概率论随机事件的独立性
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P( B) P( B A), P( B ) P( B A) - - - - - - - - - - - - （ - 3） P( B) P( B A ), P( B ) P( B A ) - - - - - - - - - - - - （ - 4） [(3), (4)表明：B发生与否的概率不受 A发生与否的影响 ]
2
所以，A,B,C不独立.
例3 有一均匀的八面体, 各面涂有颜色如下:
1 R W Y 2 R W 3 R W 4 R 5 W Y Y Y 6 7 8
将八面体向上抛掷一次, 观察向下一面出 现的颜色.
设事件
R W Y
红色 白色 黄色
则
3 1 P ( RW ) , P (WY ) P ( RY ) 8 8 1 P ( RWY ) P ( R ) P (W ) P (Y )
2 贝努里试验概型
如果随机试验 E 只有两个结果，则称E为Bernoulli试验．
一般地，我们将这两个结果记作A与 A .
Bernoulli 试验的例子
掷一枚硬币，只有“出现正面”与“出现反面”两种结果， 因此“掷一枚硬币”可看作是一次Bernoulli试验．
掷一颗骰子，有六种结果．但如果我们只关心“出现六
P AB P APB PBC PB PC P AC P APC P ABC P APB PC
则称事件A、B、C相互独立．
第一章 概率论的基本概念
注
意
（1）在三个事件独立性的定义中，四个等 式是缺一不可的．即：前三个等式的成 立不能推出第四个等式的成立；反之， 最后一个等式的成立也推不出前三个等 式同时成立．
PD 0.9510 0.5987
例7 一本500页的书，共有500个错字，每个 错字等可能地出现在每一页上.求在给定的 一页上至少有3个错字的概率.
解 每个错字是不是位于指定页，是一个贝努里 试验.500个错字的位置就是500重贝努里试验.
p 1 P 500 0 P 500 1 P 500 2
第一章 概率论的基本概念
例 6 一大批产品的次品率为0.05，现从中取出10 件．试求下列事件的概率： B={ 取出的10件产品中恰有4件次品 } C={ 取出的10件产品中至少有2件次品 } D={ 取出的10件产品中没有次品 } 解： 取10件产品可看作是一10重Bernoulli试验．
A 取出一件产品为次品
8
4 1 P ( R ) P (W ) P (Y ) 8 2
但
P ( RW ) P ( R ) P (W )
P (WY ) P (W ) P (Y ) P ( RY ) P ( R ) P (Y )
本例说明不能由最后一个等式推出前三 个等式同时成立.
第一章 概率论的基本概念
n个事件的相互独立性
P Ai Aj P Ai P A j 1 i j n P Ai Aj Ak P Ai P A j P Ak 1 i j k n P Ai1 Ai2 Aim P Ai1 P Ai2 P ( Aim ) 1 i1 i2 im n P A A A P A P A P A 1 2 n 1 2 n
解 设需配备n门此型号火炮,并设事件 Ai 表示第i 门火炮击中敌机，则
P ( Ai ) 1 1 P ( Ai ) 1 0.2 0.999
n n i 1
n
ln 0.001 n 4.29 ln 0.2
故至少需配备 5 门此型号火炮 .
第一章 概率论的基本概念
2 2 2 4 4
解二 每取一个球看作是做了一次试验 记取得白球为事件 A ， P ( A) 3 / 5. 有放回地取4个球看作做了 4 重 Bernoulli 试验, 记第 i 次取得白球为事件 Ai
感兴趣的是 4 次试验中A 发生2次的概率
A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
点”与“不出现六点”这两种情况，故“掷一颗骰子”也 可以看作是Bernoulli试验．
第一章 概率论的基本概念
Bernoulli 试验的例子
• 对一目标进行一次射击，若只考虑“击中目标” 与“未击中目标”两种情况，则“对一目标进行 一次射击”是Bernoulli试验． • 在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数，若 只考虑“至少通过100辆车”与“至多通过99辆车” 这两种情况，这也是Bernoulli试验．
设 A1， A2， ， An 为n 个随机事件，如果下列 等式成立：
则称 A1， A2， ， An 这 n 个随机事件相互独立．
说
明
2 3 1. 第一行有Cn 个等式，第二行有Cn 个等式， ，最后 n 一行共有Cn 个等式, 总共有
2 C n C n 2n n 1
P ( A) 1 P ( B ) P ( A) P ( B )
第一章 概率论的基本概念
例1 设甲、乙两射手独立地射击同一目标， 他们击中目标的概率分别为0.9和0.8.求在 一次射击中，目标被击中的概率.
