圆柱、圆锥及其截交线
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第6章 曲面立体及截交线
截平面位置 立 体 图 与V面平行 与H面平行 与V面垂直
投 影 图
六、圆球体切割
例5-11 圆球被一正垂面截切，完成其水平投影和侧 例5-11 求圆球被正垂面截切的截交线 面投影。 绘图步骤： (1)截交线的投影为椭圆，投 影椭圆上短轴的两个端点Ⅰ、 Ⅱ与长轴的两个端点Ⅲ 、 Ⅳ； (2)求截交线与轮廓线的交点 Ⅴ 、Ⅵ ； (3)求截交线与轮廓线的交点 Ⅶ 、Ⅷ ； (4)依次光滑连接各点； (5)检查并加粗可见轮廓线。 点击播放视频
c
a
例5-5 圆柱表面取点
a” (c”) b”
b
二、圆锥的投影及表面取点
圆锥的形成 圆锥是由一直母线绕与它相交的轴线旋转一周形 成的，具有一个底面和一个回转面（圆锥面）。 圆锥面上所有素线相交于锥顶，所有纬圆平行。
锥顶 圆锥面 母线 底面 轴线 素线 纬圆
(a) 圆锥面的形成 点击图片播放视频
(b) 圆锥的结构特征 圆锥的特征
s’
例5-6 圆锥表面取点
s”
a”
e’
e”
s
a e
素线法
二、圆锥的投影及表面取点
2、表面取点
例5-6 圆锥表面取点
例5-6 如图所示，已知点 A在圆锥表面上，并知它 的正面投影a’，可采用下 列两种方法求出点A的水 平投影a和侧面投影a” 。
s’
s”
a”
s a
纬圆法
三、圆球的投影及表面取点
圆球的形成 一圆周绕自身的一直径旋转一周即形成圆球， 形成的回转面称为圆球面。平面与球面的交线为 一个圆，称为纬圆。
(c) 圆锥面的结构特征
二、圆锥的投影及表面取点
1、投影分析 圆锥面的轮廓素线 圆锥的轴线垂直 SA、SB将圆柱面分成可 于H面。圆锥底圆为水 见的前半部分与不可见 平面，水平投影反映实 的后半部分。 形，其正面和侧面投影 轮廓素线SC、SD将 积聚为水平直线。 圆柱面分成可见的左半 圆锥面的水平投影 部分与不可见的右半部 为圆，其正面和侧面投 分。 影为三角形。
投 影 图
六、圆球体切割
例5-11 圆球被一正垂面截切，完成其水平投影和侧 例5-11 求圆球被正垂面截切的截交线 面投影。 绘图步骤： (1)截交线的投影为椭圆，投 影椭圆上短轴的两个端点Ⅰ、 Ⅱ与长轴的两个端点Ⅲ 、 Ⅳ； (2)求截交线与轮廓线的交点 Ⅴ 、Ⅵ ； (3)求截交线与轮廓线的交点 Ⅶ 、Ⅷ ； (4)依次光滑连接各点； (5)检查并加粗可见轮廓线。 点击播放视频
c
a
例5-5 圆柱表面取点
a” (c”) b”
b
二、圆锥的投影及表面取点
圆锥的形成 圆锥是由一直母线绕与它相交的轴线旋转一周形 成的，具有一个底面和一个回转面（圆锥面）。 圆锥面上所有素线相交于锥顶，所有纬圆平行。
锥顶 圆锥面 母线 底面 轴线 素线 纬圆
(a) 圆锥面的形成 点击图片播放视频
(b) 圆锥的结构特征 圆锥的特征
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例5-6 圆锥表面取点
s”
a”
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e”
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素线法
二、圆锥的投影及表面取点
2、表面取点
例5-6 圆锥表面取点
例5-6 如图所示，已知点 A在圆锥表面上，并知它 的正面投影a’，可采用下 列两种方法求出点A的水 平投影a和侧面投影a” 。
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a”
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纬圆法
三、圆球的投影及表面取点
圆球的形成 一圆周绕自身的一直径旋转一周即形成圆球， 形成的回转面称为圆球面。平面与球面的交线为 一个圆，称为纬圆。
(c) 圆锥面的结构特征
二、圆锥的投影及表面取点
1、投影分析 圆锥面的轮廓素线 圆锥的轴线垂直 SA、SB将圆柱面分成可 于H面。圆锥底圆为水 见的前半部分与不可见 平面，水平投影反映实 的后半部分。 形，其正面和侧面投影 轮廓素线SC、SD将 积聚为水平直线。 圆柱面分成可见的左半 圆锥面的水平投影 部分与不可见的右半部 为圆，其正面和侧面投 分。 影为三角形。
第五章_截交线和相贯线
直 观 图
投
影 图
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[例5-5] 如图5-6所示，求作被正平面P截切的圆锥的截交线。 当截平面垂直于圆锥轴线时，截交线是一个圆；当截平面过锥 顶时，截交线是过顶点的两条直线；当截平面与圆锥轴线斜交时 （θ>a），截交线是一个椭圆；当截平面与圆锥轴线斜交，且平行 一条素线时（θ=a），截交线是一条抛物线；当截平面与圆锥轴线 平行（θ=0°）或θ<a时，截交线为双曲线。
