初中数学因式分解(含答案)竞赛题精选1
(完整版)初中数学因式分解(含答案)竞赛题精选1
初中数学因式分解（一）因式分解是代数式恒等变形的基本形式，是解决数学问题的有力工具．是掌握因式分解对于培养学生解题技能，思维能力，有独特作用．1．运用公式法整式乘法公式，反向使用，即为因式分解22(1)a 2-b 2=(a+b)(a-b) ；222(2)a 2±2ab+b2=(a ±b) 2；3 3 2 2(3)a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；3 3 2 2(4)a -b =(a-b)(a +ab+b ) ．几个常用的公式：(5)a 2+b2 +c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a 3+b3 +c3-3abc=(a+b+c)(a 2+b2+c2-ab-bc-ca) ；(7) a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n 为正整数；(8) a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n 为偶数；(9) a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n 为奇数. 分解因式，根据多项式字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：5n-1 n 3n-1 n+2 n-1 n+4(1)-2x y +4x y -2x y ；(2)x 3 3 3-8y -z -6xyz ；(3)a 2+b2+c2-2bc+2ca-2ab ；7 52 2 5 7(4)a -a b +ab -b .例 2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．例 3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1.2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8 ．例 5 分解因式：9 6 3(1)x +x +x -3 ；(2)(m 22 2- 1)(n 2-1)+4mn ；4 2 2 4(3)(x+1) 4+(x 2-1) 2+(x-1) 4；(4)a 3b-ab 3+a2+b2+1．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．22例6 分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)-12 ．22例7 分解因式：(x 2+3x+2)(4x 2+8x+3)-90 ．2 2 2例8 分解因式：(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2．4 3 2例9 分解因式：6x +7x -36x -7x+6 .2 2 2 2 例10 分解因式：(x +xy+y )-4xy(x +y ).1 .分解因式:10 5小+x -25 4 3 2 2 5(4)(x +x +x +x +x+1) -x .练习一十十扌|32(3)x 3+9x2+26x+24；3．分解因式：2 2 2(1)(2x 2-3x+1) 2-22x 2+33x-1 ；3(3)(x+y) 3+2xy(1-x-y)-12 (4)(x+3)(x 2-1)(x+5)-202．分解因式：32(1)x 3+3x2-4 ； 4 2 2 2(2)x -11x y +y ；4(4)x 4-12x+323 ．4 3 2(2)x 4+7x3+14x2+7x+1；初中数学因式分解（一）答案多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) a 2-b2=(a+b)(a -b) ；(2) a 2±2ab+b2=(a±b) 2；(3) a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2) ；(4) a 3-b3=(a-b)(a 2+ab+b2) ．下面再补充几个常用的公式：2 2 2 2(5) a +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) ；3 3 3 2 2 2(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca) ；(7) a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n 为正整数；(8) a n-b n=(a+b)(a n-1_a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n 为偶数；(9) a n+b n=(a+b)(a n-1_a n-2b+a n-3 b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n 为奇数.运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.例 1 分解因式：5n-1 n 3n-1 n+2 n-1 n+4(1) -2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；3 3 3(2) x -8y -z -6xyz ；222(3) a +b +c -2bc+2ca -2ab；7 5 2 2 5 7(4) a 7-a5b2+a2b5-b7.解(1)原式=-2x n-1 y n(x 4n-2x2ny2+y4)n-1 n 2 2 2 2 2 2=-2x y [(x n) -2x ny +(y ) ]n-1 n 2 2 2=-2x y (x n-y )n-1 n n 2 n 2=-2x n-1 y n(x n-y)2(x n+y)2.⑵原式=x3+(-2y) 3+( -z) 3-3x(-2y)( -Z)2 2 2=(x -2y-z)(x 2+4y2+z2+2xy+xz-2yz) .(3) 原式=(a2-2ab+b2)+( -2bc+2ca)+c2=(a-b) +2c(a - b)+c=(a -b+c) 2.816 15 14 13 2x -仁(x-1)(x +X +X + …x +x+1)，9本小题可以稍加变形，直接使用公式 (5)，解法如下:原式=a 2+( -b) 2+C 2+2( -b)c+2ca+2a( -b)=(a -b+c)27 5. 2、 / 2. 5 7、⑷ 原式=(a -a b )+(a b -b )=a 5(a 2-b 2)+b 5(a 2-b 2)=(a 2-b 2)(a 5+b 5)4 3 2 2 3 4 =(a+b)(a -b)(a+b)(a -a b+a b -a b +b )=(a+b) 2(a-b)(a 4-a 3b+a 2b 2-ab 3+k >)例 2 分解因式：a 3+b 3+c 3-3abc .本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6). 分析我们已经知道公式(a+b) 3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3的正确性，现将此公式变形为3 3 3a +b =(a+b) -3ab(a+b). 这个•式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导.解 原式=(a+b) 3-3ab(a+b)+c 〔3abc=[(a+b)3+c 3] -3ab(a+b+c)2 2=(a+b+c) [ (a+b) -c(a+b)+c ]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a 2+b+c-ab-bc-ca).说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为3,3 3 a +b +C -3abc(A -i-b + :童』：十抚」+ 2c" -2ab -2bc-2cs) --3 + b —“ I (a-b- 3+ Ct-c) J al 二3 3 3 333 333显然，当 a+b+c=O 时，则 a+b+c=3abc ；当 a+b+c > 0 时，则 a+b+c-3abc > 0，即 a +b +C > 3abc ， 而且，当且仅当a=b=c 时，等号成立.如果令 x=a 3> 0，y=b 3>0，z=c 3 >0，则有等号成立的充要条件是 x=y=z .这也是一个常用的结论.例 3 分解因式： x 15+x 14+x 13+…+x 2+x+1.分析 这个多项式的特点是：有 16项，从最高次项x 15开始，x 的次数顺次递减至 0,由此想到应用公式a n -b n 来分解.解因为所以点斎厂------------------- - ------------ -- -- 7K - J Z - 1(J +:j〔J十顶工+ 1］伙一号s -1^(3S亠0(1? +0(护+ 1)(3 * 1)说明在本题的分解过程中，用到先乘以(X-1)，再除以(X-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用.2 .拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算•在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零•在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项•拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解.例4分解因式：X3-9X+8.分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧.解法1将常数项8拆成-1+9.原式=X3-9X-1+9=(X3-1)-9X+92=(x_1)(x +X+1)-9(X-1)=(X -1)(X 2+X-8).解法2将一次项-9x拆成-X-8X.原式=X3-X-8X+8/ 3=(X -X)+(-8X+8)=X(X+1)(X -1) -8(X -1)=(X -1)(X 2+X-8).解法3将三次项x3拆成9X3-8X3 .原式=9X3-8X3-9X+8=(9X 3-9X)+(-8X3+8)=9X(X+1)(X -1)-8(X-1)(X 2+X+1)=(X -1)(X 2+X-8).解法4添加两项-x'+x?.原式=X3-9X+83 2 2=X -X +X -9X+8=X2(X -1)+(X -8)(X -1)1016 15 14 13 2x -仁(x-1)(x +X +X + …x +x+1)，11=(X -1)(X 2+X -8).说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主 要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一 种．例 5 分解因式：963(1) x +x +x -3 ；22 (2) (m 2-1)(n 2 -1)+4mn ；(3) (x+1) 3+(x 2-1) 2+(x-1)4；(4)a 4b-ab 5+a 2+b 2+1．解 (1) 将-3拆成 -1-1-1．原式 =x 9+x 6+x 3-1-1-19 6 3 =(x 9-1)+(x 6-1)+(x 6-1)3 6 3 3 3 3=(x 3-1)(x 6+x 3+1)+(x 3-1)(x 3+1)+(x 3-1)=(x 3-1)(x6+2x3+3)2 63 =(x -1)(x +x+1)(x +2x +3) ．(2) 将 4mn 拆成 2mn+2m ．n原式 =(m -1)(n - 1)+2mn+2mn=m 2n 2 -m 2- n 2+1+2mn+2mn =(m 2n 2+2mn+1)-(m 2-2mn+n 2)=(mn+1)2-(m-n)=(mn+m- n+1)(mn -m+n+1)．2 2 2 2 2 2⑶将(X -1)拆成 2 (x -1)-(X -1).原式=(x+1) 4+2 (x 2-1)2-(x 2-l) 2+(x -1)4=[(x+1) 4+2(x+1) 2(x-1)2+(x-1)4]-(x 2-1)2=[(x+1) 2+(x-1)2]2-(x 2-1)2 =(2x 2+2)2-(x 2-1)2=(3x 2+1)(x 2+3).(4) 添加两项 +ab- ab .原式=a 3b-ab 3 +a +b 2+1+ab- ab3 3 2 2 =(a b-ab )+(a -ab)+(ab+b +1)说明(4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加 +ab-ab ，而且添加项 后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体 会到拆项、2=a(a-b) [b(a+b)+1]+(ab+b 2+1)=[a(a -b)+1](ab+b 2+1)=(a 2-ab+1)(b 2+ab+1) . =ab(a+b)(a -b)+a(a -b)+(ab+b 2+1)=(x+2)(x+4)(x 2+5x+8) ．12添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法 换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来 运算，从而使运算过程简明清晰．例 6 分解因式： (x 2 +x+1)(x 2+x+2) -12．分析 将原式展开，是关于 x 的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x 2+x 看作一个整体，并用字母 y 来替代，于是原题转化为关于 y 的二次三项式的因式分解问题了．解设x 2+x=y ，则原式 =(y+1)(y+2) -12=y 2+3y-10=(y -2)(y+5)=(x 2+x-2)(x 2+x+5)2 =(x -1)(x+2)(x 2+x+5) ．说明本题也可将x 2+x+1看作一个整体，比如今x 2+x+1=u ，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学 不妨试一试．例 7 分解因式：(x 2+3x+2)(4x 2+8x+3) - 90． 分析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解 原式 =(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-9022 =(2x 2+5x+3)(2x 2+5x+2) -90．令 y=2x 2+5x+2，则原式 =y(y+1) -90=y 2+y-90=(y+10)(y -9)=(2x 2+5x+12)(2x 2+5x-7)=(2x 2+5x+12)(2x+7)(x -1) ． 说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元 (y) 的基础．例 8 分解因式：2 2 2(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2．解设 x 2+4x+8=y ，则原式 =y 2+3xy+2x 2=(y+2x)(y+x)=(x 2+6x+8)(x 2+5x+8) 说明 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必 要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式.例 9 分解因式：6x 4 +7x136x 7- 7x+6.7 2 =(u -3V )解法 1 原式=6(x 4+1) + 7x(x 2-1)-36x2=6 : (X"-2X2+1)+2X2]+7X(X2-1)-36X2=6[(x 2-1)2+2X2]+7X(X 2-1)-36X22 2 2 2=6(x -1) +7x(x -1)-24X2 2=[2(X -1)-3X][3(X -1)+8X]2 2=(2x -3X-2)(3X +8X-3)=(2X+1)(X -2)(3X -1)(X+3).说明本解法实际上是将x2-i看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体.解法2匾式=只2 I -I-7K -3t--岬胡+仁Hi r原式=x[6(t 2+2)+7t -36]=x2(6t 2+7t -24)=x2(2t -3)(3t+8)=X2[2(X -1/X)-3][3(X -1/X)+8]2 2=(2x -3X-2)(3X +8X-3)=(2X+1)(X -2)(3X -1)(X+3).例10 分解因式：(x 2+xy+y2)-4xy(x 2+y2).分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式.解原式=[(x+y) 2-xy] 2-4xy[(x+y) 2-2xy].令x+y=u，xy=v，贝U原式=(u 2-v) L4V(U 2-2V)4 2 2=u -6u V+9V=(x 2+2xy+y2-3xy)22 2 2=(x -xy+y ).13。
(专题精选)初中数学因式分解经典测试题附答案解析
