椭圆的内接三角形问题

椭圆的最大面积内接三角形的周长最值问题
（安徽省马鞍山市第二中学当涂分校 孙世宝 邮编：243100）
文献[1]中提出了这样一个猜想：椭圆的具有最大面积的三角形中，周长取最值的三角形一定是等腰的. 笔者的研究表明，这个猜想是正确的. 下文以,∑∏分别表示循环和、循环积. 为了便于后面应用，先给出一个引理.
引理：,x R ∀∈则有如下的一系列恒等式
（1）22cos()cos cos()0;33
x x x ππ-
+++=； （2）22222222223cos ()cos cos ()sin ()sin sin ();33332
x x x x x x ππππ-++-=-++-= （3）333223cos ()cos cos ()cos3;334
x x x x ππ-+++= （4）44444422229cos ()cos cos ()sin ()sin sin ();33338
x x x x x x ππππ-+++=-+++= （5）5552215cos ()cos cos ()cos6;3316
x x x x ππ-+++= （6）66622315cos ()cos cos ()cos6;333216
x x x x ππ-+++=+ （7）221cos()cos cos()cos3;334
x x x x ππ-+= （8）22223cos()cos cos os()cos()cos();33334x x xc x x x ππππ-++++-=- 利用复数或三角恒等变换都能给出上述结论的证明，此处从略.
问题的解答：设椭圆的方程为22
221(0),x y a b a b
+=>>ABC ∆是其一面积最大的内接三角形. 利用仿射变换x X a y
Y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，椭圆将变为单位圆22'''1,.X Y ABC A B C +=∆→∆
此时'''A B C ∆是内接于单位圆，且具有最大面积，它是等边三角形.
这样可设它的各点的坐标为'''2222(cos ,sin ),(cos(),sin()),(cos(),sin()).3333
A B C ππππθθθθθθ++--于是相应的2222(cos ,sin ),(cos(),sin()),(cos(),sin()).
3333A a b B a b C a b ππππθθθθθθ++-- 利用两点间距离公式算得：
ABC ∆的周长()L θ=
以下为计算方便，记：2222(0,1),2,2(),2().33
a b k a b ππαθβθγθ-=∈==+=-+
则'()()
L L θθ== 这样'()0L θ=即：0
= ① 下面求解满足方程①的所有,θ这是解决前面猜想的至关重要的一步.
记sin A =sin B =
sin C γ=
方程①即：0,A B C ++=这样(
)()0.A B C A ⋅+-=∑∏ 展开来就是：2242,A B A =∑∑将前面的式子代入得到：
222(1cos )sin sin (1cos )k k ααβγ-⋅-∑∏422sin (1cos )(1cos )k k αβγ=--∑ ② 记方程②的左右两边的式子分别为,P Q ，则：
2322222(1cos cos cos cos )(sin sin sin sin cos )P k k k k ααβααβαβγ=-+-⋅-∑∑∑∑∏利用引理（2x θ=）可算得：31cos 0,cos cos ,cos cos6,44
ααβαθ==-=∑∑∏ 2221sin sin (cos()cos())4
a a αβββ=
+--∑∑242121191339(cos 2cos )cos cos 1,432168221616πγγγ=-=-+=-⋅+=∑∑∑∑ 2222sin sin cos (1cos )(1cos )cos αβγαβγ=--∑∑
22cos (cos cos )cos cos cos cos γαβγαβγ=-++⋅∑∑∑∏
23390(cos )cos cos6cos621616
γγθθ=---=∑，
于是23931(1cos6)(1cos6);844
P k k k θθ=--⋅-⋅ 23401234,Q c c k c k c k c k =++++其中409sin ,8
c α==∑ 4412sin (cos cos )2sin cos c αβγαα=-+=∑∑=
223592(1cos )cos 2cos 4cos 2cos cos6,8
αααααθ=-=-+=-∑∑∑∑ 422222223459sin (cos 4cos cos cos )(1cos )(3cos )cos 6,23216
c αββγγααθ=++=--=-+∑∑44392sin cos cos (cos cos )2cos sin cos6,16
c αβγβγααθ=-+==∑∑∏ 42222224sin cos cos (1cos )cos cos c αβγαβγ==-∑∑
22222c o s c o s 2c o s c o s c o s βγααα=-
+⋅∑∑∏∏ 2(
c o s c o s )2c o s c o s βγαα=-⋅∑∑∏2222c o s c o s c o s ααα-+⋅∑∏∏ 299cos 6.1632
θ=- 这样利用,P Q =即222(cos 61)(1)0,(0,1),t t t θ--=∈
2cos 61,(),6
n n Z πθθ==∈代入方程①检验后知道这确是其全部解. 我们不难检验周长函数()L θ具有周期,3T π=故要求其值域，只需考查[0,]3πθ∈ 这一小段就可以了，在这个范围内函数只有一个极值点,6π
θ=
又(0)()3L L π
===
()6L π=(0)L +>
（()(0)6
L L π
>⇔< 这两个值就是最值.
此时取最大值时三顶点坐标为：11,),(,),(0,);22
A b
B b
C b -
取最小值时三顶点坐标为：11(,0),(,),(,),....2222A a B a C a -
--
这样的周长取最值的三角形共有4个，都是等腰的，并且它们的顶点就是椭圆的顶点. （把,0,1,...,11.6
i i πθ==的值全部求一下，也能得到同样的两个值，所对应的三角形也都是等腰的,共4个）笔者把它叙述为如下的结论.
定理：椭圆的具有最大面积的内接三角形中，周长最大、最小的三角形都是等腰的.（各2个）其一个顶点在椭圆的长轴端点时，周长最小; 一个顶点在椭圆的短轴端点时，周长最大.
参考文献：
1．刘培杰主编.
400个最新世界著名最值问题. 哈尔滨工业大学出版社，2008年9月第一版，330.P。