第十三讲 幂级数内容提要与典型例题

n= 0
两边逐项积分
∫
x
1
s( x )dx = ∑ ∫ ( n + 1)( x 1)n dx
x n= 0 1
∞
= ∑( x 1)
n=0
∞
n+1 x 1
= ∑( x 1)
n=0
∞
n+1
x 1 , = 2 x 求导, 两边再对 x 求导,得 x 1 1 s( x ) = ( )′ = . 2 2 x (2 x )
n=1
n1
x 的展开式, 是 sin x 的展开式, ( 2n 1)!
设法用已知展开式来解 .
∞ ( 1)n1 x 2 n1 ( 1)n1 x 2 n1 ∑ 2n1 (2n 1)! = 2∑ (2n 1)!( 2 ) n=1 n=1 ∞
x = 2 sin x 1 + 1 = 2 sin 2 2 1 x 1 1 x 1 = 2 sin cos + 2 cos sin 2 2 2 2
1 ∞ ( 1)n x 1 2 n = 2 sin ∑ ( 2n)! ( 2 ) 2 n= 0 1 ( 1) x 1 2 n +1 ( ) + 2 cos ∑ 2 n=0 ( 2n + 1)! 2
∞ n
( ∞ ,+∞ )
例7 设
f ( x) = ∑an xn
n=0
∞
| x |< R
f ( x) 求 F( x) = 的幂级数展开式 1 x 及其收敛半径 并求 F(n) (0)
例5
x 1 = 1 ( x 1)
将 f ( x) = xarctan x ln 1 + x 展开成麦
2
克劳林级数.
解
x2 x3 ∵ ln(1 + x ) = x + , 2 3
x4 x6 x2n ∴ ln(1 + x 2 ) = x 2 + + (1)n1 + , 2 3 n
又 arctan x = ∫
∞
( 1)n b n +∑ 2 ( ) a 收敛 n =1 n 发散 1 1 故 a ≥ b 收敛域为 [ , ) a a 1 若 a<b 则 R= b
∞
发散
1 x= 原级数成为 b
∞ ( 1)n a n n 1 ∑1 n ( b ) + ∑1 ( 1 ) n 2 n= n= 收敛 ∞ ∞ ( 1)n a n 1 a n ∑1 n ( b ) = ∑1 n ( b ) n= n= 1 a a n u = lim lim n = <1 n n→ ∞ n→ ∞ n b b
则级数在收敛区间内收 敛于 f ( x ).
b.间接法 b.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 根据唯一性 利用常见展开式 通过 变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 变量代换 四则运算 恒等变形 逐项求导 逐项积 等方法,求展开式 求展开式. 分等方法 求展开式 (5) 常见函数展开式 5 (6) 应用 6 Euler公式 Euler公式
解 由于
f ( x) = ∑an xn | x |< R
∞
x 2 n+ 2 1 ∞ x 2 n+ 2 = ∑ ( 1)n ∑ ( 1)n 2n + 1 2 n = 0 n+1 n= 0 ∞ x 2 n+ 2 . = ∑ ( 1)n ( 1 ≤ x ≤ 1) ( 2n + 1)( 2n + 2) n= 0
∞
或
x 1 1 f ′( x) = arctanx + 2 2 2x 1+ x 2 1+ x
∑an y
n
的收敛半径R 的收敛半径R
| ( x) |< R
--原级数的收敛点 --原级数的收敛点
| ( x) |> R
--原级数的发散点 --原级数的发散点
再研究 | ( x) |= R 的点的敛散性 an ②用公式 R = lima 求收敛半径 n→∞ n+1
an,an+1 应是 xn, xn+1 的系数, 否则 ,x 的系数,
2.幂级数展开式
(1) 定义 (2) 充要条件 (3) 唯一性 (4) 展开方法 4 a.直接法(泰勒级数法) a.直接法(泰勒级数法) 直接法 步骤: 步骤
( x0 ) (1) 求a n = ; n! ( 2) 讨论 lim Rn = 0 或 f ( n ) ( x ) ≤ M ,
n→ ∞
f
(n)
(2) 收敛性
an xn 其中a n 为幂级数系数 为幂级数系数. ∑
n= n=0
∞
an x n 总存在正数R使得 总存在正数R Abel 定理 对 ∑
当 x < R 时,幂级数绝对收敛; 幂级数绝对收敛; 幂级数发散; 当 x > R 时,幂级数发散 幂级数发散
幂级数可能收敛也可能发散. 当 x = R与x = R 时,幂级数可能收敛也可能发散.