（2）求一般位置点。在圆球的正面投影上任取a′、（b′）， 再通过a′、（b′）作水平圆，求其余两面投影a、b和a″、b″。 （3）判断可见性并光滑连接各点。由于被切去的是圆球的左、 上部分，所以截交线的水平投影和侧面投影都可见。依次连接各点 的同面投影，即得截交线的投影。
24
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[例5-6] 如图5-7所示，求作圆球的截交线。
(a)已知条件
(b)作图结果
图5-7
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求作圆球的截交线
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23
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作图： （1）求特殊位置点。点M、N、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ分别是圆球三个 方向轮廊素线圆上的点。其中点M、N是最低、最高点，同时也是最 左、最右点。根据点M、N、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ的正面的投影m′、n′、 3′、6′、5′、6′可求出相应的水平投影m、n、3、6、5、6及侧 面投影m″、n″、3″、6″、5″、6″。 椭圆长轴端点Ⅰ、Ⅱ。其正面投影1′、（2′）积聚成一点， 位于直线m′n′的中点。可通过1′2′作水平圆，求其余两面投影1、 2和1″、2″。
26
华中科技大学光电等学院工程制图作业答案
(1)拉伸长度20mm (2)拉伸长度38mm
(3)拉伸长度20mm
(4)拉伸长度20mm
6-3参照立体图，根据已知的二个视图，求第三个视图。
6-4参照立体图，根据已知的二个视图，求第三个视图。
6-5 根据主视图和俯视图，选择正确的左视图。
例 求作截割四棱柱的W面投影。
6-5 根据主视图和俯视图，选择正确的左视图。
抛物线
[例] 圆锥被两个正垂面截切的画法
求前后 素线交点 求椭圆 短轴端点 面求 交两 线截 平
(1)
(2)
已知投影面平行面的两个投影,如把平面沿Z轴拉伸 20mm拉伸形成立体，想出其空间形状，完成其三 面投影。
20mm
例
已知立体的主视图和左视图，求俯视图。
1’2’ 3’4’ 7’ 8’9’ 4” 3” 9”
2”
1” 8” 7”
5’6’ 5 3 9 6 1 7 8 4
5”
6”
2
立体表面的截交线
（3）
（4）
6-11分析图示立体之间的表面关系，补画组合体视图中所缺的图线。
（1） （2）
（3）
（4）
（3）
（4）
6-1 根据轴测图和两视图补画第三视图，注意形体之间的表面关系。
（1） （2）
（3） （4）
6-3参照立体图，根据已知的二个视图，求第三个视图。
6-4参照立体图，根据已知的二个视图，求第三个视图。
1）截平面 Q 垂直于投影面 2）截平面平行于棱线 3) 截平面 R 倾斜于棱线
RV
4
1 2 3
例
已知立体的主视图和左视图，求俯视图。
1’2’ 3’4’ 7’ 8’9’ 4” 3” 9”
(3)拉伸长度20mm
(4)拉伸长度20mm
6-3参照立体图，根据已知的二个视图，求第三个视图。
6-4参照立体图，根据已知的二个视图，求第三个视图。
6-5 根据主视图和俯视图，选择正确的左视图。
例 求作截割四棱柱的W面投影。
6-5 根据主视图和俯视图，选择正确的左视图。
抛物线
[例] 圆锥被两个正垂面截切的画法
求前后 素线交点 求椭圆 短轴端点 面求 交两 线截 平
(1)
(2)
已知投影面平行面的两个投影,如把平面沿Z轴拉伸 20mm拉伸形成立体，想出其空间形状，完成其三 面投影。
20mm
例
已知立体的主视图和左视图，求俯视图。
1’2’ 3’4’ 7’ 8’9’ 4” 3” 9”
2”
1” 8” 7”
5’6’ 5 3 9 6 1 7 8 4
5”
6”
2
立体表面的截交线
（3）
（4）
6-11分析图示立体之间的表面关系，补画组合体视图中所缺的图线。
（1） （2）
（3）
（4）
（3）
（4）
6-1 根据轴测图和两视图补画第三视图，注意形体之间的表面关系。
（1） （2）
（3） （4）
6-3参照立体图，根据已知的二个视图，求第三个视图。
6-4参照立体图，根据已知的二个视图，求第三个视图。
1）截平面 Q 垂直于投影面 2）截平面平行于棱线 3) 截平面 R 倾斜于棱线
RV
4
1 2 3
例
已知立体的主视图和左视图，求俯视图。
1’2’ 3’4’ 7’ 8’9’ 4” 3” 9”
机械制图第四章
画图步骤（参见下图）： 主视图的投射方向由例图可知，先画出未切割前圆柱体的三视图。 画切角的投影。切角的投影要先画主视图，再画俯视图，然后由主视图和俯视
4
画矩形切槽的投影。矩形切槽的投影要先画左视图，再画俯视图，主视图由俯视图
和左视图求出（主视图中，矩形切槽的底面不可见，因此要画成虚线）。 整理轮廓线，将切去的轮廓线擦除并加深图线。
