理论力学—质点系动量定理

第7章
质点系动力学 质点系动力学 质点系动力学
质点系动力学
x
mB g sin
解
建立坐标系O1xy，画受力图 由质系动量定理有( mi aCi R )：
(e) n
例 7-1-4 第7章
y
t
m1 0 m2 e 2 sin t Fx m1 0 m2 e 2 cos t Fy m1 g m2 g
例 7-1-3
vr
B
τ
ve
vB
第7章
p p τ pn n dτ n dp dp dτ dpn dn dt τ p n pn dn dt dt dt dt dt τ dt dp dpn pn ) τ ( p )n ( dt dt dp pn mB (l sin ) mB x sin x cos x dt x cos ) mB (l
O
静 止 平衡位置
椭圆摆由质量为mA的滑块A和质量为mB的单 摆B构成。滑块可沿光滑水平面滑动，AB杆 长为l，质量不计。试建立系统的运动微分方 程，并求水平面对滑块A的约束力。
y O x
mA g
质点系动力学
mA g
A
N
x
k
mB g B
NB
vr
B
mB g
vB
ve
解
取x和 为广义坐标
解 第7章
y O x
i 1
m 2g O1 m 1g O 2 Fy M Fx
x
若上例中电动机没有用螺栓固定，各处摩 擦不计，初始时电动机静止。试求： 1. 转子以匀角速 转动时电动机外壳 在水平方向的运动方程； 2. 电动机跳起的最小角速度。
y
O1
质点系动力学
支座的约束力为：
Fx m2 e sin t Fy m1 g m2 g m2 e 2 cos t
i 1 n
ma C R ( e )
在研究质心的运动时，可以将质系的质量及 所受的外力均集中到质心，而研究此集中后 的质点的运动。
质系动量守恒定理
质点系动量守恒
R
(e)
实例分析 第7章
炮弹在空中爆炸
Conservation of momentum
p C1
0
dp R (e) dt
质点系动力学
静 止 平衡位置
k
B
系统的动量为
A mB x B mA X 0 sin t px m A x
k
mB g B
NB
质系动量定理
m A X 0 2 cos t N B m A g mB g
N B (mA mB ) g mA X 0 2 cos t
sin 2 cos ) N (m A mB ) g mB l (
能否将质点动量定理直接向 a r 方向投影， e 即 dp / dt R ？
3
讨论 第7章
x cos ) p mB (l dp sin ) mB (l x cos x dt mB (l x cos )
n
电动机用螺栓固定在刚性基础上。设其外壳 和定子的总质量为m1，质心位于转子转轴的 中心O1；转子质量为m2，由于制造或安装时 的偏差，转子质心O2不在转轴中心上，偏心 距O1O2 = e，已知转子以等角速 转动。试 求电动机机座的约束力。
y
m 2g O1 m1g O 2 Fy M Fx
第7章
思考题2：拔河比赛中决定胜负的因素是什么？
系统不受外力作用，所以质心运动守恒
p m Av A mB vB (m A mB )vC 0
同时到达！
2
例 7-1-1 第7章
质量分别为 mA 和 mB 的两个 物块 A 和 B ，用刚度系数为 k 的弹簧联结。 B 块放在地面 上，静止时 A 块位于 O 位置。 如将 A 块压下，使其具有初 位移X0，此后突然松开。求 地面对 B 块的约束力 NB 。又 X0多大时，B块将跳起？
质心运动守恒
R (e) 0
ma C R
(e)
vC C 2
第一块炮弹碎片落地前和落地后质心的 运动轨迹？
C1、 C2 均为常矢量，由初始条件确定。
实例分析 第7章
太空中拔河，谁先到达质心？
质点系动力学
由质心运动定理（或动量定理），使运动员 动量发生变化的只是外力，即滑动摩擦力。
f N
m1 0 m2 e 2 cos t Fy m1 g m2 g
O
e
2
t
x
O a
s
Fy min m1 g m2 g m2 e 2
由此可见，当转子偏心的电动机未用螺栓 固定时，将在水平面上作往复运动
由Fy = 0 ，推出电动机起跳的最小角速度
min
2
O
e
2
动约束力与 2平方成正比。工程上常在电动 机和基础之间安装具有弹性和阻尼的橡胶垫 以减小基础的动反力，这种方法称为隔振。
O a
s
x
解
(1). 电动机外壳在水平方向的运动方程
xC1 = a a为初始时刻质心位置
解 第7章
(2). 电动机起跳条件
电动机起跳条件： Fy = 0 应用质心运动定理： 因此机座的约束力为 ：
Fy m1 g m2 g m2 e 2 cos t
y m2 g
O1 a r
xC 2
m (a s ) m2 (a s e sin ) 1 m1 m2
y
O1
m1 g O M

