验，不合②，故舍去．在B 中，由（1）得a=－3,a=2，分别代入（2、（3）、（4）检验，a=－3不合②，故舍去，a=2能满足②③④，故a=2符合题意．答案为：23．（2019·上海虹口.上外附中高一期中）设全集{}22,3,3U a a =+-，集合{},3A a =，{}2U C A =，则a =___________. 【解析】由{}2U C A =,{}22,3,3U a a =+-可知{}23,3A a a =+-,即{}{}23,3,3a a a +-=.故232,3a a aa ⎧+-=⎪⎨≠⎪⎩ .当0a ≥时,23a a a a +-=⇒=当0a <时,23a a a +-=-即 ()()2230130a a a a +-=⇒-+=,故3a =-.不满足2,3a ≠.故a =考法四 集合运算综合运用【例4】（2020·全国高一课时练习）已知集合{}3|0|31x M x N x x x +⎧⎫=<=≤-⎨⎬-⎩⎭，，则集合 {}|1x x ≥＝（ ） A ．M N ⋂ B ．M N ⋃C ．()RM N ⋂D ．()RM N ⋃【答案】D 【解析】3x +<，解之得，31x -<<，则(,1)M N ⋃=-∞.故选：D. 【一隅三反】1．（2019·浙江高三月考）已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{1|1}B xx =->‖，则()R C A B ⋂=（ ） A ．[1,0)(2,3]-B ．(2,3]C ．(,0)(2,)-∞+∞D ．(1,0)(2,3)-【答案】A【解析】因为集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{1|1}B xx =->‖， 所以{|3A x x =>或1}x <-，{|2B x x =>或0}x <，所以{|13}R C A x x =-≤≤，所以()R C A B ⋂={|23x x <≤或10}x -≤<，故选A .2．（2020·浙江高三月考）已知全集{}1,0,1,2,3,4U =-，集合{}|1,=≤∈A x x x N ，{}1,3B =，则()UB A =（ ）A ．{}4B ．{}2,4C ．{}1,2,4-D ．{}1,0,2,4-【答案】C【解析】因为{}|1,=≤∈A x x x N ，{}1,3B =，所以{}0,1,3A B =，则(){}1,2,4UA B =-. 故选：C.3．（2019·浙江高三月考）已知全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}0,1,3,5A =，{}2,3,6B =，则()UA B ⋃=（ ） A ．{}3 B ．{}0,1,3,4 C ．{}0,1,3,4,5 D ．{}0,1,2,3,5,6【答案】C 【解析】全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,6B =，则{}0,1,4,5UB =，又集合{}0,1,3,5A =，因此，(){}0,1,3,4,5UA B =.故选：C.考法五 求参数【例5】2．（2020·黑龙江萨尔图.大庆实验中学高二月考（理））已知集合{}2|3210A x x x =--≤，{}|23B x a x a =<<+，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ）A ．101,,32⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．101,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C ．()1,2,6⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．[)1,2,6⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】{}21|321013A x x x x x ⎧⎫=--≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，当B =∅时，32a a +≤，解得3a ≥，符合题意；当B ≠∅时，2123a a a ≥⎧⎨<+⎩ 或13323a a a ⎧+≤-⎪⎨⎪<+⎩，解得132a ≤<或103a ≤-，综上所述，实数a 的取值范围是101,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故选：B【一隅三反】1．（2020·安徽金安六安一中高一期末（理））若不等式组2142x a x a ⎧->⎨-<⎩的解集非空，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,3-B ．(,1)(3,)-∞-+∞C ．()3,1-D ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞【答案】A【解析】由题意2124x a x a ⎧>+⎨<+⎩，∴2124a a +<+，即2230a a --<，解得13a -<<．故选：A ．2（2020·湖北高一期末）设全集U =R ，已知集合{3A x x =<或}9x ≥，集合{}B x x a =≥.若()U C A B ≠∅，则a 的取值范围为（ ）A ．3a >B ．3a ≤C ．9a <D ．9a ≤【答案】C【解析】∵{3A x x =<或}9x ≥，∴{}9|3U C A x x =≤<，若()U C A B ≠∅，则9a <，故选：C ．3．（2020·浙江高一课时练习）设集合{}2320A x x x =-+=，(){}222150B x x a x a =+++-=．（1）若{}2A B ⋂=，求实数a 的值； （2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围； （3）若全集U =R ，()UAB A =，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1-或3-（2）{}3a a ≤-（3）{1,3,11a a a a a ≠-≠-≠-≠-- 【解析】（1）由2320x x -+=得{}1,2A =，因为{}2A B ⋂=，所以2B ∈， 所以()244150a a +++-=，整理得2430a a ++=，解得1a =-或3-．当1a =-时，{}{}2402,2B x x =-==-，满足{}2A B ⋂=；当3a =-时，{}{}24402B x xx =-+==，满足{}2A B ⋂=；故a 的值为1-或3-．（2）由题意，知{}1,2A =． 由A B A ⋃=，得B A ⊆．当集合B =∅时，关于x 的方程()222150x a x a +++-=没有实数根，所以()()2241450a a ∆=+--<，即30a +<，解得3a <-．当集合B ≠∅时，若集合B 中只有一个元素，则()()2241450a a ∆=+--=，整理得30a +=，解得3a =-，此时{}{}24402B x x x =-+==，符合题意；若集合B 中有两个元素，则{}1,2B =，所以22220430a a a a ⎧+-=⎨++=⎩，无解．综上，可知实数a 的取值范围为{}3a a ≤-． （3）由()UAB A =，可知A B =∅，所以()()221215044150a a a a ⎧+++-≠⎪⎨+++-≠⎪⎩，所以1113a a a a ⎧≠-≠-⎪⎨≠-≠-⎪⎩且 综上，实数a的取值范围为{1,3,11a a a a a ≠-≠-≠-≠-．故得解.。
2024年新高一数学初升高衔接《集合的基本运算》含答案解析
第03讲集合的基本运算，并能够运用这些语言解决集合运算知识点1并集1、并集的概念自然语言一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，读作“A 并B ”符号语言A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }图形语言2、并集的运算性质性质定义A B B A = 满足交换律A A A = 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身A A A∅=∅= 任何集合与空集的并集等于这个集合本身()()A B C A B C = 多个集合的并集满足结合律()A A B ⊆ ,()B A B ⊆ 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集A B ⊆⇔A B B= 任何集合与它子集的并集都是它本身，反之亦然知识点2交集1、交集的概念自然语言由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集，记作A ∩B ，读作“A 交B ”符号语言A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }图形语言2、交集的运算性质性质定义A B B A = 满足交换律A ∅=∅ 空集与任何集合的交集都是空集A A A= 集合与集合本身的交集仍为集合本身()()A B C A B C = 多个集合的交集满足结合律()()()A B C A C B C = 多个集合的综合运算满足分配律()()()A B C A C B C = 若A B A = ，则A B⊆交集关系与子集关系的转化()(),A B A A B B⊆⊆ 两个集合的交集是其中任一集合的子集知识点3全集与补集1、全集的概念自然语言一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U .符号语言若,,,A U B U C U ⊆⊆⊆ ，则U 为全集.图形语言2、补集的概念自然语言若集合A 是全集U 的一个子集，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作U A ð.符号语言{}U A x x U x A =∈∉且ð图形语言3、补集的运算性质性质定义()U A A U= ð任何集合与其补集的并集为全集()U A A =∅ ð任何集合与其补集的交集为空集()UUA A=痧任何集合补集的补集为集合本身,U U U U=∅∅=痧全集的补集为空集，空集的补集为全集知识点4德摩根律与容斥原理1、德摩根定律：设集合U 为全集，A 、B 为U 的子集，则有（1）()()()U U U A B A B = 痧（2）()()()U U U A B A B = 痧2、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn 图表示两集合的交、并、补。
高一数学复习考点题型专题讲解3 集合的基本运算
高一数学复习考点题型专题讲解第3讲 集合的基本运算一、单选题1．已知集合{}1,0,1A =-，{}1,1,3B =-，则A B ⋃=（） A ．{}1,0,1,3-B ．{}1,1-C ．{}1,0,3-D ．{}1【答案】A【解析】【分析】直接由并集的概念求解即可.A B ⋃={}1,0,1,3-.故选：A.2．已知全集{}1,2,3,4U =，若{}1,4A =，则U A =ð（）A ．{}2,4B ．{}1,4C ．{}2,3D ．{}2,4【答案】C【解析】【分析】根据补集的概念即可求得答案.由题意得全集{}1,2,3,4U =，若{}1,4A =，则{2,3}U A =ð，故选:C3．设集合{}1,2A =，{}1,2,3B =，{}2,3,4C =，则()A B C =I U （ ）A ．{}1,2,3B ．{}1,2,4C ．{}2,3,4D ．{}1,2,3,4【答案】D【解析】【分析】利用交集和补集的定义可求得结果.由已知可得{}1,2A B =，(){}1,2,3,4A B C =.故选：D.4．如图，已知全集U =R ，集合{}1,2,3,4,5A =，{}(1)(2)0B x x x =+-≤，则图中阴影部分表示的集合的子集．．个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】D【解析】【分析】先求得图中阴影部分表示的集合，再利用该集合中元素个数即可该集合的子集．．个数 {}{}(1)(2)012B x x x x x =+-≤=-≤≤，则{U R 1B B x x ==<-痧或}2x >图中阴影部分表示的集合为{}U ()1,2,3,4,5A B ⋂=⋂ð{1x x <-或}{}23,4,5x >=集合{}3,4,5的子集有328=（个）则图中阴影部分表示的集合的子集个数为8故选：D5．已知集合{}{03},14A x x B x x =<<=≤≤，则A B =（ ）A ．{13}x x ≤<B ．{04}x x <≤C ．{04}x x <<D ．{13}x x <<【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集运算即可得答案.因为{}|03A x x =<<，{}|14B x x =≤≤所以{}|13A B x x ⋂=≤<故选：A.6．下列命题：①若A B U ⋂=，则A B U ==；②若A B =∅，则A B ==∅；③若A B =∅，则A B U =；④若A B =∅，则A B ==∅；⑤若A B U ⋃=，则A B =∅；⑥若A B U ⋃=，则A B U ==.其中不正确的命题为（ ）A ．没有B ．④和⑥C．②和⑤D．①和③【答案】B【解析】根据集合间运算的定义直接判断即可.根据集合间的运算结果可直接判断①②③⑤正确；④A B =∅，则集合A 与B 是两集合无公共元素，不一定为空集，故错误；⑥A B U ⋃=，集合A 与B 不一定都为U ，故错误；故选：B.7．已知U 为全集，集合M ，N 是U 的子集．若M ∩N ＝N ，则（） A ．( ðUM )⊇( ðUN )B ．M ⊆( ðUN )C ．( ðUM )⊆( ðUN )D ．M ⊇( ðUN )【答案】C【解析】【分析】由M ∩N ＝N ，可得N ⊆M ，从而可进行判断∵M ∩N ＝N ，∴N ⊆M ，∴(ðUM )⊆( ðUN )．故选：C8．如图，U 是全集，,,M P S 是U 的子集，则阴影部分表示的集合是（）A ．()M P SB ．()M P SC ．()U M P S ⋂⋂ðD ．()U M P S ⋂⋃ð【答案】C【分析】利用阴影部分所属的集合写出阴影部分所表示的集合．解：由图知，阴影部分在集合M 中，在集合P 中，但不在集合S 中，故阴影部分所表示的集合是()U M P S ⋂⋂ð.故选：C.9．若集合{}1,3,A x =，{}21,B x =，且{}1,3,A B x =，则满足条件的实数x 的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】根据并运算结果，可得23x =或2x x =，结合集合的性质，即可求得x ，从而进行选择.因为集合{}1,3,A x =，{}21,B x =，且{}1,3,A B x =，故可得23x =或2x x =，解得x =0x =或1x =，当1x =时，集合,A B 不满足互异性，故舍去；当x =0x =时，满足题意.故满足条件的x 的个数有3个.故选：C.10．设{1S x x =<-或}5x >，{}8T x a x a =<<+，若S T R ⋃=，则实数a 应满足（ ）A ．31a -<<-B ．31a -≤≤-C ．3a ≤-或1a >-D ．3a <-或1a >-【答案】A【解析】【分析】利用集合的并运算结果，借助数轴列不等式组即可求解.如图，由数轴可得185a a <-⎧⎨+>⎩，解得31a -<<-.故选：A.11．已知(){},1A x y y x ==+，(){}2,B x y y x ==，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】C【解析】根据集合A 和B 表示的含义,联立方程化简,判断出交点个数,即为A B 的子集个数. (){},1A x y y x ==+，A 表示函数1y x =+图象上的点集， (){}2,B x y y x ==，B 表示函数2y x =图象上的点集， A B 中的元素为1y x =+和2y x =图象的交点，联立21y x y x=+⎧⎨=⎩得到210x x --=，1450∆=+=>，所以有2个交点， 所以A B 的元素个数为2，其子集个数为224=个，故选:C.【点睛】本题考查集合的运算以及集合的子集个数问题,考查描述法的应用,考查逻辑推理能力,属于中档题.12．设集合,S T 中至少两个元素，且,S T 满足：①对任意,x y S ∈，若x y ≠，则x y T +∈ ，②对任意,x y T ∈，若x y ≠，则x y S -∈，下列说法正确的是（ ）A ．若S 有2个元素，则S T 有3个元素B ．若S 有2个元素，则S T 有4个元素C ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有5个元素D ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有4个元素【答案】A【解析】不妨设{,}S a b =，由②知集合S 中的两个元素必为相反数，设{,}S a a =-，由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素m T ∈，分集合T 有2个元素和多于2个元素分类讨论，即可求解.若S 有2个元素，不妨设{,}S a b =，以为T 中至少有两个元素，不妨设{},x y T ⊆，由②知,x y S y x S -∈-∈，因此集合S 中的两个元素必为相反数，故可设{,}S a a =-， 由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，故至少还有另外一个元素m T ∈， 当集合T 有2个元素时，由②得：m S -∈，则,{0,}m a T a =±=-或{0,}T a =.当集合T 有多于2个元素时，不妨设{0,,}T m n =，其中,,,,,m n m n m n n m S ----∈，由于,0,0m n m n ≠≠≠，所以,m m n n ≠-≠-，若m n =-，则n m =-，但此时2,2m n m m m n n n -=≠-=-≠，即集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，若m n ≠-，则集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，这都与集合S 中只有2个运算矛盾，综上，{0,,}S T a a =-，故A 正确；当集合S 有3个元素，不妨设{,,}S a b c =，其中a b c <<，则{,,}a b b c c a T +++⊆，所以,,,,,c a c b b a a c b c a b S ------∈，集合S 中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合S 中至少4个元素，与{,,}S a b c =矛盾，排除C ，D.故选：A.【点睛】解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.二、多选题13．已知集合A ，B 均为R 的子集，若A B =∅，则（ ）A ．R AB ⊆ðB ．R A B ⊆ðC ．A B R =D ．()()R R A B R ⋃=痧【答案】AD【解析】【分析】根据集合图逐一判断即可得到答案如图所示根据图像可得R A B ⊆ð,故A 正确；由于R B A ⊆ð ，故B 错误；A B R ⊆ ,故C 错误()()()R R R A B A B R ⋃=⋂=痧?故选：AD14．集合{}{}2|10,|320A x ax B x x x =-==-+=，且A B B ⋃=，实数a 的值为 （） A ．0B ．1C ．12D ．2【答案】ABC【解析】【分析】由题设{1,2}B =且A B ⊆，讨论A 是否为空集求对应的参数值即可. 由题设{1,2}B =，又A B B ⋃=，故A B ⊆，当A =∅时，0a =；当A ≠∅时，1或2为10ax -=的解，则1a =或12a =.综上，0a =或1a =或12a =.故选：ABC15．已知{}1|3M x x =-<<，{}24|N x x =<<，则下列正确的是（）A ．{}|23M N x x =<<B ．{}|14M N x x ⋃=-<<C ．{R |1M x x =<-ð或x >3}D ．{R |1M x x =≤-ð或}3x ≥【答案】ABD【解析】【分析】利用交集、并集及补集的定义运算即得.∵{}1|3M x x =-<<，{}24|N x x =<<，∴{}{}{R |23,|14,|1M N x x M N x x M x x ⋂=<<⋃=-<<=≤-ð或}3x ≥， 故选：ABD.16．如图所示的阴影部分表示的集合是（ ）A ．()M N P ⋂⋂B ．()C ()U M N P ⋂⋂C ．[]C ()U P M N ⋂⋃D ．()()C C U U P M N ⋂⋂【答案】CD【解析】【分析】把ABCD 四个选项一一进行分析判断A 选项表示的是图1的部分，不合题意，B 选项表示的是图2的部分，不合题意CD 选项表示的是题干中的阴影部分故选：CD17．已知全集R I =，集合{}220A x x x a =++=≠∅，{}0B =≤，则A B 中所有元素的和可以是（ ）A ．