欧几里德《几何原本》与公里化思想
几何原本读书报告
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《几何原本》读书报告
《几何原本》是欧几里得的一部不朽的数学著作，被誉为其后所有科学的基础。
通过阅读这本书，我对几何学有了更深入的理解，同时也对欧几里得的思想和方法有了更深的体会。
首先，我认识到《几何原本》的重要性在于它建立了一个完整的公理化体系。
欧几里得从五个基本的公理出发，推导出了一系列的定理和命题，形成了一个严密的逻辑体系。
这种公理化方法不仅在数学中有着广泛的应用，而且在其他学科中也得到了广泛的应用。
通过学习《几何原本》，我学会了如何运用公理化方法进行推理和证明，这对于我未来的学习和工作都非常重要。
其次，通过阅读《几何原本》，我对几何学有了更深入的理解。
在中学阶段，我们学习了几何学的基础知识，但是这些知识只是几何学中的冰山一角。
《几何原本》不仅介绍了更多的几何知识，而且还阐述了这些知识之间的内在联系。
通过学习《几何原本》，我不仅掌握了更多的几何知识，而且也学会了如何运用这些知识解决实际问题。
最后，我认为阅读《几何原本》对于培养逻辑思维和创造性思维非常有益。
在阅读过程中，我需要不断地进行推理和证明，这有助于提高我的逻辑思维能力和创造性思维能力。
同时，通过阅读《几何原本》，我也学会了如何从已知的知识中探索未知的领域，这对于我未来的学习和工作都非常有帮助。
总之，阅读《几何原本》是一次非常有意义的经历。
通过这次阅读，我不仅掌握了更多的几何知识，而且也学会了如何运用公理化方法进行推理和证明。
我相信这些知识和经验将会对我未来的学习和工作产生积极的影响。
历史上应用公理化方法的最早典范——欧几里得
历史上应用公理化方法的最早典范——欧几里得欧几里得（Euclid，生卒年代不详，活动于约公元前300），古希腊数学家。
他早年求学于雅典城的柏拉图学园，深谙柏拉图学派的哲学和数学成果。
公元前300年左右，他生活在古希腊文化中心亚历山大里亚城，并以授徒的形式从事数学教学工作，产生了相当大的学术影响。
欧几里得著有《几何原本》，这是一部划时代的著作。
他首次用公理化方法将古希腊众多的数学家发现的几何命题组织在一个演绎化的体系之中，堪称历史上使用公理化方法的最早典范。
书中还包括整数论的许多成果。
除此之外，欧几里得还著有《已知数》、《图形剖分》、《二次曲线》和光学、天文学、力学等方面的著作。
撰写《几何原本》的基础和哲学背景欧几里得在几何研究与教学方面的鼎盛时期，是在公元前300年至公元前295年前后。
实际上在这之前300年，古希腊在数学上，特别是在几何学方面，已经取得了相当辉煌的成果，积累了大量的几何知识，形成了将科学理论公理化的思想。
早在公元前580年左右，哲学家泰勒斯就掌握了一些关于相似三角形的知识，并用此计算过船舶离海岸的距离。
他还首次对若干数学命题进行过理论证明。
从公元前580年至公元前400年，哲学上的毕达哥拉斯学派对自然数、分数和不可公度比有过许多研究，对三角形、平行线、多边形、圆、球和正多面体也有相当的研究，并得出了一些定理，特别是关于直角三角形的毕达哥拉斯定理。
这个时期的埃利亚学派的芝诺提出了4个著名的悖论，即“两分法悖论”、“神行太保与乌龟赛跑悖论”、“飞矢不动悖论”和“游行队伍悖论”，迫使哲学家和数学家思考“无限”的问题。
原子论学派的德谟克利特大约在公元前410年，用原子法得出“锥体体积是同底等高柱体的1／3”的结论。
雅典的巧辩学派的一些学者则致力于3个著名的作图问题，即“化圆为方”、“倍立方”和“三等分任意角”，虽然这些问题本身没有得到解决，但却得到了一些副产品，如把月牙图形化成等面积的直边图形，用边数不断增加的内接多边形来接近圆面积的结论，等等。
读书心得——从欧几里得《几何原本》谈公理化思想
读书心得——从欧几里得《几何原本》谈公理化思想最早的几何学兴起于公元前7世纪的古埃及，后经古希腊人传到了希腊的都城——雅典.那时人们已经积累了许多几何学的知识.这些知识很多都是零星的、碎片式的，缺少彼此之间的联系和系统性.古希腊哲学家、思想家柏拉图(前427—前347)在经历了十二年避风式的周游后回到雅典，于圣城阿卡德谟创立了他个人讲学的园地——阿卡德谟创学园.柏拉图在这里开始教演讲术，著书立说.柏拉图提倡孩子们首先要接受完备的体育训练，但是音乐、数学以及其他学科也要重视.学习几何被认为是寻求真理的最有效的途径.柏拉图甚至声称：“上帝就是几何学家”.越来越多的希腊市民向往进入学园学习，也就越来越喜欢几何.在学园里，师生之间的教学活动完全通过对话形式进行.这种问答、质疑、讨论的对话互动过程，最能激发人们的想象，培养抽象思维、逻辑思维的能力.对话过程中的思维是最活跃的，而思维是智力的核心.因此学园培养的学生都具有超强的抽象思维能力.欧几里得(前330—前275)就是在这个时期出生于雅典，古希腊文明中心浓郁的数学文化气氛深深地感染了他，在他十几岁时，就迫不及待地进入了“柏拉图学园”.在这里，欧几里得翻阅了柏拉图的所有著作和手稿，研究柏拉图的学术思想和数学理论.欧几里得认为进行“智慧训练”就应该从以图形为主要研究对象的几何学开始，因此，他给自己确定的主要目标就是几何研究，逐步建立起完整、科学的几何体系.几何学所涉及的对象既与生活中的实物有关，又不完全等同于这些具体的实物.比如圆形、三角形、矩形等平面图形；球、圆柱、椎体、长方体等立体图形.现实生活中很少见到标准而且规范的图形，现实的实物应该是形似或神似的几何图形.因而几何图形是既普通又抽象的概念.每个平面图形的线、角、面等之间的关系；立体图形各个方位之间的关系；各个图形之间的关系都是深深吸引欧几里得的地方.1 《几何原本》的公理化思想欧几里得当时面临着两方面的问题，一方面，随着古希腊社会经济的繁荣和发展，特别是农林畜牧业的发展，土地的开发和利用日益增多，地形、地貌的研究需要广泛地应用几何学的知识.另一方面，前人积累了四百多年的几何知识，研究成果浩如烟海，随着探究的深入就会发现这些理论多是些海量又无序的片断.欧几里得意识到，如何把前人们留下的几何碎片知识进行梳理、论证和甄别，去伪存真，扬长避短，使这些几何学知识条理化和系统化，成为一整套可以自圆其说、前后贯通的知识体系，是完成既定目标的关键.欧几里得的伟大贡献，在于使这些远古的数学思想与他个人的智慧完美结合起来，创立了欧几里得几何学体系.具体体现在他对《几何原本》的编排和大纲的制订，也就是公理化体系的建立.欧几里得的公理化思想的脉络是这样的：所有几何学的众多定理和结论都是建立在一些已知的结论基础上，经过严密的逻辑推理、演绎出来的.而这些已知的结论又是靠更基础的结论作基础，推理、演绎出来.也就是说每个定理和结论在通过一层层的推理过程中，都需要一个或几个最基础的理论作为理论支撑，这些最基础的结论显而易见、又无需证明.欧几里得把这些最基础的结论称作公理(适于数学的各学科)或公设(适于几何学).[4]按照这样的结构体系，欧几里德在《几何原本》卷首提出了五条公理、五条公设，并在各卷开头给出了一些定义(共二十三个).然后根据这些公理、公设、定义用严格的逻辑推论方法推导出了多达四百六十五个命题，把它们分门别类地组成了全文一十三卷，各卷的开头部分基本上都是从几何图形开始.纵观欧几里得在《几何原本》的编排过程，其公理化系统之严谨，逻辑推理之严密，令人叹为观止.《几何原本》在卷首列出的五个公理为：(1)等于同量的量彼此相等.即：如果A=C，B=C.则A=B；(2)等量加等量，其和相等.即：如果A=B，C=D.则A+C=B+D；(3)等量减等量，其差相等.即：如果A=B，C=D.则A-C=B-D；(4)彼此能重合的物体是相等的，如图1；(5)整体大于部分，如图2.图1 彼此能重合的物体是相等的五个公设为：(1)由任意点到任意另一点可作直线；(2)一条有限直线可以继续延长；(3)以任意点为圆心及任意距离为半径可以画圆；(4)凡直角都相等，如图3；(5)平面内一条直线与另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，那么这两条直线无限延长后，在这一侧一定相交.