x 2 n+ 2 = ∑ ( 1)n ( 2n + 1)( 2n + 2) n= 0
∞
∞
x
x ∞
2n+1
( 1 ≤ x ≤ 1) ( f ( 0) = 0)
例6
(1)n1 x2n1 将级数∑ n1 的和函数展开 2 (2n 1)! n=1
∞ 2 n 1
的幂级数. 成( x 1) 的幂级数.
解
分析 ∵ ∑ ( 1)
1 x= a
1 R= a
原级数成为
(1) ∑ n n=1
∞
由于
1 x= a
( 1)n b n +∑ 2 ( ) 收敛 n a n =1 收敛 收敛 ∞ n ( 1)n b n ( 1) b n 1 ( ) ≤ 2 ∑ n2 ( a ) 收敛 2 a n n n =1
n
∞
原级数成为
1 ∑n n =1
二,典型例题
an bn n 例1求收敛域 ∑( + 2 )x (a > 0, b > 0) n n=1 n ∞ an n 1 解 ∑ n x 收敛半径 R1 = a n =1 ∞ bn n 1 1 1 ∑ n2 x 收敛半径 R2 = b R = min( a , b ) n =1
∞
若 a≥b 则
n=1
∞
R--收敛半径(-R,R)--收敛区间 R--收敛半径(-R,R)--收敛区间 收敛半径(-R,R)-- an+1 设 lim = ρ (或 limn an = ρ) 或 n→∞ n→∞ a n 1 (1) 则当ρ ≠ 0时, R = ; (2) 当ρ = 0时, R = +∞ ; ρ (3) 当ρ = +∞时, R = 0. 的级数, an[ ( x)]n 的级数,求收敛域 注 ①形如 ∑ 应先求出
第十三讲 幂级数 内容提要与典型例题
一,主要内容
函数项级数 幂级数
收敛半径R 收敛半径
Taylor级数 级数
Rn ( x ) → 0
收敛域 Taylor展开式 展开式
1.幂级数
(1) 定义
的级数称为幂级数 幂级数. a n ( x x 0 ) n 的级数称为幂级数 ∑
n= 0 ∞
形如
当x0 = 0时,
ⅲ.求导或积分 xn x 2 n +1 或 通项形如
步骤: 步骤: ①求收敛域
∞ n =1
设s( x) = ∑an xn
n=1
n
∞
②对 s ( x ) = ∑ a n x
∞
进行运算
s( x ) 保留所有的运算记号
an x n 的运算结果要具体算出 ∑
n =1
化成易求和的形式 ③再进行上述运算的逆运算得 s( x )
n2 + 1 n ∑ n x n=1
∞
=1
收敛域
n + 1 n = nx n + 1 x n ∑n ∑ n x ∑ n =1 n =1 n =1
2
∞
∞
∞
nx n = x ∑ nx n1 ∑
n =1 n =1
∞
∞
令 s ( x ) = nx n1 ∑ 1
x n =1 ∞ n
∞
积分
x ∑ nx = xs1 ( x) = (1 x)2 n=1
∞
R = +∞
1 n+1 1 n x 乘以 x x = xex 由 ∑ x =e ∑n! ! n=1 n=1 n ∞ (n + 1) n x = ( x + 1)e x 再乘以 x 求导 ∑
n=1
n!
