利用求导法则构造函数

联想导数运算法则，构造可导函数

以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“()()f x g x ±、()()f x g x 、

()

()

f x

g x ”等特征式、旨在考查导数运算法则的逆用、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．本文结合实例介绍此类问题的几种常见形式及相应解法，

总结：常用的有：

和与积联系

()()f x xf x '+，构造()xf x ； 22()()xf x x f x '+，构造2()x f x ；

2()()f x xf x '+，同样构造2()x f x ； 3()()f x xf x '+，构造3()x f x ； …………………

()()nf x xf x '+，构造()n x f x ； ()()f x f x '+，构造e ()x f x ．等等．

减法与商联系：

如()()0xf x f x ->'，构造()

()f x F x x

=

； ()2()0xf x f x ->'，构造2

()

()f x F x x =； …………………

()()0xf x nf x ->'，构造()

()n

f x F x x =．

()()f x f x '-，构造()

()e x

f x F x =

， ()2()f x f x '-，构造2()

()e

x

f x F x =， ………………

()()f x nf x '-，构造()

()e nx

f x F x =

， 奇偶性结论：奇乘除奇为偶；奇乘偶为奇。（可通过定义得到） 构造函数有时候不唯一，合理构造函数是关键。 给出导函数，构造原函数，本质上离不开积分知识。 （一）巧设“()()y f x g x =±”型可导函数

当题设条件中存在或通过变形出现特征式“()()f x g x ''±”时，不妨联想、逆用“()()[()()]f x g x f x g x '''±=±”，构造可导函数()()y f x g x =±，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．

1．若()f x 的定义域为R ，()3f x '>恒成立，(1)9f =，则()36f x x >+解集为（）

A ．()11-，

B ．()1-+，

∞ C ．()1--，

∞ D ．()1+，

∞ 【答案】D ．

【解析】令()()36F x f x x =--，()()30F x f x ''=->恒成立，即()F x 在定义域上单调递增．

又(1)(1)90F f =-=，则()0(1)F x F >=，即1x >．故本题答案选D ． 解法二：将题中的含导数不等式移项为一边为零：令()()3g x f x x =-

变式1．1．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)3f =，且()f x 的导数()f x '在R 上恒有()2()f x x <'∈R ，则不等式()21f x x <+的解集为（） A ．()1+，∞ B ．()1--，∞

C ．()11-，

D ．()()11--+，

，

∞∞ 【答案】A

【解析】令()()21g x f x x =--，()()20g x f x '-'=<，所以()g x 在R 上单调递减，又(1)0g =，所以()0g x <的解集为()1+，

∞，选A ． 变式：1．2．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x '是()f x 的导函数，且(2)3f =，()1f x '<，则不等式()1f x x >+的解集为_______．

【答案】()2-，

∞． 【解析】令()()(1)g x f x x =-+，因为(2)3f =，且()1f x '<，所以(2)0g =，()0g x '<， 即()()(1)g x f x x =-+在R 上单调递减，且()1f x x >+可化为()(2)g x g >，则2x <，

即不等式()1f x x >+的解集为()2-，

∞． 点睛：本题考查利用导数研究不等式的解集．解决本题的关键是合理根据条件(()1f x '<且(2)3f =)构造函数()()(1)g x f x x =-+和()(0)g x g >，再利用单调性进行求解．

2．函数()f x 的定义域为R ，(2)2018f -=，若对任意的x ∈R ，都有()2f x x '<成立，则不等式2()2014f x x <+的解集为________．

【答案】()2-+，

∞ 【解析】构造函数2()()2014g x f x x =--，则()()20g x f x x ''=-<，所以函数()g x 在定义域上为减函数，且2(2)(2)220142018420140g f -=---=--=，由2()2014f x x <+有2()20140f x x --<，即()0(2)g x g <=-，所以2x >-，不等式2()2014f x x <+的解集为()2-+，

∞． 点睛：本题主要考查抽象不等式的解法，导数在求函数单调性中的应用，属于中档题．构造函数是解答本题的关键．

变式：设定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =，()1f x '＜，则不等式22()1f x x +＞的解集为________．

答案：(－1，1)．换元

3．设奇函数()f x 在R 上的可导函数，当0x ＞时有()cos 0f x x '+＜，则当0x ≤时，有 A ．()sin (0)f x x f +≥ B ．()sin (0)f x x f +≤ C ．()sin (0)f x x f -≥

D ．()sin (0)f x x f -≤

解析：联想[()sin ]()cos f x x f x x ''+=+，可知函数()()sin g x f x x =+在()0+，

∞在上为减函数，又()f x 为奇函数，故()g x 也为奇函数，所以()g x 在(0]-，∞上也为减函数，

故当0x ≤时，()(0)g x g ≥，即()sin (0)sin0(0)f x x f f ++=≥．答案：A ． 4．定义在()0+，

∞上的函数()f x 满足()10xf x '-<，且(1)1f =，则不等式()()21ln 211f x x ->-+的解集是__________．

【答案】()

112

，

【解析】()()ln F x f x x =-，则()1

1()()xf x F x f x x

x

-=-=

'''，而()10xf x '-<，且0x >，