人教版高中数学必修一教学课件《函数的单调性》
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高中数学1[1].3.1函数的单调性课件新人教版必修1
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0
y
x1 x2
x
因此在f(x)在（0,+∞）上, 当x增大时, 函数值y 相应地随着增大。这与观察图象所得结果是一致的。 所以f(x)在（0,+∞）上是增函数。
函数 f(x)=x2 :
在(-∞,0)上任取 x1、x2 , 则f(x1)= x12 , f(x2)= x22 对任意 x1 < x2 , 都有 x12> x22 即对任意 x1 < x2，都有 f(x1) > f(x2) ∴函数 f(x)=x2 在(-∞,0)上是减函数。
y
y 1 x
y
y
y
o
x
在(-∞,0) 和(0,+∞) 是减函数
y
1 x
o
在(-∞,0) 和(0,+∞) x 是增函数
b , 在 2a
b y ax 2 bx c ， y 在 2a (a 0)
y y ax 2 bx c
判断题： 1 （1）已知f(x)= ，因为f(-1)<f(2),所以函数f(x)是 x 增函数。 （2）若函数f(x)满足f (2)<f(3),则函数f(x)在区间[2，3] 上为增函数。 （3）若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数， 则函数f(x)在(1，3)上为增函数。
1 （4）因为函数f(x)= x 在区间（-∞，0）和（0，+∞） 上都是减函数，所以f(x)= 1 在（-∞，0）∪（0，+∞） x 上是减函数。
(a 0)
o
x
增函数 b , 在 2a 减函数
o
增函数 b - x 在 - ， 2a 减函数
y
x1 x2
x
因此在f(x)在（0,+∞）上, 当x增大时, 函数值y 相应地随着增大。这与观察图象所得结果是一致的。 所以f(x)在（0,+∞）上是增函数。
函数 f(x)=x2 :
在(-∞,0)上任取 x1、x2 , 则f(x1)= x12 , f(x2)= x22 对任意 x1 < x2 , 都有 x12> x22 即对任意 x1 < x2，都有 f(x1) > f(x2) ∴函数 f(x)=x2 在(-∞,0)上是减函数。
y
y 1 x
y
y
y
o
x
在(-∞,0) 和(0,+∞) 是减函数
y
1 x
o
在(-∞,0) 和(0,+∞) x 是增函数
b , 在 2a
b y ax 2 bx c ， y 在 2a (a 0)
y y ax 2 bx c
判断题： 1 （1）已知f(x)= ，因为f(-1)<f(2),所以函数f(x)是 x 增函数。 （2）若函数f(x)满足f (2)<f(3),则函数f(x)在区间[2，3] 上为增函数。 （3）若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数， 则函数f(x)在(1，3)上为增函数。
1 （4）因为函数f(x)= x 在区间（-∞，0）和（0，+∞） 上都是减函数，所以f(x)= 1 在（-∞，0）∪（0，+∞） x 上是减函数。
(a 0)
o
x
增函数 b , 在 2a 减函数
o
增函数 b - x 在 - ， 2a 减函数
3.2.1函数的单调性课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
在区间[－1，0），[2，4)上是减函数.
定义法证明函数的单调性
例2 证明函数 f(x) = 3 x＋2在区间R上是增函数．
证明：设 x1，x2 是 R上任意两个实数，且x1﹤x2 设值
则 f(x1) - f(x2) = (3x1+2) - (3x2+2)
作差
= 3（x1-x2）
变形
由x1﹤x2 ，得 x1 - x2﹤0
那么就说在f(x)这个区间上是单调
x2
x
减函数，D称为f(x)的单调 减 区间.
如果函数y =f(x)在区间D是单调增函数或单调减函 数，那么就说函数y =f(x)在区间D上具有单调性。区 间D叫做y =f(x)的单调区间。
（1）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
判断1：函数f(x)= x2在(-∞,+∞)是单调增函数；
y
100
80
60 40
20
o1 2 3 t
思考1:当时间间隔t逐渐增
大你能看出对应的函数值y
y
100
有什么变化趋势？通过这个 80
实验，你打算以后如何对待 60
刚学过的知识?
