人教版高中数学必修一教学课件《函数的单调性》
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高中数学1[1].3.1函数的单调性课件新人教版必修1
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0
y
x1 x2
x
因此在f(x)在(0,+∞)上, 当x增大时, 函数值y 相应地随着增大。这与观察图象所得结果是一致的。 所以f(x)在(0,+∞)上是增函数。
函数 f(x)=x2 :
在(-∞,0)上任取 x1、x2 , 则f(x1)= x12 , f(x2)= x22 对任意 x1 < x2 , 都有 x12> x22 即对任意 x1 < x2,都有 f(x1) > f(x2) ∴函数 f(x)=x2 在(-∞,0)上是减函数。
y
y 1 x
y
y
y
o
x
在(-∞,0) 和(0,+∞) 是减函数
y
1 x
o
在(-∞,0) 和(0,+∞) x 是增函数
b , 在 2a
b y ax 2 bx c , y 在 2a (a 0)
y y ax 2 bx c
判断题: 1 (1)已知f(x)= ,因为f(-1)<f(2),所以函数f(x)是 x 增函数。 (2)若函数f(x)满足f (2)<f(3),则函数f(x)在区间[2,3] 上为增函数。 (3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数, 则函数f(x)在(1,3)上为增函数。
1 (4)因为函数f(x)= x 在区间(-∞,0)和(0,+∞) 上都是减函数,所以f(x)= 1 在(-∞,0)∪(0,+∞) x 上是减函数。
(a 0)
o
x
增函数 b , 在 2a 减函数
o
增函数 b - x 在 - , 2a 减函数
y
x1 x2
x
因此在f(x)在(0,+∞)上, 当x增大时, 函数值y 相应地随着增大。这与观察图象所得结果是一致的。 所以f(x)在(0,+∞)上是增函数。
函数 f(x)=x2 :
在(-∞,0)上任取 x1、x2 , 则f(x1)= x12 , f(x2)= x22 对任意 x1 < x2 , 都有 x12> x22 即对任意 x1 < x2,都有 f(x1) > f(x2) ∴函数 f(x)=x2 在(-∞,0)上是减函数。
y
y 1 x
y
y
y
o
x
在(-∞,0) 和(0,+∞) 是减函数
y
1 x
o
在(-∞,0) 和(0,+∞) x 是增函数
b , 在 2a
b y ax 2 bx c , y 在 2a (a 0)
y y ax 2 bx c
判断题: 1 (1)已知f(x)= ,因为f(-1)<f(2),所以函数f(x)是 x 增函数。 (2)若函数f(x)满足f (2)<f(3),则函数f(x)在区间[2,3] 上为增函数。 (3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数, 则函数f(x)在(1,3)上为增函数。
1 (4)因为函数f(x)= x 在区间(-∞,0)和(0,+∞) 上都是减函数,所以f(x)= 1 在(-∞,0)∪(0,+∞) x 上是减函数。
(a 0)
o
x
增函数 b , 在 2a 减函数
o
增函数 b - x 在 - , 2a 减函数
3.2.1函数的单调性课件-高一上学期数学人教A版必修第一册

在区间[-1,0),[2,4)上是减函数.
定义法证明函数的单调性
例2 证明函数 f(x) = 3 x+2在区间R上是增函数.
证明:设 x1,x2 是 R上任意两个实数,且x1﹤x2 设值
则 f(x1) - f(x2) = (3x1+2) - (3x2+2)
作差
= 3(x1-x2)
变形
由x1﹤x2 ,得 x1 - x2﹤0
那么就说在f(x)这个区间上是单调
x2
x
减函数,D称为f(x)的单调 减 区间.
如果函数y =f(x)在区间D是单调增函数或单调减函 数,那么就说函数y =f(x)在区间D上具有单调性。区 间D叫做y =f(x)的单调区间。
(1)函数单调性是针对某个区间而言的,是一个局部性质;
判断1:函数f(x)= x2在(-∞,+∞)是单调增函数;
y
100
80
60 40
20
o1 2 3 t
思考1:当时间间隔t逐渐增
大你能看出对应的函数值y
y
100
有什么变化趋势?通过这个 80
实验,你打算以后如何对待 60
刚学过的知识?
40
20
思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线” o
1
2
3
t
从左至右是逐渐降落的,对此,
我们如何用数学观点进行解释?
思考1:画出下列函数的图象
y
(2) x1, x2 取值的任意性
判断2:定义在R上的函数 f (x)满足 f
(2)>f(1),
y
则函数 f (x)在R上是增函数;
f(2)
f(1)
y x2
o
x
O 1 2x
定义法证明函数的单调性
例2 证明函数 f(x) = 3 x+2在区间R上是增函数.