如图4(∠1+∠2<180°).这些公理、公设是初等数学的基础.可以说《几何原本》是两千多年来传播初等数学、几何知识的标准教科书.图2 整体大于部分图3 凡直角都相等图4 两条直线无限延长后，在这一侧一定相交2 我国几何学的公理化体系《几何原本》不仅仅包括几何学知识，甚至包括初等数学的全部内容以及高等数学极限概念的雏形.内容涉及代数、数论、平面几何和立体几何的各个领域.《几何原本》第一卷讲直线形，包括点、线、面、角的概念，三角形、两条直线的平行与垂直、勾股定理等.我们七年级几何学的就是三角形知识，两条直线的平行与相交.《几何原本》第二卷讲代数恒等式，如二项和的平方、黄金分割等.我们七年级代数知识的数、式的运算就是这一卷的内容.《几何原本》第三卷讲圆、弦、切线等与圆有关的图形.第四卷讲圆的内接、外切三角形、外接正方形、正多边形.我们八年级几何学的关于圆、圆的切线、圆与圆的位置关系、圆的内接、外切三角形等等就是这两卷的内容.《几何原本》第五卷讲比例论，第六卷将比例论应用于平面图形，研究相似多边形.我们八年级几何学是以相似三角形为主的相似图形，九年级几何是以四边形为主要内容的多边形知识[5].以上我们把《几何原本》的基本内容与我国现阶段的初等数学内容作对比，就能发现我国初中阶段(七年级至九年级)数学知识主要取材于《几何原本》的前六卷.我国高中阶段的数学内容，则取材于《几何原本》后面几卷.不仅仅在数学课程上完全是《几何原本》的内容，我们数学的理论体系也完全是欧几里得《几何原本》的公理化体系[5].我们高中阶段的立体几何[6]，开宗明义的讲是建立在四个公理以及三个推论基础上.如著名的公理3：“经过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面”.不仅是确定一个平面的依据，是判定若干个点共面的依据；而且利用此公理还可以得到三个重要推论，每一个推论都具有不亚于公理的价值.如推论1：“经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面”.成为判定若干条直线共面的依据；判断若干个平面重合的依据；判断几何图形是平面图形的依据.就这样，建立在公理(以及推论)基础上的判定定理、性质定理，构建起了立体几何的雄伟大厦.3 结论欧几里得《几何原本》对人们逻辑思维的锻炼，超过了亚里士多德的任何一篇逻辑论文，是严谨的逻辑推理体系的杰作.《几何原本》的公理化体系，也带动了现代科学的崛起，因为现代科学一部分是经验论和和实验法相结合的产物，另一部分是认真分析和逻辑演绎相结合的产物[7].《几何原本》的公理化体系，成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范.这种公理法建立演绎体系的方法，在后来的二千多年间成为建立任何知识体系的严格方式，人们不仅应用于数学学科，也应用于其他科学领域，甚至应用于神学、哲学和伦理学，对后世产生了深远的影响.同时我们也能发现，有些公设的表述不够精准，比如公设3“有限直线”的提法就是错误的，因为直线是无限的.吸收与扬弃并举，传承与创新并重.数学在进步，科学在进步，《几何原本》也在完善.。
欧几里德和《几何原本》
欧几里得 古希腊数学家，以其所
著旳《几何原本》（简称《原本》） 闻名于世．欧几里得将公元前7世纪以 来希腊几何积累起来旳既丰富又纷纭 庞杂旳成果整顿在一种严密统一旳体 系中，从最原始旳定义开始，列出5条 公理和5条公设为基础．经过逻辑推理， 演绎出一系列定理和推论，从而建立 了被称为欧几里得几何旳第一种公理 化旳数学体系．
欧几里德诞生旳重大意义
欧几里德《几何原本》旳诞生在几何学发展旳历史中具 有主要意义。它标志着几何学已成为一种有着比较严密 旳理论系统和科学措施旳学科。
因为欧氏几何具有鲜明旳直观性和有着严密旳逻辑 演绎措施相结合旳特点，在长久旳实践中表白，它已成 为培养、提升青、少年逻辑思维能力旳好教材。历史上 不知有多少科学家从学习几何中得到益处，从而作出了 伟大旳贡献。
再如欧几里德提出了5个公理和5个公设： 公理1 与同一件东西相等旳某些东西，它们彼此也是相等旳。 公理2 等量加等量，总量仍相等。 公理3 等量减等量，余量仍相等。 公理4 彼此重叠旳东西彼此是相等旳。 公理5 整体不小于部分。 公设1 从任意旳一种点到另外一种点作一条直线是可能旳。 公设2 把有限旳直线不断循直线延长是可能旳。 公设3 以任一点为圆心和任一距离为半径作一圆是可能旳。 公设4 全部旳直角都相等。 公设5 假如一直线与两线相交，且同侧所交两内角之和不不
欧几里德也反对那种急功近利旳
狭隘实用观点。据说有一次一位 刚开始学几何旳年轻后生，在第 一道命题开讲时，他就提出来： “老师，学了几何有什么用，能 得到什么好处？”欧几里德立即 对身边旳人说：“给他3个钱币， 因为他想在学习中得到实利。” 欧几里德这句话旳意思是：追求 知识旳目旳不应该是取得钱财旳 实利，而应该是追求知识本身。
简述欧几里德《几何原本》与公理化思想
简述欧几里德《几何原本》与公理化思想摘要：古希腊大数学家欧几里得是与他的巨著——《几何原本》一起名垂千古的。
该巨著产生的历史背景、主要内容以及所包含的公理化思想促进了几何学的发展，对数学的发展也有着重大的影响。
关键词：欧几里得；几何原本；公理化思想一、欧几里得“几何无王者之道”，说出这句话的人正是古希腊数学家欧几里得(公元前330~公元前275)，他是古希腊最负盛名、最有影响的数学家之一，他也是亚历山大里亚学派的成员。
他是论证几何的集大成者，关于他的生平我们了解的甚少，根据有限的记载推断，欧几里得早年就学于雅典，在公元前300年左右，应托勒密王的邀请到亚历山大城教学。
他写过不少数学、天文、光学和音乐方面的著作，现存的有《原本》(Elements)、《数据》(Data)、《论剖分》(On Divisions)、《现象》(Phenomena)、《光学》(Optic)和《镜面反射》(Catoptrical)等，在这些著作当中，最著名的莫过于《原本》了，根据早期的翻译, 我们也称之为《几何原本》。
当时雅典就是古希腊文明的中心。
浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得，当他还是个十几岁的少年时，就迫不及待地想进入“柏拉图学园”学习。
“柏拉图学园”是柏拉图40岁时创办的一所以讲授数学为主要内容的学校。
在学园里，师生之间的教学完全通过对话的形式进行，因此要求学生具有高度的抽象思维能力。
数学，尤其是几何学，所涉及对象就是普遍而抽象的东西。
它们同生活中的实物有关，但是又不来自于这些具体的事物，因此学习几何被认为是寻求真理的最有效的途径.柏拉图甚至声称：“上帝就是几何学家。
”遂一观点不仅成为学园的主导思想，而且也为越来越多的希腊民众所接受。
人们都逐渐地喜欢上了数学，欧几里德也不例外。
他在有幸进入学园之后，便全身心地沉潜在数学王国里。
他潜心求索，以继承柏拉图的学术为奋斗目标，除此之外，他哪儿也不去，什么也不干，熬夜翻阅和研究了柏拉图的所有著作和手稿，可以说，连柏拉图的亲传弟子也没有谁能像他那样熟悉柏拉图的学术思想、数学理论。
数学发展史中的几次重大思想方法的突破
数学发展史中的几次重大思想方法的突破首先，公理化方法是数学发展史中一次重要的思想方法的突破。
在古希腊数学中，几何学以欧几里德的《几何原本》为代表，第一次使用公理化方法来建立数学理论体系。
公理化方法是基于一系列不需要证明但被普遍接受的基本命题（公理）来建立数学理论。
这种方法赋予了数学以逻辑和严谨性，成为后来数学发展的基石。
其次，演绎推理是另一个重大的思想方法的突破。
亚里士多德是演绎推理的先驱者，他系统地阐述了逻辑学和演绎推理的原理。
演绎推理是通过采用一套准则和规则，从已知的命题出发，以无可争辩的方式推出新的结论。