( n + 1) n+1 x 再求导 x = x ( x + 1)e ∑ n! n =1 ∞ ∞ ( n + 1)2 n ( n + 1)2 x = ( x 2 + 3 x + 1)e x ∑ = 5e ∑ n! n! n =1 n =1
n
x 1 ∫ s1 ( x )dx = ∑ x = 1 x = 1 1 x n =1 0 1 s1 ( x ) = 求导 2 (1 x ) ∞
( 1 < x < 1)
xn 令 s2 ( x ) = ∑ n =1 n
∞
求导
s2 ( x) = ∑ xn1 = 1 积分 1 x x n=1 ′ s2 ( x) s2 (0) = ∫ s2 ( x)dx = ln(1 x )
= arctan x
x x ∞ 1 dx = ∑(1)n x2ndx =∫ 2 ∫ n=0 1+ x 0 0
x 2 n +1 = ∑ ( 1)n 2n + 1 n= 0
∞
( 1 ≤ x ≤ 1)
积分 f ( x) = f ′( x)dx = n x ∫ ∫ ∑(1) 2n + 1dx 0 0 n=0
∞
绝对收敛
( 1)n a n ( ) 绝对收敛 ∑ n b n =1
1 x= b
原级数成为
∞
原级数收敛
∑1 n=
故
∞
1 a n ( ) + n b
∑1 n=
∞
1 n2
收敛
a<b
原级数收敛 1 1 收敛域为 [ , ] b b
例2 求和函数 解
an R = lim n→ ∞ a n + 1
(1,1)
⑷幂级数求和函数
1 e , sin x , , (1 + x )α 利用几个已知的展开式, 利用几个已知的展开式,如 1± x
x
通过某些简单运算而求得
ⅰ.化成两个幂级数的和,差,积,商 化成两个幂级数的和, ⅱ.作变量代换
y =(x)
先微后积
2n + 1 nx n1或( 2n + 1) x 2 n 先积后微 通项形如 n
x 2 0
x 0
1 dx 2 1+ x
4 6 n 2n
( 1 ≤ x ≤ 1)
= ∫ [1 x + x x + + (1) x + ]dx
x3 x5 x7 x 2 n+1 = x + + + ( 1)n + ( 1 ≤ x ≤ 1) 3 5 7 2n + 1
故
x arctan x ln 1 + x 2 x 2 n+ 2 1 ∞ x 2 ( n +1 ) = ∑ ( 1)n ∑ ( 1)n 2n + 1 2 n= 0 n+1 n= 0
∞
求级数∑(n + 1)( x 1)n 收 敛域及和函数. 例4
n=0
∞
解
∵
( n + 1)( x 1)n 的收敛半径为 R = 1, ∑
n= 0
∞
收敛域为 1 < x 1 < 1,
∞
即 0 < x < 2,
设此级数的和函数为 s( x ), 则有 s( x ) = ∑ ( n + 1)( x 1)n .
可作代换或直接利用检比法或检根法来确定 ③求出收敛半径后 必须用常数项级数 审敛法判定端点
x = ±R
处的敛散性
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)幂级数的运算 (3)幂级数的运算 a.代数运算性质: a.代数运算性质: 代数运算性质
R = min{R1 , R2 }
b.和函数的分析运算性质: b.和函数的分析运算性质: 和函数的分析运算性质 和函数连续,逐项微分, 和函数连续,逐项微分,逐项积分 收敛半径不变
eix = cos x + i sin x,
e e sint = , 2i it it e +e cos t = , 2
it
it
几个基本初等函数须直接展开, 注1.几个基本初等函数须直接展开,其它函 数应尽量采用间接展开, α 1 数应尽量采用间接展开,但间接展开法必须牢记 e x , sin x , (1 + x ) , 1± x 的展开式, 的展开式,并且要十分熟悉几何级数及函数间的微 分关系 2.求函数的幂级数展开式,必须相应地写 求函数的幂级数展开式, 出展开式成立的范围, 出展开式成立的范围, 3.对于不同类型的函数注意采用不同的展 开方法和步骤 --化部分分式 化部分分式, 有理分式 --化部分分式,利用几何级数展开 反三角函数或对数函数 --先展开其导数,再逐 --先展开其导数, 先展开其导数 项积分,但此时必须注意积分的下限 项积分,但此时必须注意积分的下限
( s2 ( 0 ) = 0 )
0
′
∞
( 1 ≤ x < 1) ( 1 < x < 1)
故 注意
n2 + 1 n x ∑ n x = (1 x)2 ln(1 x) n=1
∞
先微后积, 先微后积,收敛域可能扩张 先积后微, 先积后微,收敛域可能收缩
(n + 1)2 例3求级数和 ∑ n! n=1 ∞ ( n + 1)2 n 解 考虑幂级数 ∑ x n! n =1 ∞ ∞