两因素完全随机设计

xij = +αi + β j + εij (i =1,2,, a; j =1,2,, b)
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式中 为总平均数； 为总平均数； 为总平均数 αi，βj分别为Ai、Bj的效应 的效应: αi=i-，βj=j- ， i、j分别为Ai、Bj观测值总体平均数， 观测值总体平均数， 且Σαi=0,Σβj=0; εij 为随机误差 ，相互独立 ，且服从
1、简单效应 在某因素同一水平上，另一因 、 在某因素同一水平上， 素不同水平对试验指标的影响称为简单效应。 素不同水平对试验指标的影响称为简单效应。 如在表 如在表5-28中， 中
在A1(不追肥 上， B2- B 1=480-470=10 不追肥)上 不追肥 追肥)上 追肥 在A2 (追肥 上， 在B2 (除草 上， 除草)上 除草 B2- B1=512-472=40 A2-A1=512-480=32 不除草)上 在B1 (不除草 上，A2-A1=472-470=2 不除草
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(二) 两因素有重复观测值试验资料 的方差分析
对两因素和多因素有重复观测值试验结 果的分析，能研究因素的简单效应、主效应 果的分析，能研究因素的简单效应、 简单效应 和因素间的交互作用(互作)效应。 和因素间的交互作用(互作)效应。 交互作用
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MSe 16.1222 Sxi i = = = 2.3182 b 3
根据df 根据 e=10，秩次距 ，秩次距k=2,3,4,5,6从 从 附表5中查出 的临界q 附表 中查出α=0.05和α=0.01的临界 中查出 和 的临界 值，与标准误相乘，计算出最小显著极差 与标准误相乘， LSR，q值及 ， 值及 值及LSR值列于表5-25。 值列于表 值列于 。
B 因素的标准误
Sx. j
MSe 16.1222 = = = 1.6392 a 6
根据dfe=10，秩次距 根据 ，秩次距k=2，3，查临界 q ， ， 相乘，求得LSR，见表5-27。 值并与 Sxi j 相乘，求得 ， 。
在进行两因素或多因素的试验时， 在进行两因素或多因素的试验时，除 了研究每一因素对试验指标的影响外， 了研究每一因素对试验指标的影响外，往 往更希望研究因素之间的交互作用。 往更希望研究因素之间的交互作用。 例如，通过对播种期、播种密度、 例如，通过对播种期、播种密度、施 氮量、施钾量、 氮量、施钾量、施磷量对作物生长发育的 影响有无交互作用的研究， 影响有无交互作用的研究，对最终确定有 利于作物生产的最佳栽培技术 最佳栽培技术体系是有重 利于作物生产的最佳栽培技术体系是有重 要意义的。 要意义的。
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（2）不同田间管理方法的草莓平均产量比较 ） B因素各水平平均数比较表见表5-26。 因素各水平平均数比较表见表 因素各水平平均数比较表见 。 在两因素单独观测值试验情况下，B 因 在两因素单独观测值试验情况下， 素(本例为田间管理方法 每一水平的重复数 本例为田间管理方法)每一水平的重复数 本例为田间管理方法 恰为A因素的水平数 。 恰为 因素的水平数a 因素的水平数
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3、 多重比较 、
(1) 不同地块的草莓平均产量比较 ，采用 q法(见表5-24)。 法 见 。 在两因素单个观测值试验情况下，A因 在两因素单个观测值试验情况下， 因 素每一水平的重复数恰为B因素的水平数 。 素每一水平的重复数恰为 因素的水平数b。 因素的水平数
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3、交互作用(互作) 在 多因素试验 、交互作用(互作) 中，一个因素的作用要受到另一个因素的影 响，表现为某一因素在另一因素的不同水平 上所产生的效应不同，这种现象称为该两因 上所产生的效应不同，这种现象称为该两因 素存在交互作用。如在表5-28中： 素存在交互作用。如在表 中