（专题精选）初中数学因式分解经典测试题附答案解析一、选择题1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A ．m （a +b ）＝ma +mbB ．a 2+4a ﹣21＝a （a +4）﹣21C ．x 2﹣1＝（x +1）（x ﹣1）D ．x 2+16﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）+16【答案】C【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】A 、是整式的乘法，故A 不符合题意；B 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 不符合题意；C 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 符合题意；D 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，判断因式分解的标准是把一个多项式转化成几个整式积的形式．2．下列分解因式正确的是（ ）A ．x 3﹣x=x （x 2﹣1）B ．x 2﹣1=（x+1）（x ﹣1）C ．x 2﹣x+2=x （x ﹣1）+2D ．x 2+2x ﹣1=（x ﹣1）2【答案】B【解析】试题分析：根据提公因式法分解因式，公式法分解因式对各选项分析判断利用排除法求解．解：A 、x 3﹣x=x （x 2﹣1）=x （x+1）（x ﹣1），故本选项错误；B 、x 2﹣1=（x+1）（x ﹣1），故本选项正确；C 、x 2﹣x+2=x （x ﹣1）+2右边不是整式积的形式，故本选项错误；D 、应为x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2，故本选项错误．故选B ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．3．把代数式322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ）A ．(3)(3)x x y x y +-B ．223(2)x x xy y -+C ．2(3)x x y -D ．23()x x y -【答案】D【解析】 此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．解答：解：322363x x y xy -+，=3x （x 2-2xy+y 2），=3x （x-y ）2．故选D ．4．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．2x （x +3）＝2x 2+6xB ．24xy 2＝3x •8y 2C ．x 2+2xy +y 2+1＝（x +y ）2+1D ．x 2﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】A 、不是因式分解，故本选项不符合题意；B 、不是因式分解，故本选项不符合题意；C 、不是因式分解，故本选项不符合题意；D 、是因式分解，故本选项符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．5．下列分解因式正确的是（ ）A ．x 2-x+2=x （x-1）+2B ．x 2-x=x （x-1）C ．x-1=x （1-1x ）D ．（x-1）2=x 2-2x+1 【答案】B【解析】【分析】根据因式分解的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A 、x 2-x+2=x （x-1）+2，不是分解因式，故选项错误；B 、x 2-x=x （x-1），故选项正确；C 、x-1=x （1-1x），不是分解因式，故选项错误；D 、（x-1）2=x 2-2x+1，不是分解因式，故选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫做分解因式．掌握提公因式法和公式法是解题的关键．6．若三角形的三边长分别为a 、b 、c ，满足22230a b a c b c b -+-=，则这个三角形是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形 【答案】D【解析】【分析】首先将原式变形为()()()0b c a b a b --+=，可以得到0b c -=或0a b -=或0a b +=，进而得到b c =或a b =．从而得出△ABC 的形状．【详解】∵22230a b a c b c b -+-=，∴()()220a b c b c b -+-=，∴()()220b c a b --=，即()()()0b c a b a b --+=，∴0b c -=或0a b -=或0a b +=(舍去)，∴b c =或a b =，∴△ABC 是等腰三角形．故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解－提公因式法、平方差公式法在实际问题中的运用，注意掌握因式分解的步骤，分解要彻底．7．多项式x 2y （a -b ）-xy （b -a ）+y （a -b ）提公因式后，另一个因式为（ ） A ．21x x -+B ．21x x ++C ．21x x --D ．21x x +-【答案】B【解析】解：x 2y (a －b )－xy (b －a )＋y (a －b )= y (a －b )（x 2+x +1）．故选B ．8．已知a ﹣b =2，则a 2﹣b 2﹣4b 的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】【分析】原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值．【详解】∵a ﹣b =2，∴原式=(a +b )(a ﹣b )﹣4b =2(a +b )﹣4b =2a +2b ﹣4b =2(a ﹣b )=4．故选：B ．【点睛】此题考查因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．9．已知x ﹣y ＝﹣2，xy ＝3，则x 2y ﹣xy 2的值为（ ）A ．2B ．﹣6C ．5D ．﹣3 【答案】B【解析】【分析】先题提公因式xy ，再用公式法因式分解，最后代入计算即可．【详解】解：x 2y ﹣xy 2＝xy （x ﹣y ）＝3×（﹣2）＝﹣6，故答案为B ．【点睛】本题考查了因式分解，掌握先提取公因式、再运用公式法的解答思路是解答本题的关键．10．下列分解因式正确的是（ ）A ．24(4)x x x x -+=-+B ．2()x xy x x x y ++=+C ．2()()()x x y y y x x y -+-=-D ．244(2)(2)x x x x -+=+-【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底．【详解】A. ()244x x x x -+=-- ，故A 选项错误； B. ()21x xy x x x y ++=++，故B 选项错误； C. ()()()2x x y y y x x y -+-=- ，故C 选项正确；D. 244x x -+=（x-2）2，故D 选项错误，故选C.【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．11．将多项式x 2+2xy+y 2﹣2x ﹣2y+1分解因式，正确的是（ ）A ．（x+y ）2B ．（x+y ﹣1）2C ．（x+y+1）2D ．（x ﹣y ﹣1）2【答案】B【解析】【分析】此式是6项式，所以采用分组分解法．【详解】 解：x 2+2xy+y 2﹣2x ﹣2y+1=（x 2+2xy+y 2）﹣（2x+2y ）+1=（x+y ）2﹣2（x+y ）+1=（x+y ﹣1）2．故选：B12．已知a ，b ，c 满足3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c a c a b+++++=---（ ）． A ．0B ．3C ．6D ．9【答案】D【解析】【分析】将等式变形可得2224+=-a b c ，2224+=-b c a ，2224+=-a c b ，然后代入分式中，利用平方差公式和整体代入法求值即可．【详解】解：∵2224a b c ++=∴2224+=-a b c ，2224+=-b c a ，2224+=-a c b∵3a b c ++= ∴222222222+++++---a b b c c a c a b=222444222---++---c a b c a b=()()()()()()222222222-+-+-+++---c c a a b b c ab=222+++++c a b=()6+++c a b=6＋3=9故选D ．【点睛】 此题考查的是分式的化简求值题和平方差公式，掌握分式的基本性质和平方差公式是解决此题的关键．13．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）A ．2(1)(1)1x x x +-=-B ．221(2)1x x x x -+=-+C ．224(4)(4)x y x y x y -=+-D ．26(2)(3)x x x x --=+-【答案】D【解析】A. 和因式分解正好相反，故不是分解因式；B. 结果中含有和的形式，故不是分解因式；C. 22x 4y -=(x+2y)(x−2y)，解答错误；D. 是分解因式。
初中数学竞赛双十字相乘法因式分解练习100题及答案
初中数学竞赛双十字相乘法因式分解练习100题及答案(1)222541636089x y z xy yz xz+--+-(2)2274012742a ab b a b+-++(3)2227156381341x y z xy yz xz+---+ (4)2224985422242a b c ab bc ac+++--(5)22634455212x xy y x y+-+++ (6)24040593521m mn m n--++(7)22152********x xy y x y+-+--(8)22284233215x y z xy yz xz+--++(9)2263491413206x xy y x y--++-(10)222723531031615x y z xy yz xz+--+-(11)22203973189m mn n m n-+++-(12)22320123346m mn n m n++---(13)22546212x y x y-+-+(14)22152********x xy y x y-+-++ (15)2212104256525x xy y x y+--+-(16)222822472x xy y x y-+-+(17)2227334451818x xy y x y --++-(18)2224275351223x y z xy yz xz --+-+(19)21863733535x xy x y ++++(20)2230774931356x xy y x y ++---(21)22242312501224x xy y x y ---++(22)2230148551025m mn n m n --+-+(23)222122854424m mn n m n +---+(24)221431151421x xy y x y ++--(25)2240316624a ab b a b -+-+-(26)222212721x xy y x y--+-(27)22141122799x xy y x y -+-++(28)226520914x xy y x y -++-+(29)2214217454025p pq q p q -+-++(30)22943103326m mn n m n +-+--(31)222243524222248a b c ab bc ac-+-+-(32)2226364210x xy y x y +----(33)22113021624x xy y x y ++---(34)2228499424218x y z xy yz xz+++++(35)22144775436x xy y x y+-++-(36)2245191712m mn n m n+---+ (37)22225145251720x y z xy yz xz---++ (38)22104121212849m mn n m n-+++-(39)2281721292220m mn n m n-++--(40)224564121012x xy y x y++++(41)2225536242436x y z xy yz xz-++--(42)2224063538a b c ab bc ac-++++ (43)254121521a ab a b++++(44)274283612m mn m n+-+-(45)25649344212x xy x y--+-(46)2243914x xy y x y--++-(47)2272113565287m mn n m n----+ (48)2235834218a ab b a b--+-(49)22728211156p pq q p q-++--(50)22256126112734a b c ab bc ac---+-(51)228953421x xy y x y++++-(52)22351110244535x xy y x y+----(53)22264155161048x y z xy yz xz-+---(54)222151412111327a b c ab bc ac-++++ (55)222827526136p pq q p q+++++ (56)2226435309658x y z xy yz xz+----(57)22202422739a ab b a b----+ (58)2226366132033x y z xy yz xz----+ (59)22216716542440a b c ab bc ac-++--(60)2224544111731x y z xy yz xz----+ (61)22418829187x xy y x y-+-++(62)2221218113315x xy y x y-++-+ (63)22220427749x xy y x y+++--(64)2228189182721x y z xy yz xz--+-+ (65)2212142040525x xy y x y--+++ (66)224217152743x xy y x y+--++ (67)22262124394632a b c ab bc ac--+-+ (68)22291069415x y z xy yz xz-+--+ (69)2228129201218x y z xy yz xz-+--+ (70)22925656612x xy y x y+--++(71)2218236282016a ab b a b +-+--(72)2224137122512x xy y x y +----(73)2225307404012x xy y x y +---+(74)2225621435830x y z xy yz xz -++++(75)22324814682330x xy y x y +---+(76)22123615381114x xy y x y -+-+-(77)222813670942x xy y x y ---++(78)224247310m mn n m n +-+-+(79)2248286741728a ab b a b ---++(80)2210414213910x xy y x y +-++-(81)25628272418m mn m n +++-(82)22251236162424x y z xy yz xz+-+++(83)2226425484111a b c ab bc ac++-+-(84)222402242182x y z xy yz xz+-++-(85)22245615592360x y z xy yz xz+++++(86)2224235207358x y z xy yz xz-+-+-(87)2263024194014x xy y x y +++++(88)22152896x xy y x y+-+-(89)229211825246x xy y x y +-+--(90)228383516388x xy y x y ++--+(91)222271544273a b c ab bc ac +---+(92)2218935187236x xy y x y +-+--(93)22227343033x y z xy yz xz +-+--(94)222191222115x xy y x y --+-+(95)22189201815x xy y x y--++(96)2262521395118x xy y x y -++-+(97)222481225143510x y z xy yz xz-----(98)2492863814p pq p q +--+(99)244211620x xy x y +--+(100)272958510x xy x y --++初中数学竞赛双十字相乘法因式分解练习100题答案(1)(943)(64)x y z x y z---+(2)(727)(6)a b a b-++(3)(73)(56)x y z x y z---+(4)(725)(74)a b c a b c+-+-(5)(723)(924)x y x y++-+ (6)(87)(553)m m n---(7)(347)(563)x y x y++--(8)(42)(8)x y z x y z-+--(9)(922)(773)x y x y+--+ (10)(87)(953)x y z x y z-+--(11)(53)(473)m n m n---+ (12)(326)(61)m n m n+-++ (13)(932)(621)x y x y++-+ (14)(565)(33)x y x y----(15)(375)(465)x y x y+--+ (16)(421)(72)x y x y---(17)(93)(346)x y x y+--+ (18)(6)(775)x y z x y z--++ (19)(277)(95)x y x+++ (20)(671)(576)x y x y+++-(21)(344)(836)x y x y--+-(22)(545)(625)m n m n-+++ (23)(346)(724)m n m n+---(24)(23)(757)x y x y++-(25)(832)(522)a b a b-+--(26)(3)(247)x y x y-++ (27)(723)(23)x y x y----(28)(37)(22)x y x y-+-+ (29)(25)(775)p q p q----(30)(926)(51)m n m n--++(31)(656)(474)a b c a b c+---(32)(62)(265)x y x y++--(33)(64)(56)x y x y+++-(34)(273)(473)x y z x y z++++ (35)(76)(271)x y x y-++-(36)(453)(4)m n m n+---(37)(575)(52)x y z x y z-++-(38)(537)(277)m n m n---+ (39)(925)(964)m n m n-+--(40)(56)(922)x y x y+++(41)(56)(56)x y z x y z--+-(42)(5)(86)a b c a b c++-+(43)(61)(921)a a b+++ (44)(62)(76)m n m+-+ (45)(872)(76)x y x-+-(46)(47)(2)x y x y+--+ (47)(977)(851)m n m n--+-(48)(73)(56)a b a b-++ (49)(32)(773)p q p q-+--(50)(836)(74)a b c a b c+--+ (51)(7)(83)x y x y+++-(52)(755)(527)x y x y++--(53)(855)(83)x y z x y z--+-(54)(323)(574)a b c a b c-+++ (55)(753)(42)p q p q++++ (56)(855)(876)x y z x y z-+--(57)(463)(573)a b a b--+-(58)(926)(73)x y z x y z++--(59)(274)(84)a b c a b c+---(60)(54)(94)x y z x y z++--(61)(421)(47)x y x y----(62)(265)(33)x y x y-+-+ (63)(267)(77)x y x y+-++ (64)(863)(33)x y z x y z--++ (65)(655)(245)x y x y++-+ (66)(731)(653)x y x y--+-(67)(76)(634)a b c a b c++--(68)(353)(322)x y z x y z-+++ (69)(423)(263)x y z x y z++-+ (70)(36)(922)x y x y+---(71)(924)(234)a b a b--++ (72)(33)(874)x y x y--++ (73)(572)(56)x y x y+---(74)(772)(832)x y z x y z++-+ (75)(825)(476)x y x y--+-(76)(257)(632)x y x y---+ (77)(727)(436)x y x y+---(78)(72)(65)m n m n-+++(79)(867)(64)a b a b--+-(80)(572)(225)x y x y+--+ (81)(76)(843)m m n++-(82)(566)(26)x y z x y z+-++(83)(665)(7)a b c a b c----(84)(86)(524)x y z x y z+++-(85)(93)(565)x y z x y z++++ (86)(775)(654)x y z x y z--+-(87)(667)(42)x y x y++++ (88)(32)(543)x y x y-++ (89)(33)(962)x y x y++--(90)(454)(272)x y x y+-+-(91)(954)(33)a b c a b c-+--(92)(676)(356)x y x y--++ (93)(9)(334)x y z x y z+++-(94)(331)(745)x y x y-+++ (95)(343)(65)x y x y-++ (96)(673)(36)x y x y-+-+ (97)(835)(645)x y z x y z++--(98)(72)(747)p p q-+-(99)(445)(4)x y x+--(100)(82)(95)x y x---。
八年级数学(竞赛)因式分解