ae
质点系动力学
x Fy
由xC1 = xC2 解得 ：
m2 s e sin t m1 m2
m1 m2 g m2 e
4
p px i p y j pz k
dp y dp dp dp x dj i j z k p x di p y p z dk dt dt dt dt dt dt dt
Oxyz的坐标轴方 向不随时间变化
固连于惯性参考系 惯性参考系的坐标系Hale Waihona Puke Baiduxyz
dp R (e) dt

T
arn
B
mB g
ar ae
质点系动力学
d [m x mB ( x l cos )] 0 dt A
d ( m l sin ) N mA g mB g dt B
vr
B
mB g
vB
ve
cos 2 sin) 0 (mA mB ) x mBl( l xcos g sin 0
静约束力 动约束力
解
B块跳起的条件为NB = 0，即
( mA mB ) g m A X 0 2 cos t 0
X0
X 0 min
例 7-1-2 第7章
x
A
( m A mB ) g mA 2 cos t
mA mB m mB g A g mA 2 k
xA
第7章
=
质点系动力学 质点系动力学
质点系动力学
R (e)
dp R (e) dt
纯滚动
p m a ( 2 i 2 j ) 2 2 2 p mR i p0
质系的动量对时间的一阶导数，等于作用在 这一质系上的外力主矢－ －质系动量定理。 。
质系动量定理的投影形式

质系动量定理的投影形式 第7章
阅读指南：
1、教材第7.1节 2、习题辅导第6章
质系的动量 第7章
质系中所有质点动量的向量和，称为质系的 动量。 。
第1节
p mi v i
i
质点系动力学
质点系动量定理
根据质系质心的位矢公式
rC
m r
i
i i
m
vC
m v
i
i i
m
p mv C
2010年11月28日 Sunday
mA g
vB ve vr
, vr l ve x
质系动量定理：
A
N
x
取单摆B为研究对象 aB ae arn a r 2 , a ae x, arn l r l 在 ar 方向列写牛顿第二定律 mB (l x cos ) mB g sin
dp x (e) Rx dt dp y (e) Ry dt dpz Rz( e ) dt
质点系动力学
如果 x 、y 、 z 轴是绕某一固定轴转动的坐 标系的坐标轴，上式是否成立？为什 么？
dp y dp dp dp x i j z k dt dt dt dt
(e) (e) R ( e ) Rx i Ry j Rz( e ) k
质系的动量 第7章

质系动量定理 第7章

C
计算图示各均质物体（质量为m）的动量 y
对于质点 对于质系
dp i d(m i v i ) Fi ( e ) Fi ( i ) dt dt

45º
0

2a a x
R C
a
dt
i i
dp i
d(m i v i ) Fi ( e ) Fi ( i ) dt i i
dp x (e) Rx dt dp y (e) Ry dt dp z Rz( e ) dt
1
质心运动定理 第7章
dp d(mvC ) R( e ) dt dt
质心运动定理 第7章
对于质点：牛顿第二定律，描述单个质点运 动与力之间的关系
质量不变系统
ma F
对于质点系：质心运动定理，描述质点系整 体运动与力系主矢量之间的关系
第7章
第7章 思考题1：运动员起跑时，什么力使其动量
发生变化？为什么有人跑得快？
质点系动力学 质点系动力学 质点系动力学
质点系动力学
maC R
(e)
质系的质量与质心加速度的乘积等于作用于 质系上外力系的主矢量 — 质心运动定理 质心的运动取决于外力主向量，内力不能改 变质心的运动！ 对刚体系： mi aCi R( e)
x
O A
静 止 平衡位置
解 第7章
取系统为研究对象，画受力图。 块A作简谐振动，初始条件为
xA
t 0
x
A
XO
X0
A x
t 0
0
O
第7章
第7章
质点系动力学 质点系动力学 质点系动力学
质点系动力学
所以 x A X 0 cos t
A X 0 sin t x
xA mA g