40
20
思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线” o
1
2
3
t
从左至右是逐渐降落的，对此，
我们如何用数学观点进行解释？
思考1：画出下列函数的图象
y
（2） x1, x2 取值的任意性
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f
(2)>f(1)，
y
则函数 f (x)在R上是增函数；
f(2)
f(1)
y x2
o
x
O 1 2x
定义法证明函数的单调性
例2 证明函数 f(x) = 3 x＋2在区间R上是增函数．
证明：设 x1，x2 是 R上任意两个实数，且x1﹤x2 设值
则 f(x1) - f(x2) = (3x1+2) - (3x2+2)
作差
= 3（x1-x2）
变形
由x1﹤x2 ，得 x1 - x2﹤0
那么就说在f(x)这个区间上是单调
x2
x
减函数，D称为f(x)的单调 减 区间.
如果函数y =f(x)在区间D是单调增函数或单调减函 数，那么就说函数y =f(x)在区间D上具有单调性。区 间D叫做y =f(x)的单调区间。
（1）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
判断1：函数f(x)= x2在(-∞,+∞)是单调增函数；
y
100
80
60 40
20
o1 2 3 t
思考1:当时间间隔t逐渐增
大你能看出对应的函数值y
y
100
有什么变化趋势？通过这个 80
实验，你打算以后如何对待 60
刚学过的知识?
40
20
思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线” o
1
2
3
t
从左至右是逐渐降落的，对此，
我们如何用数学观点进行解释？
思考1：画出下列函数的图象
y
（2） x1, x2 取值的任意性
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f
(2)>f(1)，
y
则函数 f (x)在R上是增函数；
f(2)
f(1)
y x2
o
x
O 1 2x
人教版高中数学必修1《函数的单调性》PPT课件
k(x1 x2 )．
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
高中数学人教A版必修第一册课件3.2.1《函数的单调性》课件
能不能说y 1 (x 0)在定义域(, 0) (0, )上 x
是单调减函数?
2试讨论 f (x) k (k 0)在 , 0 和 0, 上的单调性？
x
练习2.画出下列函数图像，并写出单调区间：
(2) y x2 2. y x2 +2的单调增区间是_(____,_0_];
y
y=-x2+2
3.2.1单调性与最大（小）值 （第一课时）
气温T是关于时间t的函数曲线图
10 T(℃)
8 6 4 2
o
4
-2
8
12
16
20
24 t
思考:气温产生了怎样的变化？
在哪段时间气温升高，在哪段气温降低？
视察下列各个函数的图象，并说说它们 分别反应了相应函数的哪些变化规律?
1、视察这三个图象，你能说出图象的特征吗？ 2、随x的增大，y的值有什么变化？
取值 作差 变形
定号
结论
用定义证明函数的单调性的步骤:
(1) 设x1＜x2, 并是某个区间上任意两个数; (2) 作差 f(x1)－f(x2) ; (3)判断 f(x1)－f(x2) 的符号:
① 分解因式, 得出因式x1－x2 .
② 配成非负实数和.
(4) 作结论.
我例们2、，物对理于学一中定的量玻的意气耳体定，律p当其Vk 体(k为积正V常减数小)时，告压知
分别是增函数和减函数.
y
判断：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则函数 f (x)在R上是增 函数吗?
f(2) f(1)
O 1 2x
二、函数单调区间定义
如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函 数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这 一区间具有（严格的）单调性，区间D叫 做y=f(x)的单调区间.
是单调减函数?
2试讨论 f (x) k (k 0)在 , 0 和 0, 上的单调性？
x
练习2.画出下列函数图像，并写出单调区间：
(2) y x2 2. y x2 +2的单调增区间是_(____,_0_];
y
y=-x2+2
3.2.1单调性与最大（小）值 （第一课时）
气温T是关于时间t的函数曲线图
10 T(℃)
8 6 4 2
o
4
-2
8
12
16
20
24 t
思考:气温产生了怎样的变化？
在哪段时间气温升高，在哪段气温降低？
视察下列各个函数的图象，并说说它们 分别反应了相应函数的哪些变化规律?
1、视察这三个图象，你能说出图象的特征吗？ 2、随x的增大，y的值有什么变化？
取值 作差 变形
定号
结论
用定义证明函数的单调性的步骤:
(1) 设x1＜x2, 并是某个区间上任意两个数; (2) 作差 f(x1)－f(x2) ; (3)判断 f(x1)－f(x2) 的符号:
① 分解因式, 得出因式x1－x2 .
② 配成非负实数和.