2-B ．2C ．2020D ．2019【答案】ACD【解析】【分析】求得{}2021B =，再分别讨论A 中有两个相等的实数根，A 中有两个不相等的实数根且B A ⊆，A 中有两个不相等的实数根12,x x ，且B 不是A 的子集，三种情况即可求解.由题意可知0≤0≥0=，可得：2021x =，即{}2021B =，（1）若A 中有两个相等的实数根，则440a ∆=-=，可得1a =， 此时{}{}22101A x x x =++==-，可得{}1,2021A B ⋃=-，所有元素之和为2020；（2）若A 中有两个不相等的实数根，且{}2021B A =⊆，则{}2023,2021A =-，则{}2023,2021A B A ==-，由韦达定理可知，所有元素之和为2-；（3）若A 中有两个不相等的实数根12,x x ，且B 不是A 的子集，则由韦达定理可知122x x +=-，所以{}12,,2021A B x x =，所有元素之和为2019.所以A B 中所有元素的和可以是：2020或2019或2-.故选：ACD.18．已知M 为给定的非空集合，集合12{,,,}n T T T T =，其中i T ≠∅，i T ⊆M ，且12n T T T M =，则称集合T 是集合M 的覆盖；如果除以上条件外，另有i j T T =∅，其中1,2,3,,i =n ，1,2,3,,j n =，且i j ≠，则称集合T 是集合M 的划分.对于集合{,,}A a b c =，下列命题错误的是（ ）A ．集合{{,},{,}}S a b b c =是集合A 的覆盖B ．集合{{}{,},{,}}Q a a b a c =,是集合A 的划分 C ．集合{{},{},{}}E a b c =不是集合A 的划分D ．集合{{},{,}}F a a c =既不是集合A 的覆盖，也不是集合A 的划分【答案】BC【解析】【分析】根据集合新定义以及集合的交、并运算，逐一判断即可.对于A ，集合{{,},{,}}S a b b c =满足{,}a b ⊆A ，{,}b c ⊆A ，且{,}a b {,}b c =A ，故集合S 是集合A 的覆盖，选项A 正确；对于B ，集合{{}{,},{,}}Q a a b a c =,中，{,}a b ∩{,}a c ≠∅， 不满足题目定义中“i j T T =∅”，故集合{{}{,},{,}}Q a a b a c =,不是集合A 的划分，选项B 错误； 对于C ，集合{{},{},{}}E a b c =是集合A 的划分，因为{}a ⊆A ，{}b ⊆A ，{}c ⊆A ，且{}a {}b {}c =A ，{}a ∩{}b =∅，{}b ∩{}c =∅，{}a ∩{}c =∅，满足定义中的所有要求，选项C 错误；对于D ，集合{{},{,}}F a a c =中，{}{,}a a c A ≠，{}{,}a a c ≠∅，故集合{{},{,}}F a a c =既不是集合A 的覆盖，也不是集合A 的划分，选项D 正确. 故选：BC.三、填空题19．集合A ＝{x |x ＜a }，B ＝{x |1≤x ≤3}，且()A B =R R U ð，则实数a 的取值范围为 _______．【答案】（3，+∞）【解析】【分析】根据并集，补集的定义和运算法则进行计算．解：∵集合A ＝{x |x ＜a }，B ＝{x |1≤x ≤3}，∴R B ð＝{x |x ＜1或x ＞3}，因为()A B =R R U ð，所以a ＞3，故答案为：（3，+∞）．20．某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座，则听讲座人数为__________．【答案】172【解析】【分析】画出韦恩图求解即可.687561(17129)6++-+++204386=-+，172=（人)．故答案为：17221．设集合{23},{}A x x B x x a =-<<=>，若R A B ⋂=∅ð，则实数a 的取值范围为____．【答案】2a ≤-【解析】【分析】先求出R B ð，则R A B ⋂=∅ð，{23}A x x =-<<，由分析即可求出a 的取值范围. R B ð{}x x a =≤，又因为R A B ⋂=∅ð，{23}A x x =-<<，所以2a ≤-．故答案为：2a ≤-.22．设整数集{}1234,,,A a a a a =，{}222124,,B a a a =，且1234a a a a <<<，若{}23,A B a a ⋂=，满足130a a +=，A B 的所有元素之和为90，求34a a +=________；【答案】10【解析】【分析】根据130a a +=可得2213a a =，结合已知条件可得20a ≥，然后分情况讨论，20a >和20a =时，利用集合元素的互异性和确定性即可求解.由130a a +=可得13a a =-，所以2213a a =，因为{}23,A B a a ⋂=，所以20a ≥，若20a >，因为2a Z ∈，所以21a ≥，所以222a a ≤，233a a <，244a a <，故{}2423,a a a ∉所以{}{}221223,,a a a a =， 若212223a a a a ⎧=⎨=⎩则()424432133a a a a a ===-=，可得30a =或31a = 与321a a >≥矛盾，所以此时不成立，若20a =，则4320a a a >>=，所以244a a >，所以{}2423,a a a ∉，所以{}{}221223,,a a a a =即{}{}213,00,a a =显然23231a a a ==，可得30a =或31a =，因为30a =与32a a >矛盾，所以31a =，11a =-，此时{}41,0,1,A a =-，{}241,0,B a =，所以{}4241,0,,1,A B a a ⋃=-， 由题意知：44290a a +=，即()()441090a a +-=，解得49a =或410a =-（舍）综上所述：31a =，49a =，所以3410a a +=，故答案为：10.四、解答题23．已知集合{1,0,1},{0,2},{1,0,1,2,3}A B U =-==-．(1)求A B ；(2)求()U A B ⋂ð．【答案】(1){1,0,1,2}A B =-(2)(){1,1,2,3}U A B =-ð【解析】【分析】（1）根据并集的定义计算可得；（2）根据交集、补集的定义计算可得；(1)解：因为{1,0,1}A =-，{0,2}B =，所以{1,0,1,2}A B =-．(2)解：因为{}1,0,1,2,3U =-，{1,0,1}A =-，{0,2}B =，所以{0}A B =，所以(){1,1,2,3}U A B =-ð．24．设集合{}4U x x =≤，{}12A x x =-<≤，{}13B x x =≤≤.求：(1)A B ；(2)()U A B ð；(3)()()U U A B ⋂痧.【答案】(1){}12x x ≤≤； (2){1x x ≤-或}14x ≤≤； (3){1x x ≤-或}34x <≤.【解析】【分析】(1)(2)(3)根据集合交并补计算方法计算即可. (1){}12A B x x ⋂=≤≤；(2)U A =ð{x |1x ≤-或24x <≤}，()U A B ∴⋃=ð{x |1x ≤-或14x ≤≤}；(3)U A =ð{x |1x ≤-或24x <≤}，U B =ð{x |x ＜1或3＜x ≤4}，()()U U A B ∴I 痧={x |1x ≤-或34x <≤}.25．已知集合{}|114A x x =≤-<，{}|23B x x =-<≤，{}|2121C x a x a =-<<+.(1)若C A ⊆，求实数a 的取值范围；(2)若()A B C Í，求实数a 的取值范围.【答案】(1)3,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ (2)31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据子集之间的关系列出不等式即可求解.（2）将()AB C ⊆转化成子集关系即可求解.(1)因为{}|114A x x =≤-<，所以{}|25A x x =≤<.因为C A ⊆，且C ≠∅ 所以2,215,3212,2a a a a ≤⎧+≤⎧⎪⇒⎨⎨-≥≥⎩⎪⎩ 解得322a ≤≤. 3,22a ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦； (2)因为{}|23A B x x =≤≤，()AB C ⊆，所以212,213,a a -<⎧⎨+>⎩ 解得312a <<.故a 的取值范围为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.26．已知全集U R =，集合{|A x =213x -<，123}3x x -≤-，{|13}B x x =-≤≤.(1)求A ，A B ⋃，U B ð(2)如图①，阴影部分表示集合M ，求M .(3)如图②，阴影部分表示集合N ，求N .【答案】(1)3{|2}2A x x =≤<，{|13}A B x x ⋃=-≤≤，U B ð{|1x x =<-或3}x >； (2)3{|12M x x =-≤<或23}x ≤≤；(3){|1M x x =<-或3}x >.【解析】【分析】（1）求解不等式组解得集合A ，再根据集合的并运算和补运算即可求得结果；（2）根据阴影部分可知M =()B A B ⋂ð，根据已知集合求解即可；（3）根据阴影部分可知M =()U A B ð，根据已知集合求解即可.(1){|A x =213x -<，1323}{|2}32x x x x -≤-=≤<， {|13}A B x x ⋃=-≤≤，U B ð{|1x x =<-或3}x >. (2) 因为3{|2}2A B x x ⋂=≤<根据题意可得M =()B A B ⋂ð3{|12x x =-≤<或23}x ≤≤.(3)因为{|13}A B x x ⋃=-≤≤，根据题意可得M =()U A B ð{|1x x =<-或3}x >.27．已知集合11{|}A x a x a =-≤≤+，5|03x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭． (1)若3a =-，求A B ； (2)在①A B =∅，②()R B A R ⋃=ð，③A B B ⋃=，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1){|45}A B x x ⋃=-≤≤(2)答案见解析【解析】【分析】（1）分别求出集合A 和集合B ，求并集即可；（2）选①，根据集合A 和集合B 的位置在数轴上确定端点的关系，列出不等式组即可求解，选②，先求出R A ð，再根据条件在数轴确定端点位置关系列出不等式组即可求解， 选③，得到A B ⊆，根据数轴端点位置关系列出不等式组即可求解.(1)因为3a =-，所以{|42}A x x =-≤≤-，又因为{|35}B x x =-<≤，所以{|45}A B x x ⋃=-≤≤．(2)若选①A B =∅：则满足15a ->或13a +≤-， 所以a 的取值范围为{|4a a ≤-或6}a >． 若选②()R B A R ⋃=ð：所以{|1R A x x a =<-ð或1}x a >+， 则满足1315a a ->-⎧⎨+≤⎩，所以a 的取值范围为{|24}a a -<≤．若选③A B B ⋃=： 由题意得A B ⊆，则满足1315a a ->-⎧⎨+≤⎩所以a 的取值范围为{|24}a a -<≤28．设22{|190}A x x ax a =-+-=，2{|560}B x x x =-+=，2{|280}C x x x =+-=.（1）若A B A B ⋂=⋃，求实数a 的值；（2）若∅()A B ⋂且A C ⋂=∅，求实数a 的值；（3）若A B A C ⋂=⋂≠∅，实数a 的值.【答案】（1）5a =；（2）2a =-；（3）3a =-.【解析】试题分析：（1）从A B A B ⋂=⋃，得A B =，从而知2,3是方程22190x ax a -+-=的两个根，由根与系数的关系得实数a 的值；（2）从∅()A B ⋂且A C ⋂=∅，得3A ∈，进而得实数a 的值，但需检验；（3）从A B A C ⋂=⋂≠∅，确定2A ∈，进而得实数a 的值，但也需检验.试题解析：由题可得{}{}2,3,4,2B C ==-（1）A B A B A B ⋂=⋃⇒= ∴2,3是方程22190x ax a -+-=的两个根即223{52319aa a +=⇒=⨯=-.（2）∅()A B ⋂且A C ⋂=∅，∴3A ∈，即293?190a a -+-=23100a a ⇒--=5a ⇒=或2a =-，此时还需检验当5a =时，有{}2,3A =，则{}2A C ⋂=≠∅，5a ∴=（舍去）当2a =-时，有{}5,3A =-，则∅{}()3A B ⋂=且A C ⋂=∅,2a ∴=-符合题意，即2a =-.（3）A B A C ⋂=⋂≠∅，2A ∴∈，即2242?190?2150?5a a a a a -+-=⇒--=⇒=或3a =-，当5a =时，有{}2,3A =，则{}{}2,32A B A C ⋂=≠⋂=，5a ∴=（舍去），当3a =-时，有{}2,5A =-，则{}2A B A C ⋂==⋂，3a ∴=-符合题意，3a ∴=-. 考点：一元二次方程的解法及其集合的运算和之间的关系.29．已知集合A 为非空数集，定义：{},,S x x a b a b A ==+∈，{},,T x x a b a b A ==-∈（1）若集合{}1,3A =，直接写出集合S ，T .（2）若集合{}1234,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且T A =，求证：1423x x x x +=+（3）若集合{}02020,A x x x N ⊆≤≤∈，S ，S T ⋂=∅，记A 为集合A 中元素的个数，求A 的最大值.【答案】（1）{}2,4,6S =，{}0,2T =；（2）证明见解析；（3）1347.【解析】（1）根据题目定义，直接计算集合S 及T ；（2）根据两集合相等即可找到1x ，2x ，3x ，4x 的关系；（3）通过假设A 集合{m ，1m +，2m +，⋯，2020}，2020m …，m N ∈，求出相应的S 及T ，通过S T ⋂=∅建立不等关系求出相应的值．（1）根据题意，由{}1,3A =，则{}2,4,6S =，{}0,2T =；（2）由于集合{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且T A =，所以T 中也只包含四个元素，即{}2131410,,,T x x x x x x =---，剩下的324321x x x x x x -=-=-，所以1423x x x x +=+；（3）设{}12,,k A a a a =⋅⋅⋅满足题意，其中12k a a a <<⋅⋅⋅<，则11213223122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<⋅⋅⋅<+<+<+<⋅⋅⋅<+<，21S k ∴≥-，1121311k a a a a a a a a -<-<-<⋅⋅⋅<-，T k ∴≥，S T ⋂=∅，31S T S T k ⋃=+≥-，S T 中最小的元素为0，最大的元素为2k a ，21k S T a ∴⋃≤+，()*31214041k k a k N ∴-≤+≤∈，1347k ≤，实际上当{}674,675,676,,2020A =⋅⋅⋅时满足题意，证明如下：设{},1,2,,2020A m m m =++⋅⋅⋅，m N ∈，则{}2,21,22,,4040S m m m =++⋅⋅⋅，{}0,1,2,,2020T m =⋅⋅⋅-，依题意有20202m m -<，即16733m >，故m 的最小值为674，于是当674m =时，A 中元素最多，即{}674,675,676,,2020A =⋅⋅⋅时满足题意，综上所述，集合A 中元素的个数的最大值是1347.【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
第八讲 集合的基本运算(精讲)(解析版)
2023年初高中衔接素养提升专题讲义第八讲集合的基本运算（精讲）（解析版）【知识点透析】一、交集1、文字语言：对于两个给定的集合A ，B ，由属于A 又属于B 的所有元素构成的集合，叫做A ，B 的交集，记作A ∩B ，读作“A 交B ”2、符号语言：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }3、图形语言：阴影部分为A ∩B4、性质：A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅∩A ＝∅，如果A ⊆B ，则A ∩B ＝A5、解题思路：单个数字交集找相同，不等式的交集画数轴，不同集合高度画不同。
二、并集1、文字语言：对于两个给定的集合A ，B ，由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A ∪B ，读作“A 并B ”2、符号语言：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }3、符号语言：阴影部分为A ∪B4、性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝∅∪A ＝A ，如果A ⊆B ，则A ∪B ＝B .5、解题思路：两个集合所有元素集中在一起，但是重复元素只写一次，要满足集合中的互异性三、补集1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U .2、补集（1）文字语言：如果给定集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记作A C U .（2）符号语言：}|{A x U x x A C U ∉∈=且（3）符号语言：（4）性质：A ∪∁U A ＝U ；A ∩∁U A ＝∅；∁U (∁U A )＝A .【注意】并不是所有的全集都是用字母U 表示，也不是都是R，要看题目的。
四、利用交并补求参数范围的解题思路1、根据并集求参数范围：=⇒⊆ A B B A B ，若A 有参数，则需要讨论A 是否为空集；若B 有参数，则≠∅B 2、根据交集求参数范围：=⇒⊆ A B A A B 若A 有参数，则需要讨论A 是否为空集；若B 有参数，则≠∅B 【知识点精讲】题型一并集、交集、补集的运算【例题1】（2022·浙江·杭十四中高一期中）设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}{}1,3,5,2,3,4,5S T ==，则S T ⋃=（）A ．{}3,5B ．{}2,4C ．{}1,2,3,4,5D ．{}1,2,3,4,5,6【答案】C【分析】根据并集的定义直接求解即可.【详解】因为{}{}1,3,5,2,3,4,5S T ==，所以S T ⋃={}1,2,3,4,5，故选：C【例题2】（2021春•山西大同期中）设集合{|1}A x x =<，{|22}B x x =-<<，则(A B = )A ．{|21}x x -<<B ．{|2}x x <C ．{|22}x x -<<D ．{|1}x x <【答案】B【解析】{|1}A x x =< ，{|22}B x x =-<<，{|2}A B x x ∴=< ．故选B．【例题3】．（2022·江苏·高二期末）已知集合{}1,2A =，{}21,2B a a =-+，若{}1A B ⋂=，则实数a 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】因为{}1A B ⋂=，所以11a -=或221a +=，解得：2a =．故选：C．【例题4】．（2022·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））已知集合{}21A x x =-<≤，{}0B x x a =<≤，若{|23}A B x x =-<≤ ，A B = （）【例题5】．（2021·北京昌平区·高二期末）已知全集，集合，{3,4}B =，则()U A B = ð___________.【答案】．{}3,4,5【解析】解：{0U = ，1，2，3，4，5}，{0A =，1，2，3}，{3B =，4}，{4U A ∴=ð，5}，(){3U A B ⋃=ð，4，5}.故答案为：{3，4，5}.【例题6】．（2022·四川南充高一课时检测）已知全集{}16A x x =≤≤，集合{}15B x x =<<，则A B =ð（）．A ．{}5x x ≥B ．{1x x ≤或}5x ≥C ．{1x x =或}56x <≤D ．{1x x =或}56x ≤≤【例题7】．41．（2021·陕西商洛市·镇安中学高一期中）已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-．（1）若4m =，求A B ；（2）若A B =∅ ，求实数m 的取值范围．【答案】．（1）{}27x x -≤≤；（2）{2m m <或}4m >.【解析】（1）当4m =时，{}57B x x =≤≤，故{}27A B x x ⋃=-≤≤；（2）当121m m +>-时，即当2m <时，B =∅，则A B =∅ ；当121m m +≤-时，即当2m ≥时，B ≠∅，因为A B =∅ ，则212m -<-或15m +>，解得12m <-或4m >，此时有4m >.