证明:设 x1,x2 是 R上任意两个实数,且x1﹤x2 设值
则 f(x1) - f(x2) = (3x1+2) - (3x2+2)
作差
= 3(x1-x2)
变形
由x1﹤x2 ,得 x1 - x2﹤0
那么就说在f(x)这个区间上是单调
x2
x
减函数,D称为f(x)的单调 减 区间.
如果函数y =f(x)在区间D是单调增函数或单调减函 数,那么就说函数y =f(x)在区间D上具有单调性。区 间D叫做y =f(x)的单调区间。
(1)函数单调性是针对某个区间而言的,是一个局部性质;
判断1:函数f(x)= x2在(-∞,+∞)是单调增函数;
y
100
80
60 40
20
o1 2 3 t
思考1:当时间间隔t逐渐增
大你能看出对应的函数值y
y
100
有什么变化趋势?通过这个 80
实验,你打算以后如何对待 60
刚学过的知识?
40
20
思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线” o
1
2
3
t
从左至右是逐渐降落的,对此,
我们如何用数学观点进行解释?
思考1:画出下列函数的图象
y
(2) x1, x2 取值的任意性
判断2:定义在R上的函数 f (x)满足 f
(2)>f(1),
y
则函数 f (x)在R上是增函数;
f(2)
f(1)
y x2
o
x
O 1 2x
人教版高中数学必修1《函数的单调性》PPT课件

k(x1 x2 ).
解:函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R.
x1, x2 R,且 x1 x2,则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 ). 由 x1 x2,得 x1 x2 0.所以
①当k 0时,k(x1 x2 ) 0.
只要 x1 x2,就有 f (x1) f (x2 ).
追问 3:这里对 x1,x2有什么要求?只取(,0]上的某些数对 是否可以?你能举例说明吗?
追问 3:这里对 x1,x2有什么要求?只取(,0]上的某些数对 是否可以?你能举例说明吗?
所有的 x1 x2,有 f (x1) f (x2 ).
你能由例 1、例 2 的证明过程,归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗?
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤:
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤: 第一步,在区间 D上任取两个自变量的值 x1,x2 D,并规定 x1 x2;
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤: 第一步,在区间 D上任取两个自变量的值 x1,x2 D,并规定 x1 x2;
V
于一定量的气体,当其体积V 减小时,压强 p将增大,试对此用函数
的单调性证明.
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k (k 为正常数)告诉我们,对
V
于一定量的气体,当其体积V 减小时,压强 p将增大,试对此用函数 的单调性证明.
思考:“体积V 减小时,压强 p增大”的含义?
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k (k 为正常数)告诉我们,对
解:函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R.
x1, x2 R,且 x1 x2,则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
解:函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R.
x1, x2 R,且 x1 x2,则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 ). 由 x1 x2,得 x1 x2 0.所以
①当k 0时,k(x1 x2 ) 0.
只要 x1 x2,就有 f (x1) f (x2 ).
追问 3:这里对 x1,x2有什么要求?只取(,0]上的某些数对 是否可以?你能举例说明吗?
追问 3:这里对 x1,x2有什么要求?只取(,0]上的某些数对 是否可以?你能举例说明吗?
所有的 x1 x2,有 f (x1) f (x2 ).
你能由例 1、例 2 的证明过程,归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗?
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤:
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤: 第一步,在区间 D上任取两个自变量的值 x1,x2 D,并规定 x1 x2;
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤: 第一步,在区间 D上任取两个自变量的值 x1,x2 D,并规定 x1 x2;
V
于一定量的气体,当其体积V 减小时,压强 p将增大,试对此用函数
的单调性证明.
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k (k 为正常数)告诉我们,对
V
于一定量的气体,当其体积V 减小时,压强 p将增大,试对此用函数 的单调性证明.
思考:“体积V 减小时,压强 p增大”的含义?
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k (k 为正常数)告诉我们,对
解:函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R.
x1, x2 R,且 x1 x2,则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
高中数学人教A版必修第一册课件3.2.1《函数的单调性》课件

能不能说y 1 (x 0)在定义域(, 0) (0, )上 x
是单调减函数?
2试讨论 f (x) k (k 0)在 , 0 和 0, 上的单调性?
x
练习2.画出下列函数图像,并写出单调区间:
(2) y x2 2. y x2 +2的单调增区间是_(____,_0_];
y
y=-x2+2
3.2.1单调性与最大(小)值 (第一课时)
气温T是关于时间t的函数曲线图
10 T(℃)
8 6 4 2
o
4
-2
8
12
16
20
24 t
思考:气温产生了怎样的变化?
在哪段时间气温升高,在哪段气温降低?
视察下列各个函数的图象,并说说它们 分别反应了相应函数的哪些变化规律?
1、视察这三个图象,你能说出图象的特征吗? 2、随x的增大,y的值有什么变化?