这一思想方法的突破加深了数学证明的严谨性和逻辑性，并为后来符号逻辑和集合论的发展奠定了基础。
第三，无限元素和无穷极限的概念的引入是数学史中的重大突破。
在古希腊数学中，人们主要关注有限的几何图形和数量，直到十七世纪才发展出对无限的概念。
这个突破是由数学家如托勒密、阿基米德和爱因斯坦的贡献推动的。
无限元素和无穷极限的概念赋予了数学一种新的动力和可能性，使得数学能够处理更为复杂的问题，并在微积分的发展中发挥了重要作用。
最后，抽象代数的发展也是一次重要的思想方法的突破。
抽象代数通过研究代数结构中的一般性质和规律，摆脱了具体的数值和几何直观，深化了对数学结构本质的理解。
这一突破由数学家如埃瓦里斯特·加罗华、诺特·亨德里克·阿贝尔和埃米尔·诺特贝克推动，对现代数学的发展起到了关键的作用，例如群论和环论等数学分支。
这些重大思想方法的突破不仅创造了数学的新领域和方法，也为科学和技术的发展提供了坚实的基础。
它们推动了数学从实用主义的学科向一门更为抽象和理论的学科的转变，使得数学的研究更加深入、广泛和严谨。
无论是公理化方法、演绎推理、无限元素和无穷极限，还是抽象代数的突破，它们都是数学史上的重要里程碑，对数学的发展产生了深远的影响。
欧几里得《几何原本》的公理化思想及其发展
欧几里得《几何原本》的公理化思想及其发展欧几里得《几何原本》被广泛认为是集基础知识于一身的几何学经典之作。
作为古希腊几何学的奠基者之一，欧几里得在《几何原本》中使用了公理化的思想，以旨在建立一个严密而完整的几何学体系。
本文将探讨欧几里得的公理化思想以及其对后来几何学发展的影响。
首先，欧几里得选择了五个公理作为他的起点。
这些公理是《几何原本》中最基本的几何原理，无需证明即被接受为真理。
这些公理包括：1.任意两点之间都存在一条直线段；2.任意线段都可以通过其两端的点延长；3.对于任意直线段AB和点C，可以通过C作线段AB两侧的等角；4.通过一点可以作直线的唯一垂线；5.通过一点可以作出一条唯一的与直线平行的直线。
这些公理被广泛接受，因为它们直观而具有直观的真理性，不需要过多的论证和证明。
公理化的思想使得几何学具有更为严密的逻辑基础，建立了几何学的基本原则，并使得几何学从一个实用技能发展为一门严格的科学。
在公理化的基础上，欧几里得系统地推导了各种几何结论。
他使用了公理和定义来补充他的推理过程，并给出了一系列严格的证明。
这些推理包括各类三角形的性质、圆的性质、立体的性质等等，形成了《几何原本》这部作品的核心内容。
欧几里得的公理化思想对几何学的发展产生了深远的影响。
通过公理化，几何学从一个基于经验的实践学科逐渐演变为一门正式的科学。
公理化的思想为后来的数学家和哲学家提供了一个范例，使他们能够将同样的思想应用于其他领域的学科中。
公理化的思想也为后来的几何学家提供了发展的空间。
欧几里得的五个公理并非是唯一的公理化系统。
在后来的19世纪，非欧几何学的出现挑战了欧几里得的公理系统。
例如，高斯提出的曲率几何学中的几何公理与欧几里得的公理不同，为非欧几何学的发展奠定了基础。
欧几里得的公理化思想促进了几何学和数学思想的发展。
公理化思想成为数学和科学中的一种普遍方法，它要求从明确的前提（公理）开始，并使用逻辑推理进行推导和论证。
【课程】数学史与数学文化_专题二欧几里得《几何原本》与公理化思想
【课程】数学史与数学文化_专题二欧几里得《几何原本》与公理化思想教学目标与教学指导：数学的内容可以粗略地分为代数与几何两大部门。
代数是关于数量关系及数量形式的学问，而几何是关于空间形式的学问，最初主要研究空间的度量、形体关系以至形式演绎。
在数学教学中，几何与代数具有同等重要的地位。
希望学员通过本专题的学习，了解欧几里得对数学发展的贡献及《几何原本》的主要内容，理解公理化思想的内涵，并将其灵活运用于对教学的指导一、几何学的起源与代数学的起源一样，几何学的起源也十分久远，它产生于早期人类的社会实践，从人类对实物形状的认识开始。
而促进几何学产生的直接原因与土地测量及天文活动有关。
在古埃及，由于尼罗河每年泛滥一次，每次泛滥，洪水会淹没两岸的土地，一旦洪水退却，需要重新测量土地。
因此便逐渐产生了关于几何形体的概念、性质及其度量方面的知识。
今天的“几何”（Geometry）一词，源于希腊语，本意是指测量术，明末中国学者徐光启译之为“几何”，我们一直沿用至今。
早期文明中的几何学内容基本都是与几何形体的度量计算以及测量有关。
埃及数学文献“莫斯科纸草书”与“兰德纸草书”中计有110个数学问题，其中有26个属于几何问题，重要是计算土地面积、谷物体积等公式。
由此可见，埃及人当时已掌握了圆周长、面积的近似公式，还知道三角形、圆柱体的求积公式。
这些知识也在其它古老文明中出现，巴比伦人在公元前2000年—前1600年，已熟悉计算长方形、直角三角形、等腰三角形的面积，以及一些形体的体积，还掌握了勾股定理的特殊情况。
中国秦汉以前的几何学内容，没有留下文字性材料，详细情况不得而知，但从西汉成书的《九章算术》，以及农业社会的社会形态上看，这些几何知识也相当发达。
二、欧几里得与《几何原本》提起数学里的平面几何与立体几何一般人都知道，但若问这些理论是由谁首先系统建立起来的，恐怕就有许多人不知道了。
这个人就是生活在2000多年以前的古希腊数学家欧几里得。
欧几里得几何学的公理体系
欧几里得几何学的公理体系.欧几里得几何（Euclid geometry）起源于古埃及，当尼罗河泛滥后，为了重新整理土地而需要进行丈量. 因此他们用geometry一词，其原意就是“丈量土地”. 自此就开始了对图形的研究. Euclid《原本》把直到古希腊时代为止的这些知识综合整理出来，而成为一个逻辑体系. 由于这个《原本》中包含了图形的知识、实数理论的原型、数论等，而直接研究图形的部分最多，因此，中文译本将书名译成为《几何原本》. （“几何”来自“geo”的音译）几何学是数学科学中关于图形的数学分支. 在这一阶段，几何学就意味着数学的全部，古代数学家把萌芽中的代数学也包括在几何学中.“数”与“形”的结合，是17世纪开始的，由于代数学、分析学的发展，并形成了几何学、代数学、分析学等独立的数学分支，数学家R.Descartes首先建立了解析几何学，他利用坐标系，将图形问题转化为数量之间的问题，并用代数的计算方法来处理几何问题.于是，相对于解析几何学来说，不用坐标而直接研究图形的几何学，称之为纯粹几何学. 纯粹几何学的进一步发展，就是射影几何学.十九世纪出现了罗巴杰夫斯基几何，这种几何否定了欧几里得几何中的平行线公理.在n维向量空间建立后，几何体系就综合成了n维欧几里得几何、n维射影几何、n维非欧几何.把几何学用“群”的观点统一起来加以论述，也就是“埃尔兰根纲领（Erlangen program, 1872）”，德国数学家F.Klein的一篇不朽论文）：每种几何学视为由一个点集组成的“空间”，以及“由到的变换群”所确定的，研究的子集（图形）性质中对于来说不变的性质，这就是几何学.在埃尔兰根纲领距今已近140年的今天，几何学的发展日新月异，微分几何学及其发展Riemann几何学、代数几何学，在20世纪取得辉煌的成就，举世瞩目.欧几里得几何学：以平行公理为基础的几何学，其公理体系的核心是：“第五共设”两条直线与第三条直线相交，在第三条直线一侧的两个角（同旁内角）之和小于两直角时，此两条直线必在此侧相交.它等价于过不在直线L上的点P且平行于L的直线有且仅有一条.最初，几何学的研究对象是图形，首先要用到空间的直观性. 但是，直观性有时缺乏客观性，必须明确规定公理、定义，排出直观，建立纯粹的、合乎逻辑的几何学思想.《几何原本》已经从事建立公理、定义的工作，但毕竟距今太远，缺陷很多，公理也不完备. 19世纪后半叶，D.Hilbert（就是在1900年世界数学家大会上提出著名的Hilbert的23问题的著名数学家，这23个问题推动了20世纪数学的快速发展）公理体系形成了，它是包含了欧几里得几何公理的、更加完善的几何公理体系.欧几里得《几何原本》的简单介绍——全书共13卷，除第5、7、8、9、10中讲述比例和算术理论外，其余各卷都是关于几何内容的.