定轴转动刚体的动平衡与静平衡

2019/10/9
FI1 FI 2
FI 3
一般情况下：惯性力系为平 衡力系是动平衡的充分条件
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F
解： 受力分析
FB
B
FIB
FI a
mg mg
运动分析 添加惯性力
mg
Fx 0 MA 0
F FIA FIB FI 0 F 3ma 0
a F 3m
FB


F 2
tan

3 mg 2

FB L cos

FI
L sin
2

FIB L sin

mB gL cos
惯性力对x轴之矩：
M Ix m1( 2 y1)z1 m2 ( 2 y2 )z2
2
2
mi ( 2 yi )zi ( mi yi zi ) 2
i 1
i 1
n
M Ix ( mi yi zi ) 2
i 1
4
理论力学
§8-3 定轴转动刚体轴承动反力
一、定轴转动刚体惯性力系的简化
为板的对称轴。板可绕AB轴转动，板是静平衡还是动平衡。
y
判断 x 轴是否为中心惯量主轴
y'
mi x'

Jx'

m b2, 12
J y'

m 12
a2
A
C
x B
J x'y' mi x'i y'i 0
Jxy
mi xi yi (J y' J x')sin cos
msin 2 (a2 b2)
理论力学
作业：8-8、8-13、8-14
定轴转动刚体的动平衡与静平衡
L FI2
B FBx
FI1
mg
C

mg
A FAx
FAy
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理论力学
演示实验
高速旋转时有较大的动反力
高速旋转时有较小的动反力
任意位置平衡
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图示位置平衡
2
理论力学
§8-3 定轴转动刚体轴承动反力
实验现象表明：动反力、平衡位置与转子的质量分布有关
h
mg L
FA
x FN
2019/10/9
动静法的应用
FI maC F fFN
Fx 0, P F FI 0
Fy 0, FN mg 0
M A 0,
mgx
FI
L 2

Ph

0
x P(2h L) mgLf 2mg
| x | l 2
L mg(l Lf ) h L mg(l Lf )
高 速 转 子 实 例
直升机旋翼动平衡问题
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3
理论力学
问题的引出
B FBx
z
FI1

mg
LC y
FI2

mg
A FAx
y
FAy
FAx

FBx

mL 2 sin
h
2
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• 附加动反力由惯性力引起 • 惯性力与转子的质量分布有关 • 如何消除或利用附加动反力
质点mi的坐标（ xi , yi , zi）
静平衡条件： 质心在转轴上
如果刚体转动时，不会 引起轴承附加动反力，则称 定轴转动刚体为动平衡。
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动平衡条件： ？
9
理论力学
§8-3 定轴转动刚体轴承动反力
四、动平衡条件 ：转轴 z 为中心惯量主轴
FIRx m( 2 xC yC ) 2 xC yC 0
FIRy m(xC 2 yC ) xC 2 yC 0
2 2P
2 2P
17
理论力学
动静法的应用
例：质量为m的套筒可在光滑的水平杆上滑动，质量为m的均
质杆用铰链与套筒连接，系统在 F 力的作用下在铅垂面内运
动。不计所有摩擦，分别求套筒的加速度和滑道作用在两个套 筒上的约束力。
AF

a
B
mg
mg
mg
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理论力学
动静法的应用
FIA
FA
A
已知：l, L, f fs
l
P
h
mg L
FA
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x FN
1、P fsmg 静力学问题
M A 0, mgx Ph 0
h mgx x l
P
2
0 h mgl 2P
2、P fsmg 动力学问题
16
理论力学
应用动静法: 添加惯性力
l
P
FI aC
FIRz 0
M Ix J xz 2 J yz M Iy 2 J xz J yz M Iz J z
xC , yC
质心的坐标
J xz mi xi zi J yz mi yi zi
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FIR
O
M IO
y
x

刚体对xz轴和 yz轴的惯性积
y'

MI C
mg
FB
x'
Bx
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理论力学
动静法的应用
思考题：三根均质细杆与 AB轴固连（三根杆共面） 且以匀角速度绕AB轴作定 轴转动，杆1、杆2、杆3的 质量与长度分别为，m1,m2, m3,L1, L2,L3,各杆间的距离 分别为d1,d2。若该定轴转 动刚体为动平衡，求各杆 质量与长度以及杆间的距 离应满足什么条件。
C
13
理论力学
§8-3 定轴转动刚体轴承动反力
思考题：均质圆盘绕 z 轴均角速度转动，质心在转轴的中点，
如下图所示。确定在图示瞬时轴承A、B的约束力哪个大。
x FI

A
B
C
z
y mg FI
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理论力学
§8-3 定轴转动刚体轴承动反力
例：均质薄板质量为m，长为a，宽为b，转轴通过质心C，x’, y’
yi
xi y
J yz mi yi zi 0
xz
（2）如果刚体有质量对称面， 如oxy面。则垂直于该对称面的 轴（如z轴）必为该轴与对称面 交点（如O点）的惯量主轴。
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mi
o zi
yi
xi y
zi
x
mi
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理论力学
§8-3 定轴转动刚体轴承动反力
思考题：判断图示系统中，z 轴是否为关于 C 点的惯量主轴
思考题：均角速度转动的质点系，如图所示。其附加动反力的 作用效果使系统的什么物理量发生变化？
LC L
B FBx
mg
C
FAx

