三角函数的图像与性质知识点总结
三角函数：三角函数的图像与性质-高三数学二轮复习
(4)对称轴：ωx + =________.
(5)对称中心：ωx + =________.
试卷讲评课件
(6)值域：若已知三角函数y = Asin ωx + + B，且x ∈ [m, n]
①若ωx +
π
可以取到
2
+
π
2kπ和−
2
+ 2kπ，则Asin ωx + + B的最大
值为________，最小值为________；
2
2
A.1
B.2
= f x 的图象与直线
C.3
D.4
π
6
试卷讲评课件
例10.( ⋅辽宁·二模)已知函数f x = sin2x + 2 3cos2 x − 3，则下
列说法正确的是(
)
A.函数f x 的最小正周期为π
B.函数f x
π 3π
在区间[ , ]上单调递减
6 4
C.将函数f x
π
的图象向右平移 个单位长度，得到函数y
π
是y
6
π
,0
3
对称
上单调递增
= f x 图象的一条对称轴
)
试卷讲评课件
例12.( ⋅河北沧州·一模)已知函数f x = sin 2x +
且f x = f
2π
3
函数，则(
)
A. =
≤
π
2
，
− x ，若函数f x 向右平移a a＞0 个单位长度后为偶
π
−
6
B.函数f x 在区间
π
C.a的最小值为
6
象
完整版)三角函数知识点归纳
完整版)三角函数知识点归纳三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角1)角的概念的推广角可以按照旋转方向分为正角、负角和零角，也可以按照终边位置分为象限角和轴线角。
2)终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)。
3)弧度制弧度制是一种角度量，1弧度的角是指长度等于半径长的弧所对的圆心角。
弧度与角度可以互相转换。
2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(x^2+y^2)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x。
3．特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值可以通过计算得到，如30度角的正弦为1/2，余弦为√3/2，正切为√3/3，以此类推。
注意：删除了明显有问题的段落，同时对每段话进行了小幅度的改写以提高表达清晰度。
和周期；2掌握三角函数的图像及其性质；3熟练运用诱导公式和基本关系进行化简和求值。
二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A.基础梳理1.同角三角函数的基本关系1)平方关系：sin^2α+cos^2α=1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）2)商数关系：sinα/cosα=tanα，cosα/sinα=1/tanα，1+tan^2α=sec^2α，1+ cot^2α=csc^2α。
2.诱导公式公式一：sin(α+2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cosα，tan(α+2kπ)=tanα其中k∈Z.公式二：sin(π+α)=－sinα，cos(π+α)=－cosα，tan(π+α)=tanα.公式三：sin(π－α)=sinα，cos(π－α)=－cosα，XXX(π－α)=－tanα．公式四：sin(－α)=－sinα，cos(－α)=cosα，tan(－α)=－tanα.公式五：sin(π/2－α)=cosα，cos(π/2－α)=sinα.公式六：sin(π/2+α)=cosα，cos(π/2+α)=－sinα.诱导公式可概括为k·±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍。
三角函数知识点总结归纳图
三角函数知识点总结归纳图在数学中，三角函数是研究三角形以及与角度相关的函数。
它们在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学、计算机图形学等。
本文将对常用的三角函数进行总结和归纳，并使用图表形式展示相关知识点。
一、正弦函数（sine function）正弦函数是最基本也是最重要的三角函数之一。
它表示一个角度对应的三角形中的对边与斜边之比。
正弦函数的定义域为实数集合R，值域为[-1, 1]。
1. 正弦函数的周期性正弦函数是周期性函数，其最小正周期为2π。
即对于任意实数x，有sin(x+2π)=sin(x)。
2. 正弦函数的图像正弦函数的图像为连续的波浪线，通过原点(0,0)，在每个周期内，正弦函数在x轴上的值在[-1,1]之间变化。
3. 正弦函数的性质正弦函数具有奇函数的性质，即sin(-x)=-sin(x)。
同时，正弦函数在π/2和3π/2时取得最大值1，在π和2π时取得最小值-1。
二、余弦函数（cosine function）余弦函数是三角函数中的另一个重要函数，表示一个角度对应的三角形中的邻边与斜边之比。
余弦函数的定义域为实数集合R，值域为[-1, 1]。
1. 余弦函数的周期性余弦函数也是周期性函数，其最小正周期为2π。
即对于任意实数x，有cos(x+2π)=cos(x)。
2. 余弦函数的图像余弦函数的图像为连续的波浪线，通过点(0,1)，在每个周期内，余弦函数在x轴上的值在[-1,1]之间变化。
3. 余弦函数的性质余弦函数为偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
同时，余弦函数在π和2π时取得最大值1，在π/2和3π/2时取得最小值-1。
三、正切函数（tangent function）正切函数是表示一个角度对应的三角形中的对边与邻边之比。
正切函数的定义域为实数集合R，值域为全体实数。
1. 正切函数的周期性正切函数也具有周期性，其最小正周期为π。
即对于任意实数x，有tan(x+π)=tan(x)。
关于三角函数的知识点总结
关于三角函数的知识点总结三角函数是数学中的一门重要学科，其应用广泛，不仅在初中、高中、大学的数学课程中涉及，而且在物理、工程、计算机等领域中也有广泛的应用。
下面我们就来总结一下有关三角函数的知识点。
一、三角函数的定义和常见关系1. 正弦函数 $\sin \theta$ 的定义：$\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$，其中 $\theta$ 为角度（弧度制）。
2. 余弦函数 $\cos \theta$ 的定义：$\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$，其中 $\theta$ 为角度（弧度制）。
3. 正切函数 $\tan \theta$ 的定义：$\tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$，其中 $\theta$ 为角度（弧度制）。
4. 三角函数的常见关系：- $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$- $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$二、三角函数的图像1. 正弦函数的图像：周期为 $2\pi$，在 $[0,\pi]$ 上单调递增，在 $[\pi,2\pi]$ 上单调递减，对称轴为 $x=\frac{\pi}{2}$。
2. 余弦函数的图像：周期为 $2\pi$，在 $[0,\pi]$ 上单调递减，在 $[\pi,2\pi]$ 上单调递增，对称轴为 $x=0$。
3. 正切函数的图像：周期为 $\pi$，在 $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 上单调递增。
三、三角函数的性质1. 周期性：$\sin (\theta + 2k\pi) = \sin \theta, \cos(\theta + 2k\pi) = \cos \theta$，其中 $k$ 为整数。
三角函数知识点梳理
三角函数知识点梳理关键信息项：1、三角函数的定义正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数2、三角函数的基本关系式平方关系商数关系倒数关系3、三角函数的诱导公式正弦诱导公式余弦诱导公式4、三角函数的图像和性质正弦函数图像和性质余弦函数图像和性质正切函数图像和性质5、三角函数的周期性周期的定义常见三角函数的周期6、三角函数的最值和值域正弦函数的最值和值域余弦函数的最值和值域正切函数的最值和值域7、三角函数的和差公式正弦和差公式余弦和差公式正切和差公式8、三角函数的倍角公式余弦倍角公式正切倍角公式9、三角函数的半角公式正弦半角公式余弦半角公式正切半角公式11 三角函数的定义111 正弦函数：在直角三角形中，锐角的正弦等于其对边与斜边的比值。
即 sinA ＝ a/c，其中 A 为锐角，a 为 A 的对边，c 为斜边。
112 余弦函数：锐角的余弦等于其邻边与斜边的比值。
即 cosA ＝b/c，其中 b 为 A 的邻边。
113 正切函数：锐角的正切等于其对边与邻边的比值。
即 tanA ＝a/b。
114 余切函数：锐角的余切等于其邻边与对边的比值。
即 cotA ＝b/a。
115 正割函数：斜边与邻边的比值。
即 secA ＝ c/b。
116 余割函数：斜边与对边的比值。
即 cscA ＝ c/a。
12 三角函数的基本关系式121 平方关系：sin²A ＋ cos²A ＝ 1，1 ＋ tan²A ＝ sec²A，1 ＋ cot²A ＝ csc²A。
122 商数关系：tanA ＝ sinA ／ cosA，cotA ＝ cosA ／ sinA。
123 倒数关系：sinA × cscA ＝ 1，cosA × secA ＝ 1，tanA × cotA ＝1。