1
基本几何体的投影
2
截交线
相贯线
4
3
截交线与相贯线测绘案例
5
在AutoCAD中绘制截交线和相贯线
1
1
圆柱体的投影及其表面上的点
如图所示，若圆柱体的轴线垂直于H面，则俯视图的可见轮廓为圆，这个圆反映了圆柱 体上、下底面的实形；主视图的可见轮廓为矩形，矩形的上下两边为圆柱体上下两底面的 投影，左右两边为圆柱面最左和最右两条素线的投影。这两条素线将圆柱面分为前后两部 分，前半个柱面可见，后半个柱面不可见，我们把这两条素线称为柱面对V面的转向轮廓线， 该转向轮廓线的水平投影积聚到圆的最左和最右点，侧面投影和轴线重合。 左视图的图形虽然和主视图相同， 但其左右两条边的含义和主视图不同， 这两条边表示柱面上最前和最后两条素 线的投影，即柱面对W面的转向轮廓线 ，该转向轮廓线的水平投影积聚到圆的 最前和最后点。此外，左视图中，V面 的转向轮廓线和轴线重合（不画）。 已知柱面上M点的V面投影m′，该点的其他两面投影可以求出来。即由于圆柱面的水平投影 积聚成圆，所以M点的水平投影一定在该圆上，又因为m′可见（不可见时，需用圆括号括起来）， 所以M点的水平投影一定在前半个柱面上；根据“长对正”即可求出M点的水平投影m；根据 “高平齐、宽相等”即可求出M点的侧面投影m''。因为M点在左半个柱面上，所以m''可见。
12,第十二讲回转体.回转体的截交线(二)相贯线(一)
2
3
4
判别相贯线可见性的原则 见的。
只有位于两形体都可见的面上的交线是可
例题7
平面立体与曲面立体相贯，完成相贯后的投影
解题步骤 1 分析 相贯线的侧面 投影已知，可利用表 面取点法求共有点； 2 求 出 相 贯 线上 的 特 殊点Ⅰ、Ⅱ 、 Ⅳ； 3 求出一般点Ⅲ ； 4 光 滑 且 顺 次地 连 接 各点，作出相贯线， 并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
b
3
圆柱体截交线 直线与圆柱相交
姓名
学号
审核
成绩
33
复习题(例题6）
1' 4'
求圆柱截交线
10"(40“) (4“) 1" (5" 3" 2"
解题步骤
1 分析 截交线的正 投影和水平投影为已 知； 2 求出截交线上的特 殊点Ⅰ、 Ⅱ 、 Ⅲ 、Ⅳ； 3 求一般点Ⅴ； 4 顺次地连接各点， 作出截交线，并且判 别可见性； 5 整理轮廓线。
例题7
想象出物体及其侧面投影的形状
作业 评讲
复习题:求园柱被切割后的H、W投影。
45°
第十讲 曲面立体的投影（二）
基本要求
§7-3 曲面立体的截交线（锥和球） §7-4 曲面立体的贯穿点(自学) §7-5 曲面立体与平面立体相交 ☆
基本要求:
本讲是画法几何学中较难的部分，需要认真 练习。 熟练掌握基本曲面体的三面投影。 熟练掌握曲面立体表面取点的方法，这是本 章也是本讲的一个基本方法。 充分理解截交的几何意义及截交线的性质， 熟练掌握求截交线的方法。 掌握直线与曲面立体相交贯穿点的性质及求 解方法。 充分理解相贯的几何意义及相贯线的性质， 熟练掌握求相贯线的方法。
第二章第三节(2)化工作图
注意： 1）主视图中的两条轮廓素线为前后两半圆锥面的 分界线，其在W面上的投影位于圆锥的轴线上，不能 作为轮廓线来画。 2）左视图中的两条轮廓素线为左右两半圆锥面的 分界线，其在V面上的投影位于圆锥的轴线上，也不 能作为轮廓线画。
2、圆锥表面取点
例：求出圆锥表面上A点的另两投影。
在圆锥表面上求作点的方法： 由于锥面的投影没有积聚性， 因此圆锥面上求作点需用辅助素 线法或辅助圆法。
2）左视图中的两条 轮廓素线为左右两 半圆柱面的分界线， 其在V面上的投影位 于圆柱的轴线上， 也不能作为轮廓线 来画。
2、圆柱表面取点
例：求出圆柱表面上A点的另两投影。 A点的位置分析及作图方法可参考 下图中的B点。 在圆柱表面上求作点的方法： 1.利用点的投影规律 2.借助于圆柱表面的积聚性投影 作图步骤如下：
（二）平面立体的截交线
作图分析 求作平面立体的截交线首先应掌握在立 体表面上找点的方法，并能根据所给出的 视图确定要找的点。 平面立体截交线上的点可以分为： 1.棱线的断点，如图中的1、2、3、4点， 作图时此类点比较容易确定 2.截平面与立体表面交线的两个端点， 如图中的5、6点。作图时一般要根据视图 确定点的位置。 3.两截平面交线在立体表面上的两个端 点，如三棱锥上的A、B点。
二、回转体及其视图
回转面—--一条母线绕着另一条轴线旋转一周，其运 动的轨迹称为回转面。母线位于回转面任一位置时的线称为 素线。 回转面的共同特点： 由于母线上每一点的轨迹均为 圆（圆弧），因此当用一垂直于 轴线的平面截切回转面时，切口 的形状为一圆（圆弧）。
常见的曲面立体有圆柱、圆锥、 球体以及圆环等，均为回转体。
辅助素线法 过点在锥面上作一素线（过锥顶），作出素 线的各投影后，再将点对应到素线的投影上。 辅助圆法 在锥面上过点作一与底面平行的圆，作出该圆 的各投影后，再将点对应到辅助圆的投影上。
圆柱与圆锥正交及相贯的特殊情况