(4) 作结论.
我例们2、，物对理于学一中定的量玻的意气耳体定，律p当其Vk 体(k为积正V常减数小)时，告压知
分别是增函数和减函数.
y
判断：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则函数 f (x)在R上是增 函数吗?
f(2) f(1)
O 1 2x
二、函数单调区间定义
如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函 数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这 一区间具有（严格的）单调性，区间D叫 做y=f(x)的单调区间.
数学人教A版必修一3.2.1函数的单调性课件(共23张ppt)
有(1 ) < (2 )，就称函数 = ()在区间上是增函数.
(× )
(× )
② 函数 = ()在区间上是增函数，如果(1 ) < (2 )，则1 < 2 .
1
③ () = 在定义域内为减函数.
（× ）
④ 若函数 = ()的定义域内区间D上的任意两个变量1 , 2 ，
1
在区间
1, +∞ 上的单调性.
例题演练
例 3-2
根据定义证明函数 = −
1
在区间
0, +∞ 上的单调性.
例题演练
例 4
已知函数 =
1
.
2 −1
（1）求 的定义域；
（2）判断函数 在 1, +∞ 上的单调性，并用定义加以证明.
例题演练
变 4
求证：函数 =
1
2
2
−∞, −
=−
2
概念剖析
（3）反比例函数 =
和 (0， + ∞)上都是减函数；
①k __
> 0 时，在(−∞，0) ____
和 (0， + ∞)上都是增函数．
< 0 时，在(−∞，0) ____
②k __
概念剖析
观察函数图象：
(1 )
= 2
(2 )
你觉得它们反映了函数的哪些方面的性质？
概念剖析
反比例函数 =
1. 列表：
1
=
1
−
3
1
的表示：
1
−
2
2. 函数解析式： =
(× )
(× )
② 函数 = ()在区间上是增函数，如果(1 ) < (2 )，则1 < 2 .
1
③ () = 在定义域内为减函数.
（× ）
④ 若函数 = ()的定义域内区间D上的任意两个变量1 , 2 ，
1
在区间
1, +∞ 上的单调性.
例题演练
例 3-2
根据定义证明函数 = −
1
在区间
0, +∞ 上的单调性.
例题演练
例 4
已知函数 =
1
.
2 −1
（1）求 的定义域；
（2）判断函数 在 1, +∞ 上的单调性，并用定义加以证明.
例题演练
变 4
求证：函数 =
1
2
2
−∞, −
=−
2
概念剖析
（3）反比例函数 =
和 (0， + ∞)上都是减函数；
①k __
> 0 时，在(−∞，0) ____
和 (0， + ∞)上都是增函数．
< 0 时，在(−∞，0) ____
②k __
概念剖析
观察函数图象：
(1 )
= 2
(2 )
你觉得它们反映了函数的哪些方面的性质？
概念剖析
反比例函数 =
1. 列表：
1
=
1
−
3
1
的表示：
1
−
2
2. 函数解析式： =
人教版高一数学必修一函数单调性的性质课件PPT
思考3：一个函数在其定义域内，就单调性而言 有哪几种可能情形？
思考4:若函数 在区间D上具有单调性， ,那么 分别在区间A、B上具有单
调性吗？
思考5:下列图象表示的函数是增函数吗？
y
yபைடு நூலகம்
o
x
图1
o
x
图2
思考6:一般地，若函数 在区间A、B上是
单调函数，那么 在区间 上是单调函
数吗？
理论迁移
例1 已知函数 的解集.
上是减函数？
f (x)
知识探究（二）
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，则 称函数 f (x)在这一区间具有（严格的）单调性，区 间D叫做函数 f (x)的单调区间，此时也说函数 f (x) 在这一区间上是单调函数.