13 三角函数的诱导公式131 正弦诱导公式：sin(2kπ ＋ A) ＝ sinA，sin(π ＋ A) ＝ sinA，sin(A) ＝ sinA 等。
三角函数图像与性质知识点总结
三角函数图像与性质知识点总结函数图像与性质知识点总结函数图像与性质知识点总结一、一、三角函数图象的性质三角函数图象的性质11．．““五点法五点法””描图描图(1)(1)yy＝＝sinsinxx的图象在的图象在[0,2[0,2ππ]]上的五个关键点的坐标为上的五个关键点的坐标为，，11((π，π，，－π，－11(2(2π，π，0)0)(2)(2)yy＝＝coscosxx的图象在的图象在[0,2[0,2ππ]]上的五个关键点的坐标为上的五个关键点的坐标为(0,1)(0,1)，，，，00，，((π，－π，－1)1)，，，，00，，(2(2π，π，1)1)2.2.三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质函数函数性质性质yy＝＝sinsinxxyy＝＝coscosxxyy＝＝tantanxx定义域定义域RRRR{{xx||xx≠≠kkπ＋π＋ππ22，，kk∈∈ZZ}}图象图象值域值域[[－－1,1]1,1][[－－1,1]1,1]RR对称性对称性对称轴：对称轴：xx＝＝kkπ＋π＋ππ22((kk∈∈ZZ))；；对称中心：对称中心：((kkπ，π，0)(0)(kk∈∈ZZ))对称轴：对称轴：xx＝＝kkππ((kk∈∈ZZ))对称中心：对称中心：((kkπ＋π＋ππ22，，0)(0)(kk∈∈ZZ))对称中心：对称中心：，，00((kk∈∈ZZ))周期周期22ππ22ππππ单调性单调性单调增区间单调增区间__[2[2kkππ－－ππ22，，22kkπ＋π＋ππ22](](kk∈∈ZZ))；；单33ππ22](](kk＋π＋ππ22,,22kkπ＋π＋[2[2kkπ调减区间单调减区间．∈∈ZZ))单调增区间单调增区间[2[2kkπ－π，π－π，22kkππ](](kk∈∈ZZ))；；单调减区间单调减区间[2[2kkπ，π，22kkπ＋π＋ππ](](kk∈∈ZZ))单调增区间单调增区间((kkπ－π－ππ22，，kkπ＋π＋ππ22)()(kk∈∈ZZ))奇偶性奇偶性奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数3.3.一般地对于函数一般地对于函数ff((xx))，如果存在一个非零的，如果存在一个非零的常数常数TT，使得当，使得当xx取定义域内的每取定义域内的每一个值时，都有一个值时，都有ff((xx＋＋TT))＝＝ff((xx))，那么函数，那么函数ff((xx))就叫做周期函数，非零常数就叫做周期函数，非零常数TT叫叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期((函数的周函数的周期一般指最小正周期期一般指最小正周期))4.4.求三角函数值域求三角函数值域((最值最值))的方法：的方法：(1)(1)利用利用sinsinxx、、coscosxx的有界性；的有界性；关于正、余弦函数的有界性关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是由于正余弦函数的值域都是[[－－1,1]1,1]，因此对于，因此对于??xx∈∈RR，恒有－，恒有－11≤≤sinsinxx≤≤11，－，－11≤≤coscosxx≤≤11，所以，所以11叫做叫做yy＝＝sinsinxx，，yy＝＝coscosxx 的上确界，－的上确界，－11叫做叫做yy＝＝sinsinxx，，yy＝＝coscosxx的下确的下确界界..(2)(2)形式复杂的函数应化为形式复杂的函数应化为yy＝的形式逐步分析的形式逐步kk＋＋φφ))＋＋sin(ωωxxAAsin(＝分析ωωxx＋＋φφ的范的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响最值的影响..(3)(3)换元法：把换元法：把sinsinxx或或coscosxx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域((最值最值))问题．问题．利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：yy＝＝sinsin22xx －－4sin4sinxx＋＋55，令，令tt＝＝sinsinxx(|(|tt||≤≤1)1)，则，则yy＝＝((tt－－2)2)22＋＋11≥≥11，解法错误，解法错误..5.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如yy＝＝AAsin(sin(ωωxx＋＋φφ)()(ωω0)0)的形式，再的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出根据基本三角函数的单调区间，求出xx所在的区间所在的区间..应特别注意，应应特别注意，应在函数的定义域内考虑在函数的定义域内考虑..注意区分下列两题的单调增区间不同注意区分下列两题的单调增区间不同;;利用换元法求复利用换元法求复合函数的单调区间合函数的单调区间((要注意要注意xx系数的正负号系数的正负号))(1)(1)yy＝＝－－ππ44；；(2)(2)yy＝＝－－22xx..66、、yy＝＝主要的图象求其解析式的问题，BB＋＋φφ))＋＋AAsin(sin(ωωxx从以下四个方面来考的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：虑：①①AA的确定：根据图象的最高点和最低点，即的确定：根据图象的最高点和最低点，即AA＝＝最高点－最低点最高点－最低点22；；②②BB的确定：根据图象的最高点和最低点，即的确定：根据图象的最高点和最低点，即BB＝＝最高点＋最低点最高点＋最低点22；；③③ωω的确定：结合图象，先求出周期，然后由的确定：结合图象，先求出周期，然后由TT＝＝22ππωω((ωω0)0)来确定来确定ωω；；④④φφ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式的确定：把图像上的点的坐标带入解析式yy＝＝AAsin(sin(ωωxx＋＋φφ))＋＋BB，然后根据，然后根据φ的范围确定φφ的范围确定φ即可，例如由函数即可，例如由函数yy＝＝AAsin(sin(ωωxx＋＋φφ))＋＋KK最开始与最开始与xx轴的交点轴的交点((最靠近原点最靠近原点))的横坐标为－的横坐标为－φφωω((即令即令ωωxx ＋＋φφ＝＝00，，xx＝－＝－φφωω))确定确定φφ..二、二、三角函数的伸缩变化三角函数的伸缩变化先先平移后伸缩平移后伸缩的图象的图象向左(0)或向右(0)平移个单位长度得得的图象的图象横的图象坐标伸长(01)1到原来的纵坐标不变得得的图象纵坐标伸长(1)或缩短(01)的图象的图象为原来的倍横坐标不变得得的得得的图象．图象．先伸缩后平移先伸缩后平移的图象的图象纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得得的图象的图象横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得得的图象的图象向左或向右平移个单位得得的图象的图象向上或向下平移个单位长度得..的图象．的图象．得。
高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结
高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结高中数学中，三角函数及反三角函数是重要的内容之一。
在学习这一部分知识时，需要掌握其图像性质以及相关的知识点。
下面将对这些内容进行总结。
一、三角函数的图像性质1. 正弦函数（sin）的图像性质：- 周期性：sin函数的周期为2π，即在每个周期内，函数的图像重复出现；- 奇函数性质：sin函数关于原点对称；- 取值范围：sin函数的取值范围为[-1,1]，即函数的值始终在该区间内波动。
2. 余弦函数（cos）的图像性质：- 周期性：cos函数的周期为2π；- 偶函数性质：cos函数关于y轴对称；- 取值范围：cos函数的取值范围也为[-1,1]。
3. 正切函数（tan）的图像性质：- 周期性：tan函数的周期为π；- 奇函数性质：tan函数关于原点对称；- 无界性：tan函数的值域为实数集，即函数在某些点无界。
二、三角函数的知识点1. 基本正弦函数的性质：- 特殊角的正弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的正弦值分别为0、1、0、-1和0；- 正弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，sin函数是单调递增的；- 正弦函数的奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即sin函数关于原点对称。
2. 基本余弦函数的性质：- 特殊角的余弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的余弦值分别为1、0、-1、0和1；- 余弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，cos函数是单调递减的；- 余弦函数的奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即cos函数关于y轴对称。
3. 基本正切函数的性质：- 特殊角的正切值：0°、90°、180°和270°对应的正切值分别为0、无穷大、0和无穷大；- 正切函数的周期性：tan(x+π)=tan(x)，即tan函数的周期是π。
专题06知识点 三角函数的图像与性质
-
-3 2
-2
1
o
-1
2
3
2 2
7
3 2
5
4
2
x
y
y=tanx
y
y=cotx
3 -2
