自旋霍尔效应简介

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圖 2：Rashba-SOC 外加電場產生 SHE。 三、自旋擴散的傳輸行為: 然而，近幾年的理論研究指出，對於 有雜質的樣品，我們必須考慮雜質對 SHE 的影響，因此我們要考慮擴散範疇 (diffusive regime)，就是自旋轉動一圈所 走的距離(spin procession length)： lso 遠 大於電子平均自由路徑(mean free path)
………………………………(A) Dresselhaus-SOC 的自旋擴散方程為：
∂2 b xzy ∂ xx b D ∂y 2 ( S x − S x ) + R ∂y S z −Γ ( S x − S x ) = 0 ∂2 D 2 S y − Γ yy S y = 0 ∂y 2 ∂ ∂ b − Γ zz S z = 0 D 2 S z + R zxy ( S x − S x ) y y ∂ ∂
一、前言： 一般元件的應用是利用材料中電荷 (電子或電洞)相關的傳輸現象,但是隨著 科學的日新月異，人類已經開始利用電子 的另一個自由度：自旋 (spin)。自旋是電 子與生俱來的一個角動量，從解相對論性 的狄拉克方程式(Dirac’s equation)得到的 電子波函數很自然就包含電子自旋的部 份,透過對電子自旋的操控,也為理論與 應用科學開啟另一扇大門，尤其是 Albert Fert 和 Peter Gruenberg(兩位教授為 2007 年諾貝爾物理獎得主)發現了巨磁阻 (GMR)材料，也讓自旋相關的傳輸現象開 始被廣泛應用。 除了金屬性的 GMR 材料，由於半導 體產業的蓬勃發展，在半導體材料中我們 也 可 以 利 用 自 旋 軌 道 耦 合 (spin-orbit coupling)來操控電子的自旋傳輸，其主要 的優點是可以方式將有興趣的材料拉長
(h , h ) = (β p ( p
x p y p x
2 y
2 − κ 2 ) , β p y (κ 2 − px )
)
， β 是 Dresselhaus-SOC 耦合係數。 以上的 SOC 等效磁場關係式告訴我 們，對於 Rashba-SOC 電子的自旋方向是 垂直於電子運動方向 ； Dresselhaus-SOC 電
le，這個理論給我們一個驚訝的結果，那
就 是 證 實 了 對 於 動 量 線 性 相 關 (linear-momentum dependent)的 SOC 系統 (例如: Rashba-SOC)，雜質貢獻的霍爾電 導剛好為 −σ sH ，剛好完全抵銷樣品本身
………………………………(B)
2 其 中 擴 散 係 數 D = vF τ / 2 ( vF 費米速
2 y I sH = R zjy S b j + 8τ eE x N 0 vF
((∂h
JJ G
p
JJ G / ∂px × hp
)
)
z
電場對自旋產生交互作用，與外加電場有
0 關 的 量 D0 = −2 N 0 eEx x (N0 是 費 米 態 密
動量做角度平均的意思。自旋弛豫率為
2 Γij = 4τ hp (δ il − nip nlp ) ， 單 位 向 量
G G ˆ p = hp / | hp | ，表示電子碰撞雜質改變運 n
動方向，導致等效 SOC 磁場也改變，自旋 會傾向於繞著新磁場轉動，碰撞很多次會
0 使自旋弛豫。 Sib = M i 0 D0 / 2 為塊材自旋
H SO =
K = λ 1 dV K K K K L ⋅σ σ ⋅ (∇V × P) = − vac 2 2 = r dr 4m0 c
；其中, V(r)是空間中的位能變化，m0 為 自由電子質量， σ 表示 Pauli 矩陣向量，
Fra Baidu bibliotek
G
G L 是 軌 道 角 動 量 ， 常 數
，然後短暫的利用電性的方式來操控自
…………………………………(C) Dresselhaus-SOC 自旋流為