思考1：函数 f (x) kx b 是单调函数吗？
思考2：函数 f (x) | x | 在R上具有单调性吗？ 其单调区间如何？
则函数 f (x)在区间D上的单调性如何？ x1 x2
若 f (x1) f (x2 ) 0 呢？
x1 x2
思考2：若函数 f 为常数，则函数
a(x)在f (区x)间、Da上f 为(x增) 的函单数调，a性如0何？
思考3：若函数 f (x)、g(x) 在区间D上都是增函数， 则函数 f (x) g(x) 、f (x) g(x)在区间D上的单调性 能否确定？
问题提出
1. 函数在区间D上是增函数、减函数的定义是什 么？ 2. 增函数、减函数的图象分别有何特征？
3. 增函数、减函数有那些基本性质？
知识探究（一）
对于函数 f (x)定义域内某个区间D上的任意两
个自变量的值 x1, x2 ,若当 x1 x2 时，都有
思考4:若函数 在区间D上具有单调性， ,那么 分别在区间A、B上具有单
调性吗？
思考5:下列图象表示的函数是增函数吗？
y
yபைடு நூலகம்
o
x
图1
o
x
图2
思考6:一般地，若函数 在区间A、B上是
单调函数，那么 在区间 上是单调函
数吗？
理论迁移
例1 已知函数 的解集.
上是减函数？
f (x)
知识探究（二）
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，则 称函数 f (x)在这一区间具有（严格的）单调性，区 间D叫做函数 f (x)的单调区间，此时也说函数 f (x) 在这一区间上是单调函数.
思考1：函数 f (x) kx b 是单调函数吗？
思考2：函数 f (x) | x | 在R上具有单调性吗？ 其单调区间如何？
则函数 f (x)在区间D上的单调性如何？ x1 x2
若 f (x1) f (x2 ) 0 呢？
x1 x2
思考2：若函数 f 为常数，则函数
a(x)在f (区x)间、Da上f 为(x增) 的函单数调，a性如0何？
思考3：若函数 f (x)、g(x) 在区间D上都是增函数， 则函数 f (x) g(x) 、f (x) g(x)在区间D上的单调性 能否确定？
问题提出
1. 函数在区间D上是增函数、减函数的定义是什 么？ 2. 增函数、减函数的图象分别有何特征？
3. 增函数、减函数有那些基本性质？
知识探究（一）
对于函数 f (x)定义域内某个区间D上的任意两
个自变量的值 x1, x2 ,若当 x1 x2 时，都有
高中数学必修一(人教版)《3.2.1 第一课时 函数的单调性》课件
(1)已知f(x)的定义域为[a，b]且为增函数，若f(m)＞f(n)，则m，n满足什么
关系？
a≤m≤b， 提示：a≤n≤b，
m＞n
⇔f(m)＞f(n)．
(2)影响二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性的因素有哪些？ 提示：a 的正负及－2ba的大小．
【学透用活】 [典例3] (1)已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3. ①若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________； ②若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________． (2) 若 函数 f(x) ＝ x2 ＋ ax ＋ b 在 区间 [1,2] 上不 单 调 ， 则 实 数 a 的取 值 范 围为 ________．
答案：(－∞，1)，(1，＋∞)
2．将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”改为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？ 解：函数y＝|－x2＋2x＋3|的图象如图所示．
由图象可知其单调递增区间为[－1,1]，[3，＋∞)；单调递减区间为 (－∞，－1)，(1,3)．
题型三 函数单调性的应用
[探究发现]
(3)若f(x)是R上的减函数，则f(－3)>f(2)．
()
(4)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增，则函数f(x)在区间(1,3)上也单
调递增．
()
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是 A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] 解析：由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]，选C. 答案：C
[方法技巧] 1．图象法求函数单调区间的步骤 (1)作图：作出函数的图象． (2)结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间． 2．常见函数的单调区间 (1)y＝ax＋b，a>0 时，单调递增区间为(－∞，＋∞)；a<0 时，单调递减区 间为(－∞，＋∞)． (2)y＝ax，a>0 时，单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；a<0 时，单调递 增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． (3)y＝a(x－m)2＋n，a>0 时，单调递减区间为(－∞，m]，单调递增区间为 (m，＋∞)；a<0 时，单调递增区间为(－∞，m]，单调递减区间为(m，＋∞)．
5.3.1函数的单调性课件人教A版必修第一册
切线“左下 右上”上升
函数y=f (x) 的图象上升， 在x=x0附近 单调递增
y
y f (x)
(x1, f(x1)) O
(x0, f(x0)) x
在区间上， f ′(x)>0
在区间上，f (x) 单调递增
f (x0)>0 切线“左下右上” f (x)在x0附近↗
问题2：为什么函数的单调性与导数的正负之间有这样的关系？
f (x1)<0 切线“左上右下” f (x)在x1附近↘
探究
函数f (x)的图象如图，可知： 当x x1, f '(x1) 0,则切线是“左上右下”的 下降式，那么函数f (x)在x x1 附近单调递减. 当x x2, f '(x1) 0,则切线是“左下右上”的 上升式，那么函数f (x)在x x2 附近单调递增.
