利用角平分线构造全等三角形(最新整理)

善于构造 活用性质
安徽 张雷
几何问题中,若出现角平分线这一条件时,可联想角平分线的特性,灵活利用角平分线的特性来解决问题.
1.显“距离”, 用性质
很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段）
例：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？
分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证
明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点．
已知：如图，△ABC 的角平分线AD 与BE 交于点I ，求证：点I 在∠ACB 的平分线上． 证明：过点I 作IH ⊥AB 、IG ⊥AC 、IF ⊥BC ，垂足分别是点H 、
G 、F ． ∵点I 在∠BAC 的角平分线AD 上，且IH ⊥AB 、IG ⊥AC
∴IH=IG （角平分线上的点到角的两边距离相等）
同理 IH=IF ∴IG=IF （等量代换）
又IG ⊥AC 、IF ⊥BC
∴点I 在∠ACB 的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）.即：三角形的三条角平分线交于一点．
【例2】已知：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线， 它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ．
求证：BP 为∠MBN
的平分线．
【分析】要证BP 为∠MBN 的平分线，只需证PD=PF ，而PA 、PC 为外角平分线， 故可过P 作PE ⊥AC 于E ．根据角平分线性质定理有PD=PE ，PF=PE ，则有PD=PF ，故问题得证．
【证明】过P 作PE ⊥AC 于E ．
∵PA 、PC 分别为∠MAC 与∠NCA 的平分线．且PD ⊥BM ，PF ⊥BN ∴PD=PE ，PF=PE,∴PD=PF
又∵PD ⊥BM ，PF ⊥BN,∴点P 在∠MBN 的平分线上，
D C B A
E H I
F G
2
D
C
B A
35E
F 1
4 即BP 是∠MBN 的平分线．
2.构距离,造全等
有角平分线时常过角平分线上的点向角两边引垂线，根据角平分线上的点到角两边距离相等,可构造处相应的全等三角形而巧妙解决问题．
例3．△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，DA 平分∠CAB 交BC 于D 点，问能否在AB 上确定一点E 使△BDE 的周长等于AB
的长．请说明理由．
解：过D 作DE ⊥AB ，交AB 于E 点，则E 点即可满足要求．
因为∠C=90°，AC=BC ， 又DE ⊥AB ，∴DE=EB ．
∵AD 平分∠CAB 且CD ⊥AC 、ED ⊥AB ， ∴CD=DE ．
由“HL”可证Rt △ACD ≌Rt △AED ． ∴AC=AE ．
∴L △BDE =BD+DE+EB =BD+DC+EB =BC+EB=AC+EB =AE+EB =AB ．
例4．如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 上一点，且DM 平分∠ADC ，AM 平分∠DAB ．
求证：AD=CD+AB
．
证明：过M 作ME ⊥AD ，交AD 于E ．
∵DM 平分∠ADC ，∠C=90°．
MC=ME ． 根据“HL”可以证得Rt △MCD ≌Rt △MED ，∴CD=ED ．
同理可得AB=AE ．∴CD+AB=ED+AE=AD ． 即AD=CD+AB ．
3.巧翻折, 造全等
以角平分线为对称轴，构造两三角形全等．即在角两边截取相等的线段，构造全等三角形．
例5.如图，已知△ABC 中∠BAC=90°，AB=AC ，CD 垂直于∠ABC 的平分线BD 于D ，BD 交AC 于E ，求证：BE=2CD ．
分析：要证BE=2CD ，想到要构造等于2CD 的线段，结合角平分线， 利用翻折的方法把△CBD 沿BD 翻折，使BC 重叠到BA 所在的直线上，即构造全等三角形（△BCD ≌△BFD ），然后证明BE 和CF （2CD ）所在的三角形全等． 证明：延长BA 、CD 交于点F
∵BD ⊥CF （已知） ∴∠BDC=∠BDF=90°
∵BD 平分∠ABC （已知） ∴∠1=∠2 在△BCD 和△BFD 中
21()()
()BD BD BDC BDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
公公公公公公公 ∴△BCD ≌△BFD （ASA ）
∴CD=FD ， 即CF=2CD
∵∠5=∠4=90°，∠BDF=90° ∴∠3+∠F=90°，∠1+∠F=90°。

∴∠1=∠3。

在△ABE 和△ACF 中 4513()AB AC
∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
公公 ∴△ABE ≌△ACF （ASA ）∴BE=CF ， ∴BE=2CD 。

例6.如图，已知AC ∥BD 、EA 、EB 分别平分∠CAB 和△DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等吗？请说明理由．
【分析】要证明两条线段的和与一条线段相等时常用
的两种方法．
1．可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段， 然后证明剩余的线段与另一条线段相等．（割）
2．把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等．（补）
34
D
C A B 65(1)F
E 1234
D
C
A B
65(2)E F
12 证法一：如图（1）在AB 上截取AF=AC ，连结EF ．在△ACE 和△AFE 中
D C A B E
12
AC AF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ACE ≌△AFE （SAS ）∵,∴,又,∴∠6=∠D 在△EFB 和△BDE 中
634
D B
E BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△EFB ≌△EDB （AAS ） ∴FB=DB ∴AC+BD=AF+FB=AB 证法二：如图（2），延长BE ，与AC 的延长线相交于点F
∠F=∠3434AC BD F ⇒∠=∠⎫⎬∠=∠⎭
A ⇒ 在△AEF 和△AE
B 中
312
F AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AEF ≌△AEB （AAS ）, ∴AB=AF ，BE=FE
在△BED 和△FEC 中
564BE FE
F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△BED ≌△FEC （ASA ） ∴BD=FC, ∴AB=AF=AC+CF=AC+BD ．。