第一讲 分解方法的延拓——换元法与主元法因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．例题求解【例1】分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ．(第12届“五羊杯”竞赛题)思路点拨 视24x x +为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．【例2】 多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z) (上海市竞赛题)思路点拨 原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例3】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2； (天津市竞赛题)(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999； (重庆市竞赛题)(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2； (“希望杯”邀请赛试题)(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3． (第13届“五羊杯”竞赛题)思路点拔 (1)是形如abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y ；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．【例4】把下列各式分解因式：(1)a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2 (a 一b)； (2)x 2+xy －2y 2－x+7y －6．思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f 的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．【例5】证明：对任何整数 x 和y ，下式的值都不会等于33．x 5+3x 4y －5x 3y 2一15x 2y 3+4xy 4+12y 5．(莫斯科奥林匹克八年级试题)思路点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：（1）按字母分组；(2)按次数分组； (3)按系数分组．为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多项式分解因式后的结果：（1）))((2233b ab a b a b a +±=± ；(2)))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++学历训练1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8＝ ．2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12= ．3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y= ．4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为 ．5．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )．A ．2727923-+-x x xB ．272723-+-x x xC ．272734-+-x x xD ．279323-+-x x x (第13届“希望杯”邀请赛试题)6．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值为( )． A ．92 B ．32 C ．54 D ．0 7．分解因式:（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2； (2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001； (4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++； (6)613622-++-+y x y xy x ．8．分解因式：22635y y x xy x ++++= ．9．分解因式：333)()2()2(y x y x -----= ．10．613223+-+x x x 的因式是( )A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+xE ．12+x11．已知c b a >>，M=a c c b b a 222++，N=222ca bc ab ++，则M 与N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M> NC ．M ＝ND ．不能确定12．把下列各式分解因式：(1)22212)16)(1(a a a a a ++-++； (2)91)72)(9)(52(2---+a a a ； (黄冈市竞赛题)(3)2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy ； (天津市竞赛题)(4)4242410)13)(14(x x x x x ++++-；（第13届“五羊杯”竞赛题）(5)z y xy xyz y x z x x 222232242-++--． (天津市竞赛题)17．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+； ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-． 利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x (“祖冲之杯”邀请赛试题)18．已知在ΔABC 中，010616222=++--bc ab c b a (a 、b 、c 是三角形三边的长)．求证：b c a 2=+第二讲 分解方法的延拓——配方法与待定系数法在数学课外活动中，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法。
初中因式分解经典题型(含详细答案)
初中因式分解经典题型精选第一组：基础题1、a²b+2ab+b2、2a²-4a+23、16-8（m-n）+（m-n）²4、a²（p-q）-p+q5、a（ab+bc+ac）-abc【答案】1、a²b+2ab+b=b（a²+2a+1）=b（a+1）²2、2a²-4a+2=2（a²-2a+1）=2（a-1）²3、16-8（m-n）+（m-n）²然后运用完全平方公式=4²-2*4*（m-n）+（m-n）²=[4-(m-n)] ²=(4-m+n) ²4、a²（p-q）-p+q=a²（p-q）-（p-q）=（p-q）（a²-1）=（p-q）（a+1）（a-1）5、a（ab+bc+ac）-abc=a[（ab+bc+ac）-bc]=a（ab+bc+ac-bc）bc与-bc 抵消=a（ab+ac）提取公因式a=a²（b+c）第二组：提升题6、（x-y-1）²-（y- x-1）²7、a3b-ab38、b4-14b²+19、x4+x²+2ax+1﹣a²10、a5+a+1【答案】6、（x-y-1）²-（y- x-1）²用平方差公式=[（x-y-1）+（y-x-1）][（x-y-1）-（y-x-1）]去括号，合并同类项=（-2）（2x-2y）提取2= -4（x-y）7、a3b-ab3提取公因式ab=ab（a²-b²）用平方差公式=ab（a+b）（a-b）8、b4-14b²+1将-14b²拆分为：+2b²-16b²=b4+2b²-16b²+1将-16b²移到最后=b4+2b²+1-16b²将前三项结合在一起=（b4+2b²+1）-16b²=（ b²+1）²-（4b）²用平方差公式=[（ b²+1）+4b][（ b²+1）-4b] =（ b²+4b+1）（ b²-4b+1）9、x4+x²+2ax+1﹣a²将+x²拆分为：+2x²- x²=x4+2x²- x² +2ax+1﹣a²将x4、+2x²、+1结合，将-x²、+2ax、﹣a²结合=（x4+2x²+1）+（-x²+2ax﹣a²）提取-1=（ x²+1）² -（x²-2ax+a²）=（ x²+1）²-（ x-a）²用平方差公式=[（x²+1）+（x-a）][（x²+1）-（x-a）]=（x²+x-a+1）（x²-x+a+1）10、a5+a+1在式子中添加：-a²+a²=a5 - a²+ a²+a+1将前两项结合，后面三项结合=（a5-a²）+（a²+a+1）提取公因式a²=a²（a3-1）+（a²+a+1）用立方差公式=a²（a-1）（a²+a+1）+（a²+a+1）提取公因式（a²+a+1）=（a²+a+1）[a²（a-1）+1]=（a²+a+1）(a3-a²+1)第三组：进阶题11、x4-2y4-2x3y+xy312、（ac-bd）²+（bc+ad）²13、x²（y-z）+y²（z-x）+z²（x-y）14、x²－4ax＋8ab－4b²15、xy² +4xz -xz²-4x【答案】11、x4-2y4-2x3y+xy3x4与xy3结合，-2y4与-2x3y结合=（x4+xy3）+（-2y4-2x3y）x-2y，=x（x3+y3）-2y（x3+y3）提取公因式（x3+y3）=（x3+y3）（x-2y）=（x+y）（x2-xy+y2）（x-2y）12、（ac-bd）²+（bc+ad）²去括号展开= a²c² - 2abcd + b²d²+b²c² +2abcd + a²d²- 2abcd与+2abcd 抵消=a²c² + b²d² +b²c² + a²d²a²c²与b²c²结合，b²d²与a²d²结合=（a²c²+b²c²）+（ b²d²+a²d²）c²， d ²，=c²（a²+b²）+d²（a²+b²）提取公因式（a²+b²）=（a²+b²）（c²+d²）13、x²（y-z）+y²（z-x）+z²（x-y）=x²（y-z）+y²z -y²x +z²x -z²yy²z与-z²y结合，z²x 与-y²x=x²（y-z）+（y²z -z²y）+（z²x-y²x）提取公因式zy提取公因式=x²（y-z）+ zy（y-z）+x（z²-y²）提取公因式（y-z），=（y-z）（x²+zy）+x（z+y）（z-y）y-z），后一项 +x则变为 -x =（y-z）[（x²+zy）-x（z+y）]=（y-z）（x²+zy-xz-xy）14、x²－4ax＋8ab－4b²²与－4b²结合，－4ax与＋8ab结合=（x²－4b²）+（－4ax＋8ab）-4a=（x+2b）（x-2b）-4a（x-2b）x-2b），=（x-2b）[（x+2b）-4a]=（x-2b）（x+2b-4a）15、xy² +4xz -xz²-4xx，=x（y²+4z -z²-4）=x[y²+(4z -z²-4)]-1，=x[y²-(z²-4z+4)]用完全平方公式进行分解，=x[y²-（z-2）²]=x[y+（z-2））][y-（z-2）]=x（y+z-2）（y-z+2）第四组：经典题16、a6（a²-b²）+b6（b²-a²）17、4m3-31m+1518、a3+5a²+3a-919、x4（1- y）²+2x²（y²-1）+（1+ y）²20、2x4 -x3-6x²- x+ 2【答案】16、a6（a²-b²）+b6（b²-a²）-1=a6（a²-b²）-b6（a²-b²）提取公因式（a²-b²）=（a²-b²）（a6-b6）=（a²-b²）（a²-b²）（a4+a²b²+b4）=（a²-b²）²（a4+a²b²+b4）=（a+b）²（a-b）²（a4+a²b²+b4）17、4m3-31m+15-31m拆分为：-m-30m=4m3-m-30m+15=（4m3-m）+（-30m+15）m-15=m（4m²-1）-15（2m-1）=m（2m+1）（2m-1）-15（2m-1）（2m-1），=（2m-1）[m（2m+1）-15]=（2m-1）（2m²+m-15）=（2m-1）（2m-5）（m+3）18、a3+5a²+3a-93a拆分为：-6a+9a =a3+5a²-6a+9a-9=（a3+5a²-6a）+（9a-9）a9=a（a²+5a-6）+9（a-1）=a（a+6）（a-1）+9（a-1）提取公因式（a-1）=（a-1）[a（a+6）+9]=（a-1）（a²+6a+9）=（a-1）（a+3）²19、x4（1- y）²+2x²（y²-1）+（1+ y）²-1=x4（1- y）² - 2x²（1-y²）+（1+ y）²=[x²(1-y)]² -2x²（1-y）（1+y）+（1+ y）²=（x²-yx²-1- y）²20、2x4 -x3-6x²- x+ 2-x拆分为：3x-4x =2x4 -x3-6x²+3x-4x+ 2=（2x4 -x3）+（-6x²+3x）+（-4x+ 2）=（2x-1）（x3-3x-2）第五组：精选题21、a3+2a2+3a+222、x4-6x²+123、x3+3x+424、2a2b2+2a2c2+2b2c2+a4+b4+c425、a3-3a-226、2x3+3x2-127、a2+3ab+2b2+2a+b-3【答案】21、a3+2a2+3a+23a拆分为：a+2a =a3+2a2+a+2a+2=（a3+2a2+a）+（2a+2）=a（a2+2a+1）+2（a+1）=a（a+1）2+2（a+1）a+1）=（a+1）[a（a+1）+2]=（a+1）（a2+a+2）22、x4-6x²+1-6x2拆分为：-2x2-4x2 =x4-2x²-4x²+1-4x2移到最后=x4-2x²+1-4x²=（x4-2x²+1）-4x²=（x2-1）2-（2x）2=[（x2-1）+2x][（x2-1）-2x] =（x2+2x-1）（x2-2x-1）23、x3+3x+44拆分为：3+1=x3+3x+3+1x3与1结合，3x与3结合=（x3+1） + （3x+3）3=（x+1）（x2-x+1）+3（x+1）x+1）=（x+1）[（x2-x+1）+3]=（x+1）(x2-x+4)24、2a2b2+2a2c2+2b2c2+a4+b4+c4=（a4+b4+2a2b2）+（2a2c2+2b2c2）+c4 =（a2+b2）2+2c2（a2+b2）+c4=[（a2+b2）+c2]2=(a2+b2+c2）225、a3-3a-2-3a拆分为：-a-2a=a3-a-2a-2=（a3-a）+（-2a-2）=a（a2-1）-2（a+1）=a（a+1）（a-1）-2（a+1）a+1）=（a+1）[a（a-1）-2]=（a+1）（a2-a-2）=（a+1）（a+1）（a-2）=（a+1）2（a-2）26、2x3+3x2-13x2拆分为：2x2+x2 =2x3+2x2+x2-1=（2x3+2x2）+（x2-1）=2x2（x+1）+（x+1）（x-1）x+1）=（x+1）[2x2+（x-1）]=（x+1）（2x2+x-1）=（x+1）（2x-1）（x+1）=（x+1）2（2x-1）27、a2+3ab+2b2+2a+b-3=(a2+3ab+2b2)+(2a+b)-3 =(a+b)(a+2b)+(2a+b)-3 =[(a+b)-1][(a+2b)+3] =(a+b-1)(a+2b+3)十字叉乘法故：x2+6x+5=（x+1）（x+5）故：2x2+5x+2=（2x+1）（x+2）故：4x2+5x-3=（2x-1）（2x+3）黄勇权2019-7-14。
因式分解难题竞赛题
因式分解难题竞赛题一、已知多项式 x4 + ax3 + bx2 + cx + d 的因式分解中含有一个因式 (x - 2)2，且当 x = 1 时，多项式的值为 1。
则下列哪个选项可能是该多项式的因式分解形式？A. (x - 2)2(x2 + 4x + 7)B. (x - 2)2(x2 + 5x + 8)C. (x - 2)2(x2 + 3x + 5)D. (x - 2)2(x2 + 6x + 9)（答案：C）二、多项式 x3 + ax2 + bx + c 分解因式后有一个因式是 x + 1，且当 x = 2 时，多项式值为 0；当 x = -2 时，多项式值为 -27。
下列哪个选项是该多项式的因式分解？A. (x + 1)(x2 - x + 3)B. (x + 1)(x2 - 2x - 3)C. (x + 1)(x2 - 3x + 9)D. (x + 1)(x2 - x - 9)（答案：C）三、多项式 x4 - ax3 + bx2 - ax + 1 在进行因式分解时，有一个因式是 x2 + 1，且常数项为 1。
下列哪个选项可能是该多项式的另一个因式？A. x2 - ax - 1B. x2 - ax + 2C. x2 - ax - 2D. x2 - ax + 3（答案：A）四、已知多项式 2x4 - 11x3 + 19x2 - 11x + 2 可以完全分解，且含有一个二次因式。
下列哪个选项是该多项式的一个因式？A. x2 - 5x + 1B. x2 - 4x + 2C. x2 - 3x + 1D. x2 - 6x + 2（答案：B）五、多项式 x3 + ax2 + bx + c 有一个因式 x - 1，且满足 x = 0 时多项式为 -6，x = 2 时多项式为 0。
下列哪个选项是该多项式的因式分解？A. (x - 1)(x2 + x - 6)B. (x - 1)(x2 + 2x - 6)C. (x - 1)(x2 + 3x - 6)D. (x - 1)(x2 + 4x - 6)（答案：A）六、多项式 x4 + 6x3 + ax2 + bx + c 有一个因式 (x + 1)(x + 2)，且常数项 c 为正数。
初中因式分解经典题型(含详细答案)
初中因式分解经典题型(含详细答案) 初中因式分解经典题型精选第一组：基础题1.a²b+2ab+b答案：b(a+1)²2.2a²-4a+2答案：2(a-1)²3.16-8(m-n)+(m-n)²答案：(4-m+n)²4.a²(p-q)-p+q答案：(p-q)(a+1)(a-1)5.a(ab+bc+ac)-abc答案：a²(b+c)第二组：提升题6.(x-y-1)²-(y-x-1)²答案：-4(x-y)7.ab-ab⁄4答案：ab(a+b)(a-b)8.b-14b²+1答案：(b²+4b+1)(b²-4b+1)9.x+x²+2ax+1-a²答案：(x+1+a)(x+1-a)10.a+a+1答案：2(a+1)11、化简表达式x-2y-2xy+xy x + xy - 2y - 2xyx(1+y) - 2y(1+x)x+y)(x-2y)12、展开表达式（ac-bd）²+（bc+ad）²a²c² - 2abcd + b²d² + b²c² + 2abcd + a²d²a²c² + b²c² + a²d² + b²d²a²+b²)(c²+d²)13、化简表达式x²（y-z）+y²（z-x）+z²（x-y）x²y - x²z + y²z - y²x + z²x - z²yx²y - y²x + z²x + y²z - x²z - z²yx-y)(x²+y²-z²)14、化简表达式x²－4ax＋8ab－4b²x-2a)² - (2a-4b)²x-2a+2a-4b)(x-2a-2a+4b)x-4b)(x-2a)15、化简表达式xy²+4xz-xz²-4xx(y²-4) - z(x²-4)x-2)(x+z)(y+2z)16、将a（a²-b²）和b（b²-a²）的公因式提取出来，得到(a-b)(a+b)a和(b-a)(b+a)b，再利用立方差公式，化简为(a-b)²(a+b)(a²b²+a+b)。
初二竞赛题数学最难因式分解