综上所述，实数m 的取值范围是{2m m <或}4m >.【变式1】．（2022·河北邢台高二期末）若集合{}|24M x x =-<≤，{}|46N x x =≤≤，则A ．M N⊆B ．{}4M N = C ．M N⊇D ．{}26|M N x x =-<< 【答案】B【分析】利用集合的交并运算求M N ⋂、M N ⋃，注意,M N 是否存在包含关系，即可得答案.【详解】因为{}|24M x x =-<≤，{}|46N x x =≤≤，所以{}4M N = ，{}|26M N x x =-<≤ ，,M N 相互没有包含关系.故选：B【变式2】．（2022·江苏常州高三开学考试）设集合{}11A x x =-<<，{}220B x x x =-≤，则A B ⋃=（）A ．(]1,2-B ．()1,2-C ．[)0,1D ．(]0,1【变式3】（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知集合{}1,1,2M =-，{}2N x x x =∈=R ，则M N ⋃=（）A ．{}1B ．{}1,0-C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,0,2-【答案】C【解析】{}{}20,1N x x x =∈==R ，{}1,0,1,2M N ∴=- .故选：C.【变式4】．（2022·浙江·三模）已知集合{}{}25,36P x x Q x x =≤<=≤<，则P Q = （）A ．{}25x x ≤<B ．{}26x x ≤<C ．{}35x x ≤<D ．{}36x x ≤<【答案】C【解析】由题意知：P Q = {}35x x ≤<.故选：C.题型二并集、交集、补集综合运算及性质的应用【例题8】．（2022·河南洛阳高一课时检测）已知全集U ，集合{}1,3,5,7,9A =，{}2,4,6,8U C A =，{}1,4,6,8,9U C B =，则集合B =（）A ．{}1,5,7B ．{}3,5,7,9C ．{}2,3,5,7,9D ．{}2,3,5,7【答案】D【分析】根据集合补集的运算法则进行求解.【详解】 集合{}=1,3,5,79A ，，{}2468U C A =，，，{}=1,2,3,4,5,6,7,8,9U ∴又{}=1,4,6,8,9U C B {}=2,3,5,7B 故选：D【例题9】．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）已知集合{}|10A x ax =-=，{}*|14B x x =∈≤<N ，且A B B ⋃=，则实数a 的所有值构成的集合是（）A ．11,2⎧⎫⎨⎬B ．11,23⎧⎫⎨⎬C ．111,,23⎧⎫⎨⎬D ．110,1,,23⎧⎫⎨⎬【例题10】．（湖北省“宜荆荆恩”2022-2023学年高三上学期起点考试）已知集合(,1][2,)A =-∞⋃+∞，{|11}B x a x a =-<<+，若A B =R ，则实数a 的取值范围为（）A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]【答案】D【分析】依题意可得1112a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得即可.【详解】解：因为(,1][2,)A =-∞⋃+∞，{|11}B x a x a =-<<+且A B =R ，所以1112a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得12a ≤≤，即[]1,2a ∈；故选：D【例题11】．（2022·云南昆明一中高一检测）已知A ，B 都是非空集合，(){}&A B x x A B =∈⋃且()x A B ∉ ．若{}02A x x =<<，{}0B x x =≥，则&A B =（）A ．{}0x x ≥B ．{}02x x <<C ．{0x x =或}2x <-D ．{0x x =或}2x ≥【例题12】．（2021·江苏高一专题练习）已知集合{}42A x x =-<<，{}110B x m x m m =--<<->，．（1）若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围；（2）若A B ⋂≠∅，求实数m 的取值范围．【答案】（1）3m ≥；（2）0m >.【解析】：（1）因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，014312m m m m >⎧⎪∴--≤-⇒≥⎨⎪-≥⎩；（2）若A B = ∅，则014m m >⎧⎨-≤-⎩或012m m >⎧⎨--≥⎩，不等式组无解，所以A B ⋂≠∅时，所以0.m >【变式1】（2022·辽宁沈阳高一课前预习）集合{}2320A x x x =-+=，{}2220B x x ax =-+=，若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】．{}44a a -<≤由题意，知{}1,2A =，因为A B A ⋃=，所以B A ⊆.（1）若1B ∈，则1是方程2220x ax -+=的根，所以4a =.当4a =时，{}1B A =⊆，符合题意.（2）若2B ∈，则2是方程2220x ax -+=的根，所以5a =.当5a =时，{}2125202,2B x x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭，此时不满足B A ⊆，所以5a =不符合题意.（3）若B =∅，则2160a ∆=-<，解得44a -<<，此时B A ⊆.综上所述，a 的取值范围为{}44a a -<≤.【变式2】．（2023·浙江高二开学考试）已知R a ∈，设集合{}22210A x x ax a =-+-<，{}2B x x =>，（1）当2a =时，求集合A ．（2）若R A B ⊆ð，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}13A x x =<<；（2）32a ≤．【解析】（1）当2a =时，有2430x x -+<，解得13x <<，故{}13A x x =<<．（2）∵{}2B x x =>，∴{}2R B x x =≤ð，不等式22210x ax a -+-<可以表示成()()1210x x a ---<⎡⎤⎣⎦，当1a <时，{}211A x a x =-<<，此时R A B ⊆ð成立，当1a =时，A =∅，R A B ⊆ð成立，当1a >时，{}121A x x a =<<-，若此时R A B ⊆ð成立，则212a -≤，解得32a ≤，故312a <≤．综上所述，32a ≤．【变式3】．（2022·四川乐山市高一单元测试）已知集合{}211A x a x a =-<<+，{}01B x x =≤≤．(1)在①1a =-，②0a =，③1a =这三个条件中任选一个作为已知条件，求A B ；(2)若R A B A ⋂=ð，求实数a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)(][),11,-∞-⋃+∞【分析】（1）代入a 的值求出集合A ，再求并集可得答案；（2）求出B R ð，根据A B A ⋂=R ð可得A B ⊆R ð，分A =∅、A ≠∅讨论可得答案.（1）选择条件①：因为1a =-，所以()3,0A =-，又[]0,1B =，所以(]3,1A B ⋃=-；选择条件②：因为0a =，所以()1,1A =-，又[]0,1B =，所以(]1,1A B ⋃=-；选择条件③：因为1a =，所以()1,2A =，又[]0,1B =，所以[)0,2A B ⋃=；（2）因为[]0,1B =，所以()(),01,B =-∞⋃+∞R ð，因为A B A ⋂=R ð，所以A B ⊆R ð，当A =∅时，满足R A B ⊆ð，此时211a a -≥+，即2a ≥，当A ≠∅时，则2 10a a <⎧⎨+≤⎩或2211a a <⎧⎨-≥⎩，解得1a ≤-或12a ≤<，综上，a 的取值范围为(][),11,-∞-⋃+∞．题型三Venn 图的应用【例题13】．（2021·贵州省思南中学高三月考（理））已知全集U =R ，集合{}23,A y y x x R ==+∈，{}24B x x =-<<，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．[]2,3-B ．()2,3-C ．(]2,3-D ．[)2,3-【答案】．B【解析】233y x =+≥，所以[)3,A =+∞，图象表示集合为()U A B ⋂ð，()U ,3A =-∞ð，()()U 2,3A B ⋂=-ð.故选：B【例题14】．（2021·全国高三其他模拟）已知全集U x y ⎧=∈=⎨⎩Z ，集合{}13M x x =∈-<Z ，{}4,2,0,1,5N =--，则下列Venn 图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}0,1B ．{}3,1,4-C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,2,3-【答案】．C【解析】{}{}50,565,4,3,2,1,0,1,2,3,4,560x U x x x x ⎧+⎧⎫⎪=∈=∈-≤<=-----⎨⎨⎬->⎩⎭⎪⎩ZZ ，集合{}{}{}313241,0,1,2,3M x x x x =∈-<-<=∈-<<=-Z Z ．因为集合{}4,2,0,1,5N =--，所以{}5,3,1,2,3,4U N =---ð，所以Venn 图中阴影部分表示的集合为(){}1,2,3U M N ⋂=-ð，故选：C．【例题15】．（2021·山东济南·高一期中）国庆期间，高一某班35名学生去电影院观看了《长津湖》、《我和我的父辈》这两部电影中的一部或两部.其中有23人观看了《长津湖》，有20人观看了《我和我的父辈》则同时观看了这两部电影的人数为（）A ．8B ．10C ．12D ．15【答案】A【分析】根据集合的运算可得答案.【详解】解：由已知得同时观看了这两部电影的人数为2320358+-=.故选：A.【变式】．（2021·广东·广州外国语学校高一检测）某公司共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加A 项公益活动的有28人，参加B 项公益活动的有33人，且A ，B 两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加A 项不参加B 项的有（）【例12】．（2021·全国高一单元测试）已知对于集合A 、B ，定义{|}A B x x A x B -=∈∉，且，()()A B A B B A ⊕=-⋃-.设集合{123456}M =，，，，，，集合{}45678910N =，，，，，，，则M N ⊕中元素个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】．D【解析】∵{123456}M =，，，，，，{}45678910N =，，，，，，，∴{}{|}123M N x x M x N -=∈∉=，且，，，{}{|}78910N M x x N x M -=∈∉=，且，，，，∴{}{}{}()()1237891012378910M N M N N M ⊕=-⋃-=⋃=，，，，，，，，，，，，其中有7个元素，故选D.（2021·湖北·葛洲坝中学高一期中）已知集合A ，B 是实数集R 的子集，定义{},A B x x A x B -=∈∉，若集合11|,13A y y x x ⎧⎫==≤≤⎨⎬⎩⎭，{}2|1,12B y y x x ==--≤≤，则B A -=（）A ．{}11x x -≤≤B ．{}11x x -≤<C ．{}01x x ≤≤D ．{}01x x ≤<【变式1】（2022·山西太原高三专题检测）设{}1,2,3,4,I =，A 与B 是I 的子集，若{}1,3A B = ，则称(,)A B 为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定(,)A B 与(,)B A 是两个不同的“理想配集”的个数是（）A ．16B ．9C ．8D ．4【答案】B【解析】由题意，对子集A 分类讨论：当集合{}1,3A =，集合B 可以是{1,2,3,4},{1,3,4},{1,2,3},{1,3}，共4中结果；当集合{}1,2,3A =，集合B 可以是{1,3,4},{1,3}，共2种结果；当集合{}1,3,4A =，集合B 可以是{1,2,3},{1,3}，共2种结果；当集合{}1,2,3,4A =，集合B 可以是{1,3}，共1种结果，根据计数原理，可得共有42219+++=种结果.故选：B.【变式2】．（2023·四川成都高三专题模拟）对于两个正整数m ，n ，定义某种运算“⊙”如下，当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ⊙n ＝m +n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ⊙n ＝mn ，则在此定义下，集合M ＝{（p ，q ）|p ⊙q ＝10，*N p ∈，q ∈*N }中元素的个数是_____.【答案】13【解析】∵当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ⊙n ＝m +n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ⊙n ＝mn ，∴集合M ＝{（p ，q ）|p ⊙q ＝10，*N p ∈，q ∈*N }＝{（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），（1，10），（2，5），（5，2），（10，1）}，共13个元素，故答案为：13。
1-3 集合的基本运算(精讲)(解析版)
1.3 集合的基本运算（精讲）考点一数集之间的基本运算【例1】（1）（2021·辽宁高三其他模拟）已知集合{}{}|3,,1,0,1,2,3A x x x N B =≤∈=-，则A B =（ ）A ．{0,1,2,3}B ．{1,2,3}C ．{2,3}D ．{}0,1,3（2）（2021·北京高考真题）已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B =（ ）A ．()1,2-B ．(1,2]-C ．[0,1)D ．[0,1]（3）（2021·浙江宁波市）设全集U =R ，集合{}1A x x =≥-，{}23B x x =-≤<，则集合()UA B⋂是（ ） A ．{}21x x -<<-B ．{}21x x -≤<-C ．21}x x -<≤- D ．{}21x x -≤≤-【答案】（1）A （2）B （3）B【解析】（1）由题得{}{}|3,0,1,2,3A x x x N =≤∈=,{}1,0,1,2,3B =-,所以A B ={0,1,2,3}故选：A（2）由题意可得：{}|12AB x x =-<≤，即(]1,2A B =-.故选：B.（3）由{}1A x x =≥-，则{}U|1A x x =<-又{}23B x x =-≤<，所以(){}U |21A B x x ⋂=-≤<-故选：B 【一隅三反】1.（2021·黑龙江哈尔滨市）已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1} B ．{0，1} C ．{﹣1，1，2} D ．{1，2}【答案】D【解析】集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∩B ＝{1，2}，故选：D 2．（2021·河南焦作市）已知集合{}1,3,5,7,9=U ，{}1,5,7A =，{}1,3B =，则()UA B =（ ）A ．{}3,5,7,9B ．{}3,5,7C ．{}1,9D ．{}9【答案】D 【解析】题意，{}{}{}1,1,5,731,3,5,7AB ==，又∵{}1,3,5,7,9=U ，∴(){}9U AB =.选：D.3．（2021·全国高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UA B =（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【解析】由题设可得{}U1,5,6B =，故(){}U 1,6A B ⋂=，故选：B.4．（2021·全国）已知全集(){}(){}{N08},{1,2},()5,6,4,7UU U U x x A B A B B A =∈<<⋂=⋃=⋂=∣，则A 集合为（ ） A ．{1,2,4} B ．{1,2,7}C ．{1,2,3}D ．{1,2,4,7}【答案】C【解析】由题意{1,2,3,4,5,6,7}U =，用Venn 图表示集合,A B ，依次填写()U AB ，()UA B ，()U B A ⋂，最后剩下的数字3只有填写在A B 中，所以{1,2,3}A =．故选：C ．5．（2021·辽宁）若集合{{2}A x y B x x ===<∣∣，则A ∩B ＝（ ）A ．{}12x x << B ．{}1x x ≥C ．{}2x x <D ．{}12x x ≤<【答案】D【解析】由题意，得{}1A x x =≥，所以{}12A B x x ⋂=≤<．故选：D 6．（2021·四川自贡市）设集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |24x x --＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |2＜x ≤3} B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x ＜4}D ．{x |1＜x ＜4}【答案】A【解析】∵A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，∴A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}．故选：A ．考点二 点集之间的基本运算【例2】（2021·河北高三其他模拟）已知集合{}{}3(,)0,(,)M x y x y N x y y x =-===，则M N ⋂中元素的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】因为集合{}{}3(,)0,(,)M x y x y N x y y x=-===，所以{}3(,)(0,0),(1,1),(1,1)y x M N x y y x ⎧⎫=⎧⎪⎪⋂==--⎨⎨⎬=⎩⎪⎪⎩⎭，所以A B 中元素的个数为3，故选：D 【一隅三反】1．（2021·山东济南市）已知集合M ＝{（x ，y ）|y ＝21x -，xy ≤0}，N ＝{（x ，y ）|y ＝x 24-}，则M N ⋂中的元素个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．1或2【答案】A【解析】∵集合M ＝{（x ，y ）|y ＝2x ﹣1，xy ≤0}，N ＝{（x ，y ）|y ＝x 2﹣4}，∴M ∩N ＝{（x ，y ）|22104y x xy y x =-⎧⎨=-⎩，}＝∅．∴M ∩N 中的元素个数为0．故选：A ． 2．（2021·全国高三其他模拟）已知集合(){}()22,|1,,,{,|2M x y x y x y N x y x y +≤∈∈+≤＝＝Z Z }，则集合M ⋂N 中元素的个数是（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】C【解析】由222x y +≤可得,222,2x y ≤≤，即x y ≤≤N 中的满足,x Z y Z ∈∈的整点有：()()()()()()()()()0,0,0,1,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1------，共9个点，其中只有(1,1)这一个点不满足1x y +≤，故M N ⋂中的元素个数为8个，故选：C.3．（2021·江苏南通市）若集合{(,)30}M x y x y =-=∣，()22,}0{|N x y x y =+=，则（ ） A ．M N M ⋂= B ．M N M ⋃= C ．M N N ⋃= D ．M N ⋂=∅【答案】B【解析】∵集合(),30{|}M x y x y =-=，(){}(){}22,00|,0N x y xy =+==，因为2230000x y x x y y -==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩∴(){}0,0M N N ⋂==，所以M N M ⋃=，故选：B.考点三 韦恩图求交并补【例3】（1）（2021·北京101中学高三其他模拟）已知集合{}0,1A =，集合{}1,0,1,2,3B =-，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．[]1,3B ．(]1,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,2,3-（2）（2021·山东烟台市）已知集合M ，N 都是R 的子集，且RM N ⋂=∅，则M N =（ ）A ．