函数f (x)在区间(,1)上单调递减，在区间(1, +)上单调递增.
练1.判断下列函数的单调性: (1) f (x) x2 2x 4; (2) f (x) ex x.
(2) f (x) ex x, f '(x) ex 1; 若f '(x) 0,则x 0；若f '(x) 0,则x 0； 所以函数f (x)在区间(, 0)上单调递减，在区间(0, +)上单调递增.
当x 1,或x 4时,f '(x) 0,我们称它们为“稳定点（或临界点）”.
例题
例3..已知函数f x x3 x2 ax 1在R上为单调递增函数，求实数a的取值范围.
练1.判断下列函数的单调性: (1) f (x) x2 2x 4; (2) f (x) ex x.
(1) f (x) x2 2x 4, f '(x) 2x 2; 若f '(x) 0,则x 1；若f '(x) 0,则x 1；
高一数学精讲(人教版)第七讲函数的基本性质—单调性课件
y
y＝x＋1
1
-1 O x
yy
2 2y＝－2x＋2
11 x
O
x
y
y＝x＋1
1
-1 O x
y y y＝－x2＋2x
O
12 x
yy
2 2y＝－2x＋2
11 x
O
x
y
y＝x＋1
1
-1 O x
y y y＝－x2＋2x
O
12 x
yy
2 2 y＝－2x＋2
11 x
O
x
y y1 x
Ox
y
y x2
x O
y f ( x1 )
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.
____[_2_1_,_4_9_].
m 16, f (x) 4x2 16x 1
4(x 2)2 15.
练习4
【1】已知函数y=f(x)在定义域R上是单调 减函数,且f(a+1) > f(3-a),求实数a 的取值范围
【2】函数y=f(x)是定义在(-1,1)上的减函 数,若f(2-a) > f(3-a),求实数a 的取值范围
如何用x与f(x)来描述降落的图象？
y y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1) f(x2)
O x1 x2 x
高中数学必修第一册人教A版3.2.1《函数的单调性》名师课件
减函数
如果对于定义域内某个区间内的 任意 两个自变量的值1, 2,
当1 < 2时，都有 1 > 2 , 那么就说()在区间D上是减函数。
如果函数 = ()在区间上是增函数或是减
函数，那么就说函数 = ()在这一区间具有(严
格的)单调性，区间叫做 = ()的单调区间.
典例讲授
例2.根据定义，研究函数 = + ( ≠ )的单调性
思路 根据函数单调性的定义，需要考察当 < 时， < 还是 >
分析 .根据实数大小关系的基本事实，只要考察 − 与0的大小关系.
解析
函数 = + ( ≠ )的定义域是R.∀， ∈ ，且 < ，
1 −2
< 0；③
1 −2
1 − 2
< 0；⑤ 1 − 2 1 − 2
>0；
>0；
⑥ 1 − 2 1 − 2 < 0.
能判断 在[, ]上为增函数的是函数的是①③⑤
；为减函数的是②④⑥
.
分析
由增函数、减函数的定义及不等式的性质，只要能判定对任意的
探究新知
视察() = 和() = 的图象的变化趋势
思考：() = ||
和 = −各
有怎样的单调性？
1、从左至右图象一直上升
−∞, +∞
2、在区间 ________上，随着的增
大()的值随着增大.
(-∞,0]
1、在 轴左侧是降落的，在区间 ______上，
()的值随着的增大而减小.
则 1 − 2 =
1
12 −1
1− 2ຫໍສະໝຸດ −1=22 −12
高中数学人教A版必修1第一章.1函数的单调性PPT全文课件
2. 若函数f (x) 在区间[a, b]及 (b, c]上都单调递减, 则f (x)在区间 [a, c]上的单调性为 ( D ) A. 单调递减; B. 单调递增;
C. 一定不单调; D. 不确定.
高中数学【人教A版必修】1第一章.1 函数的 单调性P PT全文 课件【 完美课 件】
3. 函数f (x)= 2x+1, (x≥1)
⑵若当x1< x2时，都有f(x1) > f(x2),则说在这个区间上 是减函数.
