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反比例函数的性质2

理解比例系数k的几何意义

熟练运用k的几何意义解题

【要点梳理】要点一、反比例函数的概念

k

形如y = —(£为常数，的函数称为反比例函数，自变量X的取值范围是不等于0的一切

实数.

要点诠释：在y =-屮，自变量x的取值范围是XH O,y = - (k^O )可以写成

X X

(上工0 )的形式，也可以写成2=上的形式.

要点二、反比例函数解析式的确定

反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数y =-中，只有一个待定系数鸟，

因此只需要知道一对兀、y的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出R的值，从而确定其解析式.

要点三、反比例函数的图象和性质

1.反比例函数的图象

反比例函数y = -(k ^O)的图象是双曲线，它有两个分支，它们关于原点对称，反比例函数的图x 象与X轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交.

2 .反比例函数的性质

图象位置与反比例函数性质

当鸟＞0时，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随x的增大而减小；当时，图象在第二、四彖限，且在每个象限内，y随兀的增大而增大.

要点诠释：

观察反比例函数y =的图彖可得：*和y的值都不能为o,并且图彖既是轴对称图形,

X

又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点.

① y = ±伙H 0）的图象是轴对称图形，对称轴为y = X 和y = -X 两条直线; ② y =-伙H0）的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0, 0）；

注意：正比例函数y = k x

x 与反比例函数y =—,

X

当k^k 2< 0时，两图象没有交点；当k c k 2 > 0时，两图象必有两个交点，且这两个交点关 于原点

成中心对祢.

类型一、确定反比例函数的解析式

4^1、已知函数y = （A: + 2）/H 是反比例函数，则k 的值为 _____________ .

^^2、己知y =必+力，必与x 成正比例，力与*成反比例，且x =2与尢=3时，y 的值都等

于10.求y 与x 间的函数关系式.

n + 5 【变式】反比例函数y = ——图象经过点（2, 3）,则"的值是（）•

兀

A. -2

B. -1

C. 0

D. 1

【变式】已知反比例函数y =-与一次函数y = ax + b 的图彖都经过点P （2, -1）,且当x = \时,

这两个函数值互为相反数，求这两个函数的关系式.

类型二、反比例函数的图象及性质

4-2m

V 3、已知，反比例函数）二 --------- 的图象在每个分支中y 随X 的增大而减小，试求H1的取值范围

.

Y

£ + 1

4、设有反比例函数丿= ------ ,（X],必），（禺，旳）为其图象上两点，若耳V匕<0, X

则£的収值范围是_______ ・

z _2

【变式1】已知反比例函数丿=——，其图象位于第一、第三象限内，则k的值可为 ___________ （写出

x

满足条件的一个£的值即可）.

【变式2】己知a・b< 0,点P（66 b）在反比例函数y =-的图彖上，则直线y = ax + b不经过的象

限是（）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三彖限

D.第四彖限

C^5、在函数y = （20, R为常数）的图象上有三点（一3,）[）、（-2,力）、⑷ ％），

则函数值的大小关系是（）

A. >1 < y2 < >3

B. y3 < y2 <

C. < y3 < ^,

D. y3 < y. < y2

6、已知k T^O,在同一坐标系屮，函数y = ^（x + 1）与y二士的图象大致为如图所示（）

A B c D

m

【变式1】反比例函数y = —与一次函数y = 丰0）在同一直角坐标系屮的图象可能是（）

A B C D

【变式2］已知d〉b,且dHO,bHO,o + bHO,则函数y = + b与》，=吐2在同一坐标系中的图

X

象不可能是（）•

要点四：反比例函数y二£（上工0）

中的比例系数幺的几何意义

过双曲线y亠kM）上任意一点作兀轴、丿轴的垂线，所得矩形的面积为凶.

X

k

过双曲线y = -（Z：^0）上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为

2

要点诠释：只要函数式己经确定，不论图彖上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的而积始终是不变的.

^^7、如图，点A是反比例函数戸色的图象上■点，过点A作AB丄x轴，垂足为点B,线段AB交

X

反比例函数尸2的图象于点C,贝IJAOAC的而积为________

要点五：反比例函数与一次函数综合

9、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y = +的图象与反比例函数y = -{m

x HO）的图彖相交于A、B两点.

求：⑴根据图象写出A、B两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式;

（2）根据图象写出：当兀为何值时，一次函数值大于反比例函数值.

【巩固练习】

2

1.己知函数y =（加+ 1）兀"心的反比例函数，且图象在第二、四象限内，则加的值是（）.

A. 2

B. -2

C. ±2

D.--

2

2.已知点A（d, 5）, B（2, b）关于兀轴对称，若反比例函数的图象经过点C（a, /?）,则这个反比

例函数的表达式为____________ ・

3.已知X与兀成正比例（比例系数为«）, %与兀成反比例（比例系数为匕），若函数〉' = X+〉'2的

图象经过点（1, 2）, （2, *）,贝IJ8/+5込的值为 __________ .

2

4.己知（勺）,（X” y2）,（与儿）是反比例函数y二——的图象上的三个点，并且

x

X >丿2 > % > °，则勺兀2，禺的大小关系是 ____________ •

-k2-21

y — ------ —

5.在函数兀（*为常数）的图象上有三个点（一2,刃），（-1,力），（2 ,力），函