四 数字控制器直接设计方法

1 z Y ( z ) ( z ) R( z ) (2 z 1 z 2 ) (1 z 1 )2
长除法
2 z 2 3z 3 4 z 4
nz n
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第二拍时跟踪上了输入 的变化，稳态误差为零， 实现了完全跟踪。
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4.1.2 最少拍系统对数字控制器设计的要求 一、物理上的可实现性要求 • 所谓物理上的可实现性是指数字控制器当 前的输出信号，只能与当前时刻的输入信 号以及过去的输入信号和输出信号有关， 而与将来的输入信号无关。 • 数字控制器一般具有下列形式：
U ( z ) b0 z M b1 z M 1 b2 z M 2 bM D(z) E (z) z N a1 z N 1 a 2 z N 2 a N
采样周期为1s，输入为单位速度函数，试设计最少 拍有波纹系统的数字控制器D(z)。 解：
10 G( s) 1 G ( z ) (1 z ) Z (1 z ) Z 2 s ( s 1) s
1
1 Tz 1 1 1 10(1 z ) 1 2 1 T 1 (1 z ) 1 z 1 e z
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R
E
校正装置
+
D(s)
U
被控对象
G(s)
Y
-
Y ( z) D ( z )G ( z ) ( z) R ( z ) 1 D ( z )G ( z )
E (z) R (z) Y (z) Y (z) e ( z ) 1 1 (z) R (z) R (z) R (z)
1 M
e ( z ) (1 z )
1 m
( z) 1 (1 z )
1 m
1 m
( z) 1 (1 z ) D( z ) G ( z )e ( z ) G ( z )(1 z 1 ) m
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例4-1 某计算机控制系统如图4-1所示，被控对象 为 10 G (s) s ( s 1)
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若系统G（z）含不稳定的零极点，如何处理？
Y ( z) D( z ) G ( z ) ( z ) R( z ) 1 D( z ) G ( z )
能否直接用D(z)的极点（或零点）来抵消 G(z)的不稳定零点（或不稳定极点）？
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• 这种抵消理论上可得到一个稳定的控制系统。 但是，这种稳定是建立在被控对象的不稳定 零点（或不稳定极点）被控制器的极点（或 零点）准确抵消的基础上的。 • 实际控制中，由于系统参数辨识的误差，以 及参数随时间的变化，这类抵消是不可能准 确实现的。 • 假定被控对象只含一个不稳定的极点，观察 简单地用D(z)的零点来抵消G(z)的不稳定极 点的后果。
• 最少拍系统也称为最少调整时间系统或最 快响应系统。在采样控制系统中，通常把 一个采样周期称为一拍。
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• 最少拍系统设计的具体要求：
（1）准确性。对典型的参考输入信号，在系统达 到稳态后，采样时刻的输出值能准确跟踪输入信 号，不存在静差。 （2）快速性。在各种使系统在有限拍内达到稳态 的设计中，系统准确跟踪输入信号所需的采样周 期数应为最少。 （3）物理可实现性。数字控制器必须在物理上是 可以实现的。 （4）稳定性。闭环系统必须是稳定的。
( z ) [ (1 ai z 1 )] F1 ( z )
i 1
m2 j 1
m1
e ( z ) 1 ( z ) [ (1 b j z 1 )] F2 ( z )
F1 ( z ) D( z ) * G ( z ) F2 ( z )
D(Z)不含有不稳定 零极点
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按快速性要求：三种典型输入的设计结果：
注：对象稳定且无圆上和圆外零点，G(z)不含纯滞后。
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4.2 最少拍有波纹系统的设计
稳态，按快速性原则设计
4.2.1 特殊情况下最少拍有波纹系统的设计
e (z) 1 ( z ) (1 z ) F3 ( z ), M m
E ( z ) e(0) e(1) z 1
单位阶跃
r (n) 1(n) r (n) nT
单位速度
单位加速度
1 r (n) (nT ) 2 2
e( n ) z n e( n ) z n n 0 1 R( z ) 1 z 1 Tz 1 R( z ) 1 2 (1 z ) T 2 z 1 (1 z 1 ) R( z ) 2(1 z 1 )3
1 ( z) ( z) D( z ) G ( z ) 1- ( z ) G (z)e ( z )
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2.直接设计法的基本原理和设计步骤 （1）思路：已知G(z)和Φ (z)，求D(z)。 （2）设计步骤：
G ( z ) (1 z
1
Gc ( s ) )Z[ ] s
• 输入为单位阶跃函数时
1 2 3 4 Y ( z ) (2 z z ) 2 z z z 1 1 z y (0) 0, y (1) 2, y (2) 1, y (3) y (4) 1
1 2
单位阶跃输入，两拍后，输 出完全跟踪输入，但N=1, 超调为100%。
lim e(n) lim(1 z 1 )[1 ( z)] R( z) lim(1 z 1 )3 R( z)
n z 1 z 1
2 1 1 T z (1 z ) 1 3 2 e() lim (1 z ) T 1 3 z 1 2(1 z )
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G(z)不稳定零、极点的正确处理方法：
不稳定的极点
G( z)
[ (1 ai z )] FZ ( z )
1
m1
不稳定的零点
[ (1 b j z 1 )] FP ( z )