圆柱与圆锥正交及相贯的特殊情况1．圆柱与圆锥正交作圆柱与圆锥正交的相贯线的投影，通常要用辅助平面法作出一系列点的投影。
辅助平面法的原理是基于三面共点原理。
如图4-24，圆柱与圆锥台正交，作一水平面P ，平面P 与圆锥的截交线（圆）和平面P 与圆柱面的截交线（两平行直线）相交，交点Ⅱ、IV 、VI 、Ⅷ既是圆锥面上的点，也是圆柱面上的点，又是平面P 上的点（三面共点），即是相贯线上的点。
用来截切两相交立体的平面P ，叫做辅助平面。
图4-24 三面共点为了方便、准确地求得共有点，辅助平面的的选择原则是：辅助平面与两立体表面的交线的投影，为简单易画的图形（直线或圆）。
通常大多选用投影面平行面为辅助平面。
例1：如图4-25b 所示，圆锥台与圆柱轴线正交，求作相贯线的投影。
解：由于两轴线垂直相交，相贯线是一条前后、左右对称的封闭的空间曲线，其侧面投影为圆弧，重合在圆柱的侧面投影上，需作出的是其水平投影和正面投影。
作图步骤如下：1）作特殊点。
根据侧面投影1”、3”、（5”）、7”可作出正面投影l’、3’、5’、（7’）和水平投影1、3、5、7，如图4-25c 所示。
其中I 、V 点是相贯线上的最左、最右（也是最高）点，Ⅲ、Ⅶ点是相贯线上的最前、最后（也是最低）点。
2）求作一般位置点。
在最高点和最低点之间作辅助平面P （水平面），它与圆锥面的交线为圆，与圆柱面的交线为两平行直线，它们的交点Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ、Ⅷ即为相贯线上的点。
先作出交线圆的水平投影，再由2”(4”)、8”(6”)作出2、4、6、8，进而作出2’(8’)和4’（6’）, 如图4-25d 所示。
3）判别可见性，光滑连线。
相贯线前后对称，前半相贯线的正面投影可见；相贯线的水。
工程制图课件 05其它常见回转体及其截交线
圆球的三视图
蓝色圆是正平转向素线圆。 红色圆是水平转向素线圆。 紫色圆是侧平转向素线圆。
蓝色圆是主视图的转向轮廓线。 红色圆是俯视图的转向轮廓线。 紫色圆是左视图的转向轮廓线。
圆球表面的点
❖ 圆球转向素线圆上的点
(a”)
步骤 1：根据已知投影分析每 个点的空间位置。 点 A 位于水平转向素线圆的右前弧；
圆球表面的点
❖ 一般位置点-水平辅助圆法
(1”) 2’
步骤 2， 方法一，水平辅助圆法：在
圆球表面上，平行于水平投 影面，构造过点I、II、III的 水平辅助圆。
（3）
1
圆球表面的点
❖ 一般位置点-正平辅助圆法
步骤 2， 方法二，正平辅助圆法：在圆 球表面上，平行于正立投影面， 构造过点II的正平辅助圆。
圆球表面的点
❖ 一般位置点-侧平辅助圆法
步骤 2， 方法三，侧平辅助圆法：在圆 球表面上，平行于侧立投影面， 构造过点II的侧平辅助圆。
圆球截交线的基本形式
当圆球被一个截切平面切割时，截交线是圆或圆弧。但是 不同空间位置的圆和圆弧具有不同的投影特征。
截平面平行于投影面 截交线：圆或圆弧
投影具有积聚性和显真性
C
ad c
圆锥截交线的基本形式（一）
用一个截平面可以在圆锥表面得到五种截交线：
圆
三角形
椭圆
抛物线
双曲线
圆锥截交线的基本形式（二）
θ PV
PV
θ
α
PV
垂直于轴线的截平面
截交线：圆或圆弧 投影具有积聚性 和显真性
通过锥顶的截平面
截交线：三角形 投影具有积聚性和
类似性
截平面不过锥顶， 且θ＞α
数控班机械制图绘制顶针三视图PPT精选文档
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充一般点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。
.
7
例1：求左视图
b (d) e(f) a
画一画：这两个立 体的视图是什么样？
.
34
小结
一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成 的封闭的平面多边形，多边形的边是截平 面与棱面的交线。 求截交线的方法：棱线法 棱面法
二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截 平面与被截立体轴线的相对位置。 截交线是截平面与回转体表面的共有线。
.
35
三、解题方法与步骤
f
d
a
e b
c
c
d
b
截交线的
f 空间a形状e？
截交线的已知投影？
截交线的侧面投
影是什么形状？
★找特殊点C c ★找一般D 点
F
★光滑连接各点 ★分析A 轮E 廓B素线的投影
.
8
例1：求左视图
★找特殊点 ★找一般点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
.
9
二. 圆锥的截交线 1.圆锥截交线的形状
圆
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两水个平侧面平截面圆截球圆的球截的交截线 交的线投的影投，影在，俯在视左图视上图为 上部为分部圆分弧圆，弧在，侧在视俯图视上 图积上聚积为聚直为线直。线。
.
29
二，圆柱开槽的三视图
.
