55-第四章曲线运动万有引力

第四章曲线运动万有引力
[高考走向]
本章内容在高考题中常有出现，题型多为选择和填空题。

考查重点是对概念和规律的理解和运
用。

内容主要集中在平抛运动和天体、人造卫星的运动规律等方面，且均有一定难度。

本章的圆周运动经常与电磁场、洛仑兹力等内容结合起来考查。

[知识点拔]
1．本章的理论核心是运动合成和分解的平行四边形法则，因为运动中的速度和位移都是矢量，如平抛运动的轨迹为曲线(抛物线)，可以把它分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动这两个分运动(直线运动)来解决。

又如船渡河的运动，可以看为船自身的划行和随河水漂流两个分运动的合成等。

2．各分运动具有独立性，即一个分运动不受另一分运动的影响，分运动和合运动具有等时性。

3．天体的运行轨道为椭圆，但我们在解决这类问题时，常简化为匀速圆周运动来处理，其向心力都是来自天体之间的万有引力。

[典型例题]
[例1]某人在静水中划行速度V1＝1.8m/s，若他在水速V2＝3m/s的河中匀速划行。

求：
(1)他怎样划行才能使他在最短时间内到达对岸？
(2)若要使船的实际划行轨迹最短，他应该怎样划行？
分析：船参与了自身划行和随水河流两个分运动，若要使小船的划行时间最短，只要小船垂直河岸方向的速度最大即可，据此可求出小船的划行方向。

至于船的划行轨迹最短的路线，并非为垂直河岸横渡，这是因为V水＞V船无法满足为使小船横渡时向上的速度分量来平衡水流速度。

根据水速和划行速度的合速度方向可确定轨迹最短措行方向。

解：(1)如图所示，设船头朝上与河岸之间的夹角为θ，
将V1分解为平行于河岸的速度V∥和垂直河岸的速度V⊥，显
然D＝V⊥t＝V1sinθt即 t＝D/(V1sinθ)
当θ＝90º时，t最小，故当船头朝垂直河岸方
向划和时过河时间最短。

(2)船实际轨迹在合速度的方向上，从V1与V2的合
成矢量图上可以看出，当V1⊥V2时实际轨迹最
短，此时有sinα＝V1/V2＝1.8/3＝0.6
∴α＝37º
即划行速度与上游河岸夹角为53时，航程最短。

[例2]试证明地球同步卫星只能位于赤道上方某一高度一定
的轨道上。

证明：假设卫星在不是赤道上方的某一轨道上跟着地球的自转同步
地作匀速圆运动，卫星的向心力为地球对它引力的一个分力F1，而另一
个分力F2的作用将使其运行轨道靠赤道，故此，只有在赤道上空，同步
卫星才可在稳定的轨道上运行。

卫星在赤道上空时，有G·[Mm/(R＋h)2]
＝mω2(R＋h) ∴ h＝－R＝定值其中M、R分别为地球的质
量和半径，ω为地球自转角速度。

[例3]两伞展开后，其边缘到伞柄的半径为r，边缘离地面的高度为h，现以角速度ω使伞绕柄作匀速转动，雨滴自伞的边缘被甩出后落在地上形成一个圆周，试计算该圆周的半径R。

分析：伞匀速转动时，边缘处的两滴具有线速度ωr，所以被甩出的两滴将作初速v＝ωr的平抛运动，其平面图如图所示。

解：雨滴平抛落地的时间为t＝
雨滴平抛在初速度方向的位移为S＝Vt＝
据勾股定理，雨滴被甩出后落在地上形成的圆周半径为：
R＝
说明：将空间关系转化为平面关系是解题应注意培养的一种能力。

[知识过关]
1．一艘小船从何岸的A处出发渡河，小船保持与河岸垂直的方向行驶，经过10min到达正对岸下游120m 的C处，如图1所示，如果小船保持原来的船速斜向上游与河岸成α角方向行驶，则经过12．5min恰好到达正对岸的B处，求河宽。

2．如图2所示,在倾角为θ的斜面顶端,水平抛出一钢球落在余面底端,已知抛物点到落点斜边L,求抛出的初速度。

3．如图3所示，细绳一端系着质量M＝0.6kg的物体，静止在水平面上,另一端光滑小孔吊着质量m＝0.3kg的物体,M的中点与圆孔距离为0.2m，并知M与水平面的最大静摩擦力为2N，现使此平面绕中心轴线转动，求使m处于静止状态的角速度ω的取值范围。

(g取10m/s2)
4．火星质量是地球质量的1/10，火星半径是地球半径的1/2，地球的第一宇宙速度是7.9kg/s，求火星的第一宇宙速度。

图一图二图三。