12工程电磁场分析的数理基础2

故在球坐标系中，引入德拜（Deby）位，
e
P er r
m
P mr r
式中, e为电德拜位, n为磁德拜位, P er为赫兹电位的r分量, P mr 为赫兹磁位的r分量
1.6.1 动态场中的动态位方程
• 由任意向量旋度的散度与任意标量梯度的旋度均恒等 于零，对动态电磁场，可验证有
以上两式分别定义了：
– 而动态向量位A则与时变的电流分布相联系，从而 可选择涡流密度：
• 在以上分析基础上，依据基本方程（1-14）， 结合关系式（1-46）、（1-47），可得描述磁 准静态场的动态位方程为
– 上式兼容了场域中可能存在非线性媒质的一般情 况。
• 若场域中媒质为各向同性的线性媒质，则引 入库仑规范，式（1-48）可简化为
• 对于线性、均匀且各向同性媒质，设场 域中无自由电荷，则由式（1-1）取旋度， 并以：J=gE
E H
t
代入，便得
–由于 –代入（1-27），即得
• 同理可证
• 式（1-28）、（1-29）就是由一个场分量（H、 B、E、D）所描述的一般齐次波动方程。
• 在特定情况下，基于以上各场分量的导 出方程可进一步分别归结为 ：
• 对于正弦稳态条件下的磁准静态场，动 态位方程（1-49）的相量形式即为
– 式中：V 1/ ，称为相位速度；为正弦激励 的角频率。
1.6.2 磁准静态场中的动态位方程
• 对于磁准静态场，在忽略位移电流的前提下，式（139）即成为
– 上式A的散度是施加的约束条件，被称为库仑规范。
• 相应地，式（1-40）也就简化为
• 但注意，由于此时在导电媒质内伴随有涡流与集肤效 应，因而无从预先给定截流导体内电流密度J的分布。 换句话说，不可能依据式（1-45）直接求解动态位A。
• 由此可导出简单而且对称的位函数方程组
• 上两式是分别关于动态向量位A和动态标量位j 的非齐次波动方程，常称为达朗贝尔方程。
• 这两个方程和式（1-39）（洛仑兹规范）一起构 成了与MAXWELL方程组等价的一个方程组。
• 对于时谐电磁场，场空间中各场点的动态 位A(r, t )和j (r, t)也可分别再用复相量表 示为 和 ，而相应的达朗贝尔方 程的相量形式就成为
–(1)理想介质（g=0）中的电磁波方程（波 动方程）
– (2)良导电媒质（g>>）中的涡流方程 （扩散或热传导方程）
– (3)正弦稳态时变场中的涡流方程（相量形式的扩 散或热传导方程）
– (4)没有自由电荷分布区域中的静电场方程（拉普 拉斯方程）
– (5)没有传导电流分布区域中的恒定磁场方程（拉 普拉斯方程）
2
t
2 t 2
HEB
0
理想介质（ 0 ）中的波动方程：
2
2 t 2
HEB
0
正弦稳态时变场中的波动方程：
采用时间相位因子 e jt ，则 t
j, 2
t 2
2 ，波动方程为
( 2
k
2
)
H B E
0
其中 k 为波数， k 2 ， 为波长。
H的导出方程：
E
f
*
t
A*
赫兹电位P :
A
P
,
t
f P
赫兹磁位P * :
A*
t
P
*
,
f * P *
t
Lorentz条件
:
A
f
f
0
t
• 可以证明，位函数满足以下形式的微分方程
2 A
2A
J
t 2
2f 2f
2P
t 2
2P
P
P
2P *
t 2
2P
*
• 引入多种辅助函数，即位函数（如电 位），然后由源（如电荷）求位函数， 再由位函数计算电场或磁场。
• 位函数有：
– 矢量位A， – 标量位f， – 赫兹（Herz）矢量位P
• 位函数定义如下(周希朗）
矢量磁位A :
B A
矢量电位A* :
标量电位f :
D
E f
A* A
标量磁位f * :
• 分析表明，在导电媒质中流通的电流都遵从 式（1-7），而其中的电流密度既应表征由外 源施加的电流密度Js，又应表征媒质内感生 的涡流密度Je，即
• 代入式（1-36），
• 可得
• 注意到在静态极限情况下上式将归结为，
• 因此，可以对式（1-47）中每一项的物理意义 作出判断，即
– 动态标量位j可看作为自由电荷系统（体、面、线 电荷系统）所产生的标量位场，
– 动态向量位函数A(r, t) – 动态标量位函数j(r, t)
它们自动满足MAXWELL方程组中（1-3）和（1-2）。
• 但须知，引入位函数表示场量B和E，含有任意性的 成分。
– 因为如果令
– 则可给出同样的B和E。
• 位函数按照式（1-37）和（1-38）的变换，称为规范 变换，而保持B和E不变性，则称为规范不变性。
1.5 场向量的微分方程-波动方程
• MAXWELL微分方程组，在数学上
– 多重耦合、 – 多变量、 – 求解困难.
• 一般先导出由单个场向量所给定的解耦的微 分方程。
– 由MAXWELL方程组导出由场向量H、B、E、D 或J所满足的偏微分方程。
无源区域（ J＝0, 0 ）的一般化齐次波动方程：
• 由于存在这一规范不变性，所以对应于一组B和E的 值，可以有无穷多组A和j的取值，即位函数不是唯 一的。
• 任意性可以导致随意规定，要采用规范对A的 散度施加约束条件。
• 规范的选择原则：
– １）唯一地确定相应的位函数值， – ２）可简化相应的位函数方程。
• 通常，对自由空间中的动态电磁场，引入如 下的洛仑兹规范：
1.6 位函数的微分方程 (有源）
---位函数和波方程
– 一个场向量的微分方程对应于三个标量微 分方程。即在任一场点上，待求的自由度 数是三个，因此离散化后的自由度数是相 当可观的。
– 为减少待求自由度数，提高计算效率，同 时，也为了简化概念，构造简便的数学模 型，引入和应用各种电磁场位函数。
位函数
t
P
*
M
t 2
t
因上各式的解为波函数，因此也称它们为波（动）方程。
• 在无源无耗区，赫兹位满足以下方程
2P
2P
0
2P *
t 2
2P *
0
t 2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
由赫兹位计算电场和磁场的公式为
E
P
P
*
H
P *
t
P
t
P
在直角坐标系中，矢量位的三个分量均满足波动方程； 在柱坐标系中，矢量位的z分量满足波动方程； 在球坐标系中，矢量位的所有分量均无法满足波方程。