(3)因为每个水平组合只有一个观测值，所 因为每个水平组合只有一个观测值， 因为每个水平组合只有一个观测值 以无法估计真正的试验误差， 以无法估计真正的试验误差，因而不可能对因 素的交互作用进行研究。 素的交互作用进行研究。 因此，进行两因素或多因素试验时，一般 因此，进行两因素或多因素试验时， 应设置重复，以便正确估计试验误差， 应设置重复，以便正确估计试验误差，深入研 究因素间的交互作用。 究因素间的交互作用。
A在B1水平上的效应 水平上的效应=472-470=2 A在B2水平上的效应 水平上的效应=512-480=32 B在A1水平上的效应 水平上的效应=480-470=10 B在A2水平上的效应 水平上的效应=512-472=40
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A的效应随着B因素水平的不同而不同，反 因素水平的不同而不同， 之亦然， 两因素间存在交互作用， 之亦然，此时称A、B两因素间存在交互作用， 记为A×B。
2 i=1 j =1 i=1 j =1 2 ij
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a
b
a
b
A因素平方和
1 2 SSA = b∑(xii xii ) = ∑xii C b i=1 i=1
2
a
a
B因素平方和
1 2 SSB = a∑(xi j xii ) = ∑xi j C a j=1 j =1
2
bຫໍສະໝຸດ Baidu
b
误差平方和
SSe=SST-SSA-SSB
总自由度
dfT=ab-1
A因素自由度 dfA=a-1 B因素自由度 dfB=b-1
误差自由度
dfe= dfT - dfA – dfB
=(a-1)(b-1)
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【例5-5】 为了研究不同的田间管理 】 方法对草莓产量的影响， 方法对草莓产量的影响， 选择了 6个不同 个不同 的地块， 个小区， 的地块，每个地块分成 3 个小区，随机安 排 3 种田间管理方法，所得结果见 表5种田间管理方法， 22，试作方差分析。 ，试作方差分析。
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前面介绍的两因素单个观测值试验只适 用于两个因素间无交互作用的情况。 用于两个因素间无交互作用的情况。 若两因素间有交互作用，则每个水平组 若两因素间有交互作用， 合中只设一个试验单位(观察单位 的试验设 合中只设一个试验单位 观察单位)的试验设 观察单位 计是不正确的或不完善的。这是因为： 计是不正确的或不完善的。这是因为：
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(1) 在这种情况下， SSe， dfe 实际上是 在这种情况下，
A、B 两因素交互作用平方和与自由度 ，所算 是交互作用均方， 得的MSe是交互作用均方，主要反映由交互作
用引起的变异。 用引起的变异。 (2) 这时若仍按【例5-5】 所采用的方法 这时若仍按【 】 进行方差分析， 进行方差分析，由于误差均方值大 (包含交互 包含交互 作用在内) 有可能掩盖试验因素的显著性， 作用在内 ，有可能掩盖试验因素的显著性， 从而增大犯Ⅱ型错误的概率。 从而增大犯Ⅱ型错误的概率。
(一) 两因素单个观测值试验资料的 一 方差分析
对于A、 两个试验因素的全部ab个水平 对于 、B 两个试验因素的全部 个水平 组合，每个水平组合只有一个观测值，全试验 组合，每个水平组合只有一个观测值， 个观测值， 共有 ab 个观测值，其数据模式如 表5-21 所 示。
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这是个两因素单个观测值试验结果。 这是个两因素单个观测值试验结果。A 因素有3个水 个水平， 因素有 6 个水平，即 a = 6；B 因素有 个水 个观测值。 平， 即b=3；共有 ×b=6×3=18个观测值。 ；共有a 个观测值 1、计算各项平方和与自由度
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N (0，σ2)。 ， 。
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两因素交叉分组单个观测值的试验资料， 两因素交叉分组单个观测值的试验资料，
A因素的每个水平有b次重复，B 因素的每个 次重复，
水平有a次重复， 水平有 次重复，每个观测值同时受到A、B 次重复 两因素及随机误差的作用 。 因此全部a 因此全部 b 个观测值的总变异可以分解 因素水平间变异、 为 A 因素水平间变异、B因素水平间变异及试 验误差三部分。 验误差三部分。