第1卷：平行线、三角形、平行四边形的有关定理；第2卷：毕达哥拉斯定理及其应用；第3卷：关于圆的定理；第4卷：圆的内接与外切多边形定理；第6卷：相似理论；第11、12、13卷：立体几何.《几何原本》是一个数学知识的逻辑体系，结构是由定义、共设、公理、定理组成的演绎推论系统.开始给出了23个定义. 前6个定义是：（1）点没有大小；（2）线有长度没有宽度；（3）线的界是点；（4）直线上的点是同样放置的；（5）面只有长度没有宽度；（6）面的界是线.其次是5个共设：（1）从任一点到另一点可以引一直线；（2）有限直线可以无限延长；（3）以任意点为圆心，可用任意半径作圆；（4）所有直角都相等；（5）若两条直线与另一条直线相交，所成的同旁内角之和小于二直角，则此两直线必在这一侧相交.然后是5个公理：（1）等于同量的量相等；（2）等量加等量其和相等；（3）等量减等量其差相等；（4）可重合的图形全等；（5）全体大于部分.公理之后是一些重要的命题.要强调两点——1、“第五共设”等价于“平行公理”：2、欧几里得的《几何原本》有许多缺点，例如几何逻辑结构还很不严谨；对一些定义叙述不够清晰、甚至含混不清；共设、公理还很不够，以至于很多定理的证明要靠几何直观，等等. 然而，从辩证唯物主义的观点来看，它仍然是一部不朽的著作.19世纪末，德国数学家D.Hilbert于1899年发表了著名的《几何基础》，成功地建立了欧几里得几何的完整的公理体系，称为著名的Hilbert公理体系.希尔伯特的五组公理包含：结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理. 由此五组公理，可以推出欧几里得几何中的所有定理，与欧几里得几何的全部内容，因而使得欧氏几何成为一个逻辑结构非常完善而严谨的几何体系.希尔伯特《几何基础》的简单介绍——希尔伯特公理体系：一、结合公理 （incidence axioms ）——结合性叙述了点、线、面位置关系，叙述为 “在上”或“通过”. （1） 对于两点A 、B ，存在通过A 、B 的直线L ； （2） 当两点A 、B 不相同时，通过此两点的直线L 是唯一的；（3） 每条直线上至少有两个点；至少存在三个点不在同一条直线上；（4） 对于不在同一条直线上的三点A 、B 、C ，存在通过这三点的唯一的一个平面π； （5） 每个平面上至少有一个点；（6） 若直线L 上有两点在平面π上，则直线L 上的每一点都在平面π上； （7） 若两平面1π、2π通过一点A ，则它们必通过 另一点B ；（8） 至少存在4个点不在同一个平面上.二、顺序公理（order axioms ）顺序性确定了几何元素的顺序关系，叙述为 “在之间”. （1） 若A 、B 、C 在同一直线L 上，且“点B 在A 与C 之间”，则“B 在C 与A 之间”； （2） 对于不同的两点A 、C ，在通过它们的直线L上至少存在一点B L ∈，使得C 在A 与B 之间；（3） 对于在一条直线上L 的三点A 、B 、C 中，至多有一点在另两点之间；（亦即，若B 在A 、C 之间，则A 不可能在B 、C 之间；由以上三条，由此得到： ① 在直线L 上的点可以赋予线性的序；② 在直线L 上，可以定义线段，以A 、B 为端点的线段记为AB 或BA ；定义线段AB的内部，外部） （4） 设A 、B 、C 是不在同一直线上的三点， π是 通过三点的平面，也记为ABC ，L 是平面ABC 上的直线，但不通过A 、B 、C 中的任何一点. 若直线L 通过线段AB 上的点，则L 或通过线 段AB 上的一点，或通过线段BC 上的一点；（Pasch ，帕施公理）.B • LC •A • L三、合同公理（congruence axioms ）合同性确定了线段或角的合同关系，叙述为“合同于”或“等于”. （1） 如果两点A 、B 在直线L 上，点'A 在同一条或另一条直线'L 上，则直线'L 上的点'A 的一侧存在点'B ，使得线段''A B “合同”于AB ， 记为''A B AB ≡；A •B •'L L（2） 线段的合同关系是一个等价关系；AB BA ≡；''A B AB ≡ ⇒ ''AB A B ≡；''A B AB ≡、''''A B AB ≡ ⇒ ''''''A B A B ≡；（3） 设AB 、BC 是直线L 上的两线段，没有公共内点，又设''A B 、''B C 是直线'L （'L 与L 可同， 或不同）上的两线段，也没有公共内点. 若''AB A B ≡、''BC B C ≡，则''AC A C ≡；（4） 设平面π上有一个角(),h k ∠，又在平面'π（'π 与π可同，或不同）上有一条直线''L π⊂，并且指定了平面'π被直线'L 分为两侧. 取直线'L 上的一点''O L ∈，并从'O 出发、在直线'L 上引射线'h ，则在平面'π的该侧上，有且仅有一 条射线'k ，使得角()','h k ∠合同与角(),h k ∠， 记为 ()()',',h k h k ∠≡∠；（5） 角的合同关系也是等价关系. 【注】 角的定义：设平面π上通过同一点O 的 两不同直线为1L 、2L . 由点O 出发，分别在1L 与2L 上引两条射线，记为k 、h .B •’ A •’A •h 1L (),h k ∠O k2L将这一对射线的所决定的集合称为平面π上的角，记 为(),h k ∠或(),k h ∠；若A 、B 分别为射线h 与射线k 上的点，也记此角为AOB ∠. O 称为角(),h k ∠的顶点；射线h 、k 称 为角(),h k ∠的边.角的合同关系用几何语言叙述为： ① 设(),h k ∠是平面π上的角，1L 是平面1π上的直线（π与1π可同、可不同）；过1L 上的一点1O ， 作1L 上一射线1h . 则在1π上必存在过1O 的唯一一条射线1k ，使得 ()()',',h k h k ∠≡∠.1O • 1k(),h k ∠ ()','h k ∠1h1L② 角的合同关系是一个等价关系；③ 设A 、B 、C 与1A 、1B 、1C 分别为不在一直线上的三点，如果有B •11AB A B ≡、11AC A C ≡、111BAC B AC ∠=∠，则必有111ABC A B C ∠=∠.四、平行公理（parallel axioms ）平行公理确定了直线的平行关系，叙述为 “平行于”. 对于任意直线L 与不在L 上的一点A ，则在L 与A 确定的平面π上，有且仅有一条直线'L 通过点A 且不与直线L 相交.五、连续公理（continuity axioms ）（1） 对于任意两线段AB 、CD ，在通过线段AB 的直线L 上，存在有限多个点1A 、2A 、、 n A ，使得1AA 、12A A 、、1n n A A -都合同于线段DC ， 1121n n CD AA A A A A -====， 并且使得“B 在A 与n A 之间”（阿基米德公理（Archimedes ）；或称直线的连续性公理）；（2） 一直线L 上的点的集合，在保持结合公理的（2），顺序公理的（2），合同公理的（1）-（5）与连续公理的（1）的条件下，不可能再扩充 ；（直线的完备性公理）.由Hilbert 建立的五个公理体系可以推得欧几里得几何的全部内容.平行公理是欧几里得几何的“灵魂”，若将其余4个公理保留，将平行公理改为罗巴切夫斯基公理，就可推出罗巴切夫斯基几何的全部内容.数学科学中，允许同时成立两个对立的公理体系，而且这种对立的体系具有同样的真理性.仿射几何 ——（一） n 维仿射空间：设X 是一个n 维线性空间，A 是一个集合，A 中的元素称为“点”，如果A 中的两点P 、Q 对应于X 中的唯一的向量PQ ，满足：（1） PP 等于X 中的零向量；（2） 任给A 中一点P ，任给X 中的向量a ，则在A 中存在唯一的点Q ，使得PQ a =；（3） 对于A 中的三点P 、Q 、R ，有等式PR PQ QR =+；则称A 为一个n 维仿射空间；特别地，1n =时，称A 为仿射直线；2n =时，称A 为仿射平面；3n =时，称A 为仿射空间. 