概率3.1节-多维随机变量及其联合分布.ppt

c, x 2 y 2 R 2 , f ( x, y ) 2 2 2 0, x y R ,
(1)求常数c，（2）计算原点到该点的距 离D小于等于a的概率；（3）计算E(D).
二维正态分布 若二维随机变量(X,Y)的联合密度 函数为
p ( x, y ) 2 1 2 1 2
( x 1 ) 2 1 exp{ [ 2 2 2 2(1 ) 1 1 ( y 2 ) 2
( x 1 )( y 2 )
1 2
2
2
]}, x, y ,
则称(X,Y)服从二维正态分布，记为 其中参数满足
二维正态分布图
二维正态分布剖面图
p( x1 , , ( x1 , , xn ) D, , xn ) S D 0, 其他.
则称 布，记为
服从D上的多维均匀分
例3 考虑一个半径为R的圆，按如下方式 随机地在圆内投点：落在圆内任一区域 内的概率只与这个区域的面积有关，与 该区域在圆内的位置及形状无关。如果 令圆心表示原点，且令X和Y表示所投点 的坐标，设它们的联合密度函数为
y
(,)
F ( , ) 1
y
x
(x, y)
x
F ( , ) 0
(,)
y
F ( x , ) 0
x

F ( , y) 0
y

x
② 对每个变量单调不减 固定 x , 对任意的 y1< y2 , F (x, y1) F (x, y2) 固定 y , 对任意的 x1< x2 , F (x1,y) F (x2, y) ③ 对每个变量右连续 F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 )
§3.1 多维随机变量及其联 合分布
在实际问题中, 试验结果有时需要同
时用两个或两个以上的 r.v.来描述. 例如用温度和风力来描述天气情况; 通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究 钢的成分等. 要研究这些 r.v.之间的联系，就需考虑 多维 r.v.及其取值规律—多维r.v.的 分布.
1. 多维随机变量 定义：设 X1 , , X n 是定义在同一个样 本空间 上的随机变量，则称
设( X ,Y )的所有可能的取值为( xi , y j ), i, j 1, 2, 则称
P( X xi , Y y j ) pij , i, j 1,2,
为二维 r.v.( X ,Y ) 的联合概率分布，也简称 概率分布或分布列。
显然，上述分布列满足非负性和规范 性，即
pij 0,
定义了一个n元函数，称之为为n维随机变 量 的联合分布函数。 主要考虑2维情形。
分布函数的几何意义
如果用平面上的点 (x, y) 表示二维r.v. (X , Y )一组可能取值，则 F (x, y) 表示 (X , Y ) 取值落入图所示角形区域的概率. y
(x, y)
x
(, )
联合分布函数的性质 ① 0 F ( x, y ) 1
i 1 j 1
i, j 1,2,
pij 1
( X ,Y ) 的联合分布列（表格形式）
X
Y
x1
p11
xi
pi1
y1



yj

p1 j

pij




pij P( X xi , Y y j ) 的求法
⑴ 利用古典概型直接求； ⑵ 利用乘法公式
X ( X1 ,
, Xn)
为n维随机变量或随机向量。
随机向量的例子 掷一颗骰子两次，设 示第i次所掷点数，则 2维随机向量。 表 为
研究4到6岁儿童的发育状况时，令 表示身高， 表示体重，则 为2维随机向量。 考虑某商场一天的销售额 和顾客 数 ，则 为2维随机向量。
2. 联合分布函数 定义：对任意n个实数 以下n个事件同时发生的概率
作业 习题3.1 3，5，10
其中 则称 服从参数为 的多维Poisson分布。
多维超几何分布
设袋中有N只球，其中有Ni只i号球， i=1,2,…,r，记
从中任取n只，设Xi为取出的i号球的 个数，则
其中 则称
服从多维超几何分布。
连续情形： 多维均匀分布 设D为 中的有界区域，其度量为 若多维随机变量 的联合密 度函数为 1
F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 )
④ 对于任意 a < b , c < d F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) 0
事实上 F (b,d) – F (b,c)
d c a b
– F (a,d) + F (a,c)
P a X b, c Y d 0
任一分布函数都满足上述四条性质，且 满足上述四条性质的二元函数一定是某 个二维随机变量的分布函数。
注：性质（4）是二维分布函数特有的， 不能由前三条得出（见P135例3.1.1）。
3. 联合分布列 定义：若二维 r.v.(X ,Y )所有可能的取值为 有限多个或无穷可列多个, 则称(X ,Y ) 为二 维离散型 r.v.
（3）在 F ( x, y) 的偏导存在的点处
F f ( x, y ) xy
2
若f在(x,y)点处连续，则
P( x X x x, y Y y y)
f ( x, y)xy
若G 是平面上的区域，则
P( X , Y ) G f ( x, y )dxdy
pij P( X xi ) P(Y y j X xi ) .
例1 某校新选出的学生会有6名女生, 文、理、 工科各占1人、2人、3人，现从中随机指定 2 人为学生会主席候选人. 令X , Y 分别为候 选人中来自文、理科的人数.求(X, Y) 的联合 分布列.
3.联合密度函数 定义 设二维 r.v.( X ,Y )的分布函数为F(x ,y ), 若存在非负可积函数f (x,y),使得对于任意实 数x,y有
F ( x, y ) f (u, v)dvdu
则称( X ,Y ) 为二维连续型 r.v. f (x,y) 为 ( X ,Y ) 的联合概率密度函数，简称概率密 度函数简记 p.d.f.
x
y
联合密度函数的性质
(1) f ( x, y) 0
(2)



G
由重积分化累次积分时要注意积分区间 的变化!!
例2 设 r.v.( X ,Y ) 的联合密度函数 为
kxy, 0 x y,0 y 1, f ( x, y ) 其他 0,
其中k 为常数. 求
(1)常数 k ; (2) P ( X + Y 1) , P ( X < 0.5)。 课后思考：如何求(X,Y) 的联合分布函数？
4.常用多维分布 离散情形： 1. 多项分布 进行n次独立重复试验，如果每次试验有r 个可能结果： 且 记Xi为n次独立重复试验中Ai 出现的次数，则 取 的概率为
此时称
服从r项分布，记为
易知上述概率为多项式
展开式的通项，故其和为1.
当r=2时，回到二项分布情形。
多维Poisson分布 设r.v. 空间上，且 定义在同一个样本