y
y
y = f (x)
y = f (x)
f(x1) f(x2)
x
a x1 xO 2 b
f(x1) f(x2)
a x1 xO 2 b
x
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
★
☆
（1）
1
（2） y = x 3 y
（3）y = x
y
x1 x2 o
x
x1
o x2 x
o
x
由图看出图象有何变化特征？ (1) 在 (－∞ , 0 ) 上，函数值随自变量增大而减小；
当 x 1、x 2 ∈ (－∞ , 0 ) 且 x 1＜ x 2 时，都有f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )
1)
3 x23
3 x13
3 x13 x23
( x13
x
3 2
)
3 x13 x23
( x1 x2 )( x12
x1 x2
x22 )
②
3 x13 x23
( x1
x2 )[( x1
1 2
x2 )2
3 4
C. 一定不单调; D. 不确定.
高中数学【人教A版必修】1第一章.1 函数的 单调性P PT全文 课件【 完美课 件】
3. 函数f (x)= 2x+1, (x≥1)
⑵若当x1< x2时，都有f(x1) > f(x2),则说在这个区间上 是减函数.
y
y
y = f (x)
y = f (x)
f(x1) f(x2)
x
a x1 xO 2 b
f(x1) f(x2)
a x1 xO 2 b
x
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
★
☆
（1）
1
（2） y = x 3 y
（3）y = x
y
x1 x2 o
x
x1
o x2 x
o
x
由图看出图象有何变化特征？ (1) 在 (－∞ , 0 ) 上，函数值随自变量增大而减小；
当 x 1、x 2 ∈ (－∞ , 0 ) 且 x 1＜ x 2 时，都有f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )
1)
3 x23
3 x13
3 x13 x23
( x13
x
3 2
)
3 x13 x23
( x1 x2 )( x12
x1 x2
x22 )
②
3 x13 x23
( x1
x2 )[( x1
1 2
x2 )2
3 4
人教版高中数学必修第一册3.2 函数的单调性 课时5 函数的单调性【课件】
−( − ) +, < ≤ ,
作出函数的图象如图.由图象可得:函数在区间(-3,-1)和(0,1)上单调递增,
在区间(-1,0)和(1,3)上单调递减.所以函数的单调递增区间为(-3,-1)和
(0,1);单调递减区间为(-1,0)和(1,3).
【方法规律】
图象法求函数单调区间的步骤
x1<x2⇔f(x1)>f(x2).
(2) 有关函数单调性应用的问题的求解,其通用的方法是利用转化思想解题,其思维
流程如下:
课堂反思
1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1.下列四个函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是(
A. f(x)＝3－x
C. f(x)＝2x
(3) 已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1),则实数a的取值范围为
________.
思路点拨
画出二次函数的草图,结合图象分析,根据函数单调性的图象特征,建立
关于参数a的方程、不等式或不等式组,通过解方程、不等式或不等式组求出参数a
的值或取值范围.
【解】(1) f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3.得函数单调递增区
−
)
( − ) −
)=(x1-x2)+
=
(x1x2-4).由
x1,x2∈(2,+∞),得x1>2,x2>2,所以x1x2>4,x1x2-4>0.又由x1<x2,得
作出函数的图象如图.由图象可得:函数在区间(-3,-1)和(0,1)上单调递增,
在区间(-1,0)和(1,3)上单调递减.所以函数的单调递增区间为(-3,-1)和
(0,1);单调递减区间为(-1,0)和(1,3).
【方法规律】
图象法求函数单调区间的步骤
x1<x2⇔f(x1)>f(x2).
(2) 有关函数单调性应用的问题的求解,其通用的方法是利用转化思想解题,其思维
流程如下:
课堂反思
1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1.下列四个函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是(
A. f(x)＝3－x
C. f(x)＝2x
(3) 已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1),则实数a的取值范围为
________.
思路点拨
画出二次函数的草图,结合图象分析,根据函数单调性的图象特征,建立
关于参数a的方程、不等式或不等式组,通过解方程、不等式或不等式组求出参数a
的值或取值范围.