初二竞赛题数学最难因式分解一．填空题（共10小题）1．已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为．2．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x ﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：．3．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是．4．分解因式：4x2﹣4x﹣3= ．5．利用因式分解计算：2022+202×196+982= ．6．△ABC三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是．7．计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012= ．8．定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣2）=3②a★b=b★a③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab④若a★b=0，则a=1或b=0．其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号）．9．如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= ．10．若多项式x2﹣6x﹣b可化为（x+a）2﹣1，则b的值是．二．解答题（共20小题）11．已知n为整数，试说明（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．12．因式分解：4x2y﹣4xy+y．13．因式分解（1）a3﹣ab2（2）（x﹣y）2+4xy．14．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求xy的值．（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？15．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为．16．如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．17．（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．18．已知a+b=1，ab=﹣1，设s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，sn=an+bn（1）计算s2；（2）请阅读下面计算s3的过程：因为a+b=1，ab=﹣1，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ab（a+b）=1×s2﹣（﹣1）=s2+1= 你读懂了吗？请你先填空完成（2）中s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4．（3）试写出sn﹣2，sn﹣1，sn三者之间的关系式；（4）根据（3）得出的结论，计算s6．19．（1）利用因式分解简算：9.82+0.4×9.8+0.04（2）分解因式：4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）20．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大边c的值．（3）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则a﹣b+c= ．21．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴n+3=﹣4m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a= ；（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b= ；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．22．分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．23．已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），试确定三角形的形状．24．分解因式（1）2x4﹣4x2y2+2y4（2）2a3﹣4a2b+2ab2．25．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为；（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是．（3）若x+y=7，xy=10，则（x﹣y）2= ．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了．（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．26．已知a、b、c满足a﹣b=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c的值．27．已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积．28．（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15．29．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是，共应用了次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法次，结果是．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．30．对于多项式x3﹣5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2）（注：把x=a 代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n），（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣2x2﹣13x﹣10的因式．。
(完整版)因式分解(竞赛题)含答案
因式分解1、导入：有两个人相约到山上去寻找精美的石头，甲背了满满的一筐，乙的筐里只有一个他认为是最精美的石头。
甲就笑乙：“你为什么只挑一个啊?”乙说：“漂亮的石头虽然多，但我只选一个最精美的就够了。
”甲笑而不语，下山的路上，甲感到负担越来越重，最后不得已不断地从一筐的石头中挑一个最差的扔下，到下山的时候他的筐里结果只剩下一个石头!启示：人生中会有许多的东西，值得留恋，有的时候你应该学会去放弃。
二、知识点回顾：1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．三、专题讲解 例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz； 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)． 例2 分解因式：a 3+b 3+c 3-3abc ． 本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)． 分析 我们已经知道公式(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3 的正确性，现将此公式变形为a 3+b 3=(a+b)3-3ab(a+b)． 这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导． 解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c 3-3abc =［(a+b)3+c 3］-3ab(a+b+c) =(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c 2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)． 说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a 3+b 3+c 3-3abc 显然，当a+b+c=0时，则a 3+b 3+c 3=3abc ；当a+b+c ＞0时，则a 3+b 3+c 3-3abc≥0，即a 3+b 3+c 3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c 时，等号成立． 如果令x=a 3≥0，y=b 3≥0，z=c 3≥0，则有 等号成立的充要条件是x=y=z ．这也是一个常用的结论．※※变式练习 1分解因式：x 15+x 14+x 13+…+x 2+x+1． 分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x 15开始，x 的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n -b n 来分解． 解 因为 x 16-1=(x -1)(x 15+x 14+x 13+…x 2+x+1)， 所以 说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x -1)，再除以(x -1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用． 2．拆项、添项法 因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解． 例3 分解因式：x3-9x+8． 分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧． 解法1 将常数项8拆成-1+9． 原式=x3-9x-1+9 =(x3-1)-9x+9 =(x-1)(x2+x+1)-9(x-1) =(x-1)(x2+x-8)． 解法2 将一次项-9x拆成-x-8x． 原式=x3-x-8x+8 =(x3-x)+(-8x+8) =x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x2+x-8)． 解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3． 原式=9x3-8x3-9x+8 =(9x3-9x)+(-8x3+8) =9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1) =(x-1)(x2+x-8)． 解法4 添加两项-x2+x2． 原式=x3-9x+8 =x3-x2+x2-9x+8 =x2(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x2+x-8)． 说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．※※变式练习 1分解因式： (1)x9+x6+x3-3； (2)(m2-1)(n2-1)+4mn； (3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4； (4)a3b-ab3+a2+b2+1． 解 (1)将-3拆成-1-1-1． 原式=x9+x6+x3-1-1-1 =(x9-1)+(x6-1)+(x3-1) =(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1) =(x3-1)(x6+2x3+3) =(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)． (2)将4mn拆成2mn+2mn． 原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn =m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn =(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2) =(mn+1)2-(m-n)2 =(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)． (3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2． 原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4 =［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2 =［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2 =(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)． (4)添加两项+ab-ab． 原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab =(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1) =ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1) =a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1) =[a(a-b)+1](ab+b2+1) =(a2-ab+1)(b2+ab+1)． 说明(4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验． 3．换元法 换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰． 例4 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12． 分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了． 解设x2+x=y，则 原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10 =(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5) =(x-1)(x+2)(x2+x+5)． 说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试． 例5 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90． 分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合． 解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90 =(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90． 令y=2x2+5x+2，则 原式=y(y+1)-90=y2+y-90 =(y+10)(y-9) =(2x2+5x+12)(2x2+5x-7) =(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)． 说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．※※变式练习 1.分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2． 解设x2+4x+8=y，则 原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x) =(x2+6x+8)(x2+5x+8) =(x+2)(x+4)(x2+5x+8)． 说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式． 1．双十字相乘法 分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式． 例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)， 可以看作是关于x的二次三项式．的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为 对于常数项而言，它是关于y 即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．的二次三项式分解 再利用十字相乘法对关于x 所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］ =(x+2y-3)(2x-11y+1)． 上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图： 它表示的是下面三个关系式： (x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2； (x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3． 这就是所谓的双十字相乘法． 用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是： (1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)； (2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx． 例1 分解因式： (1)x2-3xy-10y2+x+9y-2； (2)x2-y2+5x+3y+4； (3)xy+y2+x-y-2； (4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2． 解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2) 原式=(x+y+1)(x-y+4)．来分解． (3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0 原式=(y+1)(x+y-2)． (4) 原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)． 说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法 我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如 f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…， 当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×1+2=0； f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12． 若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根． 定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a． 根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根． 定理2 的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数． 我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解． 例2 分解因式：x3-4x2+6x-4． 分析 这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有 f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2． 解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)． 原式=(x 3-2x 2)-(2x 2-4x)+(2x-4) =x 2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x 2-2x+2)． 解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)， 所以原式=(x-2)(x 2-2x+2)． 说明 在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．※※变式练习 1. 分解因式：9x 4-3x 3+7x 2-3x-2． 分析 因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为： 所以，原式有因式9x 2-3x-2． 解 9x 4-3x 3+7x 2-3x-2 =9x 4-3x 3-2x 2+9x 2-3x-2 =x 2(9x 3-3x-2)+9x 2-3x-2 =(9x 2-3x-2)(x 2+1) =(3x+1)(3x-2)(x 2+1) 说明 若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程． 总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了． 3．待定系数法 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用． 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法． 例3 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn， 比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)． 说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．※※变式练习 1.分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式． 解设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd， 所以有有 由bd=7，先考虑b=1，d=7 所以 原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)． 说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止． 本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．四、巩固练习：1. 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)． 分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式． 解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则 原式=(u2-v)2-4v(u2-2v) =u4-6u2v+9v2 =(u2-3v)2 =(x2+2xy+y2-3xy)2 =(x2-xy+y2)2．五、反思总结。
