三阶幻方的构造方法

三阶幻方的构造方法

洛阳市王城公园西门内屹立着一椭圆形棕色巨石，那就是河图洛书碑．

所谓洛书，指的是用1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字，组成三行三列的方阵．它的每行每列及两条对角线上的三个数字的和都等于15.古时候称九宫图 ，数学上称为三阶幻方．这一问题有许多解法．这里介绍七种解法．

一 凑

这个问题介绍给小孩子们，他们会用九张纸片，分别写上九个数字（或者用九张扑克牌）在桌（地）面上摆出来答案．此法是＂凑＂出来的．

二 转

第一步把九个数字摆成图一．第二步让周围的八个数字绕着中心的数字依次转动一个位置，成图二，第三步将对角的数字进行对换，成图三．这个方法归结为＂一排，二转，三对换＂．这个方法可以让孩子作游戏，也是有趣的．

987654321 698357214 4

923578

16

图一＂排＂ 图二 ＂转＂ 图三 ＂对换＂

三 杨辉法

我国古代数学家在＂续古摘奇算法＂中，总结洛书幻方的构造方法时写到：＂九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出＂具体作法如图四――图七．

968

357

24

1

168357249

图四 九子排列 图五 上下对易

1687532

49

4

923578

16

图六 左右相更 图七 四维挺出

四 罗伯法

［1］ 中所举的罗伯法也可以用来作三阶幻方．罗伯法是这样讲的．

1居上行正中央，依次斜填且莫忘，上出框往下写，右出框时左边放．排重便在下格填，右上排重一个样．罗伯法排出的三阶幻方见图八．

294753618 7

84951

6

23

9

34159672 图八 图九 图十

巴舍法

先画一个凸阶梯形，先填成图九，然后按＂上移下，下移上，左移右，右移左＂（作出的结果与杨辉法完全相同）进行调整成为图十．

五 行列交会法

首先将九个数字排成图十一，然后将中间行中间列不动，作为幻方的左右主对角线，如图十二，因每一个数都是一条左对角线与一条右对角线的交点．所以其它每一个数的行列位置按照：＂左对角线与中间列的交点的行为行，右对角线与中间行的交点的列为列＂的法则确定．作出的结果如图十三．

9876543

21

6

8524 图十一 图十二

6187532

94 9

8665

4

321x x x x x x x x x 图十三 图十四

六 数学解法

设图十四构成三阶幻方，列出方程组

⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++=++=++=++)8.(..........15)7..(..........

15)6..(..........15)5..(..........

15)4..(..........15)3..(..........15)2..(..........15)1...(. (15753)

951063852741987654

321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 由(7)+(8)+(2)=(4)+(6)+53x 知453305=+x 得55=x

由(1)+(2)得5.....21551542=-+=+x x x x x 代入

得)9.....(220142x x x -=+

若11=x 则1842=+x x 矛盾 所以11≠x

若31=x 则1442=+x x 则只有8,642==x x 或或6842==x x 或只考虑其中一种 以6,321==x x 代入得63=x 矛盾 所以,31≠x

令21=x 代入（9）得1642=+x x 则只有9,742==x x 或 或7,942==x x 或 不妨取7,942==x x 则.

以4)19,2321===x x x 得代入（

以6)47,2321===x x x 得代入（

以8)75,2951===x x x 得代入（

以1)55,9852===x x x 得代入（

以3)15,7654===x x x 得代入（

从而得到三阶幻方的解．

七 奇偶分析法

在＂六＂中得到55=x 以后，将其代入(2),(5),(7),(8)得到：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+)13.........(

10)12.........(

10)11.........(10)10.........(1073918264x x x x x x x x

由以上四个方程可以看出73918264,,,x x x x x x x x 与与与与的奇偶性相同，又幻方交换一三两行后仍然是幻方，交换一三两列后仍然是幻方，所以四个角的奇偶性是相同的．今断言，四个角上的数字不能是奇

数，如果四个角上的数字是奇数，那么,,8264x x x x

只能是偶数于是15321≠=+奇＋偶＋奇　＋x x x 矛盾．所以7391.,.x x x x

　只能是偶数．由(12),(13)可知，而且只有2+8,4+6,不妨取6.4,8.,27391==x x x x 则 取＝　则＝随后便可确定,.,8264x x x x 的值．

参考材料：

［1］张君达 《小学数学奥林匹克数学专题讲座》

北京师范学院出版社 1987年北京版 第24页 中师教育研究 1995年第二期