-
-2
o
2
3
x
2
-
-2
o
2
3 2 x
2
函数 y=sinx
y=cosx
定义 域
值域
R
R
［-1，1］x=2kπ+ ［-1,1］ 2
时 ymax=1
x=2kπ时
x=2kπ- 2
时 ymin=-1
ymax=1
0
2 3 5
3 2
6
4
3
2
3
4
6
2
3.弧长及扇形面积公式
弧长公式： l .r
扇形面积公式:S= 1 l.r 2
----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径
知识点二：诱导公式
1.常用的诱导公式
公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关 系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关 系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα
三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结
千里之行，始于足下。
三角函数及反三角函数图像性质、学问点总结三角函数及反三角函数是高中数学中重要的内容之一，它们的图像性质是我们学习和理解这些函数的基础。
下面是关于三角函数及反三角函数图像性质的学问点总结。
一、正弦函数的图像性质：1. 定义域：正弦函数的定义域为全体实数。
2. 值域：正弦函数的值域为闭区间[-1,1]。
3. 周期性：正弦函数的周期是2π，即在一个周期内，正弦函数的图像重复消灭。
4. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。
5. 对称轴：正弦函数的对称轴是y轴。
6. 最值点：正弦函数的最值点包括最大值1和最小值-1，最值点的横坐标为周期的整数倍。
二、余弦函数的图像性质：1. 定义域：余弦函数的定义域为全体实数。
2. 值域：余弦函数的值域为闭区间[-1,1]。
3. 周期性：余弦函数的周期是2π，即在一个周期内，余弦函数的图像重复消灭。
4. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
5. 对称轴：余弦函数的对称轴是x轴。
6. 最值点：余弦函数的最值点包括最大值1和最小值-1，最值点的横坐标为周期的半整数倍。
三、正切函数的图像性质：1. 定义域：正切函数的定义域为全体实数，除了临界点kπ（k为整数）。
第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。
2. 值域：正切函数的值域为全体实数。
3. 周期性：正切函数的周期是π，即在一个周期内，正切函数的图像重复消灭。
4. 奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。
5. 渐近线：正切函数有两条渐近线，分别是x=kπ+π/2（k为整数）和x=kπ（k为整数）。
6. 最值点：正切函数没有最值点。
四、反正弦函数的图像性质：1. 定义域：反正弦函数的定义域为闭区间[-1,1]。
2. 值域：反正弦函数的值域为闭区间[-π/2,π/2]。
3. 奇偶性：反正弦函数是奇函数，即arcsin(-x)=-arcsin(x)。
4. 递增性：反正弦函数在定义域内是递增的。
三角函数图像与性质知识点
三角函数图像与性质知识点三角函数是数学中的重要概念，它们的图像与性质对于理解和解决各种数学问题具有重要的作用。
本文将介绍三角函数的图像与性质的知识点，希望能帮助读者更好地掌握这一概念。
一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像可以用来描述周期性变化的现象。
它的定义域为实数集，值域为[-1,1]。
正弦函数的图像为连续的波浪线，称为正弦曲线。
正弦函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正弦函数的最小正周期为2π，在一个周期内，正弦函数的图像重复出现。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。
3. 对称性：正弦函数的图像关于y轴对称。
二、余弦函数的图像与性质余弦函数是与正弦函数相似的三角函数，它也可以用来描述周期性变化的现象。
它的定义域为实数集，值域为[-1,1]。
余弦函数的图像为连续的波浪线，称为余弦曲线。
余弦函数的图像具有以下性质：1. 周期性：余弦函数的最小正周期为2π，在一个周期内，余弦函数的图像重复出现。
2. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即满足f(-x)=f(x)。
3. 对称性：余弦函数的图像关于y轴对称。
三、正切函数的图像与性质正切函数是另一个重要的三角函数，它描述的是角度的比值。
它的定义域为实数集，值域为全体实数。
正切函数的图像为由正无穷连续延伸到负无穷的曲线，称为正切曲线。
正切函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正切函数的最小正周期为π，在一个周期内，正切函数的图像重复出现。
2. 奇偶性：正切函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。
3. 垂直渐近线：正切函数的图像有两条垂直渐近线，分别为x=π/2+kπ（k为整数）和x=-π/2+kπ（k为整数）。
四、割函数与余割函数的图像与性质割函数和余割函数是与正切函数和余弦函数相对应的两个三角函数。
割函数的定义域为实数集减去所有使得余切函数为0的点，即R\{kπ}（k为整数），值域为全体实数。
余割函数的定义域为实数集减去所有使得正弦函数为0的点，即R\{kπ}（k为整数），值域为全体实数。
三角函数图像与性质-知识点总结及题型归纳讲义
专题七《三角函数》讲义7.3 三角函数的图像与性质知识梳理.三角函数的图像与性质1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象定义域R R错误!值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在⎣⎡⎦⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在⎣⎡⎦⎤π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上是递减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上是递增函数周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π对称性对称轴是x＝π2＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ2，0(k∈Z)题型一. 三角函数图像的伸缩变换1．要得到函数y ＝3sin （2x +π3）的图象，只需要将函数y ＝3cos2x 的图象（ ） A ．向右平行移动π12个单位 B ．向左平行移动π12个单位C ．向右平行移动π6个单位D ．向左平行移动π6个单位2．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin （2x +2π3），则下面结论正确的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 23．（2021春•闵行区校级期中）函数y ＝cos （2x +φ）的图象向右平移π2个单位长度后与函数y ＝sin （2x +2π3）的图象重合，则|φ|的最小值为 ．4．（2016春•南通期末）将函数f(x)=sin(ωx +φ)，(ω＞0，−π2＜φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π4个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f(π6)= ．5．（2015•湖南）将函数f （x ）＝sin2x 的图象向右平移φ（0＜φ＜π2）个单位后得到函数g （x ）的图象．若对满足|f （x 1）﹣g （x 2）|＝2的x 1、x 2，有|x 1﹣x 2|min =π3，则φ＝（ ） A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6题型二. 已知图像求解析式1．图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上所有的点（ ）A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变2．已知函数y =sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则（ ）A ．ω=π2，φ=−π4 B ．ω=π2，φ=π4C ．ω=π，φ=−π4D ．ω=π，φ=π43．已知函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）的图象如图所示，f （π2）=−23，则f （0）＝（ ）A ．−23B ．−12C ．23D ．124．已知函数f （x ）＝A tan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，下列关于函数g （x ）＝A cos （ωx +φ）（x ∈R ）的表述正确的是（ ）A ．函数g （x ）的图象关于点（π4，0）对称B ．函数g （x ）在[−π8，3π8]递减 C ．函数g （x ）的图象关于直线x =π8对称D ．函数h （x ）＝cos2x 的图象上所有点向左平移π4个单位得到函数g （x ）的图象题型三. 三角函数的性质 考点1.单调性1．函数y ＝sin （﹣2x +π3）的单调递减区间是（ ） A ．