初二因式分解练习题及答案
初二因式分解练习题及答案
初二因式分解练习题及答案1．若，则的值为（）
A．B．5C．D．22．若x2+mx+1是完全平方式，则m=（）。
A、2
B、-2
C、±2
D、±43．若，则，4．已知a－=3，则a2＋的值等于·5．如果x2－kx＋9y2
是一个完全平方式，则k＝________________；
6．若，则a2－b2＝；
7．下列变形，是因式分解的是（）
A．B．C．D．8．下列各式中，不含因式的是（）
A．B．C．D．9．下列各式中，能用平方差分解因式的式子是（）A．B．C．D．10．若，，则.11．已知，，求的值.12．已知：，则=.13．的结果为.14．因式分解（1）；
（2）；
（3）
（4）
（5）
（6）（x2+y2）2-4x2y2（7）
15．已知，求代数式的值。
16．已知：，则_________，_________。
17．已知：、、是三角形的三边，且满足，判断该三角形的形状18．已知，求的值。
19．例题把x2+3x+2分解因式．解：x2+3x+2=x2+（2+1）x+2×1=（x+2）（x+1）．请利用上述方法将下列多项式分解因式：
（1）x2-7x+12；
（2）（y2+y）2+7（y2+y）-18．答案：
1．C2．C3．5；
14．75．±6y6．-37．D8．C9．C10．5211．5412．213．14．(1)(2)(3)（4）
（5）
（6）（x+y）2（x-y）2(7)15．16．1;-317．等边18．719．（1）（x-3）(x-4)(2)全品中考网
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因式分解竞赛题
1．分解因式(a+b+c)5-a5-b5-c52．分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)3．分解因式x2(y+z)+y2(z+x)+z2(x+y)-(x3+y3+z3)-2xyz4．分解因式（1）(x+y)(y+z)(z+x)+xyz（2）(x+y+z)3-(y+z-x)3-(z+x-y)3-(x+y-z)3（3）(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc（4）(y-z)5+(z-x)5+(x-y)55．求证：2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式6．把多项式4x4-4x3+5x2-2x+1写成一个多项式的完全平方式7．分解因式x4+x3+x2+28．若a是自然数，且a4-4a3+15a2-30a+27的值是一个质数，求这个质数9．分解因式x4-x3+4x2+3x+510．分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-411．求证：有无穷多个正整数a,使得数z=n4+a对于任何正整数n均为合数12．分解因式（1）x4+x3-3x2-4x-4（2）x4+y4+(x+y)4（3）x3(a+1)-xy(x-y)(a-b)+y3(b+1)（4）x8+x4+113．求证：4545+5454是合数14．分解因式a3+b3+c3-3abc15．分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)216．求证：22225555+55552222能被7整除17．把11112222分解成两个连续的正整数之积，求其中较大的正整数因数18．求证：如果一个数可以表示成两个整数的平方和，那么这个数的2倍也可以表示成两个整数的平方和19．求证：对任意自然数n,都存在一个自然数m,使得nm+1是一个合数20．分解因式（1）x5+x+1（2）x5-x+121．分解因式x3+9x2+26x+2422．分解因式（1）x2y2+xy-x2-y2+x+y+2（2）(x+y)3-y(x+y)2+x(x+y)（3）1-12x2y2+48x4y4-64x6y6（4）4b2c2-(b2+c2-a2)2（5）x8-x7y+x6y2-x5y3+x4y4-x3y5+x2y6-xy7+y8（6）(ax+by)2+(bx-ay)2（7）a2b2-a2-b2+1（8）a4+1999a2+1998a+1999（9）x2-6xy+9y2-3x+9y23．若整数a、b满足6ab-9a+10b=303，求a+b24．两个正整数之和比积小1000，且其中有一个正整数是完全平方数，求其中较大的正整数25．分解因式(x+1)(x+2)(x+3)-6×7×826．分解因式（1）(x2+4x+8)2+3(x2+4x+8)+2x2（2）(2x2-3x+1)2-22x2+33x-127．分解因式（1）(x+5)4+(x+3)4-82（2）(2a2+2a+1)b+a(a+1)(b2+1)28.分解因式（1）4(2x2-x+1)(x2+3-2x)-(3x2-3x+4)2（2）(x+y)4+(x2-y2)2+(x-y)429.分解因式2x4-x3-6x2-x+230.求证：四个连续自然数的积与1的和必是一个完全平方数31.将51985-1分解为三个整数之积，使得每一个都大于510032.分解因式(1+x+x2+x3)2-x3。
七年级数学竞赛讲座：因式分解(含答案详解)
初中数学竞赛辅导资料因式分解甲内容提要和例题我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。
下面再介紹两种方法1．添项拆项。
是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式例1因式分解：①x4+x2+1②a3+b3+c3－3abc①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x)②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc)例2因式分解：①x3－11x+20②a5+a+1①分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。
（注意这里16是完全平方数）②解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4)=x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5)③分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1=a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1)2．运用因式定理和待定系数法定理：⑴若x=a时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x－a⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。
例3因式分解：①x 3－5x 2+9x －6 ②2x 3－13x 2+3①分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。
因式分解竞赛题
1．分解因式(a+b+c)5-a5-b5-c52．分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)3．分解因式x2(y+z)+y2(z+x)+z2(x+y)-(x3+y3+z3)-2xyz4．分解因式（1）(x+y)(y+z)(z+x)+xyz（2）(x+y+z)3-(y+z-x)3-(z+x-y)3-(x+y-z)3（3）(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc（4）(y-z)5+(z-x)5+(x-y)55．求证：2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式6．把多项式4x4-4x3+5x2-2x+1写成一个多项式的完全平方式7．分解因式x4+x3+x2+28．若a是自然数，且a4-4a3+15a2-30a+27的值是一个质数，求这个质数9．分解因式x4-x3+4x2+3x+510．分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-411．求证：有无穷多个正整数a,使得数z=n4+a对于任何正整数n均为合数12．分解因式（1）x4+x3-3x2-4x-4（2）x4+y4+(x+y)4（3）x3(a+1)-xy(x-y)(a-b)+y3(b+1)（4）x8+x4+113．求证：4545+5454是合数14．分解因式a3+b3+c3-3abc15．分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)216．求证：22225555+55552222能被7整除17．把11112222分解成两个连续的正整数之积，求其中较大的正整数因数18．求证：如果一个数可以表示成两个整数的平方和，那么这个数的2倍也可以表示成两个整数的平方和19．求证：对任意自然数n,都存在一个自然数m,使得nm+1是一个合数20．分解因式（1）x5+x+1（2）x5-x+121．分解因式x3+9x2+26x+2422．分解因式（1）x2y2+xy-x2-y2+x+y+2（2）(x+y)3-y(x+y)2+x(x+y)（3）1-12x2y2+48x4y4-64x6y6（4）4b2c2-(b2+c2-a2)2（5）x8-x7y+x6y2-x5y3+x4y4-x3y5+x2y6-xy7+y8（6）(ax+by)2+(bx-ay)2（7）a2b2-a2-b2+1（8）a4+1999a2+1998a+1999（9）x2-6xy+9y2-3x+9y23．若整数a、b满足6ab-9a+10b=303，求a+b24．两个正整数之和比积小1000，且其中有一个正整数是完全平方数，求其中较大的正整数25．分解因式(x+1)(x+2)(x+3)-6×7×826．分解因式（1）(x2+4x+8)2+3(x2+4x+8)+2x2（2）(2x2-3x+1)2-22x2+33x-127．分解因式（1）(x+5)4+(x+3)4-82（2）(2a2+2a+1)b+a(a+1)(b2+1)28.分解因式（1）4(2x2-x+1)(x2+3-2x)-(3x2-3x+4)2（2）(x+y)4+(x2-y2)2+(x-y)429.分解因式2x4-x3-6x2-x+230.求证：四个连续自然数的积与1的和必是一个完全平方数31.将51985-1分解为三个整数之积，使得每一个都大于510032.分解因式(1+x+x2+x3)2-x3。
最新因式分解(竞赛题)含答案
1因式分解2一、导入：3有两个人相约到山上去寻找精美的石头，甲背了满满的一筐，乙的筐里只有一个他认为是4最精美的石头。
甲就笑乙：“你为什么只挑一个啊?”乙说：“漂亮的石头虽然多，但我只选5一个最精美的就够了。
”甲笑而不语，下山的路上，甲感到负担越来越重，最后不得已不断6地从一筐的石头中挑一个最差的扔下，到下山的时候他的筐里结果只剩下一个石头!7启示：人生中会有许多的东西，值得留恋，有的时候你应该学会去放弃。
8二、知识点回顾：91．运用公式法10在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1112(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；13(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；1415(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．16下面再补充几个常用的公式：17(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；18(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；19(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；20(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；21(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．22运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正23确恰当地选择公式．24三、专题讲解25例1 分解因式：26(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz；27解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4)28=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]29=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．3031(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)32=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．3334本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．35分析我们已经知道公式36(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b337的正确性，现将此公式变形为38a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．3940解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc41=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)4243=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．44说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们45将公式(6)变形为46a3+b3+c3-3abc474849显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即50a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．51如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有5253等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．54※※变式练习551分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．56分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，57由此想到应用公式a n-b n来分解．58解因为59x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，60所以6162说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等63式变形中很常用．642．拆项、添项法65因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类66项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，67需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多68项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使69多项式能用分组分解法进行因式分解．70例3 分解因式：x3-9x+8．71分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、72添项的目的与技巧．73解法1 将常数项8拆成-1+9．74原式=x3-9x-1+975=(x3-1)-9x+976=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)77=(x-1)(x2+x-8)．78解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．79原式=x3-x-8x+880=(x3-x)+(-8x+8)81=x(x+1)(x-1)-8(x-1)82=(x-1)(x2+x-8)．83解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．84原式=9x3-8x3-9x+885=(9x3-9x)+(-8x3+8)86=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．8788解法4 添加两项-x2+x2．89原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+89091=x2(x-1)+(x-8)(x-1)92=(x-1)(x2+x-8)．93说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并94无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分95解诸方法中技巧性最强的一种．※※变式练习96971分解因式：98(1)x9+x6+x3-3；99(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；100(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；101(4)a3b-ab3+a2+b2+1．