【解】(1) f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3.得函数单调递增区
−
)
( − ) −
)=(x1-x2)+
=
(x1x2-4).由
x1,x2∈(2,+∞),得x1>2,x2>2,所以x1x2>4,x1x2-4>0.又由x1<x2,得
人教版高中数学必修1： 第一章第三节 函数的单调性ppt课件
O
x1 x2
函数f (x)在给定区间 上为减函数。
x
;
x 1, x 2 取值的恣意性
判别：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，那 么函数 f (x)在R上是增函数；
y
f(2)
f(1)
;
O 1 2x
y
y x2
f (x1)
x1 O
x
;
y
y x2
f (x1)
x1 O
x
;
y
假设函数y=f(x)在某个区间上是单调增函数 〔或单调减函数〕，那么称f(x)在这一区间上 具有单调性，这一区间称为单调增〔减〕区间。
;
例:以下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f〔x〕的图象，
根据图象说出y＝f〔x〕的单调区间，以及在每一单调
区间上， y＝f〔x〕是增函数还是减函数.
解： y＝f〔x〕的单调区间有 [－5，－2〕，[－2，1〕
y x2
f (x1)
x1 O
x
;
y
y x2
f (x1)
x 1O
x
;
y
y x2
f (x1)
Ox1
x
;
y
y x2
f (x1)
O x1
x
;
y
y x2
f (x1)
O x1
x
;
y
y x2
f (x1)
O
x1
xx1)
O
x1
x
;
对于某种函数我们不能笼统地说: 函数值y随着x的增大而增大，或函数值y随着 x的增大而减小。这阐明函数的这一增减特征 是函数的 部分性质。
“部分〞还是 “整体〞 ？
人教版高中数学必修一教学课件《函数的单调性》
作业
补充 ： 1. 证明函数f(x)=1/x 在(0，+∞)上
是减函数。
2. 证明函数f（x）=-x2在0, 上是 减
函 数。
• 感谢阅读
例1：如图是定义在闭区间[-5,5]上 的函数y=f(x)的图象，根据图象说 出y=f(x)的单调区间，以及在每一 个单调区间上， y=f(x)是增函数还 是减函数。
教学设计
例2：证明函数f(x)=3x+2在 R上是增函数。
步骤：
a、任取定义域内某区间上的 两变量x1，x2，设x1<x2；
b、判断f(x1) – f(x2)的正、负情况；
f(t2)
f(t1)
t1
t2
问题1 描述气温随时间推移的变化情况
问题2 在区间［4，16］上，气温是否随时间推移而升高？
问题3 怎样用数学语言来刻画“随着时间的推移气温逐渐升高”这一特 征？
上升
y y x 1
o
x
下降
y
y x 1
o
x
局部上升或下降 y
y x2
o
x
函数的这种性质称为函数的单调性
能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋
势吗？
在某一区间内， 当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升；
当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。
新授
1.概念
y y f(x)
f (x1) f(x2)
O
x1
x2
x
在给定的区间上任
取x1，x2； x1 x2
情感态度与价值观： 在参与的过程中体验成功的喜悦，感受学习 数学的乐趣，提高学好数学的信.
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函数单调性
教材分析与处理
1. 教材的地位及作用 2. 教学目标 3. 重点难点 4.教学方法 5.教材处理
知识与技能：
教学目标设计
理解函数单调性的概念，掌握判断 一些简单函数的单调性的方法； 了解函数单调区间的概念。
过程与方法：
在探索过程中培养学生分析、归纳能 力、抽象思维能力及推理判断能力。
情感态度与价值观： 在参与的过程中体验成功的喜悦，感受学习 数学的乐趣，提高学好数学的自信.
教材分析与处理
重点： 函数单调性及单调区间的定义和单调
性的判断.