也把仿射空间中的元称为向量.仿射直线、仿射平面、仿射空间的实际例子：对于一维、二维、三维欧氏空间，若不使用欧氏距离，仅仅视为集合，则它们分别是一维仿射直线、二维仿射平面、三维仿射空间.（二） 仿射几何学： 主要研究仿射空间中的图形在仿射变换下不变的几何性质. 如共线性、平行性、单比，等.三维仿射空间中A 的仿射坐标系： 设1e 、2e 、3e 是三维仿射空间A 中三个不共面的向量，称它们为A 中的一组基. 可以证明，空间A 中的任意向量m A ∈，可用基1e 、2e 、3e 表示123m x e y e z e =++，把有序实数(),,x y z 称为向量m 的仿射坐标. 空间A 中的一个点O 与一组基{}123,,e e e ，合在一起{}123;,,O e e e 称为空间的一个仿射坐标系 （也称为仿射标架）. 也常用记号123OM m x e y e z e ==++.仿射坐标系中的1e 、2e 、3e 只需不共面，不必相互垂直. 若两两互相垂直，则仿射坐标系就是直角坐标系.仿射变换： 设仿射空间A 中有两组仿射坐标系{}123:;,,I O e e e 、{}123:';',','II O e e e ，点'O 在仿射坐标系{}123:;,,I O e e e 中的坐标为()000,,x y z ，'j e 在{}123:;,,I O e e e 中的坐标为 ()123,,,1,2,3j j j a a a j =， ① {}123:;,,I O e e e 到{}123:';',','II O e e e 的点的仿射坐标变换公式： 设点P A ∈在I 、II 中的坐标分别为(),,x y z 、()',','x y z ， 则111213021222303132330'''x a a a x x y a a a y y z a a a z z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ② {}123:;,,I O e e e 到{}123:';',','II O e e e 的向量的仿射坐标变换公式： 设向量OM 在I 、II 中的坐标分别为()123,,u u u 、 ()123',','u u u ，则111121312212223233132333'''u a a a u u a a a u u a a a u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.射影几何 ——（一） 射影平面、射影空间在仿射平面、仿射空间中，引进无穷远点，则称 它们为扩大了的仿射平面、扩大了的仿射空间.欧几里得几何学的公理体系在扩大了的射影平面、射影空间中，若将原有的点与引进的无穷远点不加区别，得到的平面、空间就称为射影平面、射影空间.在射影空间中，任意两条直线必定相交（平行直线相交于无穷远点）、任意两个平面必定相交（平行平面相交于无穷远直线）、任意直线与平面必定相交（平行于平面的直线与平面相交于一个无穷远点）.（二）射影几何学在定义齐次坐标、射影坐标、射影变换之后，就可以讨论射影空间中图形在射影变换下不变的性质了.平行公理是欧几里得几何的“灵魂”，若将其余4个公理保留，将“欧几里得平行公理”改为“罗巴切夫斯基公理”，就可推出罗巴切夫斯基几何的全部内容.数学科学中，允许同时成立两个对立的公理体系，而且这种对立的体系具有同样的真理性.11 / 1111。
数学史论文参考题目
小论文参考题目1、非10进制记数的利和弊。
2、数的概念的发展与人类认识能力提高的关系。
3、比较古代埃及人和古代巴比伦人解方程的方法，探讨他们各自对后来的数学发展的启迪作用。
4、为什么毕达哥拉斯学派关于不可公度量的发现会在数学中产生危机？5、欧几里得《原本》中的代数。
6、欧几里德《几何原本》与公理化思想；7、在几何学中有没有“王者之路”。
8、无所不在的斐波那契数列。
9、文艺复兴时期数学发展的重要因素。
10、达•芬奇与数学。
11、十进制小数的历史。
12、圆周率的历史作用。
13、“圆”中的数学文化。
14、明代中国商业算术处于突出地位的原因。
15、近代中国数学落后的原因。
16、芝诺悖论与微积分的关系。
17、未解决的问题在数学中的重要性。
17、黄金分割引出的数学问题。
18、试论数学悖论对数学发展的影响。
19、第一次数学危机及其克服。
20、第二次数学危机及其克服。
21、第三次数学危机及其克服。
22、数学对当代社会文化的影响。
23、试论数学的发展对人类社会的进步的推动作用。
24、从历史观看数学。
25、数学符号的价值。
26、谈对数学本质的认识。
27、试论数学科学的价值。
28、函数概念的发展。
29、空间概念的发展。
30、曲线概念的发展。
31、数学对天文学的推动。
32、数学中无穷思想的发展。
33、数学中的美。
34、音乐中的数学。
35、艺术中的数学。
36、浅谈数学语言的特点。
37、论数学的抽象性。
38、关于数学的严谨性。
39、关于数学的真理性。
40、数学家的不幸。
41、数学家的幸运。
42、从数学史中扩展的数学知识。
43、从程大位的《算法统宗》“首篇”河图、洛书等看《易经》与珠算之联44、梵语的盛行——十进制的发明之谜45、中国古代数学发展缓慢的启示46、从矩阵的萌芽论中国传统数学的文化底蕴47、《九章算术》刘徽注中的算法分析工作与算法分析思想48、《费马大定理》读后感49、黎曼猜想浅谈50、再论《巧排九方》——一个传统的数字推理趣题之详解及其推广51．、数学史上的三次危机52、笛卡儿解析几何思想的文化内涵53、理性数学的哲学起源54、中国数学教育史研究进展15 九宫填数李建才科技导报2007/1616 一个关于“疯子”的故事施遐航天工业管理2007/0917 从殷墟甲骨看中国珠算的起源苏芬珠算与珠心算2007/0318 尊重原始文献避免以讹传讹郭书春自然科学史研究2007/0319 从《算数书》盈不足问题看上古时代的盈不足方法邹大海自然科学史研究2007/0320 利玛窦与西方数学的传播曾峥韶关学院学报2007/06附录2、1900年前数学大事年表附录3、现存算学典籍概述（冯立升整理）:9080/mathdl/htm/jianshi/dianji.htm数学是中国古代形成体系的四大学科之一，不但源远流长，而且成就辉煌。
席泽宗：欧几里得《几何原本》的中译及其意义
席泽宗：欧几里得《几何原本》的中译及其意义欧几里得《几何原本》的中译及其意义《科学文化评论》第5卷第2期(2008)席泽宗中国科学院自然科学史研究所研究员，中国科学院院士。
一，“爱因斯坦的片面论断”关于欧几里得几何学与中国的关系，1953年爱因斯坦在给美国加州斯威策(J.ESwizer)的一封信中有这样一段话:西方科学的发展是以两个伟大的成就为基础，那就是:希腊哲学家发明的形式逻辑系统(在欧几里得几何学中)，以及(文艺复兴时期)发现的通过系统的实验有可能找出因果关系。
在我看来，中国的先贤没有迈出这两步是没有什么可惊奇的。
令人惊奇的倒是，这些发现竟然被做出来了。
[Einstein1969，P.43】爱因斯坦致斯威策的这封信，收录在许良英等编译的《爱因斯坦文集》第一卷中，标题是“西方科学的基础和中国古代的发明”。
该文集在1976年第一次印刷时，将此信的末句错译为“令人惊奇的倒是这些发现【在中国]全都做出来了”【爱因斯坦1976，页574】。
根据1976年的错译，中国科学史界有些人沾沾自喜，以为中国传统文化有了爱因斯坦这句赞赏，就身价百倍而感恩备至。
1983年，商务印书馆再版该文集时，这句话又不幸被错译为“要是这些发现果然做出来了，那倒是令人惊奇的事。
”【爱因斯坦1983，页547】这样一来，又有一些人拿此作为贬低中国传统的依据。
其实，爱因斯坦的意思非常清楚:现代科学在西方的诞生是一个非同寻常的历史事件，与此相比，古代中国没有孕育出现代科学倒没有什么可惊讶的。
这样的表述，自然会惹恼李约瑟，因为在他看来，现代科学没有出现在中国，同样是一个令人惊异的事实。