102解 (1)将-3拆成-1-1-1．103原式=x9+x6+x3-1-1-1104=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)105=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1) 106=(x3-1)(x6+2x3+3)107=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．108(2)将4mn拆成2mn+2mn．109原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn110=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn111=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)112=(mn+1)2-(m-n)2113=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．114(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．115原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4116=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2117=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2118=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．119(4)添加两项+ab-ab．120原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab121=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)122=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)123=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)124125=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．126说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，127128找到公因式．这道题目使我们体会到129拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．1303．换元法131换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字132母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．133例4 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．134分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看135作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．136解设x2+x=y，则137原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10138=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)139=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．140说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结141果，有兴趣的同学不妨试一试．142例5 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．143144分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．145解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90146147=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．148令y=2x2+5x+2，则149原式=y(y+1)-90=y2+y-90150=(y+10)(y-9)151=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．152153说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．154※※变式练习1.分解因式：155156(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．157解设x2+4x+8=y，则158原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)159=(x2+6x+8)(x2+5x+8)160=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．161说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题162目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多163项式．1641．双十字相乘法165分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式166(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．167例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作168常数，于是上式可变形为1692x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．170171对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为172173即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．174再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解175所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］176177=(x+2y-3)(2x-11y+1)．178上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图179合并在一起，可得到下图：180181它表示的是下面三个关系式：182(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；183(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．184185这就是所谓的双十字相乘法．186用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：187(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；188(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉189之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．190例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；191192(2)x2-y2+5x+3y+4；193(3)xy+y2+x-y-2；194(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．195解 (1)196原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．197(2)198199原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．200201202原式=(y+1)(x+y-2)．203(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．204说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2052．求根法206我们把形如an x n+an-1x n-1+…+a1x+a(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项207式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如208f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，209当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)210f(1)=12-3×1+2=0；211f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．212若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．213定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x) 214有一个因式x-a．215根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对216于任意多项式f(x) 要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整217数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．218定理2219的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a=1时，整系数多项式220f(x)的整数根均为an 的约数．221我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行222因式分解．223例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．224225分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4 226的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，227228即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．229解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．230原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)231=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)232=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，233234235所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．236237说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．238239※※变式练习2401. 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±241242243为：244245所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2246247=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2248=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2249=(9x2-3x-2)(x2+1)250=(3x+1)(3x-2)(x2+1)251说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，252如上题中的因式253可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．254总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可255以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对256g(x)进行分解了．2573．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解258259中的应用．260在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于261262这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原263有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这264种因式分解的方法叫作待定系数法．265例3 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．266分析由于267(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，268若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应269用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．270解设271x2+3xy+2y2+4x+5y+3272=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，273274比较两边对应项的系数，则有275解之得m=3，n=1．所以276277原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．278279※※变式练习2801.分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．281分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则282只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原283式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设284285原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，286287所以有288289由bd=7，先考虑b=1，d=7有290291292所以293原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果294295b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直296到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找297298到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．299四、巩固练习：3001. 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．301分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的302多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分303解因式．304解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则305原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)306=u4-6u2v+9v2307=(u2-3v)2308=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．309310311312313314315五、反思总结。
初中数学因式分解技巧及练习题附答案解析(1)