第一章 概率论的基本概念
三个事件的独立性 设A、B、C是三个随机事件，如果同时满足如下 四个等式：
（2）前三个等式同时成立，称作三个事件 两两独立.显然，相互独立可以推出两两 独立，反之不然！
第一章 概率论的基本概念
例 2 袋中装有 4 个外形相同的球，其中三个球分别涂有 红、白、黑色，另一个球同时涂有红、白、黑三种 颜色．现从袋中任意取出一球，令： A={ 取出的球涂有红色 } B={ 取出的球涂有白色 } C={ 取出的球涂有黑色 } 则： 1 P A PB PC 2 1 P AB PBC P AC 4
n
1
0
个等式.
2.直观上讲，n个事件相互独立，就是指以这n个事件 中的某些事件的组合为条件，其余事件发生的（条件）概 率不变，不受条件的影响.上面的式子意义就是保证此点 成立.例如，若A,B,C,D,E独立，则有
P( AC B D E ) P ( AC )
第一章 概率论的基本概念
独立随机事件的性质
第一章 概率论的基本概念
n重Bernoulli 试验
若重复、独立地进行n次Bernoulli试验， 则称这一连 串试验为 n 重Bernoulli 试验．这里“重复”是指每 次试验中事件 A 发生的概率（即每次试验中“成功” 的概率）不变；“独立”是指各次试验的结果不互相 影响，即相互独立. n重Bernoulli 试验的例子
第一章 概率论的基本概念
§4 随机事件的独立性
目录索引
• 1 事件的独立性
• 2 贝努里试验
第一章 概率论的基本概念
1
事件的独立性
直观上讲，说事件A，B独立是指事件A发生（与否） 的可能性（即概率）不受事件B发生与否的影响，反过来 也是如此.用数学式子来表示即：
P ( A) P ( A B ), P ( A ) P ( A B ) - - - - - - - - - - - - （ - 1） P ( A) P ( A B ), P ( A ) P ( A B ) - - - - - - - - - - - - （ - 2） [(1), (2)表明：A发生与否的概率不受 B发生与否的影响 ]
0 1 499 1 C500 500 500 0 500 1 1 499 C500 500 500 498 499
考虑n重Bernoulli试验中事件A 出现 k 次 的概率, 记为 Pn ( k )
例5 袋中有3 个白球, 2个红球,有放回取球 4 次,每次一个,求其中恰有2个白球的概率. 解一 古典概型
设 B 表示4个球中恰有2个白球
n 5 , nB C 3 2
4
2 4
2
2
C 32 P( B) 0.3456. 5
四对事件 A, B , A, B , A , B , A , B 中,
只要有一对相互独立,则其余三对也相互独立. 试证其一 A, B 独立 A, B 独立
事实上
P ( AB ) P ( A A B ) P ( A) P ( A B )
P ( A) P ( A) P ( B )
2 2 2 4
A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
3 P( B) C 5
2 0.3456. 5
一般地，若
P ( A) p , 0 p 1
则
Pn ( k ) C p (1 p )
k n k
nk
,
k 0,1, 2, , n
（1）如果 A ， A ， ， A 这 n 个随机事件相互独立， 1 2 n
则其中任意多个随机事件也相互独立．
（2）如果 A ， A ， ， A 这 n 个随机事件相互独立， 1 2 n
则将其中任意多个事件换成它们的对立事件， 所得的n个事件仍相互独立.
第一章 概率论的基本概念
相互独立事件至少发生其一的概率的计算:
则称事件A与B相互独立.