1961年6月，李约瑟在牛津大学的一次学术讨论会上，发表了。
中国科学传统的贫困与成就”一文，说:非常遗憾，这封萧伯纳式的信，以及其一切轻率的笔调，现在都被用来帮助贬低非欧文明的科学成就。
爱因斯坦本人本应率先承认，他对中国、古印度，阿拉伯文化的科学发展(除对它们没有发展出近代科学这一点外)，几乎毫无研究。
几何原本的公理化方法对哲学的影响例子
几何原本的公理化方法对哲学的影响例子我们知道，第一次数学危机的产生是源于无理数，无理数的诞生让古希腊人处于思想的彷徨状态，因为当时古希腊人试图把有理数视为连续衔接的算术连续统（指连续不断的数集）。
最终，柏拉图宣告了以数为基础的数学模型的破产，提出以几何为基础建设宇宙模型的构想。
而之后，欧几里得总结了以前全部几何学知识，建立起第一个几何公理系统（欧几里得-希尔伯特几何公理系统）。
还编写出《几何原本》一书。
这无疑是数学思想上的一次巨大革命，古典逻辑与欧氏几何就是第一次危机的产物。
欧几里得的《几何原本》对数学的发展起到了巨大的推动作用，被译成了世界各种文字，在它的发行量仅次于《圣经》而位居第二。
虽然在17世纪，笛卡尔创立了解析几何，但直到18世纪末《几何原本》依然是数学家心中的《圣经》，几何领域仍然是欧几里得一统天下．解析几何改变了几何研究的方法，但没有从实质上改变欧氏几何本身的内容，许多数学家都相信欧氏几何是绝对真理，例如数学家巴罗就曾列举8点理由来肯定欧氏几何。
17、18世纪的哲学家从霍布斯、洛克到康德也都从不同的出发点认为欧氏几何是明白的和必然的。
而笛卡儿在发明了解析几何以后仍坚持对每一个几何作图给出综合证明，牛顿撰写的物理领域圣经《自然哲学的数学原理》也是建立在几何论证的基础上。
从欧拉的《无穷小分析》开始数学才逐渐摆脱对几何的依赖。
《几何原本》里，欧几里得给出了 23 条定义、5条公理、5条公设。
公理是在任何数学学科里都适用的不需要证明的基本原理，公设则是几何学里的不需要证明的基本原理。
近代数学则对此不再区分，都称“公理”。
这里我们要先把前面四条公设先列一下：1.过两点能作且只能作一直线；2.线段(有限直线)可以无限地延长；3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆；4.凡是直角都相等；在这本书中欧几里得不小心给自己挖了个坑，最终导致了2000 年后非欧几何的诞生。
这个坑来源于《几何原本》里的第五条公设，这条公设是说：如果一条线段与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角和，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角和的一侧相交。
从欧几里得《几何原本》谈公理化思想
从欧几里得《几何原本》谈公理化思想我相信很多人并不了解欧几里得的伟大，或许还会有人不认同我对他的高度赞誉，因为在我们的生活中，欧氏几何只是用来解决一些平面几何问题的简单学问。
但从哲学的角度来讲，欧几里得开创的几何学系统为我们的思维超越现实世界创造了可能性。
毫不夸张地讲，如果没有欧几里得在几何学中提出的公理化思维和方法，科学的发展只能停留在用已知去推导已知的层面，而欧几里得用现实世界不存在的点、线、面及其关系，超越感官对我们的禁闭，从已知推出未知。
我们都知道，人类社会之所以能够快速地发展到今天，依靠的就是从已知推导未知的能力。
比如在爱因斯坦的广义相对论中有一个奇怪的假设：这个空间是四维的，并且是可以弯曲的。
但这是人类思维能想象出来的吗？答案是完全不能。
人类可以轻松地想象出存在于二维空间的弯曲的线，可以在大脑中构建出存在于三维空间的弯曲平面，但大多数人无法在大脑中形成一个对弯曲空间的认知，因为我们生活在三维空间中，所以我们的眼睛能看到的极限、大脑能认知的极限就是三维层次。
就像二维虫无法想象我们的三维世界一样，这就是所谓的感觉通道禁闭。
到目前为止，虽然人类的科技水平还没有达到可以验证空间是否可以弯曲的层次，但在科学界，爱因斯坦的广义相对论依然被很多理论物理学家作为公理使用。
因为从逻辑的角度来说，在第一性原理和推导过程都确保正确的前提下，最终得到的结果必然也是正确的。
换句话说，人类只能理解四维空间，但无法存在于四维空间。
从已知推导未知，这就是数学和几何学被称为神性学问的深层原因。
公理化思维可以超越感官对我们的禁闭，以逻辑推理的方式推导出全新的世界。
也就是说，如果你不了解几何学，没有数学思维，甚至缺乏纯粹逻辑的思维，你只能活在你眼前可见的这个世界中。
但这个世界太狭小了，无论是个人的发展还是人类的进步，我们都需要不断地打破物质的限制，从不可知的未来中找到前行的道路。
从本质上讲，几何学是一种哲学，同时也包含了某种世界观。
欧几里德和几何原本
欧几里德和几何原本《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，是当时整个希腊数学成果、方法、思想和精神的结晶，其内容和形式对几何学本身和数学逻辑的发展有着巨大的影响。
自它问世之日起，在长达二千多年的时间里一直盛行不衰。
它历经多次翻译和修订，自1482年第一个印刷本出版后，至今已有一千多种不同的版本，是至今流传最广、影响最大的一部世界数学名著。
除了《圣经》之外，没有任何其他著作，其研究、使用和传播之广泛，能够与《几何原本》相比。
但《几何原本》超越民族、种族、宗教信仰、文化意识方面的影响，却是《圣经》所无法比拟的。
《几何原本》的重要性并不在于书中提出的哪一条定理。
书中提出的几乎所有的定理在欧几里德之前就已经为人知晓，使用的许多证明亦是如此。
欧几里得的伟大贡献在于他将这些材料做了整理，并在书中作了全面的系统阐述。
这包括首次对公理和公设作了适当的选择（这是非常困难的工作，需要超乎寻常的判断力和洞察力）。
然后，他仔细地将这些定理做了安排，使每一个定理与以前的定理在逻辑上前后一致。
在需要的地方，他对缺少的步骤和木足的证明也作了补充。
值得一提的是，《几何原本》虽然基本上是平面和立体几何的发展，也包括大量代数和数论的内容。
《几何原本》作为教科书使用了两千多年。
在形成文字的教科书之中，无疑它是最成功的。
欧几里得的杰出工作，使以前类似的东西黯然失色。
该书问世之后，很快取代了以前的几何教科书，而后者也就很快在人们的记忆中消失了。
《几何原本》是用希腊文写成的，后来被翻译成多种文字。
它首版于1482年，即谷登堡发明活字印刷术3o多年之后。
自那时以来，《几何原本》已经出版了上千种不同版本。
在训练人的逻辑推理思维方面，《几何原本》比亚里土多德的任何一本有关逻辑的著作影响都大得多。
在完整的演绎推理结构方面，这是一个十分杰出的典范。
正因为如此，自本书问世以来，思想家们为之而倾倒。
公元前7世纪之后，希腊几何学迅猛地发展，积累了丰富的材料。
欧几里得《原本》与公理化方法详细教案
欧几里得《原本》与公理化方法一、教学目标（1）简单了解欧几里得和他编著《几何原本》。
激发学生几何的兴趣。
（2）了解几何的基础根基是什么，及几何系统形成的基本原理。
（3）体会前人证明定理的过程，从而提炼出公理化方法的基本概念。
感受证明定理过程的科学性、条理性、严谨性。
二、教学重点1、欧几里得及其著作几何原本。
2、体会证明定理的过程，从而提炼出公理化方法的基本概念。
三、教学难点体会证明定理的过程，从而提炼出公理化方法的基本概念。
四、课前准备课下提前阅读资料或查阅相关资料，解决以下问题。
1、欧几里得是怎样的一个人？2、《几何原本》的产生是偶然的吗？在它出现之前的几何学是怎样的？3、公理化方法的概念及其作用。
五、教学过程引入教师：同学们在初中学过平面几何、高中学过立体几何，那你们知道几何学是从何而来？它的根基又是什么吗？说到这些问题，我们就不得不提到一个人，那就是人称几何学之父的欧几里得。
也就是照片中的这个人。
那他为什么会被称为几何学之父呢？答案就在下面的视频中。