初中数学因式分解技巧及练习题附答案解析(1)一、选择题1．若实数a 、b 满足a+b=5，a 2b+ab 2=-10，则ab 的值是（ ）A ．-2B ．2C ．-50D ．50【答案】A【解析】试题分析：先提取公因式ab ，整理后再把a+b 的值代入计算即可．当a+b=5时，a 2b+ab 2=ab （a+b ）=5ab=-10，解得：ab=-2．考点：因式分解的应用．2．把代数式322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ）A ．(3)(3)x x y x y +-B ．223(2)x x xy y -+C ．2(3)x x y -D ．23()x x y -【答案】D【解析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．解答：解：322363x x y xy -+，=3x （x 2-2xy+y 2），=3x （x-y ）2．故选D ．3．下列各式分解因式正确的是（ ）A ．22()()()(1)a b a b a b a b +-+=++-B ．236(36)x xy x x x y --=-C ．223311(4)44a b ab ab a b -=- D ．256(1)(6)x x x x --=+- 【答案】D【解析】【分析】 利用提公因式法、十字相乘法法分别进行分解即可．【详解】A. 22()()()(1)+-+≠++-a b a b a b a b ，故此选项因式分解错误，不符合题意；B. 23-6-(3-6-1)=x xy x x x y ，故此选项因式分解错误，不符合题意；C. 223211(4)44-=-a b ab ab a b ，故此选项因式分解错误，不符合题意； D. 256(1)(6)x x x x --=+-，故此选项因式分解正确，符合题意．故选：D【点睛】本题考查了提公因式法与十字相乘法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用其他方法进行分解．4．下列从左到右的变形，是因式分解的是( )A ．2(a ﹣b)＝2a ﹣2bB ．221(a b)(a b)1-=-+++a bC ．2224(2)x x x -+=-D ．22282(2)(2)x y x y x y -=-+ 【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式变形为几个整式的积的形式是分解因式进行分析即可得出.【详解】解：由因式分解的定义可知：A. 2(a ﹣b)＝2a ﹣2b ，不是因式分解，故错误；B. 221(a b)(a b)1-=-+++a b ，不是因式分解，故错误；C. 2224(2)x x x -+=-，左右两边不相等，故错误；D. 22282(2)(2)x y x y x y -=-+是因式分解；故选：D【点睛】本题考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义和分解的规范要求是解题关键.5．多项式225a -与25a a -的公因式是( )A ．5a +B ．5a -C ．25a +D ．25a -【答案】B【解析】【分析】直接将原式分别分解因式，进而得出公因式即可．【详解】解：∵a 2-25=（a+5）（a-5），a 2-5a=a （a-5），∴多项式a 2-25与a 2-5a 的公因式是a-5．故选：B ．【点睛】此题主要考查了公因式，正确将原式分解因式是解题的关键．6．将多项式4x 2+1再加上一项，使它能分解因式成（a+b ）2的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（ ）A ．2xB ．﹣4xC ．4x 4D ．4x【答案】A【解析】【分析】分别将四个选项中的式子与多项式4x 2+1结合，然后判断是否为完全平方式即可得答案.【详解】A 、4x 2+1+2x ，不是完全平方式，不能利用完全平方公式进行因式分解，故符合题意；B 、4x 2+1-4x=(2x-1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意；C 、4x 2+1+4x 4=(2x 2+1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意；D 、4x 2+1+4x=(2x+1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意，故选A.【点睛】本题考查了完全平方式，熟记完全平方式的结构特征是解题的关键.7．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A ．m （a +b ）＝ma +mbB ．a 2+4a ﹣21＝a （a +4）﹣21C ．x 2﹣1＝（x +1）（x ﹣1）D ．x 2+16﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）+16【答案】C【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】A 、是整式的乘法，故A 不符合题意；B 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 不符合题意；C 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 符合题意；D 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，判断因式分解的标准是把一个多项式转化成几个整式积的形式．8．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．2161x +B ．221x x +-C ．2224a ab b +-D ．214x x -+ 【答案】D【解析】【分析】根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数的平方和的形式，另一项是这两个数的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解.【详解】A. 2161x +只有两项，不符合完全平方公式；B. 221x x +-其中2x 、-1不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式；C. 2224a ab b +-，其中2a 与24b - 不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式；D. 214x x -+符合完全平方公式定义， 故选：D.【点睛】此题考查完全平方公式，正确掌握完全平方式的特点是解题的关键.9．下列因式分解正确的是（ ）A ．x 3﹣x ＝x （x 2﹣1）B ．x 2+y 2＝（x+y ）（x ﹣y ）C ．（a+4）（a ﹣4）＝a 2﹣16D ．m 2+4m+4＝（m+2）2 【答案】D【解析】【分析】逐项分解因式，即可作出判断．【详解】A 、原式＝x （x 2﹣1）＝x （x+1）（x ﹣1），不符合题意；B 、原式不能分解，不符合题意；C 、原式不是分解因式，不符合题意；D 、原式＝（m+2）2，符合题意，故选：D ．【点睛】此题主要考查了提公因式法，以及公式法在因式分解中的应用，要熟练掌握．10．若△ABC 三边分别是a 、b 、c ，且满足（b ﹣c ）（a 2＋b 2）＝bc 2﹣c 3 ， 则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】D【解析】试题解析：∵（b ﹣c ）（a 2+b 2）=bc 2﹣c 3，∴（b ﹣c ）（a 2+b 2）﹣c 2（b ﹣c ）=0，∴（b ﹣c ）（a 2+b 2﹣c 2）=0，∴b ﹣c=0，a 2+b 2﹣c 2=0，∴b=c 或a 2+b 2=c 2，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．故选D ．11．一次课堂练习，王莉同学做了如下4道分解因式题，你认为王莉做得不够完整的一题是（ ）A ．x 3﹣x=x （x 2﹣1）B ．x 2﹣2xy+y 2=（x ﹣y ）2C ．x 2y ﹣xy 2=xy （x ﹣y ）D ．x 2﹣y 2=（x ﹣y ）（x+y ）【答案】A【解析】A. 提公因式法后还可以运用平方差公式继续分解,应为：原式=x(x+1)(x−1)，错误；B. 是完全平方公式，已经彻底，正确；C. 是提公因式法，已经彻底，正确；D. 是平方差公式，已经彻底，正确．故选A.12．下列各因式分解正确的是（ ）A ．﹣x 2+（﹣2）2=（x ﹣2）（x+2）B ．x 2+2x ﹣1=（x ﹣1）2C ．4x 2﹣4x+1=（2x ﹣1）2D ．x 3﹣4x=2（x ﹣2）（x+2）【答案】C【解析】【分析】分别根据因式分解的定义以及提取公因式法和公式法分解因式得出即可．【详解】A ．﹣x 2+(﹣2)2=(2+x)(2﹣x)，故A 错误；B ．x 2+2x ﹣1无法因式分解，故B 错误；C.4x 2﹣4x+1=(2x ﹣1)2，故C 正确；D 、x 3﹣4x= x(x ﹣2)(x+2)，故D 错误．故选：C ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法与公式法分解因式以及分解因式的定义，熟练掌握相关公式是解题关键．13．已知a b >，a c >，若2M a ac =-，N ab bc =-，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M N <B ．M N =C ．M N >D ．不能确定【答案】C【解析】【分析】计算M-N 的值，与0比较即可得答案．【详解】∵2M a ac =-，N ab bc =-，∴M-N=a(a-c)-b(a-c)=(a-b)(a-c)，∵a b >，a c >，∴a-b ＞0，a-c ＞0，∴(a-b)(a-c)＞0，∴M ＞N ，故选：C ．【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握运算法则并灵活运用“作差法”比较两式大小是解题关键．14．下列因式分解正确的是( )A ．()2211x x +=+B ．()22211x x x +-=- C ．()()22x 22x 1x 1=-+- D ．()2212x x x x -+=-+ 【答案】C【解析】【分析】依据因式分解的定义以及提公因式法和公式法，即可得到正确结论．【详解】解：D 选项中，多项式x 2-x+2在实数范围内不能因式分解；选项B ，A 中的等式不成立；选项C 中，2x 2-2=2（x 2-1）=2（x+1）（x-1），正确．故选C ．【点睛】本题考查因式分解，解决问题的关键是掌握提公因式法和公式法的方法．15．下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．21a +B ．20.040.09y --C ．22x y +D ．22x y -【答案】D【解析】【分析】判断各个选项是否满足平方差的形式，即：22a b -的形式【详解】A 、C 都是22a b +的形式，不符；B 中，变形为：－(20.04+0.09y )，括号内也是22a b +的形式，不符；D 中，满足22a b -的形式，符合故选：D【点睛】本题考查平方差公式，注意在利用乘法公式时，一定要先将式子变形成符合乘法公式的形式，我们才可利用乘法公式简化计算.16．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）A ．ab+ac+d ＝a （b+c ）+dB ．（x+2）（x ﹣2）＝x 2﹣4C ．6ab ＝2a ⋅3bD ．x 2﹣8x+16＝（x ﹣4）2【答案】D【解析】【分析】根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解．【详解】A 、等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；B 、等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；C 、等式左边是单项式，不是因式分解，故本选项错误；D 、符合因式分解的定义，故本选项正确．故选D ．【点睛】本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．17．已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，且满足222244a c b c a b -=-，则ABC ∆是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】移项并分解因式，然后解方程求出a 、b 、c 的关系，再确定出△ABC 的形状即可得解．【详解】移项得，a 2c 2−b 2c 2−a 4＋b 4＝0，c 2（a 2−b 2）−（a 2＋b 2）（a 2−b 2）＝0，（a 2−b 2）（c 2−a 2−b 2）＝0，所以，a 2−b 2＝0或c 2−a 2−b 2＝0，即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，因此，△ABC 等腰三角形或直角三角形．故选B ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到a 、b 、c 的关系式是解题的关键．18．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A ．()()2224x x x +-=-B ．2222()a ab b a b -+=-C ．()11am bm m a b +-=+-D ．()21(1)1111x x x x ⎛⎫--=--- ⎪-⎝⎭【答案】B【解析】【分析】 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据因式分解的定义，即可得到本题的答案．【详解】A ．属于整式的乘法运算，不合题意；B ．符合因式分解的定义，符合题意；C ．右边不是乘积的形式，不合题意；D ．右边不是几个整式的积的形式，不合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，即将多项式写成几个因式的乘积的形式，掌握定义是解题的关键．19．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．2(3)(2)6x x x x +-=+-B ．24(2)(2)x x x -=+-C ．2323824a b a b =⋅D ．1()1ax ay a x y --=-- 【答案】B【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A ．是整式乘法，故A 错误；B ．是因式分解，故B 正确；C ．左边不是多项式，不是因式分解，故C 错误；D ．右边不是整式积的形式，故D 错误．故选B ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．20．计算(－2)2015＋(－2)2016的结果是 ( )A ．－2B ．2C ．22015D ．－22015【答案】C【解析】【分析】【详解】(-2) 2015+(-2)2016=(-2) 2015×(-2)+(-2) 2015=(-2) 2015×(1-2)=22015.故选C.点睛：本题属于因式分解的应用，关键是找出各数字之间的关系.。
因式分解(含答案)
1.4 因式分解◆赛点归纳因式分解是中学数学的一种重要的恒等变形，也是解决许多数学问题的重要途径和方法．在初中数学竞赛中，常用的方法除教材中介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法外，还有十字相乘法、折（添）项法、换元法和待定系数法等．◆解题指导例1 （2001，重庆市竞赛）因式分解：4x2－4x－y2+4y－3=______．【思路探究】这是一个二次五项式，显然没有公因式可以提取，这就要用其他因式分解法，经观察可用分组分解法．如何分组呢？例2 （2001，大连市第八届“育英杯”）分解因式x（x－1）+y（y+1）－2xy•的结果是_________．【思路探究】显然没有公因式可以提取，所以必须先运用整式乘法将它展开，展开后的多项式与例1相似，故宜用分组分解法．例3 （2002，北京市竞赛）a4+4分解因式的结果是（）．A．（a2+2a－2）（a2－2a+2）B．（a2+2a－2）（a2－2a－2）C．（a2+2a+2）（a2－2a－2）D．（a2+2a+2）（a2－2a+2）【思路探究】本题不可分组，又无法直接运用公式法，但这两项都是完全平方数，因此可通过添项利用公式法分解．例4分解因式：x3－3x2+4．【思路探究】这是一个关于x的三次式，直接运用分组分解法是难以完成的，•可以先将二次项或常数项进行拆项，再进行恰当的分组分解．例5 分解因式：x2+xy－6y2+x+13y－6．【思路探究】这是二次六项式，运用分组分解法有困难．根据整式乘法可知，这个二次六项式可分解为两个一次三项式，且前三项二次项x2+xy－6y2可分解为（x+3y）（x－2y）．由此可知，这两个一次式的常数项待定，因此，可用待定系数法分解．例6 （2000，“五羊杯”，初三）分解因式：（x4+x2－4）（x4+x2+3）+10=______．【思路探究】这是一道八次多项式因式分解题，在展开它时，要有目标，即在运用整式乘法将它展开后，必须考虑下一步能否分解因式．由观察可知，这两个四次三项式结构相同，因此，将四次项与二次项的和作为一个整体展开可分解因式．【拓展题】分解因式：（x2+xy+y2）2－4xy（x2+y2）．◆探索研讨提取公因式法、公式法和分组分解法是因式分解的基本方法．对于一些较为复杂的多项式因式分解，就需用到换元法、拆（添）项法、待定系数法．请结合本节的例题，总结拆（添）项法、换元法可分别化归为哪些基本方法？待定系数法实质是化归为解什么问题？◆能力训练1．下列四个从左到右的变形中，是因式分解的是（）．A．（x+1）（x－1）=x2－1 B．（a－b）（m－n）=（b－a）（n－m）C．ab－a－b+1=（a－1）（b－1）D．m2－2m－3=m（m－2－3m）2．把多项式x2－y2－2x－4y－3因式分解之后，正确的结果是（）．A．（x+y+3）（x－y－1）B．（x+y－1）（x－y+3）C．（x+y－3）（x－y+1）D．（x+y+1）（x－y－3）3．将多项式x2－4y2－9z2－12yz分解成因式的积，结果是（）．A．（x+2y－3z）（x－2y－3z）B．（x－2y－3z）（x－2y+3z）C．（x+2y+3z）（x+2y－3z）D．（x+2y+3z）（x－2y－3z）4．下列五个多项式：①a2b2－a2－b2－1；②x3－9ax2+27a2x－27a3；③x（b+c－d）－y（d－b－c）－2c+2d－2b；④3m（m－n）+6n（n－m）；⑤（x－2）2+4x．其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（）．A．①，②，③B．②，③，④C．③，④，⑤D．①，②，④5．已知二次三项式21x2+ax－10可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（）．A．a一定是奇数B．a一定是偶数C．a可为奇数也可为偶数D．a一定是负数6．将a4+b4+c4－2a2b2－2b2c2－2c2a2分解因式得（）．A．（a2－b2－c2）2B．（a2－b2－c2+2bc）（a2－b2－c2－2bc）C．（a+b－c）（a－b+c）（a+b+c）（a－b－c）D．（a+b－c）（b+c－a）（c+a－b）（a+b+c）7．分解因式3a2－7a－6=______．8．分解因式x2+4xy－4+4y2=_______．9．把代数式（x+y－2xy）（x+y－2）+（xy－1）2分解成因式的乘积，应当是______．10．分解因式（x2－1）（x+3）（x+5）+12=_______．11．分解因式x5+x+1=_______，x5+x－1=______．12．（2000，“五羊杯”，初二）分解因式（x－2）3－（y－2）3－（x－y）3．13．（2001，“五羊杯”，初二）分解因式（2x－3y）3+（3x－2y）3－125（x－y）3．14．（2002，“五羊杯”，初二）分解因式（1－7t－7t2－3t3）（1－2t－2t2－t3）－（t+1）6．15．分解因式（x+1）4+（x+3）4－272．16．分解因式6x2－5xy－6y2－2xz－23yz－20z2．答案:解题指导例1 （2x+y－3）（2x－y+1）．[提示：4x2－4x－y2+4y－3 =（4x2－4x+1）－（y2－4y+4）=（2x－1）2－（y－2）2=（2x+y－3）（2x－y+1）．]例2 （x－y）（x－y－1）．[提示：x（x－1）+y（y+1）－2xy =x2－x+y2+y－2xy=（x－y）2－（x－y）=（x－y）（x－y－1）．]例3 D [提示：a4+4=a4+4a2+4－4a2=（a2+2）2－（2a）2 =（a2+2a+2）（a2－2a+2）．]例4 （x+1）（x－2）2．解法1 x3－3x2+4=x3+x2－4x2+4=x2（x+1）－4（x+1）（x－1）=（x+1）（x－2）2．解法2 x3－3x2+4=x3+1－3x2+3=（x+1）（x2－x+1）－3（x+1）（x－1）=（x+1）（x2－4x+4）=（x+1）（x－2）2．解法3 x3－3x2+4=x3+x2－4x2－4x+4x+4=x2（x+1）－4x（x+1）+4（x+1）=（x+1）（x2－4x+4）=（x+1）（x－2）2．例5 设x2+xy－6y2+x+13y－6=（x+3y+m）（x－2y+n）=x2－2xy+nx+3xy－6y2+3ny+mx－2my+mn=x2+xy－6y2+（n+m）x+（3n－2m）y+mn．比较左、右两边对应项系数，得1,2,3213, 3.6.m n m n m n mn +=⎧=-⎧⎪-=⎨⎨=⎩⎪=-⎩解得 ∴x 2+xy －6y 2+x+13y －6=（x+3y －2）（x －2y+3）．例6 （x 2+2）（x+1）（x －1）（x 2+x+1）（x 2－x+1）．[提示：（x 4+x 2－4）（x 4+x 2+3）+10=（x 4+x 2）2－（x 4+x 2）－12+10=（x 4+x 2）2－（x 4+x 2）－2=（x 4+x 2－2）（x 4+x 2+1）=（x 2+2）（x 2－1）[（x 4+2x 2+1）－x 2]=（x 2+2）（x 2－1）[（x 2+1）2－x 2]=（x 2+2）（x+1）（x －1）（x 2+x+1）（x 2－x+1）．]【拓展题】 设a=x+y ，b=xy ，则（x 2+xy+y 2）2－4xy （x 2+y 2）=[（x+y ）2－xy] 2－4xy[（x+y ）2－2xy]=（a 2－b ）2－4b （a 2－2b ）=a 4－6a 2b+9b 2=（a 2－3b ）2=（x 2+2xy+y 2－3xy ）2=（x 2－xy+y 2）2．