30
[例题1] 求圆柱截交线
1'≡2'
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充一般点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。
.
7
例1：求左视图
b (d) e(f) a
画一画：这两个立 体的视图是什么样？
.
34
小结
一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成 的封闭的平面多边形，多边形的边是截平 面与棱面的交线。 求截交线的方法：棱线法 棱面法
二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截 平面与被截立体轴线的相对位置。 截交线是截平面与回转体表面的共有线。
.
35
三、解题方法与步骤
f
d
a
e b
c
c
d
b
截交线的
f 空间a形状e？
截交线的已知投影？
截交线的侧面投
影是什么形状？
★找特殊点C c ★找一般D 点
F
★光滑连接各点 ★分析A 轮E 廓B素线的投影
.
8
例1：求左视图
★找特殊点 ★找一般点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
.
9
二. 圆锥的截交线 1.圆锥截交线的形状
圆
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两水个平侧面平截面圆截球圆的球截的交截线 交的线投的影投，影在，俯在视左图视上图为 上部为分部圆分弧圆，弧在，侧在视俯图视上 图积上聚积为聚直为线直。线。
.
29
二，圆柱开槽的三视图
.
30
[例题1] 求圆柱截交线
1'≡2'
圆锥的截交线
最前、最后点IV、V 求一般位置点III
判可见性、连线、描深
抛物线
圆锥截交
圆锥截交（补全俯视图，左视图）(1)
3’(4’)
5’(6’) 1’(2’)
62 4
3 51
4’’
3’’
6’’
5’’
圆锥截交(2)
圆锥截交(3)
柱锥截交1
柱锥截交2
圆锥及其截交
圆柱截交
3、圆锥表面取点
m’
m’’
1’
1’’
m
1
(n’)
(n’’)
n
圆锥的截交线
圆锥的截交线有：
– 截平面垂直圆锥轴线—— 圆 – 截平面与圆锥轴线倾斜——椭圆 – 截平面平行一条素线——抛物线 – 截平面平行于圆锥轴线 ——双曲线 – 截平面过锥顶—— 等腰三角形
求圆锥与水平面的截交线
等腰三角形——过锥顶
1’(2’) 2
1
2’’
1’’
2 1双曲线—ຫໍສະໝຸດ 截平面平行于圆锥轴线圆锥截交（例1）
1’ 4’(5’) 2’(3’)
3’’ 5’’ 1’’ 4’’ 2’’
3
5 1
4
2
3 1
2
求圆锥与正垂面的截交线
作图步骤： 截交线的正面投影 求特殊位置点
转向线上的点I、II
(最低、最左和最高、最右点)
判可见性、连线、描深
抛物线
圆锥截交
圆锥截交（补全俯视图，左视图）(1)
3’(4’)
5’(6’) 1’(2’)
62 4
3 51
4’’
3’’
6’’
5’’
圆锥截交(2)
圆锥截交(3)
柱锥截交1
柱锥截交2
圆锥及其截交
圆柱截交
3、圆锥表面取点
m’
m’’
1’
1’’
m
1
(n’)
(n’’)
n
圆锥的截交线
圆锥的截交线有：
– 截平面垂直圆锥轴线—— 圆 – 截平面与圆锥轴线倾斜——椭圆 – 截平面平行一条素线——抛物线 – 截平面平行于圆锥轴线 ——双曲线 – 截平面过锥顶—— 等腰三角形
求圆锥与水平面的截交线
等腰三角形——过锥顶
1’(2’) 2
1
2’’
1’’
2 1双曲线—ຫໍສະໝຸດ 截平面平行于圆锥轴线圆锥截交（例1）
1’ 4’(5’) 2’(3’)
3’’ 5’’ 1’’ 4’’ 2’’
3
5 1
4
2
3 1
2
求圆锥与正垂面的截交线
作图步骤： 截交线的正面投影 求特殊位置点
转向线上的点I、II
(最低、最左和最高、最右点)
截 交 线
与柱面的交线为圆弧，如下图所示。
画图步骤（参见下图）：
主视图的投射方向由例图可知，先画出未切割前圆柱体的三视图。 画切角的投影。切角的投影要先画主视图，再画俯视图，然后由主视图和俯视
4 画矩形切槽的投影。矩形切槽的投影要先画左视图，再画俯视图，主视图由俯视图
和左视图求出（主视图中，矩形切槽的底面不可见，因此要画成虚线）。 整理轮廓线，将切去的轮廓线擦除并加深图线。
b. 求矩形槽的侧面P与锥面交线（即双曲线）的顶
4 点和端点。假想侧平面P将该锥台切断，则右图（b）
中的点3′为双曲线的顶点，该顶点在锥面对V面的转 向轮廓线上，其W面投影和轴线重合，双曲线的端点 在锥台的底圆上。
c. 求双曲线弧的上端点。 在主视图上取特殊点4′和 5′，然后用辅助圆法确定 俯视图和左视图中双曲线 弧上这两个点的投影。
d. 用辅助圆法求双曲线弧上的一般位置点，然后用 光滑曲线依次连接这些特殊点和一般位置点。
4 e. 求矩形槽的顶面R与锥面的交线。该交线为圆弧，
圆弧的水平投影反映实形，W面的投影为线段。
f. 整理轮廓线。从主 视图上可以看出，锥面 对W面的转向轮廓线被 矩形槽切去了一段，圆 台的底圆也被切去了一 段圆弧，所以俯视图不 再是完整的圆。
截平面垂直 于轴线
截平面平行 于轴线
截平面倾斜 于轴线Fra bibliotek当截平面与圆柱体的轴线垂直时，截交线为圆。 当截平面与圆柱体的轴线平行时，截交线为矩形。 当截平面与圆柱体的轴线倾斜时，截交线为椭圆。
2．投影面垂直线 求圆柱切割体的三视图，主要是求截交线的投影，其具体画图步骤如下：
1
第一步
画出没有切割前圆柱体的三视图。