∂ b − R xzy S z =0 −2 D ( S x − S x ) y =± d / 2 ∂y y =± d / 2 −2 D ∂ S b − R zxy ( S x − S x ) y =± d / 2 + I sH δ iz = 0 z y ∂ y =± d / 2
− py 方 向 電 子 自 旋 繞 等 效 磁 場 方 向 相
反 ， 使得往+y 與-y 方向的電子會有不同的 z 方向自旋極化；因此我們可以得到一個 普 適 的 自 旋 霍 爾 電 導 常 數 ：
σ sH = e / 8π = 。在平衡態時，內稟 SOC
所造成的等效磁場會使電子自旋方向躺 在二維的平面上，但是在非平衡態 (non-equilibrium)時，一個外加的電場卻 可以引起 z 方向極化的電子自旋。
自旋霍爾效應之簡介
Introduction of spin-Hall effect metal linear nanowires
王律堯 國立交通大學電子物理系 摘要： 自旋電子學一直是現代科學與工業應用相當重視的一個領域，利用操控電子自旋 可以對新一代的元件發展以及儲存技術有重大的突破；在半導體材料中，電子自旋軌 道耦合提供一個可能的方式讓我們可以操控電子自旋的傳輸行為，而其中很重要的一 個現象就是「自旋霍爾效應」 ，它提供一個簡單的物理機制去利用縱向的電流去產生 橫向的自旋流，我們這邊討論的內稟自旋霍爾效應是由半導體材料中的自旋軌道耦合 所造成的現象，希望藉此可以讓我們對於操控電子自旋有更近一步的認識。
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許多應用已經被實現，例如：應用在磁碟 儲存、記憶體等；將來甚至運用電子自旋 可以讓量子電腦被實現 1。 本文將著重簡介在半導體材料中的 自旋軌道偶合交互作用所引起的自旋霍 爾效應，希望引起讀者對自旋電子學的興 趣。 二、 自旋軌道耦合與自旋霍爾效應: 所謂電子自旋軌道耦合(spin-orbit coupling),簡稱 SOC， 是指電子的「自旋 角動量」與「軌道角動量」的交互作用結 果。電子在真空中， SOC 的交互作用 HSO 可以表示為：
度，τ 雜質彈性散射時間)，自旋繞著等效
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SOC 磁場轉動(precession)的相關係數為
n m R ilm = 4τ ∑ ε i ln hp vF ，上橫線符號表示對 n
界發散掉(一直有自旋注入到邊界)！對 於 Rashba-SOC 自旋流為
∂ =0 −2 D S y − R yzy S z y =± d / 2 ∂y y =± d / 2 b −2 D ∂ S − R zyy ( S y − S y ) y =± d / 2 + I sH δ iz = 0 z y ∂ y =± d / 2
SOC 所造成自旋霍爾電導 σ sH 的貢獻 3， 在 這 種 情 形 下 就 沒 有 SHE 發 生
total （ σ sH = 0） 。
因為在考慮非線性動量相關的 SOC 下，像是 Dresselhau-SOC，即使在考慮雜 質散射的擴散範疇下 ， 結果顯示 SHE 仍然 會存在；接下來我們將用自旋的擴散方程 (spin diffusion equation) 來 了 解 在 Rashba-SOC 和 Dresselhaus-SOC 下的自旋 行為。要推導自旋擴散方程在電場下的表 示式，我們需要利用一些非平衡的格林函 數 (nonequilibrium Green’s function) 技 巧，但這些數學我們不在本文一一詳敘， 我們有興趣的是自旋擴散方程式的每一 項對應的物理圖像，我們考慮一個簡單系 統如圖 1b，外加一電場 Ex ，因為 x-方向 具有平移不變性，因此 Rashba-SOC 的自 旋擴散方程為：
λvac = −3.72 ×10−6 Å2，因此在真空中我們
長可忽略電子 SOC 效應；但電子在半導體
旋；由於自旋電子學(spintronics)的發展，
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材 料 中 的
− = r dr
SOC
交 互 作 用 為