FBx

mL2 sin 2
h
LC 2mL2 sin
LC MC (Fi(e) )

mg
A FAx
LC (t) LC LC (t t)
FAy
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P
A R
0
y
α
O
M IB
O
B
aB b
FIB
B
b
x 未知量 运动未知量：1个 约束力未知量：4个
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x
aA aB R FIA FIB mR
aPt 2R
M IA M IB 0.5mR2
aPn 02R
FPt 2mR，FPn m02R
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22
理论力学
动静法的应用
思考题：均质薄板质量为m，长为a，宽为b，转轴通过质心C， x’, y’为板的对称轴。板绕AB轴匀角速转动。确定在图示瞬时
轴承A、B的约束力哪个大。已知：a b,sin 2 0
y'
A
C
mg
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x'

B
A
FA
A：轴承A的约束力大 B：轴承B的约束力大
x
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xi x'i cos y'i sin a b,sin 2 0 静平衡
yi

x'i
sin

y'i
cos


a b, or sin 2 0
动平衡
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理论力学
动静法的应用
例：矩形均质板的质量为m，静止放在水平地面上，在其上作 用有一水平推力P，求板不会翻倒，h 应满足的条件。
z
ri xii yi j zik, ai ri ( ri )
FIR FIi (miai ) maC M IO (ri FIi ) ri (miai )
将惯性力的主矢和主矩在联体坐标轴上投影：
FIRx m( 2 xC yC ) FIRy m(xC 2 yC )
5
理论力学
§8-3 定轴转动刚体轴承动反力
二、惯性积和惯量主轴 z
z
J xy mi xi yi J xz mi xi zi J yz mi yi zi
mi
o zi
yi xi y
A
o
yC
xC
C
y
x
x
B
如果 J xz J yz 0 ， 则称 z 轴为关于O点的惯量主轴。
B
x
z
mg
LC y

mg
A
J xz mi xi zi
J yz mi yi zi
2019/10/9

C
z
y
0
是惯量主轴
0 900 不是惯量主轴
90o
是惯量主轴
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理论力学
§8-3 定轴转动刚体轴承动反力
三、定轴转动刚体轴承附加动反力／静平衡与动平衡
若定轴（转轴任意方向） 转动刚体仅在自身重力作用下， 可在任意位置平衡，则称定轴 转动刚体为静平衡。
理论力学
动静法的应用
建立平衡方程
z FIPn
z
FIPt FIA MIA
P
A R
0
M IB
O
FIB
B
b
y M
P
mg
A mg
O
B mg
FAN FA
y
FB
x
Mx 0： M y 0：
Mz 0：
FBN
Fz 0：
x
FB
FFAN 还能提出什么问题？
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mg
L 2
cos

0
Fy 0 FA FB 3mg 0
FA

F 2
tan

3 2
mg
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理论力学
动静法的应用
例 ：两个圆盘（半径为 R 质量为 m）用一个长为b （不计质量）的 杆固连且在水平地面上纯滚动。 有一 质量为 m 的质点P 固连在圆 盘A的边缘,若在圆盘B上作用一力 偶M，图示瞬时，P点位于最高位
z

M IO
y

问题：惯性力系为零力系是动平衡的： 充分条件、必要条件、充要条件
2019/10/9
10
理论力学
§8-3 定轴转动刚体轴承动反力
车轮的动平衡问题
发动机惯性力的消除
2019/10/9
11
理论力学
§8-3 定轴转动刚体轴承动反力
压路机的 非动平衡问题
2019/10/9
12
理论力学
§8-3 定轴转动刚体轴承动反力
置，刚体角速度的大小为 0
求:该瞬时圆盘的角加速度以及地 面作用在圆盘上的约束力。
z
P
0
A R y
O
BM
b
x
问题：1、用什么方法求解？ 2、有几个未知量？
2019/10/9
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理论力学
动静法的应用
解：
z
z FIPn
运动分析 受力分析 添加惯性力
P
aA Pn
0
aPt
R aA y
FIPt FIA MIA
FIRz 0
FIR
M Ix J xz 2 J yz M Iy 2 J xz J yz M Iz J z
附加动反力为零 的充分必要条件：
J xz 2 J yz 0 2 J xz J yz 0
x
xC yC 0 质心在转轴上 J xz J yz 0 转轴为惯量主轴
刚体上任意一点至少有三根互相垂直的惯量主轴
通过质心的惯量主轴称为中心惯量主轴
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理论力学
§8-3 定轴转动刚体轴承动反力
（1）如果刚体有质量对称轴， 惯量主轴判据
如 z 轴。则对称轴是该轴上任意 一点的惯量主轴之一，也是中心
z
mi
惯量主轴。
yi
mi
xi o
zi
J xz mi xi zi 0