两事件相互独立的性质
事件A与任一概率为0或1的事件都相互独立. 若 P ( A ) 0, P ( B ) 0,
两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的.
则“事件 A 与 事件 B 相互独立”和 “事件 A 与 事件 B 互斥” 不能同时成立 (自行证明).
• 掷n次硬币，可看作是一 n 重 Bernoulli试验． • 掷 n 颗骰子，如果我们对每颗骰子只关心“出现六点”与 “不出现六点”这两种情况，故“掷 n 颗骰子”也可以看 作是一 n 重 Bernoulli试验．
第一章 概率论的基本概念
n重Bernoulli 试验的例子
• 对同一目标进行n次射击，若每次射击只考虑 “击中目标”与“未击中目标”两种情况，则 “同一目标进行n次射击”是一n重Bernoulli试 验． • 在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数，若 只考虑“至少通过100辆车”与“至多通过99辆 车”这两种情况，这是一次Bernoulli试验．若独 立重复地做该试验 n 次，则它是一n重Bernoulli 试验．
若
A1 , A2 , An
是相互独立的事件，则
P( A1 A2 An ) 1 P( A1 A2 An ) 1 P( A1 ) P( A2 ) P( An )
例4 某型号火炮的命中率为0.8, 现有一架
敌机即将入侵，如果欲以 99.9% 的概率 击中它，则至少需配备此型号火炮多少门？
第一章 概率论的基本概念
由此可见
P AB P APB
P AC P APC
PBC PB PC
但是
P ABC
1 1 P APB PC 4 8
P A P( A BC ) 1
这表明，A、B、C这三个事件是两两独立的，但 不是相互独立的．直观上有: 1
第一章 概率论的基本概念
容易证明， 只要分母不为0,(1),(2),(3),(4)式 的成立，只需要以下一个等式就可保证：
P( AB) P( A) P( B) - - - - - - - - - - - - - - - (5)
所以，事件独立性的定义为：
设A、B是两个随机事件，如果满足
P( AB) P( A) P( B)
则 P A 0.05
第一章 概率论的基本概念
所以，
PC 1 PC
0.08614
PB C 0.05 0.95
4 10 4
104
9.648104
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0 1 1 C10 0.050 0.9510 C10 0.051 0.959
2
所以，A,B,C不独立.
例3 有一均匀的八面体, 各面涂有颜色如下:
1 R W Y 2 R W 3 R W 4 R 5 W Y Y Y 6 7 8
将八面体向上抛掷一次, 观察向下一面出 现的颜色.
设事件
R W Y
红色 白色 黄色
则
3 1 P ( RW ) , P (WY ) P ( RY ) 8 8 1 P ( RWY ) P ( R ) P (W ) P (Y )
2 贝努里试验概型
如果随机试验 E 只有两个结果，则称E为Bernoulli试验．
一般地，我们将这两个结果记作A与 A .
Bernoulli 试验的例子
掷一枚硬币，只有“出现正面”与“出现反面”两种结果， 因此“掷一枚硬币”可看作是一次Bernoulli试验．
掷一颗骰子，有六种结果．但如果我们只关心“出现六
P AB P APB PBC PB PC P AC P APC P ABC P APB PC
则称事件A、B、C相互独立．
第一章 概率论的基本概念
注
意
（1）在三个事件独立性的定义中，四个等 式是缺一不可的．即：前三个等式的成 立不能推出第四个等式的成立；反之， 最后一个等式的成立也推不出前三个等 式同时成立．
PD 0.9510 0.5987
例7 一本500页的书，共有500个错字，每个 错字等可能地出现在每一页上.求在给定的 一页上至少有3个错字的概率.
解 每个错字是不是位于指定页，是一个贝努里 试验.500个错字的位置就是500重贝努里试验.
p 1 P 500 0 P 500 1 P 500 2
第一章 概率论的基本概念
例 6 一大批产品的次品率为0.05，现从中取出10 件．试求下列事件的概率： B={ 取出的10件产品中恰有4件次品 } C={ 取出的10件产品中至少有2件次品 } D={ 取出的10件产品中没有次品 } 解： 取10件产品可看作是一10重Bernoulli试验．
A 取出一件产品为次品
8
4 1 P ( R ) P (W ) P (Y ) 8 2
但
P ( RW ) P ( R ) P (W )
P (WY ) P (W ) P (Y ) P ( RY ) P ( R ) P (Y )
本例说明不能由最后一个等式推出前三 个等式同时成立.