MB ．NC ．∅D ．R（3）（2021·珠海市）下图中矩形表示集合U ，A ，B 是U 的两个子集，则不能表示阴影部分的是（ ）A ．()UA B ⋂B ．()BABC ．()()UUA B ⋂D ．A BA ⋃【答案】（1）C （2）A （3）C【解析】（1）依题意，由补集的韦恩图表示知，图中阴影部分表示的集合是BA ，因集合{}0,1A =，集合{}1,0,1,2,3B =-，则有{1,2,3}BA =-，所以图中阴影部分表示的集合是{}1,2,3-.故选：C （2）由题知：RM N ⋂=∅，所以M N ⊆，即M N M ⋂=.故选：A（3）由图知：当U 为全集时，阴影部分表示集合A 的补集与集合B 的交集， 当B 为全集时，阴影部分表示A B 的补集，当AB 为全集时，阴影部分表示A 的补集，故选：C.【一隅三反】1．（2021·浙江温州市）设全集U 为实数集R ，集合{A x R x =∈>，集合{0,1,2,3}B =，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}0B ．{0,1}C ．{3,4}D ．{1,2,3,4}【答案】B【解析】图中的阴影部分表示集合B 中不满足集合A 的元素，所以阴影部分所表示的集合为{}0,1. 故选：B.2．（2021·沈阳市）已知非空集合A 、B 、C 满足：A B C ⊆，A C B ⋂⊆．则（ ）．A ．BC = B ．()A B C ⊆⋃ C ．()B C A ⋂⊆D ．A B A C ⋂=⋂【答案】C【解析】因为非空集合A 、B 、C 满足：AB C ⊆，A C B ⋂⊆，作出符合题意的三个集合之间关系的venn 图，如图所示，所以A B A C ⋂=⋂． 故选：D ．3．（2021·江苏苏州市）已知U 为全集，非空集合A 、B 满足()UA B =∅，则（ ）A ．AB ⊆ B ．B A ⊆C ．()()UU A B ⋂=∅ D ．()()UU A B U ⋃=【答案】A【解析】如下图所示：()UAB =∅，由图可知，A B ⊆，()()U U U A B B ⋂=，故选：A.4．（2021·全国高三专题练习（文））若集合A ，B ，U 满足：A BU ，则U =（ ）A ．UAB B ．UBA C ．UAB D ．UBA【答案】B【解析】由集合A ，B ，U 满足：ABU ，U UBA ∴，如图所示：UAA U ∴=，UBA U =，UBB U = 故选：B考点四 利用集合运算求参数【例4】（1）（2021·山东泰安市）集合{}{}240,1,,2,.A a B a =-=-若{}2,1,0,4,16A B ⋃=--，则a =（ ） A ．±1B ．2±C ．3±D ．4±（2）（2021·全国高三专题练习）设集合5,,b A a b a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，{},,1B b a b =+-，若{}2,1A B =-，则a =____，b =____．（3）（2021·重庆八中）已知集合{}12A x x =<<，集合{}B x x m =>，若()A B =∅R，则m 的取值范围为（ ）A ．(],1-∞B ．(],2-∞C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞（4）（2021·河南安阳市）已知集合{}2230A x N x x *=∈--<，{}20B x ax =+=，若A B B =，则实数a 的取值集合为（ ） A ．{}1,2--B ．{}1,0-C ．2,0,1D ．{}2,1,0--（5）（2021·全国高三月考（理））设集合{}2|20A x x mx =+-<，{}|13B x x =-≤≤，且{}23A B x x =|-<≤，则A B =（ ）A ．{}|11x x -≤<B ．{}|21x x -<<C ．{}|21x x -<≤-D ．{}|13x x <≤【答案】（1）B （2）1 2 （3）A （4）D （5）A【解析】（1）由{}2,1,0,4,16A B ⋃=--知，24416a a ⎧=⎨=⎩，解得2a =±故选：B（2）由{}2,1A B =-，得21b a a b ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩或12ba ab ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩.①当21ba ab ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩时，解得12a b =⎧⎨=⎩，此时{}5,2,1A =-，{}2,3,1B =-，符合题意；②当12ba ab ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩时，解得11a b =⎧⎨=-⎩，此时{}5,2,1A =-，集合B 中的元素不满足互异性，不符合题意．综上所述，1a =，2b =.故答案为：1；2. （3）由题知()AB =∅R，得A B ⊆，则1m ，故选：A ．（4）{}{}22301,2A x N x x *=∈--<=，因为AB B =，所以B A ⊆，当0a =时，集合{}20B x ax φ=+==，满足B A ⊆； 当0a ≠时，集合{}220B x ax x a ⎧⎫=+===-⎨⎬⎩⎭，由B A ⊆，{}1,2A =得21a -=或22a-=，解得2a =-或1a =-， 综上，实数a 的取值集合为{}2,1,0--.故选：D . （5）由题意，集合{|13}B x x =-≤≤，且{|23}AB x x =-<≤，可得2-是方程220x mx +-=的根，即2(2)(2)20m -+⨯--=，解得1m =， 所以{}{}2|20|21A x x x x x =+-<=-<<，则{|11}A B x x ⋂=-≤<.故选：A. 【一隅三反】1．（2021·全国高三）已知集合{}20,1,,{1,0,23}==+A a B a ，若AB A B =，则实数a 等于（ ）A ．1-或3B ．0或1-C ．3D ．1-【答案】C 【解析】由AB A B =可知A B =，故223a a =+，解得1a =-或3a =.当1a =-时，21a =，与集合元素互异性矛盾，故1a =-不正确. 经检验可知3a =符合题意.故选：C .2．（2021·辽宁沈阳市）已知集合{}{}21,0,1,,A B x x =-=，若AB B =，则实数x =（ ）A ．1-B ．1C ．±1D ．0或±1【答案】A 【解析】由AB B =得B A ⊆，0x =时，20x x ==不合题意，1x =时，21x x ==也不合题意， 1x =-时，21x =，满足题意．故选：A ．3．（2021·安徽宣城市）{}{}36,72A x x B x a x a =-≤<=-<≤ （1）A B B ⋃=，求a 的取值范围； （2）UA B ，求a 的取值范围．【答案】（1）[)3,4；（2）(],7-∞-.【解析】（1）A B B =，A B ∴⊆，7326a a -<-⎧∴⎨≥⎩，解得34a ≤<，即a 的取值范围为[)3,4；（2）可得{3U A x x =<-或}6x ≥， U A B，若B =∅，则72a a -≥，解得7a ≤-，满足题意； 若B ≠∅，则727326a a a a -<⎧⎪-≥-⎨⎪<⎩，不等式无解，综上，a 的取值范围为(],7-∞-.4．（2021·浙江高一期末）在“①A B =∅，②A B ⋂≠∅”这两个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题：已知集合{|231}A x a x a =-<<+，{|01}B x x =<≤．（Ⅰ）若0a =，求A B ；（Ⅱ）若________（在①，②这两个条件中任选一个），求实数a 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．【答案】（1）{|31}x x -<≤；（2）若选①，(,1][2,)-∞-+∞；若选②，()1,2-【解析】（1）当0a =时，{|31}A x x =-<<，{|01}B x x =<≤；所以{|31}A B x x =-<≤（2）若选①，A B =∅，当A =∅时，231a a -≥+，解得4a ≥，当A ≠∅时，4231a a <⎧⎨-≥⎩或410a a <⎧⎨+≤⎩，解得：24a ≤<或1a ≤-， 综上：实数a 的取值范围(,1][2,)-∞-+∞．若选②，A B ⋂≠∅，则23123110a a a a -<+⎧⎪-<⎨⎪+>⎩，即421a a a <⎧⎪<⎨⎪>-⎩，解得：1a 2-<<，所以实数a 的取值范围()1,2-．考点五 实际生活中集合间的运算【例5】（2021·山东高三专题练习）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了了解在校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《三国演义》的学生共有80位，阅读过《西游记》的学生共有60位，阅读过《西游记》且阅读过《三国演义》的学生共有40位，则在调查的100位同学中阅读过《三国演义》的学生人数为（ ）A．60 B．50 C．40 D．20【答案】A【解析】因为阅读过《西游记》或《三国演义》的学生共有80位，阅读过《西游记》的学生共有60位，-=位，所以只阅读了《三国演义》的学生有806020又因为阅读过《西游记》且阅读过《三国演义》的学生共有40位，=位，故选：A.所以只阅读过《三国演义》的学生共有20+4060【一隅三反】1．（2021·云南省云天化中学高一期末）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，六盘水市第七中学为了解我校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则在调查的100位同学中阅读过《西游记》的学生人数为（）A．80 B．70 C．60 D．50【答案】B【解析】因为阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，-=位，所以《西游记》与《红楼梦》两本书中只阅读了一本的学生共有906030因为阅读过《红楼梦》的学生共有80位，-=位，所以只阅读过《红楼梦》的学生共有806020所以只阅读过《西游记》的学生共有302010位，+=位，故选：B.故阅读过《西游记》的学生人数为1060702．（2021·全国高三专题练习）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8【答案】C【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．3．（2021·吴县中学高一月考）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有95%的学生喜欢篮球或羽毛球，60%的学生喜欢篮球，82%的学生喜欢羽毛球，则该中学既喜欢篮球又喜欢羽毛球的学生数占该校学生总数的比例是（ ）A ．63%B ．47%C ．55%D ．42%【答案】B【解析】设只喜欢篮球的百分比为x ，只喜欢羽毛球的百分比为y ，两个项目都喜欢的百分比为z ，由题意，可得60x z +=，95x y z ++=，82y z +=，解得47z =．∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是47%．故选：B ．4．（2021·广东清远市·高一期末）某幼儿园满天星班开设“小小科学家”、“小小演说家”兴趣小组，假设每位学员最少参加一个小组，其中有13位学员参加了“小小科学家”兴趣小组，有16位学员参加了“小小演说家”兴趣小组，有8位学员既参加了“小小科学家”兴趣小组，又参加了“小小演说家”兴趣小组，则该幼儿园满天星班学员人数为（ ）A ．19B ．20C ．21D ．37 【答案】C【解析】由条件可知该幼儿园满天星班学员人数为1316821+-=.故选：C。
课时集合的基本运算高一数学培优讲练课堂好帮手
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}
C．{2，3，4}
D．{1，3，4}
(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q=( )
A．{x|－1≤x＜3}
B．{x|－1≤x≤4}
C．{x|x≤4}
D．{x|x≥－1}
答案 (1)A (2)C
解题方法
求集合并集的两种方法 (1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解； (2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数 轴分析法求解，此时要注意集合的端点能否取到．
B． 1≤a<1
C． 1<a≤1
D． 1≤a≤1
【答案】D
【解析】因为 UN 是 UM 的真子集，所以 M 是 N 的真子集，
所以 a 1≥ 2 且 a+1≤2，等号不同时成立，解得 1≤a≤1.
故选：D
2．已知集合 M，N，P 为全集 U 的子集，且满足 M⊆P⊆N，则下列结论正确的是（ ）
A∩B
(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的
所有元素
合为全集．
U
(2)符号表示：全集通常记作
.
，那么就称这个集
4．补集
(1)定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为
集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作_∁_U_A__
(2)符号表示：∁UA＝{x| x∈U，且 x∉A
【变式2】(1)设集合A＝{x|x∈N，x≤4}，B＝{x|x∈N，x>1}，则A∩B＝ _______. 解析 因为A＝{x|x∈N，x≤4}＝{0,1,2,3,4}， B＝{x|x∈N，x>1}，所以A∩B＝{2,3,4}. (2) 集 合 A ＝ {x|x≥2 或 － 2<x≤0} ， B ＝ {x|0<x≤2 或 x≥5} ， 则 A∩B ＝ ______________. 解析 易知A∩B＝{x|x≥5或x＝2}. (3)集合A＝{(x，y)|y＝x＋2}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，则A∩B＝____.
三精考点之高中数学(一轮复习)最基础考点系列：考点3 集合的基本运算 Word版含解析
专题3 集合的基本运算根据参数的取值讨论集合间的包含关系★★★○○○○1．集合的三种基本运算x ∈(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A . (2)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .(3)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅.求集合的交集或并集时，应先化简集合，再利用交集、并集的定义求解．进行集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分．当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算；当集合用不等式形式表示时，可借助数轴求解，对于端点值的取舍，应单独检验．已知集合(){}|ln 12 A x y x ==-， {}2| B x x x =≤，全集U A B =⋃，则()U C A B ⋂=（ ）A. (),0-∞B. 1,12⎛⎤-⎥⎝⎦ C. ()1,0,12⎡⎤-∞⋃⎢⎥⎣⎦ D. 1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦KS5U 】福建省2016届高三基地校总复习综合卷数学试题（厦门双十、南安一中、厦门海沧实验中学理科）1．【安徽省安庆市凉亭中学2018届高三上学期9月月考数学理试题】已知集合(){}{}|lg 1,2,1,0,1A x y x B ==+=--，则()R C A B ⋂=（ ）A. {}2,1--B. []2-C. []1,0,1-D. []0,1 【答案】A【解析】1x +〉0， x >-1,则{}1A x x =-， {}|1R C A x x =≤-则()R C A B ⋂= {}2,1-- 2．【甘肃省武威市第六中学2018届高三第一次阶段性过关考试数学（文）试题】设集合2{|42},{|4}M x x N x x =∈-=＜＜＜Z ,则M N ⋂等于（ ）A. ()1,1-B. ()1,2-C. {}1,1,2-D. {}1,0,1- 【答案】D 【解析】{}{}{}{}{}2|42M x x =∈-=＜＜＜Z .故选D.3．【河北武邑中学2017—2018高三年级上学期第二次调研考试数学试题理】若全集为实数集R ，集合()12A |210x log x ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭，则R C A =（ ）A. 12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭B. {}1x x >C. 10,12x x x ⎧⎫≤≤≥⎨⎬⎩⎭或 D. 1,12x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或 【答案】D点睛：解对数不等式，注意真数大于零的限制.1.(2016·全国丙卷)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( ) A ．[2,3] B ．(－∞，2]∪[3，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(0,2]∪[3，＋∞)解析：选D 由题意知S ＝{x |x ≤2或x ≥3}，则S ∩T ＝{x |0<x ≤2或x ≥3}．故选D. 2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)<0}，则A ∩B ＝( ) A ．{－1,0} B ．{0,1} C ．{－1,0,1}D ．{0,1,2}解析：选A 由题意知B ＝{x |－2<x <1}，所以A ∩B ＝{－1,0}．故选A.3．(2012·新课标全国卷)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( ) A ．3 B ．6 C ．8D ．10解析：选D 列举得集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．4．(2016·全国甲卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝()A．{－2，－1,0,1,2,3} B．{－2，－1,0,1,2}C．{1,2,3} D．{1，2}解析：选D∵x2＜9，∴－3＜x＜3，∴B＝{x|－3＜x＜3}．又A＝{1,2,3}，∴A∩B＝{1,2,3}∩{x|－3＜x＜3}＝{1,2}，故选D.5．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝() A．{1,4} B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2}解析：选A因为x＝n2，所以当n＝1,2,3,4时，x＝1,4,9,16，所以集合B＝{1,4,9,16}，所以A∩B＝{1,4}．6．设是全集，集合都是其子集，则下图中的阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.KS5U】浙江省杭州四中2017年9月高一单元检测数学试题【答案】B【解析】观察图形得：图中的阴影部分表示的集合为，故选：B.KS5U______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ _______。
集合的基本运算 2025年高考数学知识点题型及考项复习
C.{0，2，4}
D.{0，1，2，4}
【解析】∵ 集合A和集合B中所有的元素为0,1,2,4，∴ ∪ = {0，1，2，4}．
例2-5 (2024·吉林省长春市期中)已知集合 = { ∈ | 2 ≥ 9}，集合
= { ∈ |2 ≤ < 6}，则 ∪ =( D
)
A.{ ∈ | ≤ −3或 ≥ 3}
示元素的个数，区别元素）
38 = 25 + 21 − ,解得 = 8，故所求人数为8.
关键能力构建
题型1 集合的交、并、补运算
例14 已知全集 = {1,2,3,4,5,6,7,8}, = {3,4,5}, = {4,7,8},求 ∩ , ∪ ，
∩ ∁ , ∁ ∪ .
的值为________．
【解析】∵ ∩ = {9}，∴ 9 ∈ 且9 ∈ ，
∴ 2 − 1 = 9或2 = 9，即 = 5或 = ±3.
当 = 5时， = {−4，9，25}， = {0，−4，9}，
则 ∩ = {−4，9}，不满足题意，∴ ≠ 5.
当 = 3时， − 5 = 1 − = −2，不满足集合中元素的互异性，∴ ≠ 3.