或者说， 或者说，某一因素的简单效应随着另一因 素水平的变化而变化时， 素水平的变化而变化时，则称该两因素间存在 交互作用。 交互作用。
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2、列出方差分析表，进行F 检验 、列出方差分析表，进行 方差分析表
F捡验结果表明： 捡验结果表明 捡验结果表 不同地块和不同田间管理方法对草莓的 产量均有显著或极显著影响，有必要进一步 产量均有显著或极显著影响， 对 A、B 两因素不同水平的平均产量进行多 、 重比较。 重比较。
x i i = ∑ xij
j =1
n
b
1 b xi i = ∑ xij b j =1
1 xi j = ∑ xij a i =1
1 a b xii = ∑∑ xij ab i =1 j =1
a
xi j = ∑ xij
i =1
xii = ∑∑ xij
i =1 j =1
a
b
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两因素单个观测值试验的数学模型为： 两因素单个观测值试验的数学模型为：
第三节 两因素完全随机设计 试验资料的方差分析
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一、两因素交叉分组试验资料的方差分析
设试验考察A、 两个因素 因素分a 设试验考察 、B两个因素 ，A因素分 因素分 个水平， 因素分 个水平。 因素分b个水平 个水平，B因素分 个水平。 交叉分组是指 所谓交叉分组是指A因素每个水平与 所谓交叉分组是指A因素每个水平与 B 因素的每个水平都要碰到， 因素的每个水平都要碰到，两者交叉搭配形 个水平组合即处理， 成ab个水平组合即处理，试验因素 A、B在 个水平组合即处理 、 在 试验中处于平等地位 。
1 2 SSB = ∑xi j C a 1 2 2 2 = ×(442 + 459 + 483 ) 106414.2222 6 =141.4444
SS e = SST SS A SS B = 1737.7778 1435.1111 141.4444 = 161.2223
dfT = ab 1 = 6×31 =17 df A = a 1 = 6 1 = 5 dfB = b 1 = 31 = 2 dfe = dfT df A dfe =17 5 2 =10
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平方和与自由度的分解式如下： 平方和与自由度的分解式如下： 如下
SST = SSA + SSB + SSe dfT = dfA + dfB + dfe
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各项平方和与自由度的计算公式为 矫正数
2 ii
x C= ab
总平方和
SST = ∑∑(xij xii ) = ∑∑x C
简单效应。 就是简单效应 就是简单效应。 简单效应实际上是特殊水平组合间的差数。 简单效应实际上是特殊水平组合间的差数。
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2、主效应 、
由于因素水平的改变而引起的
平均数的改变量称为主效应。如在表 平均数的改变量称为主效应。如在表5-28中， 中 因素由A 当A因素由 1水平变到 2水平时，A因素的主效 因素由 水平变到A 水平时， 因素的主效 应为A 水平的平均数减去A 水平的平均数， 应为 2水平的平均数减去 1水平的平均数，即 A因素的主效应 因素的主效应=492-475=17 因素的主效应 同理 B因素的主效应 因素的主效应=496-471=25 因素的主效应 主效应也就是简单效应的平均， 主效应也就是简单效应的平均，如 (32+2)÷2=17，(40+10)÷2=25。
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x 1384 C= = = 106414.2222 ab 6 × 3
2 ii
2
SST = ∑∑ x C
2 ij
= (71 + 73 + + 86 + 85 ) 106414.2222
2 2 2 2
= 1737.7778
1 2 SS A = ∑ xi i C b 1 = × (2212 + 2722 + + 2532 ) 106414.2222 3 = 1435.1111