取值 作差 变形
定号
结论
用定义证明函数的单调性的步骤:
(1) 设x1<x2, 并是某个区间上任意两个数; (2) 作差 f(x1)-f(x2) ; (3)判断 f(x1)-f(x2) 的符号:
① 分解因式, 得出因式x1-x2 .
② 配成非负实数和.
(4) 作结论.
我例们2、,物对理于学一中定的量玻的意气耳体定,律p当其Vk 体(k为积正V常减数小)时,告压知
分别是增函数和减函数.
y
判断:定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1),则函数 f (x)在R上是增 函数吗?
f(2) f(1)
O 1 2x
二、函数单调区间定义
如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函 数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这 一区间具有(严格的)单调性,区间D叫 做y=f(x)的单调区间.
是单调减函数?
2试讨论 f (x) k (k 0)在 , 0 和 0, 上的单调性?
x
练习2.画出下列函数图像,并写出单调区间:
(2) y x2 2. y x2 +2的单调增区间是_(____,_0_];
y
y=-x2+2
3.2.1单调性与最大(小)值 (第一课时)
气温T是关于时间t的函数曲线图
10 T(℃)
8 6 4 2
o
4
-2
8
12
16
20
24 t
思考:气温产生了怎样的变化?
在哪段时间气温升高,在哪段气温降低?
视察下列各个函数的图象,并说说它们 分别反应了相应函数的哪些变化规律?
1、视察这三个图象,你能说出图象的特征吗? 2、随x的增大,y的值有什么变化?
取值 作差 变形
定号
结论
用定义证明函数的单调性的步骤:
(1) 设x1<x2, 并是某个区间上任意两个数; (2) 作差 f(x1)-f(x2) ; (3)判断 f(x1)-f(x2) 的符号:
① 分解因式, 得出因式x1-x2 .
② 配成非负实数和.
(4) 作结论.
我例们2、,物对理于学一中定的量玻的意气耳体定,律p当其Vk 体(k为积正V常减数小)时,告压知
分别是增函数和减函数.
y
判断:定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1),则函数 f (x)在R上是增 函数吗?
f(2) f(1)
O 1 2x
二、函数单调区间定义
如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函 数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这 一区间具有(严格的)单调性,区间D叫 做y=f(x)的单调区间.
数学人教A版必修一3.2.1函数的单调性课件(共23张ppt)

有(1 ) < (2 ),就称函数 = ()在区间上是增函数.
(× )
(× )
② 函数 = ()在区间上是增函数,如果(1 ) < (2 ),则1 < 2 .
1
③ () = 在定义域内为减函数.
(× )
④ 若函数 = ()的定义域内区间D上的任意两个变量1 , 2 ,
1
在区间
1, +∞ 上的单调性.
例题演练
例 3-2
根据定义证明函数 = −
1
在区间
0, +∞ 上的单调性.
例题演练
例 4
已知函数 =
1
.
2 −1
(1)求 的定义域;
(2)判断函数 在 1, +∞ 上的单调性,并用定义加以证明.
例题演练
变 4
求证:函数 =
1
2
2
−∞, −
=−
2
概念剖析
(3)反比例函数 =
和 (0, + ∞)上都是减函数;
①k __
> 0 时,在(−∞,0) ____
和 (0, + ∞)上都是增函数.
< 0 时,在(−∞,0) ____
②k __
概念剖析
观察函数图象:
(1 )
= 2
(2 )
你觉得它们反映了函数的哪些方面的性质?
概念剖析
反比例函数 =
1. 列表:
1
=
1
−
3
1
的表示:
1
−
2
2. 函数解析式: =
(× )
(× )
② 函数 = ()在区间上是增函数,如果(1 ) < (2 ),则1 < 2 .
1
③ () = 在定义域内为减函数.
(× )
④ 若函数 = ()的定义域内区间D上的任意两个变量1 , 2 ,
1
在区间
1, +∞ 上的单调性.
例题演练
例 3-2
根据定义证明函数 = −
1
在区间
0, +∞ 上的单调性.
例题演练
例 4
已知函数 =
1
.
2 −1
(1)求 的定义域;
(2)判断函数 在 1, +∞ 上的单调性,并用定义加以证明.
例题演练
变 4
求证:函数 =
1
2
2
−∞, −
=−
2
概念剖析
(3)反比例函数 =
和 (0, + ∞)上都是减函数;
①k __
> 0 时,在(−∞,0) ____
和 (0, + ∞)上都是增函数.
< 0 时,在(−∞,0) ____
②k __
概念剖析
观察函数图象:
(1 )
= 2
(2 )
你觉得它们反映了函数的哪些方面的性质?
概念剖析
反比例函数 =
1. 列表:
1
=
1
−
3
1
的表示:
1
−
2
2. 函数解析式: =
人教版高一数学必修一函数单调性的性质课件PPT

思考3:一个函数在其定义域内,就单调性而言 有哪几种可能情形?