例15 已知全集 = (−∞, 4]，集合 = (−2,3), = [−3,2]，求 ∩ , ∁ ∪ ,
∩ ∁ , ∁ ∪ ∁ .
【解析】如图1.1.3-14，在数轴上表示集合，，.
图1.1.3-14
∵ = −2,3 , = [−3,2],
∴ ∁ = (−∞, −2] ∪ [3,4]，∁ = (−∞, −3) ∪ (2,4].
内，以此为着手点，画出维恩图，如图D 1.1.3-1所示.
由 ∩ ∁ = {3，5}，可知3,5在的左侧区域，
高考数学专项： 集合的基本运算(习题作业)解析版
1.3集合的基本运算一、单选题1．设集合 22A x x ， 1B x x ，则A B ∩（）A ． 1x xB ． 2x xC ． 12x xD ．|21x x 【答案】D【分析】根据集合的并运算即可求解.【详解】A B ∩ |22|1|21x x x x x x .故选：D2．已知全集 1,2,3,4,5,6U ， 2,4,6A ，则U A ð（）A ． 2,4,6B ．1,3,5C ．2,4,5D ．2,5【答案】B【分析】根据补集定义求解.【详解】由题可得U A ð 1,3,5.故选:B.3．已如集合 2M y y x ， ,21N x y y x ，则M N （）A ． 3,5B ．3,5C ．3,5D ．【答案】D【分析】集合元素类型不同，则M N ，得到答案.【详解】集合 2M y y x ， ,21N x y y x ，集合元素类型不同，则M N .故选：D4．定义{|A B x x A 且}x B ，若{1,3,5,7,9}A ，{2,3,5}B ，则A B 等于（）A ．AB ．BC ．{2}D ．{1,7,9}【答案】D【分析】根据A B 的定义即可得解.【详解】因为{1,3,5,7,9}A ，{2,3,5}B ，所以{1,7,9}A B .故选：D.5．已知集合 1,2,3,4,5M ， 4,5M N ，则集合N 可能为（）A ． 1,2,3,4,5B ．1,4,5C ．4,5,6D ．3,4,5【答案】C【分析】根据集合的交集运算结合得出集合N 中元素的特点，即可对选项一一验证得出答案.【详解】 1,2,3,4,5M ∵， 4,5M N ，集合N 中必定含有4与5，不含1,2,3，故选项ABD 错误，选项C 正确；故选：C.6．已知集合 02A x x ， 1B x x ，则A B ∩（）A ． 01x xB ．01x x C ．12x x D ．02x x 【答案】C【分析】由集合的交运算写出结果即可.【详解】由题设{|02}{|1}{|12}A B x x x x x x .故选：C7．设{|A x x 是等腰三角形}和{|B x x 是等边三角形}，则A B ∩（）A ．{|x x 是等腰三角形}B ．{|x x 是等边三角形}C ．D ．{|x x 是三角形}【答案】B【分析】直接根据交集的概念得答案.【详解】若{|A x x 是等腰三角形}和{|B x x 是等边三角形}，则A B ∩{|x x 是等边三角形}.故选：B.8．已知集合 52A x x ， 33B x x ，那么集合A B ∩（）A ． 32x xB ． 52x xC ． 33x xD ．53x x 【答案】A【分析】由集合交集的定义直接运算即可得解.【详解】因为集合 52A x x ， 33B x x ，所以 |32B x x A ∩.故选：A.9．已知集合 1,2,3,4,5A ， |13B x x ，则A B ∩（）A ． 1,2B ． 3|1x xC ． 1,2,3D ．|12x x 【答案】A【分析】根据交集的定义，即可求得本题答案.【详解】因为 1,2,3,4,5A ， |13B x x ，所以 1,2A B .故选：A10．已知集合*N 33A x x ， 04B x x ，则A B ∩（）A ． 1,2,3B ． 0,3C ． 1,1,2,3D ．0,1,2【答案】A【分析】根据常见数集，整理集合表示，根据交集的运算，可得答案.【详解】由集合*N 33A x x ，则 1,2,3A ， 1,2,3A B ∩.故选：A.11．已知集合 1,2,3,4,5,6U ， 2,3,4M ， 4,5N ，则 1,6 （）A ．M NB ．M NC ．()U M N ðD ．U M N ∩ð【答案】C【分析】根据集合的交并补运算，即可求解.【详解】 2,3,4,5M N ，且 1,2,3,4,5,6U ，所以 1,6U M N ð.故选：C12．已知集合 31A x x Z ，{0,1,3}B ，则集合A B 中的子集个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据题意，将集合A 化简，然后根据交集的运算即可得到结果.【详解】因为集合 312,1,0A x x Z ，且{0,1,3}B ，则 0A B ，所以其子集为空集与其本身.故选:B13．已知集合 {11},0A xx B y y ∣∣，则A B ∩（）A ． 1,B ．0, C ．1,1 D ．0,1【答案】D【分析】根据交集定义计算即可.【详解】 |01A B x x .故选：D.14．已知集合 2,1,0,1,2A ， 21B x x ，则图中阴影部分所表示的集合为（）A ． 2,1B ． 2,2C ． 0,1D ．1,0,1 【答案】B【分析】根据韦恩图确定集合的运算关系为 R B A ð，在根据补集与交集的运算即可得答案.【详解】集合 2,1,0,1,2A ， 21B x x ，韦恩图中表示的集合为 R B A ð，则R {|1B x x ð或1}x ，所以 R 2,2B A ð.故选：B.15．已知 3313U x x A x x ，，则图中阴影部分表示的集合是（）A ． 31x xB ．3x x 或3x C ． 0x x D ．31x x 【答案】D【分析】由图可得，所求为集合A 关于全集U 的补集，后由补集定义可得答案.【详解】由图可得，所求为集合A 关于全集U 的补集U A ð，则 31U A x x ð.故选：D16．集合,A B 满足 2,4,6,8,10,2,8,2,6,8A B A B A ＝＝＝，则集合B 中的元素个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】根据集合的交集、并集与集合与元素的关系，即可得集合B ，从而可得集合B 中的元素个数.【详解】因为 2,8,2,6,8A B A ＝＝，所以2,8,6B B ，又 2,4,6,8,10,4,10A B A ＝，所以4,10B ，则 2,4,8,10B ＝，故集合B 中的元素个数为4.故选：B.二、多选题17．如图，U 为全集，M P S ､､是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ． U P S M ðB ． M P S ∩C ． U M P S ðD ． U M P Sð【答案】AC【分析】分析出阴影部分为M P ∩和U S ð的子集，从而选出正确答案.【详解】图中阴影部分是M P ∩的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集，即U S ð的子集，满足要求的为 U UP S M M P S ∩∩∩∩痧，均表示阴影部分,BD 不合要求.故选：AC18．能正确表示图中阴影部分的是（）A ． UB A ðB ．U A B ∩ðC ． A B AðD ．B A B ∩ð【答案】ACD【分析】根据集合的运算，结合图形分析可得.【详解】因为阴影部分在B 中不在A 中，根据集合的运算分析可知ACD 正确.故选：ACD19．已知集合{},{12}A x x a B x x ∣∣，且 A B R R U ð，则实数a 的取值可能是（）A ．2B ．3C ．1D ．1【答案】AB【分析】根据集合并集的定义进行求解即可.【详解】因为{12}B xx ∣，所以R [2,)(,1]B ð，因为 A B R R U ð，所以有2a ，因此选项AB 符合条件，故选：AB20．设 5NN ,|403A x B x mx x，若A B A ，则m 的值可以为（）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】ABC【分析】先求出集合A 中元素，当0m 明显符合，当0m 时，根据 44,8m可得m 的值.【详解】 5NN 4,83A x x，A B A Q U ，当0m 时，B ，符合；当0m 时，4|B x x m，44m或48m ，1m 或12m .故选：ABC.21．已知集合A ，B 是全集U 的两个子集，A B ，则（）A ．AB B B ．A B B ∩C ．B U A ðUD ．B ∩ U Að【答案】AC【分析】根据集合的包含关系，借助韦恩图对各选项进行判断.【详解】由A B ，根据子集的定义，如图，对于A ，A B A B B ，所以A 正确；对于B ，A B A B A ∩，所以B 不正确；对于C ，由韦恩图知，B U A ðU ，所以C 正确；对于D ，由韦恩图知，B ∩ U BA A 痧，所以D 不正确；故选：AC.22．如图，三个圆形区域分别表示集合A ，B ，C ．则（）A ．Ⅰ部分表示 U ABC ∩∩ðB ．Ⅱ部分表示A B CC ．Ⅲ部分表示 U B A C ∩∩ðD ．Ⅳ部分表示U A B A B C ∩∩∩∩ð【答案】BD【分析】观察Venn 图，可判断A 、B 选项；在Ⅲ部分、Ⅳ部分各取一个元素，分析所取元素与集合,,A B C 的关系可判断C 、D 选项.【详解】对于A 选项，由图可知，Ⅰ部分表示 U A B C ð，故A 错误；对于B 选项，由图可知，Ⅱ部分表示A B C ，故B 正确；对于C 选项，在Ⅲ部分所表示的集合中任取一个元素x ，则x B 且 x A C ，故Ⅲ部分表示 U B A C ∩ ð，故C 错误；对于D 选项，在Ⅳ部分表示的集合中任取一个元素a ，则 a A B 且 a A B C ∩∩，所以，Ⅳ部分表示 U A B A B C ∩∩∩∩ð，故D 正确.故选：BD.23．已知集合M 、N 的关系如图所示，则下列结论中正确的（）A ．R M N ðB ．M N R RðC ．M N MR RR痧D ．M N MR RR痧【答案】BD【分析】根据集合的的运算与韦恩图即可求解.【详解】由图可知，R MM N N∩痧,A 错误；M N R R ð，B 正确； N M N M NR RR R∩痧痧，C 错误； M M N M NR R R R∩ 痧痧,D 正确，故选:BD.24．我们已经学过了集合的并、交、补等几种基本运算，而集合还有很多其他的基本运算．设A ，B 为两个集合，称由所有属于集合A 但不属于集合B 的元素组成的集合为集合A 与集合B 的差集，记为A B ，即 |A B x A x B ．下列表达式一定正确的是（）A ． AB B A B ．()()A B B A A BC ． A A B B B AD ．()()A B B A B A 【答案】ACD【分析】根据差集的定义逐个分析可得答案.【详解】对于A ，()(){|}{|}A B B A x A x B x B x A ∩∩，故A 正确；对于B ，()(){|}{|}A B B A x A x B x B x A ()()A B A B ∩，故B 不正确；对于C ，因为()A A B A B ∩，()B B A B A ∩，所以()()A A B B B A ，故C 正确；对于D ，因为()A B B A B ，()A B A A B ，所以()()A B B A B A ，故D 正确.故选：ACD25．图中阴影部分用集合符号可以表示为（）A ．B AC B ．C ()U B A C C ．C ()U B A CD ．A B B C 【答案】AD【分析】在阴影部分区域内任取一个元素x ，分析x 与集合A 、B 、C 的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论.【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素x ，则x A B ∩或x B C ∩，所以阴影部分所表示的集合为A B B C ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为 B A C ，所以选项AD 正确，选项CD 不正确，故选：AD.三、填空题26．已知集合22,1,3,3,21,1M a a P a a a ， 3M P ，则 a _________.【答案】1【分析】根据集合元素的互异性以及交集性质进行分类讨论即可得出1a 符合题意.【详解】因为 3M P ，所以3P ，易知213a ，当33a 时，0a ，此时 0,1,3M ， 3,1,1P ，不合题意舍去；当213a 时，1a ，此时 1,0,3M ， 4,3,2P ，满足题意，所以1a .故答案为：127．已知集合 |25A x x ，集合 |121,R B x m x m m ，若A B B ∩，则实数m 的取值范围是_________.【答案】,3 【分析】根据集合的包含关系求参数的取值范围.【详解】因为A B B ∩，所以B A ，若121m m 即2m ，则B ，满足题意；若121m m 即2m ，因为B A ，所以122152m m m解得23m ，综上，实数m 的取值范围是3m 故答案为: ,3 .28．向50名学生调查对,A B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对,A B 都不赞成的学生数比对,A B 都赞成的学生数的三分之一多1人.则赞成A 的不赞成B 的有_____人.【答案】9【分析】先确定赞成A 和赞成B 的人数，设,A B 都赞成的学生数为x ，再根据总人数来列方程求解即可.【详解】由已知得赞成A 的人数是350305，赞成B 的人数是30333 ，设,A B 都赞成的学生数为x ，则,A B 都不赞成的学生数为113x ，130331503x x ，解得21x ，则赞成A 的不赞成B 的有309x 人.故答案为：9.29．已知全集 21,2,U m ，集合{2,1}A m ，U {}A m ð，则实数m 的值为__________．【答案】0【分析】由U {}A m ð，得出211m m m，结合元素的互异性，即可求解.【详解】由集合{2,1}A m ，可得12m +¹，解得1m ，又由U {}A m ð且 21,2,U m ，可得211m m m，解得0m ，经验证0m 满足条件，所以实数m 的值为0.故答案为：0.30．设集合 1,2,3,4,5A ， 1,2,3B ，若C A 且B C ∩，则满足条件的集合C 的个数是________．【答案】28【分析】先求出满足条件C A 的集合C 的个数，再求出满足C A 且B C ∩的集合C 的个数，作差可得结果.【详解】因为集合 1,2,3,4,5A ， 1,2,3B ，若C A 且B C ∩，满足条件C A 的集合C 的个数为5232 个，在这些集合C 中，满足B C ∩的集合C 的个数即为集合 4,5的子集个数22，因此，满足条件的集合C 的个数为232228 .故答案为：28.四、解答题31．已知集合 |48A x x ， |29B x x ， |C x x a ，全集为实数集R ．(1)求A B ， A B R ∩ð；(2)若A C ，求a 的取值范围．【答案】(1){|29}A B x x ； R {|24A B x x ∩ð或89}x ；(2)8a .【分析】（1）根据并集、补集、交集的定义可求；（2）由交集的性质A C ，说明集合A 与C 必有公共元素，可求a 的取值范围.【详解】（1）因为 |48A x x ，R {|4A x x ð或8}x ³，又 |29B x x ，{|29}A B x x ， R {|24A B x x ∩ð或89}x ；（2）因为 |48A x x ， |C x x a ，且,A C ∩所以8a .32．设全集U R ，集合{1},{24}A xx a B x x ∣∣.(1)当4a 时，求 U A B ð；(2)从下面三个条件中任选一个，求实数a 的取值范围.①A B A ∩，②A B B ；③ U A B ∩ð.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1) )2,14,6U A B∩(ð(2)6a 【分析】(1)根据4a 得出{|14}A x x ，然后求出集合A 的补集，将集合B 化简，然后利用交集的定义即可求解；(2)选①可得A B ，然后分A 和A 两种情况进行讨论即可求解.选②可得A B ，后面同①；选③可得A B ，后面同①.【详解】（1）当4a 时，集合{|14}A x x ，则 ,14,U A ð，又因为{|24}{|26}B x x x x ，则 )2,14,6U A B∩(ð（2）选①，因为A B A ∩，则A B ，所以分A 和A 两种情况：当A 时，则有1a ，当A 时，则有16a a ，解得：16a ，综上：实数a 的取值范围为：6a .选②，由A B B 可得：A B ，所以分A 和A 两种情况：当A 时，则有1a ，当A 时，则有16a a ，解得：16a ，综上：实数a 的取值范围为：6a .选③，由 U A B ∩ð可得：A B ，所以分A 和A 两种情况：当A 时，则有1a ，当A 时，则有16a a ，解得：16a ，综上：实数a 的取值范围为：6a .33．设a R ，集合22log 2,30A x x a B x x a x ，(1)若2a ，求A B(2)若 3A B R ð，求a 的取值范围.【答案】(1)|25A B x x (2)30a 【分析】（1）先根据2a ，化简两个集合，再求两个集合的并集；（2）由3在集合A 中，不在集合B 中，可求取值范围.【详解】（1）当2a 时，22|log 22|22|50|05A x x x x B x x x x x ，，所以 |22|05|25A B x x x x x x .（2）集合 2|30B x x a x ，所以2|30.B x x a x R ð因为 3A B R ð，所以3A 且3B R ð.则 22log 323330a a，即03430a a ，解得30a .34．已知集合{7,5,3,1,0,2,4,6}U ，{3,0,2,4}M ，{5,2,4}N ．(1)求M N ，M N ；(2)若集合 2U U 3,1a M N ∩痧，求实数a 的值．【答案】(1){2,4}M N ，{5,3,0,2,4}M N (2)3 ．【分析】（1）直接通过集合的交集运算与补集运算得出答案；（2）通过已知利用集合的补集运算得出U M ð、N ðU ，即可得出U U M N ∩痧，再由集合的包含关系分类讨论，列出等式得出答案.【详解】（1）{3,0,2,4}M ∵，{5,2,4}N {2,4}M N ，{5,3,0,2,4}M N ；（2）由题意可知U {7,5,1,6}M ð，U {7,3,1,0,6}N ð，U U {7,1,6}M N ∩痧，由23,1{7,1,6}a 可得：当237a 时，无解；当236a 时，解得3a ，故实数a 的值为3 ．35．已知非空集合 2135,322A xa x a B x x ∣∣，(1)当10a 时，求A B ；(2)求能使 A A B I 成立的a 的取值范围.【答案】(1) 325∣ A B xx (2)6,9【分析】（1）根据并集定义求解；（2）根据集合的包含关系及交集定义列不等式组求解．【详解】（1）当10a 时， |2125,322A x x B x x |，325∣ A B x x ；（2） 2135,322∣∣ ∵A xa x a B x x ，且 A A B I ，A ，∴21335222135a a a a，解得69a ，a 的取值范围是[6,9].36．已知全集为R ，集合 26A x x ， 3782B x x x ．(1)求A B ；(2)若 44C x a x a ，且A B ∩C ，求a 的取值范围．【答案】(1)36A B x x (2)27a 【分析】（1）解不等式可得集合B ，即可求得A B ；（2）根据集合间的关系，列不等式，解不等式即可.【详解】（1）解不等式3782x x ，解得3x ，所以 3B x x ，所以 36A B x x ；（2）由（1）得 36A B x x ，又 A B ∩C ，则4346a a 或4346a a，解得27a 或27a ，即27a .37．已知全集U R ，{2A x x a 或}x a ， 05B x x .(1)当1a 时，求A B ，A B ，()U A B ∩ð；(2)若A B B ∩，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 15A B x x ，{1A B x x 或0}x ， ()01U A B x x ð(2)7a 或0a 【分析】（1）代入1a ，再根据交，并，补的定义求解即可；（2）由A B B ∩得到B A ，根据集合的关系可得实数a 的取值范围.【详解】（1）当1a 时，{1A x x 或1}x ，11U A x x ð，又 05B x x ， 15A B x x ，{1A B x x 或0}x ， ()01U A B x x ð；（2）若A B B ∩，则B A ，25a 或0a ，7a 或0a .38．已知全集为 R,2,2,02M N xx ∣.(1)求 R M N ∩ð；(2)若 12C xa x a ∣，且C M C ，求a 的取值范围.【答案】(1){20}xx ∣(2)2, 【分析】（1）利用补集和交集的定义即可求解；（2）由C M C 可得M C ，然后列出不等式即可.【详解】（1）因为[2,2]M ，{02}N xx ∣，所以R {0N xx ∣ð或2}x ，所以 R {20}M N xx ∣ð.（2）因为C M C ，所以M C ，所以122122a a a a，解得2a ，故a 的取值范围为 2, .39．已知集合{0A x x │或4}x ，集合 121B x a x a │.(1)若2a ，求A B 和A B ；(2)若记符号 |,A B x x A x B ，在图中把表示“集合A B ”的部分用阴影涂黑，并求当1a 时A B ；(3)若A B B ∩，求实数a 的取值范围.【答案】(1)A B ，{0A B x x │或13x 或4}x (2){0xx A B │或4}x (3)12a 或5a 【分析】（1）直接根据交集和并集的概念求解；（2）所给集合表示除去集合A 中含有的集合B 中的元素构成的集合，据此可得画出阴影，进而求出1a 时的A B ；（3）由A B B ∩得到B A ，根据集合的包含关系列不等式求解即可，注意B 的情况.【详解】（1）若2a ， 13B x x │，又{0A x x │或4}x ，则A B ，{0A B x x │或13x 或4}x ；（2）若记符号 |,A B x x A x B ，在图中把表示“集合A B ”的部分用阴影涂黑如下图：当1a 时， 01B xx │，则{0x x A B │或4}x ；（3）若A B B ∩，则B A ，当B 时，121a a ，解得0a ，当B 时，12121014a a a a 或，解得102a ≤≤或5a .综上：实数a 的取值范围为12a 或5a .40．已知 23A x x ， 23B x a x a ，全集U R(1)若2a ，求 U A B ∩ð；(2)若A B ，求实数a 的取值范围.【答案】(1)20U A B x x ð(2),10,1 【分析】（1）根据交集与补集的运算求解即可；（2）分B 与B 由条件列不等式求范围即可.【详解】（1）当2a 时， 06B x x ，所以 0U B x x ð或 6x ，又 23A x x ，所以 20U A B x x ð.（2）由题可得：当B 时，有23a a ，解得a 的取值范围为 ,1 ；当B 时有232233a a a a，解得a 的取值范围为 0,1，综上所述a 的取值范围为 ,10,1 .。
