整式和分式

第三章 整式和分式 一、内容提要 1、⎧⎨

⎩单项式：若干字母与数字之积整式多项式：若干单项式之和

2、乘法运算

（1）单项式×单项式 2x ·32

x =63

x （2）单项式×多项式 x （2x-3）=22

x -3x （3）多项式×多项式（2x+3）（3x-4）=62x +x-12 3、乘法公式（重点） （1）2

2

2

()2a b a ab b ±=±+

（2）2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++ 2222()222a b c a b c ab bc ac --=++-+- （3）33322()33a b a b a b ab +=+++ 33322()33a b a b a b ab -=--+ （4）2

2()()a b a b a b -=+- （5）3

3

2

2

()()a b a b a ab b +=+-+ 3

3

2

2

()()a b a b a ab b -=-++

4、分式：用A,B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成

A B 的形式，如果B 中还有字母，式子A B

就叫分式，其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。在解分式方程的时候要注意检验是

否有増根

5、有理式：整式和分式统称有理式

6、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变

7、分式的约分：其目的是化简，前提是分解因式

8、分式通分：目的是化零为整，前提是找到公分母，也就是最小公倍式 9、分式的运算：

加减法：

a c a c

b b b ±±=

c a

d bc d bd ±±= 乘法：a c ac

b d bd

∙=

除法：

a c a d ad

b d b

c bc

÷=∙= 乘方：()n

n n a a b b

=

10、余式的定义（重点）：被除式=除式×商+余式

F(x)=f （x ）g(x)+r(x)

当r （x ）=0时，称为整除 11、()()()f x x a f x x a -⇔-含有（）因式能被整除 12、二次三项式：十字相乘可以因式分解

形

如

２

ａｘ＋ｂｘ＋ｃ

１ａ １ｃ

２ａ ２

ｃ

１２１２２１１２ａａ＝ａ，ａc ＋ａc ＝ｂ，ｃｃ＝ｃ 13.因式定理

f(x)含有（ax-b ）因式⇔f(x)可以被（ax-b ）整除⇔f(b

a

)=0 f(x)含有（x-a ）因式f(a)=0

二、因式分解

常用的因式分解的方法 1、 提公因式法

【例】

３２２４

２２２

２２

　２ｘ－１２ｘｙ＋１８ｘｙ＝２ｘ（ｘ－６ｘｙ＋９ｙ）＝２ｘ（ｘ－３ｙ）

2、公式法

±±±±±++---+２２２２２

３２２３３

３３２２

３３２２ａ２ａｂ＋ｂ＝（ａｂ）ａ－ｂ＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）ａ３ａｂ＋３ａｂｂ=（ａｂ）ａｂ＝（ａｂ）（ａａｂ＋ｂ）ａｂ＝（ａｂ）（ａａｂ＋ｂ）

3、十字相乘因式分解，适用于2

ax bx c ++，见上面第12小点

4、分组分解法

（1）2

ax bx c ++ 十字相乘

（2）3ax bx c ++ 了解内容

3ax bx c ++=312ax bx c c +++=312ax c bx c +++ （3）42ax bx c ++2

2

t x at bt c =++设将原式化为 （4）32ax bx c ++

方法一、拆中间项

322122

2

12()()

ax b x b x c x ax b b x c =+++=+++

方法二

3212ax c bx c =+++ 立方公式 平方差

ex ：3232221332123x x x x x -+=--+ （5）5ax bx c ++

方法一、

533ax dx dx bx c +-++ 方法二、522

ax dx dx bx c +-++ （6）待定系数法（见讲义24页）

多项式1110.....0n n n n a x a x a x a --++++=的根为0a 的约数除以n a 的约数 （7）双十字相乘法

应用：22ax by cxy dx ey f +++++ x y 常数

1a 1b 1f

2a 2b 2f

=111222()()a x b y f a x b y f ++++

其中

121212122112211221,,,,a a a b b b f f f

a b a b c a f a f d b f b f e ===+=+=+=

经典例题：

1.实数范围内分解2(1)(6)(516)x x x x +--+(1)(2)(3)(4)120x x x x ++++-有（B ）： A ．2(1)(6)(516)x x x x +--+ B ．2(1)(6)(516)x x x x -+++ C ．2(1)(6)(516)x x x x ++-+ D ．2(1)(6)(516)x x x x -++- E ．以上都不对

解答：用特殊值代入得B 设X=-1

2.已知0abc ≠且0a b c ++=，则 111111()()()a b c b c a c a b

+++++=（A ） A ．-3 B ． -2 C ．2 D ．3 E ． 以上全不对

解答：111111()()()()()()()()()()()()()()()3a b c b c a c a b a a b b c c b c a c a b a c b a c b

b b

c c a a a c a b b c b c a b c a

b c a +++++=+++++=+++++=+++++=---++=-