j 1
i 1 m2
| ai | 1,| b j | 1
最少拍系统的稳定条 件，或系统稳定性对 闭环传函的要求

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A( z ) X ( z) (1 z 1 ) m
典型输入的一般表 达式
(m 1, 2,3)
准确性要求：对于某种典型输入，在采样点上无稳态误差：
lim e(n) lim(1 z 1 ) E( z) lim(1 z 1 )[1 ( z)] X ( z)
n z 1 z 1
A( z ) lim e(n) lim(1 z )[1 ( z )] n z 1 (1 z 1 ) m
1
要使系统稳态误差为0，要求1-φ（z）必须包含（1-z-1）, 且幂次不能低于m,即：
e ( z ) 1 ( z ) (1 z 1 ) M F3 ( z ), M m 上式即系统稳态误差为零的条件。
b0e[n ( N M )] b1e[n ( N M 1)] bM e(n M )
• 数字控制器满足物理上可实现性的条件：
M N
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二、稳定性要求 • 在进行离散系统稳定性分析时，曾得到如下 结论：离散系统的稳定性条件是系统脉冲传 递函数的特征根必须全部在单位圆内，即
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U ( z ) b0 z ( N M ) b1 z ( N M 1) bM z N D( z ) E( z) 1 a1 z 1 a2 z 2 aN z N
u(n) a1u(n 1) a2u(n 2) aN u(n N )
z i 1, i 1, 2,
• 系统的特征方程式为：
,N
1 D( z )G( z ) 0
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微型计算机控制技术 • 在分析连续系统的稳定性时，主要根据是系统传递函数的 极点是否都分布在s平面的左半部。如果有极点出现在s平 面右半部，则系统不稳定。所以s平面的虚轴是连续系统 稳定与不稳定的分界线。 • 描述离散系统的数学模型是脉冲传递函数，其变量为z,而 z与s之间具有指数关系，即z=eTs，如果将s平面按这个指 数关系映射到z平面，即找出s平面的虚轴及稳定区域(s左 半平面)在z平面的映象。 • s平面的虚轴在z平面的映射为一单位圆
1 ( z) 1 ( z) D( z ) G ( z ) 1 ( z ) G ( z ) e ( z )
问题归结为：如何由性能指标及系统特点，确定Φ (z)。
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• 所谓最少拍系统，是指系统对典型输入如 单位阶跃、单位速度或单位加速度输入具 有最快的响应，且系统的稳态误差为0。
3.68 z 1 (1 0.718 z 1 ) G( z ) (1 z 1 )(1 0.368 z 1 )
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e ( z ) (1 z )
( z) 2 z z
1
1 2
2
准确和快速性要求的条件 约束
( z) 0.543(1 0.5 z 1 )(1 0.368 z 1 ) D( z ) G ( z )e (z) (1 z 1 )(1 0.718 z 1 )
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控制器传函
1 G0 ( z ) 原系统传函 (1 pz )( z ) G( z) D( z ) 1 1 pz G0 ( z ) 参数变动后系统传函 G ( z ) 0 G* ( z ) ( z p p) 1 1 ( p p) z
1 G ( z ) D ( z ) (1 pz ) ( z ) * ( z) * 1 G ( z ) D( z ) (1 pz 1 ) p[1 ( z )]z 1 *
1 ( z) D z G ( z ) e ( z )
FZ ( z ) G ( z) FP ( z )
*
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三、准确性要求
E ( z ) R( z ) Y ( z )
E ( z ) R( z )[1 ( z )] R( z )e ( z )
闭环系统传函
1 pz 1 p[1 ( z)]z 1 0
闭环系统特征方程
结论：在最少拍系统设计中，G(z)和D(z)不允许 施行不稳定零、极点之间的相互抵消。
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不稳定极点的处理方法
例题4-1
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不稳定极点的处理方法
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控制效果比较
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第4章 数字控制器的直接设计方法
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设计思路
1.在连续控制系统中，系统的动态指标和静态指标取 决于闭环传函Φ (s)，还是被控对象G(s)? r(t) +
校正装置 被控对象
D(s) -
G(s)
c(t)
取决于D(s)G(s)，即闭环传函Φ (s)。 也就是说，对于不同的对象，为了达到同一个性能指 标，可以根据对象设计校正装置来实现。
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• 输入为单位加速度函数时
1 1 z (1 z ) 1 2 2 3 4 5 Y ( z ) (2 z z ) z 3.5 z 7 z 11.5 z 2(1 z 1 )3
y (0) y (1) 0, y (2) 1, y (3) 3.5, y (4) 7, y (5) 11.5, r (0) 0, r (1) 0.5, r (2) 2, r (3) 4.5, r (4) 8, r (5) 12.5,