思考4:若函数 在区间D上具有单调性, ,那么 分别在区间A、B上具有单
调性吗?
思考5:下列图象表示的函数是增函数吗?
y
yபைடு நூலகம்
o
x
图1
o
x
图2
思考6:一般地,若函数 在区间A、B上是
单调函数,那么 在区间 上是单调函
数吗?
理论迁移
例1 已知函数 的解集.
上是减函数?
f (x)
知识探究(二)
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则 称函数 f (x)在这一区间具有(严格的)单调性,区 间D叫做函数 f (x)的单调区间,此时也说函数 f (x) 在这一区间上是单调函数.
思考1:函数 f (x) kx b 是单调函数吗?
思考2:函数 f (x) | x | 在R上具有单调性吗? 其单调区间如何?
则函数 f (x)在区间D上的单调性如何? x1 x2
若 f (x1) f (x2 ) 0 呢?
x1 x2
思考2:若函数 f 为常数,则函数
a(x)在f (区x)间、Da上f 为(x增) 的函单数调,a性如0何?
思考3:若函数 f (x)、g(x) 在区间D上都是增函数, 则函数 f (x) g(x) 、f (x) g(x)在区间D上的单调性 能否确定?
问题提出
1. 函数在区间D上是增函数、减函数的定义是什 么? 2. 增函数、减函数的图象分别有何特征?
3. 增函数、减函数有那些基本性质?
知识探究(一)
对于函数 f (x)定义域内某个区间D上的任意两
个自变量的值 x1, x2 ,若当 x1 x2 时,都有
思考4:若函数 在区间D上具有单调性, ,那么 分别在区间A、B上具有单
调性吗?
思考5:下列图象表示的函数是增函数吗?
y
yபைடு நூலகம்
o
x
图1
o
x
图2
思考6:一般地,若函数 在区间A、B上是
单调函数,那么 在区间 上是单调函
数吗?
理论迁移
例1 已知函数 的解集.
上是减函数?
f (x)
知识探究(二)
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则 称函数 f (x)在这一区间具有(严格的)单调性,区 间D叫做函数 f (x)的单调区间,此时也说函数 f (x) 在这一区间上是单调函数.
思考1:函数 f (x) kx b 是单调函数吗?
思考2:函数 f (x) | x | 在R上具有单调性吗? 其单调区间如何?
则函数 f (x)在区间D上的单调性如何? x1 x2
若 f (x1) f (x2 ) 0 呢?
x1 x2
思考2:若函数 f 为常数,则函数
a(x)在f (区x)间、Da上f 为(x增) 的函单数调,a性如0何?
思考3:若函数 f (x)、g(x) 在区间D上都是增函数, 则函数 f (x) g(x) 、f (x) g(x)在区间D上的单调性 能否确定?
问题提出
1. 函数在区间D上是增函数、减函数的定义是什 么? 2. 增函数、减函数的图象分别有何特征?
3. 增函数、减函数有那些基本性质?
知识探究(一)
对于函数 f (x)定义域内某个区间D上的任意两
个自变量的值 x1, x2 ,若当 x1 x2 时,都有
高中数学必修一(人教版)《3.2.1 第一课时 函数的单调性》课件

(1)已知f(x)的定义域为[a,b]且为增函数,若f(m)>f(n),则m,n满足什么
关系?
a≤m≤b, 提示:a≤n≤b,
m>n
⇔f(m)>f(n).
(2)影响二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的单调性的因素有哪些? 提示:a 的正负及-2ba的大小.
【学透用活】 [典例3] (1)已知函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3. ①若函数f(x)在区间(-∞,3]上是增函数,则实数a的取值范围是________; ②若函数f(x)的单调递增区间是(-∞,3],则实数a的值为________. (2) 若 函数 f(x) = x2 + ax + b 在 区间 [1,2] 上不 单 调 , 则 实 数 a 的取 值 范 围为 ________.
答案:(-∞,1),(1,+∞)
2.将本例中“y=-x2+2|x|+3”改为“y=|-x2+2x+3|”,如何求解? 解:函数y=|-x2+2x+3|的图象如图所示.
由图象可知其单调递增区间为[-1,1],[3,+∞);单调递减区间为 (-∞,-1),(1,3).
题型三 函数单调性的应用
[探究发现]
(3)若f(x)是R上的减函数,则f(-3)>f(2).
()
(4)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增,则函数f(x)在区间(1,3)上也单
调递增.