播放视频教师：通过这个视频，你知道欧几里得凭什么被称为几何学之父了吗？学生：知道了。
教师：凭什么呢？学生：《几何原本》。
教师：是的，那《几何原本》为什么这么牛呢？其实我们现在初中和高中所学的几何学知识都是来源于《几何原本》。
可以说这本书是几何学的祖宗。
那这个称之为数学中的《圣经》的书到底写了些什么呢？我们一起来看一下。
这本书共有13卷，有公理5条，公设5条，定义119条，命题465个。
说到这儿，那你知道什么是公理？什么是定义？什么又是命题吗？学做思一、高中立体几何体系问题1、说一说你理解中的命题、定理、公设、公理的概念是什么？学生：………..教师：那知道了公理、定义、命题的概念，你知道在《几何原本》中这几个概念之间的关系吗？学生：…………教师：是的，《几何原本》仅仅以5条公理和5条公设为基础，再引入119个定义也就是基本的概念，采用逻辑推理的方法，竟然可以由简到繁地证明465个最重要的命题和推论！建构了当时的整个几何体系。
欧几里得《几何原本》的公理化思想及其发展
证 明． 着 对 几何 知 识 的 使 用 越来 越 多 ， 迫 切 将 这 些 知 识 随 就
条 理 化 和系 统 化 ， 其 成 为 一 套 可 以 Ａ圆 其 说 、 使 前后 贯 通 的
真 正 成 为一 个 有 比较 严 密 理 论 系统 和 科 学 方 法 的 学科 ．
但 是 ， 几 何 原 本》 还是 存 在 缺 陷 的 ， 某 些 定 义仍 然 《 中 如
是借 助 直 观 或 含 糊 不 清 ， 然 欧 几 里 得 对 公 设 和 公 理 作 了 虽
精心 的选 择 ， 是 他 的 公 理 系 统 是 不完 备 的． 在 欧 几 里 得 但 “ 提 出 的 ５条公 设 中 ， 管 前 ４条 是 存 总 结 前 人 成 果 的 基 础 尽 上 提 出来 的 ， 是 第 ５条 ， ” 行 公 设 “ 认 为 是 他 自 己 的 但 即 平 被 创 造 ． 这 一 公 设 的 陈 述 和 内 容 上 都 得 复 杂 ， ” 因此 引 起 人 们 对 这 一 公设 本 身 必 要 性 的 怀 疑 ． 此 后 的 两 千 多 年 里 ， 在 人
们 试 图 给 出这 一 公 设 的 证 明 ， 是 所 有 的 尝 试 都 失 败 了． ９ 但 １ 世 纪 ， 国年 轻 的 数 学 家 岁 巴 切 夫 斯 基 吸 取 前 人 失 败 的 教 俄 训 ， 反 面 提 出 问 题 ， 出 了 一 新 的 公 理 体 系 ， 立 了 非 从 给 个 创
的邀请 到 亚 历 山大城 教 学 ． 写 过不 少数 学 、 成 为 一 个 演 绎 系统 ， 出 发 点 就 是 一 其
《几何原本》和公理化思想
《几何原本》和公理化思想《几何原本》欧几里得将公元前七世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果整理收集起来，并且加以系统化，他从少数已被经验证明的公理出发，运用逻辑推理和数学运算的方法演绎出许多定理，写成了十三卷的《几何原本》，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。
《几何原本》是古希腊科学的骄傲，它的基本原理和定理直到现在仍是科学教科书的一部分。
欧几里得在这本原著中用公理法对当时的数学知识作了系统化，理论化的总结。
全书共分13卷，包括5条公理，5条公设，119个定义和465个命题，构成了历史上第一个数学公理体系，以下简要介绍《原本》的内容：第一卷作为全书之首，给出了一些最基本的定义，如“点是没有部分的”，“线是没有宽度的长”；“面是只有长度和宽度的”，“圆是由一条曲线包围的平面图形，从其内一点出发落在曲线上，所有线段彼此相等”；以及5条公设和5条公理，它们是：公设一：任两点必可用直线连接；公设二：直线可以任意延长；公设三：可以任一点为圆心，任意长为半径画圆公设四：所有的直角皆相同；公设五：过线外一点，恰有一直线与已知直线平行。
•欧几里得几何学公理：•点是没有部分的；线是平面上只有长度，没有宽度的；直线是可以向两边无限延伸的；过两点有且只有一条直线；平面内过一点可以以任意半径画圆；两直线平行，同位角相等；等量+等量和相等；等量—等量差相等；能重合的图形全等；整体大于部分。
如上所列举的定义和公理都是往后严格论证每一定理所必不可少的依据。
欧几里得是第一个提出几何根据问题的人。
•欧几里得《几何原本》的功绩在于：精选了公理，安排了定理的顺序，自己给出了一些定理的证明以及较严谨的推敲了一些证明。
《原本》的作用《原本》中将逻辑的公理演绎方法应用于几何学的研究，而且用严格的逻辑演绎系统陈述了这一学科的内容以至在《原本》问世后就几乎淹没了在此以前的任何其他有关几何学的著作。
它的贡献不在于发现了几条新定理而主要在于把几何学知识按公理系统的方式，使得反应各项几何事实的公理和定理都能用论证串联起来，组成一个井井有条的有机整体。
数学史（11）：欧几里得与《几何原本》
数学史（11）：欧几里得与《几何原本》一个人当他最初接触欧几里得几何学时，如果不曾为它的明晰性和可靠性所感动，那么他是不会成为一个科学家的。
——爱因斯坦古典时期学者们的数学工作的精华，幸运地在欧几里得和阿波罗尼斯两个人的著作中流传到今天。
从生活年代来说，两人都属于希腊历史上第二个大分期，即亚历山大时期。
但他们的著作的内容和精神都是属于古典时期的。
首先介绍欧几里得。
一、背景欧几里得（Euclid，约公元前330年—公元前275年），出生于雅典的古希腊数学家，欧氏几何开创者，被称为“几何之父”。
年轻时在柏拉图学院求学，后应托勒密王邀请在埃及的亚历山大城办学授徒，并于公元前300年完成《几何原本》的编著。
《几何原本》共分13卷，包含了5条公理、5条公设、23个定义和467个命题，是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，基本囊括了从公元前7世纪一直到公元前4世纪前后总共400多年的数学发展历史，并使几何学成为一门独立的、演绎的科学——欧氏几何。
《几何原本》开创了基于公理化基础、利用演绎逻辑推导出结论（定理）进而建立系统化知识体系的方法——公理化方法，成为后来2000多年间建立任何知识体系必须遵守的严密思维的范式。
牛顿的《自然哲学之数学原理》即照此范式写成。
最早的中译本是1607年(明代万历35年)由意大利传教士利玛窦和徐光启合译出版的，只译了15卷本的前6卷，它是我国第一部数学翻译著作。
取名为《几何原本》，中文“几何”的名称就是从这里开始的。
而后9卷的引入是在两个半世纪后的1857年由清朝的学者李善兰和英国人韦列亚力翻译补充的。
二、《几何原本》里的定义和公理定义1、点是没有部分的那种东西。
2、线是没有宽度的长度。
（注：线这个字指曲线）3、一线的两端是点。
（注：书中没有无限伸展的线）4、直线是同其中个点看齐的线。
（注：书中直线指线段）5、面是只有长度和宽度的那种东西。
6、面的边缘是线。
（注：所以是有界的）7、平面是与其上直线看齐的那种面。
欧几里得逻辑学
欧几里得逻辑学
欧几里得是古希腊的数学家，最为人所知的是他的著作《几何原本》，这是人类历史上第一部数学理论专著，也是第一部演绎体系的著作。
在《几何原本》中，欧几里得使用了公理化的方法，即从一些基本的、不证自明的公理出发，通过逻辑演绎推导出所有的几何定理。
这种方法为后来的数学发展奠定了坚实的基础，被誉为数学史上的里程碑。
然而，当我们谈论欧几里得的“逻辑学”时，我们需要注意到，虽然他的《几何原本》确实包含了许多逻辑的元素，但他本人并没有直接涉及到逻辑学的研究。
他的公理化方法更多地是一种数学的研究方法，而不是逻辑学的研究方法。
尽管如此，欧几里得的《几何原本》对逻辑学的发展产生了深远的影响。
首先，公理化方法为逻辑学提供了一种新的研究方法，即通过设定一些基本的前提，然后通过逻辑演绎推导出所有的结论。
这种方法在逻辑学中被称为“演绎法”，成为了逻辑学研究的重要工具。
