题型一、 次序统计量及其分布

f ( X（k） x)
=
(k
n! 1)!(n
(F ( x))k1(1 k)!
F ( x))nk
f
(x)
=
n!
( x)k1(1 x)nk , 0 x 1.
(k 1)!(n k)!
Xi
称为最小次序统计量.
X(n)

max
1 i n
Xi
称为最大次序统计量.
注 由于每个X(k)都是样本( X1, X2, , Xn )的函数, 所以, X(1), X(2), , X(n)也都是随机变量,并且它们 一般不相互独立.
定义1.12
设样本X1, X2 ,L
,
X
按由小到达的顺序重排为
例1(p30例1.18) 设总体X服从区间 [0,1] 上的均
匀分布, ( X1, X 2 ,L
,
X
n
)为总体X的样本,
试求X
(
k
的
)
分布.
解 总体X的分布密度为
1, 0 x 1 f ( x) 0, 其他 X的分布函数为
0, x 0
F
(
x)


x,
0 x1
1, x 1
n
X(1) X(2) L X (n)
则称(X(1) , X(2) ,L , X(n) )T 为样本( X1, X 2 ,L , X n )T 的
次序统计量，X ( k )称为样本的第k个次序统计量,
X
(1)称为样本的最小次序统计量,
X(
n
称为样本的
)
最大次序统计量.
3、次序统计量的分布
定理1.19 设总体X的分布密度为f ( x)(或分布函数
为F ( x), X1, X2 ,L , Xn为来自总体X的样本，则第k
个次序统计量X
的分布密度为
kHale Waihona Puke Baidu
fX(k) ( x)

(k
n! 1)!(n
[F ( x)]k1[1 k)!
F ( x)]nk
f
(x)
其中k 1, 2,L , n.
( X(1) , X(2) ,L , X(n) )T 称为样本 ( X1, X2 ,L , Xn )T 的次序统计量.
对应的( x(1) , x(2) , x(n) )称为其观测值.
X(k) : 样本( X1, X2, , Xn )的第k个次序统计量.
特别地，X (1)

min
1 i n
题型一、次序统计量
一、次序统计量
1、 次序统计量
设( X1, X2 ,L , Xn )T 是从总体X中抽取的一个样本, ( x1, x2 ,L , xn )T 是其一个观测值, 将观测值按由小到 大的次序重新排列为
x(1) x(2) L x(n) 当( X1, X2 ,L , X n )T 取值为( x1, x2 ,L xn )T 时,定义 X(k)取值为x(k) (k 1, 2,L n),由此得到