子的自旋方向是平行於電子運動方向。 一般霍爾效應(Hall effect)是指在二 維條狀樣品中外加一個垂直樣品的磁場
λsemi 1 dV K K ，此一常數 λ 卻遠比真 L ⋅σ semi
空 中 的 值 大 許 多 ， 例 如 ： 在 InAs 中
λsemi = 120 Å ，在 GaAs 中 λsemi = 5.3 Å 。
2 2
G G Bz ，在傳輸方向外加電場 Ex 時，正負電
荷會往相反的 y 方向移動(圖 1a)。而自旋 霍爾效應(spin-Hall effect) ，簡稱 SHE， 是指在無外加磁場的狀況下,通一電場
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G (圖 2a)；當外加電場 Ex 打開至時間 t0，
費米面會被位移，綠色箭頭表示電子動量 方向，等效磁場是垂直於電子動量，紅色 箭頭代表電子自旋方向，原來電子(t=0) 自旋的方向會傾向於平行於新的等效磁 場而轉動(procession) ， 不難看出在 + p y 與
這是因為電子在真空中的能量尺度為
m0 c ~ 0.5MeV ,但是在半導體中能量尺度
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為能隙(energy gap) E g ~ 1eV ，兩者有數 量級的差異。由以上的簡單物理圖像我們 可以理解：電子運動感受到空間位能的變 化就會產生 SOC 的交互作用，一般而言， SOC 可 以 區 分 為 兩 大 類 ： ( 一 ) 外 稟 (extrinsic)的 SOC，它是由外來重雜質的 位能變化所引起的；(二)內稟(intrinsic) 的 SOC，它是由材料本身結構所引起的。 在本文中,我們將著重探討內稟(intrinsic) 的 SOC 效應。內稟自旋軌道耦合可以用
密度(與空間座標無關的一個常數)，正比 於外加電場強度和 SOC 耦合係數，其中 自旋與電荷耦合(spin-charge coupling)項
K K 為 M i 0 = 4τ 3∇ ⋅ h p 3 (∂n ip / ∂p )， 此項表示外加
…………………………………(D) 其 中 我 們 有 一 項 自 旋 霍 爾 流 為
G Ex ， 注 入 一 非 極 化 的 電 流 (unpolarized
current)， 自旋向上與自旋向下的電子會往 相反的方向移動(圖 1b)，然而往上和往下 走電荷數目相等，因此並不會有淨電流在 y 方向上流動；SHE 主要成因是材料中的 SOC 造成的。
G K K h p ⋅ σ 來表示， hp 為 SOC 之等效磁場，表
∂2 D S x − Γ xx S x = 0 2 ∂ y ∂2 b yzy ∂ b S z − Γ yy ( S y − S y )=0 D 2 ( S y − S y ) + R ∂y ∂y ∂2 ∂ b − Γ zz S z = 0 D 2 S z + R zyy ( S y − S y ) ∂ ∂ y y
示電子以動量 p 運動時，自旋極化方向會 傾向能量較低的狀態也就是平行於 − hp 的 方向，內稟 SOC 可分為兩種：(i) Rashba 形 式 的 SOC, 是 由 於 結 構 反 轉 不 對 稱 (structure inversion asymmetry)所引起的 一
x p
G
G
種
y p
自
旋
y
軌
x
道
偶
合
,
( h , h ) = (α p , −α p ) , α
我們在這裡
稱 做 Rashba-SOC 耦 合 係 數 ； (ii) Dresselhaus 形式的 SOC,是由於塊材反轉 不對稱(bulk inversion asymmetry)所引起, 它的等效磁場形式可以被表示為 圖 1：(a)霍爾效應:有外加磁場,V>0；(b) 自旋霍爾效應:對一束未極化的入射電荷 流且無外加磁場,V=0。 對於 SHE 的解釋，J. Sinova 提出一個 物理圖像說明 Rashba-SOC 在彈道傳輸範 疇(ballistic regime)的例子 2 ：當平衡時 (t=0)，電子的自旋垂直於電子運動方向