()
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×
2.函数y=f(x)的图象如图所示,其增区间是 A.[-4,4] B.[-4,-3]∪[1,4] C.[-3,1] D.[-3,4] 解析:由图可知,函数y=f(x)的单调递增区间为[-3,1],选C. 答案:C
[方法技巧] 1.图象法求函数单调区间的步骤 (1)作图:作出函数的图象. (2)结论:上升图象对应单调递增区间,下降图象对应单调递减区间. 2.常见函数的单调区间 (1)y=ax+b,a>0 时,单调递增区间为(-∞,+∞);a<0 时,单调递减区 间为(-∞,+∞). (2)y=ax,a>0 时,单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞);a<0 时,单调递 增区间为(-∞,0)和(0,+∞). (3)y=a(x-m)2+n,a>0 时,单调递减区间为(-∞,m],单调递增区间为 (m,+∞);a<0 时,单调递增区间为(-∞,m],单调递减区间为(m,+∞).
5.3.1函数的单调性课件人教A版必修第一册

切线“左下 右上”上升
函数y=f (x) 的图象上升, 在x=x0附近 单调递增
y
y f (x)
(x1, f(x1)) O
(x0, f(x0)) x
在区间上, f ′(x)>0
在区间上,f (x) 单调递增
f (x0)>0 切线“左下右上” f (x)在x0附近↗
问题2:为什么函数的单调性与导数的正负之间有这样的关系?
f (x1)<0 切线“左上右下” f (x)在x1附近↘
探究
函数f (x)的图象如图,可知: 当x x1, f '(x1) 0,则切线是“左上右下”的 下降式,那么函数f (x)在x x1 附近单调递减. 当x x2, f '(x1) 0,则切线是“左下右上”的 上升式,那么函数f (x)在x x2 附近单调递增.
函数f (x)在区间(,1)上单调递减,在区间(1, +)上单调递增.
练1.判断下列函数的单调性: (1) f (x) x2 2x 4; (2) f (x) ex x.
(2) f (x) ex x, f '(x) ex 1; 若f '(x) 0,则x 0;若f '(x) 0,则x 0; 所以函数f (x)在区间(, 0)上单调递减,在区间(0, +)上单调递增.
当x 1,或x 4时,f '(x) 0,我们称它们为“稳定点(或临界点)”.
例题
例3..已知函数f x x3 x2 ax 1在R上为单调递增函数,求实数a的取值范围.
练1.判断下列函数的单调性: (1) f (x) x2 2x 4; (2) f (x) ex x.
(1) f (x) x2 2x 4, f '(x) 2x 2; 若f '(x) 0,则x 1;若f '(x) 0,则x 1;
高一数学精讲(人教版)第七讲函数的基本性质—单调性课件

y
y=x+1
1
-1 O x
yy
2 2y=-2x+2
11 x
O
x
y
y=x+1
1
-1 O x
y y y=-x2+2x
O
12 x
yy
2 2y=-2x+2
11 x
O
x
y
y=x+1
1
-1 O x
y y y=-x2+2x
O
12 x
yy
2 2 y=-2x+2
11 x
O
x
y y1 x
Ox
y
y x2
x O
y f ( x1 )
增函数、减函数的概念:
一般地,设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.
____[_2_1_,_4_9_].
m 16, f (x) 4x2 16x 1
4(x 2)2 15.
练习4
【1】已知函数y=f(x)在定义域R上是单调 减函数,且f(a+1) > f(3-a),求实数a 的取值范围
【2】函数y=f(x)是定义在(-1,1)上的减函 数,若f(2-a) > f(3-a),求实数a 的取值范围
如何用x与f(x)来描述降落的图象?
y y=f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1) f(x2)
O x1 x2 x
高中数学必修第一册人教A版3.2.1《函数的单调性》名师课件

减函数
如果对于定义域内某个区间内的 任意 两个自变量的值1, 2,
当1 < 2时,都有 1 > 2 , 那么就说()在区间D上是减函数。
如果函数 = ()在区间上是增函数或是减
函数,那么就说函数 = ()在这一区间具有(严
格的)单调性,区间叫做 = ()的单调区间.
典例讲授
例2.根据定义,研究函数 = + ( ≠ )的单调性
思路 根据函数单调性的定义,需要考察当 < 时, < 还是 >
分析 .根据实数大小关系的基本事实,只要考察 − 与0的大小关系.
解析
函数 = + ( ≠ )的定义域是R.∀, ∈ ,且 < ,
1 −2
< 0;③
1 −2
1 − 2
< 0;⑤ 1 − 2 1 − 2
>0;
>0;
⑥ 1 − 2 1 − 2 < 0.
能判断 在[, ]上为增函数的是函数的是①③⑤
;为减函数的是②④⑥
.
分析
由增函数、减函数的定义及不等式的性质,只要能判定对任意的
探究新知
视察() = 和() = 的图象的变化趋势
思考:() = ||
和 = −各
有怎样的单调性?
1、从左至右图象一直上升
−∞, +∞
2、在区间 ________上,随着的增
大()的值随着增大.