由主视图和左视图绘制 俯视图。椭圆弧截交线的俯视 图仍为椭圆弧，可先求出截交 线上的特殊点（转向轮廓线上 的点和交线的端点），再求出 一些一般位置点，求一般位置 点时可利用对称性求出对称点， 然后用曲线板光滑连接各点。 整理轮廓线，将切去的 轮廓线擦除并加深图线。
圆柱、圆锥及其截交线
PV
PV PV
P
P
垂直 圆
倾斜 椭圆
（部分精选椭课件圆）
P
平行 两平行直线 （矩形） 6
求回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，预见未知投影。
由圆锥面和底面组成。
⑵ 圆圆锥锥体面的是由三直视线图SA绕与
它成在相。图交示的位轴置线，O俯O视1旋图转为而一
s●
圆。S另称两为个锥视顶图，为直等线边SA三称
角为形母，线三。角圆形锥的面底上边过为锥圆顶
锥的底任面一的直投线影称，为两圆腰锥分面别的
为素圆线锥。面不同方向的两条
轮廓素线的投影。
s
SO A O1 ●s
圆
两相交直线
θ＞α 椭圆
θ=α θ= 0°＜α
抛物线
双曲线
精选课件
21
例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
截截交交线线的的 如空投何间找影椭形特圆状性另？？
一根轴的端点？
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的
投影
精选课件
22
例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
3. 补全回转体的剩余轮廓。
精选课件
7
例1：求左视图
1’● 2’(3’7)’(8●’)
PV PV
P
P
垂直 圆
倾斜 椭圆
（部分精选椭课件圆）
P
平行 两平行直线 （矩形） 6
求回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，预见未知投影。
由圆锥面和底面组成。
⑵ 圆圆锥锥体面的是由三直视线图SA绕与
它成在相。图交示的位轴置线，O俯O视1旋图转为而一
s●
圆。S另称两为个锥视顶图，为直等线边SA三称
角为形母，线三。角圆形锥的面底上边过为锥圆顶
锥的底任面一的直投线影称，为两圆腰锥分面别的
为素圆线锥。面不同方向的两条
轮廓素线的投影。
s
SO A O1 ●s
圆
两相交直线
θ＞α 椭圆
θ=α θ= 0°＜α
抛物线
双曲线
精选课件
21
例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
截截交交线线的的 如空投何间找影椭形特圆状性另？？
一根轴的端点？
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的
投影
精选课件
22
例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
3. 补全回转体的剩余轮廓。
精选课件
7
例1：求左视图
1’● 2’(3’7)’(8●’)
圆锥的投影、截交线及轴侧图
分析：P平面垂直于V面，其截交线的正面投影积聚为一直线，水平和侧面投影需要求出。求解时先确定截交线的特殊点，再求一般点。
辅助素线法：截交线上任一点M，可看成是圆锥面上某一素线SI与截平面P的交点。因M点在素线SI上，故点M的三面投影分别在该素线的同面投影上。
特殊点
Ⅰ
P
S
Ⅰ
c''
a''
b''
a
b
c'
b'
a'
特殊点
c
一般点
由点连线
整理加深
5.利用辅助平面法(纬圆法)求截交线
a''
b''
c
a
b
c'
b'
a'
c''
特殊点
辅助圆定点
b''
c
a
b
c'
b'
a'
d''
a''
c''
d'
一般点
描深图线
d
例1:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
截交线的空间形状？
截交线的投影特性？
★找特殊点
投 影 图
PV
PV
PV
PV
PV
(3).圆锥截交线的求法 （求共有点的方法） 素线法 纬圆法
作图步骤: 1). 投影分析 2).求特殊位置点：转向轮廓线上的点，分界点 3). 求一般位置点 4). 光滑连接各点 5). 判断可见性 6). 整理轮廓线
4.辅助素线法求截交线
P
辅助素线法：截交线上任一点M，可看成是圆锥面上某一素线SI与截平面P的交点。因M点在素线SI上，故点M的三面投影分别在该素线的同面投影上。
特殊点
Ⅰ
P
S
Ⅰ
c''
a''
b''
a
b
c'
b'
a'
特殊点
c
一般点
由点连线
整理加深
5.利用辅助平面法(纬圆法)求截交线
a''
b''
c
a
b
c'
b'
a'
c''
特殊点
辅助圆定点
b''
c
a
b
c'
b'
a'
d''
a''
c''
d'
一般点
描深图线
d
例1:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
截交线的空间形状？
截交线的投影特性？
★找特殊点
投 影 图
PV
PV
PV
PV
PV
(3).圆锥截交线的求法 （求共有点的方法） 素线法 纬圆法
作图步骤: 1). 投影分析 2).求特殊位置点：转向轮廓线上的点，分界点 3). 求一般位置点 4). 光滑连接各点 5). 判断可见性 6). 整理轮廓线
4.辅助素线法求截交线
P
《机械制图》第五章教案解析
第五章组合体视图第一讲组合体的画图1．知识要点（1）组合体的组合方式；（2）形体分析法；（3）线面分析法2．教学设计：在讲解组合体的画图方法时，要紧紧抓住两个顺序（①组合体的各基本几何体的画图顺序。
一般按组合体的生成过程先画基础形体,再画局部细节；②同一个形体三个视图的画图顺序。
一般先画形状特征最明显的那个视图，或有积聚性的视图）。
可先给出模型或实体仿真模型，引导同学作形体分析，然后按形体分析的过程绘制三视图。