第一章 概率论的基本概念
n个事件的相互独立性
P Ai Aj P Ai P A j 1 i j n P Ai Aj Ak P Ai P A j P Ak 1 i j k n P Ai1 Ai2 Aim P Ai1 P Ai2 P ( Aim ) 1 i1 i2 im n P A A A P A P A P A 1 2 n 1 2 n
解 设需配备n门此型号火炮,并设事件 Ai 表示第i 门火炮击中敌机，则
P ( Ai ) 1 1 P ( Ai ) 1 0.2 0.999
n n i 1
n
ln 0.001 n 4.29 ln 0.2
故至少需配备 5 门此型号火炮 .
第一章 概率论的基本概念
2 2 2 4 4
解二 每取一个球看作是做了一次试验 记取得白球为事件 A ， P ( A) 3 / 5. 有放回地取4个球看作做了 4 重 Bernoulli 试验, 记第 i 次取得白球为事件 Ai
感兴趣的是 4 次试验中A 发生2次的概率
A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
点”与“不出现六点”这两种情况，故“掷一颗骰子”也 可以看作是Bernoulli试验．
第一章 概率论的基本概念
Bernoulli 试验的例子
• 对一目标进行一次射击，若只考虑“击中目标” 与“未击中目标”两种情况，则“对一目标进行 一次射击”是Bernoulli试验． • 在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数，若 只考虑“至少通过100辆车”与“至多通过99辆车” 这两种情况，这也是Bernoulli试验．
设 A1， A2， ， An 为n 个随机事件，如果下列 等式成立：
则称 A1， A2， ， An 这 n 个随机事件相互独立．
说
明
2 3 1. 第一行有Cn 个等式，第二行有Cn 个等式， ，最后 n 一行共有Cn 个等式, 总共有
2 C n C n 2n n 1
P ( A) 1 P ( B ) P ( A) P ( B )
第一章 概率论的基本概念
例1 设甲、乙两射手独立地射击同一目标， 他们击中目标的概率分别为0.9和0.8.求在 一次射击中，目标被击中的概率.
第一章 概率论的基本概念
三个事件的独立性 设A、B、C是三个随机事件，如果同时满足如下 四个等式：
（2）前三个等式同时成立，称作三个事件 两两独立.显然，相互独立可以推出两两 独立，反之不然！
第一章 概率论的基本概念
例 2 袋中装有 4 个外形相同的球，其中三个球分别涂有 红、白、黑色，另一个球同时涂有红、白、黑三种 颜色．现从袋中任意取出一球，令： A={ 取出的球涂有红色 } B={ 取出的球涂有白色 } C={ 取出的球涂有黑色 } 则： 1 P A PB PC 2 1 P AB PBC P AC 4
n
1
0
个等式.