[k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z B ．[2k π−π12，2k π+5π12]，k ∈ZC ．[k π−π6，k π+5π6]，k ∈ZD ．[2k π−π6，2k π+5π6]，k ∈Z2．已知函数f(x)=Asin(x +φ)(A ＞0，−π2＜φ＜0)在x =5π6时取得最大值，则f （x ）在[﹣π，0]上的单调增区间是（ ） A ．[−π，−5π6] B ．[−5π6，−π6] C ．[−π3，0]D ．[−π6，0]3．已知函数f （x ）＝sin （2x +π3）在区间[0，a ]（其中a ＞0）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{a |0＜a ≤π12} B ．{a |0＜a ≤π2} C ．{a |a ＝k π+π12，k ∈N *} D ．{a |2k π＜a ≤2k π+π12，k ∈N *} 4．已知ω＞0，函数f （x ）＝sin （ωx +π4）在区间（π2，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ） A ．[12，54] B ．[12，34]C ．(0，12]D ．（0，2]考点2.周期性、奇偶性、对称性1．已知函数f （x ）＝cos 2x +sin 2（x +π6），则（ ）A ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为12B ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为−12C ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为12D ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为−122．已知f （x ）＝sin2x +|sin2x |（x ∈R ），则下列判断正确的是（ ） A ．f （x ）是周期为2π的奇函数 B ．f （x ）是值域为[0，2]周期为π的函数 C ．f （x ）是周期为2π的偶函数 D ．f （x ）是值域为[0，1]周期为π的函数3．将函数y ＝sin2x −√3cos2x 的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（ ） A ．712π B ．π4C ．π12D ．π64．已知函数f （x ）＝a sin x ﹣b cos x （ab ≠0，x ∈R ）在x =π4处取得最大值，则函数y ＝f （π4−x ）是（ ）A ．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B ．偶函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 C ．奇函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 D ．奇函数且它的图象关于点 （π，0）对称考点3.三角函数性质综合1．（2019•天津）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y ＝f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g （x ）．若g （x ）的最小正周期为2π，且g （π4）=√2，则f （3π8）＝（ ）A ．﹣2B ．−√2C ．√2D ．22．（2015•天津）已知函数f （x ）＝sin ωx +cos ωx （ω＞0），x ∈R ，若函数f （x ）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为 ．3．（2014•大纲版）若函数f （x ）＝cos2x +a sin x 在区间（π6，π2）是减函数，则a 的取值范围是 ．4．（2016•新课标Ⅰ）若函数f （x ）＝x −13sin2x +a sin x 在（﹣∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，13]C ．[−13，13]D ．[﹣1，−13]5．（2013•安庆二模）已知函数f （x ）＝sin （ωx +π6），其中ω＞0，若f （π6）＝f （π3），且f （x ）在区间（π6，π3）上有最小值、无最大值，则ω等于（ ）A ．403B ．283C ．163D ．436．（2014•北京）设函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）若f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f （π2）＝f（2π3）＝﹣f （π6），则f （x ）的最小正周期为 ．题型四. 三角函数最值1．函数f （x ）=15sin （x +π3）+cos （x −π6）的最大值为（ ） A ．65B ．1C ．35D ．152．函数f （x ）＝cos （ωx +π3）（ω＞0）在[0，π]内的值域为[﹣1，12]，则ω的取值范围为（ ） A ．[32，53]B ．[23，43]C ．[23，+∞)D ．[23，32]3．已知函数f （x ）＝cos2x +sin x ，则下列说法中正确的是（ ） A ．f （x ）的一条对称轴为x =π4 B ．f （x ）在（π6，π2）上是单调递减函数C ．f （x ）的对称中心为（π2，0）D ．f （x ）的最大值为14．若0＜x ≤π3，则函数y ＝sin x +cos x +sin x cos x 的值域为 ．5．已知函数f(x)=2sinωx ⋅cos 2(ωx 2−π4)−sin 2ωx(ω＞0)在区间[−2π5，5π6]上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是（ ） A ．(0，35]B ．[12，35]C ．[12，34]D ．[12，52)6．已知函数f （x ）＝cos x •sin （x +π3）−√3cos 2x +√34，x ∈R （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在闭区间[0，π2]上的最大值和最小值及相应的x 值；（3）若不等式|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[0，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．题型五.三角函数零点1．已知函数f （x ）＝sin ωx −√3cos ωx （ω＞0），若方程f （x ）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为 ．2．已知函数f （x ）=√3sin ωx cos ωx +cos 2ωx −12，（ω＞0，x ∈R ），若函数f （x ）在区间（π2，π）内没有零点，则ω的取值范围（ ） A ．（0，512] B ．（0，512]∪[56，1112]C ．（0，58]D ．（0，56]∪[1112，1）3．函数f(x)=2sin(2ωx +π6)(ω＞0)图象上有两点A （s ，t ），B （s +2π，t ）（﹣2＜t ＜2），若对任意s ∈R ，线段AB 与函数图象都有五个不同交点，若f （x ）在[x 1，x 2]和[x 3，x 4]上单调递增，在[x 2，x 3]上单调递减，且x 4−x 3=x 2−x 1=23(x 3−x 2)，则x 1的所有可能值是课后作业. 三角函数的图像与性质1．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g （x ）＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f （x ）的图象（ ）A ．向左平移π3个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π3个单位长度D ．向右平移π12个单位长度2．关于函数y ＝2sin （3x +π4）+1，下列叙述正确的是（ ） A ．其图象关于直线x =−π4对称 B ．其图象关于点（π12，1）对称 C ．其值域是[﹣1，3]D ．其图象可由y ＝2sin （x +π4）+1图象上所有点的横坐标变为原来的13得到 3．已知函数f （x ）＝（12a −√3）sin x +（√32a +1）cos x ，将f （x ）的图象向右平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，若对任意x ∈R ，都有g （x ）≤g （π4），则a 的值为 ． 4．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞1，0≤φ≤π）是R 上的偶函数，其图象关于点M （3π4，0）对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，则ω和φ的值分别为（ ）A ．23，π4B ．2，π3C ．2，π2D ．103，π25．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ），其中ω＞0，|φ|≤π2，−π4为f （x ）的零点：且f （x ）≤|f （π4）|恒成立，f （x ）在区间（−π12，π24）上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ）A ．11B ．13C ．15D ．176．已知函数f （x ）＝2sin （ωx −π6）sin （ωx +π3）（ω＞0），若函数g （x ）＝f （x ）+√32在[0，π2]上有且只有三个零点，则ω的取值范围为（ ）A ．[2，113） B ．（2，113） C ．[73，103） D ．（73，103）。