这个过程要反复进行几次，可停下来让同学画一个模型的三视图，教师观察同学的画图方法，对不正确的方法给予纠正，直到同学掌握正确的观察方法和画图方法为止。
线面分析法是形体分析的补充。
3．课前准备：上课之前要准备好模型，模型要能够充分体现形体分析法的特点。
4．教学内容（1）组合体的组成方式（形体分析法）叠加如图5-1所示图5-1叠加切割如图5-2所示图5-2切割相切如图5-3所示图5-3相切图5-4为常见的画图错误，主视图上的错误原因是因为没有认识到立体是一个实体，即由各种材料制造成的立体，板和柱面的结合部分柱面已经消失，所以不存在转向轮廓线。
左视图上的错误原因是没有考虑宽相等，不作形体分析。
图5-4常见错误画法.综合如图5-5所示图5-5综合（2）用线面分析法绘制组合体的三视图（图5-6和图5-7）图5-6平面立体的线面分析图5-7曲面立体的线面分析5．作业习题集：按模型或立体图绘制三视图。
第二讲圆柱截交线教学内容圆柱体与平面相交有三种情况：1)当截平面与圆柱体的轴线垂直时，截交线为圆或圆弧；2)当截平面与圆柱体的轴线平行时，截交线为两条线段；3)当截平面与圆柱体的轴线倾斜时，截交线为椭圆或椭圆弧。
表4-1圆柱截交线[例1]根据立体图绘制三视图（利用课件中的动画讲解）【形体分析】基本形体为圆柱体，先用一个侧平面和水平面切去一角，侧平面和柱面的交线为线段，水平面和柱面的交线为圆弧；再用两个正平面和水平面切去一个矩形槽，矩形槽的侧面和柱面的交线为线段，槽的底面与柱面的交线为圆弧。
机械制图-基本体的三视图及其截交线、相贯线的画法(仅供借鉴)
17
第二节 截交线的画法
• 二、平面截切平面基本体
一类参考
18
第二节 截交线的画法
• 二、平面截切平面基本体
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形。
截交线的每条边是截平面与棱面的交线。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
找出截交线的已知投影一类，参考预见未知投影。
30
第二节 截交线的画法
• 三、平面截切回转体
画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： ☆ 先找特殊点，再补充中间点。 ☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
一类参考
31
第二节 截交线的画法
• 三、平面截切回转体 圆柱的截交线
★找中间点
★光滑连接各点
★分析转向轮廓线的投影
一类参考
34
椭圆的长、 短轴随截平面与 圆柱轴线夹角的 变化而改变。
45°
什么情况下
截投平影面为与圆圆呢柱？轴 线成45°时。
一类参考
35
例例：：求求左左视视图图
一类参考
36
第二节 截交线的画法
• 三、平面截切回转体
例：圆柱被一个截平面斜切，已知其两个视图，求作第三视图。
a (b)
点的可见性规定点：
b
若点所在的平面的投影可见， 点的投影也可见；若平面的投影 a
积聚成直线，点的投影也可一类见参考 。
a
b
4
第一节 基本体的三视图
• 一、平面基本体的三视图
【例3－1】根据已知条件，补画第三视图，并求作形体 表面A、B、C三点的三面投影。
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⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： 当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： 先找特殊点，补充中间点。 ☆ 先找特殊点，补充中间点。 将各点光滑地连接起来， ☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。 见性。
补全回转体的剩余轮廓。 3. 补全回转体的剩余轮廓。
例1：求左视图
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。 求半球体截切后的俯视图和左视图。
s′ ′ A
S O
O1
●
●
s″ ″
s
O
⑶ 轮廓线素线的投影与 曲面的可见性的判断
s′ ′
●
●
O1
●
s″ ″
⑷ 圆锥面上取点
★辅助直线法 ★辅助圆法
b●
k a
b′ k′(n′) ′ ′ ′ a′ ′
n● s
●
(n″) ″ ″b″
●
k″ ″ a″ ″
如何在圆锥面 过锥顶作 上作直线？ 上作直线？ 一条素线。 一条素线。 圆的半径？ 圆的半径？
O A
O1 A1
⑶ 轮廓线素线的投影与曲面的 可见性的判断 回转体的每个视图都是该 视图投影方向的外形轮廓。 视投影。 转向轮廓线：轮廓素线的投影。 ⑷ 圆柱面上取点 利用投影的积聚性
O
A O1 a′ ′ (b′) ′ c′ ′
(b″) ″
a″ ″ c″ ″
虚实分界点
同一立体被多 个平面截切， 个平面截切，要逐 个截平面进行截交 线的分析和作图。 线的分析和作图。
例3：求左视图
●
解题步骤： 解题步骤：
★空间及投影分析 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 ★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影
●
●
●
例3：求左视图
解题步骤： 解题步骤：
★空间及投影分析 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 ★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影
例4：求左视图
●
●
●
●
例4：求左视图
例5：求俯视图
例5：求俯视图
2.圆锥体 2.圆锥体