2.直观上讲，n个事件相互独立，就是指以这n个事件 中的某些事件的组合为条件，其余事件发生的（条件）概 率不变，不受条件的影响.上面的式子意义就是保证此点 成立.例如，若A,B,C,D,E独立，则有
P( AC B D E ) P ( AC )
第一章 概率论的基本概念
独立随机事件的性质
第一章 概率论的基本概念
n重Bernoulli 试验
若重复、独立地进行n次Bernoulli试验， 则称这一连 串试验为 n 重Bernoulli 试验．这里“重复”是指每 次试验中事件 A 发生的概率（即每次试验中“成功” 的概率）不变；“独立”是指各次试验的结果不互相 影响，即相互独立. n重Bernoulli 试验的例子
第一章 概率论的基本概念
§4 随机事件的独立性
目录索引
• 1 事件的独立性
• 2 贝努里试验
第一章 概率论的基本概念
1
事件的独立性
直观上讲，说事件A，B独立是指事件A发生（与否） 的可能性（即概率）不受事件B发生与否的影响，反过来 也是如此.用数学式子来表示即：
P ( A) P ( A B ), P ( A ) P ( A B ) - - - - - - - - - - - - （ - 1） P ( A) P ( A B ), P ( A ) P ( A B ) - - - - - - - - - - - - （ - 2） [(1), (2)表明：A发生与否的概率不受 B发生与否的影响 ]
0 1 499 1 C500 500 500 0 500 1 1 499 C500 500 500 498 499
考虑n重Bernoulli试验中事件A 出现 k 次 的概率, 记为 Pn ( k )
例5 袋中有3 个白球, 2个红球,有放回取球 4 次,每次一个,求其中恰有2个白球的概率. 解一 古典概型
设 B 表示4个球中恰有2个白球
n 5 , nB C 3 2
4
2 4
2
2
C 32 P( B) 0.3456. 5
四对事件 A, B , A, B , A , B , A , B 中,
只要有一对相互独立,则其余三对也相互独立. 试证其一 A, B 独立 A, B 独立
事实上
P ( AB ) P ( A A B ) P ( A) P ( A B )
P ( A) P ( A) P ( B )
2 2 2 4
A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
3 P( B) C 5
2 0.3456. 5
一般地，若
P ( A) p , 0 p 1
则
Pn ( k ) C p (1 p )
k n k
nk
,
k 0,1, 2, , n
（1）如果 A ， A ， ， A 这 n 个随机事件相互独立， 1 2 n
则其中任意多个随机事件也相互独立．
（2）如果 A ， A ， ， A 这 n 个随机事件相互独立， 1 2 n
则将其中任意多个事件换成它们的对立事件， 所得的n个事件仍相互独立.
第一章 概率论的基本概念
相互独立事件至少发生其一的概率的计算:
则称事件A与B相互独立.
两事件相互独立的性质
事件A与任一概率为0或1的事件都相互独立. 若 P ( A ) 0, P ( B ) 0,
两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的.
则“事件 A 与 事件 B 相互独立”和 “事件 A 与 事件 B 互斥” 不能同时成立 (自行证明).
• 掷n次硬币，可看作是一 n 重 Bernoulli试验． • 掷 n 颗骰子，如果我们对每颗骰子只关心“出现六点”与 “不出现六点”这两种情况，故“掷 n 颗骰子”也可以看 作是一 n 重 Bernoulli试验．
第一章 概率论的基本概念
n重Bernoulli 试验的例子
• 对同一目标进行n次射击，若每次射击只考虑 “击中目标”与“未击中目标”两种情况，则 “同一目标进行n次射击”是一n重Bernoulli试 验． • 在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数，若 只考虑“至少通过100辆车”与“至多通过99辆 车”这两种情况，这是一次Bernoulli试验．若独 立重复地做该试验 n 次，则它是一n重Bernoulli 试验．
若
A1 , A2 , An
是相互独立的事件，则
P( A1 A2 An ) 1 P( A1 A2 An ) 1 P( A1 ) P( A2 ) P( An )
例4 某型号火炮的命中率为0.8, 现有一架
敌机即将入侵，如果欲以 99.9% 的概率 击中它，则至少需配备此型号火炮多少门？
第一章 概率论的基本概念
由此可见
P AB P APB
P AC P APC
PBC PB PC
但是
P ABC
1 1 P APB PC 4 8
P A P( A BC ) 1
这表明，A、B、C这三个事件是两两独立的，但 不是相互独立的．直观上有: 1
第一章 概率论的基本概念
容易证明， 只要分母不为0,(1),(2),(3),(4)式 的成立，只需要以下一个等式就可保证：
P( AB) P( A) P( B) - - - - - - - - - - - - - - - (5)
所以，事件独立性的定义为：
设A、B是两个随机事件，如果满足
P( AB) P( A) P( B)
则 P A 0.05
第一章 概率论的基本概念
所以，
PC 1 PC
0.08614
PB C 0.05 0.95
4 10 4
104
9.648104
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0 1 1 C10 0.050 0.9510 C10 0.051 0.959