椭圆的内接三角形问题

椭圆的最大面积内接三角形的周长最值问题

（安徽省马鞍山市第二中学当涂分校 孙世宝 邮编：243100）

文献[1]中提出了这样一个猜想：椭圆的具有最大面积的三角形中，周长取最值的三角形一定是等腰的. 笔者的研究表明，这个猜想是正确的. 下文以,∑∏分别表示循环和、循环积. 为了便于后面应用，先给出一个引理.

引理：,x R ∀∈则有如下的一系列恒等式

（1）22cos()cos cos()0;33

x x x ππ-

+++=； （2）22222222223cos ()cos cos ()sin ()sin sin ();33332

x x x x x x ππππ-++-=-++-= （3）333223cos ()cos cos ()cos3;334

x x x x ππ-+++= （4）44444422229cos ()cos cos ()sin ()sin sin ();33338

x x x x x x ππππ-+++=-+++= （5）5552215cos ()cos cos ()cos6;3316

x x x x ππ-+++= （6）66622315cos ()cos cos ()cos6;333216

x x x x ππ-+++=+ （7）221cos()cos cos()cos3;334

x x x x ππ-+= （8）22223cos()cos cos os()cos()cos();33334x x xc x x x ππππ-++++-=- 利用复数或三角恒等变换都能给出上述结论的证明，此处从略.

问题的解答：设椭圆的方程为22

221(0),x y a b a b

+=>>ABC ∆是其一面积最大的内接三角形. 利用仿射变换x X a y

Y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

，椭圆将变为单位圆22'''1,.X Y ABC A B C +=∆→∆

此时'''A B C ∆是内接于单位圆，且具有最大面积，它是等边三角形.

这样可设它的各点的坐标为'''2222(cos ,sin ),(cos(),sin()),(cos(),sin()).3333

A B C ππππθθθθθθ++--于是相应的2222(cos ,sin ),(cos(),sin()),(cos(),sin()).

3333A a b B a b C a b ππππθθθθθθ++-- 利用两点间距离公式算得：

ABC ∆的周长()L θ=

以下为计算方便，记：2222(0,1),2,2(),2().33

a b k a b ππαθβθγθ-=∈==+=-+

则'()()

L L θθ== 这样'()0L θ=即：0

= ① 下面求解满足方程①的所有,θ这是解决前面猜想的至关重要的一步.

记sin A =sin B =

sin C γ=

方程①即：0,A B C ++=这样(

)()0.A B C A ⋅+-=∑∏ 展开来就是：2242,A B A =∑∑将前面的式子代入得到：

222(1cos )sin sin (1cos )k k ααβγ-⋅-∑∏422sin (1cos )(1cos )k k αβγ=--∑ ② 记方程②的左右两边的式子分别为,P Q ，则：

2322222(1cos cos cos cos )(sin sin sin sin cos )P k k k k ααβααβαβγ=-+-⋅-∑∑∑∑∏利用引理（2x θ=）可算得：31cos 0,cos cos ,cos cos6,44

ααβαθ==-=∑∑∏ 2221sin sin (cos()cos())4

a a αβββ=

+--∑∑242121191339(cos 2cos )cos cos 1,432168221616πγγγ=-=-+=-⋅+=∑∑∑∑ 2222sin sin cos (1cos )(1cos )cos αβγαβγ=--∑∑

22cos (cos cos )cos cos cos cos γαβγαβγ=-++⋅∑∑∑∏

23390(cos )cos cos6cos621616

γγθθ=---=∑，

于是23931(1cos6)(1cos6);844

P k k k θθ=--⋅-⋅ 23401234,Q c c k c k c k c k =++++其中409sin ,8

c α==∑ 4412sin (cos cos )2sin cos c αβγαα=-+=∑∑=

223592(1cos )cos 2cos 4cos 2cos cos6,8

αααααθ=-=-+=-∑∑∑∑ 422222223459sin (cos 4cos cos cos )(1cos )(3cos )cos 6,23216

c αββγγααθ=++=--=-+∑∑44392sin cos cos (cos cos )2cos sin cos6,16

c αβγβγααθ=-+==∑∑∏ 42222224sin cos cos (1cos )cos cos c αβγαβγ==-∑∑

22222c o s c o s 2c o s c o s c o s βγααα=-

+⋅∑∑∏∏ 2(

c o s c o s )2c o s c o s βγαα=-⋅∑∑∏2222c o s c o s c o s ααα-+⋅∑∏∏ 299cos 6.1632

θ=- 这样利用,P Q =即222(cos 61)(1)0,(0,1),t t t θ--=∈

2cos 61,(),6

n n Z πθθ==∈代入方程①检验后知道这确是其全部解. 我们不难检验周长函数()L θ具有周期,3T π=故要求其值域，只需考查[0,]3πθ∈ 这一小段就可以了，在这个范围内函数只有一个极值点,6π

θ=

又(0)()3L L π

===

()6L π=(0)L +>

（()(0)6

L L π

>⇔< 这两个值就是最值.

此时取最大值时三顶点坐标为：11,),(,),(0,);22

A b

B b

C b -

取最小值时三顶点坐标为：11(,0),(,),(,),....2222A a B a C a -

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