其次，欧几里得的《几何原本》展示了逻辑演绎的严谨性和精确性。
在《几何原本》中，每一个定理都是通过严格的逻辑演绎推导出来的，没有任何的模糊和歧义。
这种严谨性和精确性对逻辑学的发展产生了重要的影响，使得逻辑学逐渐发展成为一门精确的科学。
因此，虽然欧几里得本人并没有直接涉及到逻辑学的研究，但他的《几何原本》对逻辑学的发展产生了深远的影响。
他的公理化方法和严谨的逻辑演绎为逻辑学提供了一种新的研究方法，使得逻辑学逐渐发展成为一门精确的科学。
几何原本公理化体系
《幾何原本》 幾何原本》
• 歐幾里得（Euclid of Alexandria; 約公元前 330 − 約公元前 275） • 歐幾里得的《幾何原 本》是用公理方法建 立演繹數學體系的最 早典範。
《幾何原前 500 年 公元前 400 年 公元前 300 年 公元前 200 年 泰勒斯（開始了命題證明） 畢達哥拉斯（證明「畢氏定理」 及發現不可公度量） 柏拉圖（成立「柏拉圖學園」） 歐多克索斯 （創立比例論、計算錐體體積） 歐幾里得（撰寫《幾何原本》） 阿基米德 （計算圓周率、球體體積等）
對《幾何原本》的批評 幾何原本》
• 書中有部分的定義不清晰，閱後反 而令人更迷惘。
第一卷中的定義
1. 點是沒有部分的。 2. 線祇有長度而沒有寬度。 3. 一線的兩端是點。 4. 直線是它上面的點一樣地平放著的線。 5. 面祇有長度和寬度。 6. 面的邊緣是線。 7. 平面是它上面的線一樣地平放著的面。
重要命題舉例
• 命題 I.47 在直角三角形中，直角所對 的邊上的正方形面積等於夾於直角兩邊 上正方形面積之和。
註： 這亦即是著名的 「畢氏定理」。
重要命題舉例
• 命題 II.12 在鈍角三角形中，鈍角所對的邊上的正方 形比夾鈍角的二邊上的正方形的和大一個矩形的二倍。 即由一銳角向對邊的延長線作垂線，垂足到鈍角之間 一段與另一邊所構成的矩形。 c2 − (a2 + b2) = 2 × ad 即 c2 = a2 + b2 + 2ad b d c a a • 註：命題 II.12 就是現時常用的「餘弦定律」。
《幾何原本》的內容 幾何原本》
• 全書共分 13 卷，包括： • 5 條公設、5 條公理 • 119 個定義 • 465 條命題
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欧几里德《几何原本》与公里化思想
班级：314数教3班姓名：余燕红学号：49
【摘要】欧几里得《几何原本》产生的历史背景、主要内容以及所包含的公理化思想促进了几何学的发展, 对数学的发展也有着重大的影响.
【关键词】欧几里得;《几何原本》;公理化思想
一、欧几里得
“几何无王者之道”, 说出这句话的人正是古希腊数学家欧几里得(公元前 330 ～公元前275), 他是论证几何的集大成者, 关于他的生平我们了解的甚少, 根据有限的记载推断,欧几里得早年就学于雅典, 在公元前 300年左右, 应托勒密王的邀请到亚历山大城教学.他
写过不少数学、天文、光学和音乐方面的著作, 现存的有《原本》(Elements)、《数据》(Data)、《论剖分》(OnDivisions)、《现象》 (Phaenomena)、《光学》(Optic)和《镜面反射》(Catoptrica)等, 在这些著作当中, 最著名的莫过于《原本》了, 根据早期的翻译, 我们也称之为《几何原本》.
二、《几何原本》
1.历史起源:最早的几何学兴起于公元前 7世纪的古埃及, 由古希腊数学家泰勒斯迈出了
论证数学的第一步, 之后毕达哥拉斯又进行了发展.在欧几里得之前, 已经积累了许多的几何知识, 但是这些知识缺乏系统性, 大多数都是片断的、零散的知识, 公理与公理之间、证明与证明之间没有很强的联系性, 更没有对公式和定理进行严格的和逻辑的证明.随着对几何知识的使用越来越多, 就迫切将这些知识条理化和系统化, 使其成为一套可以自圆其说、前后贯通的知识体系.欧几里得通过早期对柏拉图数学思想, 尤其是几何理论系统周详的研究, 敏锐地观察到了几何学理论的发展趋势, 所以, 他背负着这一重任来到文化丰富的亚历山大
城, 在这里, 他一边收集以往的数学专著和手稿, 并不断地向有关学者请教, 一边试着著书立说, 阐述自己对几何学的理解, 哪怕是尚肤浅的理解, 经过他的努力, 终于在公元前300年, 几经易稿最终写成《几何原本》一书.
2.内容框架:“《几何原本》共分 13卷, 包括 5条公理、5条公设、119个定义和 465条命题.”第Ⅰ卷给出了一些最基本的定义, 如点、线、面、圆等等, 并给出了 5条公理和 5条公设.欧几里得以这些基本定义、公设和公理作为全书推理的出发点, 第Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ和Ⅵ卷包含了平面几何的一些基本内容, 如全等形、平行线、多边形、圆、毕达哥拉斯定理、初等作图及相似形等;第Ⅱ, Ⅵ卷中涉及“几何代数”的内容;第Ⅴ卷讲比例论;第Ⅶ , Ⅷ , Ⅸ卷是关于数论的内容, 其中陈述了求两数最大公因子的辗转相除法, 即著名的欧几里得算法;第Ⅹ卷讨论不可公度量;而最后三卷主要是立体几何的内容.这是一本集前人思想和欧几里得个人创造于一体的不朽之作, 几何学正是因为有了它, 不仅第一次实现了系统化、条理化, 而且又孕育出一个全新的研究领域———欧几里得几何学, 简称“欧式几何学”.
三、公理化思想及其发展
“欧几里得《几何原本》可以说是数学史上的第一座理论丰碑, 它最大的功绩就是它确立了数学中的演绎范式.这种范式要求一门学科中的每一个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论, 而所有这样的推理链的共同出
发点, 是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理———公设或公理, 这就是后来所谓的公理化思想.”它的目的就是把数学表达成为一个演绎系统, 其出发点就是一组基本概念和公理.很显然, 欧几里得在前人研究的基础上, 以 5条公设和 5条公理, 运用
逻辑定义推理和证明的原则和方法, 将零散的几何知识进行整理, 编写了具有公理化结构、严密逻辑体系的经典著作《几何原本》.从此, 几何才真正成为一个有比较严密理论系统和科学方法的学科.但是, 《几何原本》中还是存在缺陷的, 如某些定义仍然是借助直观或含糊不清, 虽然欧几里得对公设和公理作了精心的选择, 但是他的公理系统是不完备的.“在欧几里得提出的 5条公设中, 尽管前 4条是在总结前人成果的基础上提出来的, 但是第 5条, 即”平行公设“被认为是他自己的创造.”这一公设的陈述和内容上都显得复杂, 因此引起人们对这一公设本身必要性的怀疑.在此后的两千多年里, 人们试图给出这一公设的证明, 但是所有的尝试都失败了 .19世纪, 俄国年轻的数学家罗巴切夫斯基吸取前人失败的教训, 从反面提出问题, 给出了一个新的公理体系, 创立了非欧几何学.这是公理化方法的进一步发展.1899年, 德国数学家希尔伯特在前人工作的基础上, 写成《几何基础》一书,解决了欧氏几何的欠缺, 完善了几何公理化方法.未列入数学中出现悖论, 希尔伯特认为要设法绝对的证明数学的无矛盾性, 致使他从事“证明论的研究”, 这样, 他将公理化方法推向了一个新的阶段, 即纯形式发展阶段, 产生了纯形式公理化方法.《几何原本》是古希腊数学的杰出成就, 它的影响远远超出了数学本身, 它的公理化方法为几何学的研究开辟了一片新领域, 拓宽了几何学研究的领域, 并渗透到其他数学分支.它不仅仅产生了一些有用的、美妙的定理, 它还孕育了一种理性的精神.
【参考文献】
[ 1]李文林.数学史概论(第二版)[ M] .北京:高等教育出版社, 2002.
[ 2] StevenG.Krantz.AnEpisodicHistoryofMathematics[ M] .2006.
[ 3]宋庆.欧几里得的《原本》[ J] .中学数学, 2006(5).。