⑴ 圆锥体的组成 圆锥面和底面组成 组成。 由圆锥面和底面组成。
圆锥面是由直线SA绕与 圆锥面是由直线 ⑵ 圆锥体的三视图 绕与 它相交的轴线OO1旋转而 它相交的轴线 在图示位置， 在图示位置，俯视图为一 成。 圆。另两个视图为等边三 S称为锥顶，直线 称 称为锥顶 称为锥顶，直线SA称 角形， 。圆锥面上过锥顶 角形，三角形的底边为圆 为母线。 为母线 锥底面的投影， 锥底面的投影，两腰分别 的任一直线称为圆锥面的 为圆锥面不同方向的两条 素线。 素线。 轮廓素线的投影。 轮廓素线的投影。
b a c
（5） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于 截平面与圆柱轴线的相对位置
PV PV PV
P
P
P
垂直 圆
倾斜 椭圆 部分椭圆） （部分椭圆）
平行 两平行直线 矩形） （矩形）
求回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状 确定截交线的形状。 的相对位置，以便确定截交线的形状。 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 ☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，预见未知投影 已知投影 投影。 截交线的已知投影，预见未知投影。
1.圆柱体 1.圆柱体
⑴ 圆柱体的组成 圆柱面和两底面组成 组成。 由圆柱面和两底面组成。 圆柱面是由直线AA 圆柱面是由直线 1绕与 旋转而成。 它平行的轴线OO1旋转而成。 它平行的轴线 直线AA 称为母线。 直线 1称为母线。 圆柱面上与轴线平行的任 一直线称为圆柱面的素线 素线。 一直线称为圆柱面的素线。 ⑵ 圆柱体的三视图 圆柱面的俯视图积聚成一 个圆， 个圆，在另两个视图上分别以 两个方向的轮廓素线的投影表 示。
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。 求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的截 水平面截圆球的截交线 交线的投影，在侧视图 交线的投影， 的投影， 的投影，在俯视图上为 上为部分圆弧， 上为部分圆弧，在俯视 部分圆弧， 部分圆弧，在侧视图上 图上积聚为直线。 图上积聚为直线。 积聚为直线。 积聚为直线。
截交线 截交线 的空间 的投影 如何找椭圆另 形状？ 形状？ 特性？ 特性？ 一根轴的端点？ 一根轴的端点？
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
圆锥被正垂面截切， 例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。 截交线，并完成三视图。
㈢ 球体的截切
平面与圆球相交， 平面与圆球相交，截交线的形 状都是圆， 状都是圆，但根据截平面与投影面 的相对位置不同， 的相对位置不同，其截交线的投影 可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。 可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。
第
三
章
圆柱、圆锥及其截交线
3.2 基本体的形成及其三视图
常见的基本几何体 平面基本体 曲面基本体
4.1 回转体的截切
回转体截切的基本形式
截交线的性质： 截交线的性质： 截交线是截平面与回转体表面的共有线 共有线。 • 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 • 截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。 截平面与回转体轴线的相对位置。 截交线都是封闭的平面图形 直线或曲线)。 封闭的平面图形(直线或曲线 • 截交线都是封闭的平面图形 直线或曲线 。
4’ ● 7’(8’) 2’(3’) ● ● 5’(6’) ●
1’ ●
8”
● ●
1” ●
7”
●
● 3”截交线的 ●
●
●
2”
6” 空间形状？ 空间形状？ 5” 4”
截交线的已知投影？ 截交线的已知投影？
6 8
●
●
截交线的侧面投 影是什么形状？ 影是什么形状？ ★找特殊点
★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
●
●
5
7
例4：求左视图
★找特殊点 ★找中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
椭圆的长、 椭圆的长、 短轴随截平面与 圆柱轴线夹角的 变化而改变。 变化而改变。
45° 45°
什么情况下 投影为圆呢？ 投影为圆呢？ 截平面与圆柱轴
线成45° 线成45°时。 45
例5：求左视图 例2：求左视图
(5) 圆锥体的截切
根据截平面与圆锥轴线的相 对位置不同，截交线有五种形状。 对位置不同，截交线有五种形状。
PV θ PV PV θ α θ PV α PV
α
90° θ= 90° 圆
过锥顶 两相交直线
θ＞α 椭圆
θ=α 抛物线
0° θ= 0°＜α 双曲线
圆锥被正垂面截切， 例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。 截交线，并完成三视图。
3.圆球 3.圆球
⑴ 圆球的形成
圆母线以它的直 径为轴旋转而成。 径为轴旋转而成。
⑵ 圆球的三视图
三个视图分别为三 ⑶ 轮廓线的投影与曲 个和圆球的直径相等的 面可见性的判断 圆，它们分别是圆球三 个方向轮廓线的投影。 个方向轮廓线的投影 ⑷ 圆球面上取点 。
k′ ′
k″
圆的半径？ 圆的半径？
k
辅助圆法