难点： 函数单调性的判断
教学过程 情景引入 互动探求 运用感悟 小结作业
情景引入
引入： 如图为上海市2006年元旦24小时内的气 温变化图．观察这张气温变化图：
f(t2)
f(t1)
t1
t2
问题1 描述气温随时间推移的变化情况
问题2 在区间［4，16］上，气温是否随时间推移而升高？
问题3 怎样用数学语言来刻画“随着时间的推移气温逐渐升高”这一特 征？
上升
y y x 1
o
下降
y
y x 1
o
x
局部上升或下降 y
y x2
o
x
函数的这种性质称为函数的单调性
能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋
势吗？
在某一区间内， 当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升；
当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。
新授
1.概念
y y f(x)
f (x1) f(x2)
O
x1
x2
x
在给定的区间上任
取x1，x2； x1 x2
f(x 1) f(x 2 )
函数f (x)在给定区 间上为增函数。这
个给定的区间就为
单调增区间。
yy f(x)
f(x1) f(x2)
O x1 x2
x
在给定的区间上任
x 取x1，x2； 1 x2
f(x1) f(x 2 )
函数f (x)在给定区 间上为减函数。这 个给定的区间就为 单调减区间。
教学设计
例1：如图是定义在闭区间[-5,5]上 的函数y=f(x)的图象，根据图象说 出y=f(x)的单调区间，以及在每一 个单调区间上， y=f(x)是增函数还 是减函数。
是减函数。
2. 证明函数f（x）=-x2在0, 上是 减
函 数。
小结
1.函数单调性的定义 2.证明函数单调性的步骤
主要步骤
1. 任取x1，x2∈I，且x1<x2； 2. 作差f(x1)－f(x2)； 3. 变形（通常是因式分解和配方）； 4. 判断（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5. 下结论
作业
补充 ： 1. 证明函数f(x)=1/x 在(0，+∞)上
教学设计
例2：证明函数f(x)=3x+2在 R上是增函数。
步骤：
a、任取定义域内某区间上的 两变量x1，x2，设x1<x2；
b、判断f(x1) – f(x2)的正、负情况；
c、得出结论
教学设计
例3：判断函数 f (x) x3 在 (, )上的单调性并证明
证明函数
f
(x)
4 x2
在区间
0, 上的单调性.
教材分析与处理
1. 教材的地位及作用 2. 教学目标 3. 重点难点 4.教学方法 5.教材处理
知识与技能：
教学目标设计
理解函数单调性的概念，掌握判断 一些简单函数的单调性的方法； 了解函数单调区间的概念。
过程与方法：
在探索过程中培养学生分析、归纳能 力、抽象思维能力及推理判断能力。
情感态度与价值观： 在参与的过程中体验成功的喜悦，感受学习 数学的乐趣，提高学好数学的自信.
教材分析与处理
重点： 函数单调性及单调区间的定义和单调
性的判断.
难点： 函数单调性的判断
教学过程 情景引入 互动探求 运用感悟 小结作业
情景引入
引入： 如图为上海市2006年元旦24小时内的气 温变化图．观察这张气温变化图：
f(t2)
f(t1)
t1
t2
问题1 描述气温随时间推移的变化情况
问题2 在区间［4，16］上，气温是否随时间推移而升高？
问题3 怎样用数学语言来刻画“随着时间的推移气温逐渐升高”这一特 征？
上升
y y x 1
o
下降
y
y x 1
o
x
局部上升或下降 y
y x2
o
x
函数的这种性质称为函数的单调性
能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋
势吗？
在某一区间内， 当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升；
当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。
新授
1.概念
y y f(x)
f (x1) f(x2)
O
x1
x2
x
在给定的区间上任
取x1，x2； x1 x2
f(x 1) f(x 2 )
函数f (x)在给定区 间上为增函数。这
个给定的区间就为
单调增区间。
yy f(x)
f(x1) f(x2)
O x1 x2
x
在给定的区间上任
x 取x1，x2； 1 x2
f(x1) f(x 2 )
函数f (x)在给定区 间上为减函数。这 个给定的区间就为 单调减区间。
教学设计
例1：如图是定义在闭区间[-5,5]上 的函数y=f(x)的图象，根据图象说 出y=f(x)的单调区间，以及在每一 个单调区间上， y=f(x)是增函数还 是减函数。
是减函数。
2. 证明函数f（x）=-x2在0, 上是 减
函 数。
小结
1.函数单调性的定义 2.证明函数单调性的步骤
主要步骤
1. 任取x1，x2∈I，且x1<x2； 2. 作差f(x1)－f(x2)； 3. 变形（通常是因式分解和配方）； 4. 判断（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5. 下结论
作业
补充 ： 1. 证明函数f(x)=1/x 在(0，+∞)上
教学设计
例2：证明函数f(x)=3x+2在 R上是增函数。
步骤：
a、任取定义域内某区间上的 两变量x1，x2，设x1<x2；
b、判断f(x1) – f(x2)的正、负情况；
c、得出结论
教学设计
例3：判断函数 f (x) x3 在 (, )上的单调性并证明
证明函数
f
(x)
4 x2
在区间
0, 上的单调性.