清华大学微积分A笔记(下)
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球坐标系
体积元
r=R的球面面积元 的圆锥面面积元 的垂直面面积元
向xOy面上投影，
椭球坐标
体积元
对于椭球上的问题，更自然的方法是作换元 ，这样积分会变为单位球 上的问题
常见积分公式
计算方法：
1.化为第一类曲面积分：
2.化为二重积分
其中若S+的定向与x轴正方向成锐角则 ，成钝角则
计算 时，可以使用曲面方程消去 ，然后用平面上的积分方法来求，这样 可以使用记忆的平面的公式化为参数形式
带wedge的二重积分也可以转化成第二类曲面积分来做
3.用Gauss公式转化为三重积分 ，其中S的定向向外，若曲面不闭合，选取面使之闭合
常用：极坐标变换
椭圆极坐标变换
常用：柱坐标变换
球坐标变换
椭球坐标
第一类曲线积分：标量在曲线上不分方向的积分
计算方法：
1.化为定积分
二维下x=x(t), y=y(t),则
2.注意对称性
第一类曲面积分：标量在曲面上不分方向的积分
计算方法：
1.化为二重积分 是曲面 的一个法向量，在S上的面元dS=
如果将S向xOy面上投影， 是S的单位法向量，则 即 ，其中 是法向量与z轴的夹角
比较：
曲线积分换元
二重积分换元
dxdy= =
曲面积分换元
三重积分换元
附录：
常用坐标系
极坐标系
面积元
常用积分限：过原点的圆
过(0,a)且半径为a的圆
r=R的弧元
对于圆周 上的曲线积分，可以套用极坐标换元 ，此时需要重新计算弧元。也可以用三角换元 ，而且平移变换不会改变弧元
柱坐标系
体积元
r=R的柱面面积元
第二类曲线积分：向量在定向曲线上沿切向量的积分
计算方法：
1.化为定积分：
2.化为第一类曲线积分：
3.用Stokes公式转化为第一类曲面积分
3’.二维情况：Green公式
特别地，
4.对于与路径无关的曲线积分可以从1.式中凑积分
凑积Βιβλιοθήκη Baidu公式：
第二类曲面积分：向量在定向曲面上沿法向量的积分（向量场在曲面上的通量）
体积元
r=R的球面面积元 的圆锥面面积元 的垂直面面积元
向xOy面上投影，
椭球坐标
体积元
对于椭球上的问题，更自然的方法是作换元 ，这样积分会变为单位球 上的问题
常见积分公式
计算方法：
1.化为第一类曲面积分：
2.化为二重积分
其中若S+的定向与x轴正方向成锐角则 ，成钝角则
计算 时，可以使用曲面方程消去 ，然后用平面上的积分方法来求，这样 可以使用记忆的平面的公式化为参数形式
带wedge的二重积分也可以转化成第二类曲面积分来做
3.用Gauss公式转化为三重积分 ，其中S的定向向外，若曲面不闭合，选取面使之闭合
常用：极坐标变换
椭圆极坐标变换
常用：柱坐标变换
球坐标变换
椭球坐标
第一类曲线积分：标量在曲线上不分方向的积分
计算方法：
1.化为定积分
二维下x=x(t), y=y(t),则
2.注意对称性
第一类曲面积分：标量在曲面上不分方向的积分
计算方法：
1.化为二重积分 是曲面 的一个法向量，在S上的面元dS=
如果将S向xOy面上投影， 是S的单位法向量，则 即 ，其中 是法向量与z轴的夹角
比较：
曲线积分换元
二重积分换元
dxdy= =
曲面积分换元
三重积分换元
附录：
常用坐标系
极坐标系
面积元
常用积分限：过原点的圆
过(0,a)且半径为a的圆
r=R的弧元
对于圆周 上的曲线积分，可以套用极坐标换元 ，此时需要重新计算弧元。也可以用三角换元 ，而且平移变换不会改变弧元
柱坐标系
体积元
r=R的柱面面积元
第二类曲线积分：向量在定向曲线上沿切向量的积分
计算方法：
1.化为定积分：
2.化为第一类曲线积分：
3.用Stokes公式转化为第一类曲面积分
3’.二维情况：Green公式
特别地，
4.对于与路径无关的曲线积分可以从1.式中凑积分
凑积Βιβλιοθήκη Baidu公式：
第二类曲面积分：向量在定向曲面上沿法向量的积分（向量场在曲面上的通量）