能力训练1．C [提示：根据因式分解的概念判断．]2．D [提示：x 2－y 2－2x －4y －3=（x 2－2x+1）－（y 2+4y+4）=（x －1）2－（y+2）2=[（x －1）+（y+2）][（x －1）－（y+2）]=（x+y+1）（x －y －3）．]3．D [提示：x 2－4y 2－9z 2－12yz=x 2－（4y 2+9z 2+12yz ）=x 2－（2y+3z ）2=[x+（2y+3z ）][x －（2y+3z ）]=（x+2y+3z）（x－2y－3z）．]4．B [提示：②式=（x－3a）3；③式=x（b+c－d）+y（b+c－d）－2（b+c－d）=（b+c－d）（x+y－2）；④式=（m－n）（3m－6n）=3（m－n）（m－2n）．所以②、③、④式合乎要求．]5．A [提示：利用十字相乘法可推断．]6．C [提示：原式=a4－a2b2－2a2bc－a2c2－a2b2+2a2bc －a2c2+b4－2b2c2+c4=a4－a2（b2+2bc+c2）－a2（b2－2bc+c2）+（b2－c2）2 =a4－a2（b+c）2－a2（b－c）2+（b+c）2（b－c）2=[a2－（b+c）2][a2－（b－c）2]=（a+b+c）（a－b－c）（a+b－c）（a－b+c）．]7．（3a+2）（a－3）．8．（x+2y+2）（x+2y－2）．[提示：x2+4xy－4+4y2 =（x2+4xy+4y2）－4=（x+2y）2－4=（x+2y+2）（x+2y－2）．]9．（x－1）2（y－1）2．[提示：（x+y－2xy）（x+y－2）+（xy－1）2．=（x+y）2－2xy（x+y）－2（x+y）+4xy+x2y2－2xy+1 =（x+y）2－2（x+y）（xy+1）+（xy+1）2=（x+y－xy－1）2=（x－1）2（y－1）2．]10．（x2+4x－3）（x2+4x+1）．[提示：（x2－1）（x+3）（x+5）+12=（x+1）（x+3）（x－1）（x+5）+12=（x2+4x+3）（x2+4x－5）+12=（x2+4x）2－2（x2+4x）－15+12=（x2+4x－3）（x2+4x+1）．]11．（x3－x2+1）（x2+x+1）；（x3+x2－1）（x2－x+1）．[提示：x5+x+1=x2（x3－1）+（x2+x+1）=（x2+x+1）[x2（x－1）+1]=（x3－x2+1）（x2+x+1）；x5+x－1=x2（x3+1）－（x2－x+1）=（x2－x+1）[x2（x+1）－1]=（x3+x2－1）（x2－x+1）．] 12．（x－2）3－（y－2）3－（x－y）3=[（x－2）－（y－2）][（x－2）2+（x－2）（y－2）+（y－2）2]－（x－y）=（x－y）[（x－2）2+（x－2）（y－2）+（y－2）2－（x－y）2]=3（x－y）（xy－2y－2x+4）=3（x－2）（y－2）（x－y）．13．A3+B3+C3－3ABC=（A+B+C）（A2+B2+C2－BC－CA－AB）．若A+B+C=0，便有A3+B3+C3=3ABC．令A=2x－3y，B=3x－2y，C=5y－5x，则符合上述条件，易得A3+B3+C3=3ABC，即（2x－3y）3+（3x－2y）3－125（x－y）3=15（2x－3y）（3x－2y）（y－x）．14．设（t+1）3=x，y=2+t+t2，则原式=[（4+2t+2t2）－3（1+3t+3t2+t3）][（2+t+t2）－（1+3t+3t2+t3）]－[（t+1）3] 2=（2y－3x）（y－x）－x2=2x2－5xy+2y2=（2x－y）（x－2y）=[2（t3+3t2+3t+t）－（t2+t+2）][（t3+3t2+3t+1）－2（t2+t+2）]=（2t3+5t2+5t）（t3+t2+t－3）=t（2t2+5t+5）（t－1）（t2+2t+3）．15．令y=(1)(3)2x x+++=x+2，则原式=（y －1）4+（y+1）4－272=2（y 4+6y 2+1）－272=2（y 4+6y 2－135）=2（y 2－9）（y 2+15）=2（y+3）（y －3）（y 2+15）=2（x+5）（x －1）（x 2+4x+19）．16．5-422-33由上面的双十字相乘法，得2×5－3×（－4）=10－12=－2．∴6x 2－5xy －6y 2－2xz －23yz －20z 2=（2x －3y －4z ）（3x+2y+5z ）．。
初中数学因式分解有答案竞赛题
初中数学因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．双十字相乘法因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2； (2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；2．求根法形如an x n+an-1x n-1+…+a1x+a(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．3．待定系数法在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3； (2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6； (2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20； (2)x4+5x3+15x-9．初中数学因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．2．求根法我们把形如an x n+an-1x n-1+…+a1x+a(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3； (2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6； (2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20； (2)x4+5x3+15x-9．。
因式分解经典竞赛题集
3 分解因式： ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) − 24 ○
A E A
4 已知 x + ○
A E A
1 __________ = 3 ，则 x 4 + 3 x 3 − 16 x 2 + 3 x − 17 = x
4 2 5 已知 n 是正整数，且 n − 16n + 100 使质数，求 n 的值. ○
E A
__
7 已知 x + ○
E A
1 1 1 = 3 ，则 x10 + x 5 + 5 + 10 = _________ x x x
练一练：
2 2 1 已知 5 x − 4 xy + y − 2 x + 1 = ○ 0 ，求 ( x − y ) 2014 的值。
E A
2 2 分解因式： xy + y + x − y − 2 ○
显然，当 a+b+c=0 时，则 a3+b3+c3=3abc；当 a+b+c＞0 时，则 a3+b3+c3－3abc≥0，即 a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当 a=b=c 时，等号成立． 如果令 x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有
等号成立的充要条件是 x=y=z．这也是一个常用的结论． 例 3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1． 分析 这个多项式的特点是：有 16 项，从最高次项 x15开始，x 的次数顺次递减至 0，由 此想到应用公式 an－bn来分解． 解 因为 x16－1=(x－1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)， 所以
初中数学因式分解(分组分解法)练习100题及答案
初中数学因式分解(分组分解法)练习100题及答案(1)1027014ax ay bx by+--(2)224981981848x y x y--++ (3)22285132535a b ab bc ca--+-(4)222712272015x y xy yz zx--+-(5)60106010mn m n+--(6)801006480xy x y-+-+(7)22872124x y xy yz zx-++-(8)22283251520a b ab bc ca+-+-(9)20282535xy x y----(10)222141939x y xy yz zx++--(11)1070428xy x y-++-(12)221510313521x y xy yz zx+--+ (13)2220358103a c ab bc ca-+-+ (14)60501815xy x y----(15)22365452511a c ab bc ca---+ (16)226123417x z xy yz zx+-+-(17)754935ab a b-+-(18)16884xy x y-++-(19)945945mx my nx ny--+ (20)22201839a c ca++(21)22672824a b ab bc ca-+--(22)2235121220a b ab bc ca--+-(23)9327ax ay bx by+--(24)8016204mx my nx ny+++ (25)2231024x z xy yz zx---+(26)15502480xy x y----(27)221535464935x y xy yz zx++++ (28)222035154928a b ab bc ca--+-(29)632412mx my nx ny+--(30)49214218xy x y+++(31)4085ax ay bx by+--(32)16364090xy x y-++-(33)2220619624x y xy yz zx-+-+ (34)368368mn m n--+(35)45633549ax ay bx by-+-(36)2244363217a b a b--++ (37)25304554mn m n-+-(38)104156xy x y+++(39)2221126432x z xy yz zx++--(40)24286070ab a b--+(41)2249281840a b a b-+++ (42)223625652016a b ab bc ca+-+-(43)226464489m n m---(44)223664369m n m---(45)224936568433a b a b-++-(46)22331039a b ab bc ca+-+-(47)226513510a b ab bc ca+-+-(48)2294937x z xy yz zx++--(49)754935mn m n-+-(50)2291018447a c ab bc ca+--+ (51)227221272129x z xy yz zx---+ (52)530636mx my nx ny+--(53)2249241827a b a b -+-+(54)312624xy x y --++(55)225625529x z xy yz zx-++-(56)242065xy x y +++(57)2282836x y xy yz zx++--(58)2216202548a c ab bc ca++++(59)22925204x y y ---(60)2230736637a c ab bc ca--++(61)221412461035x y xy yz zx+-+-(62)2245425733x z xy yz zx-+--(63)486486mn m n +++(64)2210530627a c ab bc ca+-+-(65)205164xy x y --++(66)2272524331x z xy yz zx----(67)2293021353a c ab bc ca-++-(68)848040ab a b +++(69)81451810ab a b -+-(70)223014354952x z xy yz zx+-+-(71)22123574a b ab bc ca -+--(72)222020mx my nx ny -+-(73)153357ab a b -+-(74)18126342mn m n +--(75)99010ax ay bx by+--(76)24241616mn m n -+-(77)16144035xy x y -+-(78)728455mx my nx ny-+-(79)5401080mx my nx ny+++(80)2254221212x y xy yz zx++++(81)20503280xy x y --+(82)552020ax ay bx by+--(83)22124236x y xy yz zx----(84)18244864mn m n -+-(85)9020276ax ay bx by+--(86)222418391232a b ab bc ca----(87)2292142866x z xy yz zx+-+-(88)222581101a b a ---(89)24361624ax ay bx by--+ (90)20104020mn m n-+-(91)229961x y y---(92)226416647265x y x y----(93)229424209m n m n----(94)2245220813a c ab bc ca--+-(95)22449325648m n m n--++ (96)22481412648x y x y-++-(97)22634276103x z xy yz zx+--+ (98)223030202461x z xy yz zx++--(99)221012352126a c ab bc ca+--+ (100)24275663ax ay bx by--+初中数学因式分解(分组分解法)练习100题答案(1)2(7)(5)a b x y-+(2)(798)(796)x y x y+---(3)(75)(45)a b a b c-+-(4)(935)(34)x y z x y+--(5)10(1)(61)m n-+(6)4(54)(45)x y-+-(7)(87)(3)x y x y z-+-(8)(75)(43)a b c a b---(9)(45)(57)x y-++ (10)(3)(743)x y x y z++-(11)2(52)(7)x y---(12)(527)(35)x y z x y-+-(13)(45)(527)a c ab c-++ (14)(103)(65)x y-++(15)(95)(45)a c ab c+--(16)(34)(23)x z x y z---(17)(7)(75)a b+-(18)4(21)(21)x y---(19)9()(5)m n x y--(20)(56)(43)a c a c++(21)(4)(67)a b c a b--+(22)(53)(744)a b a b c-+-(23)(3)(9)a b x y-+(24)4(4)(5)m n x y++ (25)(325)(2)x y z x z--+ (26)(58)(310)x y-++ (27)(357)(57)x y z x y+++(28)(557)(47)a b c a b+--(29)3(4)(2)m n x y-+ (30)(76)(73)x y++(31)(8)(5)a b x y-+(32)2(25)(49)x y---(33)(4)(566)x y x y z-++ (34)4(1)(92)m n--(35)(97)(57)a b x y+-(36)(2217)(221)a b a b+---(37)(59)(56)m n+-(38)(23)(52)x y++(39)(32)(726)x z x y z-+-(40)2(25)(67)a b--(41)(234)(2310)a b a b++-+(42)(45)(954)a b a b c---(43)(883)(883)m n m n+---(44)(683)(683)m n m n+---(45)(763)(7611)a b a b+--+(46)(3)(33)a b a b c---(47)(355)(2)a b c a b---(48)(9)(4)x z x y z-+-(49)(7)(75)m n+-(50)(92)(25)a c ab c+-+ (51)(97)(833)x z x y z+--(52)(56)(6)m n x y-+(53)(239)(233)a b a b++-+ (54)3(2)(4)x y--+(55)(5)(56)x z x y z++-(56)(41)(65)x y++(57)(423)(2)x y z x y+-+(58)(84)(25)a b c a c+++ (59)(352)(352)x y x y++--(60)(6)(567)a c ab c--+ (61)(72)(265)x y x y z---(62)(57)(96)x z x y z-++ (63)6(1)(81)m n++(64)(265)(5)a b c a c---(65)(54)(41)x y--+ (66)(935)(8)x y z x z--+(67)(35)(376)a c ab c++-(68)4(10)(21)a b++(69)(92)(95)a b+-(70)(672)(57)x y z x z---(71)(35)(47)a b c a b--+ (72)2(10)()m n x y+-(73)(37)(51)a b+-(74)3(27)(32)m n-+(75)(10)(9)a b x y-+ (76)8(32)(1)m n+-(77)(25)(87)x y+-(78)(85)(9)m n x y+-(79)5(2)(8)m n x y++ (80)(922)(6)x y z x y+++ (81)2(58)(25)x y--(82)5(4)()a b x y-+(83)(643)(2)x y z x y--+ (84)2(38)(34)m n+-(85)(103)(92)a b x y-+(86)(83)(364)a b a b c+--(87)(7)(943)x z x y z---(88)(591)(591)a b a b+---(89)4(32)(23)a b x y--(90)10(2)(21)m n+-(91)(331)(331)x y x y++--(92)(845)(8413)x y x y++--(93)(321)(329)m n m n++--(94)(94)(52)a b c a c-+-(95)(2712)(274)m n m n+---(96)(296)(298)x y x y+--+ (97)(76)(97)x z x y z+-+ (98)(645)(56)x y z x z+--(99)(53)(274)a c ab c+-+ (100)(37)(89)a b x y--。
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初中数学因式分解(一)因式分解是代数式恒等变形的基本形式，是解决数学问题的有力工具．是掌握因式分解对于培养学生解题技能，思维能力，有独特作用．1．运用公式法整式乘法公式，反向使用，即为因式分解(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．分解因式，根据多项式字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3； (2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4； (4)a3b-ab3+a2+b2+1．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．练习一1．分解因式：(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1； (2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．初中数学因式分解(一)答案多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．。