一元二次方程的概念及解法

一元二次方程的概念及解法

一、 考点突破

1. 理解一元二次方程的定义、解，食+版& = 0 (在0), a 、b 、c 均为常数，尤其。不为零要切记。

2. 熟练掌握一元二次方程的几种解法，如因 式分解法、公式法等，弄清化一元二次方程为一 元一次方程的转化思想。

二、 重难点提示

熟练掌握一元二次方程的几种解法。

一、知识结构

厂一元一次方程O 壬二元一次方程组

整式方程一 A

去分母

二、解题策略与方法 解一元二次方程的基本策略是：降次。降次 的主要方法是因式分解法和开平方法。

1. 一元二次方程的概念

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是

2的整式方程叫做一元二次方程.

一般形式： 杯+Zxr + c = O 是常数，且

"0).

2. 一元二次方程的解法

(1)直接开平方法

降次

「解法 —元二次方程- _______ L 根的判别式 W

方程一 分式方程

形如(mx + n)2= /• (r > 0) 的方程，两边开平方，即可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做直接开平方法.

（2）配方法

把一元二次方程通过配方化成如+ 〃）2=,（房0）的形式，再用直接开平方法解，这种方法叫做配方法.

用配方法解一元二次方程次& + ”0 （^0）的一般步骤是：① 化二次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数〃；②移项，也就是使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项;③ 配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④ 化原方程为（》+〃?）、〃的形式；⑤ 如果,20就可通过两边开平方来求出方程的解；如果〃V0,则原方程无解.

（3）公式法

通过配方法可求得二元二次方程ax2 + bx + c = 0（。n 0）的求根公式：x=-b土尸,用求根公式解一元二次方程的方法叫做本'式法.

兀—次方程ar2 + + c = 0 （ a,b,c是常数，且心0）的根的判别式是屏-4必.利用根的判别式可以判定方程实根的个数；利用根的判别式也可以建立等式、不等式,求方程中的参数的值或取值范围; 通过根的判别式可证明与方程有关的代数问题，也可运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题等。

用公式法解一元二次方程的一般步骤是：①

化方程为一元二次方程的一般形式；② 确定a,b,c的值；③ 求出b^4ac的值；④若/—4ac润，贝U 代入求根公式求方程的解；若b?—4ac<0，则方程无解.

(4)因式分解法

如果一元二次方程ax、bx+c = 0(a,0)的左边可以分解为两个一次因式的积，那么根据两个因式的积等于0 ,这两个因式至少有一个为0 ,原方程可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做因式分解法.

因式分解法的步骤是：① 将方程右边化为0;

② 将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③ 令每个因式等于0,得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式，否则会丢根.

能力提升类

例1 方程(m2— 1) x2 + mx— 5= 0是关于x 的一元二次方程，则m满足的条件是( ) A. m乒1 B. m乒0 C. |m| 丰 1 D. m= 土

一点通：该方程为关于x的一元二次方程，根据一元二次方程的定义中a , 0的条件可求。

答案：C

评析：根据一元二次方程中二次项的系数不为0这一条件可确定二次项系数中所含字母的

例2解关于x的方程：ax&c = 0(a/0).

一点通：含有字母系数的方程，一般需对字母的取值范围进行分类讨论.

解：因为a#0,所以x^--o

a

当c= 0 时，x1 = x2= 0;

HzEj ac <0(即a, c异号时),x1,2 = -'；

当ac〉0(即a,c同号时)，方程无实数根.

评析：本题主要考查分类讨论思想。

例3解关于x的方程：

(m -1)x2 +(2m -1)x +m -3 =0 .

一点通：含有字母系数的方程，一般需对字母的取值范围进行讨论.讨论m,由于二次项系数含有m ,所以首先要分m — 1 = 0与m —停0两种情况(不能认为方程一定是一元二次方程)；当m—13时，再分A >0 , A=0 , A<0三种情况讨论.

解：分类讨论.

(1) 当m=1时，原方程变为一元一次方程x —2 = 0 , 所以x=2 .

(2) 当m利时，原方程为一元二次方程.

=(2m -1)2—4(m —1)(m -3) =12m -11 .

当m>3,且m*1时，40,方程有两个不相等的实数根，

1 -2m _ 12m -11 .

为，2 =--------------------------------------- ,

2(m -1) '

当m蜡时，A=0,方程有两个相等的实数根，

1 -2m

x〔= X2 =----------- = 5 ：

2(m—1) '

当m

评析：本题主要考查分类讨论，一元二次方程的概念，根的判别式及一元二次方程的解法等知识，并强化分类讨论的思想方法。

综合运用类

例4三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2一12x 35=0的根，则该三角形的周长为 ( )

A. 14

B. 12

C. 12 或14

D. 以上都不对

一点通：解这个方程得为=5 , X2=7。结合三角形三边关系，第三边的范围是1

答案：B

评析：这道题将构成三角形的条件与一元二次方程的解结合在一起，并考查了分类讨论的思想。

例5解方程：x2-3xf 0

一点通：本题含绝对值符号，因此求解方程时, 要

考虑到绝对值的意义.

解法1：显然x,0.当XA0时，x2_3x _4 = 0,所以X1 —4, x2 = -1 ( ).

当x<0 时)x2+3x_4 = 0,所以x3=—4, x4=1 (舍去)・

所以原方程的根为-4、4.

解法2：由于x2= x\所以x2—3x—4 = 0

所以(x—4)(x+1)=0

所以x=4,x=-1(舍去).

所以x i = 4, x2 = X・

评析：本题主要考查含绝对值符号的方程的解法。