(-∞,0]
1、在 轴左侧是降落的,在区间 ______上,
()的值随着的增大而减小.
则 1 − 2 =
1
12 −1
1− 2ຫໍສະໝຸດ −1=22 −12
高中数学人教A版必修1第一章.1函数的单调性PPT全文课件

2. 若函数f (x) 在区间[a, b]及 (b, c]上都单调递减, 则f (x)在区间 [a, c]上的单调性为 ( D ) A. 单调递减; B. 单调递增;
C. 一定不单调; D. 不确定.
高中数学【人教A版必修】1第一章.1 函数的 单调性P PT全文 课件【 完美课 件】
3. 函数f (x)= 2x+1, (x≥1)
⑵若当x1< x2时,都有f(x1) > f(x2),则说在这个区间上 是减函数.
y
y
y = f (x)
y = f (x)
f(x1) f(x2)
x
a x1 xO 2 b
f(x1) f(x2)
a x1 xO 2 b
x
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上,当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1< x 2 时
★
☆
(1)
1
(2) y = x 3 y
(3)y = x
y
x1 x2 o
x
x1
o x2 x
o
x
由图看出图象有何变化特征? (1) 在 (-∞ , 0 ) 上,函数值随自变量增大而减小;
当 x 1、x 2 ∈ (-∞ , 0 ) 且 x 1< x 2 时,都有f ( x 1 ) > f ( x 2 )
1)
3 x23
3 x13
3 x13 x23
( x13
x
3 2
)
3 x13 x23
( x1 x2 )( x12
x1 x2
x22 )
②
3 x13 x23
( x1
x2 )[( x1
1 2
x2 )2
3 4
C. 一定不单调; D. 不确定.
高中数学【人教A版必修】1第一章.1 函数的 单调性P PT全文 课件【 完美课 件】
3. 函数f (x)= 2x+1, (x≥1)
⑵若当x1< x2时,都有f(x1) > f(x2),则说在这个区间上 是减函数.
y
y
y = f (x)
y = f (x)
f(x1) f(x2)
x
a x1 xO 2 b
f(x1) f(x2)
a x1 xO 2 b
x
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上,当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1< x 2 时
★
☆
(1)
1
(2) y = x 3 y
(3)y = x
y
x1 x2 o
x
x1
o x2 x
o
x
由图看出图象有何变化特征? (1) 在 (-∞ , 0 ) 上,函数值随自变量增大而减小;
当 x 1、x 2 ∈ (-∞ , 0 ) 且 x 1< x 2 时,都有f ( x 1 ) > f ( x 2 )
1)
3 x23
3 x13
3 x13 x23
( x13
x
3 2
)
3 x13 x23
( x1 x2 )( x12
x1 x2
x22 )
②
3 x13 x23
( x1
x2 )[( x1
1 2
x2 )2
3 4
人教版高中数学必修第一册3.2 函数的单调性 课时5 函数的单调性【课件】

−( − ) +, < ≤ ,
作出函数的图象如图.由图象可得:函数在区间(-3,-1)和(0,1)上单调递增,
在区间(-1,0)和(1,3)上单调递减.所以函数的单调递增区间为(-3,-1)和
(0,1);单调递减区间为(-1,0)和(1,3).
【方法规律】
图象法求函数单调区间的步骤
x1<x2⇔f(x1)>f(x2).
(2) 有关函数单调性应用的问题的求解,其通用的方法是利用转化思想解题,其思维
流程如下:
课堂反思
1.通过本节课的学习,你学到了哪些知识?
2.你认为本节课的重点和难点是什么?
随堂演练
1.下列四个函数中,在(0,+∞)上单调递增的是(
A. f(x)=3-x
C. f(x)=2x
(3) 已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1),则实数a的取值范围为
________.
思路点拨
画出二次函数的草图,结合图象分析,根据函数单调性的图象特征,建立
关于参数a的方程、不等式或不等式组,通过解方程、不等式或不等式组求出参数a
的值或取值范围.
【解】(1) f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3.得函数单调递增区
−
)
( − ) −
)=(x1-x2)+
=
(x1x2-4).由
x1,x2∈(2,+∞),得x1>2,x2>2,所以x1x2>4,x1x2-4>0.又由x1<x2,得
作出函数的图象如图.由图象可得:函数在区间(-3,-1)和(0,1)上单调递增,
在区间(-1,0)和(1,3)上单调递减.所以函数的单调递增区间为(-3,-1)和
(0,1);单调递减区间为(-1,0)和(1,3).
【方法规律】
图象法求函数单调区间的步骤
x1<x2⇔f(x1)>f(x2).
(2) 有关函数单调性应用的问题的求解,其通用的方法是利用转化思想解题,其思维
流程如下:
课堂反思
1.通过本节课的学习,你学到了哪些知识?