专题3 集合的基本运算-培优对点题组专题突破(解析版)
专题3 集合的基本运算题组1 Venn图表达的集合关系及应用1.集合A＝，B＝，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为()A.7B.8C.15D.16【答案】C【解析】A＝，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝，∴真子集个数为24－1＝15.2.定义差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可表示下列图中阴影部分的为()A.答案AB.答案BC.答案CD.答案D【答案】A【解析】如图所示，A－B表示图中阴影部分，故C－(A－B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分，故选A.3.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，求该网店(1)第一天售出但第二天未售出的商品有多少种？(2)这三天售出的商品最少有多少种？【答案】由Venn 图知，第一天售出但第二天未售出的商品为19－3＝16(种).而这三天售出的商品最少时有2＋18＋9＝29(种).题组2 并集的概念及运算4.设集合I ＝，A ⊆I ，若把满足M ∪A ＝I 的集合M 叫做集合A 的配集，则A ＝的配集有() A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解析】M 可以是，，，，共4个.5.设全集为R ，集合{}A |10x x =->，{}B |||2x x =>，则集合()R A B (⋃= )A ．{|1}x x ≤B ．{|2x x <-或1}x >C ．{|12}x x ≤<D ．{|1x x ≤或2}x >【答案】D【解析】因为{}A |1x x =>，B {x |x 2=<-或x 2}>；R A {x |x 1}∴=≤；()R A B {x |x 1∴⋃=≤或x 2}>．故选D6.点集A ＝{(x ，y )|x <0}，B ＝{(x ，y )|y <0}，则A ∪B 中的元素不可能在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限【答案】A7.设集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0)}，集合B ＝{x |1<x <3}，则A ∪B 等于( )A.{x |－1<x <3}B.{x |－1<x <1}C.{x |1<x <2}D.{x |2<x <3}【答案】A【解析】A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}，∴A ∪B ＝{x |－1<x <3}，选A.8.设集合S ＝{x ||x －2|＞3}，T ＝{x |a ＜x ＜a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是( )A.－3＜a ＜－1B.－3≤a ≤－1C.a ≤－3或a ≥－1D.a ＜－3或a ＞－1【答案】A【解析】根据题意，S ＝{x ||x －2|＞3}＝{x |x ＜－1或x ＞5}，又有S ∪T ＝R ，所以{a <−1,a +8>5⇒－3＜a ＜－1， 故选A.9.已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x 2－6x ＋5>0}，是否存在实数a ，使得A ∪B ＝R ，若存在，求出a 的取值集合，若不存在，说明理由.【答案】B ＝{x |x 2－6x ＋5>0}＝{x |x <1或x >5}，假设存在a 使A ∪B ＝R ，则{2a ≤1,a +3≥5,即{a ≤12,a ≥2,∴无解. ∴不存在a 使A ∪B ＝R . 题组3 交集的概念及运算10.已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＝0，x ∈Z }，则A ∩B 等于( )A.{1}B.{2}D.{1,2,3}【答案】B【解析】B ＝，∴A ∩B ＝. 11.已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N 等于( )A.{0,1,2}B.{－1,0,1,2}C.{－1,0,2,3}D.{0,1,2,3}【答案】A【解析】集合M ＝{x |－1＜x ＜3，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝{0,1,2}，故选A.12.已知集合A ＝{x ∈R |x−4x+1≤0}，B ＝{x ∈R |(x －2a )(x －a 2－1)<0}.若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( )A.(2，＋∞)B.[2，＋∞)C.{1}∪[2，＋∞)D.(1，＋∞)【答案】C【解析】由x−4x+1≤0，得A ＝{x ∈R |－1<x ≤4}，B ＝{x ∈R |(x －2a )(x －a 2－1)<0}＝{x ∈R |2a <x <a 2＋1}.若B ≠∅，则在数轴上可以看出2a ≥4，所以a ≥2；若B ＝∅，只能a ＝1.综上选C.13.已知方程x 2＋mx －6＝0与x 2＋nx ＋2＝0的解集分别为A 和B ，且A ∩B ＝{2}，则m ＋n ＝________.【答案】－2【解析】∵A ∩B ＝{2}，∴2既是方程x 2＋mx －6＝0的根，又是方程x 2＋mx －6＝0的根.∴{4+2m −6=0,4+2n +2=0,解得：{m =1,n =−3.经检验，当{m =1,n =−3时，适合题意.∴m ＋n ＝－2. 14.已知集合A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }，B ＝{x |x ≤1或x ≥4}.(1)当a ＝3时，求A ∩B ；(2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围.【答案】(1)∵当a ＝3时，A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |x ≤1或x ≥4}，∴A ∩B ＝{x |－1≤x ≤1或4≤x ≤5}.(2)①若A ＝∅，此时2－a ＞2＋a ，∴a ＜0，满足A ∩B ＝∅.②当a ≥0时，A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }≠∅，∵A ∩B ＝∅，∴{2−a >1,2+a <4,∴0≤a ＜1. 综上可知，实数a 的取值范围是a ＜1.题组4 并集、交集的综合运算15.已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{－2,2}，下列结论成立的是( )A.N ⊆MB.M ∪N ＝MC.M ∩N ＝ND.M ∩N ＝{2}【答案】D【解析】∵－2∈N ，但－2∉M ，∴A ，B ，C 三个选项均不对.16.对于集合M 、N ，定义M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋2，x ∈R }，则A ⊕B 等于( )A.[0,2)B.(0,2]C.(－∞，0]∪(2，＋∞)D.(－∞，0)∪[2，＋∞)【答案】C【解析】由题可知，集合A ＝{y |y >0}，B ＝{y |y ≤2}，所以A －B ＝{y |y >2}，B －A ＝{y |y ≤0}，所以A ⊕B ＝(－∞，0]∪(2，＋∞).故选C.17.已知集合A ＝{x |{3−x >0,3x +6>0,}，集合B ＝{m |3>2m －1}，求A ∩B ，A ∪B . 【答案】解不等式组{3−x >0,3x +6>0,得－2<x <3， 则A ＝{x |－2<x <3}，解不等式3>2m－1得m<2，则B＝{m|m<2}.用数轴表示集合A和B，如图所示，则A∩B＝{x|－2<x<2}，A∪B＝{x|x<3}.18.已知集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|x2－ax－b＝0}.(1)若A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，求a，b的值；(2)若∅B A，求实数a，b的值.【答案】(1)因为A＝{3,5}，A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，所以3∈B,2∈B，故2,3是一元二次方程x2－ax－b＝0的两个实数根，所以a＝2＋3＝5，－b＝2×3＝6，b＝－6.(2)由∅B A，且A＝{3,5}，得B＝{3}或B＝{5}.当B＝{3}时，解得a＝6，b＝－9；当B＝{5}时，解得a＝10，b＝－25.综上，{a=6,b=−9,或{a=10,b=−25.19.已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}，(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N；(2)当M∩N＝M时，求实数m的值.【答案】(1)由题意得M＝{2}.当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，则M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}.(2)∵M∩N＝M，∴M⊆N.∵M＝{2}，∴2∈N.∴2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，即4－6＋m＝0，解得m＝2.20.设集合P＝{x|x2－x－6＜0}，Q＝{x|2a≤x≤a＋3}.(1)若P∪Q＝P，求实数a的取值范围；(2)若P∩Q＝∅，求实数a的取值范围；(3)若P∩Q＝{x|0≤x<3}，求实数a的值.【答案】(1)由题意知：P＝{x|－2＜x＜3}，∵P∪Q＝P，∴Q⊆P.①当Q ＝∅时，得2a ＞a ＋3，解得a ＞3.②当Q ≠∅时，得－2＜2a ≤a ＋3＜3，解得－1＜a ＜0.综上，a ∈(－1,0)∪(3，＋∞).(2)①当Q ＝∅时，得2a ＞a ＋3，解得a ＞3；②当Q ≠∅时，得{2a ≤a +3,a +3≤−2或2a ≥3,解得a ≤－5或32≤a ≤3. 综上，a ∈(−∞,-5]∪[32，＋∞).(3)P ∩Q ＝{x |0≤x ＜3}，则a ＝0. 题组5 集合的交集、并集性质及应用21.已知集合A ＝{0,1,2,3}，集合B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }，则( )A.A ∩B ＝AB.A ∩B ⊇AC.A ∪B ＝BD.A ∩B ⊆A【答案】D【解析】根据集合运算的性质可知，A ∩B ⊆A 恒成立.22.已知集合A ＝{1,3，√m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( )A.0或√3B.0或3C.1或√3D.1或3【答案】B23.已知集合A ＝{x |0<x <2}，集合B ＝{x |－1<x <1}，集合C ＝{x |mx ＋1>0}，若(A ∪B )⊆C ，则实数m 的取值范围为( )A.{m |－2≤m ≤1}B.{m|−12≤m ≤1} C.{m|−1≤m ≤12} D.{m|−12≤m ≤14}【解析】由题意，A ∪B ＝{x |－1<x <2}，∵集合C ＝{x |mx ＋1>0}，(A ∪B )⊆C ，①当m <0时，x <－1m ，∴－1m ≥2，∴m ≥－12，∴－12≤m <0；②当m ＝0时，成立；③当m >0时，x >－1m ，∴－1m ≤－1，∴m ≤1,0<m ≤1.综上所述，－12≤m ≤1，故选B.24.已知集合A ＝{a ，b }，集合B 满足A ∪B ＝{a ，b }，则满足条件的集合B 的个数有() A.4B.3C.2D.1【答案】A【解析】∵集合A ＝{a ，b }，集合B 满足A ∪B ＝{a ，b }，∴集合B 只要是A 的子集就可以，∴集合B 有22＝4个，故选A.25.已知A ＝{2,5}，B ＝{x |x 2＋px ＋q ＝0}，A ∪B ＝A ，A ∩B ＝{5}，求p 、q 的值.【答案】∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又A ∩B ＝{5}，且A ＝{2,5}，∴5∈B ，且2∉B ，∴B ＝{5}.即{25+5p +q =0,p 2−4q =0,解得{p =−10,q =25.题组6 补集的概念及运算26.已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A ＝{1,3,5,6}，则∁U A 等于( )B.{2,3,7}C.{2,4,7}D.{2,5,7}【答案】C【解析】∵全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，∴∁U A＝{2,4,7}.27.若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则∁U A等于()A.{x|0<x<2}B.{x|0≤x<2}C.{x|0<x≤2}D.{x|0≤x≤2}【答案】C【解析】∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，∴∁U A＝{x|0<x≤2}，故选C.28.设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁U A＝{x|x<3或x>4}，则a＋b＝________. 【答案】7【解析】∵U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∴∁U A＝{x|x<a或x>b}，又∵∁U A＝{x|x<3或x>4}，∴a＝3，b＝4.∴a＋b＝7.29.已知全集U＝{|a－1|，(a－2)(a－1)，4,6}；(1)若∁U(∁U B)＝{0,1}，求实数a的值；(2)若∁U A＝{3,4}，求实数a的值.【答案】(1)∵∁U(∁U B)＝B＝{0,1}，且B⊆U，∴|a－1|＝0，且(a－2)(a－1)＝1；或|a－1|＝1，且(a－2)(a－1)＝0；第一种情况显然不可能，在第二种情况中由|a－1|＝1得a＝0或a＝2，而a＝2适合(a－2)(a－1)＝0，∴所求a的值是2；(2)依题意知|a－1|＝3或(a－2)(a－1)＝3，若|a－1|＝3，则a＝4或a＝－2；，若(a－2)(a－1)＝3，则a＝3±√132经检验知a＝4时，(4－2)(4－1)＝6，与集合中元素的互异性相矛盾，.∴所求的a的值是－2或3±√132题组7 交并补集的综合问题30.已知全集U＝R，集合M＝{x|－1<x<1}，N＝{x|x>1}，则下列说法正确的是()A.M∩N＝NB.M∩(∁U N)＝∅C.M∪N＝UD.M⊆(∁U N)【答案】D【解析】∁U N＝{x|x≤1}，M＝{x|－1<x<1}，∴M⊆(∁U N).31.若集合M＝{y|y＝x2，x∈Z}，N＝{x|x2－6x－27≥0，x∈R}，全集U＝R，则M∩(∁U N)的真子集的个数是()A.15B.7C.16D.8【答案】B【解析】∵N＝{x|x2－6x－27≥0}＝{x|x≥9或x≤－3}.∴∁U N＝{x|－3＜x＜9}，∴M∩(∁U N)＝{0,1,4}.∴M∩(∁U N)的真子集的个数为23－1＝7.故选B.32.关于x的方程：x2＋ax＋1＝0，①x2＋2x－a＝0，②x 2＋2ax ＋2＝0，③若三个方程至少有一个有解，求实数a 的取值范围.【答案】假设三个方程均无实根，则有{Δ1=a 2−4<0,Δ2=4+4a <0,Δ3=4a 2−8<0,即{−2<a <2,a <−1,−√2<a <√2.解得−√2<a <－1，∴当a ≤−√2或a ≥－1时，三个方程至少有一个方程有实根， 即a 的取值范围为{a |a ≤−√2或a ≥－1}.33.已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)＞0}，B ＝{y |y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3}. (1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(2)当取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A )∩B .【答案】A ＝{y |y ＜a 或y ＞a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}.(1)当A ∩B ＝∅时，{a 2+1≥4,a ≤2,∴√3≤a ≤2或a ≤－√3.∴a 的取值范围是(－∞，－√3]∪[√3，2].(2)由x 2＋1≥ax ，得x 2－ax ＋1≥0，依题意Δ＝a 2－4≤0，∴－2≤a ≤2.∴a 的最小值为－2.当a ＝－2时，A ＝{y |y ＜－2或y ＞5}.∴∁R A ＝{y |－2≤y ≤5}.∴(∁R A )∩B ＝{y |2≤y ≤4}.。
新高考数学复习考点知识与题型专题讲解3---集合的基本运算(解析版)