三角函数的图像与性质(名师经典总结)
三角函数的图像与性质（正弦、余弦、正切）【知识点1】函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象性质题型1：定义域例1：求下列函数的定义域(1)xx y cos 2cos 1+=； (2)x y 2sin = 2lg(4)x -题型2：值域 例2：求下列函数值域 (1))3π2,6π(,sin 2-∈=x x y (2)y=2sin(2x-3π),x 5,46ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(3) )3π,2π(),3π2cos(2-∈+=x x y(4)函数1)6π21cos(2++-=x y 的最大值以及此时x 的取值集合题型3：周期例3：求下列函数的周期： （1）f(x)=2sin2x (2)y=cos(123x π-) (3)y=tan(2x 4π-) （4）y=sin x 例4： 若函数()2sin(2)3f x kx π=+的最小正周期T 满足12T <<,则自然数k 的值为______.例5：若)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，则ϖ=________.例6：使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为【 】A ．π25B ．π45C ．πD ．π23例7：设函数f(x)=2sin(25x ππ+),若对于任意的x R ∈,都有f(1x )2()()f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值是A.4B.2C.1D.12题型4：奇偶性 例8：函数y ＝sin （x ＋2π）（x ∈［－2π，2π］）是【 】A.增函数B.减函数C.偶函数D.奇函数例9：判断下列函数的奇偶性 (1)y=xsin(x π+) (2)y=cos 1sin x x+例10：已知函数f(x)=x 3cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=________ 题型5：单调性例11：函数y =21log sin(2x +4π)的单调递减区间是【 】 A.（k π－4π,k π］(k ∈Z ) B.（k π－8π,k π+8π］(k ∈Z ) C.（k π－83π,k π+8π］(k ∈ D.（k π+8π,k π+83π］(k ∈Z )例12：.求1cos()3412logx y π+=的单调区间例13：求下列函数的单调增区间(1))3π21cos(-=x y ; (2) ]0,π[),6π2sin(2-∈+=x x y ；(3))23πsin(2x y -=例14：（1）求函数y=2sin(2x-3π)的单调递减区间。
(完整版)高中三角函数知识点总结
(完整版)高中三角函数知识点总结高中三角函数知识点总结1. 基本三角函数概念- 三角函数是以单位圆为基础的函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
- 正弦函数（sin）：在直角三角形中，对于一个锐角，其对边与斜边的比值称为正弦值。
即：sinA = 对边/斜边。
- 余弦函数（cos）：在直角三角形中，对于一个锐角，其邻边与斜边的比值称为余弦值。
即：cosA = 邻边/斜边。
- 正切函数（tan）：在直角三角形中，对于一个锐角，其对边与邻边的比值称为正切值。
即：tanA = 对边/邻边。
2. 基本三角函数性质和公式- 三角函数的周期性：正弦函数和余弦函数的周期都是2π；正切函数的周期是π.- 三角函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数。
- 三角函数的同角关系：sinA/cosA = tanA。
- 三角函数的和差化积公式和积化和差公式：具体公式可根据需要进行查阅。
3. 三角函数图像和性质- 正弦函数图像：在0到2π的区间内，正弦函数的图像为一条周期性的波浪线，最高点为1，最低点为-1，对应于最大值和最小值，0点对应于零值。
- 余弦函数图像：在0到2π的区间内，余弦函数的图像为一条周期性的波浪线，最高点为1，最低点为-1，对应于最大值和最小值，0点对应于最大值。
- 正切函数图像：在0到π的区间内，正切函数的图像无法在x=π/2和3π/2时定义，其他点对应的图像为一条连续的射线。
4. 三角函数的应用- 三角函数广泛应用于科学和工程领域中的周期性现象的描述和计算，例如电流的正弦波，声波的波动等。
- 在几何学中，三角函数也应用于测量角度和距离等问题的解决。
以上为高中三角函数的基本知识点总结，更详细的内容和公式可以参考相关教材或资料。
高中数学三角函数知识点归纳总结
高中数学三角函数知识点归纳总结知识网络】三角函数是数学中的一种基本函数，广泛应用于各个领域。
在研究三角函数时，需要掌握弧长公式、同角三角函数的基本关系式、三角函数的角度制与任意角的概念、图像和性质、弧度制三角函数和角公式、倍角公式、差角公式等知识。
任意角的概念与弧度制】角是由沿x轴正向的射线围绕原点旋转所形成的图形，逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角。
同终边的角可表示为计算与化简的形式，也可以用证明恒等式的方式进行表达。
已知三角函数值求角时，可以利用如下公式：α=β+k360°（k为整数）在x轴上的角为α=k180°（k为整数），在y轴上的角为α=90°+k180°（k为整数）。
第一象限角、第二象限角、第三象限角和第四象限角的定义和表示方式不同。
需要区分第一象限角、锐角以及小于90的角。
弧度制】弧度制是一种角度表示方法，弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad。
角度与弧度的转化公式为1°=π/180 rad。
角度与弧度对应表可以帮助我们更好地理解它们之间的关系。
弧长和面积的计算公式分别为l=α×R和S=1/2×α×R^2.任意角的三角函数】三角函数包括正弦、余弦和正切。
它们的值可以通过终边上任意点的坐标和半径来计算。
三角函数值对应表可以帮助我们更好地理解它们的取值范围和变化规律。
三角函数在各象限中的符号：在第一象限，x、y坐标都为正，所以sinα>0，cosα>0，tanα>0.在第二象限，x坐标为负，y坐标为正，所以sinα>0，cosα<0，tanα<0.在第三象限，x、y坐标都为负，所以sinα0.在第四象限，x坐标为正，y坐标为负，所以sinα0，tanα<0.三角函数线：设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于P(x,y)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交于点T。
(完整版)三角函数知识点归纳
三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z(2)终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )．终边与角α相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= ④若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为(r r =，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3．特殊角的三角函数值A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号） (2)商数关系：sin αcos α＝tan α. （3）倒数关系：1cot tan =⋅αα 2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α，απαtan )2tan(=+k 其中k ∈Z . 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α，()tan tan παα-=-． 公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，()tan tan αα-=-. 公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin_α. 诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角．．．．时，根据k ·π2±α在哪个象限判断原．三角．．函数值的符号，最后作为结果符号．B.方法与要点 一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． （ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin 三个式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ= sin2π＝tan π4 （4）齐次式化切法：已知k =αtan ，则nmk bak n m b a n m b a ++=++=++ααααααtan tan cos sin cos sin 三、三角函数的图像与性质学习目标：1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如x y sin =与x y cos =的周期是π）。
三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结.pdf
2
cos cos 2cos
cos
2
2
cos cos
2sin
sin
2
2
sin cos cos sin cos cos sin sin
1 sin(