2.你认为本节课的重点和难点是什么?
随堂演练
1.下列四个函数中,在(0,+∞)上单调递增的是(
A. f(x)=3-x
C. f(x)=2x
(3) 已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1),则实数a的取值范围为
________.
思路点拨
画出二次函数的草图,结合图象分析,根据函数单调性的图象特征,建立
关于参数a的方程、不等式或不等式组,通过解方程、不等式或不等式组求出参数a
的值或取值范围.
【解】(1) f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3.得函数单调递增区
−
)
( − ) −
)=(x1-x2)+
=
(x1x2-4).由
x1,x2∈(2,+∞),得x1>2,x2>2,所以x1x2>4,x1x2-4>0.又由x1<x2,得
人教版高中数学必修1: 第一章第三节 函数的单调性ppt课件

O
x1 x2
函数f (x)在给定区间 上为减函数。
x
;
x 1, x 2 取值的恣意性
判别:定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1),那 么函数 f (x)在R上是增函数;
y
f(2)
f(1)
;
O 1 2x
y
y x2
f (x1)
x1 O
x
;
y
y x2
f (x1)
x1 O
x
;
y
假设函数y=f(x)在某个区间上是单调增函数 〔或单调减函数〕,那么称f(x)在这一区间上 具有单调性,这一区间称为单调增〔减〕区间。
;
例:以下图是定义在[-5,5]上的函数y=f〔x〕的图象,
根据图象说出y=f〔x〕的单调区间,以及在每一单调
区间上, y=f〔x〕是增函数还是减函数.
解: y=f〔x〕的单调区间有 [-5,-2〕,[-2,1〕
y x2
f (x1)
x1 O
x
;
y
y x2
f (x1)
x 1O
x
;
y
y x2
f (x1)
Ox1
x
;
y
y x2
f (x1)
O x1
x
;
y
y x2
f (x1)
O x1
x
;
y
y x2
f (x1)
O
x1
xx1)
O
x1
x
;
对于某种函数我们不能笼统地说: 函数值y随着x的增大而增大,或函数值y随着 x的增大而减小。这阐明函数的这一增减特征 是函数的 部分性质。
“部分〞还是 “整体〞 ?
人教版高中数学必修一教学课件《函数的单调性》

作业
补充 : 1. 证明函数f(x)=1/x 在(0,+∞)上
是减函数。
2. 证明函数f(x)=-x2在0, 上是 减
函 数。
• 感谢阅读
例1:如图是定义在闭区间[-5,5]上 的函数y=f(x)的图象,根据图象说 出y=f(x)的单调区间,以及在每一 个单调区间上, y=f(x)是增函数还 是减函数。
教学设计
例2:证明函数f(x)=3x+2在 R上是增函数。
步骤:
a、任取定义域内某区间上的 两变量x1,x2,设x1<x2;
b、判断f(x1) – f(x2)的正、负情况;
f(t2)
f(t1)
t1
t2
问题1 描述气温随时间推移的变化情况
问题2 在区间[4,16]上,气温是否随时间推移而升高?
问题3 怎样用数学语言来刻画“随着时间的推移气温逐渐升高”这一特 征?
上升
y y x 1
o
x
下降
y
y x 1
o
x
局部上升或下降 y
y x2
o
x
函数的这种性质称为函数的单调性
能用图象上动点P(x,y)的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋
势吗?
在某一区间内, 当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升;
当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。
新授
1.概念
y y f(x)
f (x1) f(x2)
O
x1
x2
x
在给定的区间上任
取x1,x2; x1 x2
情感态度与价值观: 在参与的过程中体验成功的喜悦,感受学习 数学的乐趣,提高学好数学的信.
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函数单调性
教材分析与处理
1. 教材的地位及作用 2. 教学目标 3. 重点难点 4.教学方法 5.教材处理
知识与技能:
教学目标设计
理解函数单调性的概念,掌握判断 一些简单函数的单调性的方法; 了解函数单调区间的概念。
过程与方法:
在探索过程中培养学生分析、归纳能 力、抽象思维能力及推理判断能力。
情感态度与价值观: 在参与的过程中体验成功的喜悦,感受学习 数学的乐趣,提高学好数学的自信.
教材分析与处理
重点: 函数单调性及单调区间的定义和单调
性的判断.
难点: 函数单调性的判断
教学过程 情景引入 互动探求 运用感悟 小结作业
情景引入
引入: 如图为上海市2006年元旦24小时内的气 温变化图.观察这张气温变化图:
f(t2)
f(t1)
t1
t2
问题1 描述气温随时间推移的变化情况
问题2 在区间[4,16]上,气温是否随时间推移而升高?
问题3 怎样用数学语言来刻画“随着时间的推移气温逐渐升高”这一特 征?