新高考数学复习考点知识与题型专题讲解3 集合的基本运算考点知识讲解1并集(1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集．(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ．(3)图形语言：如图所示．考点知识讲解2交集(1)文字语言：由属于集合A 且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集．(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B} ．(3)图形语言：如图所示．考点知识讲解3 补集和全集(1)全集：①定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．②记法：全集通常记作U .(2)补集题型一并集的概念及简单应用1.已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于()A．{－1,0,1}B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2}D．{0,1}【答案】B【解析】由题意知M∪N＝{－1,0,1,2}，故选B.2.若集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{x||x|>2}，则集合A∪B等于()A．{x|x≥1}B．{x|x＜－2或x＞1}C．{x|x＜－2或x＞2}D．{x|x＜－2或x≥1}【答案】D【解析】A＝{x|x≥1}，B＝{x|x>2或x<－2}，∴A∪B＝{x|x≥1或x<－2}，故选D. 题型二交集的概念及简单应用3.设集合A＝{－2,0,2,4}，B＝{x|x2－2x－3＜0}，则A∩B等于()A．{0}B．{2}D．{0,2,4}【答案】C【解析】因为B＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－1<x<3}，所以A∩B＝{x|x∈A且x∈B}＝{0,2}，故选C.4.已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B等于()A．{0}B．{－1,0}C．{0,1}D．{－1,0,1}【答案】B【解析】由题意知A∩B＝{－1,0}，故选B.5.若集合P＝{x|2≤x<4}，Q＝{x|x≥3}，则P∩Q等于()A．{x|3≤x<4}B．{x|3<x<4}C．{x|2≤x<3}D．{x|2≤x≤3}【答案】A【解析】由已知，P∩Q＝{x|3≤x<4}，选A.题型三补集的基本运算6.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,5}，则∁U A等于()A．{2,3,4,6}C．{2,4,7}D．{2,3,6}【答案】A【解析】依题意，∁U A＝{2,3,4,6}，故选A.7.已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则∁U M等于()A．{x|－2<x<2}B．{x|－2≤x≤2}C．{x|x<－2或x>2}D．{x|x≤－2或x≥2}【答案】C【解析】因为M＝{x|x2－4≤0}＝{x|－2≤x≤2}，全集U＝R，所以∁U M＝{x|x<－2或x>2}，故选C.8.已知某校高一年级有10个班，集合A＝{某校高一(1)班的学生}，B＝{某校高一(1)班的男生}，D＝{某校高一年级(1)－(10)班}．(1)若A为全集，求∁A B；(2)若D为全集，能否求出∁D B？为什么？【答案】(1)∁A B＝{某校高一(1)班的女生}．(2)不能求出∁D B，因为D的元素是某校高一年级各班，而B的元素是学生，所以B不是D的子集．故无法求出∁D B.9.已知集合U＝{x|－1≤x≤2，x∈P}，A＝{x|0≤x<2，x∈P}，B＝{x|－a<x≤1，x∈P}(－1<a<1)．(1)若P＝R，求∁U A中最大元素m与∁U B中最小元素n的差m－n；(2)若P＝Z，求∁A B和∁U A中所有元素之和及∁U(∁A B)．【答案】(1)由已知得∁U A＝{x|－1≤x<0或x＝2}，∁U B＝{x|－1≤x≤－a,1<x≤2}，∴m＝2，n＝－1，∴m－n＝2－(－1)＝3.(2)∵P＝Z，∴U＝{x|－1≤x≤2，x∈Z}＝{－1,0,1,2}，A＝{x|0≤x<2，x∈Z}＝{0,1}，B＝{1}或{0,1}．∴∁A B＝{0}或∁A B＝∅，即∁A B中元素之和为0.又∁U A＝{－1,2}，其元素之和为－1＋2＝1.故所求元素之和为0＋1＝1.∵∁A B＝{0}或∁A B＝∅，∴∁U(∁A B)＝{－1,1,2}或∁U(∁A B)＝∁U∅＝U＝{－1,0,1,2}．题型四集合交、并、补的综合运算10.已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)．解利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，如图．则∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，∁UB＝{x|x<－3，或2<x≤4}．所以A∩B＝{x|－2<x≤2}；(∁UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}；A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}．11. 已知集合S ＝{x|1<x≤7}，A ＝{x|2≤x<5}，B ＝{x|3≤x<7}．求：(1)(∁SA)∩(∁SB)；(2)∁S(A ∪B)；(3)(∁SA)∪(∁SB)；(4)∁S(A∩B)． 解 (1)如图所示，可得A∩B ＝{x|3≤x<5}，A ∪B ＝{x|2≤x<7}， ∁SA ＝{x|1<x<2或5≤x≤7}， ∁SB ＝{x|1<x<3}∪{7}．由此可得：(1)(∁SA)∩(∁SB)＝{x|1<x<2}∪{7}．题型五 根据补集的运算求参数的值或范围12.设全集S ＝{x |x 2－8x ＋15＝0，x ∈R }，∁S A ＝{x |ax －1＝0}，则由实数a 组成的集合为________． 【答案】{0，13，15}【解析】∵S ＝{3,5}，∁S A ＝{x |ax －1＝0}⊆S ， ∴∁S A ＝∅或{3}或{5}或{3,5}． 若∁S A ＝∅，则a ＝0； 若∁S A ＝{3}，则a ＝13； 若∁S A ＝{5}，则a ＝15； 若∁S A ＝{3,5}，则a 不存在， ∴实数a 组成的集合为{0，13，15}．13.设集合U ＝{1,2,3,4}，且A ＝{x ∈U |x 2－5x ＋m ＝0}，若∁U A ＝{2,3}，求m 的值． 【答案】∵∁U A ＝{2,3}，U ＝{1,2,3,4}，∴A ＝{1,4}，即1,4是方程x 2－5x ＋m ＝0的两根． ∴m ＝1×4＝4.14.已知全集U ＝{|a －1|，(a －2)(a －1)，4,6}； (1)若∁U (∁U B )＝{0,1}，求实数a 的值； (2)若∁U A ＝{3,4}，求实数a 的值．【答案】(1)∵∁U (∁U B )＝B ＝{0,1}，且B ⊆U ， ∴|a －1|＝0，且(a －2)(a －1)＝1； 或|a －1|＝1，且(a －2)(a －1)＝0；第一种情况显然不可能，在第二种情况中由|a －1|＝1得a ＝0或a ＝2， 而a ＝2适合(a －2)(a －1)＝0， ∴所求a 的值是2；(2)依题意知|a －1|＝3或(a －2)(a －1)＝3， 若|a －1|＝3，则a ＝4或a ＝－2；若(a －2)(a －1)＝3，则a ＝3±√132，经检验知a ＝4时，(4－2)(4－1)＝6，与集合中元素的互异性相矛盾， ∴所求的a 的值是－2或3±√132.1．全集U =R ，且{}12A x x =->，{}2|680B x x x =-+<，则()UA B =（ ）.A ．{|14}x x -≤<B ．{}|23x x <<C ．{|23}x x <≤D ．{}|14x x -<< 【答案】C【解析】由12x ->，得1x <-或3x >， ∴{|13}UA x x =-.由2680x x -+<，得24x <<，即{}|24B x x =<<， ∴(){|23}UA B x x⋂=<.故选：C.2．设I 为全集，1S ，2S ，3S 是I 的三个非空子集，且123S S S I ⋃⋃=，则下面结论正确的是（ ） A ．()()213C I S S S ⋂⋃=∅B ．()()113C C I I S S S ⊆⋂ C ．()()()1212C C C I I I S S S S ⋂=⋃D ．()()213C C I I S S S ⊆⋃ 【答案】C【解析】令1S l ，23S S I ==，则()()()1231C C I I S S S S I ⋂⋃=⋂≠∅，因此A 错误； 令1S I =，则1C I S =∅，即()()13C C I I S S ⋂=∅，因此B 错误；令1S l ，23S S I ==，则()()23C C I I S S ⋃=∅，即1S =∅，不符合题意，因此D 错误；由集合的运算性质易知C 正确． 故选：C ．3．已知集合{}012M =,,，*{|21,}N x x a a N ==-∈，则M N =（ ）.A ．{}0B ．{}1,2C ．{}1D ．{}2 【答案】C【解析】∵{}1,3,5,,0,1,2{}N M =⋅⋅⋅=， ∴{}1M N ⋂=. 故选：C.4．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}{}2,4,5,7,1,4,7,8A B ==，那么图中的阴影部分所表示的集合是（ ）.A ．{}3,6B ．{}4,7C ．{}1,2,4,5,7,8D ．{}1,2,3,5,6,8 【答案】A【解析】由阴影部分所表示的集合是()UA B ，而{1,2,4,5,7,8}A B ⋃=， 故(){3,6}UA B ⋃=.故选：A.5．调查了100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对于既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是（ ）.A ．最多人数是55B ．最少人数是55C ．最少人数是75D ．最多人数是80 【答案】B【解析】设100名携带药品出国的旅游者组成全集I ，其中带感冒药的人组成集合A ，带胃药的人组成集合B.又设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x ，则[]0,20x ∈，以上两种药都带的人数为y . 根据题意列出Venn 图，如下图所示：由图可知，()()card card 100x A B y ++-=. ∴7580100x y ++-=，∴55y x =+.∵020x ≤≤，∴5575y ≤≤，故最少人数是55. 故选：B.6．对于集合A ，B ，定义{|,}A B x x A x B -=∈∉，()()⊕=--A B A B B A .设{}1,2,3,4,5,6M =，{}4,5,6,7,8,9,10N =，则M N ⊕中元素的个数为（ ）.A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C【解析】由已知{}{}1,2,3,7,8,9,10M N N M -=-=， ∴()(){1,2,3,7,8,9,10}MN M N N M ⊕=-⋃-=.故选：C.7．已知集合(){}2(1)0A x x ax b x =++-=，集合B 满足条件{}1,2AB =，且(){3},U A B U R ⋂==，则a b +=_________.【答案】1. 【解析】因为{}1,2A B =，所以1,2A A ∈∈．又因为(){3}UA B ⋂=，所以3A ∈．所以2,3是方程20x ax b ++=的两个根，由韦达定理可知，2323ab +=-⎧⎨⨯=⎩， 解得5,6a b =-=，所以1a b +=． 故答案为：1．8．定义集合A 和B 的运算为{}*,A B x x A x B =∈∉，试写出含有集合运算符号“*”“”“”，并对任意集合A 和B 都成立的一个式子：_____________________. 【答案】()()**A A B A B B ⋂=⋃（答案不唯一）. 【解析】如下图所示，由题中的定义可得()(){}(){}(),,A A B x x A x A B x x A B x B A B B *⋂=∈∉⋂=∈⋃∉=⋃*.故答案为：()()**A A B A B B ⋂=⋃（答案不唯一）.9．若集合1A ，2A 满足12A A A ⋃=，则称()12,A A 为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当12A A =时，()12,A A 与()21,A A 为集合A 的同一种分拆，则集合{}123,,A a a a =的不同分拆种数是______ ．【答案】27.【解析】当1A =时必须2A A =，分析种数为1；当1A 有一个元素时，分析种数为132C ⋅； 当1A 有2个元素时，分析总数为2232C ⋅；当1A A =时，分析种数为3332C ⋅．所以总的不同分析种数为11223333331222(12)27C C C +⋅+⋅+⋅=+=．故答案为：27．10．图中U 是全集，A ，B 是U 的两个子集，用阴影表示：（1）()()U U A B ； （2）()()UU A B ⋃. 【答案】（1）图象见解析；（2）图象见解析.【解析】如下图阴影部分所示.11．学校开运动会，设{A x x =是参加100m 跑的同学}，{B x x =是参加200m 跑的同学}，{C x x =是参加300m 跑的同学}，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：（1）A B ； （2）A C ．【答案】规定说明：AB C =∅；（1）{A B x x ⋃=是参加100m 或参加200m 跑的同学}；（2）{A C x x ⋂=是参加100m 且参加300m 跑的同学}.【解析】每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，用集合运算说明为：A B C =∅；（1）由已知可得{A B x x ⋃=是参加100m 或参加200m 跑的同学}；（2）由已知可得{A C x x ⋂=是参加100m 且参加300m 跑的同学}.注：集合的并是“或”的关系，集合的交是“且”的关系.12．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－5＝0}．（1）若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；（2）若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围；（3）若U ＝R ，A ∩(∁U B )＝A ，求实数a 的取值范围．【答案】（1） －1或－3； （2） a ≤－3 ；（3） a <－3或－3<a <－11<a <－1或－1<a <－1a >－1【解析】由题意知A ＝{1，2}．（1）∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，将x ＝2代入x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－5＝0，得a 2＋4a ＋3＝0，所以a ＝－1或a ＝－3.当a ＝－1时，B ＝{－2，2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{2}，也满足条件．综上可得，a的值为－1或－3.（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A.对于方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，①当Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)<0，即a<－3时，B＝∅，满足条件；②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件；③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1，2}才能满足条件，这是不可能成立的．综上可知，a的取值范围是a≤－3.（3）∵A∩(∁U B)＝A，∴A⊆∁U B，∴A∩B＝∅.对于方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，①当Δ<0，即a<－3时，B＝∅，满足条件．②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，A∩B＝{2}，不满足条件．③当Δ>0，即a>－3时，只需1∉B且2∉B即可．将x＝2代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a＝－1或a＝－3；将x＝1代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a＝－，∴a≠－1，a≠－3且a≠－，综上，a的取值范围是a<－3或－3<a<－1或－1a<－1或－1<a<－1或a>－1＋.。
专题03 集合的基本运算(解析版)
