线性系统辨识经典方法

k
3-3 频率特性法

幅相特性求传递函数 二阶环节 幅相特性分布在两个象限 φ'=π/2, r(w')≤r(0)/2
K G(s) 2 2 T s 2ξTs 1 K G( jω) 2 2 r (ω)exp(j ( )) -T ω j 2ξTω 1
3-3 频率特性法
3-4 相关分析法

相关分析法的基本原理
过程噪声
ξ (t)
可测输入
u(t)
g(t)
z(t) +
+
y(t)
可测输出

辨识要解决的问题是：从u(t)，y(t)估计g(t)
z (t ) g ( )u (t )d
y(t ) z (t ) (t )
0
3-4 相关分析法

3-4 相关分析法

那么有：
z( t ) g ( )u (t )dτ g ( )u (t )dλ

y(t) z(t) (t) g ( )u (t )dλ ( t )


则u(t)与y(t)的互相关函数为：

1 ( 2 1) / T 2 ( 1) / T 2
阶跃响应：
y * (t ) 1
T 1
2 1
2
exp(1t )
2 1
1
exp(2t )
12
1 2 2 12
3-3 频率特性法

相关分析法的基本原理 假设u(t)为具有各态历经性的平稳随机过程，则因 为系统为线性定常系统，故u(t)的响应y(t)在过渡过 程结束后也是平稳随机过程。 若噪声ξ (t)与u(t)统计独立，且有：
Eu ( t ) m u Ey( t ) m y T R uu ( ) Eu ( t )u ( t - ) lim 1 u ( t )u ( t - )dt T 2T T 1 T R ( ) E y ( t ) u ( t ) lim y( t )u ( t - )dt uy T T 2T
3-4 相关分析法

利用伪随机二位式序列辨识的步骤 估计辨识对象的频率宽度、过渡过程时间、线性 工作范围，用于设计测试信号 设计所需的伪随机二位式序列，如M序列或逆重 复M序列 测试若干个随机二位式序列 理论上系统的输出为输入信号的平均功率谱密度 乘以系统的脉冲响应函数。由此估计系统的脉冲 响应函数 利用系统的脉冲响应函数计算传递函数


频率特性是描述动态系统的非参数模型 频率特性的测取 正弦波法 矩形波法 从频率特性得到系统传递函数 幅相特性 对数频率特性
3-3 频率特性法

单一正弦波法 在待测系统输入端加上某个频率的正弦信号，记 录输出达到稳态后输出的振荡波形 对于线性系统，得到的是一个与输入同频率的、 但幅值与相位发生变化的正弦波，根据幅值比和 相位移，可得到线性系统的频率特性 使用正弦波法可测出系统的带宽，当增加输入正 弦信号频率至max时，系统输出幅值将趋近于零 此法对缓慢响应过程非常费时，此时可利用线性 系统符合叠加原理的特点，采用组合正弦信号
3-3 频率特性法

对数频率特性求传递函数 二阶环节或二阶滞后环节 K G( s) (T1s 1)(T2 s 1)
K 10
b 20
T1
1
1
T2
1
T1 T2
1
2
1
3-4 相关分析法

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阶跃响应法、频率特性法 对于高信噪比情况比较有效，而工程实际中噪声 不可避免 采用阶跃输入、矩形脉冲输入、正弦波输入、矩 形波输入 得到阶跃响应、频率特性 相关分析法 具有抗干扰性 采用伪随机输入 得到脉冲响应
3-2 阶跃响应法

阶跃响应曲线的测取 方波输入：u(t) u(t)=u1(t)+u2(t) u1(t)：阶跃输入 u2(t)=-u1(t-∆) 方波输出：y*(t) y(t)：阶跃输出 y(t)=y*(t) t≤∆ y(t)=y*t+y(t-∆) t≥∆
3-2 阶跃响应法
R uy ( ) E u ( t ) g ( )u (t )dλ ( t )
E
E u ( t ) g ( )u (t )dλ Eu ( t ) ( t )

u ( t ) g ( )u (t )dλ
白噪声输入信号的优良特性：激发所有频段；通常 与过程噪声无关

3-4 相关分析法


伪随机二位式序列 通常不希望系统输入为白噪声 实际系统均为有限频谱，故构造在有限频段内满 足白噪声要求的信号即可 伪随机二位式序列：离散、周期、准白噪声 序列只取值a，-a，故称为二位式；出现次数近 似相等，可以满足均值为零的要求 自相关函数在原点最大，离开原点迅速下降，可 以近似为冲击函数 典型实例：M序列和逆重复M序列


3-4 相关分析法

因为g(λ)为确定性的，故：
R uy ( ) Eu(t )u(t )g( )dλ R uu ( )g( )dλ





称为Wiener-Hopf方程。因u(t)与ξ(t)统计独立，故 有Ruy(т)=Ruz(т)，以此为基础的方法具有抗扰性 若输入u(t)为白噪声信号，那么： R uu ( ) K ( ) R uy ( ) Kg ( )
K
y0 u0
y0
0.63y0
u0

y(t) u(t)
对T的检验
T 2T 3T
3-2 阶跃响应法

带纯滞后的一阶惯性环节
G( s) K exp( s ) Ts 1
3-2 阶跃响应法

二阶环节
G( s) K KG * ( s) 2 2 T s 2Ts 1
1 * G ( s) 2 T ( s 1 )(s 2 )
3-3 频率特性法

组合正弦波法 在待测系统输入端加上频率、幅值均已知的组合 正弦波 在稳态下测取输出组合波，再利用傅氏变换对输 出组合波作分解
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt )
1 A0 T
n 1


T
0
y (t ) dt
2 An T 2 Bn T

T
0 T
y (t ) cos ntdt y (t ) sin ntdt

0
3-3 频率特性法

矩形波法 若难以产生正弦波，则可以使用矩形波输入信号 输入信号的傅立叶级数分解：高次谐波可以忽略
u (t ) 4H 1 1 (sin ωt sin 3ωt sin kωt ) π 3 k
3-2 阶跃响应法


阶跃响应法 在被辨识对象上施加确定的瞬变扰动测取阶跃响应 曲线 允许阶跃输入：阶跃扰动 不允许阶跃输入：矩形脉冲扰动 试验往往不允许大幅度扰动，所测信号的信噪比 一般比较小，测得的曲线混有干扰，难以分辨 实际过程的辨识中，阶跃响应法通常能够提供对所 辨识对象的初始估计

幅相特性求传递函数 带纯滞后的一阶惯性环节
3-3 频率特性法

幅相特性求传递函数 带纯滞后的二阶环节，阻尼系数为1
3-3 频率特性法

对数频率特性求传递函数 一阶环节或一阶滞后环节 K G (s) Ts 1 K G (s) exp( τs) Ts 1 b 1 20 T K 10 c ' arct an( T ) 1 n i i ' n i i


由阶跃响应确定系统的传递函数 假设传递函数的结构已知 利用少量特征参数确定传递函数的参数 试探法 阶跃曲线形状分析：一阶惯性环节、二阶惯性环 节、具有纯滞后的一阶惯性环节 确定传递函数的参数，并检查数据拟合情况 如拟合不理想，则重新试探
3-2 阶跃响应法

一阶惯性环节
G (s) K Ts 1
u(t)
H t T
3-3 频率特性法

幅相特性求传递函数 一阶惯性环节
K G (s) Ts 1
K G( j ) r ( ) exp( j ( )) r ( ) exp( j arctan( T )) jT 1
K G( j 0) r (0)
T
tan( k )