上升
y y x 1
o
下降
y
y x 1
o
x
局部上升或下降 y
y x2
o
x
函数的这种性质称为函数的单调性
能用图象上动点P(x,y)的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋
势吗?
在某一区间内, 当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升;
当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。
新授
1.概念
y y f(x)
f (x1) f(x2)
O
x1
x2
x
在给定的区间上任
取x1,x2; x1 x2
f(x 1) f(x 2 )
函数f (x)在给定区 间上为增函数。这
个给定的区间就为
单调增区间。
yy f(x)
f(x1) f(x2)
O x1 x2
x
在给定的区间上任
x 取x1,x2; 1 x2
f(x1) f(x 2 )
函数f (x)在给定区 间上为减函数。这 个给定的区间就为 单调减区间。
教学设计
例1:如图是定义在闭区间[-5,5]上 的函数y=f(x)的图象,根据图象说 出y=f(x)的单调区间,以及在每一 个单调区间上, y=f(x)是增函数还 是减函数。
是减函数。
2. 证明函数f(x)=-x2在0, 上是 减
函 数。
小结
1.函数单调性的定义 2.证明函数单调性的步骤
主要步骤
1. 任取x1,x2∈I,且x1<x2; 2. 作差f(x1)-f(x2); 3. 变形(通常是因式分解和配方); 4. 判断(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); 5. 下结论
作业
补充 : 1. 证明函数f(x)=1/x 在(0,+∞)上
教学设计
例2:证明函数f(x)=3x+2在 R上是增函数。
步骤:
a、任取定义域内某区间上的 两变量x1,x2,设x1<x2;
b、判断f(x1) – f(x2)的正、负情况;
c、得出结论
教学设计
例3:判断函数 f (x) x3 在 (, )上的单调性并证明
证明函数
f
(x)
4 x2
在区间
0, 上的单调性.
教材分析与处理
1. 教材的地位及作用 2. 教学目标 3. 重点难点 4.教学方法 5.教材处理
知识与技能:
教学目标设计
理解函数单调性的概念,掌握判断 一些简单函数的单调性的方法; 了解函数单调区间的概念。
过程与方法:
在探索过程中培养学生分析、归纳能 力、抽象思维能力及推理判断能力。
情感态度与价值观: 在参与的过程中体验成功的喜悦,感受学习 数学的乐趣,提高学好数学的自信.
教材分析与处理
重点: 函数单调性及单调区间的定义和单调
性的判断.
难点: 函数单调性的判断
教学过程 情景引入 互动探求 运用感悟 小结作业
情景引入
引入: 如图为上海市2006年元旦24小时内的气 温变化图.观察这张气温变化图:
f(t2)
f(t1)
t1
t2
问题1 描述气温随时间推移的变化情况
问题2 在区间[4,16]上,气温是否随时间推移而升高?
问题3 怎样用数学语言来刻画“随着时间的推移气温逐渐升高”这一特 征?
上升
y y x 1
o
下降
y
y x 1
o
x
局部上升或下降 y
y x2
o
x
函数的这种性质称为函数的单调性
能用图象上动点P(x,y)的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋
势吗?
在某一区间内, 当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升;
当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。
新授
1.概念
y y f(x)
f (x1) f(x2)
O
x1
x2
x
在给定的区间上任
取x1,x2; x1 x2
f(x 1) f(x 2 )
函数f (x)在给定区 间上为增函数。这
个给定的区间就为
单调增区间。
yy f(x)
f(x1) f(x2)
O x1 x2
x
在给定的区间上任
x 取x1,x2; 1 x2
f(x1) f(x 2 )
函数f (x)在给定区 间上为减函数。这 个给定的区间就为 单调减区间。
教学设计
例1:如图是定义在闭区间[-5,5]上 的函数y=f(x)的图象,根据图象说 出y=f(x)的单调区间,以及在每一 个单调区间上, y=f(x)是增函数还 是减函数。
是减函数。
2. 证明函数f(x)=-x2在0, 上是 减
函 数。
小结
1.函数单调性的定义 2.证明函数单调性的步骤
主要步骤
1. 任取x1,x2∈I,且x1<x2; 2. 作差f(x1)-f(x2); 3. 变形(通常是因式分解和配方); 4. 判断(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); 5. 下结论
作业
补充 : 1. 证明函数f(x)=1/x 在(0,+∞)上
教学设计
例2:证明函数f(x)=3x+2在 R上是增函数。
步骤:
a、任取定义域内某区间上的 两变量x1,x2,设x1<x2;
b、判断f(x1) – f(x2)的正、负情况;
c、得出结论
教学设计
例3:判断函数 f (x) x3 在 (, )上的单调性并证明
证明函数
f
(x)
4 x2
在区间
0, 上的单调性.