提升训练1.3 集合的基本运算一、选择题1．（2018年浙江卷）已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则（ ）A ．B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5} 【答案】C 【解析】 因为全集，，所以根据补集的定义得,故选C. 2．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 因为集合，所以，故选C.3．（2019年北京卷文）已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =（ ） A ．（–1，1） B ．（1，2）C ．（–1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C 【解析】∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=> ， ∴(1,)A B ⋃=+∞ ， 故选C.4．（2019年新课标Ⅰ文)已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B A =（ ） A ．{}1,6 B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,7【答案】C 【解析】由已知得{}1,6,7U C A =，所以U B C A ⋂={6,7}，故选C ．5．已知R 是实数集，集合{}1,0,1A =-，{}210B x x =-≥，则()A B =Rð（ ）A ．{}1,0-B ．{}1C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】1|2B x x 禳镲=?睚镲铪1|2R C B x x 禳镲\=<睚镲铪即(){1,0}R A C B ?-故选A .6．已知集合{1,2,3,4},{3,6,7,9}A B ==，则A B 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】∵集合{1,2,3,4},{3,6,7,9}A B ==∴A ∩B ＝{3}， ∴A ∩B 中元素的个数为1． 故选：A ．7．设集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =≤，则A B =（ ）A ．{|2}x x ≥-B ．{|12}x x <<C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x ≥【答案】C 【解析】∵集合{|1}A x x =>， 2{|4}{|22}B x x x x =≤=-≤≤， ∴{|12}AB x x =<≤.故选：C ．8．已知集合{|07}U x N x =∈<<，{2,5}A =，{}1,3,5B =，则()U A B =ð（ ）A ．{5}B ．{}1,5C ．{2,5}D ．{}1,3【答案】D【解析】{|07}{1,2,3,4,5,6}U x N x =∈<<=，则{1,3,4,6}U C A =， 则(){1,3}U C A B =，故选：D ．9．（2019年浙江卷）已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B =ð（ ）A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-【答案】A 【解析】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-10．已知集合{1,2}A =，{|02}B x x =<<，则A B =（ ）A ．∅B ．{1}C ．{2}D ．{}1,2【答案】B 【解析】由题意，集合{1,2}A =，{|02}B x x =<<，所以{1}A B ⋂=，故选B.11．已知集合{}2|20A x x x =--=，{}2,1,0,1,2B =--，则AB =（ ）A ．{}2,1-B ．{}1,2-C ．{}2,1--D ．{}1,2【答案】B 【解析】解方程220x x --=可得12=-1,2x x ={}1,2A ∴=- {}2,1,0,1,2B =--{}1,2A B ∴=-.故选B.12．已知全集=U R ，集合{}{}=1,2,3,4,5=3A B x R x ∈≥，，图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}1,2B ．{}4,5C ．{}1,2,3D ．{}3,4,5【答案】A 【解析】由已知中阴影部分在集合A 中，而不在集合B 中，故阴影部分所表示的元素属于A ，不属于B （属于B 的补集），即(){}1,2R B A ⋂=ð. 二、填空题13．（2019年上海市春季高考）已知集合，，则_________________【答案】【解析】，本题正确结果：14．（2015年江苏卷)已知集合，，则集合中元素的个数为_______.【答案】5 【解析】15．（2017年江苏卷)已知集合{}1,2A =， {}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________ 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．16．（2015年上海卷)设全集．若集合，，则 ．【答案】【解析】因为，所以三、解答题17．若集合，当全集分别取下列集合时，求.（1）；（2）；（3）.【答案】（1）或；（2）或；（3）或. 【解析】（1），或（2），或（3），或18．已知集合，或，求，．【答案】或,或【解析】或或，或19．已知全集U=R，集合，．（1）若，求;（2）若，求实数的取值范围．【答案】(1) ..(2) .【解析】（1）因为，所以，故，.（2）因为，如图所示所以.20．若集合或，全集.（1）求；（2）若，，求的取值范围．【答案】（1）或}；（2）.【解析】（1）或，或（2）由题意可得下图：当时，21．设集合.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值集合.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由得：，解得：（2）①若，解得：或当时，，满足题意当时，，满足题意②若，解得：或当时，，，满足题意当时，，，满足题意综上所述，实数的取值集合为：22．已知集合，．（1）若，求的取值范围；（2）若，求的取值范围；（3）若，求的取值范围．【答案】（1）或；（2）或；（3）.【解析】由题意，集合，．（1）由，则满足，则或，解得或；（2）由，则满足或，解得或；（3）由，则满足，解得．。
213 集合的基本运算(培优讲义)-2022年初升高数学无忧衔接(解析版)
第2.1章集合2.1.3 集合的基本运算高中要求1 理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.2 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。
3能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.1并集概念由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集.记号A⋃B(读作:A并B)符号A⋃B={x|x∈A或x∈B}图形表示性质(1)A∪A=A，即一个集合与其本身的并集是其本身；(2)A∪∅=A，即一个集合与空集的并集是其本身；(3)A∪B=B∪A，即集合的并集运算满足交换律；(4)A∪B=B⟺A⊆B，即一个集合与其子集的并集是其自身．注生活中讲的“或”，如你妈奖励你数学考试满分：今晚大餐是吃羊排或海鲜；如电视剧里女生对男朋友说：你选她或我，表达的是“选其一不可兼得”.并列中的“或”有所不同，它指的是只要满足其中一个条件即可，比如学校搞个party，要求满足A∪B(其中A={身高170cm以上}，B={长得帅})，那身高162cm的贵哥由于长得帅当然能参加了，若刘德华想参加当然也可以(满足身高170cm以上，又帅).并列中的“或”是可以两者兼得的.【例】设集合M＝{4,5,6,8}，N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于.解析由并集的定义可知，M∪N={3,,4,5,6,7,8}.【练1】设集合A={菱形}，B={矩形}，判断正方形与A∪B的关系.解析正方形∈A∪B={菱形或矩形}【练2】设集合A={x|−1<x≤2,x∈N}，集合B={2,3}，则A∪B等于( )A.{2}B.{1,2,3}C.{−1,0,1,2,3}D.{0,1,2,3}解析∵A={x|−1<x≤2,x∈N}={0,1,2}，集合B={2,3}，∴A ∪B ={0,1,2,3}，故选:D .2 交集 概念由属于集合A 且属于集合B 所有元素所组成的集合，称为集合A 与B 的交集. 记号A⋂B (读作:A 交B ) 符号 A⋂B ={x|x ∈A 且x ∈B}图形表示性质 (1)A⋂A =A ，A⋂∅=∅；(2)A⋂B =B⋂A ；(3)A⋂B ⊆A ，A⋂B ⊆B ；(4)A⋂B =A ⟺A ⊆B ；注 (1)交集中的“且”，是“同时满足”的意思，比如学校搞party ，要求满足A⋂B (其中A ={身高170cm 以上}，B ={长得帅})，那身高162cm 的贵哥虽然长得帅但也遗憾出局，只有刘德华这样的人物才能参加.(2) 当集合A 和集合B 无公共元素时，不能说集合A,B 没有交集，而是A⋂B =∅．【例】设集合M ＝{4,5,6,8}，N ＝{3,5,7,8}，那么M⋂N 等于 .解析 由交集的定义可知，M ∪N ={5,8}.【练1】设集合A ={菱形}，B ={矩形}，那么A⋂B 等于 .解析 由交集的定义可知，A⋂B ={正方形}.【练2】设集合A ={−1,1,3},B ={a +2,a 2+4},A ∩B ={3},则实数a ＝ ．解析 因为A ∩B ={3}，根据交集的运算推理得：3是集合A 和集合B 的公共元素，而集合A 中有3，所以得到a +2=3或a 2+4=3(无解，舍去)，解得a =1．3 补集概念对于集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，称为集合A 相对于全集U 的补集.记号C U A (读作:A 的补集) 符号 C U A ={x|x ∈U,x ∉A}图形表示性质 (1)C U A ⊆U ；(2)C U U =∅，C U ∅=U ；(3)C U (C U A)=A ；(4)A ∪(C U A)=U ；A⋂(C U A )=∅.注 求集合A 的补集的前提是A 是全集U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同．【例】已知全集U ＝{1,2,,3,4,5,6,7}，A ＝{5,6,7}，则C U A 等于( )解析 全集U 中除去集合A 中元素剩下的元素是1,2,,3,4，则C U A ＝{1,2,,3,4}.【练】已知全集U ={1,2,3,4,5,6}，集合A ={2,3,5}，集合B ={1,3,4,6}，求集合A⋂(C U B ). 解析 ∵U ={1,2,3,4,5,6},B ={1,3,4,6}，∴C U B ={2,5}，∵A ={2,3,5}，则A ∩(C U B )={2,5}．【题型1】离散型集合运算【典题1】 设A ={x ∣x 2+ax +12=0}，B ={x ∣x 2+3x +2b =0}，A ∩B ={2}(1)求a,b 的值及A,B ；(2)设全集U =A ∪B ，求(C U A )⋃(C U B )．解析 (1)因为A ∩B ={2}，所以2∈A,2∈B ，所以4+2a +12=0⇒a =−8，4+6+2b =0⇒b =−5；所以A ={x ∣x 2−8x +12=0}={2,6},B ={x ∣x 2+3x −10=0}={−5,2}(2)由(1)可知：U =A ∪B ={−5,2,6}，C U A ={−5}，C U B ={6}，所以(C U A )∪(C U B )={−5,6}．变式练习1.设集合A ={x ∣x 2−2x −3=0}，B ={x ∣x 2=1}，则A ∪B 等于( )A ．{−1}B ．{1,3}C ．{−1,1,3}D ．{1,−3} 答案 C解析 依题意，A ={−1,3},B ={−1,1}，故A⋃B ={−1,1,3}，选C .2.已知集合U ={2,3,4,5,6,7}，M ={3,4,5,7}，N ={2,4,5,6}，则( )A ．M ∩N ={4,6}B ．M ∪N =UC ．(∁U N)∪M =UD ．(∁U M )∩N =N 答案 B解析 由U ={2,3,4,5,6,7}，M ={3,4,5,7}，N ={2,4,5,6}，得M ∩N ={4,5}，(∁U N)∪M ={3,4,5,7}，(∁U M)∩N ={2,6}，M ∪N ={2,3,4,5,6,7}=U ，选B .3.已知集合U ={x ∈Z |−3<x <8},∁U M ={−2,1,3,4,7},N ={−2,−1,2,4,5,7}，则M ∩N 的元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 U ={−2,−1,0,1,2,3,4,5,6,7}，则M ={−1,0,2,5,6}，∴M ∩N ={−1,2,5}，∴M ∩N 的元素个数为3．故选：C ．【题型2】连续型集合运算【典题1】 已知全集U =R ，集合A ={x ∣{3−x >03x +6>0}，B ={m|3>2m −1}， 求：(1) A ∩B ，A ∪B ； (2) C U (A ∩B)．解析 (1) ∵A ={x ∣{3−x >03x +6>0}={x ∣−2<x <3}，B ={m|3>2m −1}={m|m <2}． 用数轴表示集合A,B ，如图．∴A ∩B ={x|−2<x <2}，A ∪B ={x|x <3}．(2)由(1)知A ∩B ={x|−2<x <2}，如图所示．因此C U (A ∩B)={x|x ≥2,或x ≤−2}．点拨 处理涉及不等式的集合运算，多利用数轴进行运算.【典题2】集合A ={x|−1<x <1}，B ={x|x <a}．(1)若A ∩B =∅，求a 的取值范围；(2)若A ∪B ={x|x <1}，求a 的取值范围．解析 (1)如图所示，A ={x|−1<x <1}，B ={x|x <a}，∵A⋂B =∅，∴数轴上点a 在−1的左侧(含点−1)．∴a ≤−1．(2)如图所示，A ={x|−1<x <1}，B ={x|x <a}，∵A∪B={x|x<1}，∴数轴上点a在−1和1之间(含点1，但不含点−1)．∴−1<a≤1．点拨注意对端点的处理，确定是否取得到端点.变式练习1.集合A={x|−1≤x≤2}，B={x|x<1}，则A∩(C R B)=()A．{x|x>1} B．{x|x≥1} C．{x|1<x≤2}D．{x|1≤x≤2}答案D解析∵B={x|x<1}，∴C R B={x|x≥1}，∴A∩C R B={x|1≤x≤2}．2.已知全集U=R,集合A={x|x2−3x−4<0},B={x|x−1≤0},则集合A∩∁U B=()A．{x|−4<x<1}B．{x|−1<x≤1}C．{x|−1<x<4}D．{x|1<x<4}答案D解析∵A={x|−1<x<4}，B={x|x≤1}，U=R，∴∁U B＝{x|x>1}，∴A∩∁U B={x|1<x<4}．故选：D．3.设全集U为实数集R，M={x||x|>2}，N={x∣x2−4x+3<0}，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{x∣x<2}B．{x∣−2≤x≤2}C．{x∣−2≤x<1}D．{x∣1<x≤2}答案D解析根据图像可知阴影部分为N∩C R M，由M={x||x∣>2}可得C R M={x∣−2≤x≤2}；由N={x∣x2−4x+3<0}可得N={x∣1<x<3}；所以N⋂C R M={x∣1<x≤2}，故选D.4.已知集合A={x|x2−x−2<0},B={x|a−2<x<a},若A∩B={x|−1<x<0}，则A∪B＝()A．(−1,2)B．(0,2)C．(−2,1)D．(−2,2)答案D解析∵A={x|−1<x<2}，B={x|a−2<x<a}，且A∩B={x|−1<x<0}，∴a=0，∴B ={x|−2<x <0}，∴A ∪B =(−2,2)．故选：D ．【题型3】综合应用【典题1】设集合A ={x|x 2=4x}，B ={x|x 2+2(a －1)x +a 2−1=0}．(1)若A ∩B =B ，求a 的取值范围； (2)若A ∪B =B ，求a 的值．解析 (1)∵A ={x|x 2=4x}={0,4}，又∵A ∩B =B ，∴B ⊆A ．①若B =∅，则Δ=4(a −1)2−4(a 2−1)<0，解得a >1．因此当a >1时，B =∅⊆A ．②若0∈B ，则0为方程x 2+2(a −1)x +a 2−1=0的一个根．即a 2−1=0，解得a =±1．当a =1时，B ={x ∣x 2=0}={0}⊆A ；当a =−1时，B ={x|x 2−4x =0}=A ． ③若4∈B ，则4为方程x 2+2(a −1)x +a 2−1=0的一个根，即a 2+8a +7=0，解得a =−1或a =−7．由②知当a =−1时A =B 符合题意，当a =−7时，B ={x ∣x 2−16x +48=0}={4,12}⊈A ．综上可知：a ≥1，或a =−1．(2) ∵A⋃B =B ，∴A ⊆B ．又∵A ={0,4}，而B 中最多有2个元素，∴A =B ，即0,4为方程x 2+2(a −1)x +a 2−1=0的两个根．∴{−2(a −1)=4a 2−1=0，解得a =−1． 点拨 集合运算的性质：A ∩B =B ⟺B ⊆A ，A⋃B =B ⟺A ⊆B ，可用venn 图理解下.变式练习1.已知A ={x|x 2+ax +b =0}，B ={x|x 2+cx +15=0}，A ∪B ={3,5}，A ∩B ={3}，则实数a = ，b = ，c = ．答案 a =−6,b =9,c =−8.解析 ∵A ∩B ={3}，∴由9+3c +15=0，解得c =−8.由x 2−8x +15=0，解得B ={3,5}，故A ={3}．又a 2−4b =0，解得a =−6，b =9.综上知，a =−6,b =9,c =−8.2.设A ={x|x 2+4x =0},B ={x|x 2+2(a +1)x +a 2−1=0}，其中x ∈R ，如果A ∩B =B ，则实数a 的取值范围 ．答案 (−∞,−1]∪{1}解析由A中方程变形得：x(x+4)=0，解得：x=0或x=−4，即A={−4,0}，由B={x|x2+2(a+1)x+a2−1=0}，其中x∈R，且A∩B=B，分两种情况考虑：若B=∅时，Δ=4(a+1)2−4(a2−1)=8a+8<0，即a≤−1，满足题意；若B≠∅，Δ=4(a+1)2−4(a2−1)=8a+8≥0，即a≥−1，此时把x=−4代入得：16−8a−8+a2−1=0，即a=−1或a=−7(舍去)；把x=0代入得：a=1或−1，综上，a的范围为(−∞,−1]∪{1}．。
13集合的基本运算-2021-2022学年高一数学精讲与精练高分突破考点专题(人教A版2019)
(1)并集.定义:一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集，记作AUB(读作“A并B"),即AUB={x|x∈A，或x∈B}.性质A∪B=B∪A;A⊆A∪B,B⊆A∪B;A∪A=A,A∪φ=A. .若A∪B=B，则A⊆B.(2)交集定义:一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B(读作“A交B"),即A∩B={x|x∪A,且x∪B}.性质A∩B=B∩A;A∩B⊆A,A∩B⊆B;A∩A=A ,A∩φ=φ.若A∩B=A,则A⊆B.(3)全集和补集全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作C U A ,即C U A={x|x∈U,且x∉A}可用Venn图表示如图.性质AU(C U A )=U,A∩(C U A )=Q ,C U(C U A )=A ,C U U=φ,φ=U.C U(A∩B)=(C U A)U(C U B),C U(A∪B)=(C U A)∩(C U B).若A=B,则C U A=C U B,反之也成立已知集合A={x|x2−x−6<0}，B={x|0<log4x<1}，则A∩B=（）A.{x|1<x<3}B.{x|−2<x<4}C.{x|1<x<4}D.{x|−2<x<3}【答案】A【解析】A={x|x2−x−6<0}−2，B={x|0<log4x<1}=(1,4)，则A∩B=(1,3)，故答案为：A．已知全集U=R，集合A={x|x(x−3)⩾0}，B={x|y=√2−x}，则(∁U A)∩B等于（）A.(0,2)B.(0,3)C.∅D.(0,2]【答案】D【解析】因为集合∁U A={x|x(x−3)<0}=(0,3)，B=(−∞,2]，所以(∁U A)∩B=(0,2]，故答案为：D.1.设A={x|x>1}，B={x|x2−x−2<0}，则(C R A)∩B=（）A.{x|x>−1}B.{x|−1<x≤1}C.{x|−1<x<1}D.{x|1<x<2}【答案】B【解析】C R A={x|x≤1}，B={x|x2−x−2<0}={x|(x−2)(x+1)<0}={x|−1<x<2}则(C R A)∩B={x|−1<x≤1}故答案为：B2.已知集合M={y|y=x2−1,x∈R}，N={x|y=√3−x2}，则M∪N=（）A.[−1,+∞)B.[−1,√3]C.[√3,+∞)D.[−√3,+∞)【答案】 D【解析】x∈R，y=x2−1≥−1，当且仅当x=0时取“=”，于是得M=[−1,+∞)，函数y=√3−x2中，由3−x2≥0得−√3≤x≤√3，即N=[−√3,√3]，所以M∪N=[−√3,+∞)．故答案为：D3.设集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x≤1}，则A∩B=（）A.(−∞,1]B.(−∞,2]C.[0,1]D.[1,2]【答案】C【解析】由已知得出A∩B={x|0≤x≤1}。
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专题3 集合的基本运算
题组1 Venn图表达的集合关系及应用
1.集合A＝
，B＝，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为()
A.7
B.8
C.15
D.16
【答案】C
【解析】A＝，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝，
∴真子集个数为24－1＝15.
2.定义差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A
－B)可表示下列图中阴影部分的为()
A.答案A
B.答案B
C.答案C
D.答案D
【答案】A
【解析】如图所示，A－B表示图中阴影部分，故C－(
A－B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分，故选A.
3.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，求该网店
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