2 1
sin( 2 1 cos( 2
1 cos(
2
) sin( ) ) sin( ) ) cos( )
) cos( )
六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，
左正右余中间 1”；记忆方法“对角线上两个
WORD 格式整理版
4. 三角函数的图像和性质： （其中 k z ） ①：
三角 y sinx y cosx
函数
y tanx y cotx
ห้องสมุดไป่ตู้
函 数 图 象
定义域
值域 周期
R
[-1,1]
2
R
[-1,1]
2
xk 2
R
xk
R
奇偶性
奇
单
2k
, 2k
2
2
调
2k
, 2k
2
2
性
对
对称轴 : x k
2
称
性 对称中心 : ( k , 0)
22
函数， 叫做反正切
的反函数， 叫做反 余切函数
正弦函数
弦函数
函数
图像
性 质 定义域
［-1 ，1］
值域 单调性
［- ， ］
22
1,1 增函数
［-1 ，1］
［ 0，π］
1,1 减函数
(- ∞， +∞）
(- ∞， +∞）
(- ， )
22
, 增函数
三角函数的图像与性质知识点归纳
1●高考明方向1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象， 了解三角函数的周期性．2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、 最大值和最小值，图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．★备考知考情三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题、又有解答题，难度属中低档，如2014课标全国Ⅱ14、北京14等；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法.《名师一号》P552二、例题分析： （一）三角函数的定义域和值域 例1．（1）《名师一号》P56 对点自测3函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －12的定义域为____________解析 要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π (k ∈Z)．∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z.∴函数的定义域为{x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z}．3例1．（2）《名师一号》P56 高频考点 例1(1) 函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．解:(1)要使函数有意义，必须有sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ，同一坐标系中作出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示．结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋54π，k ∈Z .注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法 (1)求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）． 一般可用三角函数的图象或三角函数线确定 三角不等式的解．4例2．（1）《名师一号》P56 对点自测4函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－3解:∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3. 注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法2 求三角函数的值域的常用方法之一： 利用sin x 和cos x 的值域(图像)直接求；例2．（2）8月月考第17题(1)17．（满分12分）已知函数22()3cos 2cos sin sin f x x x x x =++．5（I ）当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；222()3cos 2cos sin sin 12cos sin 2f x x x x x x x =++=++………2分)2x =++ …………3分……4分即()f x 的值域为2]+. …………………6分注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法2 求三角函数的值域的常用方法之二： 化为求sin()=++y A x b ωϕ的值域 如：①sin cos y a x b x =+合一变换6sin()y A x ϕ=+②22sin sin cos cos y a x b x x c x =++sin 2cos2y d x e x f =++sin(2)y A x b ϕ=++ 注意弦函数的有界性！变式:《名师一号》P58 特色专题 典例1若函数f (x )＝a sin x －b cos x 在x ＝π3处有最小值－2，则常数a ，b 的值是( )A ．a ＝－1，b ＝ 3B ．a ＝1，b ＝－3C ．a ＝3，b ＝－1D ．a ＝－3，b ＝1解:函数f (x )＝a sin x －b cos x 的最小值为－a 2＋b 2. f (x )＝a 2＋b 2sin(x －φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，降幂 合一变换7则⎩⎨⎧－a 2＋b 2＝－2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝32a －12b ＝－2，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝1.【名师点评】 解答本题的两个关键：①引进辅助角，将原式化为三角函数的基本形式； ②利用正弦函数取最值的方法建立方程组．例2．(3)《名师一号》P56 高频考点 例1(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解:∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78. ∴当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.8注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法2 求三角函数的值域的常用方法之三：把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域．练习: (补充)（1）求函数22tan 1()tan 1x f x x -=+的值域【答案】[)1,1-（2）求函数22sin 1()0,sin 22x f x x x π+⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域【答案】)+∞92222sin 13sin cos ()sin 22sin cos 3tan 1113tan 2tan 2tan 0,tan 0211()23tan 32tan x x x f x x x xx x x x x x f x x xπ++==+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎛⎫∈∴> ⎪⎝⎭≥=注意：求三角函数的值域的常用方法之三：求三角函数的值域的常用方法： 化为求代数函数的值域注意约束条件----三角函数自身的值域！例2．（4）(补充)求函数()sin cos sin cos =+-f x x x x x 的值域【答案】12⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦注意：求三角函数的值域的常用方法之四：10《名师一号》P56 问题探究 问题3 如何求三角函数的值域或最值？③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(或最值)． 利用22sin cos 1x x +=转化为二次函数在指定区间 上的值域问题变式:求函数()sin cos sin cos +=+f x x x x x 的值域例2．（5）详见 第一章 第二讲函数值域 7．数形结合法： 例7(2)《名师一号》P14 问题探究 问题（6）当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域．(补充)如两点间距离、直线斜率等等求函数4sin 12cos 4+=-x y x 的值域11解:()114sin sin 4422cos 2cos 2⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==--x x y x x 可视作单位圆外一点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭P 与圆221+=x y 上的点()cos ,sin x x 所连线段斜率的2倍,设过点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭P 的点的直线方程为()12+=-y k x 即1204---=kx y k1=解得34=-k 或512=k答案：35,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦注意：求三角函数的值域的常用方法之五： 数形结合法练习：求函数[]cos 10,sin 2-=∈-x y x x π的值域12答案：40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦变式：求函数cos 1,sin 222-⎡⎤=∈-⎢⎥-⎣⎦x y x x ππ的值域答案：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦拓展:8月月考第16题函数22)24()2cos x x xf x x xπ+++=+的最大值是M ，最小值是m ，则M m +的值是 .22222)2sin cos 2sin 4()12cos 2cos 2cos x x xx x x x x x f x x x x x x x π+++++++===++++，记2sin ()2cos x xg x x x+=+，则()g x 是奇函数且()1()f x g x =+，所以()f x 的最大值是max 1()M g x =+，13 最小值是min 1()m g x =+，因为()g x 是奇函数， 所以max min ()()0g x g x +=，所以max min 1()1()2M m g x g x +=+++=.（三）三角函数的周期性、奇偶性、对称性 例1．（1）《名师一号》P56 对点自测5设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( )A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数D.最小正周期为π2的偶函数答案 B例1．（2）《名师一号》P57 高频考点 例3（2）(2014·新课标全国卷Ⅰ)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解：由于y ＝cos|2x |＝cos2x ，所以该函数的周期为2π2＝π；由函14数y ＝|cos x |的图象易知其周期为π；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为2π2＝π；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的周期为π2，故最小正周期为π的函数是①②③，故选A.注意：《名师一号》P56 问题探究 问题1 如何求三角函数的周期？ (1)利用周期函数的定义． (2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|， y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.例1．（3）《名师一号》P58 特色专题 典例2函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋sin ωx(ω>0)相邻两对称轴之间的距离为2，则ω＝________【规范解答】 相邻两对称轴之间的距离为2，即T ＝4.f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋sin ωx ＝12sin ωx ＋32cos ωx ＋sin ωx ＝32sin ωx15＋32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，又因为f(x)相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T ＝4，所以2πω＝4，即ω＝π2.注意：【名师点评】 函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)，f(x)＝A cos (ωx ＋φ)图象上一个最高点和它相邻的最低点的横坐标之差的绝对值是函数的半周期π|ω|，纵坐标之差的绝对值是2A .在解决由三角函数图象确定函数解析式的问题时，要注意使用好函数图象显示出来的函数性质、函数图象上特殊点的坐标及两个坐标轴交点的坐标等．练习:《加加练》P3 第11题例2．（1）《名师一号》P57 高频考点 例3（1）(1)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π3解： (1)∵f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，∴f (0)＝±1.16∴sin φ3＝±1，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z)．∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)．又∵φ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，φ＝3π2.故选C.变式：若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是奇函数，则φ＝？例2．（2）《名师一号》P57 高频考点 例3（3）(3)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解：(3)由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z. ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.注意：【规律方法】(1)若f(x)＝A sin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值，若f(x)＝A sin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.(2)对于函数y＝A sin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．《名师一号》P56 问题探究问题4如何确定三角函数的对称轴与对称中心？若f(x)＝A sin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值．若f(x)＝A sin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，求x.(补充)结果写成直线方程！如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可．(补充)结果写点坐标！同理对于y＝A cos(ωx＋φ)，可求其对称轴与对称中心，对于y＝A tan(ωx＋φ)可求出对称中心．1718练习1：《名师一号》P58 特色专题 典例3已知f(x)＝sin x ＋3cos x(x ∈R)，函数y ＝f (x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2为偶函数，则φ的值为________．【规范解答】 先求出f (x ＋φ)的解析式，然后求解．∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. ∴f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋φ＋π3. ∵函数f (x ＋φ)为偶函数，∴φ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π6＋k π(k ∈Z)．又∵|φ|≤π2，∴φ＝π6.练习2：《计时双基练》P247 第3题（四）三角函数的单调性 例1．（1）《名师一号》P56 对点自测6下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )19A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2解析 由函数的周期为π，可排除C ，D.又函数在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数，排除B ，故选A.练习1：《计时双基练》P247 第7题函数y cos x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭24的单调递减区间为练习2:《加加练》P1 第11题（2）《名师一号》P57 高频考点 例2已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性．20解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin2ωx ＋cos2ωx )＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0.从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增， 在区间⎣⎡⎦⎤π8，π2上单调递减．注意：《名师一号》P56 问题探究 问题2 如何求三角函数的单调区间？(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式21求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．例2．《名师一号》P58 特色专题 典例4(2014·全国大纲卷)若函数f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．【规范解答】 先化简，再用换元法求解．f (x )＝cos2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x .令t ＝sin x ，∵x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，∴t ∈⎝⎛⎭⎫12，1.∴g (t )＝1－2t 2＋at ＝－2t 2＋at ＋1⎝⎛⎭⎫12<t <1，由题意知－a 2×(－2)≤12，∴a ≤2. ∴a 的取值范围为(－∞，2]．22 课后作业一、计时双基练P247 基础1-11、课本P56变式思考1二、计时双基练P247培优1-4课本P56变式思考2、3预习 第五节练习：1、设函数f (x )＝2sin(2πx ＋5π)．若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．4B ．2C ．1 D. 12分析：∵f (x )的最大值为2，最小值为－2，∴对∀x ∈R ，－2≤f (x )≤2.取到最值时x ＝2π＋k π，|x 1－x 2|取最小值，即f (x 1)为最小值，f (x 2)为最大值且(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))为相邻的最小(大)值点，即半个周期．解析：f (x )的周期T ＝4，|x 1－x 2|min ＝2T ＝2. 故选B.232、为了使函数)0(sin >=ωωx y 在区间]1,0[上至少出现50次最大值，求ω的最小值。
九年级数学三角函数全章知识点整理
一、角度与弧度制度量1.角度的定义与表示方法：度、分、秒2.角度的换算：度与弧度的换算3.弧度制度量的定义与表示方法4.弧度与角度之间的换算二、三角函数的定义与基本性质1.正弦函数：定义、图像、性质（周期性、奇偶性、单调性）2.余弦函数：定义、图像、性质（周期性、奇偶性、单调性）3.正切函数：定义、图像、性质（周期性、奇偶性、单调性）4.函数值的范围与周期性5.三角函数的基本关系式和恒等式6.正弦、余弦的诱导公式和和差公式7.三角函数的同角关系式三、常用角的三角函数值1.0度、30度、45度、60度和90度的三角函数值2.零点的三角函数值3.常用角的三角函数值的对称性四、图像与性质1.角度对应的弧度的图像与性质2.角度对应的三角函数图像与性质3.三角函数的周期性、奇偶性和对称性4.幅度与峰值五、三角函数的性质与变换1. 函数y=A*sin(Bx+C)+D和y=A*cos(Bx+C)+D的基本性质和变换2.三角函数的峰值、最小值和最大值3.三角函数图像的平移、伸缩、翻转等变换4.三角函数的同位角恒等式与诱导公式的应用5.反三角函数的性质与定义六、三角函数的应用1.正弦定理与余弦定理：直角三角形、任意三角形的应用2.解三角形的基本步骤和技巧3.短边与短边之间的关系（余弦定理）4.弧度与扇形面积、扇形弧长的关系5.三角函数在测量、工程设计等方面的应用七、用三角函数解直角三角形1.斜边和斜边所对应的角的关系2.已知两边求角度3.已知两边求第三边4.解一般直角三角形问题的基本步骤八、平面向量与复数1.平面向量的定义、表示方法和性质2.平面向量的共线与平行3.向量在平面内的平移九、极坐标与复数1.平面极坐标系的定义与性质2.复数的定义与基本性质3.复数运算：加法、减法、乘法、除法4.复数的共轭、模和辐角5.复数的指数形式与三角形式以上为九年级数学三角函数全章的知识点整理，其中包括角度与弧度制度量、三角函数的定义与基本性质、常用角的三角函数值、图像与性质、三角函数的性质与变换、三角函数的应用、用三角函数解直角三角形、平面向量与复数、极坐标与复数等内容，共计1200字以上。
(完整版)三角函数知识点归纳
三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．αx α第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z终边在轴上的角的集合为x {}180,k k αα=⋅∈Z 终边在轴上的角的集合为y {}18090,k k αα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z(2)终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )．终边与角相同的角的集合为α{}360,k k ββα=⋅+∈Z(3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是r αl αl rα=④若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，()αα为弧度制r l C S l r α=，．2C r l =+21122S lr r α== 2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为，那么角α的正弦、余弦、(r r =正切分别是：sin α＝，cos α＝，tan α＝．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、y r x r yx 四余弦）3．特殊角的三角函数值角度函数030456090120135150180270360角a 的弧度0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π3π/22πsina1/2√2/2√3/21√3/2√2/21/2-1cosa 1√3/2√2/21/20-1/2-√2/2-√3/2-101tana√3/31√3-√3-1-√3/3二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）(2)商数关系：＝tan α. （3）倒数关系：sin αcos α1cot tan =⋅αα2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α， 其中k ∈Z .απαtan )2tan(=+k 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α.公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α，． ()tan tan παα-=-公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，.()tan tan αα-=-公式五：sin ＝cos_α，cos ＝sin α.(π2－α)(π2－α)公式六：sin ＝cos_α，cos ＝－sin_α.(π2＋α)(π2＋α)诱导公式可概括为k ·±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇π2π2数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角时，根据k ·±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后π2作为结果符号．B.方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．sin αcos α(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．（、、三个式子知一可求二）ααcos sin +ααcos sin -ααcos sin (3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ= sin＝tan 2ππ4（4）齐次式化切法：已知，则k =αtan nmk bak n m b a n m b a ++=++=++ααααααtan tan cos sin cos sin三、三角函数的图像与性质学习目标：1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如与的周期是）。
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三角函数的图像与性质
知识点总结
GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-
三角函数的图像与性质一、正弦函数、余弦函数的图像与性质
函数y＝sin x y＝cos x
图
象
定义域R R
值域[－1,1][－1,1]
单调性
递增区间：
2,2()
22
k k k Z
ππ
ππ
⎡⎤
-+∈
⎢⎥
⎣⎦
递减区间：
3
2,2()
22
k k k Z
ππ
ππ
⎡⎤
++∈
⎢⎥
⎣⎦
递增区间：[2kπ－π，
2kπ] (k∈Z)
递减区间：[2kπ，2kπ＋
π] (k∈Z)
最值x＝2kπ＋
π
2
(k∈Z)时，y max
＝1；
x＝2kπ(k∈Z)时，y max＝1；
x＝2kπ＋π(k∈Z) 时，y min
二、正切函数的图象与性质
三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换
1. 由x y sin =的图象得到)sin(
ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的图象
注意：平移变换或伸缩变换都是针对自变量x 而言的，因此在用这样的变换法作图
象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。
2. )sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的性质
（1）定义域、值域、单调性、最值、对称性：
将ϕω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出； （2）奇偶性：只有当ϕ取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性：
)sin(ϕω+=x A y ，当π
ϕk =时为奇函数，当2
ππϕ±=k 时为偶函数；
（3）最小正周期：ω
π2=T
3. y ＝A sin(ωx ＋φ), x ∈[0,+∞) (0,0A ω>>)中各量的物理意义
(1) A 称为振幅；
(2)2T πω
=称为周期；
(3)
1f T
=
称为
频率；
(4)xωϕ+称为相位；(5)ϕ称为初相(6)ω称为圆频率.。